comune non abbiano lo stesso colore

Il problema fu menzionato la prima volta da Ball in un articolo del 1892 in cui diceva che Möbius ne aveva parlato a lezione nel 1840.

“Un re dell’India con un grande regno aveva cinque figli. Nelle sue volontà decretò che dopo la morte il regno doveva essere diviso in cinque parti in modo che ogni territorio avesse un lato (e non un punto) in comune coi rimanenti. Come venne diviso il regno?”

Ball racconta che Möbius raccontasse a lezione questa storia, chiedendo agli studenti una soluzione:

Gli studenti non riuscirono a rispondere, e Möbius disse che non c’erano riusciti perché il problema non ha soluzione.

Francesco Guthrie, (22 gennaio 1831, Londra

- 19 ottobre 1899, Claremont, Cape Town)

matematico sudafricano e botanico che per primo ha posto il problema Quattro

colori nel 1852. Guthrie è stato uno

studente di Augustus De Morgan alla University

College di Londra.

Mentre colorava una mappa delle contee di Inghilterra, ha notato che almeno quattro colori erano tenuti in modo che non vi sono due regioni dello stesso colore che condividono una frontiera comune.

Questo è diventato noto come il problema Quattro colori, ed è rimasto uno dei più famosi problemi irrisolti nella topologia per più di un secolo, fino a quando non è stato dimostrato nel 1976 utilizzando un computer-aided controversa prova che è stata lunga e inelegante.

La prima pubblicazione relativa all'argomento si deve ad Arthur Cayley.

Negli anni successivi molti matematici tentarono invano di dimostrare il teorema.

•La prima, acclamata "dimostrazione", a lungo riconosciuta come definitiva, fu formulata nel 18791879 da Alfred KempeAlfred Kempe; •Nel 18801880 Peter Tait Peter Tait annunciò di avere trovato una ulteriore dimostrazione del teorema. •HeawoodHeawood dimostrò tuttavia che cinque colori erano sufficienti per qualsiasi mappa.

•Ashay Dharwadker Ashay Dharwadker , infine nel 2000, propose una nuova dimostrazione del teorema che richiede l'utilizzo della teoria dei gruppi.

Più semplicemente, questo primo teorema può essere enunciato anche nel seguente modo: quattro colori sono sufficienti per colorare una mappa.

Il primo passo della dimostrazione del T4C consiste appunto nel definire nozioni topologiche, traducendo il problema d'analisi infinita in un problema combinatoriale finito.Questo è possibile tracciando il grafo duale della mappa, ed applicando successivamente il teorema di compattezza alle proposizioni logiche. Ma come si vedrà di seguito la costruzione del grafo duale non è necessaria ne sufficiente per condurre il problema nel campo combinatorio.

Si semplifica quindi la dimostrazione

connettendo mappe finite le cui regioni sono rappresentate da poligoni finiti, senza connessioni,

in cui ogni arco collega esattamente

due poligoni.

Ogni mappa poliedrica così costruita soddisfa la formula di Eulero:

(1) N–E+F=2 ;

dove N, E, F sono rispettivamente il numero di vertici (nodi), il numero di lati (archi), ed il numero di regioni (facce) della mappa.

Il passo successivo consiste nel ridurre ulteriormente le mappe poliedriche a mappe cubiche, dove ogni nodo è l'intersezione di tre archi, e sostituire ad ogni nodo un piccolo poligono (figura 1).In una mappa cubica si ha l'equazione:

(2) 3N=2E

che combinata con la precedente formula 1 da la relazione tale per cui il numero medio di lati di una faccia è pari a:

2 (E/F)=6-(12/F)

La dimostrazione procede per induzione sulla dimensione della mappa, questo viene spiegato con chiarezza mediante la dimostrazione di Kempe del 1879. Poiché l'arietà media della mappa è minore di 6, qualsiasi mappa cubica poliedrica deve contenere un poligono di n lati dove n < 6, come ad esempio uno qualsiasi dei frammenti riportati nella seguente figura 2. Ogni configurazione consiste in una faccia completa chiamata nucleo, circondata da un anello di facce parziali.

Figura 2 - Esempio di mappe poliedriche (da sinistra a destra): pentagonale, rettangolare, triangolare e biangolare.

Cancellando un qualsiasi arco di una mappa biangolare o di una mappa triangolare si crea una mappa più piccola, quattro – colorabile per induzione. La colorazione impiega al massimo tre colori per l'anello, lasciando un colore libero per la faccia nucleo, ottenendo cosi una mappa colorata con quattro colori.

In modo analogo si risolve la configurazione rettangolare, cancellando un'appropriata coppia di archi opposti.

Nel caso della mappa pentagonale, è necessario modificare la colorazione induttiva per liberare un colore dell'anello in modo tale da utilizzarlo nella faccia del nucleo.

Kempe tentò di risolvere tale configurazione introducendo le catene di Kempe, ossia invertendo localmente i colori appartenenti ad una colorazione composta da due colori, all'interno di un gruppo massimale di due facce contigue.

Per planarità le catene non possono incrociarsi, e Kempe ne elencò tutte le possibili disposizioni, dimostrando che inversioni consecutive permettono di liberare un colore dell'anello.

Purtroppo non è sempre possibile eseguire inversioni consecutive, perché l'inversione di una catena può generare degli errori sulle altre catene.

Il teorema può essere espresso in forma più comprensibile sfruttando la teoria dei grafi. In questa formulazione i vertici di ciascun grafo planare possono essere colorati utilizzando al massimo quattro colori, in modo tale che due vertici adiacenti non ricevano mai lo stesso colore. In breve, si può affermare che "ogni grafo planare è 4-colorabile". Questa rappresentazione associa ogni regione della mappa a un vertice del grafo; due vertici sono connessi da uno spigolo se e solo se le due regioni corrispondenti hanno un segmento di bordo in comune.

Inoltre …