T.C.İSTANBUL NİVERSİTESİ

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

BİTİRME PROJESİ

İSTANBUL, 2013

TOPOĞRAFYANIN FRAKTAL ÖZELLİKLERİ

HazırlayanRıdvan ÖRSVURAN

1302080054

DanışmanProf. Dr. Ali Osman ÖNCEL

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİMÜHENDİSLİK FAKÜLTESİJEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ

1302080054 numaralı Rıdvan Örsvuran tarafından hazırlanan “TOPOĞRAFYANIN FRAKTAL ÖZELLİKLERİ” isimli bitirme ödevi tarafımdan okunmuş ve kabul edilmiştir.

.. / .. / 20..Danışman

…………………………..

1302080054 numaralı Rıdvan Örsvuran’ın Bitirme Ödevi Sınavı tarafımızdan yapılmış ve başarılı bulunmuştur.

SINAV JÜRİSİ

Ünvanı, Adı ve Soyadı İmza

1. Prof. Dr. Ali Osman ÖNCEL ………………………..

2. Prof. Dr. Murat Bayrak ………………………..

3. Yard. Doç. Dr. Nihan Sezgin ………………………..

ÖNSÖZ Bu projenin hazırlanmasında yardımcı olan danışman hocam Prof. Dr. Ali Osman ÖNCEL'e ve lisans eğitimimin boyunca bana ders veren bütün hocalarıma teşekkür ederim.

Ayrıca her zaman yanımda olan ve destek veren aileme, arkadaşlarıma saygı ve sevgilerimi sunarım.

Haziran, 2013 Rıdvan ÖRSVURAN

i

İÇİNDEKİLERÖNSÖZ ............................................................................................................................I

İÇİNDEKİLER .............................................................................................................II

ŞEKİL LİSTESİ.......................................................................................................... III

TABLO LİSTESİ .........................................................................................................IV

ÖZET ..............................................................................................................................V

1. GİRİŞ ..........................................................................................................................11.1 FRAKTALIN TARİHÇESİ....................................................................................................11.2 TERİMLER...........................................................................................................................31.3 ÖZ-BENZER (SELF-SİMİLAR) VE ÖZ-EĞİLİMLİ (SELF-AFFİNE) FRAKTALLAR.....4

2. GENEL BİLGİLER....................................................................................................62.1 FRAKTAL ANALİZ..............................................................................................................6

3. YÖNTEM VE UYGULAMALAR ............................................................................93.1 YAZILAN PROGRAMIN TEST EDILMESI........................................................................93.2 TOPOĞRAFYANIN FRAKTAL ANALİZİ.........................................................................12

4. BULGULAR .............................................................................................................154.1 DİKEY KESİTLERİN FRAKTAL BOYUTLARI...............................................................154.2 YATAY KESİTLERİN FRAKTAL BOYUTLARI...............................................................184.3 FRAKTAL BOYUTUN 2 BOYUTLU OLARAK HARİTALANDIRILMASI...................204.4 FRAKTAL BOYUTLAR İLE TOPOĞRAFYANIN KARŞILAŞTIRILMASI....................224.5 FRAKTAL BOYUTLARIN DEPREM EPİSANTIRLARI İLE İLİŞKİSİ...........................24

5. SONUÇ VE TARTIŞMA.........................................................................................26

6. KAYNAKLAR ..........................................................................................................27

EKLER ..........................................................................................................................29

ÖZGEÇMİŞ ..................................................................................................................35

ii

ŞEKİL LİSTESİ ŞEKİL 1.1: ÜÇLÜ CANTOR SERİSİ (7 İTERASYON İLE).....................................................1ŞEKİL 1.2: SİERPİNSKİ ÜÇGENİ.............................................................................................2ŞEKİL 1.3: SİERPİNSKİ HALISI...............................................................................................2ŞEKİL 1.4: LEVY C EĞRİSİ (İLK 8 İTREASYON) .................................................................2ŞEKİL 1.5: MANDELBROT SETİ ............................................................................................2ŞEKİL 1.6: GELENEKSEL GEOMETRİK BOYUT VE ÖLÇEKLENDİRME .........................3ŞEKİL 1.7: KOCH KAR TANESİNİN İLK 4 İTERASYONU (YAKLAŞIK BOYUT:1.2619) .4ŞEKİL 2.1: PÜRÜZLÜLÜK UZUNLUĞU ................................................................................7ŞEKİL 2.2: KUTU SAYMA .......................................................................................................8ŞEKIL 3.1: SİSMIK YANSIMA SONUCU BULUNAN TABAKALAR..................................10ŞEKİL 3.2: WILSON VE DİĞERLERİNİN HESAPLADIĞI FRAKTAL BOYUTLAR..........10ŞEKİL 3.3: DİJİTLEME SONUCU ELDE EDİLEN DERİNLİK DEĞERLERİNİNORİJİNAL VERİ ÜZERİNDE KIRMIZI İLE GÖSTERİMİ.....................................................10ŞEKİL 3.4: HESAPLANAN VE VERİLEN FRAKTAL BOYUTLARINKARŞILAŞTIRILMASI............................................................................................................10ŞEKİL 3.5:FRAKTAL BOYUT HESAPLAYAN KOD PARÇASI............................................11ŞEKİL 3.6:SURFER'DA ÇİZİLEN VAN VE CİVARININ YÜKSELTİ HARİTASI.................12ŞEKİL 3.7:DEPREM SONRASI ARTÇI ETKİNLİĞİ..............................................................13ŞEKİL 3.8:ALINAN KESİTLER..............................................................................................13ŞEKİL 4.1:DİKEY KESİTLERİN GRAFİĞİ............................................................................15ŞEKİL 4.2:DİKEY KESİTLERİN FRAKTAL BOYUTLARI ..................................................16ŞEKİL 4.3:YATAY KESİTLERİN GRAFİĞİ...........................................................................18ŞEKİL 4.4:YATAY KESİTLERİN FRAKTAL BOYUTLARI...................................................19ŞEKİL 4.5:DİKEY PROFİLLERLE HAZIRLANAN 2B FRAKTAL BOYUT HARİTASI......20ŞEKİL 4.6:YATAY PROFİLLERLE HAZIRLANAN 2B FRAKTAL BOYUT HARİTASI......21ŞEKİL 4.7:HEM YATAY HEM DE DÜŞEY PROFİLLER İLE HAZIRLANMIŞ 2B FRAKTALBOYUT HARİTASI..................................................................................................................21ŞEKİL 4.8:FRAKTAL BOYUT HARİTASININ ÜZERİNDE HESAPLANAN NOKTALARVE PROFİLLERİN GÖSTERİLİŞİ...........................................................................................22ŞEKİL 4.9:KESİT ALINAN BÖLGENİN 3 BOYUTLU TOPOĞRAFYA HARİTASI............23ŞEKİL 4.10:BULUNAN FRAKTAL BOYUTLARIN 3 BOYUTLU HARİTASI.....................23ŞEKİL 4.11:BÜYÜKLÜKLERİNE GÖRE DEPREMLER VE FRAKTAL BOYUTLARAGÖRE KONUMLARI...............................................................................................................24ŞEKİL 4.12:DERİNLİKLERİNE GÖRE DEPREMLER VE FRAKTAL BOYUTLARAGÖRE KONUMLARI...............................................................................................................25

iii

TABLO LİSTESİTABLO 3.1: BULUNAN VE VERİLEN FRAKTAL BOYUT DEĞERLERİNİNKARŞILAŞTIRILMASI............................................................................................................11TABLO 4.1: HESAPLANAN FRAKTAL BOYUTLAR (DİKEY KESİTLER)........................16TABLO 4.2: HESAPLANAN FRAKTAL BOYUTLAR (YATAY EKSENLER)......................19

iv

ÖZET

Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı bilimin bir çok alanında kendine kullanım alanı bulmuştur. Fraktal Analiz, öklidiyen geometri ile ifade edilemeyecek geometrik yapıların, değişkenlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Jeoloji, Jeofizik gibi doğa bilimleri de bu kavramı gün geçtikçe daha çok kullanmaktadır. Bu çalışma ile 23 Ekim 2011 tarihinde VAN'da meydana gelen depremin oluştuğu bölge ve çevresinin topoğrafyasının fraktal özelliklerini araştırmak için yapılmıştır. Fraktal boyut hesaplanması için Octave/Matlab'da hazırlanan scriptler kullanılmıştır.

İlk aşamada fraktal boyutlar fay düzlemine dik 9, fay düzlemine paralel 10 profil boyunca hesaplanmıştır. Dikey profillerin fraktal boyutları 1.6342 ile 1.7168 değerleri arasında çıkmıştır. Yatay profiller için ise fraktal boyutlar 1.4774 ile 1.7233 arasında değer almıştır. Fraktal boyutların 1'e yaklaştıkça düz çizgiye yaklaştığı göz önüne alınarak daha yüksek fraktal boyutlu profillerin daha karmaşık yapıda oldukları söylenmiştir.

Daha sonra alınan bu kesitler daha küçük parçalara bölünerek fraktal boyutun değişimi 2 boyutlu olarak incelenmiştir. Bu değişim haritalandırıldıktan sonra deprem episantırları ile ilişkileri incelenmiştir. Bu inceleme deprem büyüklüğü ve derinliklere göre ayrı ayrı yapılmıştır. Düşük fraktal boyutlu bölgelerde (ana şok dahil) görece daha büyük depremler görüldüğü gözlenmiştir. Derinlikler konusunda ise derin depremlerin daha yüksek fraktal boyutlu bölgelerde oluştuğu görülmüştür.

v

1

1. GİRİŞ1.1 Fraktal'ın TarihçesiFraktal'ın tarihinde özellikle bilgisayar grafikleri konusunda yapılan teorik çalışmalar etkili oldu. Bu süre zarfında birçok insan fraktal biçimine katkıda bulundu. Pickover'a göre fraktala zemin oluşturan matematik 17. yüzyılda matematikçi ve filozof Leibniz kendini tekrar eden öz-benzerliği (self-similarity) incelerken şekillenmeye başladı. Leibniz notlarında “fraksiyonel üsler” terimini kullandı, ama geometrinin daha bunlardan haberdar olmamasından yakındı. Gerçekten, çeşitli tarihsel kaynaklara göre, bu noktadan sonra birkaç matematikçi bu sorunlarla uğraştı ve bu çalışmalar bazen matematiksel “canavar” adı verilen bu yeni yeni ortaya çıkmaya başlayan fikirlere karşı direniş yüzünden yaygınlaşmadı. Bu yüzden, ancak iki yüzyıl geçtikten sonra 1872'de Karl Weierstrass fraktal diye tanımlanabilecek ilk grafik ve fonksiyonu tanımladı. Bu fonksiyon heryerde sürekli ve hiçbir yerde türevi alınamaz gibi alışmadık özellikler taşıyordu. Fazla geçmeden, 1883'de Georg Cantor, Cantor serisi (Şekil 1) olarak adlandırılan çizginin alt kümesinin örnekleri yayınladı. Bu seri alışık olunmayan özellikler taşıyordu ve şimdi fraktal olarak tanınıyorlar. Ayrıca yüzyılın sonunda Felix Klein ve Henri Poincaré öz-ters (self-inverse) olarak anılacak bir fraktal sınıfı ortaya çıkardılar.

Bir diğer mihenk taşı 1904'de, Helge von Koch, Poincaré'in fikirlerini genişleterek, Weierstrass'ın soyut ve analitik tanımlamasından memnun olmadığı için, benzer bir fonksiyonun el ile çizilmiş resimlerine geometrik bir tanımlama getirdi. Şimdi bu fonksiyona Koch eğrisi adı veriliyor. On yıl sonra 1915'de Wacław Sierpiński ünlü üçgenini, bir yıl sonra halısını oluşturdu (Şekil 2 & 3). 1918 de iki Fransız matematikçi (Pierre Fatou ve Gaston Julia) bağımsız çalışmalarına rağmen neredeyse aynı anda karmaşık sayıların düzlemde gösterilmesinin ve tekrarlı fonksiyonların fraktal davranışlarını açıklayan sonuçlara vardılar. Bu fikirler daha sonra fraktal çalışmalarında işe yarayacak çekici (attractor) ve uzaklaştırıcı (repeller) tanımlarının ortaya çıkmasına yol açtı (Diğer noktaları çeken veya uzaklaştıran noktalar). Bu çalışma sunulduktan kısa bir süre sonra 1918 Mart'ında Felix Hausdorff “boyut” kavramını özellikle fraktal tanımının evrimi için genişletti. Bu sayede serilerin tam sayı olmayan boyutlar ile tanımlanmasının yolu açıldı. 1938'de Lévy C (Resim 4) eğrisini tanımlayarak öz-benzer eğri fikrini Paul Lévy daha da ileri taşıdı.

Şekil 1.1: Üçlü Cantor serisi (7 iterasyon ile) (Cantor, 1883)

2

Birçok araştırmacı modern bilgisayar grafikleri olmadan, elle yapılan çizimlerle kısıtlı olduğunu, bu yüzden keşfedilen fraktal modellerin görsel güzelliklerinin ortaya konamadığını ve potansiyellerinin tam olarak incelenemediğini düşünüyordu. Ama bu 1960'larda öz-benzerleği inceleyen İngiltere sahilinin uzunluğu gibi konuları içeren makaleleri ile Mandelbrot tarafından değiştirildi. Mandelbrot yüzlerce yıllık düşünce ve matematiksel gelişmeyi bir araya getirerek matematiksel tanımlarına dikkati çeken bilgisayar tarafından oluşturulmuş görseller ile sundu. Bu resimler, ünlü Mandelbrot serisi gibi, popüler hayal gücünü etkiledi, (birçoğu kendini tekrar eden yapılardı) ve fraktal kavramının popüler kültürdeki anlamını kazanmasına yol açtılar. Şimdilerde fraktal çalışmalar neredeyse tamamen bilgisayar bazlı yürütülüyor.

Şekil 1.4: Levy C Eğrisi (İlk 8 itreasyon) (Fréchet, Borel & Lévy, 1938) Şekil 1.5: Mandelbrot seti (Mandelbrot,

1983)

Şekil 1.2: Sierpinski Üçgeni (Sierpinski, 1915)

Şekil 1.3: Sierpinski Halısı (Sierpinski, 1916)

3

1.2 TerimlerFraktal, düzgün olmayan ya da parçalara ayrılan ve daha küçük boyutlarda kendini tekrarlayan geometrik şekil olarak tanımlanabilir. (Mandelbrot, 1983)

Fraktal genelde kendi kendini eden, sonsuza kadar küçülen parçalardan oluşur. Fraktallar farklı ölçeklerde tamamen aynı olabileceği gibi sadece yaklaşık olarak da benzeyebilir.

Fraktal boyut, şeklin ölçülen boyuttaki ayrıntı değişimin bir ölçüsünü veren orana verilen isimdir. Aynı zamanda fraktalın içinde bulunduğu uzaydan farklı olarak nasıl büyüyüp küçüldüğünü belirten boşluk doldurma kapasitesi olarak da tanımlanır. Fraktal boyut bulunduğu uzayın boyutundan daha büyüktür ve tam sayı olmak zorunda değildir.(Falconer, 2003)

Şekil 1.6: Geleneksel geometrik boyut ve ölçeklendirme

4

1.3 Öz-benzer (self-similar) ve Öz-eğilimli (self-affine) Fraktallar

Matematikte, öz-benzer nesne bir parçasına yaklaşık olarak ya da tamamen benzer olması şeklinde tanımlanır. Başka bir deyişle, bütün, bir veya daha fazla parçası ile aynı şekle sahiptir. Gündelik hayattaki sahil boyu gibi birçok şey istatiksel olarak öz-benzerdir. Yani birçok ölçekte parçaları aynı istatistik özellikleri gösterir. Öz-benzerlik tipik bir fraktal özelliktir.

Ölçek değişmezliği, öz-benzerliğin herhangi bir büyütme altında bütüne benzeyen daha küçük bir parça olması durumudur. Örnek olarak, Koch kar tanesinin bir kenarı hem simetrik hem de ölçek-değil özellik taşır ve şeklinde bir değişiklik olmadan devamlı olarak 3 kat büyütülebilir.

Öz-eğilimlilik, parçaları x ve y yönünde farklı miktarda büyütülen fraktallara atıf yapar. Bu fraktal nesnelerinin öz-benzerliklerini anlamak için, anizotropik dönüşüm yapılması gerektiğini bize söyler.

Bir eğrinin uzunluğunu r pergel açıklığıyla ölçmek N adım sürüyorsa, uzunluk L= Nr ile verir. Eğer N ile r arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ise eğri D fraktal boyutlu öz-benzer eğridir.

N=Cr

Eğrinin uzunluğu L Nr ya da C r1−D olur ve koordinasyon eksenlerinin dönmesi ile

değişmez. Pergel yürütme ile elde edilen D genellikle pergel boyutu olarak adlandırılır. Öz-benzer fraktalların bu karakteristik özellikleri belli bir ölçekte eğrinin uzunluğunun tahmin edilebilmesini sağlar. Kısalmayı tahmin için pergel metodunun kullanımı yapısal profilin

Şekil 1.7:Koch Kar tanesinin ilk 4 iterasyonu (Yaklaşık boyut:1.2619) (Von Koch, 1904)

(1.1)

5

öz-benzer olduğunu var sayar. Bu varsayım Formül (1.1) 'den elde edilen N ile r arasında yüksek korelasyon var ise yapılabilir. (T. Wilson, 2000)

Fraktal eğriler aynı zaman da öz-eğilimli olarak sınıflandırılabilir. Bir cismin zamanın bir fonksiyonu olarak izlediği yolun veya Dünya'nın manyetik alanının Dünya'nın bir noktasındaki geçici değişimlerinin öz-benzerden çok öz-eğilimli olduğu düşünülür (Turcotte, 1992). Bu tür eğriler için uzunluk anlamsızdır çünkü bağımlı ve bağımsız değişkenler farklı birimlere sahiptir. Klinkenber (1994), ise, bir eğrinin öz-benzer ya da öz-eğilimli olarak sınıflandırmanın araştırmanın amacına göre değişebileceğini söylemiştir. Örnek olarak, Termonia ve Meakin (1986), pergel metodunu polimerik sistemlerde oluşan çatlaklar, kırılmış camdan ve çatlamış çelikten elde edilen deneysel verilerde fraktal boyutu bulmak için kullanmıştır. Öz-benzerlik varsayımı ima edilmiştir. Diğer yandan, deniz dibi topoğrafyası genelde öz-eğilimli olarak sınıflandırılır (Fox, 1989, 1985; Malenverno, 1989;Mareschal, 1989). Topografik kontörler öz-benzer olarak tanımlanırken (Mandelbrot, 1985; Gilbert 1989; Turcotte, 1989, 1992), düşey topoğrafik rölyefler ise öz-eğilimli olarak düşünülebilir (Turcotte, 1992).

6

2. GENEL BİLGİLER

2.1 Fraktal AnalizFraktal geometride, fraktal boyut, D, bir fraktal yapının nasıl görüneceğinin bir ölçüsünü veren istatiksel bir niceliktir. Fraktal boyut bir tam sayı olduğunda Öklidiyen boyuta eşittir. Bir noktanın Öklidiyen boyutu sıfır, doğrunun bir, karenin iki, küpün ise üçtür. Fraktal boyut genelde bir tam sayı değildir. (Öncel & Alptekin, 1995)

Doğrusal karakteristik boyutları rn olan cisimlerin sayısı ( N n ) ile karakteristik boyutları arasında

Nn=C /rnD

şeklinde bir ilişki vardır. C bir orantı sabitidir. Fraktal boyut D'nin belirlenebilmesi için (2) bağıntısı yazılabilir.

D=ln (N n+1/ N n)ln(rn/r n+1)

2.1.1 Fraktal Analiz Yöntemleri

a) Pürüzlülük Uzunluğu (Roughness-Length)

Malinverno (1990), Brown'un çalışmalarını esas alarak ölçekle değişmez profiller için fraktal analiz yöntemini tanımlamıştır. Ölçekle değişmez değişken σ ~ τH ilişkisi ile tanımlanır. Burada σ standart sapma ve τ hesaplanan standart sapmanın pencere uzunluğudur. H ise Hurst kuvvetidir ve D=2−H olarak ifade edilir.

Yukarıdaki ilişki bu tip serilerin,bağımlı ve bağımsız değişkenlerin ölçeklendirme ile değişmediğini söyler. Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin birbirinden farklı birimlerde olduğu zaman değişkenlerin genelde öz-eğilimli olduğu düşünülür. Örnek olarak gravite anomalilerin uzaysal değişimleri verilebilir. Eğer fraktal öz-benzer ise uzunluğun küçük bir bölümündeki değişiklik yada süre bütün profilin 1/ τ oranında küçültülmüş haline eşdeğerdir. Fakat, değişken bir öz-eğilimli fraktal ise τ uzunluktaki bağımlı değişkeni

1/ τ oranında küçültülürse bu oran, bağımsız değişkene 1/ τH oranında eşlik

(2.1)

(2.2)

7

ettirilmelidir. Bu küçük ölçekteki değişimlerin büyük ölçekteki etkisini göstermek için gereklidir. (T. H. Wilson, Dominic, & Halverson, 1997)

Malinverno (1990) yukarıdaki yaklaşımı kullanarak profil pürüzlülüğünü tanımlamak için kullanmıştır ve standart sapmadan ( σ ) karekök ortalama pürüzlülük olarak bahseder.

b) Pergel Yürütme (Compass walk)

Pergel boyutu, N profilin katedilmesi için gerekli adım sayısı, r adım uzunluğu ve D fraktal boyu olmak üzere N=Cr−D ilişkisinden türetilmiştir. Bu ilişki Mandelbrot tarafından Richardson (1961) gözlemleri genişletilerek ortaya konulmuştur. (T. H. Wilson et al., 1997)

Yukarıdaki eşitliğe bakılırsa fraktal profillerin uzunluklarının P (Nr )=C r(1− D) formülü ile

bulunabileceği gözüküyor. Fraktal olmayan profillerde D = 1 ve P = C (profil uzunluğu adım büyüklüğüne bakılmadan sabit kalıyor). Ancak, fraktal olmayan eğrilerde dahi pergel aralığı azaldıkça profil uzunluğunda yükselmeler görülebiliyor. Bu özellikle adım büyüklüğünün eğrideki anormalliklerin boyutundan daha büyük olması durumunda gerçekleşiyor. Bu yüzden, pratikte, büyük pusula aralığı kullanılarak ölçülen uzunluklar (P) ya da atılan adım sayıları (N) fraktal boyu (D)'nin hesaplanmasında kullanılmaz. (T. H. Wilson et al., 1997)

Şekil 2.1: Pürüzlülük Uzunluğu (Kulatilake & Um, 1999)

8

c) Kutu Sayma (Box counting)

Kutu sayma nicelik bakımından pusula yürüyüşü ile aynı temele dayanır. Kutu sayma için N tutulan kutu sayısını, r kutu kenar uzunluğunu gösterir. Kırık ve aktif fayların fraktal analizi için kutu sayma metodu kullanılır. (T. H. Wilson et al., 1997)

Şekil 2.2: Kutu sayma (Lei & Kusunose, 1999)

9

3. YÖNTEM VE UYGULAMALAR

3.1 Yazılan Programın Test Edilmesi

Bu çalışmayı yapmak için hazırlanan Octave/Matlab diliyle yazılan yardımcı programların doğru çalışıp çalışmadığını test etmek amacıyla, daha önce yapılan bir çalışmanın verileri kullanılmıştır. Bu veriler vasıtasıyla hesaplanan fraktal boyutlar çalışmada verilen sonuçlar ile karşılaştırılmıştır.

Bu amaçla 1997 yılında Wilson ve diğerleri tarafından yayınlanan ”Saha ve Sismik Data Arasındaki Fraktal İlişkiler” adlı yayındaki veriler kullanılmıştır. Bu çalışmada Appalachian Platosunda yapılan sismik çalışma sonucu belirlenen tabakaların fraktal boyutları verilmiştir.

Şekil (1)'deki veriden fraktal boyutları verilen tabakalar (Basement(Zemin), Rutledge, Trenton, Rose Hill, Onondaga, Huron) Surfer programı yardımı ile dijitlenmiştir. Dijitleme işlemleri yapıldıktan sonra şekilde gözüken ölçek değerleri de kaydedilip hesaba katılmıştır. Elde edilen değerler Şekil (3)'de orijinal değerlerin üstünde kırmızı olarak gösterilmiştir.

Orijinal çalışmada verilen fraktal boyutlar Şekil (2)'de görülmektedir. Aşağıda anlatılan yöntemle fraktal boyutlar hesaplanmıştır. Bu hesaplamalar sonucu elde edilen fraktal boyutlar ve orijinal çalışmada verilen fraktal boyutlar ile karşılaştırılması Şekil (4)'te grafik olarak gösterilmiştir.

Ayrıca verilen değerlerden fay yapısı barındıran zemin tabakasının fraktal boyutunun 1.1 gibi 1'e yakın olarak çıkması not edilmiştir. Bu özellik fay sistemlerinin araştırılması ve diğer sistemlere göre yerlerinin bulunması amacıyla yapılan araştırmalarda önemli olabilir.

10

Şekil 3.1:Sismik Yansına sonucu bulunan derinliğe çevrilip, birbirlerine göre ötelenmiş, isimlendirilmiş tabakalar (T. H. Wilson et al., 1997)

Şekil 3.2: Wilson ve diğerlerinin hesapladığı fraktal boyutlar (T. H. Wilson et al., 1997)

Şekil 3.3: Dijitleme sonucu elde edilen derinlik değerlerinin orijinal veri üzerinde kırmızı ile gösterimi

Şekil 3.4: Hesaplanan ve verilen fraktal boyutların karşılaştırılması (Kırmızı verilen, mavi hesaplanan değerler)

11

3.1.1 Fraktal Boyutların Bulunması

Derinlik değerlerini Surfer'da dijitlendikten sonra bln dosyası olarak kaydedilmiştir. Bu dosya daha sonra aşağıdaki kod yardımı ile Matlab içine aktarılmıştır.

İlk satırda kod trentonSP.bln olarak kaydedilen dosyayı okuyor. Daha sonra x ve y değerlerini tanımlıyor. Burada ikinci satırdan başlanmasının nedeni bln dosyalarının ilk satırlarında nokta sayısını belirten bir başlık olmasıdır. Plot, text, hold komutları ise bulunan değerlerin grafiğini çizmek için kullanılan komutlardır.

Daha sonra multiple_roughness_dimension komutu ile birçok pencere boyutu kullanılarak bunlardan elde edilen standart sapma (T3) ve pencere boyutları (H3) elde ediliyor. Orada komuta verilen 200, kaç farklı pencere boyutu istediğimizi söylüyor. Bu değerleri en iyi temsil eden doğruyu bulmak için en küçük kareler yöntemini kullanan fit_line komutu kullanılıyor. Bu komut ve diğerlerinin içeriği EK-A'da verilmiştir. fit_line komutu a0, a1 ve karekök hata değerlerini döndürüyor. Buradaki a0 ve a1 değerleri y=a0+a1.x doğru denkleminin katsayılarıdır. a1 yani eğim bize Hurst Kuvvetini veriyor. Fraktal boyutu bulmak için ise D=2−H formülünü kullanıyoruz. İşte bu şekilde elde edilen fraktal boyutların grafiği aşağıdaki gibidir.

Tablo 3.1: Bulunan ve verilen fraktal boyut değerlerinin karşılaştırılması

Basement(Zemin)

Rutledge Trenton Rose Hill Onondaga Huron

Verilen Değerler

1.1100 1.2600 1.2700 1.2800 1.2700 1.4000

HesaplananDeğerler

1.0893 1.2815 1.2775 1.3094 1.2889 1.4840

Şekil 3.5:Fraktal Boyut Hesaplayan kod parçası

12

Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi yazılan program tarafından hesaplanan fraktal boyutlar ve verilen fraktal boyutlar birbirlerine yakındır. Hata oranlarına dijitleme aşamasının da etki ettiği göz önüne alınmalıdır. Bu sonuç ile yazılan programın çalışmaya uygun olduğu karar verilmiştir. Çalışma boyunca yazılan bu programlar kullanılacaktır.

3.2 Topoğrafyanın Fraktal Analizi

Bu çalışmada Van bölgesinin topoğrafyasının pürüzlülük uzunluğu yöntemi kullanılarak fraktal boyutunun tayin edilmesi amaçlanmaktadır.

Van Bölgesinin topoğrafya verisi NASA ve NIMA tarafından oluşturulan SRTM30 verileri yardımıyla elde edilmiştir. SRTM30, uydular tarafından sağlanan dijital yükselti veri setine verilen isimdir. 60° kuzey enlemi ve 56° güney enlemi arasındaki bölgeleri içerir. Veri Kaliforniya San Diego Üniversitesi'nin web arayüzden1 sadece Van bölgesi içerecek şekilde indirilmiştir.

İndirilen veri boylam, enlem ve yükselti verilerini içeren ASCII text formatındadır. Bu dosya Surfer programı içine aktarılarak kontör haritası çizdirilmiş ve kesit alınacak bölgeler belirlenmiştir.

Bu haritadan 23 Ekim 2011'de olan 7.2 büyüklüğündeki VAN depremi ve artçılarının

1 http://topex.ucsd.edu/cgi-bin/get_srtm30.cgi

Şekil 3.6:Surfer'da çizilen Van ve civarının yükselti haritası

13

olduğu bölge boyunca 9 dikey, 10 yatay kesit alınmıştır. Fay düzlemine dikey alınanlar D ön eki, yatay alınanlar ise Y ön eki ile adlandırılmıştır. Kesitler Şekil (3)'de gösterilmiştir.

Şekil 3.7:Deprem sonrası artçı etkinliği (Kandilli Rasathanesinden alınan 23.10.2011-23.11.2011 arası depremler)

Şekil 3.8:Alınan Kesitler

14

Bu kesitler alındıktan sonra değerleri pürüzlülük yöntemi kullanılarak fraktal boyutlar hesaplanmıştır. Pürüzlülük uzunluğunun esası Formül (1)'e dayanmaktadır.

σ=τH

Bu formülde σ Yükseklik değerlerinin standart sapmasını, τ pencere büyüklüğünü, H Hurst kuvvetini gösterir. Fraktal boyut D,

D=2−H

formülü yardımı ile bulunur.

Profil uzunluğunu, veri enlem ve boylam bazlı olduğundan ayrıca bir formülle hesaplamak gerekmektedir. Bunun için başlangıç enlemine a1, boylamına b1; bitiş enlemine a2, boylamına b2 ve Yer'in yeri çapı ortalama 6371 km olarak alınırsa profil uzunluğu aşağıdaki formül ile hesaplanabilir.

acos(cos(a1)*cos(b1)*cos(a2)*cos(b2) + cos(a1)*sin(b1)*cos(a2)*sin(b2) + sin(a1)*sin(a2)) * 6371

Standart sapma da hesaplandıktan sonra

H=log(σ)log(τ)

formülü ile H hesaplabilir. Daha sonra fraktal boyut Formül (2) kullanılarak bulunabilir. Bu hesaplamaları otomatikleştirmek amacı ile Octave/Matlab dili kullanılarak yazılan scriptler Ek-A'da verilmiştir.

Bu yazılan scriptler SRTM_30 verisini okuyup bir enlem, boylam ve yükseklik verilerini hafızasına kaydediyor. Alınacak kesitlerin başlangıç ve bitiş noktaları bln dosyasında bulunuyor. Bu bln dosyası Surfer programının digitize özelliği kullanılarak oluşturuluyor. Program bln dosyasını okuyup ilk önce performansı arttırmak amacıyla harita verisini kesitler için yeterli olacak şekildeki bölümünü alınıyor. Matlab yardımıyla bu iki nokta arasındaki ara değerler hesaplanıyor. Böylece kesitler alınmış oluyor. Daha sonra yukarıda verilen formüller yardımı ile fraktal boyutlar hesaplanıyor.

(3.1)

(3.2)

(3.4)

(3.3)

15

4. BULGULAR4. 1 Dikey Kesitlerin Fraktal Boyutları

Alınan kesitlerden D fraktal boyutu slice_data fonksiyonu yardımı ile bulunmaktadır. Kullanımı aşağıdaki gibidir:

[D, tlat, tlon, telev, T, S, error] = slice_data(lats, longs, elevs, bln_file);

Şekil 4.1:Dikey kesitlerin grafiği

16

Fonksiyona enlem, boylam, yükseklik verisi ve alınacak kesitin uç noktalarını barındıran bln dosyasının ismi verilir. Bu fonksiyonda sırasıyla fraktal boyut, profil üzerindeki enlem, boylam, yükseklik verileri, standart sapmalar, pencere boyutları, hata oranını geri vermektedir.

Bulunan fraktal boyutlar tablo ve grafik olarak aşağıda verilmiştir.

Tablo 4.1: Hesaplanan Fraktal boyutlar (dikey kesitler)

DA DB DC DD DE DF DG DH DID 1.6408 1.6364 1.6890 1.6493 1.6885 1.6627 1.6342 1.6206 1.7168

Görüldüğü gibi fraktal boyut iki profil boyunca (DA, DB) 1.64 civarı çıkmıştır. Daha sonra yükselme göstererek (DC) 1.6890 değerini almıştır. Buradan sonra tekrar düşüş göstererek 1.6493 seviyesine inmektedir. Sonraki profilde (DE) 1.6885 değerine yükselmiştir. Bu noktadan sonra 4 profil boyunca yaklaşık olarak doğrusal bir iniş eğilimi göstermektedir ve

Şekil 4.2:Dikey kesitlerin fraktal boyutları (DA kesitinin konumu 0 alınmıştır. Diğer kesitler için konumlar DA kesitine olan uzaklıklarıdır.)

17

fraktal değer 1.6206 (DH) değerine kadar inmektedir. Bu dört profil yatay olarak yaklaşık 12 km alan bir taramaktadır. Bu noktadan sonra ise fraktal boyut aniden yükselip alınan profillerdeki en yüksek değeri (1.7168) almaktadır. Fraktal boyutun yükselmesi ölçek küçüldükçe görülen değişimin daha da karmaşıklaşması anlamına gelmektedir. Bu durumda dikey profillerin en karmaşık yapıda olanı DI en az karmaşık olanı ise DH olduğu söylenebilir.

18

4.2 Yatay Kesitlerin Fraktal Boyutları

Şekil 4.3:Yatay kesitlerin grafiği

19

Tablo 4.2: Hesaplanan Fraktal boyutlar (yatay eksenler)

YA YB YC YD YE YF YG YH YI YJD 1.6090 1.5686 1.4774 1.5108 1.6730 1.7233 1.6386 1.6137 1.5580 1.5804

İlk yatay kesitin (YA) fraktal boyutu 1.6090 olarak hesaplanmıştır. Fraktal boyut ilk üç profil boyunca düşme eğilimdedir. 1.4774 (YC) değerine kadar inmiştir. Bu profilden sonra fraktal boyut yükselmektedir. Bu yükselme eğilimi üç profil (yaklaşık 1 km) sürmektedir. YF profilinde fraktal boyut 1.7233 değerini almaktadır. Daha sonra fraktal boyut inişe geçmektedir. Bu iniş 3 profil (yaklaşık 18 km) boyunca gerçekleşmektedir ve değer 1.5580'e inmektedir. Son profilde değer ufak bir artış göstererek 1.5804 olmaktadır. Yatay profiller için en karmaşık yapıda olan profil YF en az karmaşık olan ise YD olarak belirlenmiştir.

Şekil 4.4:Yatay kesitlerin fraktal boyutları (YA kesitinin konumu 0 alınmıştır. Diğer kesitler için konumlar YA kesitine olan uzaklıklarıdır.)

20

4.3 Fraktal Boyutun 2 Boyutlu Olarak HaritalandırılmasıFraktal boyutun arazi boyunca nasıl değiştiğini gözlemleyebilmek için 2 boyutlu haritalandırma yapılabilir. Bu değerlerin hesaplanabilmesi için alınan profiller eşit parçalara bölünmüştür. Bu parçalara ait fraktal boyutlar o parçanın orta noktasına atanıp haritalanma yapılmıştır.

Bu işlemleri yapmak için slice_data2D fonksiyonu kullanılmıştır. Bu fonksiyon aşağıdaki gibi kullanılır.

[DS, LS, tlat, tlon, telev] = slice_data2D(lats, longs, elevs, bln_file);

Bu fonksiyona da aynı slice_data fonksiyonu gibi enlemleri, boylamları, yükseklikleri ve profili belirten bln dosyasının adını alır. Sonuç olarak parçaların fraktal boyutları, orta noktaları ve profilin enlem, boylam ve yükseklik değerlerini döndürür. Profilin ne kadar parçaya bölüneceği bu fonksiyonun içinde ayarlanan w_len tarafından belirlenir. Profil üzerinde 60+1 nokta alınırsa ve w_len 5'e ayarlanırsa 12 parça oluşacaktır.

Şekil 4.5:Dikey profillerle hazırlanan 2B fraktal boyut haritası

21

Şekil 4.6:Yatay profillerle hazırlanan 2B fraktal boyut haritası

Şekil 4.7:Hem yatay hem de düşey profiller ile hazırlanmış 2B Fraktal Boyut haritası

22

4.4 Fraktal Boyutlar ile Topoğrafyanın Karşılaştırılması

Fraktal boyut ile topoğrafyanın arasındaki ilişkiyi göstermek amacıyla iki verinin de 3 boyutlu görüntüsü çizilmiştir. Van Gölü ve 38.6ºK-38.8ºK enlemleri arası 43.3ºD-43.59ºD boylamları arasındaki düzlük bölgelerde görülebilen yüksek fraktal boyutların bu noktalarda veri olmaması ve bu yüzden Surfer programının orada doğru değer veremeyeceği düşünülmelidir.

Şekil 4.8:Fraktal Boyut Haritasının üzerinde hesaplanan noktalar ve profillerin gösterilişi

23

Şekil 4.9:Kesit alınan bölgenin 3 boyutlu topografya haritası

Şekil 4.10:Bulunan fraktal boyutların 3 boyutlu haritası

24

4.5 Fraktal Boyutların Deprem Episantırları ile İlişkisi

Bu bölümde hazırlanan 2 boyutlu fraktal boyut haritası ile deprem episantırlarının arasında bir ilişki olup olmadığı incelenecektir. Bu amaçla 23 Ekim Van Depremi sonrası oluşan 3 günlük deprem etkinliği verisi kullanılmıştır. Veri büyüklüklerine ve derinliklerine göre iki ayrı şekilde haritalandırılmıştır.

Büyüklüğü 7.2 olan (Ana şok) deprem fraktal boyutun düşük olduğu yerde meydana gelmiştir. Artçı şokların bir kısmı A bölgesinde (yine düşük fraktal boyutlu) meydana gelmiştir. Düşük fraktal boyutlu değerlerin hem büyük gerilmenin boşaldığı (B bölgesi) hem de gerilmenin göç ettiği (A) bölgesinde meydana geldiği görülmektedir.

Şekil 4.11:Büyüklüklerine göre depremler ve fraktal boyutlara göre konumları (Van depremi sonrası 3 günlük veri)

25

Ne derinlik ne de büyüklükle fraktal boyutun direk bir ilişki görülemese de kapanım olan yerlerde depremlerin çokluğu dikkat çekmektedir. Fraktal boyut düştükçe deprem sıklığı artıyor gibi gözükmektedir.

Şekil 4.12:Derinliklerine göre depremler ve fraktal boyutlara göre konumları (Van depremi sonrası 3 günlük veri)

26

5. SONUÇ VE TARTIŞMA

Bu çalışma kapsamında fraktal boyutu hesaplamak için kullanılabilecek bir araç seti yazılmıştır. Yapılan testlerle bu araç setinin fraktal boyutu doğru hesaplama kabiliyeti olduğu sonucuna varılmıştır.

Van bölgesinin ilk önce profil bazında daha sonra ise 2 boyutlu düzlemdeki değişimi incelenmiştir. Daha sonra bu harita üzerine 23 Ekim 2012 depremi ve artçılarının (3 günlük) episantırları oturtularak aralarında bir korelasyon olup olmadığı sorgulanmıştır. Fraktal boyut ile deprem büyüklüğü ya da deprem derinliğinin direk bir ilişkisi olmadığı görülmüştür. Fraktal boyut kapanımları etrafındaki deprem etkinliğinin diğer bölgelere nazaran daha çok olduğu gözlemlenmiştir. Fakat bu konuda daha kesin konuşmak için daha fazla araştırmaya ihtiyaç duyulmaktadır.

Bundan sonra yapılabilecek çalışmalarda yer altı tabakaları ile yüzey topoğrafyasının fraktal modellerinin karşılaştırılması yapılabilir. Bu iki veri arasındaki korelasyon incelenip bu ilişkilerin yerin hangi tabakalarına kadar devam ettiği incelenebilir. Bu incelemeler farklı bölgelerde yapılarak bölgeler arası farklılıklar incelenebilir. Uydu verisinden daha hassas topoğrafya verisi kullanılarak fraktal boyutun değişimi daha hassas biçimde tayin edilebilir ve deprem episantırları gibi verilerle ilişki daha kesin bir biçimde tayin edilebilir.

27

6. KAYNAKLAR

Cantor, G., 1883, Foundations of a general theory of manifolds

Falconer, K., 2003, Fractal Geometry. New York: Wiley. p. 308. ISBN 978-0-470-84862-3.

Edgar, Gerald, 2004,Classics on Fractals. Boulder, CO: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.

Fox, C., 1985, Description, analysis, and prediction of sea-floor roughness using spectral models:Naval Oceanographic Office Technical Report 279, Bay St. Louis, MO, 218 p.

Fox, C., 1989, Empirically derived relationships between fractal dimension and power law form frequency spectra: Pure and Applied Geophysics, v. 131, p. 211–239.

Fréchet, M., Borel, É., & Lévy, P., 1938, Méthode des fonctions arbitraires: théorie des événements en chaîne dans le cas d'un nombre fini d'états possibles. Paris: Gauthier-Villars.

Gordon, Nigel, 2000, Introducing fractal geometry. Duxford, UK: Icon. p. 71. ISBN 978-1-84046-123-7

Klinkenberg, B., 1994, Are viewof methods used to determine the fractal dimension of linear features: Math. Geology, v. 26, no. 1, p. 23–46.

Kulatilake, P. H. S. ., & Um, J., 1999, Requirements for accurate quantification of self-affine roughness using the roughness–length method. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 36(1), 5–18. doi:10.1016/S0148-9062(98)00170-3

Lei, X., & Kusunose, K., 1999, Fractal structure and characteristic scale in the distributions of earthquake epicentres, active faults and rivers in Japan. Geophysical Journal International, 139(3), 754–762. doi:10.1046/j.1365-246x.1999.00977.x

Malenverno, A., 1989, Testing linear models of sea-floor topography: Pure and Applied Geophysics, v. 131, p. 139–155.

Mandelbrot, B.B., 1983, The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5.

Mandelbrot, B. B., 1985, Self-affine fractals and fractal dimension: Physica Scripta, v. 32, p. 257–260.

Mandelbrot, B. B., and van Ness, J., 1968, Fractional Brownian motions, fractional noises and Applications: SIAM Review, v. 10, no. 7, p. 422–437.

Mareschal, J., 1989, Fractal reconstruction of sea-floor topography: Pure and Applied Geophysics, v. 131, p. 197–210.

28

Pickover, Clifford A. 2009. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics.

Russ, John C. 1994. Fractal surfaces 1. Springer. p. 1. ISBN 978-0-306-44702-0.

Sierpinski, M., 1915, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification. Compte Rendus hebdomadaires des s\\'eance de l\'Acad\\'emie des Science de Paris, 160, 302-305.

Sierpiński, W., 1916, "Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée". C. r. hebd. Seanc. Acad. Sci., Paris 162: 629–632. ISSN 0001-4036. JFM 46.0295.02.

Termonia, Y., and P. Meakin, 1986, Formation of fractal cracks in a kinetic fracture model: Nature, v. 320, p. 429–431.

Trochet, Holly 2009, A History of Fractal Geometry. MacTutor History of Mathematics.

Turcotte, D. L., 1992, Fractals and chaos in geology and geophysics: Cambridge University Press, Cambridge, 221 p.

Turcotte, D. L., 1997, Fractals and chaos in geology and geophysics, 2nd ed.: Cambridge University Press, Cambridge, 398 p.

Vicsek, Tamás, 1992, Fractal growth phenomena.,Singapore/New Jersey: World Scientific, pp. 31; 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.

Von Koch, H., 1904, Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire. Arkiv för Matematik, 1, 681-704.

Wilson, T. , 2000, Some distinctions between self-similar and self-affine estimates of fractal dimension with case history, Mathematical geology, 32(3), 319–335.

Wilson, T. H., Dominic, J., & Halverson, J., 1997, Fractal interrelationships in field and seismic data. Final Research Report of Work Conducted on US Department of Energy Contract DE-FG21-95MC32158.

Öncel, A. O., & Alptekin, Ö., 1995, Fraktal Kavramı ve Sismolojideki Uygulamaları. Jeofizik, 9(10), 311–316.

29

EK-AKullanılan script dosyaları% File:slice_map.m% reads data file and bln file returns fractal dimension% Author: Ridvan Örsvuranfunction [D, H] = slice_map(data_file, bln_file) [lats, longs, elevs] = dat2use(data_file); [D, H] = slice_data(lats, longs, elevs, bln_file);end% File:dat2use.m% reads file and returns useful data% Author: Ridvan Örsvuranfunction [lats, longs, elevs] = dat2use(filename) data = load(filename); lats = data(:, 2); longs = data(:, 1); elevs = data(:, 3);end% File:slice_data.m% uses data and bln file returns fractal dimension% Author: Ridvan Örsvuranfunction [D, clats, clongs, celevs, T, H, err] = slice_data(lats, longs, elevs, bln_file) bln_data = read_bln(bln_file); min_lat = min(bln_data(:,2)); max_lat = max(bln_data(:,2)); min_long = min(bln_data(:,1)); max_long = max(bln_data(:,1)); [rlats, rlongs, relevs] = restrict_map(lats, longs, elevs, min_lat, max_lat, min_long, max_long); [glats, glongs, gelevs] = make_grid(rlats, rlongs, relevs); [clats, clongs, celevs] = calc_profile(glats, glongs, gelevs, [bln_data(1, 2) bln_data(1, 1)], [bln_data(2, 2) bln_data(2, 1)], 50); [D, T, H, err] = calc_fractal_dimension(clats, clongs, celevs);end

30

% File:restrict_map.m% creates a smaller map for speed concerns% Author: Ridvan Örsvuranfunction [lats, longs, elevs] = restrict_map(olats, olongs, oelevs, min_lat, max_lat, min_long, max_long) rows = length(olats); lats = []; longs= []; elevs = []; j = 1; for i=1:rows if (olats(i) <= max_lat) && (olats(i) >= min_lat) if (olongs(i) <= max_long) && (olongs(i) >= min_long) lats(j) = olats(i); longs(j) = olongs(i); elevs(j) = oelevs(i); j = j+1; end end endend% File:make_grid.m% returns two dimensional map data% Author: Ridvan Örsvuranfunction [glat, glong, gelev] = make_grid(lat, long, elev) ascending = 0; if lat(1) > lat(2) ascending = 1; end ruler = 1; len = length(lat); for i=1:len-1 if ascending if lat(i+1) < lat(i) ruler = i; break; end else if lat(i+1) < lat(i) ruler = i; break; end end end glat = zeros(ruler, len/ruler); glong = zeros(ruler, len/ruler); gelev = zeros(ruler, len/ruler); for i=1:len glat(i) = lat(i); glong(i) = long(i); gelev(i) = elev(i);

31

end end

% File:calc_profile.m% calcs slice values% Author: Ridvan Örsvuranfunction [xs, ys, p] = calc_profile(lats,longs,elevs, mins, maxs, data_count) xs = linspace(mins(1), maxs(1), data_count); ys = linspace(mins(2), maxs(2), data_count); [XS, YS] = meshgrid(xs,ys); profile_data = griddata(lats, longs, elevs, XS, YS, 'v4'); p = zeros(1, data_count); for i=1:data_count p(i) = profile_data(i,data_count-i+1); endend

% File:calc_fractal_dimension.m% calcs fractal dimension using roughness-length method% Author: Ridvan Örsvuranfunction [D, T, H, err] = calc_fractal_dimension(lats, longs, elevs, twod, w_len) if nargin < 4 twod = 0; w_len = 0; end locations = to_location_list(lats, longs); if twod distances = to_distance_list(lats, longs); D = roughness_length(locations, elevs, w_len, distances); else [T, H] = multiple_roughness_dimension(locations, elevs, 25); [a0, a1, err] = fit_line(H, T); D = 2 - a1; endend

% File:calc_distance.m% calcs distance using latitudes and longtitudes% Author: Ridvan Örsvuranfunction [distance] = calc_distance(s_lat, e_lat, s_long, e_long) d_r = pi/180; sx = s_lat*d_r; ex = e_lat*d_r; sy = s_long*d_r; ey = e_long*d_r; a = cos(sx)*cos(sy)*cos(ex)*cos(ey); b = cos(sx)*sin(sy)*cos(ex)*sin(ey); c = sin(sx)*sin(ex);

32

R = 6371; distance = acos(a+b+c)*R;end

% File:roughness_length.m% calcs fractal dimension using roughness-length method% Author: Ridvan Örsvuranfunction [D, sigmas, wins] = roughness_length(x_values, y_values, w_len, distances) if nargin < 4 distances = 0; end steps = 1:w_len:length(x_values)-w_len+1; H = zeros(1, length(steps)); sigmas = zeros(1, length(steps)); wins = zeros(1, length(steps)); for i=1:length(steps) start = steps(i); fin = steps(i)+w_len-1; sigmas(i) = std(y_values(start:fin)); if sigmas(i) == 1 H(i) = 1; else if distances ~= 0 wins(i) = distances(i); else wins(i) = x_values(fin) - x_values(start); end H(i) = log(sigmas(i))/log(wins(i)); end end D = 2 - H;end

% File:multiple_roughness_length.m% rougness dimension with multiple window lengths% Author: Ridvan Örsvuranfunction [T, H] = multiple_roughness_dimension(x, y, w_count, steps, distances) if nargin < 4 steps = unique(round(logspace(0.5, log10(length(x)), w_count))); distances = 0; end %root mean square rms = @(x)(sqrt(sum(x.^2)/length(x))); T = zeros(1, length(steps)); H = zeros(1, length(steps)); for i=1:length(steps) [dd, ds, dx] = roughness_length(x, y, steps(i), distances);

33

T(i) = log(rms(ds)); H(i) = log(rms(dx)); endend

% File:slice_data2D.m% uses data and bln file returns fractal dimension return data for 2D% Author: Ridvan Örsvuranfunction [D, L, clats, clongs, celevs] = slice_data2D(lats, longs, elevs, bln_file) bln_data = read_bln(bln_file); min_lat = min(bln_data(:,2)); max_lat = max(bln_data(:,2)); min_long = min(bln_data(:,1)); max_long = max(bln_data(:,1)); [rlats, rlongs, relevs] = restrict_map(lats, longs, elevs, min_lat, max_lat, min_long, max_long); [glats, glongs, gelevs] = make_grid(rlats, rlongs, relevs); %[clats, clongs, celevs] = calc_profile(glats, glongs, gelevs, [min_lat min_long], [max_lat max_long], 30); % [clats, clongs, celevs] = calc_profile(glats, glongs, gelevs, [bln_data(1, 2) bln_data(1, 1)], [bln_data(2, 2) bln_data(2, 1)], 61); %locations of fractal dimensions w_len = 2; L = calc_center_locations(clats, clongs, w_len); D = calc_fractal_dimension(clats, clongs, celevs, 1, w_len);end

% File:to_distance_list.m% calc distances between lats & longs and returns them% Author: Ridvan Örsvuranfunction distances = to_distance_list(lats, longs) distances = zeros(1, length(lats) - 1); place = 0; for i=1:length(lats)-1 distances(i) = place + calc_distance(lats(i), lats(i+1), longs(i), longs(i+1))*1000; place = distances(i); endend

% File:to_distance_list.m% turns lats & longs data to location data (in meters)

34

% Author: Ridvan Örsvuranfunction locations = to_location_list(lats, longs) locations = zeros(1, length(lats) - 1); place = 0; locations(1) = 0; for i=1:length(lats)-1 locations(i+1) = place + calc_distance(lats(i), lats(i+1), longs(i), longs(i+1))*1000; place = locations(i+1); endend

35

ÖZGEÇMİŞ1989 yılında İstanbul'da doğdum. Kuleli İlköğretim Okulu (2003), Dede Korkut Anadolu Lisesi'nden (2007) mezun oldum. Halen İstanbul Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Jeofizik Mühendisliği bölümünde okumaktayım.

Bilgisayar programlama ile ilgiliyim. Kitap okumayı, film seyretmeyi severim.

Rıdvan ÖRSVURAN