Trabalho de grupo nº1 de

Matemática

Proposta nº8

2011/2012Profº: Luís Vilhena & Emília SantosTrabalho realizado por: Beatriz Cabrita nº3

Bruno Cardoso nº6

Recuando no tempo…

Na origem da Elipse estiveramenvolvidos variados matemáticos, mas oque mais se destacou foi Apolónio dePerga, um matemático e astrónomo grego(262 a.C. - 190 a.C.).

Apolônio escreveu oito livrosdedicados especialmente ao estudo de umafamília de curvas - cônicas.

As cônicas são curvas que se obtêm intersectandouma superfície cónica com um plano. Desse modo,só pode haver quarto tipos de cortes resultantesdesse processo :

• A Círculo

• A Elipse

• A Parábola

• A Hipérbole

Aplicações da elipse

φ A elipse é frequentemente usada naArquitectura, no Design e naEngenharia.φNos auditórios, nos teatros e nasigrejas são utilizadas porque têmpropriedades que criam condiçõesacústicas especiais.φNo século XVII Johannes Keplerdescobriu que a órbita dos planetas dosistema solar é uma elipse e o sol ocupaum de seus focos.

Mas afinal, o que é uma elipse?

Elipse é o lugar geométrico dos pontosdo plano tais que a soma das distâncias a doispontos fixos (focos) é constante e maior que adistância entre eles.

__ __KA+KB= constante___ ___ HA+BH= constante

Foco

Foco

___E maior que AB

Como obter uma eclipse a partir de duas

circunferências?

geogebra 1.ggb

Barra de Reprodução

EXEMPLOSe quisermos construir uma elipse cuja soma das distâncias aos focos F(-4.0) e F’(4.0) seja 12, podemos fazê-lo através de duas circunferências com centro nos focos. A soma dos seus raios tem de ser igual a 12:(x+4)² + y² = 36 e (x-4)² + y² = 36(x+4)² + y² = 64 e (x-4)² + y² = 16(x+4)² + y² = 9 e (x-4)² + y² = 81…

As intersecções destas circunferências são pontos da elipse.

Componentes da Elipse:Dois Focos (F e F’);

Eixo Maior [AA’];

Eixo Menor [BB’];

Distância Focal ¯¯;

Vértices (A, A’, B ,B’)

FF’

Vértice

Sobre a elipse…

• A distância entre um foco e um dos vértices da elipse é

metade do eixo maior.

Consideremos a seguinte

circunferência:

x² + y² = 16 Como obter uma elipse?

1º Passo: Desenhar rectas verticais que intersectem a circunferência e os respectivos pontos médios.

Curiosidade:

Equação da Elipse

2º Passo: Marcam-se os pontos médios dos pontos marcados anteriormente.

Pontos da Elipse

Podemos construir duas elipses diferentes:

Se o eixo maior for o das abcissas:

Se o eixo maior foi o das ordenadas:

1º Problema

Resolução do problema1º Passo: Constroem-se duas circunferências com centro nos focos da elipse e raio 6 cada uma, porque a soma das distâncias dos focos a um ponto da elipse é 12 e metade é 6. O raio das circunferências tem de ser 6.

2º Passo: Na intersecção das duas circunferências definimos 2 pontos.

Resolução do problema

3º Passo – Constrói-se a elipse sendo que os seus focos são (-4,0) e (4,0) e osseus vértices são as intersecções das circunferências.

Resolução do problema

4º Passo – Sendo o raio das circunferências 6 então, sabemos que a distânciade é igual a 6.

2º Problema

Resolução do problemaTal como mencionámos anteriormente, a distância entre um foco e um dospontos da elipse é metade do eixo maior, assim sendo, como a cordautilizada tinha 12 metros, o eixo maior têm 12 metros.

1º Passo – Divide-se o a figura em 4 partes iguais obtendo 4 rectângulos.

12 m

Resolução do problema

A= 27 m A= 27 m

A= 27 m A= 27 m

Resolução do problema

6 m

6 mL

3º Passo – Sabendo já, a área de cada rectângulo e a largura de cadaum podemos, então, calcular a altura dos rectângulos:

Resolução do problema

12 m

9 m

4º Passo – Podemos concluir que a largura do rectângulo, onde estáinscrita uma elipse, têm 12 metros de largura e 9 metros de altura. Apartir destes dados podemos calcular o perímetro do rectângulo parasaber quantos metros de rede precisa o jardineiro para vedar o canteiro.

P = 12 +12 + 9 + 9

P = 42 metros

Resposta: O jardineiro nãotêm rede suficiente paravedar o canteiro e para quetal aconteça precisa de 42metros.

FIM