TRANSFORMACIONES LINEALES

Definición:

Una transformación lineal es una función que asigna a cada un único

vector de modo que:

a)

b)

Ejemplo 1:

Sea definida como, verifique que la misma es una transformación

lineal.

Sol:

Definamos dos vectores tales que:

Además si , entonces.

Por lo tanto L es un a transformación lineal llamada proyección.

Ejemplo 2.

Sea definida por

Demostrar que la misma es una transformación lineal.

Demostración:

Definamos dos vectores y

Entonces

Por otro lado.

Como las primeras coordenadas de son diferentes, de esta forma

concluimos que L no es una transformación lineal.

Teorema.

Si es una transformación. Entonces

a)

b)

Ejemplo:

Sea una transformación lineal para la cual sabemos que

.

Determinaremos .

Sol.

Como

Tenemos que:

Ejercicio Propuesto.

Sea definida por

Demostrar que L es una transformación lineal, que cumple que

NUCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición:

Si es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en que

aplica hacia 0 se conoce como el núcleo (Kernel o espacio nulo) de , este espacio se denota por

. El conjunto de todos los vectores en que son imágenes bajo de al menos un vector

en , se conoce como recorrido de este conjunto se denota por .

Teorema:

Si es una transformación lineal entonces:

a) El núcleo de es un subespacio vectorial.

b) El recorrido de es un subespacio de

Definición:

Si es una transformación lineal, entonces la dimensión del recorrido de se

conoce como rango de y la dimensión del núcleo se denomina nulidad de .