Upload
ngai-hoang-van
View
110
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
ChChương 4ương 4::BIBIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠCMIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
BÀI 1 KHÁI NiỆM DFT
BÀI 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
BÀI 3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
BÀI 4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)
BÀI 1 KHÁI NIỆM DFTBÀI 1 KHÁI NIỆM DFT
X(X(ωω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
Tần số Tần số ωω liên tục liên tục
Độ dài x(n) là vô hạn: Độ dài x(n) là vô hạn: nn biến thiên - biến thiên -∞ đến ∞∞ đến ∞
Biến đổi Fourier dãy x(n): ∑−∞
∞=
−=n
njenxX ωω )()(
Khi xử lý X(Khi xử lý X(ΩΩ) trên thiết bị, máy tính cần:) trên thiết bị, máy tính cần:
Rời rạc tần số Rời rạc tần số ωω -> -> ωωKK
Độ dài x(n) hữu hạn là N: Độ dài x(n) hữu hạn là N: nn = 0 = 0 ÷÷ N -1 N -1
⇒⇒ BBiến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform)(Discrete Fourier Transform)
BÀI 2 BIBÀI 2 BIẾẾN N ĐỔIĐỔI FOURIER RỜI RẠC - DFT FOURIER RỜI RẠC - DFT
DFTDFT của của x(n) có độ dài N định nghĩa:x(n) có độ dài N định nghĩa:
−≤≤
= ∑−
=
−
: 0
10:)()(
1
0
2
k
NkenxkX
N
n
knNj
π
còn lại
rN
rNjmNr
NjmNr
N WeeW ===−+−+
ππ 2)(
2)(
−≤≤
= ∑−
=
: 0
10:)()(
1
0
k
NkWnxkX
N
n
knN
còn lại
Nj
N eWπ2−
=
WWNN tuần hòan với độ dài tuần hòan với độ dài N:N:
X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:)()()( kjekXkX ϕ=
Trong đó:Trong đó:)(kX - phổ rời rạc biên độ- phổ rời rạc biên độ
)](arg[)( kXk =ϕ - phổ rời rạc pha- phổ rời rạc pha
IDFT:
−≤≤
= ∑−
=
: 0
10:)(1
)(
1
0
2
n
NnekXNnx
N
k
knNj
π
còn lại
−≤≤=
−≤≤=
∑
∑−
=
−
−
=
10:)(1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkXN
nx
NkWnxkX
N
k
knN
N
n
knN
Cặp biến đổi Fourier rời rạc:
Ví dụ 1: Tìm DFT của dãy: 4,3,2,1 )(↑
=nx
∑=
=3
04)()(
n
knWnxkX jWWjeWj
=−=−==− 3
42
44
21
4 ;1;π
10)3()2()1()0()()0(3
0
04 =+++== ∑
=xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1( 34
24
14
3
04 jWxWxWxxWnxX
n
n +−=+++== ∑=
2)3()2()1()0()()2( 64
44
24
3
0
24 −=+++== ∑
=WxWxWxxWnxX
n
n
22)3()2()1()0()()3( 94
64
34
3
0
34 jWxWxWxxWnxX
n
n −−=+++== ∑=
BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFTBÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT
a) Tuyến tính
NDFT
N kXnx )()( 11 →←
NNDFT
NN kXakXanxanxa )()()()( 22112211 + →←+
Nếu:Nếu:
Thì:Thì:
NDFT
N kXnx )()( 22 →←
b) Dịch vòng:
)()( NDFT
N kXnx →←Nếu:Nếu:
)()( 00 N
knN
DFTN kXWnnx →←−Thì:Thì:
Với:Với: (n)rect)(~)( N00 NN nnxnnx −=−gọi là dịch vòng của x(n)N đi n0 đơn vị
21 21 xx LNNL =≠=Nếu:Nếu: Chọn:Chọn: ,max 21 NNN =
Ví dụ 1: Cho:
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4
4,3,2,1 )(↑
=nx
x(n)x(n)
nn
0 1 2 30 1 2 3
44332211
a)
nn
x(n-2)x(n-2)
0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5
44332211nn
x(n+3)x(n+3)
-3 -2 -1 0-3 -2 -1 0
44332211
b)x(n)
nn
0 1 2 30 1 2 3
44332211
N
x(n-1)4
nn
0 1 2 3
44332211
x(n+1)x(n+1)44
nn
0 1 2 30 1 2 3
44332211
c) Chập vòng:
NDFT
N kXnx )()( 11 →←
NNDFT
NN kXkXnxnx )()()()( 2121 →←⊗
Nếu:Nếu:
Thì:Thì:
NDFT
N kXnx )()( 22 →←
∑−
=−=⊗
1
02121 )()()()(
N
mNNNN mnxmxnxnxVới:Với:
Chập vòng 2 dãy x1(n) & x2(n)
21 21 xx LNNL =≠=Nếu:Nếu: Chọn:Chọn: ,max 21 NNN =
Chập vòng có tính giao hóan:Chập vòng có tính giao hóan:
NNNN nxnxnxnx )()()()( 1221 ⊗=⊗
)()(~)( 22 nrectmnxmnx NNN −=−Và:Và: Dịch vòng dãy x2(-m) đi n đ/vị
Ví dụ 1: Tìm chập vòng 2 dãy
30:)()()()()(3
04241424143 ≤≤−=⊗= ∑
=nmnxmxnxnxnx
m
4,max4,3 2121 ==⇒== NNNNN
Đổi biến n->m:
Xác định x2(-m)4:
Chọn độ dài N:
mm
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
44332211
)(~2 mx −
xx22(m)(m)
mm
0 1 2 30 1 2 3
44332211
xx22(-m)(-m)
mm
-3 -2 -1 0-3 -2 -1 0
44332211
mm
0 1 2 3 0 1 2 3
44332211
)()(~)( 4242 nrectmxmx −=−
mm
0 1 2 3 0 1 2 3
44332211
)()(~)( 4242 nrectmxmx −=−
Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
xx22(1-m)(1-m)44
mm
0 1 2 30 1 2 3
44332211
xx22(2-m)(2-m)44
mm
0 1 2 30 1 2 3
44332211 mm
0 1 2 30 1 2 3
44332211
xx22(3-m)(3-m)44
mm
0 1 2 3 0 1 2 3
44332211
x2(-m)4
30:)()()(3
0424143 ≤≤−= ∑
=nmnxmxnx
m
n=0:
Nhân các mẫu x1(m) & x2(n-m)
và cộng lại:
26)0()()0(3
0424143 =−= ∑
=mmxmxx
n=1: 23)1()()1(3
0424143 =−= ∑
=mmxmxx
n=2: 16)2()()2(3
0424143 =−= ∑
=mmxmxx
n=3: 25)3()()3(3
0424143 =−= ∑
=mmxmxx
Vậy:
BÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFTBÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối lớn.
DFT của x(n) có độ dài N: 10 :)()(1
0
−≤≤= ∑−
=NkWnxkX
N
n
knN
Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2 phép nhân và N(N-1) phép cộng.
Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform).
2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là phân chia theo thời gian.
∑−
==
1
0
)()(N
n
knNWnxkX ∑∑
−
=
−
=+=
1
3,5...,1n
1
2,4...,0n
)()(N
knN
NknN WnxWnx
∑∑−
=
+−
=++=
1)2/(
0r
)12(1)2/(
0r
2 )12()2()(N
rkN
Nkr
N WrxWrxkX
Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:
Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2M, nếu không có dạng lũy thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).
X0(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn
X1(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ
∑−
==
1)2/(
0r2/0 )2()(
NkrNWrxkX ∑
−
=+=
1)2/(
0r2/1 )12()(
NkrNWrxkXĐặt:
)(.)()( 10 kXWkXkX kN+=
Lấy ví dụ minh họa cho x(n) với N=8
∑∑−
=
−
=++=
1)2/(
0r2/
1)2/(
0r2/ )12(.)2()(
NkrN
kN
NkrN WrxWWrxkX
krN
krNjrk
Njrk
N WeeW 2/2/
22
22 ===
ππ
Do:
DFT
N/2
điểm
x(0)
x(2)
x(4)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
DFT
N/2
điểm
x(1)
x(3)
x(5)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
X0(0)
X0(1)
X0(2)
X0(3)
X1(0)
X1(1)
X1(2)
X1(3)
n chẵn
n lẽ
Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm;
Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ:
- Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó
- Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số
Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số n chẵn và lẽ và cứ thế tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.
Ví dụ X0(k) được phân chia:
∑∑−
=
−
===
1)2/(
0r2/
1)2/(
0r2/0 )()2()(
NkrN
NkrN WrgWrxkX
∑∑−
=
−
=+=
1)2/(
...5,3,1r2/
1)2/(
...4,2,0r2/ )()(
NkrN
NkrN WrgWrg
∑∑−
=
−
=++=
1)4/(
0l4/2/
1)4/(
0l4/ )12()2(
NklN
kN
NklN WlgWWlg
)(.)( 012/00 kXWkX kN+=
Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểm của X0(k)
DFT
N/4
x(0)
x(4)W0
N/2
W1N/2
X00(0)
X00(1)
X0(0)
X0(1)
DFT
N/4
x(2)
x(6)
X0(2)
X0(3)
X01(0)
X01(1)W2
N/2
W3N/2
Phân chia X1(k) tương tự: )(.)()( 112/101 kXWkXkX kN+=
DFT
N/4
x(1)
x(5)W0
N/2
W1N/2
X10(0)
X10(1)
X1(0)
X1(1)
DFT
N/4
x(3)
x(7)
X1(2)
X1(3)
X11(0)
X11(1)W2
N/2
W3N/2
Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 2 lần phân chia với N=8
DFT
N/4
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
DFT
N/4
DFT
N/4
DFT
N/4
W0
W2
W4
W6
X00(0)
X00(1)
X01(0)
X01(1)
X10(0)
X10(1)
X11(0)
X11(1)
W0
W2
W4
W6
x(0)
x(4)W0
N = 1
WNN/2 =-1
X00(0)
X00(1)
Lưu đồ DFT 2 điểm:
Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
W0
W2
W4
W6
W0
W2
W4
W6
-1
-1
-1
-1
Xm(p)
Xm(q)-1
Xm+1(p)
Xm+1(q)Wr
N
Xm(p)
Xm(q)
Xm+1(p)
Xm+1(q)
WrN
WN(r+N/2) = - WN
r
Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
Đảo bít
Với N=2M -> M lần phân chia
Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log2N
Chæ soá töï
nhieân
Soá nhò phaân chöa ñaûo (n2,n1,n0)
Soá nhò phaân ñaûo (n0,n1,n2)
Chæ soá
ñaûo
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 42 0 1 0 0 1 0 23 0 1 1 1 1 0 64 1 0 0 0 0 1 15 1 0 1 1 0 1 56 1 1 0 0 1 1 37 1 1 1 1 1 1 7
Bảng mô tả qui luật đảo bít:
Ví dụ 1: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/g
x(0)
x(2)
x(1)
x(3)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
W0
W1
-1
-1 -1
-1
k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + W0[x(1) + x(3)] = 10.
k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.
k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - W0[x(1) + x(3)] = - 2.
k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.
b. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ b. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ
Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy ra X(k) thành các dãy nhỏ, do biến k biểu thị cho trục tần số nên gọi là phân chia theo tần số.
∑−
==
1
0
)()(N
n
knNWnxkX ∑∑
−
=
−
=+=
1
2/n
1)2/(
0n
)()(N
N
knN
NknN WnxWnx
∑∑−
=
+−
=++=
1)2/(
0n
)2/(1)2/(
0n
)2/()(N
NnkN
NknN WNnxWnx
∑∑−
=
−
=++=
1)2/(
0n
2/1)2/(
0n
)2/()(N
knN
kNN
NknN WNnxWWnx
[ ]∑−
=+−+=
1)2/(
0n
)2/()1()(N
knN
k WNnxnx
Với k chẵn, thay k=2r:
[ ]∑−
=++=
1)2/(
0n2/)2/()()2(
NrnNWNnxnxrX
Với k lẽ, thay k=2r+1
[ ] ∑−
=+−=+
1)2/(
0n2/)2/()()12(
NrnN
nN WWNnxnxrX
)2/()()( );2/()()( NnxnxnhNnxnxng +−=++=Đặt:
∑−
==
1)2/(
0n2/)()2(
NrnNWngrX [ ]∑
−
==+
1)2/(
0n2/)()12(
NrnN
nN WWnhrX
X(2r) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k chẵn
X(2r+1) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k lẽ
Phân chia DFT N=8 điểm -> 2 DFT N/2= 4 điểm
k chẵn
k lẻ
DFT
N/2
điểm
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
X(0)
X(2)
X(4)
X(6)
DFT
N/2
điểm
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
X(1)
X(3)
X(5)
X(7)
W0
W1
W2
W3
g(0)
g(1)
g(2)
g(3)
h(0)
h(1)
h(2)
h(3)
-1
-1
-1
-1
Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số k chẵn và lẽ. Tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.
Dữ liệu ra X(k) được sắp xếp theo thứ tự đảo bít, còn dữ liệu vào được sắp theo thứ tự tự nhiên.
Số phép nhân và phép cộng trong lưu đồ phân theo tần số bằng với số phép nhân và cộng trong lưu đồ phân theo thời gian.
Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
X(0)
X(4)
X(2)
X(6)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
X(1)
X(5)
X(3)
X(7)
W0
W1
W2
W3
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
Đảo bít
k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10.
k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = - 2.
k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.
k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.
Ví dụ 2: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/s
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
X(0)
X(2)
X(1)
X(3)
W0
W1
-1
-1-1
-1
3. THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N3. THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N11NN22
Giả thiết dữ liệu vào được sắp xếp vào trong mảng theo thứ tự từng cột với số cột N1 và số hàng N2:
Giả thiết độ dài dãy x(n) có thể phân tích N=N1N2, nếu độ dài không thể biểu diễn dưới dạng trên thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).
nn2 nn11 00 11 …… NN11-1-1
00 x(0)x(0) x(Nx(N22)) …… x[Nx[N22(N(N11-1)]-1)]
11 x(1)x(1) x(Nx(N22+1)+1) …… x[Nx[N22(N(N22-1)+1]-1)+1]
…… …… …… …… ……
NN22-1-1 x(Nx(N22-1)-1) x(2Nx(2N22-1)-1) …… x[Nx[N11NN22-1]-1]
Lấy ví dụ sắp xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 và N2=4
n2 n1 0 1 2
0 x(0)x(0) x(4)x(4) x(8)x(8)
1 x(1)x(1) x(5)x(5) x(9)x(9)
2 x(2)x(2) x(6)x(6) x(10)x(10)
3 x(3)x(3) x(7)x(7) x(11)x(11)
Các chỉ số n của x(n), k của X(k) xác định:
n = n1N2 + n2
0 ≤ n1 ≤ N1
0 ≤ n2 ≤ N2
k = k1 + k2N1
0 ≤ n1 ≤ N1
0 ≤ n2 ≤ N2
DFT N điểm dãy x(n) được phân tích:
∑ ∑−
=
−
=
+++=+=1
0
1
0
))((212121
2
2
1
1
212121)()()(N
n
N
n
NnnNkkNWNnnxNkkXkX
∑ ∑−
=
−
=+=
1
0
1
0
2212
2
2
1
1
21211222111)(N
n
N
n
NNknN
NknN
NknN
knN WWWWNnnx
1;;:Do 212122122
2
11
1
211 === NNknN
knN
NknN
knN
NknN WWWWW
∑ ∑−
=
−
=
+=⇒
1
0
1
0212
2
2
22
2
121
1
11
1)()(
N
n
knN
knN
N
n
knN WWWNnnxkX
∑−
==
1
012
2
2
22
2),()(
N
n
knNWknGkX
∑−
=+=
1
021212
1
1
11
1)(),(
N
n
knNWNnnxknF
12).,(),( 1212kn
NWknFknG =
Đặt:
Các bước tiến hành thuật tóan:Các bước tiến hành thuật tóan:
Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột, mảng x
Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1)
Tính mảng hệ số WNn2k1
Nhân mảng F(n2,k1) với WNn2k1, được G(n2,k1)
Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k)
Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k).
Ví dụ 1: Nêu các bước tính và vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy x(n) với N=N1N2=12, chọn N1=3 và N2=4
Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột như bảng:
nn2 nn11 00 11 22
0 x(0)x(0) x(4)x(4) x(8)x(8)
1 x(1)x(1) x(5)x(5) x(9)x(9)
2 x(2)x(2) x(6)x(6) x(10)x(10)
3 x(3)x(3) x(7)x(7) x(11)x(11)
Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1):
nn2 kk11 0 1 2
00 F(0,0)F(0,0) F(0,1)F(0,1) F(0,2)F(0,2)
11 F(1,0)F(1,0) F(1,1)F(1,1) F(1,2)F(1,2)
22 F(2,0)F(2,0) F(2,1)F(2,1) F(2,2)F(2,2)
33 F(3,0)F(3,0) F(3,1)F(3,1) F(3,2)F(3,2)
∑−
=+=
1
021212
1
1
11
1)(),(
N
n
knNWNnnxknF
Tính mảng hệ số WNn2k1
nn2 kk11 0 1 2
00 WWNN00 WWNN
00 WWNN00
11 WWNN00 WWNN
11 WWNN22
22 WWNN00 WWNN
22 WWNN44
33 WWNN00 WWNN
33 WWNN66
Nhân các phần tử mảng F(n2,k1) với các hệ số của
mảng WNn2k1 tương ứng, được G(n2,k1) :
nn2 kk11 0 1 2
00 G(0,0)G(0,0) G(0,1)G(0,1) G(0,2)G(0,2)
11 G(1,0)G(1,0) G(1,1)G(1,1) G(1,2)G(1,2)
22 G(2,0)G(2,0) G(2,1)G(2,1) G(2,2)G(2,2)
33 G(3,0)G(3,0) G(3,1)G(3,1) G(3,2)G(3,2)
Phần tử: G(ni,kj) = F(ni,kj). WNnikj
Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k):
kk2 kk11 0 1 2
00 X(0)X(0) X(1)X(1) X(2)X(2)
11 X(3)X(3) X(4)X(4) X(5)X(5)
22 X(6)X(6) X(7)X(7) X(8)X(8)
33 X(9)X(9) X(10)X(10) X(11)X(11)
∑−
==+=
1
012211
2
2
22
2),()()(
N
n
knNWknGkNkXkX
Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k)
Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N1N2, với N1=3, N2=4:
DFTN1
điểm
x(0)
x(4)
x(8)W0
W1
W2
DFTN1
điểm
x(1)
x(5)
x(9)
DFTN1
điểm
x(2)
x(6)
x(10)
DFTN1
điểm
x(3)
x(7)
x(11)
W0
W2
W4
W0
W3
W6
DFTN2
điểm
DFTN2
điểm
DFTN2
điểm
X(0)
X(3)
X(6)
X(9)
X(1)
X(4)
X(7)
X(10)
X(2)
X(5)
X(8)
X(11)