1. UNIDAD INmeros RealesCONJUNTOSDefinicin: Un conjunto es una
coleccin bien definida de objetos. Denotaremos losconjuntos con
letras maysculas A, B, C, etc. Los objetos que componen el
conjuntoreciben el nombre de elementos o miembros del conjunto y
los denotaremos por letrasminsculas a, b, c, etc.Ejemplos:1. El
conjunto A = {a, e, i, o, u} est expresado por extensin. Si
deseamosexpresar el conjunto A por comprensin debemos buscar una
propiedad caracterstica en comn que contengan cada uno de sus
elementos, en este casosabemos que los elementos son vocales, por
lo tanto el conjunto A se puedeexpresar por comprensin como sigue:A
= {x: x es una vocal}.2. Sea B = {x: x es un nmero entero positivo
menor que cinco}, este conjunto estexpresado por comprensin, para
expresar B por extensin debemos determinarel conjunto listando
todos sus elementos, es decir B = {1,2,3,4}.Conjunto VacoDado el
conjunto C, C = {x: x es un profesor de matemtica con ms de
trescientos aosde edad} expresado por comprensin, se desea expresar
el conjunto por extensin,entonces debemos encontrar todos los
elementos del conjunto; es evidente que C carecede elementos,
debido a que no existe actualmente un profesor con dicha
caracterstica.Por lo tanto, C es un conjunto que carece de
elementos, el cual es llamado conjuntovaco. El conjunto vaco se
denota por { } o .Por lo que C = {} C =.En cualquier aplicacin de
la teora de conjuntos, los elementos de todos los
conjuntospertenecen usualmente a un gran conjunto fijo llamado
conjunto universal (U). Porejemplo si trabajamos en el conjunto de
nmeros reales, denotado por , el universoson todos los
nmeros.Conjunto UnitarioUn conjunto unitario es aquel que est
formado por un solo elemento. Porejemplo A= {a}= {x / x=a}Igualdad
de ConjuntosDecimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen
los mismos elementos. Paradenotar que A y B son iguales,
escribimos: A = B 2. Inclusin de conjuntosSi cada elemento de un
conjunto A es tambin elemento de un conjunto B, entonces sedice que
A es un subconjunto de B. Se dice tambin que A est contenido en B o
que Bcontiene a A. La relacin de subconjunto viene dada por: A
BEjemplo:Consideremos los siguientes conjuntos A={1,3,4,5,8,9},
B={1,2,3,5,7} y C={1,5}.Podemos observar que todos los elementos
del conjunto C estn en el conjunto A, portanto C A. De la misma
manera podemos observar que C B. Sin embargo, no todoslos elementos
del conjunto B estn en A, por lo que podemos decir que B no
estincluido en A.Propiedades: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera
se cumple siempre:1. A U (el conjunto vaco est contenido en el
conjunto A )2. A A (cualquier conjunto est incluido en s mismo)3.
Si A B y B C, entonces A C4. A=B si y solo si A B y B AOperaciones
entre ConjuntosCuando trabajamos con ecuaciones, problemas, etc.
podemos llegar a encontrarnos condistintas situaciones al querer
determinar las soluciones de los mismos, es por ello, quea
continuacin se definir las operaciones entre conjuntos, las cuales
constituyen unaherramienta necesaria en la resolucin de diferentes
ejercicios matemticos.Unin de ConjuntosEjemplo: Juan, Jos, Luis,
Mario, Alfredo, Rubn, Roberto, Bruno, Adrin, Fernando,Daniel y
Andrs estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubn
yRoberto practican natacin. Jos, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno y
Andrs jueganftbol. Cules estudiantes practican algn
deporte?Solucin:Llamamos A al conjunto de los estudiantes que
nadan, es decir:A = {Juan, Luis, Mario, Rubn, Roberto} y B al
conjunto de los estudiantes que jueganftbol:B = {Jos, Mario,
Alfredo, Roberto, Bruno, Andrs}Ahora formamos la coleccin de
estudiantes que practican algn deporte:{Juan, Luis, Mario, Rubn,
Roberto, Jos, Alfredo, Bruno, Andrs}.Los elementos de este conjunto
son los estudiantes que practican algn deporte. Notarque a Mario y
a Roberto no lo colocamos dos veces en el conjunto, por ms
quepractiquen dos deportes a la vez.Cuando deseamos, como en el
problema anterior reunir los elementos de dos conjuntosA y B,
escribimos: 3. C = A BEn este caso decimos que C es la unin de los
conjuntos A y B, y para describir suselementos:A B = x / x A o x
B}Y se lee A unin B es el conjunto de elementos x tales que x
pertenece a alguno de losdos conjuntos, es decir, x pertenece a A o
x pertenece a B.Notemos que en la unin se encuentran todos los
elementos de A y todos los elementosde B. Es decir:A A B y B A
BGrficamente se representa:Observaciones: Si A B entonces A B = B.
Si A = B entonces A B = A = B. Si x A B entonces x pertenece a A, x
pertenece a B o x pertenece a ambos.Ejemplo: Si A ={3,4,5,6} y B
={3,6}, encontrar A B.Solucin: Como todos los elementos de B
pertenecen al conjunto A (BA) entonces launin ser el conjunto A.A B
= {3, 4, 5, 6}Propiedades de la Unin: Sean A y B dos conjuntos
cualesquiera severifica que:1. Idempotencia: A A = A2.
Asociatividad: (A B) C = A (B C)3. Conmutatividad: A B = B A4.
Elemento neutro: A =A = AInterseccin de Conjuntos 4. Ejemplo: Los
miembros del Consejo de Seguridad de la ONU durante 1997
fueronJapn, Kenia, Polonia, Portugal, Repblica de Corea, Federacin
Rusa, Suecia, ReinoUnido, Estados Unidos de Norteamrica, Chile,
China, Costa Rica, Egipto, Francia yGuinea-Bissau. De ellos
Federacin Rusa, Reino Unido, Estados Unidos deNorteamrica, China y
Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal,Chile,
Costa Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una
lenguaromance. Qu pases son miembros permanentes y tienen una
lengua romance poridiomSolucin:Llamamos A al conjunto de miembros
permanentes del Consejo de Seguridad de laONU, es decir:A =
{Federacin Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamrica, China,
Francia}y B al conjunto de pases cuyo idioma es una lengua romance,
o sea:B = {Portugal, Chile, Costa Rica, Francia, Guinea-Bissau}Los
pases que son miembros permanentes y cuyo idioma es una lengua
romance sonlos que estn en ambos conjuntos, llamemos C a dicho
conjunto, entonces:C = {Francia}Francia es el nico pas que es
miembro permanente y tiene como idioma una lenguaromance.En
general, cuando deseamos obtener los elementos que pertenecen tanto
al conjunto Acomo al conjunto B, escribimos:C = A B,En este caso
decimos que C es la interseccin de los conjuntos A y B, o sea:A B =
X / x A y x B }Y se lee A interseccin B es el conjunto de elementos
x tales que x pertenece a A y xpertenece a B.De acuerdo con la
definicin, cualquier elemento de A B es un elemento de A ytambin de
B, es decir:(A B) A y (A B) B.A BCuando no hay elementos que
pertenezcan a ambos conjuntos A y B, decimos que lainterseccin es
vaca o que el conjunto obtenido es el conjunto vaco.Observaciones:
Si A B entonces A B = A. Si A = B entonces A B = A =B.Propiedades
de la Interseccin. Sean A y B dos conjuntos 5. cualesquiera se
cumple que:1. Idempotencia: A A = A2. Asociatividad: (A B) C = A (B
C)3. Conmutatividad: A B = B A4. Elemento neutro: A U =U A =
ATransformacin de una Expresin Decimal en una FraccinA continuacin
se presenta algunos ejemplos del procedimiento que se realiza
para1) Sea x =0,6 x0,666...Multiplicandopor 10 10x6,666....restando
x0,666...Determinar la fraccin correspondiente a una expresin
deciPara facilitar esta transformacin podemos ocupar la siguiente
regla:Regla Toda expresin decimal peridica pura se puede
transformar en una fraccin talque: El numerador se obtiene restando
al nmero sin la coma la parte entera. El denominador se obtiene
colocando tantos 9 como cifras peridicas tenga.Ejemplo:Regla Toda
expresin decimal peridica mixta se puede transformar en una fraccin
talque: El numerador se obtiene restando al nmero decimal sin la
coma la parte enteraseguida de la parte no peridica. El denominador
se obtiene con tantos nueves como cifras tenga el periodo seguidode
tantos ceros como cifras tenga la parte no
peridica.Ejemplos:=Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son
equivalentes cuando representan el 6. mismo nmero, por ejemplo14 ,
82y 205son equivalentes porque todasrepresentan el nmero 0,25.Para
pasar de la primera a la segunda se multiplica numerador y
denominador por2, o por el contrario si se quiere reducir la
segunda fraccin a la primera se dividenumerador y denominador por
2.adSuma o Resta: bc=a.db.db.cEjemplos:a) Fracciones de igual
denominador: se pone el mismo denominador y se suman o
restannumeradores.3+554=75b) Fracciones de distinto denominador: se
obtienen fracciones equivalentes de igualdenominador antes de sumar
o restar3 53.35.29101 3 5 3.32.5 9101 = = = = ==2 32.33.26 6 6 2 3
2.3 6 6equivalentesax dProducto: bc=ba..dcEs conveniente
simplificar las fracciones a su mnima expresin y recin realizar
elproducto. La simplificacin se hace entre numerador y
denominador12 11.2.1 2Ejemplos: 6/ 5/ =21 = =3/5/7 1 1 7 1.1.7 71
15/1 3 8/2 =1 3 2 =1.3.2 =62/5/5 4/1 5 5 1 5 5.1.5 2aa: dCociente:
bc=bc =ab.d.cdEn este caso la simplificacin se hace entre
numeradores o bien entre denominadores.1 2=1.= 7. 55Ejemplos: 2 : 4
=2/:4/3 5 3 53.2 62 1 32 52.1.5108/:4/:1/5/= : : = =9/ 3/ 3/ 3 1
13.1.1 33 1 1Representacin Grfica de R: Los nmeros reales se pueden
representar sobre unarecta, llamada recta real, de modo que a todo
nmero real le corresponde un punto de larecta y a todo punto de la
recta le corresponde un nmero real.Ley de Tricotoma:Llamamos P al
conjunto de nmeros realesmayores que cero: P = {x/xR x >0}.Dado
un nmero a R y un conjunto P llamado positivo, tal que PR y P
cerrado parala suma y el producto, es vlida solo una de las
proposiciones siguientes:i) aP ii) a = 0 iii) -a POrden en R: Si a
y b R, a es menor que b si se cumple que b a es positivo.a 0 a .
c b . c ( se invierte la desigualdad)3. En el cociente: a 0 ab ( se
invierte ladesigualdad)c c Valor Absoluto: Se define valor absoluto
de un nmero real a:a si a 0a = 0 si a =0 Ejemplo: 4 = 4 y 4 = 4
Intervalos Reales: Un intervalo real es un subconjunto de R y se
representa comoun segmento de la recta real.Sean a , b R, tal que a
a}[a, ) = {x/x R x a}(-, a] = {x/x R x a} 10. (-, a) = {x/x R
x
