1

TEOREMA LUI PITAGORA

“GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUNĂ ŞI MAI SIMPLĂ DINTRE TOATE LOGICILE, CEA MAI POTRIVITĂ SĂ DEA INFLEXIBILITATE JUDECĂŢII ŞI RAŢIUNII.” DENIS DIDEROT

Prof. Iuliana TRAȘCĂ

2

OBIECTIVE OPERAŢIONALE

să ştie ce este triunghiul dreptunghic ;

să identifice catetele si ipotenuza unui triunghi dreptunghic;

să identifice triunghiuri dreptunghice pe figurile geometrice învăţate şi să scrie relaţiile corespunzătoare între elementele lor ;

să cunoască şi să utilizeze corect teorema lui Pitagora şi reciproca în rezolvarea problemelor;

să identifice situaţii practice care pot fi rezolvate cu ajutorul acestei teoreme .

3

REACTUALIZAREA CUNOŞTINŢELOR ANTERIOARE

TEOREMA ÎNĂLŢIMIIÎntr-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii dusă din vârful unghiului drept este media geometrică a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuza.

TEOREMA CATETEIÎntr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei și a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuză.

A

C

B

D

Problema

4

TEOREMA LUI PITAGORA:

,,În orice triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor’’

PROBLEMA

5

1. DEMONSTRAŢIE FOLOSIND TEOREMA CATETEI

A

CD

B

Δ ABC, m(<A)=90º, AD ┴ BC conform teoremei catetei, avem: AB² = BC•BD

AC² = BC•CD , adunând membru cu membru obținem:

AB² + AC² = BC•( BD + DC) = BC•BC = BC²

Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d.

6

2. DEMONSTRAŢIE PE BAZA TRIUNGHIURILOR ASEMENEA

A

BC Dxa-x

b c

a

ΔABC ~ ΔDBA (conform cazului U.U.), avem:

1

1

x / c = c / a => c² = ax (1)

ΔABC ~ΔDAC (conform cazului U.U.),

avem(a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2)Adunând membru cu membru relațiile (1) și (2) obținem:

b²+c² = a²+ax – ax

Deci, a² = b² + c² c.c.t.d.

7

3. DEMONSTRAŢIE PE BAZA DE ARII ALE PATRATELOR

A

BC

ab

c

DE

F

JK

LAria pătratului (ABFJ) = c²

Aria pătratului (ACLK) = b²

Aria pătratului (BCDE) = a²

Aria (BCDE )= Aria (ACLK) + Aria (ABFJ)

Deci: a² = b² + c² c. c. t. d.

a

b

c

8

*4. Demonstraţie dată de Euclid in ELEMENTE

A

BC

DE

I

H

G

F

M

N

Aria(ABE)=1/2 BE BN=1/2Aria(BEMN)Aria(BCI)=1/2 BI AB=1/2Aria(AHIB)

Dar, ΔABE≡ΔBCI(LUL) => Aria (BEMN) = Aria (AHIB)(1)

Aria(ACD)=1/2CD CN==1/2Aria(CDMN)

Aria(BCF)=1/2 CF CA==1/2Aria(CFGA)

Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=> Aria (CDMN) = Aria (CFGA) (2)Adunând relațiile (1) și (2)

obținem:Aria(BEMN+CDMN)=Aria(AHIB+CFGA)Deci Aria (BCDE)=Aria (AHIB+CFGA)BC² = AB² + AC² c.c.t.d.

9

*5. Demonstraţia lui Leonardo da Vinci

A’

A

B’

C’

B C

DE

a

a

a

a

bc/2

bc/2bc/2

bc/2

(b-c)²

În triunghiul dreptunghic ABC, m<(BAC)=90º AB=c, BC=a, AC=b, pe ipotenuza BC construim pătratul BCDE și ducem DB’┴AC, EC’┴DB’, AA’┴EC’. Pătratul BCDE se descompune în 4 triunghiuri dreptunghice congruente cu triunghiul dreptunghic ABC de catete b și c și pătratul AA’C’B’de latură AB’=AC-B’C’= b-c, deciAria (AB’C’A’) = AB’² - (b-c)²Aria( ABC)=aria (CDB’)=aria( DC’E)=aria (EA’B)=bc/2Avem aria (BCDE) = aria (AB’C’A’) ++ 4 aria (ABC) sau a² = (b-c)² +4 bc/2 = b² -2bc + c² +2bcAdică, a² = b ²+ c² c.c.t.d.

PROBLEME1.Fie triunghiul ABC dreptunghic în A:

a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 4 cm, respectiv 3 cm, determinaţi

lungimea ipotenuzei BC.

b) Dacă cateta AC=6 cm, iar ipotenuza BC= 10 cm, determinaţi lungimea

catetei AB.

10

Problema 1: rezolvare a)

Problema 1: rezolvare b)

11

A

B C

a) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:

BC2 =AB2 +AC2

Înlocuim:

BC2= 42+32

BC2 = 16+9

BC2 = 25 , de unde BC= 5 cm.

4 cm3 cm

Problema 1: rezolvare a)

ENUNT PROBLEMA

12

A

B C

b) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:

AB2 = BC2 -AC2

Înlocuim:

AB2= 102 -62

AB2 = 100-36

AB2 = 64 , de unde AB= 8 cm.

6 cm

10 cm

Problema 1: rezolvare b)

Enunt problema

2. Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 3 cm, şi unghiul care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei,

a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei.

13

Vezi calculul

Vezi calculul

A

B CD

În triunghiul dreptunghic ABC, avem: BC=2·AC (AC se opune unghiului de şi BC este ipotenuza). Deci : BC= 6 cm

3cm

300

Enunt problema

14

În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel:

BC2 =AB2 +AC2

Înlocuim:

62= AB2+32; AB2 = 36-9

AB2 = 25 , de unde AB= 5 cm.

În triunghiul dreptunghic ADB:

AB=2·AD

AD=2,5 cm.

Enunț problemă

15

3. O catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea de 10 cm, iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este de 8 cm.

Să se afle lungimile celeilalte catete şi a ipotenuzei.

16

A

BC D

În triunghiul dreptunghic ADB, aplicăm teorema lui Pitagora astfel:

AB2 =DB2 +AD2

Înlocuim:

102= DB2+82; DB2 = 100-64

DB2 = 36 , de unde DB= 6 cm.

10 cm

8 cm

6 cm

17

Teorema Pitagora

Aplicăm teorema catetei în triunghiul ABC astfel:

AB2 =BD·BC

Înlocuim:

102= 6 ·BC

100 = 6 ·BC, de unde BC = 16,(6) cm. În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema luiPitagora astfel:

BC2 =AB2 +AC2

Înlocuim: = 100+AC2

De unde AC2= , deci AC= 13,(6) cm

2

3

50

9

1600

18

Teorema catetei