Део образложења курикулума математике у Сингапуру

«Математика је одлично средство за развој и унапређење интелектуалних способности

личности, логичког резоновања, просторне визуализације, аналитичности и апстрактног

мишљења...Математика је предмет уживања и узбуђења, која нуди ученицима могућности за креативни

рад и тренутке просветљења и радости...»Визуализација, проналажање правила,

вербализација.

Верижни разломциВера Ивковић,

Осма београдска гимназијаВериге - ланци

....2

12

12

12

112

++

++

+=

......

11

11

11

11

11

++

++

+=φ

[ ]23110

2

13

11

11

10

16

9,,,;=

++

++=

Шта је верижни разломак?Верижни разломак је разломак облика

Где су позитивни цели бројеви, осим некад .

Правилни верижни разломак је разломак облика

Краће се записује ...

11

11

43

2

1

0

++

++

+=

aa

aa

ax

,...a,a,a 210

0a

[ ],...a,a,a;ax 3210=

...4

43

32

21

10

++

++

+=

a

ba

ba

ba

bax

Историја

Први који је увео “степенасто” записивање разломака је први председник британске Краљевске академије William Brouncker

(1620-1684.)

...++

++

+=π

27

2

52

32

11

1

4

2

2

2

2

Први који користи израз “continued fraction” (непрекидни разломак) је

John Wallis (1616-1703.)

И, наравно, Ојлер(1707-1783.)

......

e

++

++

++=

++

++

+=−

54

4

33

22

11

11

55

4

43

32

211

Сриниваса Рамануџан(1887 -1920.)

[ ],...,,,,,; 1165391322974 =π

( )( )

( )( )

...ee

ee

...ee

ee

+−

+−=φ−φ−

++

++=φ−φ+

π−

π−

π−π

π−

π−

π−π

11

112

11

112

3

25

6

4

25

2

Коначни верижни разломак представља рационалан број.

Нпр.:

13

35

13

92

9

131

2

9

41

12

4

91

1

12

4

12

11

12 ==+=

++=

++=

++

+

Задатак 1:

Приказати број као верижни разломак.

Решење: 17

24

3

12

12

11

3

71

2

11

7

32

11

7

171

117

71

17

24

++

+=+

+=+

+=+=+=

Негативни бројеви

[ ]6,1,3;2

6

11

13

12

6

73

12

7

271

227

72

27

61 −=

++

+−=

++−=

+−=

+−=−

[ ]6,1,2,1;3

61

1

12

11

13

27

203

27

61 −=

++

++−=+−=−

Еуклидов алгоритам за НЗД

Верижни разломци се добијају као део Еуклидовог алгоритма за налажење

највећег заједничког делиоца.

Нпр.: Наћи НЗД за 126 и 38.

012612

212338

12383126

+⋅=+⋅=

+⋅=

61

3

13

122

3

13

12381

338

123

38

126

++=

++=+=+=

[ ]63338

126,;=

Реципрочни бројеви45 = 2 * 16 + 13

16 = 1 * 13 + 3

13 = 4 * 3 + 1

3 = 3 * 1 + 0

[ ]

[ ]3412045

16

341216

45

,,,;

,,;

=

=

Још један начин

Написати у облику верижног разломка 9/16.

[ ]23110

21

3

11

11

10

16

9,,,;=

++

++=

Jош један пример

[ ]2342

13

14

48

243

14

48

1681

4168

484

168

720,;=

++=

++=+=+=

Теорема: Између скупа рационалних бројева и коначних верижних разломака може се успоставити обострано једнозначно пресликавање.

Доказ: а) Сваки коначни верижни разломак се може приказати у облику разломка.

б) Сваки разломак се може приказати као коначан верижни разломак

Где је Након коначно много корака

...

rr

nn

rr

nn

rn

nn

rn

n

m =+

+=+

+=+=+=

2

12

1

1

22

1

1

11

1 1111

....rrrn >>>> 321 1=kr

Шта је са ирационалним бројевима?

“Ирационални бројеви су племенита и сјајна домишљатост људског духа, нешто као амфибија

између бити и не бити.” Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716.)

Задатак 2:

Приказати број као верижни разломак.

Решење:

2

2=x

............

x

++

++

+=

+++

++++

+==

21

2

12

12

11

11

11

111

111

112

xxxxxx

++=⇒=+−⇒=−⇒=−1

111)1)(1(1102 22

Или( ) 22525,...25 rr +=⇒+=⇒=

( ) 21212,...12 rr +=⇒+=⇒=

( )

rr

rrrr

+=⇒

⇒=+⇒=++

2

1

12221 2

...

2

12

11

2

112 =

++

+=+

+=

rr

( )r

rrrrr+

=⇒=+⇒=++4

114544 2

...

4

14

12

4

125 =

++

+=+

+=

rr

Месопотамија

У Месопотамији су рачунали

што је вредност разломка

12

512 =

12

51

2

12

12

112 =

++

+=

Периодични верижни разломциквадратна ирационалност

Сваки квадратни корен (алгебарски број другог степена тј. решење једначине,

)је периодични верижни разломак.

Теорема (Ојлер, Лагранж): Развој у правилни верижни

разломак броја α је периодичан ако и само ако је

број α квадратна ирационалност.

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

[ ],...,,,,,,,;

,...,,,,,,,,,;

,...,,,,,,,,,,,;

,...,,,,,,,;

,...,,,,,,;

,...,,,,,,,;

...,,,,,,;

66666666310

39

414141414128

41114111411127

4242424226

444444425

24

2121212113

222222212

=

=

=

=

=

=

=

=

=

022 =−x

А обрнуто?

Израчунати:

Решење:

...1

13

11

13

11

1

++

++

+

2

213

2

213

0334

3

3

11

1

...1

13

11

13

11

1

2,1

2

+−=⇒±−=

=−+⇒++=

++

=

++

++

+=

xx

xxx

x

x

x

x

Задатак 3:Приказати број φ (златни пресек) као

верижни разломак.

Да се подсетимо: Златни пресек је тачка која дели дуж тако да је однос целе дужи према дужем делу једнак односу дужег дела према краћем делу тј.

xa

x

x

a

−=

⇒+±−=⇒=−+⇒=−2

40

22

212222 aaa

xaaxxxaxa ,

15

2

215 −

=−⋅

=a

a

x

a

...61803398.12

51

15

15

15

2 =+=++⋅

−=

x

a

Из следи

Узастопним понављањем овог поступка добија се

xa

x

x

a

−=

xa

xaxx

xa

x

xax

x

a

++=

−

+=−+=−+=1

11

111

......

x

a

11

11

11

11

11

2

51

++

++

+=+=

“Божанско у броју φ је његова ирационалност.”

Лука Пачоли

Који је “најирационалнији”?

[ ][ ][ ]

[ ][ ],...,,,,,,,,,;

,...,,,,,,,;

племенитNoble,....,,,,,,,,,;

.Њутн,...,,,,,,,,,,,,,;e

,...,,,,,,,,,;

212121212113

2222222212

11111111111

17141011811611411212

214131129211573

=

=

−=φ==π

....2

12

12

12

112

++

++

+=

......1

1

11

11

11

11

++

++

+=φ

...

e

++

++

++=

54

4

33

22

11

12

Приближно решавање квадратне једначине

Приближно решити једначину

Решења су

0132 =−− xx

( )x

xxxxx1

313132 =−⇒=−⇒=−

3027756,0;3027756,32

133

21

2,1

−≈≈

±=

xx

x

3,3

...31

3

13

13

13

13 ≈

++

+=+

+=+=

xx

x

3,0

...31

3

1

3

1 −≈

+−+−

=+−

=x

x

Проблем календара

Година је дуга 365дана 5 сати 48 минута и 46 секунди

Или 1година=Представимо то у облику верижног разломка:

Па је година једнака

43200

10463365

86400

20926365

1

46min485365 =+=+

s

s

дан

sh

43200 = 4 * 10463 + 1348 10463 = 7 * 1348 + 1027 1348 = 1 * 1027 + 321 1027 = 3 * 321 + 64 321 = 5 * 64 + 1 64 = 1 * 64 + 0

[ ]64,5,3,1,7,4;365

Тј. дужина године се може апроксимирати са 365 дана и

Бројилац представља број преступних година, а именилац дужину циклуса

Прву апроксимацију је увео Јулије Цезар (Сосиген) 45.г.п.н.е. (+11 минута 14 секунди)

Трећу апроксимацију је предлагао Омар Хајам у 11.веку (8 преступних година у циклусу од 33 године)

4. (чија је грешка занемарљива – само 1 секунду) предлагао је руски астроном Медлер 1864. – да 128. не буде преступна, већ обична

Папа Гргур XIII 1582. (грешка -26 секунди) – свака четврта преступна, осим ако је дељива са 100, а није са 400 (3 пута у 400 година); тада се сматрало да је грешка +4 секунде.

[ ]

64

15

13

11

17

14

136564,5,3,1,7,4;365

++

++

++=

43200

10463;

673

163;

128

31:

33

8;

29

7;4

1

1048–1131.

Миланковић је свој календар базирао на анулирању тадашње разлике јулијанског и грегоријанског

календара од 13 дана. Проблем преступних година решио је тако, што преступне године могу бити оне које

су дељиве са 4 без остатка, а секуларне године биће само онда преступне ако њихов број векова, када се

подели са 9 даје остатак 2 или 6. Све остале секуларне године су просте, што даје потпуну прецизност

календара до 2.800. године, односно до тада не може бити никаквог размимоилажења са садашњим

грегоријанским календаром.Овако конципиран Миланковићев календар је требало

кориговати тек после 28.800 година. До данас, иако је у суштини прихваћен на Свеправославном конгресу 30.

маја 1923. године у Цариграду, Миланковићев календар није примењен.

Задатак 4:

Наћи однос основице и крака једнакокраког троугла чији је угао при врху једнак 108°.

Због једнакости углова

ba

DAAC

ADBDBD

AD

BD

DBAD

BD

AB

b

a 11

11

111 +=+=+=+=+==

ADC~ABC ∆∆

[ ],...,,;...

xx

xx 1111

11

11

11

11

11

11 ==

++

+=+

+=+=

Задатак 5:

Наћи однос дијагонале и странице квадрата.

[ ],...2,2,2;1

...

12

12

12

12

12

12

1111

111

=⇒

=

++

+=+

+=+=⇒

++=+=+===

+=+=+==

a

dx

xx

x

xAF

FB

AF

FBAF

AF

AB

EB

DAx

EBDADA

EB

DA

EBDE

DA

BD

a

d

Чему служе верижни разломци?

Верижни разломци брзо конвергирају па се користе за апрокцимацију реалних бројева

разломком, за израчунавање децимала броја π и других ирационалних бројева.

Апроксимација ирационалних бројева

[ ],...,,,,,,,,,,,,,,,,,,;

...

222211214131211129211573

2

11

11

11

1292

11

115

17

13 =

++

++

++

++

+=π

Може се уочити да стварна вредност броја лежи између две суседне оцене

Архимед 3. век п.н.е. Adriaen Antonisz 1585.

....113

355;

106

333;

7

22;3

...2

11

11

11

1292

11

115

17

13

π<π>π<π>

++

++

++

++

+=π

Првих 7 рационалних апроксимација су:

3 (као у Библији); (Архимед), а затим

Уколико заокруглимо број на 4 децимале 3,1416 правимо 100 пута већу грешку него

уколико узмемо разломак

7

22

,...66317

208347,

33215

104384,

33102

103993,

113

355,

106

333

[ ]11573 ,,;

Инжењерски проблем

Уколико је потребно да је однос брзине окретаја два зупчаника буде једнак нпр.

Уколико су зупчаници са 70 и 99 зубаца, грешка је само 0,007%.

2

,....,,,,

...

70

99

29

41

12

17

5

7

2

32

12

12

112

++

++=

Кристијан Хајгенс(1629-1695.)

• Ораријум из 1682.• Холандски математичар,

астроном и физичар • Патентирао сат са клатном и

џепни сат• 1682. утврдио да су дужине

ротација Земље и Сатурна 7 и 206, тј. у односу 29,46

Куда иду истраживања верижних разломака?

• Carl Friedrich Gauss (1777-1855.) посматрао вероватноћу појављивања одређених цифара у верижном разломку.

• Alexandar Khinchin (Алекса́ндр Я́ковлевич Хин́чин 1894-1959.)

• Paul Lévy (1886-1971.)

Закључак

• Сваки коначни верижни разломак је рационалан број.

• Сваки рационалан број може се написати као коначан верижни разломак.

(најмање две цифре )• Сваки ирационалан број се на јединствен начин

може представити као бесконачни верижни разломак, али обрнуто не важи.

• Ирационални бројеви са великом прецизношћу могу апроксимирати верижним разломцима.

• Сваки правилни бесконачни верижни разломак конвергира (Worpitzky – ова теорема 1865.год.)

[ ]202

1;=

“Човек је као разломак у коме је он бројилац, а његово мишљење о себи именилац. Што је већи именилац, то

је мањи разломак.”

Лав Толстој

...3

11

12

11

11

11

1292

11

115

17

13

++

++

++

++

++

+=π

Наставиће се.....

ЛИТЕРАТУРА

• Бескин Н.М. - Замечательные дроби• Ланселот Хогбен – Стварање математике• Continued Fraction by John D. Barrow,

Gresham Professor of Geometry and other Mathematical Sciences (YouTube)

• An Introduction to the Continued Fraction • Проф. др. Душко Летић, проф. др. Ненад

Цакић – Сриниваса Раманујан Принц бројева