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1
Value-at-Risk:Overview, Parte 2
Análise de Risco (2)R.Vicente
2
ResumoPARTE 1: MEDINDO VaR
Fatores de RiscoValor em Risco (VaR)Profit & Loss (P&L)VaR ParamétricoCalculando o VaR
PARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕESExponentially Weighted Moving Averages (EWMA)Estimando CorrelaçõesGARCH
PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARESLetras “Gregas”Aproximação DeltaAproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta)Aproximação Delta-GamaAproximação de Cornish-FisherTransformações de Johnson
Bibliografia
3
Parte 1Medindo VaR
4
Fatores de Risco
1 2( , ,..., )NV S S SValor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de mercado:
Estes fatores podem ser :
• Preços de mercado;
• Taxas de juro;
• Spreads de crédito;
A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida:
1 2 1 1( , ,..., ) ( ( ),..., ( )) ( ( ),..., ( ))N N NV S S S V S t t S t t V S t S tΔ = +Δ +Δ −Profit & Loss
5
Value at Risk
σMark-to-market
FATOR 1
FATOR 2Janela
de Tempo
Nível de confiança x
%x
VaRα
%
%( ) ( ) 1xVaR
xP V VaR dv p v x−
−∞
Δ <− = = −∫
6
Benchmark Value at Risk
B-VaR x
Retorno Esperado Livre de Risco
( )( ) ( ( )) ( ( )) r t tBV V t t V t e ΔΔ = +Δ −S S S
7
P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco
1
1
1
( ( )) ( ( ) )
( ) ( )N
jj j
Nj
jj j j
Nj
j j j j jjj j
V t t V tVV V SS
SVV SS S
SVS R V RS S
δ δ
=
=
=
+Δ ≈ +Δ∂+Δ ≈ + Δ∂⎛ ⎞Δ∂ ⎟⎜ ⎟⎜Δ ≈ ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎜⎝ ⎠
Δ∂≡ ≡ Δ ≈∂
∑
∑
∑
S S S
S S S
Equivalente Delta
8
P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco: Exemplo
( )
( , )A FX A FX
A A FX FX
A A A FXA
FX FX FX AFX
A FX
V S S S SV R R
VS S S VS
VS S S VS
V V R R
δ δ
δ
δ
=Δ ≈ +
∂≡ = =∂
∂≡ = =∂
Δ ≈ +
P&L em Reais de Ação negociada em Dólar:
9
P&L com Benchmark
1
1
( ) ( )
( ) ( )(1 )
r tB
N
B j jj
N
B j jj
V V S S V S e
V V S R V S r t
V R Vr t
δ
δ
Δ
=
=
Δ ≈ +Δ −
Δ ≈ + − + Δ
Δ ≈ − Δ
∑
∑
10
VaR Paramétrico
( ) ( )( )
dS t dt dW tS t
μ σ= +
Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano geométrico:
onde dW(t) é um processo de Wiener com
( ) ~ (0,1)t tdW t dt Nε ε=
Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento:
( ) ( )( )
dS t dt dW tS t
μ σ= +
onde dW(t) é um processo de Wiener com
,
2
2tR t tσμ σεΔ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − Δ + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
11
VaR Paramétrico
Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos têm valor esperado nulo:
~ (0,1)S S t Nσε εΔ ≈ Δ
O P&L futuro na janela de tempo para um ativo com um único fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma:
tR tσεΔ = Δ
tΔ
12
VaR ParamétricoUtilizando volatilidade diária e obtemos o P&L potencial para 1 dia como:
S SσεΔ ≈
1tΔ =
( )P ε
0ε=
ε ασ=−
(1-x) %
Empregando a definição de VaR:
VaR Sασ=Confiança
95% 1,645
97,5% 1,960
99% 2,326
α
13
VaR Paramétrico com Benchmark
S S SrασΔ ≈− −
Empregando a definição de VaR:
( )VaR r Sασ= +
A perda potencial considerando o benchmark é:
14
VaR de uma Carteira
0j j k jkR R R C= =
Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de Risco:
Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal multidimensional:
1 1( ) exp22 ( )
pDetπ
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
1R R C RC
Temos que:
15
VaR de uma Carteira
onde é a matriz de covariância. jkC
( )2 22
2
Port
j k j k j jjk j
j k jkjk
V V
R R R
C
σ
δ δ δ
δ δ
= Δ − Δ
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
∑ ∑
∑
O VaR da carteira é:Port PortVaR Vασ=
16
VaR de uma CarteiraAlternativamente podemos escrever:
( ) ( )
Port Port
j k jkjk
jkj j k k
jk j k
j jk kjk
VaR V
V C
CV V
VaR VaR
ασ
α δ δ
α σ δ α σ δσ σ
ρ
ρ
=
=
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠
=
= ⋅
∑
∑
∑VaR VaR Matriz de
Correlação
17
Parte 2Estimando Volatilidades e Correlações
18
Estimando VolatilidadesMédia Móvel
2
1
1( ) ( )T
MAj
t R t jT
σ=
= −∑
EWMA(Exponentially Weighted Moving Average)
1 2
1
( ) (1 ) ( )T
jEWMA
j
t R t jσ λ λ −
=
= − −∑
19
MA (21 d.u.)
-10%-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%
10%fe
v-01
mar-0
1
abr-0
1
mai-0
1
jun-0
1
jul-0
1
ago-
01
set-0
1
out-0
1
nov-
01
dez-0
1
jan-0
2
fev-
02
mar-0
2
abr-0
2
mai-0
2
jun-0
2
jul-0
2
ago-
02
EWMA (fator de decaimento=0,97)
-12%-10%
-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%
10%12%
fev-
01
mar
-01
abr-0
1
mai
-01
jun-
01
jul-0
1
ago-
01
set-0
1
out-0
1
nov-
01
dez-
01
jan-
02
fev-
02
mar
-02
abr-0
2
mai
-02
jun-
02
jul-0
2
ago-
02
Estimando Volatilidades
11 falhas
10 falhas
Intervalo
c/ 98%
20
Estimando VolatilidadesEWMA (fator de decaimento=0,97)
-12%-10%
-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%
10%12%
fev-
01
mar
-01
abr-0
1
mai
-01
jun-
01
jul-0
1
ago-
01
set-0
1
out-0
1
nov-
01
dez-
01
jan-
02
fev-
02
mar
-02
abr-0
2
mai
-02
jun-
02
jul-0
2
ago-
02
11 falhas
22 falhas
EWMA (fator de decaimento = 0,70)
-12%-10%
-8%-6%-4%-2%0%2%4%6%8%
10%12%
fev-
01
mar
-01
abr-
01
mai
-01
jun-
01
jul-0
1
ago-
01
set-0
1
out-0
1
nov-
01
dez-
01
jan-
02
fev-
02
mar
-02
abr-
02
mai
-02
jun-
02
jul-0
2
ago-
02
21
EWMA: Exponentially Weighted Moving Average
1 2
1
1
1
( )ˆ , 0 1
T
t
t T
R Rττ
τ
τ
τ
λσ λ
λ
−−
=
−
=
−= < <
∑
∑
O estimador EWMA para volatilidades é definido como:
Observando que o fator de normalização é por uma progressão geométrica:
11
1
11
TTτ
τ
λλλ
+−
=
−=−∑
22
EWMA: Exponentially Weighted Moving Average
1 2
11
(1 ) ( )ˆ , 0 1
1
T
t
t T
R Rττ
τλ λ
σ λλ
−−
=+
− −= < <
−
∑
Assim:
Utilizando janelas infinitas teremos:
1 2
1
ˆ (1 ) ( )t tR Rττ
τσ λ λ
∞−
−=
= − −∑
23
EWMA:Forma RecorrenteO estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência:
2 1 2
12 2 2 2
1 2 3
2 2 2 2 21 2 3 4
2 1 21 ( 1)
12 2
1 1
ˆ (1 )
(1 )( )
(1 ) (1 )( )
(1 ) (1 )
ˆ(1 )
t t
t t t
t t t t
t t
t t
R
R R R
R R R R
R R
R
ττ
τ
ττ
τ
σ λ λ
λ λ λλ λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λσ
∞−
−=
− − −
− − − −∞
−− − −
=
− −
= −
= − + + += − + − + + +
= − + −
= − +
∑
∑
24
EWMA: Janela EfetivaO estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é:
2
1
(1 )
(1 )(1 )
KK
K K
τ
τλ λ
λ λ λ λ λ
∞∞
=
=
Ω = −
= − + + + =
∑
Se fixarmos esta massa em um valor de confiança (e.g. 99%, 99,5%) podemos calcular a janela efetiva utilizada:
%ln(1 )ln
Kλ
−ϒ=
%ϒ
25
EWMA: Janela EfetivaLambda 95,0% 98,0% 99,0% 99,5%
0,99 298 389 458 5270,98 148 194 228 2620,97 98 128 151 1740,96 73 96 113 1300,95 58 76 90 1030,94 48 63 74 860,93 41 54 63 730,92 36 47 55 640,91 32 41 49 560,90 28 37 44 500,89 26 34 40 450,88 23 31 36 410,87 22 28 33 380,86 20 26 31 350,85 18 24 28 33
Nível de Confiança
26
EWMA: Otimização de Definimos o erro na predição da variância como:
2 211 1ˆtt t t tRε σ++ += −
λ
O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias:
21
1
( ) ( )T
t tt
E λ ε λ+=
= ∑
27
EWMA: CorrelaçõesO EWMA pode ser generalizado para covariâncias:
1, , ,
1
ˆ (1 )jk t j k ttC R Rτ
τττ
λ λ∞
−−−
=
= − ∑
A versão recorrente é:
, , 1 , , 11ˆ ˆ (1 )jk t jk t j k tt
C C R Rλ λ− −−= + −
28
EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidasO método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas.
Suponha que seja positiva semi-definida, então:
, , 1 , , 11ˆ ˆ (1 )jk t jk t j k tt
C C R Rλ λ− −−= + −
1ˆ
t−C
1ˆ 0t−⋅ ≥ ∀u C u u1ˆ 0t−⋅ ≥ ∀u C u u
Analisando o segundo termo teremos:
( )2
, 1 , 1 , 1,
0j j t k t k j j tj k j
u R R u u R− − −
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑
29
EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidasCombinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semi-definidas:
( ), , 1 , 1 , 1ˆ ˆ (1 ) 0j jk t k j jk t k j j t k t k
jk jk jk
u C u u C u u R R uλ λ− − −= + − ≥∑ ∑ ∑Assim:
( ) ( )1ˆ ˆ0 0t t−⋅ ≥ ∀ ⇒ ⋅ ≥ ∀u C u u u C u u
Basta então garantirmos que seja positiva semi-definida escolhendo :
1C
,1 ,0 ,0ˆ
jk j kC R R≡
30
EWMA: Matrizes de CorrelaçãoAs correlações são obtidas a partir das covariâncias:
jkjk
jj kk
CC C
ρ =
31
EWMA: Otimização de para Covariância Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é necessário que seja único. Definimos o erro na predição da covariância como:
, 1 , 1, 1 , 1ˆ
j t k tjk t t jk t tR R Cε + ++ += −
λ
O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias:
2, 1
1
( ) ( )T
jk jk t tt
E λ ε λ+=
= ∑
λ
32
EWMA: Otimização de para Covariância
A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar
com o inverso do erro mínimo: * *
jk jkj k
λ θ λ≤
=∑Onde:
*
*
1( )
1( )
jk jkjk
jk jk jk
E
E
λθ
λ
= ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
jkλ
λ
33
GARCH Um modelo GARCH(p,q) é definido como:
2 2 20
1 1
p q
t j t j j t jj j
Rσ α α β σ− −= =
= + +∑ ∑
A versão mais simples é o GARCH(1,1):
2 2 20 1 1 1 1t t tRσ α α βσ− −= + +
34
GARCH A versão mais simples é o GARCH(1,1):
2 2 2 2 00 1 1
1 11ασ α ασ βσ σα β
= + + =− −
A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima assumindo que :2 2
1tR σ− =
2 2 20 1 1 1 1t t tRσ α α βσ− −= + +
Para que a volatilidade faça sentido é necessário que: 1 1 1α β+ <
35
GARCH A curtose não-condicional é dada por:
21
2 21 1 1 1
61 3 2
ακα αβ β
=− − −
, ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais.
36
GARCH : Determinando Parâmetros
2
22
1( ) exp22
tt t
tt
Rp R σσπσ
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦
O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição condicional normal:
2 2 20 1 1 1 1t t tRσ α α βσ− −= + +~ (0,1)t t t tR Nεσ ε=
Dada a trajetória empírica defini-se uma função erro:
Assumindo a dinâmica:
1
T
t tR
=
( )2
20 1 2
1 1
1( , , ) ln ( ) ln 22 2
TTt
t t tt t t
RE p Rα α β σ πσσ= =
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥=− = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑∏
A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de otimização (e.g. Gradiente Escalonado).
37
GARCH
Volatilidade
0,0000,0200,0400,0600,0800,1000,1200,140
1 56 111
166
221
276
331
386
441
496
551
606
661
716
771
826
881
936
991
38
Parte 3Risco de Ativos Não-Lineares
39
“Gregas”
( , , , )IV S rτ σΔ
O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros:
Uma expansão em série de Taylor nos fornece:
( )
( )
22
2
22
2
1( , , , )2
12
I
II
S S r
r t
V V VV S rS S r
V V Vr
σ
τ σ
σ τ
Δ + Δ + Δ
+ Δ + Δ Δ
∂ ∂ ∂Δ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂−∂ ∂ ∂
40
“Gregas”
DELTA
VS
∂Δ=∂
2
2
VS
∂Γ=∂
[ ] $I
Vσ
∂Λ= Λ =∂
22 2
2 [ ] $V Tr
ρ ρ∂′ ′= =∂
[ ] $V Tr
ρ ρ∂= =∂
1[ ] $V Tt
−∂Θ= Θ =∂
TETA
GAMA
RÔ Convexidade RÔ
“VEGA”
41
P&L em função de Retornos
( )
2 2
22
1( , , , )2
12
I S S P
P I t
V S r R S R S R
R Rσσ
ρτ στ
ρτ
+
+ +Λ Δ
Δ Δ Γ−
′+Θ
[ ]( ) ( )
( ) ( )ln ( ) ( )t t
t t
t r t
P t tr r t t
P
eR r r t t re e
Rr
τ τ
τ τ τ τ
τ
+Δ− −Δ −Δ
− Δ Δ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = − Δ Δ − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Δ −
Observando o retorno de preços com carregamento:
42
Aproximação Delta
( , , , )I SV S r R Sτ σΔ Δ
~ (0;1)S SR t
Nεσ
ε= Δ
Delta SVaR Sασ= Δ
1 contrato de opção = unidades de ativo objetoΔ
43
Aproximação Delta
44
Aproximação Linear
S S S
P P P
I I
R t
R t
R tσ
ε σ
ε σ
ε σ
= Δ
= Δ
= Δ
( , , , )I S P I tV S r R S R Rσσρτ στ
+Λ ΔΔ Δ− +Θ
~ (0, )S
P
I
N Cεεε
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
Variância-covariância
45
Aproximação Linear
TLinearVaR C tα= −ΘΔW W
I
Sρτ
σ
⎛ ⎞Δ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ Λ⎝ ⎠⎟
W
46
Aproximação Delta-Gama
2 212S SV S R S RΔ = Δ + Γ
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
4
Cumulantes 1 e 2 Todos Cumulantes
47
Aproximação Delta-Gama
48
Aproximação Delta-Gama
49
Aproximação Delta-Gama Truncada
( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 2 2 2 3 21var var var cov ,4S S S S SV S R S R R S R RΔ = Δ + Γ +ΔΓ
( )2
222 3
2cov , 0
2S
R
S S
S
dRR R R e σ
πσ
−
= =∫
( ) 2 2 2 4 2 41var2S SVaR V S Sα α σ σ≅ Δ = Δ + Γ
( ) ( )2 2var 2 varS SR R=
Truncamento até Segundo Cumulante
50
Aproximação Delta-Gama
2
1 1 1
1 1 1
( ) ( )12
12
n n n
j j kj j kj j k
n n n
j j jk j kj j k
V V VV Vx x xx x x
r r rδ
= = =
= = =
Δ = +Δ −∂ ∂≈ Δ + Δ Δ∂ ∂ ∂
= + Γ
∑ ∑∑
∑ ∑∑
x x x
2
j j jk j kj j k
V Vx x xx x x
δ ∂ ∂= Γ =∂ ∂ ∂
51
Aproximação Delta-Gama
1 1 1
12
n n n
j j jk j kj j k
V r r rδ= = =
Δ = + Γ∑ ∑∑
~ (0, )N C V ϕ⇒Δr ∼
23 4ˆln , , , ,..., nc c cϕ ϕ μ σ⇔ ⇔
Função Geratriz Cumulantes
52
Cumulantes
ˆ ( ) ( )ixww dx e xϕ ϕ= ∫
0
ˆln ( )( )n
nn n
w
wc iwϕ
=
∂= −∂
53
Cumulantes
( )
( )
( )
( ) ( )
22 2
3 33
4 2 4 44
2
1 ( )2
1 ( )2
3 ( )
12 ( ) 3 ( ) 3
1 1( 1)! ! ( )2 2
T
T
T
n n T nn
V Tr C
V C Tr C
c V C C Tr C
c V C C Tr C
c V n Tr C n C C
μ
σ μ δ δ
μ δ δ
μ δ δ σ
μ δ δ−
= Δ = Γ
= Δ − = + Γ
= Δ − = Γ + Γ
= Δ − = Γ + Γ +
⎡ ⎤= Δ − = − Γ + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦
~ (0, )N Cr
54
Aproximação de Cornish-Fisher
Densidade arbitrária .ϕ
( ) ( )x
x du uϕ−∞
Φ = ∫O VaR é definido como:
1
( )
( )
VaR
du u p
VaR p
ϕ−
−∞
−
=
= Φ
∫ou
55
Aproximação de Cornish-FisherSeja uma distribuição com forma
analítica e quantis conhecidos (por ex: distribuição gaussiana).
( ) ( )z
F z du f u−∞
= ∫1( )F p−
Cornish-Fisher
1( )p−Φ como função de 1( )F p−
56
Aproximação de Cornish-FisherOs quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para
de é : V μσ
Δ −p percentil−
( ) ( ) ( )2
22 3 33 343 4 3
1 1 11 3 3 2 56 24 36p p p p p p p
c ccα α α α α α ασ σ σ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜≈ + − + − − − − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
O VaR pode então ser calculado como:pVaR α σ μ= +
57
Transformação de Johnson
( )pVaR f α≈
e tem distribuição similar a ( )f X~ (0,1)X N VΔ
Função monotônica
58
Transformação de Johnson
Transformação com limite inferior:
( ) exp ( )Xf X f Xγ ξ ξδ
⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ≥⎢ ⎥⎣ ⎦
Transformação com limite superior:
exp ( )( ) ( )
1 exp
X
f X f XX
γ ξ λ ξδ ξ ξ λ
γδ
⎡ ⎤−⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ≤ ≤ +⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
59
Transformação de Johnson
Transformação sem limites:
( ) sinh Xf X γ λ ξδ
⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦
Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido a partir dos quatro primeiros cumulantes.
60
Bibliografia
• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.
• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);
•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk
•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;
•Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;
Leituras ComplementaresJashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-Normal Approximations
Mina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways