1

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26z i= + Giải:

3 18 26z i= + ( ) ( ) ( )3 2

3 2 3 3 2

2 3

3 1818 26 18 3 26 3

3 26

x xyx yi i x y y x xy

x y y

− =⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −− =

Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược 1

3, 13

t x y= ⇒ = = . Vậy z=3+i

Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2;z z thoả mãn 1 2 1 2; 3z z z z= + = Tính 1 2z z−

Giải:

Đặt 1 1 1 2 2 2;z a b i z a b i= + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( )

2 2 2 21 1 2 2

2 2

1 2 1 2

1

3

a b a b

a a b b

+ = + =

+ + + =

( ) ( ) ( )2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1a b a b a a b b z z⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2 8(1 ) 63 16 0z i z i− − + − =

Giải: Ta có ( )22' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8i i i i∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là

1 25 12 , 3 4z i z i= − = +

Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − =Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:

z1 = iii

i

i

i

i

2

5

2

3

2

)1 )(4(

1

4

)1 (2

4)2(2 −=−−=+−=

++−

z2 = iii

i

i

i

i

2

1

2

1

2

)1 )((

1)1 (2

4)2( 2 −−=−−=+−=

+−−

Ví dụ 3) Giải phương trình 3 29 14 5 0z z z− + − = Giải: Ta có phương trình tương ñương với ( )( )22 1 4 5 0z z z− − + = . Từ ñó ta suy ra

phương trình có 3 nghiệm là 1 2 3

1 ; 2 ; 2

2z z i z i= = − = +

Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 22 5 3 3 (2 1) 0z z z z i− + + + + = biết phương trình có nghiệm thực

Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên 3 22 5 3 3 0

2 1 0

z z z

z

− + + =

+ =

1

2z

−⇒ = thoả mãn cả

hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với

( ) ( )22 1 3 3 0z z z i+ − + + = . Giải phương trình ta tìm ñược 1

; 2 ; 12

z z i z i= − = − = +

MMMỘỘỘTTT SSSỐỐỐ DDDẠẠẠNNNGGG BBBÀÀÀIII TTTẬẬẬPPPVVVỀỀỀ SSSỐỐỐ PPPHHHỨỨỨCCC

http://megabook.vn/

2

Ví dụ 5) Giải phương trình: 3 2(1 2 ) (1 ) 2 0z i z i z i+ − + − − = biết phương trình có nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có

( ) ( )3 2 2 3 2(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0bi i bi i bi i b b b b b i+ − + − − = ⇔ − + − + + − = 2

3 2

0 1

2 2 0

b b b z i

b b b

− =⇔ ⇒ = ⇒ =− + + − =

là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương

ñương với ( )( )2 (1 ) 2 0z i z i z− + − + = . Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm

Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: 2z z= .

Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( )2a bi a bi+ = +

2 2

2

a b a

ab b

− =⇔

= − Giải hệ trên ta tìm ñược

1 3( , ) (0;0), (1;0),( ; )

2 2a b = − ± . Vậy phương

trình có 4 nghiệm là 1 3

0; 1; 2 2

z z z i= = = − ±

Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:

1 2 2z i z i+ − = − + và 5z i− =

Giải:

Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có 1 ( 2) 2 (1 )

( 1) | 5

x y i x y i

x y i

+ + − = − + −

+ − =

( ) ( )

2 2 2 2

22

1 ( 2) ( 2) (1 )

1 5

x y x y

x y

+ + − = − + −⇔ + − =

2

3

10 6 4 0

y x

x x

=⇔

− − =1, 3x y⇔ = = hoặc

2 6,

5 5x y= − = − . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện.

Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ;1 ( 2 )

i mz m R

m m i

−= ∈− −

a) Tìm m ñể 1

. 2

z z =

b)Tìm m ñể 1

4z i− ≤

c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có

( )( )( )( ) ( )

2 2 2 2

22 2 2 2 2

1 2 (1 ) 2 (1 2 )

1 2 1 2 1 2 1 4

i m m mii m m m m m mz

m mi m mi m mi m m

− − −− − − + + − += = =− + − + − − − +

http://megabook.vn/

3

( )2 2

2 2 2 2 22

(1 ) (1 ) 1 1

1 1 1 11

m m i m m mi z i

m m m mm

+ + += = + ⇒ = −+ + + ++

( )2

222

1 1 1. 1 2 1

2 21

mz z m m

m

+⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±

+

b) Ta có 2

2 2 2 2

1 1 1 11

4 1 1 4 1 1 4

m m mz i i i

m m m m − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ + + + +

⇔

2 4 22 2

2 2 2 2 2

1 1 1 116 1

(1 ) (1 ) 16 1 6 15 15

m m m m m m

m m m⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤

+ + +

c) Ta có ( )

2

max2 22

1 1 1 | | 1 0

11

mz z m

mm

+= = ≤ ⇒ = ⇔ =++

Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện 2 4 5z i− − = Tìm số phức z có

modun lớn nhất, nhỏ nhất.

Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( )2 22 4 5x y− + − = Suy ra tập hợp

ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính 5R =

Dễ dàng có ñược (2 5 sin ;4 5 cos )M α α+ + . Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ OM.

Ta có |z|2= 2 2 2(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )OM α α α α= + + + = + +

Theo BDT Bunhiacopxki ta có ( )2 2 2(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5α α α α+ ≤ + + =

5 sin 2cos 5α α⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5z⇒ ≤ ≤ . Vậy

min

1 2| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2

5 5z x y z iα α α α− −= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +

max

1 2| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6

5 5z x y z iα α α α= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +

Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 2 4 2z i z i− − = − .Tìm số phức z có

moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra

( ) ( ) ( )2 2 222 4 2 4 0x y x y x y− + − = + − ⇔ + − = Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn

số phức z là ñường thẳng y=-x+4

Ta có 2 2 2 2 2 2(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy

min 2 2 2 2 2 2z x y z i= ⇔ = ⇒ = ⇒ = +

Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết:

a) 3z

z i =

− b) 3 4z z i= − + c) 4z i z i− + + =

http://megabook.vn/

4

Giải: Gọi z=x+yi

a) Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 29 93 9( ( 1) ) ( )

8 64z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − =

Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm 9 3

(0; ),8 8

I R =

b) Từ giả thiết ta có ( )22 2 23 (4 ) 6 8 25x y x y x y+ = − + − ⇔ + = . Vậy tập hợp các ñiểm

M là ñường thẳng 6x+8y-25=0

c) Giả sử z =x+yi thì 4z i z i− + + = ( ) ( )2 22 21 1 4x y x y⇔ + − + + + = ⇔

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

22 22

22 2 2 22 2 2

1 161 4

2 1 41 16 8 1 1

x yx y

x y yx y x y x y

+ + ≤+ + ≤ ⇔ ⇔ + − = + + − = − + + + + +

( ) ( )2222

2 22 2 2

1 16(1)1 16

4 4 8 4 8 16 1(2)3 4

4 4(3)

x yx y

x yx y y y y

y y

+ + ≤ + + ≤ ⇔ + + + = + + ⇔ + = ≥ − ≥ −

Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip)

luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4. Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt 2 2

13 4

x y+ = .

Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số

phức ( )1 3 2i zω = + + biết rằng số phức z thoả mãn: 1z − ≤ 2.

Giải: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈

Ta có 1z − ≤ 2 ( )2 21 4a b⇔ − + ≤ (1)

Từ

( ) ( )( ) 3 2 3 1 31 3 2 1 3 2

3 3 3( 1)

x a b x a bi z x yi i a bi

y a b y a bω

= − + − = − + = + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔ = + − = − +

Từ ñó ( ) ( ) ( )22 2 23 3 4 1 16x y a b − + − ≤ − + ≤

do (1)

Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( ) ( )223 3 16x y− + − ≤ ; tâm ( )3; 3I , bán

kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số

phức z sao cho số 2

2

z

z

−+

có acgumen bằng 3

π.

Giải:

http://megabook.vn/

5

Giả sử z=x+yi, thì ( )( )

( ) ( )( )2 2

2 222

2 2 2

x yi x yix yiz

z x yi x y

− + + + − +− = =+ + + + +

( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 22 2 2

4 2 2 4 4

2 2 2

x y yi x x x y y i

x y x y x y

− + + + − + + −= = ++ + − + − +

(1)

Vì số phức 2

2

z

z

−+

có acgumen bằng 3

π, nên ta có:

( ) ( )2 2

2 22 2

4 4 cos sin

3 32 2

x y y i i

x y x y

π πτ+ − + = + − + − +

với 0τ >

( )

( )

2 2

2 2

2 2

4

22

4 3

22

x y

x y

y

x y

τ

τ

+ − = − +⇒

= − +

Từ ñó suy ra y>0 (1) và 2 2

2 2 22 2

4 4 2 43 4 (2)

4 3 3 3

y yx y x y

x y

= ⇔ + − = ⇔ + − = + − .Từ (1) và (2) suy ra

tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức:

Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu 1z ≤ thì 2 1

12

z

iz

− ≤+

Giải:

Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì 2 2 2 21 1z a b a b= + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có

2 2

2 2

4 (2 1)2 1 2 (2 1)

2 (2 ) (2 )

a bz a b i

iz b ai b a

+ −− + −= =+ − + − +

.Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương

với 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

4 (2 1) 1 4 (2 1) (2 ) 1

(2 )

a b a b b a a b dpcm

b a

+ − ≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒

− +

Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện 33

1 2z

z+ ≤ . Chứng minh

rằng: 1

2z z

+ ≤

Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức 1 2,z z bất kỳ ta có 1 2 1 2z z z z+ ≤ +

Ta có 3 3

3 33 3

1 1 1 1 1 1 13 3 2 3z z z z z z z

z z z z z z z + = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +

Đặt 1

zz

+ =a ta có ( ) ( )23 3 2 0 2 1 0a a a a dpcm− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒

http://megabook.vn/

6

II) D ẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:

a) ( )1 cos sin

1 cos sin

i

i

ϕ ϕ ϕ ϕ

− ++ +

b) ( ) ( )1 cos sin 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +

Giải:

a) ( ) ( )

( )1 cos sin 1 cos sin

1 cos sin 1 cos sin

i i

i i

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

− + − −=

+ + + +

2

2

2sin 2 sin cos sin cos2 2 2 2 2tan tan

2 22cos 2 sin cos cos sin2 2 2 2 2

i ii

i i

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

− −= = = −

+ +

- Khi tan 02

ϕ > dạng lượng giác là: tan cos sin2 2 2

iϕ π π − + −

- Khi tan 02

ϕ < dạng lượng giác là: tan cos sin2 2 2

iϕ π π − +

- Khi tan 02

ϕ = thì không có dạng lượng giác.

( ) ( )) 1 cos sin 1 cos sin

2sin sin cos .cos cos sin2 2 2 2 2 2

b i i

i i

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

− + + +

= − +

2sin cos isin2 2

π πϕ ϕ ϕ = − + −

- Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác ñịnh.

- Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin2 2

iπ πϕ ϕ ϕ − + −

- Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là: ( 2sin ) cos sin2 2

iπ πϕ ϕ ϕ − + + +

Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:

a) ( )1 cos sin

1 cos sin

i

i

ϕ ϕ ϕ ϕ

− ++ +

b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +

Giải:

a) ( )

2

sin cos1 cos sin 1 cos sin 2 2tan tan1 cos sin 2 22cos 2 sin .cos cos sin

2 2 2 2 2

ii i i

i i i

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

−− + − −= = = −+ + + −

Khi tan 2

ϕ>0 thì dạng lượng giác là tan

2

ϕcos sin

2 2i

π π − + −

http://megabook.vn/

7

Khi tan 2

ϕ<0 thì dạng lượng giác là - tan

2

ϕcos sin

2 2i

π π +

Khi tan 2

ϕ=0 thì không tồn tại dạng lượng giác.

b) [ ][ ]1 (cos sin ) 1 cos sini iϕ ϕ ϕ ϕ− + + +

2sin sin cos .2cos cos sin2 2 2 2 2 2

2sin cos sin2 2

i i

i

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π πϕ ϕ ϕ

= − +

= − + −

- Khi sin 0ϕ = thì dạng lượng giác không xác ñịnh

- Khi sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin2 2

iπ πϕ ϕ ϕ − + −

- Khi sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là:( )2sin cos sin2 2

iπ πϕ ϕ ϕ − + + +

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết 2 2 2 3z i= − + Giải: Ta có: 2 2 2 2

2 2 3 4 co s s in3 3

z i z iπ π = − + ⇔ = +

Do ñó: 2 2 2 22 2 3 4 cos sin

3 3z i z i

π π = − + ⇔ = +

2 22 cos sin

1 33 3

1 32 cos sin3 3

z i z i

z iz i

π π

π π

= + = + ⇔ ⇔ = − −= − +

Từ ñó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và 3 −

Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: ( )1 3z i− + biết một acgumen của z

bằng 3

π

Giải: z có một acgumen bằng 3

π nên

1 3

2 2z z i

= +

Do ñó: ( )1 3z i− + = 1 3

( 2) 2 2

z i

− +

- Khi 2z > , một aacgumen của ( )1 3z i− + là 3

π

- Khi 0 2z< < , một acgumen của ( )1 3z i− + là 4

3

π

http://megabook.vn/

8

- Khi 2z = thì ( )1 3z i− + =0 nên acgumen không xác ñịnh.

Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ , tìm một acgumen của:

a) 22z b) 1

2z− c)z z+ d) 2z z+

Giải: 1z = , z có một acgumen là ϕ . Do ñó cos sinz iϕ ϕ= +

a) ( ) ( )2 2cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = + ⇒ = −

Vậy 2z2 có một acgumen là 2ϕb) ( )cos sin cos sin 2 2 cos sinz i z i z iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ⇒ = − ⇒ = −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 1cos sin cos sin

2 221 1 1

cos sin cos sin2 22

i iz

i iz

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π

⇒ = − − − = +

⇒ − = − − = + + +

Vậy 1

2z− có một acgumen là ϕ π+

c) Ta có: 2cos z z ϕ+ = Nếu cos 0ϕ > thì có một acgumen là 0 Nếu cos 0ϕ < thì có một acgumen làπNếu cos 0ϕ = thì acgumen không xác ñịnh.

d) 2 cos 2 sin 2 , cos sinz z i z iϕ ϕ ϕ ϕ+ = + = −

( )2 3 3cos 2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin

2 2 2 23

2cos cos sin2 2 2

z z i i

i

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

⇒ + = + + − = +

= +

Vậy acgumen 2z z+ là 2

ϕ nếu

3cos 0

2

ϕ > , là 2

ϕ π+ nếu 3

cos 02

ϕ < và không xác ñịnh

nếu 3

cos 02

ϕ =

Ví dụ 4) Cho số phức 1 cos sin7 7

z iπ π= − − . Tính môñun, acgumen và viết z dưới

dạng lượng giác. Giải:

Ta có: 2

2 8 41 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos

7 7 7 7 7z

π π π π π = − + = − = + =

Đặt ( )arg zϕ = thì 2

8sin sin 47 7tan cot tan

4 7 141 cos 2sin7 7

π ππ πϕ π π

− = = = = − −

http://megabook.vn/

9

Suy ra: ,14

k k zπϕ π= − + ∈

Vì phần thực 1 cos 07

π− > , phần ảo sin 07

π− < nên chọn một acgumen là 14

π−

Vậy 4

2cos cos isin7 14 14

z π π π = − + −

Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho 1

3z = và một

acgumen của 1

z

i+ là

3

4

π−

Giải:

Theo giả thiết 1

3z = thì ( )1

cos sin3

z iϕ ϕ= +

( ) ( ) ( )( )1 1cos sin cos sin

3 3z i iϕ ϕ ϕ ϕ⇒ = − = − + −

Vì 1 2

1 2 2 cos sin2 2 4 4

i i iπ π + = + = +

Nên 1

os sin1 4 43 2

z c i

i

π πϕ ϕ = − − + − − +

Do ñó: 3

2 2 , .4 4 2

k k kπ π πϕ π ϕ π− − = − + ⇔ = + ∈ Ζ vậy

1 os sin .

3 2 2z c i

π π = +

Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho: 3

1z i

z i

+ =+

và z+1 có một ácgumen là 6

π−

Giải: Từ giả thiết

z 3 1

i

z i

+ =+

( ) ( )2 22 23 ( 3) ( 1) 3 1

2

z i z i x y i x y i x y x y

y

⇒ + = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +⇒ = −

z+1 có 1 acgumen bằng 6

π− tức là ( )1 [ os sin ] 36 6 2

z c i iπ π ττ + = − + − = −

với r>0.

Ta có z+1=x+1-2i suy ra

31 42 2 3 1 2

2 3 12

2

xz i

x

ττ

τ

+ = =⇔ ⇒ = − −

= −− = −

Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN T Ổ HỢP Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1 a) 0 2 4 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n nn n n n nS C C C C C−

+ + + + += − + − + −

b) 1 3 5 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1....... n n

n n n n nS C C C C C− ++ + + + += − + − + −

Giải:

http://megabook.vn/

10

Xét

( )2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 . ... ... ( .. )

n n n n nn n n n n n n n n ni C iC i C i C C C C i C C C

+ + + ++ + + + + + + + + ++ = + + + + = − + − + − + −

Mặt khác ta lại có:

( ) 2 12 1 (2 1) (2 1)1 2 cos sin 1 2 cos sin

4 4 4 4

nn n ni i i i

π π π π++ + + + = + ⇒ + = +

= (2 1) (2 1) (8 3) (8 3)

2 2 cos sin 2 2 cos sin4 4 4 4

n nn n k ki i

π π π π+ + + + + = +

3 32 2 cos sin 2 2

4 4n n ni i

π π = + = − +

Từ ñó ta có a) S=-2n b) S=2n Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau: a) 2 4 61 ..........n n nS C C C= − + − +

b) 1 3 5 7 ..........n n n nS C C C C= − + − + Giải:

Xét ( ) 0 1 2 2 2 4 1 3 5 71 ..... 1 ... ( ....)n n n

n n n n n n n n n ni C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − +

( )1 2 cos sin 1 2 cos sin4 4 4 4

nn n ni i i i

π π π π + = + ⇒ + = +

Từ ñó ta có kết quả

a) 2 cos 4

n nS

π= b) 2 sin 4

n nS

π=

Ví dụ 3) Chứng minh rằng: 3 6 11 ... 2 2cos

3 3n

n n

nC C

π + + + = +

Giải: Ta có 0 1 2 32 ....n nn n n n nC C C C C= + + + + (1)

Xét 32 2cos sin 1

3 3i

π πε ε= + ⇒ =

Ta có

( ) 0 1 2 2 0 1 2 2 3 41 . ........ .n n n

n n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + + (2)

( )2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 41 .......... .(3)n n n

n n n n n n n n nC C C C C C C C Cε ε ε ε ε ε ε+ = + + + = + + + + +

Ta có 2 21 0;1 os sin ;1 os sin3 3 3 3

c i c iπ π π πε ε ε ε+ + = + = − + = +

Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có

( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 6 0 3 62 1 1 3 ... 2 2cos 3 ...3

nnn nn n n n n n

nC C C C C C

πε ε+ + + + = + + + ⇔ + = + + +

3 6 11 ... 2 2cos

3 3n

n n

nC C

π ⇔ + + + = +

http://megabook.vn/

11

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Giải phương trình sau trên tập số phức:

3)a z z= ) 3 4b z z i+ = + ( )22) 4 3c z z i− = 2) 2 1 0d z z i+ + − = 2) 4 5 0e z z+ + = 2)(1 ) 2 11 0f i z i+ + + = 2) 2( ) 4 0g z z z− + + =

2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình:

) 1 4 2 5xa i −+ − ≤ 2

1 7) log 1

4

ib x

+ − ≤ 2

1 2 2)1 log 0

2 1

x ic

+ + − − ≥

−

3) Tìm số phức z sao cho ( 2)( )A z z i= − + là số thực

4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện 7

5; 1

z iz

z

+= +

là số thực

5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ñiều kiện

a ( )2 2 ) 9z z− = 2

) 42

z ib

z i

− =+

)3 3c z i z z i+ = + − ) 3 4 2d z i+ − = ) 1e z z i+ ≥ +

) 4 3f z z i= + − 2

) 12

z ig

z i

− >+

)2 2h z i z z i− = − + 1

3

2 2) log ( ) 1

4 2 1

zk

z

− + >

− −

6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 3

2 3 2

z i− + = . Tìm số phức z có modun lớn

nhất,nhỏ nhất. 7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện ( ) ( )1 2z z i− + là số thực và z nhỏ nhất.

8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z z i z+ =

9) Tìm số phức z thoả mãn 2 2z z+ = và 2z =

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:

2 2

2 2)

4

z i z z ia

z z

− = − +

− =

1 2

1 2

3

) 1 1 3

5

z z i

b i

z z

+ = − + + =

2

1 2

2 2 1

1 0)

1 0

z zc

z z

− + =

− + =

12 5

8 3)

4 1

8

z

z id

z

z

− = −

− = −

3 2

2010 2011

2 2 1 0)

1 0

z z ze

z z

+ + + =

+ + =

11) Cho phương trình 3 22 (2 1) (9 1) 5 0z i z i z i− + + − + = có nghiệm thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.

12) Tìm phần thực phần ảo của 2011 2011

1 w

wz = + biết

1 w 1

w + =

13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:

2 6)

3 3

n

ia z

i

− += +

4 6

) 1 5

ni

b z i

+ = − +

7 4)

4 3

ni

c z i

+ = −

3 3)

3 3

id z

i

−= −

http://megabook.vn/

12

14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng

( )0 2 4 6 2 22 2 2 2 2

23 9 27 .... 3 2 cos

3n n n

n n n n n

nC C C C C

π− + − + + − =

15) Tìm số phức z sao cho 2z z= − và một acgumen của z-2 bằng một acgumen

của z+2 cộng với 2

π

16) Giải phương trình

a) 2 2 00

2 tan 10 4 2

os10

zz i

c = + + − b) 2 2 0

0

2 cot 12 6 7

sin12

zz i= + + −

http://megabook.vn/