TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS

Lic. Jackeline Arias RomeroLic. Jackeline Arias Romero

• Identificar los elementos de un triángulo y sus propiedades.

• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos

• Reconocer e Identificar las líneas y puntos notables de un triángulo.

1. Definición2. Elementos primarios

Triángulos

Vértices Lados Ángulos interiores Ángulos exteriores

3. Clasificación de los Triángulos

1. Definición

1. Triángulo

Triángulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colonialesmediante segmentos.

2. Elementos primariosCorresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.En la figura, los vértices son A, B y C.

A B

C

• Vértices:

• Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.

A B

C

ab

cAB = c, BC = a, AC = b

Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.

a + b > cb + c > aa + c > b

Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm.

Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

Ejemplo:

3 + 4 = 7 No se cumple.

4 + 7 > 3 Sí se cumple.3 + 7 > 4 Sí se cumple.

Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.

a - b < cb - c < aa - c < b

Ejemplo:Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm.Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.

8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.

Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

• Ángulos interiores:

A B

C

y

son los ángulos interiores del triángulo ABC.

Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.

Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º

Ejemplos:

Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.

Ejemplo:

A B

C

ab

c

En el triángulo de la figura,

c > a > b

• Ángulos exteriores:

´´

y ´son los ángulos exteriores

del triángulo de la figura.

Son los suplementos de los ángulos interiores.

Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.

´´´

Teorema:Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.’ = + ’ = +

’ = +

Ejemplo:

3. Clasificación de triángulos• Según sus ángulos:-Acutángulo:

-Rectángulo:

-Obtusángulo:

Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos.

Es aquel que tiene un ángulo recto.

Es aquel que tiene un ángulo obtuso.

Ej.:

Ej.:

Ej.:

• Según sus lados:

-Escaleno:

Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos distintos.

Ejemplo:

-Isósceles:Es aquel que tiene sólo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base.

Ejemplo:

(Base)

Nota:

-Equilátero:Es aquel que tiene todos sus lados congruentes. (Base)

En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC. Sus ángulos interiores también son congruentes.

Se dice que el triángulo de la figura, es “isósceles de base AB”, o bien, “isósceles en C”.

4. Líneas y Puntos Notables de los Triángulos

• Altura (h):Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.

Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas (hc , ha, hb).

A B

C

H

A B

C

hc

D

• Mediana (t):Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

tc tc: mediana trazada desde C

Centro de gravedad o Baricentro(G): Punto de intersección de las medianas.El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.

D: Punto medio del lado AB

tc: mediana trazada desde C

D, E y F: Puntos medios.AE = ta

BF = tb

CD = tc

G: Centro de gravedad o BaricentroEjemplo:

En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

A B

C

S

• Mediatriz (S):Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado.En la figura, está representada la mediatriz levantada desde D, punto medio del lado AB.

Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

D, F y G: Puntos medios.E: Circuncentro

• Bisectriz (b):

Es el segmento que divide un ángulo en 2 partes iguales.En la figura, el ACD = DCB =

B

C

DA

bc

Incentro:

Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.Ejemplo:

E: Incentro

4. Generalidades en un triángulo cualquiera

• Área o Superficie (A):

Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo.

Área = Base ∙ Altura2

A =

A B

C

ab

c

hcha hb

2c∙ hca∙ha

2=

2b∙hb =

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo de la figura:

En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la altura que cae sobre su prolongación es CD = 3.

Luego su área es:

A =2

8∙3 = 12

• Perímetro o longitud (P):

Corresponde a la suma de los lados del triángulo.

A B

C

ab

c

P = a + b + c

Ejemplo:

P = 15 + 18 + 22P = 55