República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para La Educación

Instituto Universitario “Santiago Mariño”Porlamar- Nueva Esparta

Matematica IV

Realizado Por:

Mariana FernándezV-20294854

Porlamar, 05 de Junio del 2015

Transformada Inversa y Sus Aplicaciones

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Y (s), es decir, Y (s )=G ( s) .Ahora, como L ¿ si pudiéramos devolvernos

obtendríamos la solución Y ( t )que buscamos. Es decir, necesitamos de la

transformada inversa L−1 {Y ¿, para hallar la función Y (t )

y (t )=L−1¿

Entonces definimos la Transformada Inversa de la Siguiente Manera.

Si F ( s )es latransformadade ℒ deuna funcioncontinua f ( t ) , es decir , L¿ es decir L−1 ¿.

Ejemplo:

Calcule

Solución:

Puesto Que

Tenemos que

Observación

Existeun problema potencial al trabajar conla transformada inversa , puede noser unicaEn efecto , es posible que L¿

esto noes tanmalo cmo parece , pues , si f y gsoncontinuas y deorden exponencial en [0 ,+∞ ] yL ¿exponencial en [0 ,+∞ ] y L¿

funciones f y g soncasi iguales ; esto quieredecir , que puedendiferir solo en puntos dediscontinuidad .

Teorema Nº1 (Comportamiento de F(s) en el Infinito)

Sea F: [0 ,+∞ ] → R Una función continúa a trozos y de orden

exponencial en [0 ,+∞ ]entonces

lima→∞

L¿¿

Ejemplos Nº1

Calcule

Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

En fracciones parciales

Teorema Nº2 (De Valor Inicial)

Si L ¿ existe y es igual a f (o) entonces

limt →0

f ( t )= lima→+∞

sF (s )=F (0)

Teorema Nº3 (De Valor Final)

Si L ¿ y el Limite limt →∞

f ( t) existe, entonces

limt→+∞

f ( t )=lims→ 0

s F (s)

Teorema Nº4 (Linealidad de la Transformada inversa)

Sean F y G funciones continuas a trozos y de orden

exponencial en el intervalo [0 ,+∞ ] /L¿ entonces

L−1 ¿

Ahora sí

Ejemplo Nº2

Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solución

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

L { y´−3 y }=L {e2 t . }

L { y }−3 L {y }= 1s−2

sY (s )− y (0 )−3Y ( s)= 1s−2

sY (s )−1−3Y ( s )= 1s−2

Y (s )= s−1(s−2 )(s−3)

Y (s )= −1s−2

+ 2s−3

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar y (t)

L−1 {Y (s)}=−L−1 { 1S−2 }+2 L−1{ 1

s−3 }y (t )=−e2t +e3 t