Tuyen chon cong thuc toan cap 3 day du nhat

Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970________________________________________________________________________________

1

CAÊN BAÄC HAI

1. A A 2 2. BAAB . (A0, B0 ) 3.BA

BA (A0, B>0)

4. BABA 2 (B0) 5. BABA 2 (A0, B0) 6. BABA 2 (A<0, B0)

7.B

BABA

(B>0) 8. ABBB

A 1 (AB0, B≠0) 9) 2

)(BA

BACBA

C

(A0, A≠B2)

10)BA

BACBA

C

((A0, B0, A≠B) 11)0 A < B BA

BAÛY HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC ÑAÙNG NHÔÙ 2 2 2( ) 2A B A AB B 2 2 2( ) 2A B A AB B 2 2A B A B A B

3 3 2 2 33 3A B A A B AB B 3 3 2 2 33 3A B A A B AB B

33 3 2 2( )( ) 3 ( )A B A B A AB B A B AB A B

3 3 2 2A B A B A AB B

22 2 2A B A B AB

NHÔÙ 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT Ax B

A 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát : ABx .

A = 0 vaø B 0 : phöông trình voâ nghieäm. A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm.( x R )

Ax B

A > 0 : ABx 0 BA x

A

A = 0 vaø B 0 : voâ nghieäm A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm. ( )x R

NHÔÙ 2 : HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT HAI AÅN SOÁ

1/. Daïng :

/// cybxa

cbyax

2/. Caùch giaûi : baabbaba

D ////

; bccbbcbcDx

//

// ; caac

caca

Dy//

//

D 0 : heä coù nghieäm duy nhaát

DD

y y

DD

x x


2

D = 0 vaø Dx 0 Heä voâ nghieäm. D = 0 vaø Dy 0

D = Dx = Dy = 0 : Heä voâ soá nghieäm tuøy thuoäc a, b, c, a/, b/, c/

NHÔÙ 3 : PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

= b2 – 4ac > 0

abx

21

, a

bx22

= 0 Nghieäm keùp a

bxx221

< 0 Voâ nghieäm / = b/ 2 – ac / > 0

abx

//

1

, a

bx//

2

/ = 0 Nghieäm keùp

abxx

/

21

/ < 0 Voâ nghieäm

Chuù yù: a + b + c = 0 : Nghieäm x1 = 1, x2 = ac a – b + c = 0 : Nghieäm x1 = –1, x2 =

ac

.

Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c ( 0)a có 2 4b ac f(x) = 0 có hai nghiệm 0 ;f(x) = 0 có nghiệm kép 0 ; f(x) = 0 vô nghiệm 0

f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu00

aP

f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu 00

aP

f(x) = 0 có hai nghiệm âm

0000

a

SP

f(x) = 0 có hai nghiệm dương

0000

a

SP

f(x) > 000

ax

f(x) 000

ax

f(x) < 000

ax

f(x) 000

ax

f(x) > 0 vô nghiệm f(x) 0 x 00

a

f(x) 0 vô nghiệm f(x) 0 x 00

a

f(x) < 0 vô nghiệm f(x) 0 x 00

a

f(x) 0 vô nghiệm f(x) 0 x 00

a


3

NHÔÙ 4 : DAÁU NHÒ THÖÙC f(x) = ax + b ( a 0)

x – ab

+

f(x) Traùi daáu a 0 cuøng daáu a

NHÔÙ 5 : DAÁU TAM THÖÙC f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) ( Nhôù : TRONG TRAÙI NGOAØI CUØNG)

Neáu Thì

00

a

00

a

f(x) > 0, x

f(x) < 0, x

00

a

00

a

f(x) > 0, x a

b2

f(x) < 0, x a

b2

> 0 x – x1 x2 +f(x) cuøng daáu a 0 traùi daáu a 0 cuøng daáu a

Hoaëc :

f(x) = ax bx c2 (a 0) < 0 a.f(x) > 0, x R

= 0 a.f(x) > 0, x bRa

\2

> 0 a.f(x) > 0, x (–∞ ; x1) (x2 ∞; + )

a.f(x) < 0, x (x1; x2)

NHÔÙ 6 : SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) vaø , laø hai soá thöïc( )

1/. x1 < < x2 af(x) < 0 2/. x2 > x1 >

02

0)(0

Saf 3/. x1 < x2 <

02

0)(0

Saf

4/. x1< < < x2

0)(0)(

afaf

5/. x1< < x2 <

0)(0)(

afaf

6/.

21

21

xxxx

0)()( ff 7/. < x1 < x2 <

2

0)(0)(

0

Safaf

Chuù yù:


4

1/. x1 < 0 < x2 P < 0 2/. x2 > x1 > 0

000

SP 3/. x1 < x2 < 0

000

SP

NHÔÙ 7 : PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN

1/.

K

K

BAB

BA2

20

2/.

)0(0

22

hayBABA

BA KK

g x

f x g xf x g x

2( ) 0

( ) ( )( ) ( )

f x hoaëc g xf x g xf x g x( ) 0 ( ( ) 0)( ) ( )( ) ( )

NHÔÙ 8 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN

1/.

K

K

BABA

BA2

2 00

2/.

K

K

BAB

AB

BA

2

2

0

00

3/. 1212 KK BABA

f xf x g x g x

f x g x2

( ) 0( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

g xf x

f x g x g x

f x g x2

( ) 0( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

NHÔÙ 9 : PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

1/.

0

0

BBA

BBA

BA 2/.

BABA

BA Chuù yù:

0)()(

0)()(

)()(

xxgxf

xxgxf

xgxf

NHÔÙ 10 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

1/.

0B

BABBA 2/.

0

0

0

BA B

A BBA BB

3/. 22 BABA

neáu 0neáu 0

A AA

A A;

2 2 ,A A A


5

NHÔÙ 11 : BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 1/. ÑÒNH NGHÓA : Daïng : A > B, A B , A < B, A B 2/. TÍNH CHAÁT :

a) abba ; b) cacbba

; c) cbcaba ;d)

0,0,

cbcaccbcac

ba

e) dbcadcba

;f) bdacdcba

00

;g)

0;11

0;11

abkhiba

abkhibaba

3/. BÑT Coâ Si : Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a1, a2, a3,......, an

nn

n aaaan

aaaa.......

.......321

321

Hay n

nn n

aaaaaaaa

.......

....... 321321

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra a1 = a2 = a3 = ......... = an.

Cô si cho 2 số không âm: , 0a b : 2a b ab .Dấu “=” xảy ra khi a b . Tính chất: Cho 2 số không âm ,a b .

Nếu a b hằng số thì .a b đạt giá trị lớn nhất khi a b . Nếu .a b hằng số thì ( )a b đạt giá trị nhỏ nhất khi a b .

4/. BÑT Bunhia Coâp ski : Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn laø nhöõng soá töïc khi ñoù:

)....)(....().....( 222

21

222

21

22211 nnnn bbbaaabababa

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,. ...., n 5/. BÑT BecnuLi :

Cho : a > –1, n N.Ta coù : (1 + a)n 1 + na Ñaúng thöùc xaûy ra

10

na

6/. BÑT tam giaùc : BABA .Ñaúng thöùc xaûy ra AB 0.

NHÔÙ 12 : COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC A. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc )

1/. 2 2 1sin x cos x 2/. sinxtanxcosx

3/. cosxcotxsinx

4/. . 1tanx cotx 5/. 22

11 tan xcos x

6/. 22

11 cot xsin x

Ñieàu kieän toàn taïi : tanx laø(x / 2 + k , k Z) cotx laø (x k , k Z) sinx laø – 1 Sinx 1 cosx laø – 1 Cosx 1

Chuù yù : a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc ):


6

7/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb 8/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb 9/. ( ) sin . cos .sin a b a cosb a sinb 10/. ( ) sin . .sin a b a cosb cosa sinb

11/. ( )1 tan .tana tanbtan a b

a tanb

12/. ( )1 .tana tanbtan a b

tana tanb

13/. cot . 1( ) a cotbcot a bcota cotb

14/. cot 1( ) acotbcot a b

cota cotb

C. COÂNG THÖÙC NHAÂN: I. NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)

15/. 2 2sin .sin a a cosa 16/. 2 2 2 22 2 1 1 2cos a cos a sin a cos a sin a

17/. 2

221

tanatan atan a

II. NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)

18/. CosaaCosaCos 343 3 19/. aSinSinaaSin 3433 20/. aTan

aTanTanaaTan 2

3

3133

III. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc)

21/. 2

212 aCosaSin aSinaCos 2221

22/. 2

212 aCosaCos aCosaCos 2221

23/. 4

333 aSinSinaaSin 24/.

4333 aCosCosaaCos

IV. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) vôùi 2xTant

25/. 212

ttSinx

26/. 2

2

11

ttCosx

, 27/. 212

ttTanx

D. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc)

28/. 22

2 bCosb aaCosCosbCosa 29/.

222 baSinbaSinCosbCosa

30/. 22

2 bCosb aaSinSinbSina 31/.

222 baSinbaCosSinbSina

32/. CosaCosb

baSinTanbTana )( 33/.

CosaCosbbaSinTanbTana )(

34/. SinaSinb

baSinCotbCota )( 35/.

SinaSinbbaSinCotbCota )(

E. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc)

36/. )(21 baCosbaCosCosaCosb 37/. )()(

21 baCosbaCosSinaSinb

38/. )()(21 baSinbaSinSinaCosb


7

CHUÙ YÙ:

2

2 2 21 sin 2 sin cos ;1 sin 2 (sin cos ) ;1 sin (sin cos ) ;1 sin sin cos2 2 2 2x x x xx x x x x x x x

2 2 2 21 cos 2 2sin ;1 cos 2 2cos ;1 cos 2cos ;1 cos 2sin

2 2x xx x x x x x

sin cos 2 sin 2 cos ;sin cos 2 sin ;cos sin 2 cos4 4 4 4

x x x x x x x x x x

sin 3 cos 2cos 2sin ; 3 sin cos 2sin 2cos6 3 6 3

x x x x x x x x

F. CUNG LIEÂN KEÁT :

Góc hơn kém Góc hơn kém 2

sin( ) sin sin cos2

cos( ) cos cos sin2

tan( ) tan tan cot2

cot( ) cot cot tan2

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau

cos( ) cos sin( ) sin sin cos2

sin( ) sin cos( ) cos cos sin2

tan( ) tan tan( ) tan tan cot2

cot( ) cot cot( ) cot cot tan2


8

G. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

NHÔÙ 13 : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC A. CÔ BAÛN :

Sinu = Sinv

22

kvukvu

k Z

Cosu = Cosv 2kvu Tanu = Tanv kvu Cotu = Cotv kvu Sinu = 0 ku Sinu = 1 22/ ku Sinu = –1 22/ ku Cosu = 0 ku 2/Cosu = 1 2ku Cosu = – 1 2ku

B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos Daïng: aSinx + bCosx = c (1) ( a2 + b2 0 ). Phöông phaùp :

Caùch 1: Chia hai veá cho 22 ba .Ñaët : Sinba

bCosba

a

2222;

.

(1)22

)(ba

cxSin

(*). (*) Coù nghieäm khi : 122

bac 222 cba .

(*) Voâ nghieäm khi 222 cba

Caùch 2: Kieåm chöùng x = (2k + 1) coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâng?

0 6

4

3

2 2

3 3

4

32

2

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin 0 12

22

32

1 32

22

0 –1 0

cos 1 32

22

12

0 12

22

–1 0 1

tan 0 33

1 3 3 –1 0 0

cot 3 1 33

0 33

–1 0


9

Xeùt x (2k + 1) .Ñaët : 2xTant . Theá 2

2

2 11;

12

ttCosx

ttSinx

.

Vaøo phöông trình (1) t ? x ? C. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:

1/. Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc: Giaû söû a 0 02 cbSinxxaSin ( ñaët 1, tSinxt ) 02 cbCosxxaCos (ñaët 1, tCosxt )

02 cbTanxxaTan ( ñaët kxTanxt 2

, )

02 cbCotxxaCot ( ñaët kxCotxt , )

2/. Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx Daïng: 022 xcCosbSinxCosxxaSin (1)

03223 xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2) Phöông phaùp : Caùch 1: Kieåm x = / 2 + k coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ? Chia hai veá cho Cos2x ( daïng 1), chia Cos3x ( daïng 2) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho

veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx. Caùch 2:

Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaø 22xSinSinxCosx theá vaøo

3/. Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx: Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

Phöông phaùp: Ñaët : 2),4

(2 txSinCosxSinxt

02

1(*)2

ctbat t ( neáu coù) x

Chuù yù: Daïng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi töông töï :

Ñaët : 2),4

(2 txSinCosxSinxt

02

1(*)2

ctbat t ? ( neáu coù) x ?

D. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT : 1/. Toång bình phöông :

A2 + B2 + .+ Z2 = 0 A = B = ......= Z = 0 A 0, B 0,......, Z 0

Ta coù : A + B + .... + Z = 0 A = B = .....= Z = 0 2/. Ñoái laäp :

Giaû söû giaûi phöông trình A = B(*). Neáu ta chöùng minh

KBKA

KBKA

(*)

3/.

klBAkBlA

kBlA

4/. 1,1 BA

11

1BA

AB hay

11

BA

NHÔÙ 14: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAC


10

HB C

A

1.TAM GIAÙC THÖÔØNG ( caùc ñònh lyù)

Haøm soá Cosin bcCosAcba 2222

bc

acbCosA2

222

Haøm soá Sin R

SinCc

SinBb

SinAa 2

RaSinARSinAa

2,2

Haøm soá Tan baba

BATan

BATan

2

2

Caùc chieáu cCosBbCosCa

Trung tuyeán 4

)(2 2222 acbma

Phaân giaùc 2 .

2a

Abc Cosl

b c

Dieän tích

cba chbhahS21

21

21

abSinCacSinBbcSinAS21

21

21

prS

R

abcS4

))()(( cpbpappS

Chuù yù:

2

)(2

)(2

)( CTancpBTanbpATanappSr

SinCc

SinBb

SinAa

SabcR

2224

a, b, c : caïnh tam giaùc. A, B, C: goùc tam giaùc. ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a. ma: Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A. R, r : Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc.

2

cbap Nöõa chu vi tam giaùc.

2.HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG:

ACABBCAH

CHBHAH..

.2

BCBHAB .2 CBCHAC .2 222 ACABBC

222

111ACABAH


11

NHÔÙ 15: MOÄT SOÁ BAØI TOÙAN CAÀN NHÔÙ CHO TAM GIAÙC ABC :

1/. 222

4 Cos CBCosACosSinCSinBSinA

2/. 222

41 CSinBSinASinCosCCosBCosA

3/. TanCTanBTanATanCTanBTanA .. ( tam giaùc ABC khoâng vuoâng)

4/. 2

.2

.2222

Cot CBCotACotCCotBCotACot

5/. 12

.22

.22

.2

Tan ACTanCTanBTanBTanATan

6/. CosCCosBCosACSinBSinASin ..22222 7/. CosCCosBCosACCosBCosACos ..21222

8/. SinCBASin )( ; CosCBACos )( ; 22CCosBASin

;

22CSinBACos

22CCotBATan

9/. 8

33.. SinCSinBSinA 10/. 81.. CosCCosBCosA 11/.

833

2.

2.

2Cos

CBCosACos

12/. 81

2.

2.

2

CSinBSinASin 13/. 43222 CCosBCosACos

14/. 94222 CSinBSinASin 15/. 9222 CTanBTanATan

16/. 12224

3 222 CSinBSinASin 17/.

49

2222 222 Cos CBCosACos

18/. 1222

222 Tan CBTanATan 19/. 9222

222 Cot CBCotACot

20/. 2

33222 CSinBSinASin 21/. 23222 CCosBCosACos

NHÔÙ 16 : HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC 1.a)ÑÒNH NGHÓA 1: Haøm soá )(xfy goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x = a neáu :

1/. )(xf xaùc ñònh taïi ñieåm x = a. 2/. )()(lim afxfax

b)ÑÒNH NGHÓA 2: )(xf lieân tuïc taïi ñieåm x = a )()(lim)(lim afxfxfaxax

2. ÑÒNH LYÙù : Neáu )(xf lieân tuïc treân [a, b] vaø 0)().( bfaf thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c (a, b) sao cho 0)( cf .

NHÔÙ 17 : HAØM SOÁ MUÕ

1/. ÑÒNH NGHÓA : Cho a > 0, a 1 ( coá ñònh). Haøm soá muõ laø haøm soá xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : y = ax ( x R)

2/. TÍNH CHAÁT : a) Haøm soá muõ lieân tuïc treân R. b) y = ax > 0 moïi x R


12

c) a > 1 : Haøm soá ñoàng bieán : 2121 xxaa xx

d) 0 < a < 1 : Haøm soá nghòch bieán: 2121 xxaa xx

3/. ÑOÀ THÒ : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 4.COÂNG THÖÙC:

.1) . ; 2) ; 3)( ) ; 4)( ) . ; 5)a a aa a a a a a ab a ba b b

6) . . ;7)n

n n n nn

a aa b a bbb

. .8) ;m n n k nm m k mn a a a a .

,9) ;10)

,n n n m n m

aa a a

a

11) 0 1a 1na na

12) (**)( )nnm

n mna a a b b a

5.PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: ( ) ( )0 1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x

6.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: ( ) ( )1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x ( ) ( )0 1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x

NHÔÙ 18 : HAØM SOÁ LOGARIT 1/. Ñònh nghóa :

a Với số 0,10 ba . baba log . b) Haøm soá logarit theo cô soá a ( a > 0, a 1 ) cuûa ñoái soá x laø haøm soá ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: y = logax ( vôùi x > 0, a > 0, a 1)

2/. TÍNH CHAÁT VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN VEÀ logarit :

1) log 1 0 ; log 1a a a 2) cbcb aaa loglog).(log 3) cbcb

aaa logloglog

;

4) bb aa log.log 5) 1log logaab b

6) log logaa

b b

6) 1 1log log ;log logna a a ab b b

b n 7) ccb

bc

c abaa

ab loglog.log

loglog

log ;

8) 1logloga

b

ba

9) loga ba b ; 10) log logb bc aa c

11) cbcba

cbcba

aa

aa

0loglog:100loglog:1

3. GIỚI HẠN: 1)1ln(lim;11lim00

xx

xe

x

x

x


13

4/. ÑOÀ THÒ : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 0 x 0 x

4/. PHÖÔNG TRÌNH Logarit : )()()(log)(log xgxfxgxf aa ( f(x) hoaëc g(x) > 0 , 0 < a 1 )

5/. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH Logarit : (*))(log)(log xgxf aa

)()(0)(

(*) 1

xgxfxfa

)()(0)(

(*) 10

xgxfxga

NHÔÙ 19 : ÑAÏO HAØM

I/. ÑÒNH NGHÓA ÑAÏO HAØM : Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x0 ( a, b). Ta noùi f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 neáu

giôùi haïn 0 xkhi

xy toàn taïi.

xxfxxf

xyxf

xx

)()(limlim)( 00

000'

Ñaïo haøm beân traùi :xyxf

x

00

' lim)( ( toàn taïi )

Ñaïo haøm beân phaûi : xyxf

x

00

' lim)( ( toàn taïi )

Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b).y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 (a, b) f ‘(x0+) = f ’(x0

–) II/. QUI TAÉC TÍNH ÑAÏO HAØM :

Giaû söû u = u(x), v = v(x), w = w(x) Laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm, khi ñoù:

1)(u + u - w)' = u' + v' - w'; 2) (uv)' = u'v + v'u; 3) (k.u)' = k.u' (k R )

4) 2

'')'(v

uvvuvu

5) 2

')'1(vv

v .

III/. BAÛNG ÑAÏO HAØM CUÛA CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP CÔ BAÛN :

Ñaïo haøm soá sô caáp cô baûn Ñaïo haøm haøm soá hôïp (u = u(x))(C)' = 0 (x)' = x-1( R, x > 0)

xx

21)'( (x > 0)

(u)' = u-1.u'( R, u > 0)

uuu

2')'( (u > 0)


14

Haøm soá sô caáp Haøm hôïp (u = u(x)) (ex)' = ex

(ax)' = axlna (eu)' = eu.u' (au)' = aulna.u'

xx 1)'(ln

axxa ln

1)'(log

uuu ')'(ln

auuua ln

')'(log

MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TÍNH ÑAÏO HAØM CUÛA HAØM SOÁ ÑAËC BIEÄT:

(dcxbax

)' = 2)( dcx

bcad

2

22

)(2)'(

edxdcbeaexadx

edxcbxax

2 2

2 2 2

( ) 2( )( ) '( )

ax bx c ae bd x af dc x bf ecdx ex f dx ex f

NHÔÙ 20 : ÑÒNH LYÙ LAGRAÊNG

Neáu f(x) lieân tuïc treân [a, b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm x = c , c (a, b): f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)

NHÔÙ 21 : BAÛNG TÍCH PHAÂN 1/. COÂNG THÖÙC NewTon _ Leibnitz :

b

a

ba aFbFxFdxxf )()()()( (vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân ,a b )

2/. TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN :

b

a

b

aa vduvu budv ].[ vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b]

3/. ÑOÅI CÔ SOÁ:

dtttfdxxfb

a

)(.)()( '

vôùi x = (t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ’(t) lieân tuïc treân [a, b] , t a = (), b = (), f[(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [, ]

4/. TÍNH CHAÁT :

a) b

a

a

b

dxxfdxxf )()( b) 0)( a

a

dxxf

c) b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( d) b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

2

1)'1(xx

(x 0) 2

')'1(uu

u (u 0)

(sinx)' = cosx(cosx)' = -sinx

(tanx)' = x2cos

1 (x k2

, k Z)

(cotx)' = -x2sin

1 (x k, k Z).

(sinu)' = cosu.u'(cosu)' = -sinu.u'

(tanu)' = u

u2cos' (u k

2, k Z)

(cotu)' = -u

u2sin' (u k, k Z).


15

e) b

a

b

a

RKdxxfKdxxKf ,)()(

f) Neáu m f(x) M thì )()()( abMdxxfabmb

a

5.BAÛNG NGUYEÂN HAØM CUÛA CAÙC HAØM SOÁ ÑÔN GIAÛN u là hàm số theo biến x, tức là ( )u u x

*Trường hợp đặc biệt , 0u ax b a

*Nguyên hàm của các hàm số đơn giảndx x C du u C . .k dx k x C , k là hằng

số . .k du k u C

1

1xx dx C

1

1uu du C

11 ( )( ) . .

1ax bax b dx C

a

1 lndx x Cx

1 lndu u Cu

1 1 ln

( )dx ax b C

ax b a

1 12 dx C

xx

1 12 uu

dx C

1 2dx x Cx

1 2du u Cu

1 1 .2du ax b C

aax b

*Nguyên hàm của hàm số mũ:

Cx xe dx e Cu ue du e 1ax b ax be dx e Ca

Cx xe dx e Cu ue du e

,0 1ln

C axaxa dxa ln

Cuaua dua . , 01

lnm

m

mx namx na dx Ca

*Nguyên hàm của hàm số lượng giác:cos . sin Cx dx x cos . sin Cu du u 1cos( ) sin( )ax b dx ax b C

a

sin . cosx dx x C sin . cos Cu du u 1sin( ) cos( )ax b dx ax b Ca

1 tan2cos

dx x Cx

1 tan2cos u

du u C 1 1 tan( )2cos ( )

dx ax b Caax b

1 cot2sin

dx x Cx

1 cot2sin

du u Cu

1 1 cot( )2sin ( )

dx ax b Caax b

CHÚ Ý: 2 2

2 2

1 11 tan ;1 cotcos sin

x xx x


16

Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u ax b Ví dụ

1cos . sink

kx dx kx C , ( 2)21cos2 . sin 2 kx dx x C

1sin . cosk

kx dx kx C 21sin 2 . cos 2x dx x C

1 Ck

kx kxe dx e 12

2 2 Cx xe dx e

11 ( )( ) . .1

ax bax b dx Ca

2 12 31 .(

2 2 1 61 (2 1)(2 1) . . 2 1)xx dx C x C

1 1 ln( )

dx ax b Cax b a

3

1 1 ln 3 13 1

dx x Cx

1 1 .2du ax b Caax b

23 3

1 1.2 3 5 3 53 5

du x C x Cx

1ax b ax be dx e Ca

212 1 2 1x xe dx e C

. , 01ln

mm

mx namx na du Ca

55 .

2

2 112 1ln 5

xx dx C

1cos( ) sin( )ax b dx ax b Ca

21cos(2 1) sin(2 1)x dx x C

1sin( ) cos( )ax b dx ax b Ca

31sin(3 1) cos(3 1)x dx x C

1 1 tan( )2cos ( )dx ax b C

aax b

2

1 1 tan(2 1)2cos (2 1)dx x C

x

1 1 cot( )2sin ( )dx ax b C

aax b

3

1 1 cot(3 1)2sin (3 1)dx x C

x

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt .?. .?.u ax b du dx dx du

Ví dụ: Chứng minh , 01cos( ) sin( ) aax b dx ax b Ca

Giải: Đặt 1) ' . .( b dx a dx dx du

au ax b du ax

Suy ra 1 1 1 1cos( ) cos . . cos . .sin sin( )ax b dx u du u du u C ax b Ca a a a

2 2

1 1 ln2

x adxx a a x a

NHÔÙ 22 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP 1/. HOAÙN VÒ : !nPn

2/. TOÅ HÔÏP : !

!( )!kn

nCk n k


17

Knnn CKC

10 nnnC C

Kn

Kn

Kn CCC

1

11

nnnnn CCC 21 ......0

3/. CHÆNH HÔÏP : )0()!(

! nKKn

nAKn

NHÔÙ 23 : SOÁ PHÖÙC 1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC:

Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại số) : z a bi

(a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau: '’ ’ ( , , ', ' )'

a aa bi a b i a b a b Rb b

2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: Số phức z = a + bi (a, b )R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ( ; )u a b

trong mp(Oxy) (mp phức)

3. CỘNG TRỪ SỐ PHỨC:

’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i ’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi u biểu diễn z, 'u biểu diễn z' thì 'u u biểu diễn z + z’ và 'u u biểu diễn z – z’.

4. NHÂN HAI SỐ PHỨC : ' ' ’– ’ ’ ’a bi a b i aa bb ab ba i ( ) ( )k a bi ka kbi k R

5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP: của số phức z = a + bi là z a bi

1 1

2 2; ' ' ; . ' . ';

z zz z z z z z z z z z

z z

; 2 2.z z a b

z là số thực z z ; z là số ảo z z

6. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC : z = a + bi

2 2z a b zz OM

0, , 0 0z z C z z

. ' . 'z z z z ' '

z zz z

' ' 'z z z z z z

7. CHIA HAI SỐ PHỨC:

12

1z zz

(z 0) 12

' '. '.'.

z z z z zz zz z zz

' 'z w z wz

z

8. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC:

z x yi Là căn bậc hai của số phức w a bi 2z w 2 2

2x y a

xy b


18

w = 0 Có đúng 1 căn bậc hai là z = 0. w 0 Có đúng hai căn bậc hai đối nhau.

Hai căn bậc hai của a > 0 là a

Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i 9. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ).

2 4B AC

0 : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2Bz

A

, ( là 1 căn bậc hai của )

0 : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2 2Bz zA

Chú ý: Nếu z0 C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là một nghiệm của (*). 10. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: (cos sin )z r i (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z 0)

2 2

cos

sin

r a barbr

là một acgumen của z, ( , )Ox OM

1 cos sin ( )z z i R 11. NHÂN CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC:

Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i :

. ' '. cos( ') sin( ')z z rr i cos( ') sin( ')' '

z r iz r

12. CÔNG THỨC Moa–vrơ:

(cos sin ) (cos sin )n nr i r n i n , ( *n N )

cos sin cos sinn

i n i n 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức (cos sin )z r i (r > 0) có hai căn bậc hai là:

cos sin2 2

cos sin cos sin2 2 2 2

r i

vaø r i r i

Mở rộng: Số phức (cos sin )z r i (r > 0) có n căn bậc n là:

2 2cos sin , 0,1,..., 1n k kr i k nn n

NHÔÙ 24 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG A. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :

x

y

i

j

O

O

y

x

M2

M1

M(x;y)


19

Nếu a

=x i

+y j

thì cặp số (x;y) là toạ độ của a

.Ký hiệu a

= (x ; y) hoặc a

(x ; y)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM

được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM

=(x ; y)

M(x ; y) OM

xi y j

OM

=(x;y)

a. Tọa độ điểm: Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ):

1). ),( ABAB yyxxAB

3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :

2

2BA

BA

yyy

xxx

2). 2),( ABAB yyxxAB 5) Tọa độ trọng tâm G: ;3 3

A B C A B Cx x x y y y

4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k 1 :

kykyy

kxkxx

BA

BA

1.

1.

5)Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E BC) ta có:

ABDB DCAC

.

ABEB ECAC

.

.

b. Tọa độ véctơ: Cho : ),( 21 aaa

),( 21 bbb

:

1).

22

11

baba

ba 2). ),( 2211 bababa

3) 1 2. ( , ), ( )k a ka ka k R

4). 2211 bababa

6) 02211

bababa 5). 221 a2aa

7). 1 1 2 22 2 2 2

1 2 1 2

.,.

a b a ba bCos a ba b a a b b

8) 1 2 2 1a b a b a b

NHỚ 25: ÑÖÔØNG THAÚNG

1/. PHÖÔNG TRÌNH THAM SOÁ:

tayytaxx

20

10 Vectô chæ phöông: ),( 21 aaa

VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG:Là véc tơ song song hoặc nằm trên đường thẳng.2/. PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT :

Daïng 1: 2 20, ( 0)Ax By C A B .Phaùp vectô ),( BAn

Dạng 2: 0 0( ) ( ) 0A x x B y y .Khi biết đường thẳng đi qua điểm 0 0( ; )M x yVÉC TƠ PHÁP TUYẾN:Là véc tơ có phương vuông góc với đường thẳng.

CHUÙ YÙ:

Coù VTPT: ( ; )n A B

VTCP: ),( ABa

( hay ),( ABa

),Vaø ngöôïc laïi.

Heä soá goùc: ( 0)Ak BB


20

4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc k : 0 0( )y k x x y

5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) :

(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) hay AB

A

AB

A

yyyy

xxxx

6/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén): 1by

ax

7/. Phöông trình chính taéc : b

yya

xx 00

),(),,( 00 baayxM

* Quy öôùc : 00 0

00

xx

byyxx

00 0

00

yyyya

xx

8/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán (d):Ax + By + C = 0 : 0 0

,( ) 2 2M d

Ax By Cd

A B

10/. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : d1: A1x + B1y + C1 = 0 d2: A2x + B2y + C2 = 0

2

1

2

1

BB

AA

D ; 2

1

2

1

BB

CC

Dx

; 2

1

2

1

CC

AA

Dy

d1 caét d2 0 D ; 021 yx DDDdd ;

0

0// 21

xDD

dd hay

00

yDD

Chuù yù :A2, B2, C2 0

d1 caét d2 2

1

2

1

BB

AA

;2

1

2

1

2

121 //

CC

BB

AAdd ;

2

1

2

1

2

121 C

CBB

AAdd

11/. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 :

Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc :22

22

21

21

2121

BABA

BBAACos

Cho ABC. Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức:

AB ACA AB ACAB AC

.cos cos ,

.

12/. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 :

22

22

222

21

21

111

BA

CyBxA

BA

CyBxA

* Chuù yù :

Daáu cuûa:

21 nn Phöông trình ñöôøng phaân giaùc goùc nhoïn taïo bôûi d1, d2

Phöông trình ñöôøng phaân giaùc goùc tuø taïo bôûi d1, d2

– t1 = t2 t1 = – t2

+ t1 = – t2 t1 = t2


21

13.CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN:

a. Chuù yù: ''

d dd d n n

/

/

/ d d

d d

n ud d

u n

NHÔÙ 26: ÑÖÔØNG TROØN 1/. Ñònh nghóa : M (c) OM = R 2/. Phöông trình ñöôøng troøn taâm I( a, b) baùn kính R :

Daïng 1 : 2 2 2( ) ( )x a y b R Daïng 2 : 2 2 2 2 0x y ax by c ,(ÑK 2 2 0a b c )

Vôùi Taâm I(a,b) Baùn kính 2 2 2 0R a b c

3.Caùch laäp phöông trình ñöôøng troøn caùc daïng cô baûn: Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó

phương trình đường tròn (C) là: x a y b R2 2 2( ) ( ) Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . Bán kính R = d I( , ) .

Dạng 3: (C) có đường kính AB. Tâm I là trung điểm của AB. Bán kính R = AB2

.

Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA.

Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Tâm I của (C) thoả mãn: I dd I IA( , )

.

– Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm B.

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA.

Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2.

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d Id I IA

1 2

1

( , ) ( , ) (1)( , ) (2)

– Bán kính R = IA. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2.

– Nếu 1 // 2, ta tính R = d 1 21 ( , )2

, và (2) được thay thế bới IA = R.

x

y

O

);( baIR

a

b);( yxM


22

Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d II d

1 2( , ) ( , )

.

– Bán kính R = d I 1( , ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).

Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x y ax by c2 2 2 2 0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.

– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c phương trình của (C).

Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: IA IBIA IC

.

– Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.

– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d I AB( , ) .

4. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax By C 0 và đường tròn (C):

x y ax by c2 2 2 2 0 , ta có thể thực hiện như sau:. Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.

– Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d.

+ d I d R( , ) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d I d R( , ) d tiếp xúc với (C).(Cách tìm tọa độ tiếp xúc:Viết phương trình đường

thẳng qua I và vuông góc với d. M d . + d I d R( , ) d và (C) không có điểm chung.

Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình: Ax By Cx y ax by c2 2

02 2 0

(*)

+ Hệ (*) có 2 nghiệm d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + Hệ (*) có 1 nghiệm d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vô nghiệm d và (C) không có điểm chung.

5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn

(C1): x y a x b y c2 21 1 12 2 0 , (C2): x y a x b y c2 2

2 2 22 2 0 . ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2.

+ R R I I R R1 2 1 2 1 2 (C1) cắt (C2) tại 2 điểm.

+ I I R R1 2 1 2 (C1) tiếp xúc ngoài với (C2).

+ I I R R1 2 1 2 (C1) tiếp xúc trong với (C2).

+ I I R R1 2 1 2 (C1) và (C2) ở ngoài nhau.

+ I I R R1 2 1 2 (C1) và (C2) ở trong nhau.

Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:

x y a x b y cx y a x b y c

2 21 1 1

2 22 2 2

2 2 02 2 0

(*)

+ Hệ (*) có hai nghiệm (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + Hệ (*) có một nghiệm (C1) tiếp xúc với (C2). + Hệ (*) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung.


23

6: Tiếp tuyến của đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng . tiếp xúc với (C) d I R( , )

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M x y0 0 0( ; ) (C).

– đi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTPT IM0

.

Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước. – Viết phương trình của có phương cho trước (Dạng Ax + By + m = 0,(A,B) đã biết). – Dựa vào điều kiện: d I R( , ) , ta tìm được m. Từ đó suy ra phương trình của .

Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A AA x y( ; ) ở ngoài đường tròn (C). – Viết phương trình của đi qua A (Dạng: A(x – xA) + B(y – yA) = 0). – Dựa vào điều kiện: d I R( , ) , ta tìm được p trình bậc hai theo A,B. Từ đó suy ra phương trình

của .

NHÔÙ 27: ELIP

PT chính taéc

Lyù thuyeát

2 2

2 2

2 2

1

( )

x ya ba b

2 2

2 2

2 2

1

( )

x ya ba b

Truïc lôùn, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2bTruïc nhoû, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a Lieân heä a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2

Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)

Ñænh A1,2( ± a, 0)

B1,2(0, ± b) A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b)

Taâm sai cea

ceb

Ñöôøng chuaån axe

bye

Baùn kính qua tieâu MF1 = a + exMF2 = a – ex

MF1 = b + eyMF2 = b – ey

Pt tieáp tuyeán taïi M(x0 , y0)

0 02 2 1x x y y

a b 0 0

2 2 1x x y ya b

Pt hình chöõ nhaät cô sôû

x ay b

x ay b

Ñieàu kieän tieáp xuùc vôùi Ax + By + C = 0 A2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2

NHÔÙ 28: HYPEBOL

(C)

I(a;b))(

);( 000 yxM


24

PT chính taéc

Lyù thuyeát

2 2

2 2 1x ya b

2 2

2 2 1y xb a

Truïc thöïc, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2bTruïc aûo, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a Lieân heä a, b, c c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2

Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Ñænh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b)

Taâm sai cea

ceb

Ñöôøng chuaån axe

bye

Tieäm caän by xa

by xa

Baùn kính qua tieâu

M nhaùnh phaûi MF1 = ex + a MF2 = ex – a

M nhaùnh traùi MF1 = – (ex + a) MF2 = – (ex – a)

M nhaùnh phaûi MF1 = ey + b MF2 = ey – b

M nhaùnh traùi MF1 = – (ey + b) MF2 = – (ey – b)

Pt tieáp tuyeán taïi M(x0 , y0)

0 02 2 1x x y y

a b 0 0

2 2 1y y x xb a

Ñieàu kieän tieáp xuùc vôùi Ax + By + C = 0 A2a2 – B2b2 = C2 B2b2 – A2a2 = C2

NHÔÙ 29: PARAPOL

Pt chính taéc Lyù thuyeát y2 = 2px y2 = – 2px y2 = 2py y2 = – 2py

Tieâu ñieåm ,02pF

,02pF

0,

2pF

0,2pF

Ñöôøng chuaån 2px

2px

2py

2py

Ñieàu kieän tieáp xuùc vôùi Ax + By + C = 0

B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC

NHÔÙ 30 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN

Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i j k, ,

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

Chú ý: 2 2 2

1i j k

và 0i j i k k j. . .

. 2. Tọa độ của vectơ:

a) Định nghĩa: u x y z u xi y j zk; ;


25

b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3a a a a b b b b k R( ; ; ), ( ; ; ),

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b( ; ; )

1 2 3ka ka ka ka( ; ; )

1 1

2 2

3 3

a ba b a b

a b

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1i j k( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )

a

cùng phương 0b b( )

a kb k R( )

1 131 2

2 2 1 2 31 2 3

3 3

0a kb aa aa kb b b b

b b ba kb, ( , , )

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b. . . .

1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b

2 2 2 21 2 3a a a a

2 2 2

1 2 2a a a a

1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

a b a b a ba ba ba b a a a b b b

.cos( , )

. .

(với 0a b, )

3. Tọa độ của điểm: a) Định nghĩa: M x y z OM x y z( ; ; ) ( ; ; )

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: M (Oxy) z = 0; M (Oyz) x = 0; M (Oxz) y = 0 M Ox y = z = 0; M Oy x = z = 0; M Oz x = y = 0

b) Tính chất: Cho A A A B B BA x y z B x y z( ; ; ), ( ; ; )

B A B A B AAB x x y y z z( ; ; )

2 2 2B A B A B AAB x x y y z z( ) ( ) ( )

Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): MA kMB

1 1 1

A B A B A Bx kx y ky z kzM

k k k; ;

Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 2 2 2

A B A B A Bx x y y z zM ; ;

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

3 3 3A B C A B C A B Cx x x y y y z z z

G ; ;

Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

4 4 4A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z z

G ; ;

4. Tích có hướng của hai vectơ: a) Định nghĩa: Cho 1 2 3a a a a( , , )

,

1 2 3b b b b( , , )

.

2 3 3 1 1 22 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a aa b a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b, ; ; ; ;

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất:

i j k j k i k i j, ; , ; ,

a b a a b b[ , ] ; [ , ]


26

a b a b a b[ , ] . .sin ,

a b,

cùng phương 0a b[ , ]

c) Ứng dụng của tích có hướng: Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b,

và c

đồng phẳng 0a b c[ , ].

Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD,

Diện tích tam giác ABC: 12ABCS AB AC,

Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' [ , ]. '

Thể tích tứ diện ABCD: 16ABCDV AB AC AD[ , ].

Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

00

0

a b a ba vaø b cuøng phöông a ba b c ñoàng phaúng a b c

.,

, , , .

5. A, B, C thẳng hàng AB AC,

cùng phương AB k AC

0AB AC,

ABCD là hình bình hành AB DC

Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC.

Ta có: ABEB ECAC

.

, ABFB FCAC

.

A, B, C, D không đồng phẳng AB AC AD, ,

không đồng phẳng 0AB AC AD, .

NHÔÙ 31: MAËT CAÀU

TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : * Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi . * Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu . * Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu . 2. Phương trình của mặt cầu :


27

- Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng không đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :

2 2 2 2 2 2 2 1IM R x a y b z c R x a y b z c R - Nếu khai triển (1) ta có :

2 2 2 2 2 2 22ax 2 2 z 0 0 2x y z by c d a b c R d - Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương trình (2) muốn là phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :

2 2 2 2 0 *R a b c d CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ĐƠN GIẢN

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R. Ta thay tọa độ tâm và bán kính vào mặt cầu:

(S): 2 2 2 2x a y b z c R( ) ( ) ( ) Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: 2 2 2

A B A B A BI I I

x x y y z zx y z; ;

.

– Bán kính R = IA = 2

AB.

Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Phương trình mặt cầu (S).

Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4.

Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).

(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d với 2 2 2 0a b c d thì

(S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2a b c d .

NHÔÙ 32: PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG :

1.Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng: Vectơ 0n

là VTPT của () nếu giá của n vuông góc với (). Hai vectơ a b,

không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (). Chú ý: Nếu n là một VTPT của () thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của ().

Nếu a b,

là một cặp VTCP của () thì n a b, là một VTPT của ().

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 2 2 20 0Ax By Cz D vôùi A B C

Nếu () có phương trình 0Ax By Cz D thì n A B C( ; ; ) là một VTPT của ().

Phương trình mặt phẳng đi qua 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có một VTPT n A B C( ; ; ) là:

0 0 0 0A x x B y y C z z( ) ( ) ( ) 3. Các trường hợp riêng


28

phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song hoặc chứa trục tương ứng.

4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1x y za b c

() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

0 0 00 2 2 2

Ax By Cz Dd M

A B C,( )

Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó. Dạng 1: () đi qua điểm 0 0 0M x ; y ; z có VTPT n A;B;C

:

(): 0 0 0 0A x x B y y C z z

Dạng 2: () đi qua điểm 0 0 0M x ; y ; z có cặp VTCP a b, :

Khi đó một VTPT của () là n a b, .

Dạng 3: () đi qua điểm 0 0 0M x ; y ; z và song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0:

(): 0 0 0 0A x x B y y C z z Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó ta có thể xác định một VTPT của () là: n AB AC,

Dạng 5: () đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A và VTCP u .

– Một VTPT của () là: n AM u,

Dạng 6: () đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d): VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của ().

Dạng 7: () đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a b,

của các đường thẳng d1, d2.

– Một VTPT của () là: n a b, .

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 M (). Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):

– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d1, d2.


– Lấy một điểm M thuộc d1 M (). Dạng 9: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:

– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d1, d2.

Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Tính chất mặt phẳng () D = 0 0Ax By Cz () đi qua gốc toạ độ O A = 0 0By Cz D () // Ox hoặc () Ox B = 0 0Ax Cz D () // Oy hoặc () OyC = 0 0Ax By D () // Oz hoặc () Oz A = B = 0 0Cz D () // (Oxy) hoặc () (Oxy)A = C = 0 0By D () // (Oxz) hoặc () (Oxz) B = C = 0 0Ax D () // (Oyz) hoặc () (Oyz)


29


Dạng 10: () đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (): – Xác định VTCP u của (d) và VTPT n

của ().

– Một VTPT của () là: n u n, .

– Lấy một điểm M thuộc d M (). Dạng 11: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():

– Xác định các VTPT n n,

của () và ().

– Một VTPT của () là: n u n, .

Dạng 12: () đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: – Giả sử () có phương trình: 0Ax By Cz+D 2 2 2 0A B C .

– Lấy 2 điểm A, B (d) A, B () (ta được hai phương trình (1), (2)). – Từ điều kiện khoảng cách d M k( ,( )) , ta được phương trình (3). – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R. – Một VTPT của () là: n IH

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở

lớp 11.

PHÖÔNG TRÌNH CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG

1.Phương trình ttham số của đường thẳng : 0 1

0 2

0 3

x x a ty y a t (t R)z z a t

2.Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 0 0 0

1 2 3

x x y y z za a a

Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và 1 2 3a (a ;a ;a )

là vectơ chỉ phương của đường thẳng

VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI 1/. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG :

Cho 2 ñöôøng thaúng: d qua M(x0, y0, z0) coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )u u u u

'd qua ' ' '0 0 0( , , )N x y z coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )v v v v

Neáu: . 0u v

:

Thay toïa ñoä ñieåm M vaøo ñöôøng thaúng d/,khoâng thoûa thì /d d . Thay toïa ñoä ñieåm M vaøo ñöôøng thaúng d/,thoûa thì /d d

Neáu: . 0u v

:

. . 0u v MN

. Thì d,d/ cuøng naèm trong moät maët phaúng.

. . 0u v MN

. Thì d,d/ cheùo nhau.


30

2/. ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG :

d qua M(x0, y0, z0) coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )u u u u

maët phaúng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 coù vectô phaùp tuyeán ( , , )n A B C

d // ( )

. 0a uM

d caét ( ) . 0u n

d

. 0u nM

d 1 2 3: : : :a a a A B C

3.MAËT PHAÚNG VAØ MAËT CAÀU:

Cho maët phaúng ( ) . Maët caàu (S) coù taâm I vaø baùn kính R.

Neáu ,Id R . Thì maët phaúng khoâng caét maët caàu.

Neáu ,Id R . Thì maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu taïi moät ñieåm M. Maët phaúng

( ) goïi laø maët phaúng tieáp dieän.(Caùch tìm M: vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua I vaø vuoâng goùc , M ).

Neáu ,Id R . Thì maët phaúng ( ) caét maët caàu (S) theo moät giao tuyeán laø ñöôøng

troøn (C). CAÙCH XAÙC ÑÒNH TAÂM H VA BAÙN KÍNH r CUÛA ÑÖÔØNG TROØN (C).

Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø . H d

2 2r R IH Ø

4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT CẦU Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2). 1 2 1 2I I R R (S1), (S2) trong nhau 1 2 1 2I I R R (S1), (S2) ngoài nhau

1 2 1 2I I R R (S1), (S2) tiếp xúc trong 1 2 1 2I I R R (S1), (S2) tiếp xúc ngoài

1 2 1 2 1 2R R I I R R (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG: Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): 1 1 1 1 0A x B y C z D

(): 2 2 2 2 0A x B y C z D

(), () cắt nhau 1 1 1 2 2 2A B C A B C: : : :

() // () 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C DA B C D

() () 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C DA B C D

() () 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C


31

KHOAÛNG CAÙCH : 1/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0, z0) ñeán mặt phẳng :Ax + By + Cz + D = 0

0 0 0

, 2 2 2M

Ax By Cz Dd

A B C

2/. Khoaûng caùch töø điểm M(x0, y0, z0) đến đường thẳng d.

Điểm N d và có véc tơ chỉ phương u

. ,

.M d

u MNd

u

3/. Khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d vaø d’ : /,

,

,d d

u v MNd

u v

Với /,M d N d và ,u v

lần lượt là 2 véctơ chỉ phương của d,d/.

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

GOÙC

1.GOÙC GIÖÕA HAI MAËT PHAÚNG:

Cho 2 maët phaúng:

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 2 2 2

: 0 , ,

: 0 , ,

A x B y C z D VTPT n A B C

A x B y C z D VTPT n A B C

Goïi laø goùc giöõa 2 maët phaúng: 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

cosn n A A B B C Cn n A B C A B C

2.GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG: Cho hai ñöôøng thaúng: d1 coù vtcp 1 1 1 1, ,u a b c

d2 coù vtcp 2 2 2 2, ,u a b c

Goïi laø goùc giöõa 2 ñường thaúng: 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

cosu u a a b b c cu u a b c a b c

3.GOÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG: Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP , ,u a b c

Cho maët phaúng (P) coù VTPT , ,n A B C

Goïi laø goùc giöõa ñöôøng vaø maët:2 2 2 2 2 2

.sin

u n aA bB cCu n a b c A B C


32

Các dạng toán thường gặp: DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG GẶP PHƯƠNG HƯỚNG GIÀI

1 Chứng minh 3 điểm A;B;C thẳng hàng hay không thẳng hàng

Lập 2 véc tơ ,AB AC

Nếu hai vecto trên cùng phương thì 3 điểm thẳng hàng Nếu hai vecto trên không cùng phương thì 3 điểm trên không thẳng hàng hay lập thành 1 tam giác

2 Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Vẽ hình, kí hiệu chính xácGọi D(x; y; z) ABCD là hbh AD BC

3 Tìm các điểm còn lại của một hình hộp Vẽ hình kí hiệu điểm chính xácDùng vecto bằng nhau để tìm

4 Tìm C Ox để ABC là tam giác cân tại C Gọi ;0;0C x Ox ABCcân tại C CA= CB

5 Tìm C Oxy để ABC đều. Gọi ( ; ;0)C x y Oxy

CA CBCA AB

6 Tìm C Ox để ABC là tam giác vuông tại C Gọi ;0;0C x Ox

ABC vuông tại C . 0CA CB

7 Tìm chân đường cao A’ hạ từ A của ABC Gọi A’(x;y;z)

Giải hệ:/

/

AA BC

BA BC

8 Tìm trực tâm H của ABC Viết ptmp (ABC) Gọi H(x;y;z)

Giải hệ

H ABC

AH BC

BH AC

9 Tìm M trên trục Ox cách đều A và BTìm M trên trục Oy cách đều A và B Tìm M trên trục Oz cách đều A và B

Gọi M(x,0,0) giải MA = MBGọi M(0,y,0) giải MA = MB Gọi M(0,0,z) giải MA = MB

10 Tìm M trên mpOxy cách đều 3 điểm A, B, CTìm M trên mpOxz cách đều 3 điểm A, B, C Tìm M trên mpOyz cách đều 3 điểm A, B, C

Gọi ; ;0 0C x y xy Giải hệ MA=MB=MC

Gọi ;0; 0C x z xz Giải hệ MA = MB = MC

Gọi 0; ;C y z Oyz Giải hệ MA=MB=MC 11 Tìm M trên mp(P) cách đều 3 điểm A; B; C

Gọi M(x;y;z) Giải hệ

M PMA MBMA MC

Phương trình mặt phẳng các dạng toán thường gặp

Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản : <1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT <2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:

Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n

=(A;B;C)


33

A( x - x0 ) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0

Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q) - Từ ptmp(Q) VTPT n

Q = (A;B;C)

- Vì (P) // (Q) VTPT n

P = n

Q = (A;B;C) - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n

P

Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d - Từ (d) VTCP u

d = (A;B;C)

- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n

P=u

d =(A;B;C) Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n

P.

Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R) - Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n

Q ; VTPT n

R

- Vì (P) (Q) và (R) VTPT n

P Qn

và n

P n

R

Chọn n

P = [ n

Q; n

R] - Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n

P = [ n

Q; n

R]

Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng - Tính AB

, AC

và a

= [ AB

, AC

] - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n

P= a

= [ AB

, AC

]

Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q) - Tính AB

, vtpt n

Q và tính [ AB

,n

Q] - Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn n

P=[ AB

,n

Q] - Viết ptmp (P)

Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d) - Tính VTPT n

Q của mp (Q); VTCP u

d của đường thẳng (d).

- Tính [ u

d,n

Q] - Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT n

P = [u

d, n

Q] - Từ đó viết được PT mp (p)

Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. - Tình trung điểm I của ABvà AB

- Mp (P) đi qua I và nhận AB

làm VTPT.

Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A - Tính VTCP u

d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)

- Tính AM

và [ u

d, AM

] - Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n

P =[u

d, AM

].

Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( ) - Từ (d) VTCP u

d và điểm M (d)


34

- Từ ( ) VTCP u

và tính [u

d, u ]

- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n

= [u

d, u ].

Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q) - Từ (d) VTCP u

d và điểm M (d)

- Từ (Q) VTPT n

Q và tính [ u

d, n

Q] - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n

=[u

d, n

Q].

Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.

Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h - Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- Từ (d) VTCP u

d và điểm M (d) - Vì (d) nằm trong (P) u

d. n

P=0 (1) - PT mp (p) đi qua M: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 - d(A,(P)) = h (2)

- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).

Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900 - Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- Từ (d) VTCP u

d và điểm M (d) - Vì d (P) u

d. n

P=0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).

Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900 - Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- Từ (d) VTCP u

d và điểm M (d) - Vì d (P) u

d. n

P=0 (1) - Tính sin ((P),( )) (2) - Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).

Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất - Gọi H là hình chiếu của A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max AK = AH KH - Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT

Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ). - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D'


35

- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm

Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.

- d(I,(P)) = 2 2R r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ) - Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' viết được pt (P).

Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- Từ (d) VTCP u

d và điểm M (d) - d (P) u

d. n

P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).

Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r. - Vì d (P) u

d. n

P=0 (1) - Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0,

chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).

Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

- Bán kính r = 2 2( ,( ))R d I p để r min d(I,(P)) max - Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH - PT mp(P) đi qua H và nhận IH

làm VTPT

Phương trình đường thẳng các dạng toán thường gặp

Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.

Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u

=(a,b,c)


36

PP: phương trình tham số của đường thẳng d là: (d): 0

0

0

x x aty y btz z ct

với t R

* Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0x x y y z za b c

* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.

Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B - Tính AB

- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB

làm VTCP

Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ( ) - Từ pt( ) VTCP u

- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u làm VTCP

Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P) - Tìm VTPT của mp(P) là n

P

- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u

d = n

P

Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) - Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v

=> tính [ 1u

, 2u

].

- Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP u

d= [ 1u

, 2u

]

- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u

d= [ 1u

, 2u

]

Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp: (P):Ax + By + Cz + D = 0 (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0 - Từ (P) và (Q) n

P , n

Q - Tính [ n

P , n

Q]

- Xét hệ '' ' '

Ax + By + Cz +D =0

A 0x B y C z D

.

Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md - Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u

d =[ n

P , n

Q].

Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q) Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d' đi qua M, H

Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1


37

* Tìm B = 2( ) d * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2

- Đường thẳng cần tìm d =

Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 Cách 1: - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P QCách 2: Chuyển d2,d3 về dạng tham số. Gọi 1 2 1 3,M d d N d d 2 3,M d N d theo tham số t2,t3. Tính MN

.

1 2 3,dMN u t t

Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = 2( ) d - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d =

Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d' Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P QCách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) * Tìm B = ( ) 'P d * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B

Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. - Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B

Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'. * Tìm giao điểm I' = d' ( )P * Tìm VTCP u

của d' và VTPT n

của (P) và tính [u,n]v

* Viết ptđt d qua I và có VTCP v

Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : - Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d ,

và ' ' '0 0 0 2( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d

là các chân đường vuông góc chung của d1, d2


38

- Ta có hệ 11

2 2

. 0, '

. 0

MN d MN ut t

MN d MN u

.

- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)

Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R

Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = 1( ) d - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B

Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 0 0(0 ;90 ) (= 300, 450, 600)

* Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

* Vì 11 . 0d d u u

=>phương trình (1)

Vì 2

2

.

.

u ucos

u u

=> phương trình (2)

Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.

( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc 0 0(0 ;90 ) thì có.

.

P

P

u usin

u u

)

Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) .

- Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

- Vì d//(P) nên . 0pu n

=> phương trình (1).

- Vì 1

11

.( , )

.

u ucos d d cos

u u

nên có phương trình (2).

- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c

Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) .

- Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

- Vì d(P) nên . 0pu n


- Vì 1

11

.( , )

.

u ucos d d cos

u u

nên có phương trình (2).

- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c


39

d ab

d

a

Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.

* Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

* Vì d 1d nên 1. 0u n


* Vì [ , ]

( , )u

u AMd M d h h


*Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c

NHÔÙ 26 : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VAØ THÖÔØNG DUØNG TRONG VIEÄC GIAÛI TOAÙN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN.

TT HÌNH VEÕ KIEÁN THÖÙC1

// ////

dd

a bd a

ad b

b

2 a// neáu vaø chæ neáu treân coù a’ , a’//a 3

////

da a da

4 d

a

// ////

da a da

5 ab

Neáu chöùa a vaø b caét nhau, trong ñoù a// , b// thì //

6 //

//

P aP b a b

P

b

a


40

a

d

7

C'

B'

A'

C

B

A

R

Q

P

ba Neáu P // Q // R thì chuùng seõ chaén tr6n hai caùt tuyeán baát kyø a, b nhöõng ñoaïn thaúng tæ leä.

' '

' '

AB A BBC B C

8 R

QP

bda

// //

//

P Q dR P a

a b dR Q bd R

9 Neáu a thì a b , b 10 a neáu vaø chæ neáu a vuoâng goùc vôùi hai

ñöôøng thaúng b, c caét nhau trong 11

ba

Neáu a//b vaø a thì b Neáu a thì b thì a//b

12

a

// vaø a thì a Neáu a vaø a thì //

13 b

a

b

a

Neáu a cheùo b * Coù moä tvaø chæ moät ñöôøng vuoâng goùc chung * Coù moät vaø chæ moät maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng naøy vaø song song vôùi ñöôøng kia * Coù hai maët phaúng song song vaø moãi maët chöùa moät ñöôøng

14

H

O

A'B

A

ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC VAØ ÑÖÔØNG XIEÂN * Ñoaïn vuoâng goùc chung OH laø ñoaïn ngaén nhaát* Hai ñoaïn xieân daøi baèng nhau coù hình chieáu daøi

baèng nhau vaø ngöôïc laïi. OA = OA’ HA = HA’

*Hai ñoaïn xieân coù ñoä daøi khaùc nhau thì ñoaïn xieân daøi hôn coù hình chieáu daøi hôn vaø ngöôïc laïi.

OB > OA HB > HA 15

b'a

b

ÑÒNH LYÙ 3 ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙCa vaø ñöôøng xieân b coù hình chieáu vuoâng goùc treân laø b’ , ta coù : 'a b a b

16

aa

Neáu vaø d thì vôùi moïi

a maø a d thì a


41

P

d

dP d PP

17 S : Dieän tích cuûa moät hình phaúng H S’: Dieän tích cuûa hình chieáu vuoâng goùc cuûa H laø H’ : Goùc giöõa maët phaúng chöùa H vaø maët phaúng chöùa H’ ' .S S Cos

18

C'

B'

A'

C

B

A HÌNH LAÊNG TRUÏ1/. Ñònh nghóa : Hình laêng truï laø moät hình ña dieän coù hai maët naèm trong hai maët song song goïi laø hai ñaùy vaø caùc caïnh khoâng thuoäc hai ñaùy ñeàu song song nhau 2/. Caùc loaïi :

* Hình laêng truï ñöùng laø hình laêng truï coù caùc caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy

* Hình laêng truï ñeàu laø hình laêng truï ñöùng coù moãi ñaùy laø ña giaùc ñeàu. Ngoaøi ra coøn coù laêng truï xieân 3/. Sxq, STP, V :

* Sxq baèng toång dieän tích caùc maët beân * Sxq baèng chu vi thieát dieän thaúng nhaân vôùi

ñoä daøi caïnh beân. * Sxq laêng truï ñöùng hay ñeàu baèng chu vi ñaùy

nhaân ñoä daøi caïnh beân * STP = Sxq + 2Sñaùy * V = B.h

B : dieân tích ñaùy h : chieàu cao

19

D

S

CB

A

HÌNH CHOÙP1/. Ñònh nghóa : Hình choùp laø moät hình ña dieän coù moät maët laø moät ña giaùc, caùc maët coøn laïi ñeàu laø nhöõng tam giaùc coù chung moät ñænh * Hình choùp ñeàu laø hình choùp coù ñaùy laø moät ña giaùc ñeàu vaø caùc caïnh beân ñeàu baèng nhau * Hình choùp cuït laø phaàn cuûa hình choùp naèm giöõa ñaùy vaø moät thieát dieän song song vôùi ñaùy 2/. Sxq, STP, V :

Sxq cuûa hình choùp vaø hình choùp cuït laø toång dieän tích taát caû caùc maët beân cuûa moãi hình ñoù

Hình choùp : STP = Sxq + Sñaùy Hình choùp cuït : STP = Sxq + Sñaùy lôùn + Sñaùy nhoû


42

Hình choùp ñeàu :

12xqS chu vi ñaùy x trung ñoaïn

Hình choùp cuït ñeàu :

12xqS ( CV ñaùy lôùn + CV ñaùy beù) x trung

ñoïan Theå tích hình choùp :

1 .3

V B h

B : dieän tích ñaùy h : chieàu cao

Theå tích hình choùp cuït :

' '1 .3

V h B B B B

B, B’ : dieän tích hai ñaùy h : chieàu cao

20 HÌNH TRUÏ TROØN XOAY1/. Ñònh nghóa : * Hình chöõ nhaät OO’A’A khi quay quanh caïnh OO’ taïo neân moät hình goïi laø hình truï troøn xoay( hay hình truï)

_ Hai caïnh OA vaø O’A’ vaïch thaønh hai hình troøn baèng nhau goïi laø hai ñaùy.

_ Caïnh AA’ vaïch thaønh moät maët troøn xoay goïi laø maët xung quanh cuûa hình truï

_ OO’ goïi laø truïc hay ñöôøng cao cuûa hình truï.

2/. Sxq, STP, V : 2xqS Rh 2 ( )TPS R h R

2V R h R : baùn kính

h : ñöôøng cao


43

Education

Tuyen chon cong thuc toan cap 3 day du nhat