元智短期課程 - 射頻發射機系統分析與設計

主講：李健榮

104.9.9 (三)

9:30AM ~ 4:30PM

元智大學無線通訊射頻收發機技術課程

射頻發射機系統分析與設計

2

大綱

速覽：從電路學、傅立葉分析到通訊系統

線性調制：從類比通訊進入數位通訊的關鍵

複數波包與調制譜

線性發射機架構：直接轉頻與雙次轉頻發射機

固定波包發射機架構

波包消除與回復(EER)發射機

波包追蹤與波包追隨發射機

混合正交與極座標發射機

發射機設計參數：線性度

從RLC電路分析談起

4

電路基本定律與分析法

定律

歐姆定律 (Ohm’s Law)

克希荷夫電壓定律 (KVL)

克希荷夫電流定律 (KCL)

分析法

於電路迴路找出KVL或KCL方程式，欲解N個未知數

就需找到N道方程式聯立解之

節點電壓分析法 (搭 KCL)

網目電流分析法 (搭 KVL)

5

電容與電感之電壓電流關係

+

- C

+

-

Cdv t

i t Cdt

L

- +

L

di tv t L

dt

0

0

1 t

Lt

i t v t dt i tL

+

0

0

1 t

C Ct

v t i t dt v tC

+

C在一般情況均為定值，又由上式可知，當 v 為定值時，則 i = 0，換句話說，對直流穩態而言，理想電容器為開路。

當電感器外接直流電流源時，則 vL = 0，因此一個理想的電感器對直流穩態而言，理想電感器相當於短路。

i t

i t

Cv t

Lv t

6

無源RC與RL電路

R C v(t)

+

-

ic iR

+

-

v t ( ) L R

-

+

vR

i t ( )

由 KCL，可得 0c Ri i+

10 0

dv t v t dv tC v t

dt R dt RC+ +

0 0

di t di t RL Ri t i t

dt dt L+ +

由 KVL

dy tay t f t

dt+ 一階微分形式：

dy tay t f t

dt+ 一階微分形式：

• 求RC與RL電路之電壓或電流即是在求一階微分方程式之解。

7

外加電源之RC與RL電路(有源)

Vs C

+

-

v

vR + -

i t 0 R t 0 i L

+ - vL

R Vs

vs(t) C

+

-

v

vR + -

i R i L

+ - vL

R vs(t)

0f t

8

一階微分方程式與一階電路之響應

RC及RL電路為一階電路，形式為一階微分方程式：

其中 y 為響應或輸出，可為電壓 v(t)或電流i(t)、a為常數、f(t) 為輸入函數， f(t)可為常數或時間函數。

解一階微分方程式：積分因子法

c 可由初值條件 y(0) 決定之。

又

上式兩邊對 t 積分，可得

其中 c 為積分常數，再以 e-at 乘以上式可得

首先左右同乘 eat，則

dy tay t f t

dt+

at at at

dy te e ay t e f t

dt+

at at at at atdy t dy td

e y t e e ay t e ay t e f tdt dt dt

+ +

at

at at atd e y t

dt e f t dt e y t e f t dt cdt

+

at at aty t e e f t dt ce- - +

形式很固定

9


在微分方程中，稱為完全解，在電路中則被稱為完全響應 (Complete response) 。



特解yp (Particular solution)，在電路中被稱為激勵響應 (Forced response) ；又因此解為一固定值且不隨時間之增加而衰減或消失，故又稱為穩態響應(Steady-state response)。

齊次解(Homogeneous solution)，此解和電路本身特性以及電路之初值有關，而與輸入函數無關，故被稱為自然響應 (Natural response)，又因此解將隨t

之增加而衰減至零，故又被稱為暫態響應 (Transient response)。

t

A Be -

+

f ny y +

at at

fy A e e f t dt- t

at

ny Be ce-

-

1

a

解的形式也固定

10


若輸入函數為 f(t) 時，

零輸入情況:

有源情況:

上式被稱為無源電路之自然響應 (Natural response)。又因輸

入為零，故稱為零輸入響應。

f (t) = 0，其解為

電路含有初值且外接獨立電源情況時，若設 f (t) = b ，

因此

故其解為

at at at

dy tay t f t y t e e f t dt ce

dt

- -+ +

0at aty t ce y e- -

atby t ce

a

- + 0b

y ca

+ 0b

c ya

-

0 atb by t y e

a a

- + -

則又

零態情況: 電路初值為零(y (0) = 0)且外接獨立電源情況時，若設 f (t) = b ，

因此

故其解為

atby t ce

a

- + 0 0y b

ca

-

atb by t e

a a

- -

則又

此解通常被稱為零態響應

11

一階電路：小結

微分方程

定性的

抽象的

完全解

定性的 (穩態 + 暫態)

• 自我描述的

定量的

• 係數(R, L, C, sources)與邊界條件(B. C.) 將行為給具體化

(類)通解

從抽象走向具體化的過程，是千篇一律、固定的步驟

總是得到同一種樣子的解 (定性與定量，一次解決！)

f ny t y y +

dy tay t f t

dt+

0 atb by t y e

a a

- + -

12

範例

Department of Electronic Engineering, NTUT

試解一階微分方程式

(a) f (t) = 0 且 y(0) = 10 (零輸入但有初值)

(b) f (t) = 5 且 y(0) = 10 (直流輸入且有初值)

(c) f (t) = 5 且 y(0) = 0 (直流輸入但無初值=零態)

[SOL] 依可得如下解：

5

dy ty t f t

dt+


(a) 5ty t ce-

0 10y c

510 ty t e-

(b) 5 5 5 55 1t t t ty t e e dt ce ce- - - + + 0 10 1 9y c c +

51 9 ty t e- +

(c) 5 5 5 55 1t t t ty t e e dt ce ce- - - + +

0 0 1 1y c c + -

51 ty t e- -

0 atb by t y e

a a

- + -

如果你有帶筆，試試看用下面的通式來寫出解：

13

不同人的領悟

學生：「噢！背多分！」

工程師：「這個夠快！」 (懶~~~)

教授：「恩！必須出一題很難算的！」

14

二階電路與二階微分方程式(I)

考慮右圖之 RLC 串聯電路，

設 i(0) = I0 , v(0) = V0

，求 v(t)。

依 KVL，t ＞ 0 時

對 t 微分，可得二階微分方程式

可得

00

1 t

s

diL Ri idt V V

dt C+ + +

2

2

sdVd i di iL R

dt dt C dt+ +

00

1 t

v idt VC

+

2

2

1 sdVd i R di i

dt L dt LC L dt+ +

2

2

SVd v R dv v

dt L dt LC LC+ +

2

2 S

d v dvLC RC v V

dt dt+ +

Vs

+

-

v(t)

L R

i(t)

C

或

由 dv

i Cdt

及

或

15

二階電路與二階微分方程式(II)

一般二階電路的電流及電壓方程式，皆可以二階

微分方程式描述，且其形式為

其中y為電流或電壓，a 及 b 為常數，f(t) 為激勵源或激勵源對時間 t 之微分。滿足上式的解如同一階電路方程式之完全響應，為

2

2

d y dya by f t

dt dt+ +

n fy y y +

16

二階電路的自然響應

二階微分方程式的解為

其中 yn 必須滿足

由於指數函數是唯一可重複對 t 微分後，仍能保持原來指數函數型態的函數，因此可令來求解

可直接在中以 s2 取代二階微分，

以s1 取代一階微分， s0 取代零階微分 yn 而得

上式稱為特徵 (或特性) 方程式 (Characteristic Equation)

n fy y y +

2

20n n

n

d y dya by

dt dt+ +

st

ny Ae

2

20n n

n

d y dya by

dt dt+ +

ndy

dt

2

2

nd y

dt

2 0st st stAs e Asae Abe+ + 2 0stAe s as b+ +

2 0s as b+ + 由於不能為零，因此 stAe

17

插播：導數 (Derivative)

Derivative

2y x

Isaac Newton (牛頓, 1643-1727)

Method of fluxions

流量: fluent

流數: fluxion

y對應x的導數(變化率)即兩個流數的比

代表對時間的微分

G. Wilhelm Leibniz (萊布尼茲, 1646-1716) dy

dx

y

x

J-Louis Lagrange (拉格朗日, 1736-1813)

y f x dy

y f xdx

2y x 2y x

2

2

d dy d yy f x

dx dx dx

2y x x 2y

x

x

18

插播：數學運算子 (Operators)

運算子執行特定的數學操作，如

導數：

Louis Arbogast (1759-1803) 定義了微分運算子符號，這是微積分改以代數方法處理的重要前身(拉格朗日與拉普拉斯)

+ -

dy d

y f x ydx dx

2 2 32d

x x xdx

2 2

2 2

d dy d y dy f x y

dx dx dx dx

2 2 32x Dx x

2 5 320D x x

微分運算子 (Differential operator)

dD

dx

nn

n

dD

dx

19

插播：微分方程式

英國電機工程師 Oliver Heaviside (1850-1925)

Heaviside是一個靠自學起家的工程師、數學家暨物理學家。他發明了一種求解微分方程式的方法，該方法曾經被視為是一種旁門左道，但最後已被印證他的方法就是後來使用Laplace轉換的方法。Heaviside的貢獻改變了日後數學、科學與工程的面貌。

Heaviside的思考

Heaviside想，只要遇到這種形式的微分方程式，那麼其解必定為

同樣的概念，只要遇到形式的微分方程，其解必為

xy e x x xdy e De e

dx Dy y

xy e xy Ce或 C 為常數係數

Dy y

kxy e kx kx xdy e De ke

dx Dy ky

kxy CeDy ky

20

插播：Heaviside的戲法

考慮一微分方程式

使用微分運算子的記法重寫

若將D視為代數，上式即變為單純的「代數方程式」

解：

2

27 8 0

d dy y y

dx dx+ - 7 8 0y y y + -

2 7 8 0D y Dy y+ -

2 7 8 0D D y+ -

8x xy Ae Be- +General Solution (通解):

2 7 8 1 8 0D D D D+ - - + 0y 或 1D 8D -

Dy y 8Dy y - xy Ae 8xy Be-

與 roots

put y back 與

solutions 與(或)

特徵方程式

21

自然頻率與自然響應

二次方程式的解有二個，分別為

其中 s1 及 s2 被稱為電路的自然頻率 (Natural frequency)。因此，可得到兩

個形式的自然響應分量，即與，因此

為方便分析，將二階微分方程式改為如下形式：

其中ωn 被稱為自然無阻尼頻率或無阻尼共振頻率。α為阻尼比，一般稱 α＞ 1 之情況為過阻尼，α＜ 1 為欠阻尼，α = 1 為臨界阻尼 (不用記α ，看根即知)。

及

2 0s as b+ +

2

1

4

2

a a bs

- + -

2

2

4

2

a a bs

- - -

1

1 1

s t

ny Ae 2

2 2

s t

ny A e 1 2

1 2

s t s t

ny Ae A e +

2

2

d y dya by f t

dt dt+ +

2

2

22 n n

d y dyy f t

dt dt + +

特徵方程式為

其中

2 22 0n ns s + +

2

n b

2 n a

n b

=2 2n

a a

b

22

判別式與自然響應間關係(I)

s1 及 s2 為相異實根 1. 或 2 4 0a b- 2 4a b

1 2 3

1 2 1 2

s t s t t t

ny Ae A e Ae A e- - + +

例: 右圖為之波形。 2 84 2t t

ny e e- - -

=2 2n

a a

b

且，因此

過阻尼 (Overdamped)

2 4a b >1

t 0

過阻尼曲線

24 te-

2 84 2t te e- --

82 te--

2 0s as b+ +

2

1

4

2

a a bs

- + -

2

2

4

2

a a bs

- - -

由於

yn 為隨時間逐漸衰減的函數

自然響應：

23

判別式與自然響應間關係(II)

2. 或

根據尤拉公式 (Euler's Formula) 及

yn可改寫為

為一種阻尼振盪弦波

2 4 <0a b- 2 <4a b 1,2s j

1 2

j t j t

ny C e C e + -

+

cos sinje j + cos sinje j －－

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

cos sin cos sin

cos sin

cos sin

t j t j t

n

t

t

t

y e C e C e

e C t j t C t j t

e C C t jC jC t

e A t A t

- +

+ + -

+ + -

+

　　

　　

41/65

s1 及 s2 為共軛複數根

自然響應：

因，故

欠阻尼 (Underdamped)

2 <4a b = 12

a

b

若即項不存在，則

上式為不隨時間衰減的弦波函數。

無阻尼 (Undamped)

0 0dy

dt

衰減振盪

t

-5

0

5

之波形5 sin3t

ny e t-

5 te-

5 sin 3te t-

5 te--

2

3

4

3

24

判別式與自然響應間關係(III)

3. 或

此種情況被稱為臨界阻尼，因

且此時 s1 及 s2 為相等實根，即

2 4 =0a b- 2 =4a b

1 22

as s -

= 12

a

b

之波形 21 2

at

ny At A e-

+

t 0

臨界阻尼曲線

21 2

at

ny At A e-

+

25

範例

某電路的方程式為，且已知 ,

若(a) a = 3, b = 2 ;(b) a = 2, b = 10 試求 y(t) 。

B. 特徵方程式為 , ,

所以 ,

因此

因此 A1 = 5 , A2 = －4 所以

A. 特徵方程式為因此 ,

, , ,

2

20

d y dya by

dt dt+ + 0 1y

03

dy

dt

2 3 2 1 2 0s s s s+ + + +

2

1 2

t ty t Ae A e- - + 1 20 1y A A + 2

1 22t tdy t

Ae A edt

- - - -

1 2

02 3

dyA A

dt - -

25 4t ty t e e- - -

2 2s -1 1s -

1 1 3s j - +

4

cos3 sin33

ty t e t t- +

2

4

3A

1 2

03 3

dyA A

dt - +

10 1y A

1 2 1 2cos3 sin3 3 sin3 3 cos3t t

dy te A t A t e A t A t

dt

- - - + + - +

1 2cos3 sin3ty t e A t A t- +

2 2 10 0s s+ + 2 1 3s j - -

26

領悟

簡諧運動

27

二階電路的零態響應 (I)

電路中未含初值，但外加獨立電源時電路的響應，其響應的形式為

其中 yn 為自然響應，其響應的形式和電路的特徵

方程式的解有關，而 yf 為外加電源所引起的激勵

響應或稱為穩態響應，其響應的形式與外加電源

之形式有關。

n fy y y +

28

範例考慮右圖之電路，設 i(0) = v(0) = 0，且輸入為 10 V之直流電壓，此電路之電壓方程式為

因vf 和外加電源之形式 (此例為直流 ) 有關，故可設 (K 為常數)

1 H 3 W

1

2 F

+

-

v t ( )

i t ( ) 10 V

因此

及

可得即

將代入得

2

2

sVd v R dv v

dt L dt LC LC+ +

2

23 +2 20

d v dvv

dt dt+

若已知，其中 vn 為滿足

之解 2

23 +2 0

d v dvv

dt dt+

n fv v v +

0+0+2 20K

fv K

10K

2

1 2 10t t

n fv t v v Ae A e- - + + +

1 2

0 02 0

dv iA A

dt C - -

1 20 10 0v A A + +

2

1 22t tdv t i t

Ae A edt C

- - - + -

220 10 10t tv t e e- - - + + Ｖ

fv K

1 220, 10A A -

由於上式之特徵方程式為因此 2 3 2 0s s+ + 1 21, 2s s - -

2

1 2

t t

nv Ae A e- - +即

29

二階電路的零態響應 (II)

從上面的討論，我們可以歸納以下幾點：

1) 二階電路的零態響應 y 包含自然響應 yn 與激勵響應 yf。

2) 自然響應可由齊次方程式 ( f (t) = 0 ) 求出。

3) 激勵響應 yn 與輸入函數有相同的形式，因此 yf 之形式可依

輸入函數之種類而事先假設，再代入方程式求解係數。

4) 最後由初值條件決定自然響應之係數，即可求出完整的解。

右表為常見輸入函數與其激勵響應之

對照表。由此表，可依據輸入函數之形式而預測之形式。若輸入函數有兩種或兩種以上可利用重疊定理求解之。

f(t) yf

C K

t At + B

t2 At2 + Bt + C

eσt Aeσt

sinωt Asinωt + Bcosωt

cosωt Asinωt + Bcosωt

eσt sinωt eσt (Asinωt + Bcosωt)

eσt cosωt eσt (Asinωt + Bcosωt)

30

範例

求下圖所示電路之 v(t) 及 i(t)，設 v(0) = i(0) = 0。

特徵方程式：

由於 v(0) = 0 因此

因此

又

故

又因 Vs 為直流電壓，故設，代入可得

1 H 2 W

1

10 F

+

-

v t ( )

i t ( ) 10 V

2

2

sVd v R dv v

dt L dt LC LC+ +

2

2 10 100d v dv

vdt dt

+ +

2 3 10 0s s+ +

2 1 3s j - -

1 1+ 3s j -

2

2 10 100d v dv

vdt dt

+ +

1 2cos3 sin3t

nv e A t A t- +

10fv

1 2sin3 cos3 10t

n fv t v v e A t A t- + + +

fv K

2 10A - 20 10 0v A +

2 1

10 3 0

10i A A - +

1 2 1 2

1sin3 cos3 3 cos3 3 sin3

10

t tdv t

i t C e A t A t e A t A tdt

- - - + + -

1

10

3A -

10

10 sin3 10cos33

tv t e t t- - +

Ｖ

10sin 3

3

ti t e t- Ａ

可得

,

31

二階電路的完全響應

電路中含有初值，且外加獨立電源時電路之響應。其響應的形式為 y = yn + yf 其中 yn 為自然響應，yf 為激勵響應。

考慮右圖之電路，設 i(0) = 1 A , v(0) = 2 V，

v(t) 之解為

所以 A1 = – 14 , A2 = 6

此電路之 i(t) 可由上式微分而得

由於 v(0) = 2

又

因此 v(t) 之完全響應為

1 2

02 2 0 2

dvA A i

dt - -

1 22 2t t

dv t i tAe A e i t

dt C

- - - -

2

1 2 10t tv t Ae A e- - + +

214 6 10t tv t e e- - - + +

2 2114 12 7 6

2

t t t tdvi t C e e e e

dt

- - - - - -

1 20 10 2v A A + + 1 2 8A A+ -

完全響應

1 H 3 W

1 2 F

+

-

i(t) 10 V v(t)

214 6 10 Vt tv t e e- - - + +

零輸入響應

1 H 3 W

1 2 F

i(t) v(t) +

-

26 4 Vt tv t e e- - -

零態響應

1 2

i(t) 10 V v(t)

+

-

1 H 3 W

220 10 +10 Vt tv t e e- - - +

59/65

32

0 atb by t y e

a a

- + -

回到一階

你可以把它丟掉了

0s a+

at

ny t Ae-

ssy t

正弦激勵、相量與正弦穩態分析

34

弦波的奇妙性質讓我們化繁為簡

正弦曲線的性質

正弦激勵電路分析(時域分析)

複數激勵電路分析(時域分析)

相量激勵電路分析(頻域分析)

Department of Electronic Engineering, NTUT 2/41

35

正弦曲線的性質(I)

正弦函數其波形如下圖所示。 sinmv t V t

峰值電壓: Vm (volt)

週期: T (sec)

描述弦波性質的參數

Vm

t (sec)

T

-Vm

2

3

2

2

5

2

6

2

0

T 波峰

波谷

峰值電壓

v t

頻率: f (Hz, cycle/sec)

角頻率: (rad/sec)

2 f

36

正弦曲線的性質(II)

正弦函數其波形如下圖所示。

sinmv t V t +

相位: (rad)

1 12 2ft t T

Vm

t (sec)

-Vm

2

3

2

2

5

2

6

2

0

T

1t

v t

除了振幅、頻率(週期)以外，還有一樣

相位的資訊讓我們能夠「比較」兩個頻率、振幅一樣的弦波

37

正弦激勵電路分析(時域分析)

在電路中，電阻器的電壓與電流關係為 vR = iR ；電壓

(或電流)為正弦函數，則電流 (或電壓) 亦為正弦函數。

電感與電容中電壓與電流之關係分別為 ,

正弦函數之微分及積分仍為正弦形式且其頻率不變，只是其振幅及相位會有改變。

上述電阻、電容與電感元件的正弦輸入響應均為正弦形式，且頻率亦相同。

R, L, C組成之電路正弦激勵完全響應 = 自然響應 + 激勵響應

輸入輸出

(無源) (有源/正弦)

L

div L

dt

1 t

Cv idtC -

38

範例

一個正弦激勵RL串聯電路如下圖所示，求電流i(t)的

激勵響應 if (t) 。

等式兩邊相同項的係數相等所以 ,

KVL：

設穩態解

代入可得激勵響應為

其中和

因為自然響應是故電流完全響應為

cosm

di tL Ri t V t

dt+

cos + sinfi t A t B t

cosm

di tL Ri t V t

dt+

mRA LB V+ 0LA RB- +

sin cos cos sin cosmL A t B t R A t B t V t - + + +

故 , 2 2 2

mLVB

R L

+2 2 2

mRVA

R L

+

將穩態解代入得

fi t

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos tan cos A

R

m m mf m

RV LV V Li t t t t I t

R L R L R L

- + - +

+ + +

2 2 2

mm

VI

R L

+

1tanL

R

- -

f ni t i t i t + 1

RtL

ni t A e-

L

+

- R i(t)

cos Vs mv t V t

sv t

煩!

39

範例

右圖為正弦 RLC串聯電路，求電壓v(t)及電流i(t)的穩態

由 KVL：

因此

因此

電流為

+ -

+

-

5

3R W 5 HL

i t

v t1

F25

C sv t

17cos3sv t t

2

2

1 sd v t dv t v tRv t

dt L dt LC LC+ +

2

25 85cos3

d v t dv tRv t t

dt L dt+ +

20cos3 +5sin 3 =5 17 cos 3 2.9 5 17 cos 3 166 Vv t t t t t - - -

1 1 3 17 3 17

60sin 3 15cos3 cos 3 1.33 cos 3 76 A25 25 5 5

dv t dv ti t C t t t t

dt dt + - -

比較係數後得 ,

令代入上式

經整理可得

1 2cos3 sin 3v t A t A t +

1 2 1 24 cos3 4 sin3 85cos3A A t A A t t- + + - -

1 24 85A A- + 1 24 0A A- - 1 20A -

2 5A

超煩!!

40

複數 (Complex Number)

複數之加減運算

a

b

A a jb +

Re

b

Im

| | A

直角坐標表示法： +A a jb

極坐標表示法： jA A e A

Re cosa A A

Im sinb A A

2 2A a b + 1tanb

a -

1j -1 1 1A a jb + 2 2 2A a jb +

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2+A A a jb a jb a a j b b + + + + + +

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2A A a jb a jb a a j b b- + - + - + -

• 共軛複數

+A a jb A a jb -

• 複數乘法

2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 1 2 2 1

A A a jb a jb a a ja b ja b j b b

a a b b j a b a b

+ + + + +

- + +　　　

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2A A A A A A +

• 複數除法

1 1 2 21 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a jb a jbA a jb a a b b b a a bj

A a jb a jb a jb a b a b

+ -+ + - +

+ + - + +

111 2

2 2

AA

A A -

直角座標運算

極座標運算

41

(a+jb) 轉 (I)

複數的直角座標與極座標相互轉換須特別注意直角座標轉換極座標時其所在的象限，以免造成角度的錯誤。

如圖 (a) ，A = 4 + j3 在第一象限，

則 ,

因此 A 的極座標形式為

如圖 (b) ，A = –4 + j3 在第二象限，

則

因此

A

2 24 3 5A + 1 3

= tan 36.94

-

5 36.9A

1 13 3= tan 180 tan 180 36.9 143.1

4 4 - -

- - -

　　

2 24 3 5A - +

5 143.1A

(a)

4

- tan 1 3

4

| | A 5

Re

3

j

o

o

A

A

j A

9 . 36 5

9 . 36 4 3

tan

5 3 4

3 4

1

2 2

+

+

-

Re

j

-

180°－ 3 4

1 tan

- 4

| | A 5 3

o o

o o

A

A

j A

1 . 143 5 1 . 143

9 . 36 180 4 3

tan

5 3 4

3 4

1

2 2

- -

+ -

+ -

-

(b)

42

(a+jb) 轉 (II)

如圖 (c) ，A = –4 – j3 在第三象限，

則

因此

o

o o

o o

A

A

j A

9 . 36 5

9 . 36 1 . 323

9 . 36 360 4 3

tan

5 3 4

3 4

1

2 2

-

-

- -

- +

-

-

j

| | A 5

Re

- 3

4

-

360°－ 3 4

1 tan

- 3

Re

j

- 4

| | A 5

o

o o

o o

A

A

j A

1 . 143 5

1 . 143 9 . 216

9 . 36 180 4 3

tan

5 3 4

3 4

1

2 2

-

-

+ - -

- + -

- -

-

-

180° + 3 4

1 tan

A

2 2

4 3 5A - + -

1 13 3 = tan 180 tan

4 4

180 36.9 216.9 143.1

- -- -

-

+ -

　

　

5 143.1A -

如圖 (d) ，A = 4 – j3 在第四象限，

則

因此

224 3 5A + -

1 13 3 = tan =360 tan

4 4

323.1 36.9

- -- -

- 　

5 36.9A -

(c)

(d)

43

複數激勵電路分析(I)

指數微分比正弦微分更容易，故使用指數激勵比

正弦激勵更容易求得激勵響應。

由複數分析知其中

下圖之 RL 串聯電路，若以複激勵 (Complex

excitation)函數取代實激勵(Real excitation)

，求解電流 i(t)。

KVL:

cos sinj t

m m mV e V t jV t +cos Re

sin Im

j t

m m

j t

m m

V t V e

V t V e

1

j t

mv V e

1cos Reg mv t V t v

+ -

L

R i(t) cosmV t

11+ j t

m

diL Ri V e

dt

1

j ti Ae

j t j t

mj L R Ae V e +

-1tan

2 2 2

Lj

m m RV V

A eR j L R L

-

+ +

1tan

1 2 2 2

Lj t

RmVi e

R L

- -

+

因此

假設i1為i(t)的複數響應，令

44

複數激勵電路分析(II)

與第38頁演算結果相同，此為RL電路的正弦激勵響應。

i(t)即為取 i1 的實響應(因本題vg(t)為v1的實響應)

若 i1 是複激勵函數 v1 的複響應，則 if (t)= Re[i1] 是 vg = Re[v1] 所造成的響應

此原理適用於所有線性電路。

即或可得

1tan

1 2 2 2

Lj t

RmVi e

R L

- -

+

已得

1tan

1

12 2 2 2 2 2

Re Re cos tan

Lj t

Rm mV V Li t i e t

RR L R L

- -

-

- + +

11 1Re Re

diL Ri v

dt

+

1 1Re Re cosm

dL i R i V t

dt+ 1Refi t i t i

45

有沒有更方便的方法

回顧複激勵方法:

遊戲規則?

KVL: 並令 11+ j t

m

diL Ri V e

dt

1

j ti Ae

j t j t

mj L R Ae V e +

-1tan

2 2 2

Lj

m m RV V

A eR j L R L

-

+ +

1tan

1 2 2 2

Lj t

RmVi e

R L

- -

+

代入上式得

可知在求取A的過程中，

其實是不需用到項。

但是：

遇到”微分”會跑出

一個項。

同理，遇到”積分”

會跑出一個項。

j te

j te

j

j te

1 j

典型在夙昔 j te

46

頻域相量電路分析 (I)

根據尤拉公式 (Euler’s formula)可知一個時域弦波可表示為：

為了計算的便利性，我們可以先將給忽略掉，因此剩下的項才是會在計算中起作用的，而這個除了之外的項稱為相量(Phasor)。

有些情況亦有使用 rms 值表相量的大小，如

在其他教科書中，相量可能用粗體或上標”-”表示：

cos Re Rej j t j t

m mv t V t V e e Ve +

j

m mV V e V

2

j mrms rms

VV V e V

j

m mV e V V 或 j

m mV V e V

j te

j te

(習慣上常用peak值，而非rms值)

頭尾巴

47

頻域相量電路分析 (II)

頻域

I

R

+

-

V RI

時域

i

R

+

-

v Ri

頻域

I

+

- 時域

i

L

+

-

div L

dt V j LI j L

頻域

+

-

V

1I j CV V I

j C

1

j C

時域

C

+

-

v

dvi C

dt

電阻

電感

電容

R R

L j L

C1

j C

電阻

電抗

(感抗)

電抗

(容抗)

基因遺傳

48

頻域相量電路分析 (III)

+ -

L

R i(t) cosmV t + -

R I 0mV V

j L

j LI R V + 1

2 2 2

0tan

L

m mV VV LI

R j L R j L RR

- -

+ + +

1 1tan tan

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2Re Re cos tan

L Lj j t

j tR Rm m mV V V Li t e e e t

RR L R L R L

- - - -

-

- + + +

遊戲規則2:基因遺傳

遊戲規則1:斷尾求生

代數方程式!

遊戲規則3:還我尾巴來!

49

R、L及C的電壓/電流相量關係

頻域

I

R

+

-

V RI 時域

(a)

i

R

+

-

v Ri t

v i , v i

(b)

時域頻域

i

L

+

-

I

+

-

(a) (b)

div L

dt V j LI j L

v i

t

v i ,

v

i

t

v i ,

時域頻域

C

+

-

v

+

-

I

1

j C

dvi C

dt

(a) (b)

1V I

j C

50

阻抗和導納 (I)

電路的阻抗 Z (Impedance)定義為電壓相量和電流相量的比值：

1cosmv t V t +

2cosmi t I t +2mI I

1mV V

1 2= m

m

VVZ Z R jX

I I - + W

(a) 時域電路

時域電路 +

- 頻域電路

+

- V

I

(b) 頻域(相量)電路

v t

i t

ImX Z

ReR Z

電抗 (Reactance)

電阻 (Resistance)

通常Z會記成表示阻抗是 ω 的

複函數，而實部電阻和虛部電抗是 ω 的實函數。

Z j

R R

X X

R

X Z R jX +

Re

Im 2 2Z R X +

1tanX

R -

cosR Z

sinX Z

51

阻抗和導納 (II)

根據阻抗定義，電阻器、電感器、和電容器的阻抗：

電阻器

電感電抗為

電容電抗為

阻抗的倒數，稱為導納(Admittance)。

因為 Z 是一個複數，所以 Y 也是複數，Y 的一般表示式

為 Y = G + jB ，其中 G = Re[Y] 和 B = Im[Y] 分別稱為

電導和電納(Susceptance)。Y 和 G、B 的單位都是姆歐。

R

VZ R

I

LX LL L

VZ jX j L

I

1CX

C -

1C C

VZ jX j

I C -

1Y

Z

2 2 2 2

1 1=

R jX R XY j G jB

Z R jX R jX R jX R X R X

- - +

+ + - + +

52

克希荷夫定律與阻抗組合

如圖(a)的RL串聯時域電路，其對應的頻域相量電路如圖(b)，其電流相量為？

而

KVL: 或

得電流相量是

+ -

L

Ri cos VmV t

(a) 時域電路

+ -

R

j L

I0mV

(b) 等效相量電路

0L mZ I RI V+ 0mj L R I V +

1

2 2 2cos tanmV L

i t tRR L

- -

+

1

2 2 2

0tanm mV V L

IR j L RR L

- -

+ +

Z j L R +0mVV

IZ R j L

+

53

範例7

在圖(a)的時域電路中，求電壓 v(t) 和電流 i(t) 之穩態值。

1. 將圖(a)轉成頻域相量電路如圖 (b)。

3. 圖(c)可得出

穩態電流為

10 0V 2 rad sec

Z 2 L j L j W 1

1 CZ j jC

- - W

1 2

10 0 10 04 36.9

2.5 36.9TI

Z Z

-

+

1 4 36.9

2.83 8.1 A1 1 2 45

TI Ij

-

- -

2.83sin 2 8.1 Ai t t +

+ -

+

- 10sin 2 Vt

1.5 W 1 H

0.5 F 1 W Ti t i t

v t

(a) 時域電路

+

-

+

-

10 0 1 W

2 j W

1 j- W

1.5 W

TII

V

(b) 相量電路

+

-

+

-

TI

10 0 V

1Z

2Z

(c) 相量電路

,

,

2. 圖 (c) 的等效阻抗為

穩態時域電壓為

1 1.5 2Z j +

2

1 10.5 0.5

1 1

jZ j

j

- -

- +

0.283sin 2 81.9 Vv t t -

,

2

1 2

0.5 0.510 0 10 0

1.5 2 0.5 0.5

Z jV

Z Z j j

-

+ + + -

0.283 81.9 V -

54

領悟

時域分析的代數化：通解

暫態：特徵方程式 (求齊次解, 無源)

穩態：特解 (求特解, 有源)

求穩態還是有點囉嗦阿!!

相量分析(頻域)繼續貫徹代數化 > 週期性旋轉的尾巴 out!!

> 親愛的，我把「時變的」變成非時變了！

j te

拉普拉斯分析(頻域)完整代數化

55

領悟

L LZ jX j L 1

C CZ jX jC

-

大水桶理論：容量與收放

0@

56

source load 收放

水桶接力賽

放收

正在收正在放

還回去

(虛功)

真正能倒給負載的

(實功)

57

諧振

source load 收放

放收

正在收正在放

恰恰好!

倒給負載

58

諧振

LC水桶互倒

自己玩自己的(隱形了)

抽掉source與load

振盪

59

領悟

諧振：要有一收一放的水桶們

振盪：要有一收一放的水桶們

(抽掉source/load === 負阻)

有 Ringing！不可能是一階電路！

是否一定要有L跟C才可能振盪？

60

濾波器

61

62

63

64

65

66

67

68

傳輸線

Source

Source

impedance Load

impedance

傳輸線(Transmission line)

sv

sZ

LZ

l

Lv

G x

L xR x

C xsZ

sv LZ

dx dx dx

一小段傳輸線

分配式電路模型

69

在傳輸線上的電壓與電流是位置與時間的函數

輸入:

輸出:

R: 有限導電性，G: 介電損耗

, , ,v x t i x t

, , ,v x x t i x x t+ +

,v x x t+

,i x x t+ R x L x

G x C x ,v x t

,i x t

8/47

一小段傳輸線

70

• 根據克希荷夫電壓定理(KVL):

• 根據克希荷夫電流定理(KCL):

,

, , ,i x t

v x t v x x t R x i x t L xt

- + +

,

, , ,v x x t

i x t i x x t G x v x x t C xt

+ - + + +

,v x x t+

,i x x t+ R x L x

G x C x ,v x t

,i x t

9/47

傳輸線(電報)方程式(I) – 無限長傳輸線

71

, ,,

v x t i x tRi x t L

x t

- -

, ,,

i x t v x tGv x t C

x t

- -

, , ,,

v x t v x x t i x tRi x t L

x t

- + +

, , ,,

i x t i x x t v x x tGv x x t C

x t

- + + + +

• 重新整理後可得

• 假設Δx非常小，上式可寫為

這兩道偏微分方程式描述了一條傳輸線上電壓與電流在不同位置的大小與變化，稱為傳輸線方程式(transmission-line equation)，也稱為電報方程式(telegrapher equation)。

10/47

傳輸線(電報)方程式(II) – 無限長傳輸線

72

• 根據克希荷夫電壓定理(KVL):

• 根據克希荷夫電流定理(KCL):

V x V x x R x I x j L x I x- + +

I x I x x G x V x x j C x V x x- + + + +

V x x+

I x x+ R x j L x

G x1

j C x V x

I x

, cosv x t V x t

11/47

傳輸線方程式(III) - 用相量來推導

73

dV xRI x j LI x

dx - -

dI xGV x j CV x

dx - -

V x V x xRI x j LI x

x

- + +

I x I x xGV x x j CV x x

x

- + + + +

• 重新整理後可得

• 假設Δx非常小，上式可寫為

這兩道微分方程式描述了一條傳輸線上電壓相量與電流相量在不同位置的大小與變化，稱為傳輸線方程式(transmission-line equation)，也稱為電報方程式(telegrapher equation)。

12/47

傳輸線方程式(IV) - 用相量來推導

74

, cos Re Rej t x j x j tv x t f x t x f x e f x e e

+

+

, cos Re Rej t x j x j ti x t g x t x g x e g x e e

+

+

j xI x g x e

j xV x f x e

, Re j tv x t V x e

, Re j ti x t I x e

• 時域表示式:

f(x) 與 g(x) 是與位置有關的函數，而與則是用來描述與位置相關的相位。

x x

• 相量表示式：

time-domain

14/47

正弦穩態分析

75

• 對無損耗的傳輸線而言，R = G = 0

,v x x t+

,i x x t+ L x

C x ,v x t

,i x t

無損耗傳輸線

V xj LI x

x

-

I xj CV x

x

-

dV xj LI x

dx -

dI xj CV x

dx -

V x dV x

x dx

(Think that if approaches zero?)

76

V xj LI x

x

-

I xj CV x

x

-

dV xj LI x

dx -

dI xj CV x

dx -

V x dV x

x dx

2

2

2

d V x dI xj L LCV x

dx dx - -

• 拉普拉斯方程式

2 2

2 2

2 20

d V x d V xLCV x V x

dx dx + +

LC • 相位傳播常數

• 通解：

j x j xV x Ae Be - + ，其中A與 B 為複常數(complex constant)

• 無損傳輸線方程式(Phasor)

( 表示波行進每公尺所改變的相位量。)

這是Phasor

15/47

電壓波之解

77

, Re Rej x t j x tj tv x t V x e Ae Be

- - + +

0 0

, Re Rej x t j x tj t A B

i x t I x e e eZ Z

- - + -

cos cosA x t B x t - + +

0 0

cos cosA B

x t x tZ Z

- - +

j x j xV x Ae Be - +

0 0

j x j xA BI x e e

Z Z

- -

• 將Phasor回復成時域波形

電壓波

電流波

20/47

傳輸線上的時域波形

78

1 1 j x j x

dV xI x A j e B j e

j L dx j L

- - + - -

LC

• 定義 0

L L LZ

CLC

j x j xA e B eL L

- -


dV x

j LI xdx

-已知電壓波且

，其中

Z0 稱為傳輸線的特徵阻抗，它表示傳輸線上電壓波與電流波之比值。在無損耗的情況下，Z0 為實數。

0 0

j x j xA BI x e e

Z Z

- -

16/47

Z0為實數? 這是什麼意思?

特徵阻抗

79

我們先用很簡單的電路學來看一下梯型網路的視入阻抗：

1Z

2Z 3Z 3 1 2Z Z Z +

1Z

2Z2Z

1Z

2Z

1Z

3Z

1Z

4Z5Z

4 2 3||Z Z Z

17/47

特徵阻抗 - 另一種觀點 (I)

80

無限長的梯型網路：

2 01 1 0

2 0

2 0

1

1 1ab

Z ZZ Z Z Z

Z Z

Z Z

+ + +

+

可解得

2

1 10 1 2

2 4

Z ZZ Z Z

+ +

Z0稱為無限長梯狀網路的特徵阻抗

既然梯型網路是無限長，那麼在它前面再增加一個梯型網路，它仍然是無限長。我們若說這個無限長的梯型網路由a-b往右視入的阻抗為Z0，那麼我們也可以說從c-d往右視入的阻抗也是Z0(仍然是無限長的梯型網路)。

1Z

2Z2Z

1Z

2Z

1Z 1Zc

d

a

b

a

b

c

d

2Z

1Z

0Z0Z

a

b

18/47

特徵阻抗 - 另一種觀點 (II)

81

1Z j L

2

1Z

j C

L

C C

La

b

領悟

無限長(無損)傳輸線

前方總是有人源源不絕地幹走能量

Source源源不絕地提供這能量

就好像

有一顆電阻！

2

1 10 1 2

2 4

Z Z LZ Z Z

C

+ +

若切的夠細

實數特徵阻抗的物理意義表明「傳播」的思考！

(複數特徵阻抗表明傳播與損耗)

82

1Z j L

2

1Z

j C

L

C C

La

b

有限長(無損)傳輸線

如果我在傳輸線末端真的接了顆電阻

而這顆電阻剛剛好等於 Z0

完美的欺敵戰術！

load

0

term

L

term

V xR Z

I x

83

1Z j L

2

1Z

j C

L

C C

La

b

有限長(無損)傳輸線

傳輸線末端開/短路/非Z0負載(邊界條件)

load

電流 = 0

反射

1Z j L

2

1Z

j C

L

C C

La

b

load

LR

0LR

電壓 = 0 反射

84

領悟

反射

入射波與反射波互相干涉

導致線上處處位置的不再是定值

V x

I x

阻抗轉換

(傳輸線效應)

01Z 02Z

不連續處：一樣的道理

細說相量


86

在一些書上，phasor 的符號可能記為

尤拉公式 (Euler’s Formula)

尤拉公式

一實數訊號可寫為

相量(phasor)

cos sinjxe x j x +

cos Re Rej t j j t

p p pv t V t V e V e e

+ +

cos sindef

j

p p pV V e V V j +

不要與向量(Vector)的符號搞混了。 A

phasor

V V

cospv t V t +

87

尤拉公式的由來：小把戲、新發現

尤拉心血來潮：令，其中

他發現，這裡面不正是….鼎鼎大名的

2 3

lim 1 11! 2! 3!

n

x

n

x x x xe

n

+ + + + +

x jx

2 3 2 4 3 5

1 11! 2! 3! 2! 4! 3! 5!

jxjx jxjx x x x x

e j x

+ + + + - + - + + - + - +

1j -

1lim 1

n

ne

n

+

6/33

2 4

cos 12! 4!

x xx - + - +

3 5

sin3! 5!

x xx x - + - +

cos sinjxe x j x +

cos sinjxe x j x- -

cos2

jx jxe ex

-+

sin2

jx jxe ex

j

--

然後就得到了

與

88

座標系統 (Coordinate Systems)

x-axis

y-axis

x-axis

y-axis

P(r,θ)

θ

r

P(x,y)

2 2r x y +

1tany

x -

cosx r

siny r

直角座標系統

(Cartesian Coordinate System)

極座標系統

(Polar Coordinate System)

(x,0)

(0,y)

cos ,0r

0, sinr

Projection

on x-axis

Projection

on y-axis

89

正弦波形(sine)

一個點，繞圓一圈，該點在圓上各處於y軸投影量(離原點距離)形成正弦波形。

x-axis

y-axis

P(x,y)

x

y r

θ θ θ

y

θ 0 π/2 π 3π/2 2π

90

x

θ

0

π/2

π

3π/2

餘弦波形(cosine)

x-axis

y-axis

θ

一個點，繞圓一圈，該點在圓上各處於x軸投影量(離原點距離)形成餘弦波形。

弦波與圓太有關係了！

當一個點，繞圓一圈，角度轉了2π rads將回到出發點。再繼續繞下去，周而復始，其投影量所展現的弦波波形亦同。

91

複數平面 (I)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 定義了複數平面，他將虛軸的單位長度訂為一個 “ j ” 。因此一個複數Z = x + jy 即可以座標形式表示為(x, yj)。

這與 x-y 平面一樣，對吧！

Re-axis

Im-axis

Re-axis

Im-axis

P(r,θ)

θ

r

P(x,yj)

2 2r x y +

1tany

x -

cosx r

siny r

(x,0j)

(0,yj)

cos ,0r

0, sinr

1j -

92

複數平面 (II)

乘上一個 j 往哪個方向旋轉多少度？這很好驗證！

每次只要你把某個東西乘上 j，那個東西將會旋轉 90度

1j - 2 1j - 3 1j - - 4 1j

Re-axis

Im-axis

1

1*j=j

j

j*j=-1

-1

-j

-1*j=-j -j*j=1

(0.5,0.2j)

(-0.2, 0.5j)

(-0.5, -0.2j)

(0.2, -0.5j)

93

弦波 – 複數平面上圓軌跡的投影

Re-axis

Im-axis

P(x,y)

x

y r

θ θ θ

y = rsinθ

θ 0 π/2 π 3π/2 2π

94

相量表示法 (I) – 以sine為基底

sin Im Imj j t j j

sv t A t Ae e Ae e +

Re-axis

Im-axis

P(A,ϕ)

y = Asinϕ

θ 0 π/2 π 3π/2 2π

ϕ

t

time-domain waveform

在複數平面上的給定一個不動的點(相量)，它代表的

正是時域上的弦波。

把「會動的」轉成「不會動」的 => 尾巴不含資訊

相量的另一個物理意義是什麼？

95

Re-axis

Im-axis

P(A, ϕ)

y = Acos ϕ

θ 0 π/2 π 3π/2 2π

ϕ

t

time-domain waveform

相量表示法 (II) – 以cosine為基底

cos Re Rej j t j j

sv t A t Ae e Ae e +

96

相量表示法 (III)

1

1 1 1 1sin Imj j tv t A t A e e +

Re-axis

Im-axis

P(A1, ϕ1)

ϕ1

P(A2, ϕ2)

P(A3, ϕ3)

θ 0 π/2 π 3π/2 2π

t

A1sin ϕ1

2


3


A2sin ϕ2

A3sin ϕ3

14/51

弦波的合成使用相量可以很容易地處理 => 複數相加

97

到處都是相量

電路學、電子學

相量通常是複常數

電磁學、微波工程

相量通常隨空間位置而變動

通訊系統

相量隨時間變動，也稱為複數波包

5cos 1000 30sv t t + 5 30sV

, cos cos Rej x t j x t

v x t A x t B x t Ae Be

- - +

- + + +


Re j tV x e

時變相量、調制與收發機基本架構

99

調變 (Modulation)

為什麼需要調變(調制)?

溝通需要

頻寬 (Bandwidth)

天線尺寸 (Antenna Size)

安全性(Security)、避免干擾等…

Voice

Electric signal

Audio

Equipment

Audio

Equipment Modulator Demodulator

Electric signal

Voice

100

振幅調變 (Amplitude Modulation)

cos 2m BB cs t s t A f t

基頻實訊號

Baseband real signal

Voice

Electric signal

Audio

Equipment

Audio


Electric signal

Voice

BBs tcos2 cA f t

載波 (Carrier or local)

High-frequency sinusoid

振幅調變訊號

Amplitude-modulated signal

(AM signal)

101

頻率調變 (Frequency Modulation)

cos 2m c f BBs t A f K s t t +

Voice

Electric signal

Audio

Equipment

Audio


Electric signal

Voice

BBs tcos2 cA f t

頻率調變訊號

Frequency-modulated signal

(FM signal)

基頻實訊號




102

相位調變 (Phase Modulation)

Voice

Electric signal

Audio

Equipment

Audio


Electric signal

Voice

cos 2m c p BBs t A f t K s t +

cos 2 c BBA f t t + BBs tcos2 cA f t

相位調變訊號

Phase-modulated signal

(PM signal)

基頻實訊號




103

線性調變 (Linear Modulation)

cos 2m BB c BBs t A t f t t +

Voice

Electric signal

Audio

Equipment

Audio


Electric signal

Voice

BBs tcos2 cA f t

線性調變訊號

Linear-modulated signal

BBs t , ?BB BBA t t

基頻實訊號




104

線性調變之通式

考慮一調變訊號，資訊同時載於弦波之振幅與相位

2cos 2 Re c BBj f t t

m BB c BB BBs t A t f t t A t e

+ +

2 2Re Re cos sinBB c cj t j f t j f t

BB BB BB BBA t e e A t t j t e +

cos sinBBj t

l BB BB BB BBs t A t e A t t j t

+

cos sinBB BB BB BBA t t jA t t I t jQ t + +

Re cos2 sin 2m c cs t I t jQ t f t j f t + +

cos 2 sin 2c cI t f t Q t f t -

Time-varying phasor (information in both amplitude and phase)

BBs t : real

ls t : complex

調變訊號是一個實數訊號，數學上表明它是 I(t)、Q(t)與載波的線性組合。因此，線性調制器也稱作I/Q調制器(I/Q Modulator)，此調制器是一種通用型調變器(universal modulator)。

105

計算紙

106

線性調制器 (I/Q調制器)

調制器的功能就是完成線性調變的數學操作而已

Re cos sin cos2 sin 2m BB BB BB c cs t A t t j t f t j f t + +

cos cos2 sin sin 2BB BB c BB BB cA t t f t A t t f t -

cos2 sin 2c cI t f t Q t f t -

I t

cos ctsin ct-

Q t

ms t

I t

cos ctsin ct

Q t

ms t

+

- 90

I t

cos ct

Q t

ms t

I component Q component

I channel Q channel

107

發射機架構 (I)

線性發射機

90

I t

cos ct

Q t

ms t

Power Amplifier

(PA)

Antenna

Bas

eban

d

Pro

cess

or

90

cos ct ms t

Power Amplifier

(PA)

Antenna

Matching /

BPF Matching

I t

Q t

Bas

eban

d

Pro

cess

or

108

發射機架構 (II)

極座標發射機

22cos 2 Re Re c BBc

j f t tj f t

m BB c BB l BBs t A t f t t s t e A t e

+ +

BBA t

cos ct

ms t

Switching-mode

PA

Antenna

Phase

Modulator Matching

BBA t

BB t

Bas

eban

d

Pro

cess

or

Amplitude

Modulator

• Linear regulator

• PWM modulator

• Class-S modulator

• Linear modulator to generate PM signal

• Frequency synthesizer or PLL-based PM modulator

• Analog scheme: EER

2Re c BBj f t t

e +

109

線性解調變 (Linear Demodulation)

cos 2 cos2 sin 2m BB c BB c cs t A t f t t I t f t Q t f t + -

2 1 1cos2 cos 2 sin 2 cos2 cos4 1 sin 4 sin 0

2 2m c c c c c cs t f t I t f t Q t f t f t I t f t Q t f t - + - +

2 1 1sin 2 cos2 sin 2 sin 2 sin 4 sin 0 1 cos4

2 2m c c c c c cs t f t I t f t f t Q t f t I t f t Q t f t - - + - + + -

cos 4 sin 4

2 2 2c c

I t I t Q tf t f t

+ -

sin 4 cos4

2 2 2c c

Q t I t Q tf t f t

- +

?

Receiver ms t BBs t

接收到的調變訊號:

Multiplied by “cosine”:

Multiplied by “- sine”:

High-frequency components

(這是我們不想要的，應該要被濾除)

High-frequency components

(這是我們不想要的，應該要被濾除)

110

線性解調器

I t

cos ctsin ct-

Q t

ms t

LPF

LPF

I t

Q t

ms t

LPF

LPF

90

cos ct

BBj t

l BBs t A t e I t jQ t

+ 2 2

BBA t I t Q t +

1tanBB

Q tt

I t -

Baseband

Processing Original Information (or data)

I t

Q t

111

接收機架構

線性接收機 (以直接降頻為例)

90

I t

cos ct

Q t

ms t

Low Noise Amplifier

(LNA)

Bas

eban

d

Pro

cess

or

LPF

LPF

Matching /

BPF 90

I t

cos ct

Q t

ms t

Low Noise Amplifier

(LNA)

Bas

eban

d

Pro

cess

or

LPF

LPF

Matching

112

數位調制 (Digital Modulation)

I(t) 跟 Q(t) 用於數據傳輸？

若 I(t) 跟 Q(t) 在發射端為脈波，理論上在接收端所解出來的 I(t) 與 Q(t) 波形也正是脈波。

cos 2 sin 2m c cs t I t f t Q t f t -

I t

cos ctsin ct-

Q t

ms t

LPF

LPF

I t

cos ctsin ct-

Q t

TX RX

Assume the LPF has a

sufficiently wide bandwidth to

recover the pulse waveform.

113

四相位鍵移調制 (QPSK)

QPSK訊號是一個很好的說明範例

I t

Q t

1,1

1, 1- 1, 1- -

1,1-

cA+

cA+cA-

cA-

Constellation

I t

cos ctsin ct-

Q t

S/P

Converter

Binary

Baseband

Data I t

Q t

Binary

Baseband

Data

bT

2 bTt

S/P Converter

根據數據的線性組合結果，QPSK訊號共有4種不同的相位狀態 (1 symbol = 2 bits = 4 states). Symbol

114

由於QPSK的I(t)與Q(t)可能同時變化，而造成調制訊號瞬間有劇烈的180度相位變動。

調制訊號之相位變化 (Phase Transition)

I t

Q t

S/P

Converter

Binary

Baseband

Data

I t

Q t

t

I t

Q t

1,1

1, 1- 1, 1- -

1,1-

cA+

cA+cA-

cA-

Constellation

Constant

envelope

115

頻寬的考量 (I)

脈波波形(rectangular waveform)是由很多的頻率成分所組成，因此頻寬很寬，而這種寬頻的訊號譜在實際的情況中通常不被允許(特別是在無線通道中)。

cos 2 sin 2m c cs t I t f t Q t f t -

I t

cos ctsin ct-

Q t

TX

f

f

f

mS f

How to limit the

bandwidth?

cf

cff

0

0

116

頻寬的考量 (II)

在通帶(passband)限制頻寬，這會是好辦法嗎?

I t

cos ctsin ct-

Q t

TX

BPF

cff

channel

f

I t

cos ctsin ct-

Q t

BPF2

BPF1

BPFn channel

f

channel channel

Requiring many BPFs for each channel is impractical

selector

cf

117

頻寬的考量 (III)

在基頻就限制頻寬 – 脈波整形技術 (Pulse Shaping)

I t

cos ctsin ct-

Q t

LPF

LPF

f

t

0

f

t

0

f0

f0

cff

The low-pass filter is use to shape the

waveform, thus called “pulse shaping

filter,” or “shaping filter.”

Constant envelope

(before shaping) 180 18090

Time-varying envelope

(after shaping)

Smooth the sharp transition

1,1 1,1-

Q t

I t

1, 1- 1, 1- -

118

限制頻寬與符碼間干擾 (I)

Nyquist Filter :

使用Nyquist濾波器濾波可以在每個取樣瞬間避免符碼間干擾(ISI)

Brick-wall LPF

IFT

Sinc shape

Raised Cosine Filter

119

限制頻寬與符碼間干擾 (II)

Gaussian Filter :

高斯濾波器的時域響應亦為高斯，能使時域波形在濾波後沒有overshot或

ringing現象。這樣的響應並無法避免ISI，但限制訊號頻寬的效果較好。

Reduce bandwidth : 小的BT值具有更陡峭的頻率響應，但ISI問題會更嚴重

Relative bandwidth BT = (filter BW) / (Bite rate)

Power spectra of MSK and GMSK Signals for varying BT

BT=0.2

BT=0.25

BT=0.3

Impulse response

MSK : BT is infinite

(no filter)

120

最佳接收機 (Optimum Receiver)

先知道你的樣子，我就會更容易認出你來！

I t

cos ctsin ct-

Q t

ms t

LPF

LPF

I t

cos ctsin ct-

Q t

LPF

LPF

TX RX

Matched Filter

121

較接近真實收發機的說明

I t

cos ctsin ct-

Q t

LPF Filter

Filter

DAC

DAC LPF

Digital Processor

Digital pulse shaping filter

Waveform recovery filter

for DAC

Data (bits) Waveform

(digital, M-bits)

Quantized Waveform (analog) Recovered Waveform (analog)

I t

cos ctsin ct-

Q t

ms t

LPF

LPF

Filter

Filter

Digital Processor

Matched filter or

correlator

ADC

ADC

Demodulated Waveform (analog)

Sampled Waveform

(digital)

Decision

Decision

Data (bits)

Mixing spurs remover

Encoder and decoder are not

included here for simple.

122

領悟

線性發射機/極座標發射機

只是用電路表達出調制的數學式

架構絕對單調!

Re cos sin cos 2 sin 2BB BB BB c cA t t j t f t j f t + +


2cos 2 Re BB cj t j f t

m BB c BB BBs t A t f t t A t e e +

123

cos ctsin ct-

推廣

是不是長這副德性的都是調制器?

如果是的話，我幹嘛這樣問….

124

領悟

Hilbert Transform

90度相移器

Re

Im

Re

Im

Re

Im

2

Aj+

2

A

2

A

2

Aj-

c-

c+

cos2

c cj t j t

c

AA t e e

- +

9090cos 90

2

ccj tj t

c

AA t e e

- -- - +

2 2c cj t j tA A

je je -

- +

sin cA t

125

Pre-envelope

Re

Im

2

Aj+

2

A

2

Aj-

c-

c+

sin2

c cj t j t

c

e eA t A

j

-

-

2

A-

sin cjA t

Re

Im

2

A

2

Ac-

c+

cos ct

Re

Im

Ac-

c+

cos sinc ct jA t +

複數譜 cos sinc cA t jA t +

(SSB spectra)

sine is the Hilbert transform of the cosine

To get a SSB spectra: (1) real signal (2) its Hilbert transform (3) = (1)+j(2)

126

Re

Im

X

c+

c-

X jX

jX -

90

sgnX X j -

Re

Im

S

c+

c-

S jS

jS -

Re

Im

S

c+

c-

S -

jS

jS -

Re

Im

ˆS jS +

c+

S ˆjS

ˆs t js t+

有點眼熟耶!

127

Re cos sin cos2 sin 2BB BB BB c cA t t j t f t j f t + +


2cos 2 Re BB cj t j f t

m BB c BB BBs t A t f t t A t e e +

ˆs t js t+

cos ctsin ct-

s t

s t

cos ctsin ct-

s t

s t 90度

I t Q t

128

I t

cos ctsin ct-

Q t

IFs t

I t

cos IFtsin IFt-

Q t

IFs t

Modulated signal (real signal)

f0 Hz

USB LSB

IFfIFf-

cos 2 cf t

RF 0 Hz

cfcf-

USB LSB LSB USB

IF cf f+c IFf f-IF cf f-c IFf f- -

Double sideband (DSB)

mixing

upconversion

IF LO By filtering (or by Hartley/Weaver), you can choose

only USB or LSB transmission, which is call the

single-sideband (SSB) transmission.

cos ctsin ct- ms t

90度

Hartley TX

I t

cos ctsin ct

Q t

cos ctsin ct ms t

Weaver TX 0 Hzcfcf-

USB USB

IF cf f+c IFf f-IF cf f-c IFf f- -

SSB TX

(Phasing Techniques)

129

同樣的概念用在 RX

就是

免用濾波器的

鏡像拒絕接收機 (Image Rejection Architectures)

130

cos ctsin ct

cos ctsin ct

cos ctsin ct

cos ctsin ct ms t

然後你就會在 paper 上看到

幾百萬顆莫名其妙的mixers

Phasing Techniques!

Quadrature XXXX

這張圖是亂兜的～示意圖而已

送給每天讀 paper 的研究生：「請保重!!」

131

在頻域上看調制譜的形成

複習週期性訊號的傅立葉級數表示法(Fourier Series)

非週期性訊號與傅立葉轉換(Fourier Transform)

實數訊號的頻譜長相

AM、PM與線性調制訊號

複數波包(Complex Envelope)的概念

132

傅立葉級數 (Fourier Series)

週期性訊號的三種傅立葉級數表示法 :

Sine-cosine form

Amplitude-phase form

Complex exponential form

0 1 1

1

cos sinn n

n

x t A A n t B n t

+ +

0 1

1

cosn n

n

x t C C n t

+ +

1jn t

n

n

x t X e

-

x t

t

x(t)

t

t

t

X j

1f 13 f 15 f

.etc

T1

1 1C

2 2C

3 3C

133

Sine-Cosine Form

除了直流(DC)外，一時變訊號在各諧波頻率上是由兩種成分組成：一個是cosine，另一個是sine，他們各自的振幅大小可用An與Bn來表示。

00

area under curve in one cycle

period T

1 T

A x t dtT

10

2cos , for 1 but not for 0

T

nA x t n tdt n nT

10

2sin , for 1

T

nB x t n tdt nT

is the DC term (average value over one cycle)

(A complete cycle can also be noted

from ) ~2 2

T T-

1

1 10 0

cos 0cos 22 2cos cos 1

2 2

T T

n

n tA n t n tdt dt

T T

+

1 1

1 10 0

cos 2 1 cos2 2cos 1 cos 0

2 2

T T

n

n t tA n t n tdt dt

T T

- - +

1

1 10 0

sin 0sin 22 2sin cos 0

2 2

T T

n

n tA n t n tdt dt

T T

-

檢查法!

134

Amplitude-Phase Form

同樣頻率的弦波相加後，仍得到相同頻率的弦波。

因此相同頻率的cosine波與sine波相加後，可用單一個弦波來表示，因此傅立葉級數又可寫作：

0 1

1

cosn n

n

x t C C n t

+ +

0 1

1

sinn n

n

x t C C n t

+ +

2 2

n n nC A B +

或

0 0C A 為 DC 項

表示在頻率nf1上cosine與sine合成後的振幅。通常會以cosine做為基底，所寫出複數係數即為該頻率下的相量。

其中

135

Complex Exponential Form (I)

尤拉公式的啟發：

1

1 1cos sinjn t

e n t j n t +

1

1 1cos sinjn t

e n t j n t -

-

1 1

1cos2

jn t jn te e

n t

-

+

1 1

1sin2

jn t jn te e

n tj

-

-

cos sinjxe x j x +

cos sinjxe x j x- -

cos2

jx jxe ex

-+

sin2

jx jxe ex

j

--

回顧：

尤拉公式說明了一個數學上的事實：

若想要使用complex exponential form來完整表達出cosine或sine波，必定要存在正頻與負頻的項。或者說cosine是一個實數，它必定由正頻與負頻的成分組合而成；更推廣地來說，世界上任何的實數訊號，必定要由正頻與負頻成分所組合而成。

1n 稱為正頻率，而

1n- 為負頻率。此處

136

Complex Exponential Form (II)

以complex exponential form寫成的傅立葉級數

有一弦波具有頻率kf1 (k > 0)，該弦波的譜線具有兩個成分：

1 1jk t jk t

k kX e X e -

-+ where kkX X-

1jn t

n

n

x t X e

-

1

0

1 Tjn t

nX x t e dtT

-

where Xn is a complex value

第一項為正頻成分之貢獻，而第二項為負頻成分之貢獻。雖然他們各自為複數量，但是在相加之後便可創造出一個實數量。(想想看一元二次方程式的問題?)

檢查法!讓頭曝露出來!

137

當訊號週期趨近於無限大

T 2T 3T 4T 5T

x t

f

nX

T 2T

T

T

f

nX

f

nX

f

nX

Single pulse T

138

傅立葉轉換 (Fourier Transform)

傅立葉轉換與其反轉換

數學操作的過程為

傅立葉轉換後的結果通常是複數函數，包含振幅與相位

2 X j f F x t F 1 2x t F X j f- F

j tX j x t e dt

-

-

2 j tx t X j f e df

-

2 f

X j

jX j X j e X j

2X j f

f

對於非週期性的訊號，其頻譜為「連續的」，並且在該譜所佔有頻寬內的所有頻率皆有成分。

每個頻率下的頭都一一檢查

每顆頭都接回尾巴

X

X

139

調制譜 (Modulation Spectrum) (I)

根據尤拉公式：

AM signal (DSB-SC)

cos2

jx jxe ex

-+

可知一個實數訊號是由「正頻」及「負頻」成分所組成

Two-sided amplitude frequency spectrum

2 1000 2 1000150cos 2 1000

2

j t j tt e e - +

25 25

0 Hz 1 kHz1 kHz-f

One-sided amplitude frequency spectrum

50

0 Hz 1 kHz

50cos 2 1000t

f

cos2m cs t A t f tt BBs t A t

ff

cf0 Hzcf-0 Hz

USB LSB USB LSB LSB USB

cos2 cf t“real signal”

140

Phase

Modulator

調制譜 (Modulation Spectrum) (II)

t BBs t

f

0 Hz

USB LSB

cos2 cf t

2 2

2 2c cj t j tj f t j f tA A

e e e e - -

+

cos 2m cs t A f t t +

2 2Re Rec c

j f t t j t j f tA e A e e

+

“real signal”

fcf0 Hzcf-

USB LSB LSB USB

“complex” “complex” “real”

Complex conjugate

PM signal

141

調制譜 (Modulation Spectrum) (III)

I/Q

Modulator t BBs t

f

0 Hz

USB LSB

cos2 cf t

2 2

2 2c cj t j tj f t j f tA t A t

e e e e - -

+

cos 2m cs t A t f t t +

2Re cj t j f t

A t e e

“real signal”

I t

Q t

fcf0 Hzcf-

USB LSB LSB USB

“complex” “complex” “real”

Complex conjugate

I/Q modulated signal

142

複數波包的觀念 (I)

帶通實數訊號(Bandpass real signal)，即調制訊號：

2 2

cos 22 2

c cj t j tj f t j f t

m c

A t A ts t A t f t t e e e e

- -

+ +

2 21 1

2 2c cj t j tj f t j f t

A t e e A t e e - -

+

ls t ls t

lS f lS f

Complex timed value

Spectrum

2 21 1

2 2c cj t j tj f t j f t

A t e e A t e e - -

+

2 cj f t

ls t e

2 cj f t

ls t e-

l cS f f - - l cS f f-

Complex timed value

Spectrum

1

2m l c l cS f S f f S f f - + - -

fcf0 Hzcf-

USB LSB LSB USB

1

2l cS f f-

1

2l cS f f - -

Spectrum of the bandpass signal

143

複數波包的觀念 (II)

等效低通訊號 (Equivalent low-pass signal，即complex envelope)：

f0 Hz

lS f

cfcf-

21

2cj f t

ls t e

21

2cj f t

ls t e-

j t

ls t A t e I t jQ t

+

1

2m l c l cS f S f f S f f - + - -

fcf0 Hzcf-

USB LSB LSB USB

1

2I t jQ t+

Spectrum of the bandpass signal

1

2I t jQ t-

ms t

BBj t

ls t A t e I t jQ t

+

complex envelope

2cos 2 Re cj t j f t

m cs t A t f t t A t e e +

2Re cj f t

I t jQ t e

+

complex envelope

carrier carrier 2 cj f te

carrier

144

終於

複激勵+尤拉公式告訴我們：弦波的尾巴

不是重點，弦波的頭(相量)才重要，因為資訊都藏在頭裡面

資訊都藏在弦波相量裡，所以「時變訊息」一旦藏到相量中，就產生了「時變相量」，而這個過程稱之為「調制」。

發射機架構

146

Transmitter Architectures

Basic Direct Conversion Transmitter (DCT)

Modern DCT

Heterodyne Transmitters

OOK Transceivers

Open-loop Phase Modulation Techniques

Closed-loop Phase Modulation Techniques

Polar Transmitter

147

Quadrature upconverter:

Server as the modulator.

Power amplifier:

Amplify the signal.

Matching network :

Provide maximum power delivery to antenna and filter out-of-band components that result from the PA nonlinearity.

xBB,I(t) and xBB,Q(t) are generated by BB circuits and hence has a sufficiently large amplitude, the noise of the mixers is much less critical here than in receivers.

A predriver is typically interposed between the upconverter and the PA to serve as a buffer.

Direct-Conversion Transmitter (DCT)

cos ctMatching

Network

PA

sin ct-

cos cx t A t t t +

cos cos sin sinc cA t t t A t t t -

, cosBB Ix t A t t

, sinBB Qx t A t t

148

I/Q Mismatch

I/Q mismatch in the DCT:

Constellation:

1 2cos sinc c c c cx t A A t A t + + +

1 2 1cos cos sin sinc c c c c c cA A t A A A t + + - +

1 2, 1

1 21 cos , 1 1 sinc c

c c

A A

A A

+ + - +

1 21 cos , 1 1 sinc c

c c

A A

A A

+ + - - +

1 21 cos , 1 1 sinc c

c c

A A

A A

- + + +

1 21 cos , 1 1 sinc c

c c

A A

A A

- + - + +

I

Q

Ideal

I

Q

Ideal

149

I/Q Calibration (I)

Applying a sinusoidal to one BB input while the other

is set to zero for gain mismatch calibration.

The gain mismatch can be adjusted so as to drive this difference to zero.

0 cos inV t

cos ct

sin ct1outV

cos ct

sin ct

0 cos inV t

2outV

1 0 1 cos cosout in cV t V t t + + 2

2 201 0

2out

VV t V +

2 0 cos sinout in cV t V t t 2

2 02

2out

VV t

2 2 2

1 2 0out outV t V t V -

150

I/Q Calibration (II)

Apply a single sinusoidal to both inputs of the

upconverter to reveal phase mismatch.

It can be shown that the output contains two sidebands of equal amplitudes

and carries an average power equal to

We observe that ε is forced to zero as described above, then .

Thus, the calibration of phase mismatch proceeds to drive this quantity to zero.

cos ct

sin ct0 cos inV t 3outV

+

-

3 0 01 cos cos cos sinout in c in cV t V t V t + + -

0 cos 1 cos cosin cV t +

2 2

3 0 1 1 sinoutV t V + +

2 2

3 1 sinout outV V -

0 cos 1 sin 1 sinin cV t t - + +

151

Carrier Leakage (I)

The analog BB circuitry producing the quadrature

signals exhibits dc offsets, and so does the baseband

port of each upconvertion mixer:

The upconverter therefore contains a fraction of the

unmodulated carrier, called “carrier leakage”:

1 2cos cos sin sinout OS c OS cV t A t V t A t V t + - +

1 2cos cos sinout c OS c OS cV t A t t V t V t + + -

2 2

1 2

2

Relative Carrier Leakage OS OSV V

A t

+

152

Carrier Leakage (II)

RX BB outputs suffer from dc offsets.

In the presence of carrier leakage, if

the TX power is controlled by varying

BB signals, it is difficult for the base

station to measure the actual signal

power.

0 2OSV V+ +

Q

I

0 1OSV V+ +0V- 0V+

0V-

0V+

cos ct

sin ct

PA

Receiver

Base Station

Bas

eban

d

Pro

cess

or

Carrier Leakage

c

153

Reduction of Carrier Leakage

Bas

eban

d

Pro

cess

or

DACQ

DACI

Register ADC

Power

Detector

cos ct

sin ct

The BB swing, A(t), must be chosen sufficiently larger to reduce

carrier leakage. However, as A(t) increases, the input port of mixers

becomes more nonlinear. A compromise is therefore necessary.

2 2

1 2

2

Relative Carrier Leakage OS OSV V

A t

+

• Use BB offset control to reduce

the carrier leakage. During carrier

leakage cancellation, the BB

processor produces a zero output

so that the detector measures only

the leakage. Thus, the loop can

use the DACs to drive the

leakage toward zero.

154

Transmitter Linearity (I)

Upconversion mixers in TX sense no interferers, however,

excessive nonlinearity in the mixer BB port can corrupt the

signal or raise the adjacent channel power.

In most cases, as the BB signal swings increase, the PA

output begins to compress before the mixer nonlinearity

manifests itself.

Power back-off is required for

variable envelope signal to avoid

spectrum regrowth at PA output.

1-dB Compression Point

outV

inV0V

t

155

Transmitter Linearity (II)

In the TX chain, the signal may experience compression in any

of the stages. Since the largest voltage swing occurs at the output

of the PA, this stage dominates the compression of the TX. In a

good design, the preceding stages must remain well below

compression as the PA output approaches P1dB. To ensure this,

we must maximize the PA gain and minimize the output swing of

the predriver and the stage preceding it.

cos ct

sin ct

,BB IV

,BB QV

PA Predriver

XVdrV outV

XVdrV

outV

BBV

156

Oscillator Pulling

The PA output (very large swing) would couple to various

parts of the system through the silicon substrate, package

parasitics, and traces on the printed-circuit board. Thus, it is

likely that an appreciable fraction of PA output couples to

the LO to pull the oscillator.

outLO

LO

LO

PA

LO

I

LO

Q

Output

Spectrum

inj

inj

b

+

2in

jb

+

3in

jb

+

157

Avoid LO Pulling (I)

Most of today’s DCTs avoid an oscillator frequency to the PA

output frequency by using frequency division and mixing.

Since the PA nonlinearity produces a finite amount of power at

the second harmonics of the carrier, the LO may still be pulled

by using the following architecture.

Very high speed divider is needed, but even a substantial effort

on divider design to enable this architecture is well justified.

I

2LO c

Q

LO 2

PA

c 2 c

158

Avoid LO Pulling (II)

Use a frequency doubler is possible to avoid LO pulling,

but the doubler typically dose not provide quadrature

phases, necessitating additional quadrature generation

stages such as the poly phase filter.

Advantage: no harmonic can pull the LO.

Disadvantage: the doubler and polyphase filter suffer from

a high loss, requiring the use of power-hungry buffers.

I

2

cLO

Q

LO 2X Polyphase

Filter

PA

c

159

Avoid LO Pulling (III)

Homodyne with Dual LOs

160

Avoid LO Pulling (IV)

Offset PLL

?

PFD LPF

Frequency Divider

reff outf

/N

offsetf

PFD LPF

Frequency Divider

reff outf

/N

offsetf

PFD LPF outf

/M2nd loop

161

Avoid LO Pulling (V)

Clock Generator and Management

Broadcom 54Mbps 2.4 GHz 802.11b/g WLAN Solution:

BCM2050 RF Front-end

Clock generator within Atheros 802.11a

5-GHz CMOS Transceiver Dual transmit conversion

162

Heterodyne Transmitter

Another approach to avoiding injection pulling involves

performing the signal upconversion in two steps so that the

LO frequency remains far from the PA spectrum.

Smaller I/Q mismatch

1sin t

1cos t

2cos t

I

BPF

PA

Q

1

2

1 2 +

12

-

12

+

163

OOK Transceivers

On-off keying (OOK) modulation is a special case of ASK where

the carrier amplitude is switched between zero and maximum.

Less bandwidth-efficient as unshaped binary pulses modulated

on one phase of the carrier occupy a wide spectrum.

LO

PA

LO

PA

LNA Envelope

Detector

Direct LO switching PA switching

OOK RX

OOK TX

164

Open-loop Modulation

Open-loop modulation based-on a frequency synthesizer (or

phase-locked loop).

Wideband (high data rate).

Poor accuracy due to VCO frequency drifting.

reff

DAC

VCO

PFD Loop Filter

Div-by-N

BBs n

BBs t

ms t

165

Closed-loop Modulation (I)

Closed-loop modulation based-on a frequency synthesizer

(or phase-locked loop).

Narrowband (low data rate).

Good frequency accuracy.

No DACs required.

-

VCO

PFD Loop Filter

BBs n

/ 1N N +

ms t

reff

Modulator

SRF=AC cos(ωCt+θ(t))

166

Closed-loop Modulation (II)

Use the compensated filtering to increase the data rate.

-

VCO

PFD Loop Filter

BBs n

/ 1N N +

ms t

reff

Modulator Compensated

Filter

167

Closed-loop Modulation (III)

Use the two-point Δ-Σ modulation to increase the data

rate.

-

Two-point

VCO

PFD Loop Filter

BBs n / 1N N +

ms t

reff

Modulator

DAC

168

Envelope

Detector

Envelope Following/Tracking Transmitter

Dynamically adjusting bias to improve efficiency.

BBA t

ms t

Linear PA

Antenna

Matching

BBA t

I/Q Modulator

Amplitude

Modulator/

Regulator

I t

cos ctsin ct-

Q t

SRF=AC(t) cos(ωCt+θ(t))

169

Polar Transmitter (I)

Envelope Elimination and Restoration (EER) TX,

(Kahn, 1952):

Envelope

Detector BBA t

ms t

Switching-mode

PA

Antenna

Matching

BBA t

I/Q Modulator

Amplitude

Modulator/

Regulator

I t

cos ctsin ct-

Q t

Limiter

170

Polar Transmitter (II)

Polar Transmitter

BBA t

cos ct

ms t

Switching-mode

PA

Antenna

Phase

Modulator Matching

BBA t

BB t

Bas

eban

d

Pro

cess

or

Amplitude

Modulator

2Re c BBj f t t

e +

• Linear modulator to generate PM signal

• Frequency synthesizer or PLL-based PM modulator

171

Polar Transmitter (III)

Hybrid Quadrature and Polar Modulation TX (HQPM-

TX): B

aseb

and

Pro

cess

or

BBA t

ms t

Switching-mode

PA

Antenna

Matching

,BB DSMA t

I/Q Modulator

Amplitude

Modulator/

Class-S

I t

cos ctsin ct-

Q t

172

Quadrature Modulation

Low modulation distortion

but low efficiency

Polar Modulation

Medium high efficiency but

Medium modulation distortion

Hybrid Quadrature Polar

Modulation (HQPM)

Low modulation distortion

& high average efficiency

發射機架構比較 (I) – 摘要

ηSYS =POUT

PDC POUT VOUT

2

OUT OUTSVR

DC CC

P V

P V VOUT

SYS PA SVR

SYS PA S

173

發射機架構比較 (II) – 效率(CW)

Quadrature modulationPolar modulationHQPM

Linear PA Efficiency @ Pmax = 40%

VOUT

2

VOUT

VOUT

0

DC

-to

-RF

Eff

icie

ncy

CW Output Power (dBm)

Switching mode PA Efficiency = 80%

Class-S modulator Efficiency = 80%

64%

80%

40%

174 174/68

發射機架構比較 (III) – 平均效率

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Probability

00.

250.

50.

751

Nor

mal

ized

Mag

nitu

de

Time

Enve

lop

e

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Pro

bab

ilit

y0 0.25 0.5 0.75 1

Normalized Magnitude

Quadrature modulationPolar modulationHQPM

DC

-to

-RF

Eff

icie

ncy

Output Power (dBm)

64%

39%

10%

CDMA2000 1x QPSK-modulated

signal @1.2288 Mcps

175

發射機架構比較 (IV) – 比較表

架構線性度效率調制頻寬複雜度

正交調制

(Quadrature) 優異低非常寬低

波包消除回復

(EER) 中中窄高

極座標

(Polar) 好中中中

混合正交

與極座標

HQPM

好高中中

線性度

177

Outline

Nonlinear Effects on an RF Signal

Analysis of 1-dB-Compression Point (P1dB)

Analysis of Second-Order Intercept Point (IP2)

Analysis of Third-Order Intercept Point (IP3)

Nonlinear Effect of a Cascaded System

Nonlinear Effect on a Digitally-Modulated Signal

2/49

178

Nonlinear Effects

The distortion of an RF transceiver are resulted from

internal interferences and external interferences.

1) The internal interferences are generated from the

nonlinear effect of its own devices.

2) The external interference are from outside the

transceiver and intercepted by the antenna or EM

coupling.

3) Internal distortion is primarily generated from power

amplifier.

3/49

179

Power Amplifier Categories

Linear Amplifier: Class A, B, AB, and C

Classified in terms of current conduction angle

CEv

,maxCEVkneeV QV

,maxCI

Ci

QI

A

AB

B C

Biased Transistor

Input Matching Output Matching

4/49

180

Linear Amplifier

Normalized DSi

A

C B AB

0 2t

Class Duty Cycle Theoretical Efficiency Linearity

A 100% 50% Excellent

B 50% 78.5% Moderate

AB 50~100% 50~78.5% In-Between Class-A and -B

C 0~50% 100% Poor

5/49

181

Amplifier AM/AM and AM/PM Distortion

Modulated Input signal:

Distorted Output signal:

cosin cv t A t t t +

, cos ,out cv t B f A t t f A + +

outP 40

0

40-

80-

20

0

20-

40-

Ou

tpu

t P

ow

er (

dB

m) P

hase S

hift

Input Power (dBm)

10- 5- 0 5 10 15 20 25

Class A

AB

C AB

A

C

AM/AM Distortion AM/PM Distortion inv t outv t

7/49

182

Nonlinear Memoryless Device (I)

An input-output relationship of a nonlinear

memoryless device can be represented as

2 3 4

0 1 2 3 4out in in in inv t v t v t v t v t + + + + +

inv t outv t

inV

outV

linear

nonlinear

small signal

large signal

linear output distorted output

f

f

Perfect sinusoid

Harmonics

8/49

183

Nonlinear Memoryless Device (II)

Coefficients αi are depending on

1) DC bias, RF characteristics of the active device used in the circuit.

2) Magnitude vin of the signal.

3) When Pin < P1dB (linear region), all can be treated as constant.

Assume the input and output impedance of the circuit are ,

and ,respectively. Considering a CW input signal with the

voltage ,the input available power is

inv t outv t

sin 2in in cv t V f t 2 2in c in in cP f V Z f

inZ f

outZ f

2 3 4


9/49

184

Small-signal Power Gain (Linear Gain)

For linear operation

where Pin is the available input power and G1 is the available small-signal

power gain, which equals to

1 1 sin 2out in in cv t v t V t

2 2 2 22 211 1

1 1 1

2 2 2

in cout in in inout in

out out in out out c

Z fV V V ZP P

Z Z Z Z Z f

120log 10log

in c

out in

out c

Z fP P

Z f + + 1 dBmout c in cP f P f G +

1 120log 10log in c

out c

Z fG

Z f +

sin 2in in cv t V f t

2 3 4


inv t outv t

Assume , we have . in c out cZ f Z f 1 120logG

10/49

185

Linear Amplification

dBmin cP f

1G1

1

dBmout cP f

dBmin cP f

1G

dBmout cP f

inP

cf

f

f

1out inP P G +

inv t outv t

11/49

186

Third-order Effect

For a single-tone input signal,

α3 < 0 gives gain compression phenomenon

α3 > 0 gives gain enhancement phenomenon

1cosinv t A t

3 3

1 1 3 1cos cosoutv t A t A t +

3 3

1 3 1 3 1

3 1cos cos3

4 4A A t A t

+ +

Out-of-band Distortion (3rd Harmonic)

3rd-order effect

In-band Distortion

3rd-order effect

Desired Signal

linear effect

inv t outv t

3

1 3out in inv t v t v t +

12/49

187

1 dB-Compression Point (I)

When the input signal becomes stronger, the output

signal will not grow proportionally but with a slower

rate. It is a saturation phenomena.

1 dB

1dBOP

G

1dBIP

out cP f

dBmin cP f

1

1

• When the actual output power is 1 dB less than

the linear extrapolated power, it reaches the 1-

dB gain compression point. At this point, the

input power is called the input 1-dB-

compressed power (IP1dB), the output power is

called the output 1-dB-compressed power

(OP1dB) ,and the gain is called the 1-dB-

compressed gain (G1dB).

3 3

1 3 1 3 1

3 1cos cos3

4 4outv t A A t A t

+ +

α3 < 0

13/49

188

1 dB-Compression Point (II)

1G

dBminP

cf

cf

1out inP P G +

1dB 1 1out in inP P G P G + + -

1out inP P G +

15/49

189

Measurement of P1dB

By network analyzer in the power sweep mode: Obtain small signal gain and .

By spectrum analyzer : Test various input signal power level to measurement the output power

spectral content to obtain output v.s. input power curve.

1 120logG 1dBG

Network Analyzer

Amplifier

Signal Generator

Amplifier

Spectrum Analyzer

16/49

190

Distortion Characterization (I)

Amplifier input-output relation:

If only one signal is present, the undesired components

will be harmonics of the fundamental, but, if there are

more signals at input, signals will be produced with

frequencies that are mathematical combinations of the

frequencies of the input signals, called intermodulation

products (IMPs) or intermods. It is instructive to study the

results when there are two input signals (although we will

eventually consider large numbers of signals).

2 3 4


17/49

191

Distortion Characterization (II)

Characterized by 1-dB gain compression, IPs , 2-tone

intermodulation distortions (IMDs)

1cosinv A t

,1 1cosout ov G A t

,2 2 1cos 2outv A t

,3 3 1cos3outv A t

Single-tone excitation

Nonlinear Harmonics

1ff

1f

f

12 f13 f 14 f

18/49

192

Distortion Characterization (III)

Designed Amplifier

1f 2f

f

1f 2f

f

1 22 f f-2 12 f f-

1f 2f

f

1 22 f f-2 12 f f-

1f 2f

f

1 22 f f-2 12 f f-

IMD from AM/AM distortion

IMD from AM/PM distortion

Two-tone excitation

Nonlinear

IM

Products

Characterized by 1-dB gain compression, IPs , 2-tone

IMDs

19/49

193

Intercept Points

The nonlinear properties can be described by the concept of

intercept points (IPs). The input intercept point (IIPn) is a

fictitious input power where the desired output signal

component equals in amplitude the undesired component.

out nP f

out cP f

dBmin cP fIIPn

1dBIP

OIPn

1dBOP

1 dB

1

1 1

n

Ou

tpu

t P

ow

er (

dB

m)

20/49

194

Second-Order Nonlinear Effect (I)

Single-tone excitation:

For the inclusion of only the linear term and the

second term, the output voltage is

sin 2in cv t A t

2

2in c

in c

AP f

Z f

22

1 2 1 2sin 2 sin 2out in in c cv t v t v t A f t A f t + +

2

221 2sin 2 sin 2

2c c

AA f t A f t

+ -

2 2

2 1 2

1 1sin cos 2

2 2c cA A t A t + -

Out-of-band Distortion

2nd-order effect

DC Offset

2nd-order effect

Desired Signal

linear effect

in cZ f

inv t outv t

cff

0

21/49

195

Second-Order Nonlinear Effect (II)

Two-tone Excitation: 1 2sin sininv t A t B t +

2

1 1 2 2 1 2sin sin sin sinoutv t A t B t A t B t + + +

2 2

2 1 1 1 2

1sin sin

2A B A t B t

+ + +

2 1 2 2 1 2cos cosAB t AB t + - + +

2 2

2 1 2 2

1 1cos 2 cos 2

2 2A t B t

+ - -

2 1f f-0 1f 2f 12 f 22 f1 2f f+

a b

c e

d f g

g : DC term

a, b : linear term

c : IM (down beating)

d : IM (up beating)

e, f : 2nd harmonic

a b g

c d

e f

22/49

196

Linear and 2nd-order Effects

Linear effect:

A superscript (1) of denotes that the power content contributed from the

first-order term (linear term).

2nd-order effect:

1

120log 10login c

out c in c

out c

Z fP f P f

Z f + +

1

1 dBmout c in cP f P f G +

1

outP

Linear Gain

2

22

2 2222 2 2 2

2 2

1

1 1 122

2 2 2 2 2 2 2

in c in c

out c in

out c in c out c out c

AZ f Z fA

P f PZ f Z f Z f Z f

2

220log 3 2 dBm 10log2

in c

in

out c

Z fP

Z f - + +

2

22 2 dBmout c in cP f G P f +

2

2 2 dB 20log 3 10log2

in c

out c

Z fG

Z f - +

Slope of 2

23/49

197

Second-Order Intercept Point

6 dB

6 d

B

IM2

2nd harmonic

Fundamental

Fundamental input power (dBm)

Ou

tpu

t po

wer

(d

Bm

)

6 d

B

6 dB

OIP2H

OIP2IM

IIP2IM IIP2H

6 dB

6 d

B

24/49

198

領悟

斜率固定的任兩條線，已知交叉點

給任意 yA(或xA) 可求 yB，或相反

交越點讓失真量的推算變成了幾何問題

交越點定義了「小訊號」區的失真量

A 線 B 線

1

1

根據「幾何代數學」，

你會得到一大堆計算失真量(線性度參數)的公式

可以讓你的 paper 看起來

很威!

199

Example

For an amplifier with 21 dB linear gain and the OIP2H

is at 17 dBm, find the output 2nd harmonic power

when the fundamental output signal power is -8 dBm.

12 2 dBmH HOIP IIP G +

OIP2H = 17 dBm

2nd harmonic

Fundamental


Ou

tpu

t po

wer

(d

Bm

)

IP2H

-8 dBm

25

dB

25

dB

-33 dBm

-29 dBm -4 dBm

(IIP2H )

17 2 21 dBmHIIP +

2 4 dBmHIIP -

2 2 dBmout c out c H out cP f P f OIP P f - -

8 17 8 33 dBm - - + -

25/49

200

Measurement of IP2 (I)

Mixer: use single-tone cw test

2 dBmIFOIP P +

12 2 dBmRFIIP OIP G P - +LOf RFf

RFPLOP

IFP

IFf 2 IFf

dB

Spectrum Analyzer

30/49

201

Measurement of IP2 (II)

Amplifier : use two-tone cw test

, ,

12 dBm

2A B o A o BOIP P P + + +

12 2 dBmIIP OIP G -

,i AP ,i BP

1f 2f

2 1f f-0 1f 2f 12 f 22 f1 2f f+

,o AP

,o BP

AB

Signal Generator

Combiner

DUT

Spectrum Analyzer

31/49

202

Third-Order Nonlinear Effect (I)

Consider only the first-order and the third-order effect

of a nonlinear device, i.e., .

Single-tone excitation: The input signal contains only a sinusoidal signal , where its

available power can be obtained as .

In-band and out-of-band distortions

The output voltage becomes

3

1 3out in inv v v +

1cosiv A t

2 2in inP A Z

3 3

1 1 3 1cos cosoutv A t A t +

3 3

1 3 1 3 1

3 1cos cos3

4 4A A t A t

+ +

1 3 3

1 1 1 3 1cos cos3V V t V t + +

Out-of-band Distortion

3rd-order effect

In-band Distortion

3rd-order effect

Desired Signal

linear effect

3rd harmonic

32/49

203

Third-Order Nonlinear Effect (II)

Gain Compression or Enhancement: At f1, the amplified linear-term signal has been mixed with the third-order term

If α3 < 0 , the linear gain is compressed, otherwise, it is enhanced

3

1 1 3 1

3cos

4outv f A A t

+

3 0

dBmin cP f

3 0

1

1

33/49

204

Third-Order Nonlinear Effect (III)

Two-tone excitation: 1 2 1 2sin sin , inv t A t B t +

i : DC term

a, b : linear term(desired signal)

+inband distortion

c , d : IM3, adjacent band distortion

e, f : 3rd harmonics

g, h : out of band distortion

3

1 3out in inv t v t v t +

2 2 3 3

3 3 1 3 1 1 3 2

3 3 9 9cos cos

2 2 4 4A B AB A A t B B t

+ + + + +

2 2 3 3

3 1 2 3 2 1 3 1 3 2

3 3 1 1cos 2 cos 2 cos3 cos3

4 4 4 4A B t AB t A t B t + - + - + +

2 2

3 1 2 3 1 2

3 3cos 2 cos 2

4 4A B t AB t + + + +

a b i

c d f e

g h

c g

f e d

a b

h

1 22 f f-

0 1f 2f 13 f 23 f

1 22 f f+2 12 f f- 1 22f f+

2-toneIMR 2 3 2 3in outIIP P OIP P - -

34/49

205

Third-order Intercept Point

10 dB

10

dB

IM3

3rd harmonic

Fundamental


Ou

tpu

t po

wer

(d

Bm

)

4.7

7 d

B

4.77 dB

OIP3H

OIP3IM

IIP3IM IIP3H

4.77 dB

9.5

4 d

B

35/49

206

A 線 B 線

1

2

207

Example

For an amplifier with 9 dB linear gain and the OIP3IM

is at 21 dBm, find the output IM3 power when the

fundamental input signal power for each signal is -4

dBm.

13 3 dBmIM IMOIP IIP G + OIP3IM = 21 dBm

IM3

Fundamental

Fundamental input power in each signal (dBm)

Ou

tpu

t po

wer

(d

Bm

)

IP3IM

5 dBm

16

dB

32

dB

-27 dBm

-4 dBm 12 dBm

(IIP3IM )

21 3 9 dBmIMIIP +

3 12 dBmIMIIP

3 2 3 dBmIM out c IM out cP P f OIP P f - -

5 2 21 5 27 dBm - - -

36/49

208

Measurement of the IP3

Amplifier : use two-tone cw test

, ,

13

2i A i BOIP P P + +

1f 2f

,i AP ,i BP

B

1f 2f1 22 f f-2 12 f f-

A

,o AP,o BP

0

Signal Generator

Combiner

DUT

Spectrum Analyzer

39/49

209

Relationship Between Products

IMs may be predictable from harmonics:

IM2s are 6 dB higher than the 2nd-order harmonics

IM3s are 9.54 dB greater than the 3rd-order harmonics

IP3H exceeds the IP3IM by 4.77 dB

In addition, we may be able to relate the −1-dB

compression level to the IP3:

3

1 1dB 3 1dBdesired+distorted

desired 1 1dB

3

410log 20log 1 dB

A AP

P A

+

- 231dB

1

30.10875

4A

3

3, 1 3, 3 3,

3

4OIP IM IIP IM IIP IMA A A

2 13,

3

4

3IIP IMA

2

1dB 1dB

2

3,

0.10875 9.64 dB3IIP IM IM

A IP

A IIP -

1 3 1 9.64 dB 3 10.64 dBdB IM IMOP IIP G OIP + - - -

P1dB:

very useful result!

OIP3:

40/49

210

Cascaded System (I)

3 1 2 3inC P G G G

3

1 23 2 3 32

13

inP G GI I G G

IIP

2

23 1 2 1

3 3 3 1 2 3

3 2 1

1

3 3 3in

G G GI I I I P G G G

IIP IIP IIP

+ + + +

3 3

1 23 2 3 32

23

inP G GI I G G

IIP

3 3 3 3

2 3 1 2 33 2 2

3 33 3

inC G P G G GI

IIP IIP

3 1 2 3

2 3

1 2 33 2 1 2 1

3 2 1

1

133 3 3

tot in

intot

intot

C C G G G P

P G G GI IG G GP

IIPIIP IIP IIP

+ +

1 2 1

3 2 1

1 1

3 3 3 3tot

G G G

IIP IIP IIP IIP + +

inP 1C 2C 3C

1I 2I 3I

3I 2I

3I

1st stage 2nd stage 3rd stage

44/49

211

Cascaded System (II)

IIP3 of a N-Stage System

The above equation shows that the IIP3 of an inter-

stage is reduced by a factor of the previous stage

subtotal gain. It means, the back-end stage will enter

saturation first.

OIP3 of a N-Stage System

1

1 1 1 2

1 1 2 3

1 1

3 3 3 3 3

n

kNk

ntot n

GG G G

IIP IIP IIP IIP IIP

-

+ + +

1 2 3 2 3 4 3

1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3tot T tot T N N N NOIP G IIP G IIP G G G IIP G G G IIP G IIP + + + +

2 3 1 3 4 2 4 5 3

1 1 1 1

3 3 3 3N N N NG G G OIP G G G OIP G G G OIP OIP + + + +

45/49

212

Example

Calculate the cascaded OIP3 of the following stages.


21 dBm+ 25 dBm+

10 dB 3 dB- 10 dB

3OIP

Gain

21 dBm+ 25 dBm+

15 dB 3 dB- 10 dB

3OIP

Gain

stage 1 stage 2 stage3

Gain (dB) 10 -3 10

OIP3 (dBm) 21 100 25

IIP3 (dBm) 11 103 15

Gain (linear) 10 0.5011872 10

OIP3(linear, mW) 125.89254 1E+10 316.22777

IIP3(linear, mW) 12.589254 1.995E+10 31.622777

1/IIP3cas (linear) 0.2379221

IIP3cas (linear) 4.2030556

IIP3cas (dBm) 6.2356514

OIP3cas(dBm) 23.235651

stage 1 stage 2 stage3

Gain (dB) 15 -3 10

OIP3 (dBm) 21 100 25

IIP3 (dBm) 6 103 15

Gain (linear) 31.622777 0.5011872 10

OIP3(linear, mW) 125.89254 1E+10 316.22777

IIP3(linear, mW) 3.9810717 1.995E+10 31.622777

1/IIP3cas (linear) 0.7523759

IIP3cas (linear) 1.3291229

IIP3cas (dBm) 1.2356514

OIP3cas(dBm) 23.235651

46/49

213

Spectrum Regrowth

How do we estimate ACPR of a modulated RF signal

from 2-tone measurement

3

2-tone 6 10log dBc4

mACPR IMR

A B

- +

+

where 3 2 mod

2 3 2 2

24 8

m

m m mA

- - +

2 mod2

4

mm

B

-

m denotes number of tones

48/49

214

領悟

P1dB + Psat：單調測試，描述功率特性

失真交越點：雙調測試，描述失真特性

為什麼要做雙調測試？

用單調估雙調

用雙調估調制

用多調估OFDM

附錄：拉普拉斯轉換

216

傅立葉轉換的問題


Fourier Transform:

傅立葉轉換有其分析的缺陷存在

對於多數的訊號x(t)，傅立葉積分時常無法收斂。最著名的例子便是對一個弦波執行傅立葉積分：

j tX j x t e dt

-

-

0sinx t t 00

sin j tX j t e dt

-

0 0 00 2 20

0 0

sin cossin

j t j tj t j e t e t

X j t e dt

- -

- - -

-

0 0

2 2

0

sin cosj jj e eX j

- - - - +

-

上式的問題在於：與 sin cos ?

217

解決方案 (I)


Laplace transform 提供了解決方案

想法：如果 x(t) 在時間 t 很大時能夠趨近於0，那麼傅立葉積分

.便可以變得簡單(收斂)。為了達到此目的，我們試著將 x(t)

乘上一個衰減函數(damping function)

0

, t j tX j x t e e dt

- -

00

, sin t j tX j t e e dt

- -

0 0 0

22

0 0

sin cos,

j t j tj e t e t

X jj

- + - +

- + -

+ +

te -

0 0

0 0

2 22 2

0 0

sin cos sin 0 cos0,

j jj e e j e e

X jj j

- + - + - + - - + -

-+ + + +

0

22

0

,X jj

+ +

以為例 0sinx t t

0

j t j

te e

- + - +

0

218

解決方案 (II)

的傅立葉積分：

因此的傅立葉積分即套入條件：

對任何函式x(t)，可以先乘上保證其積分能收斂，最後再令即可找出 x(t) 之傅立葉轉換結果。

所以，我們又會說

「傅立葉轉換是拉普拉斯轉換的特例」

0

2 2

0

X j

-

- 00 1te e

0

0

22

0

,X jj

+ +0sin tt e -

0sin t

- te

219

Laplace Transform 的定義


如同先前所說，將x(t)先乘上有助於傅立葉積分

定義 ( s 稱為複頻率，complex frequency)

傅立葉轉換即令

s j +

,X j X j X s +

0

stX s x t e dt

- 這正是Laplace轉換的定義

te -

s j

X j X s

0 s j

0

, t j tX j x t e e dt

- -

0,

j tX j x t e dt

- +

220

Historical Points of View (I)

Watt 1736-1819 Coulomb 1736-1806

Ampere 1775-1836 Volta 1745-1827

Ohm 1789-1854

Kirchhoff 1824-1887

1600 1900 1700

Joule 1818-1889

1609

顯微鏡

1752

避雷針

1710

溫度計

1769

蒸汽機

1791

輪船

1800

電池

1804

鐵路機車

1807

蒸汽船

1821

電動機

1826

內燃機

1831

發電機

1824

都卜勒效應

1836

縫紉機

1843

冰淇淋

1801

紡織機

1870

汽油引擎

1877

留聲機

麥克風

1889

汽車

1893

無線電

Lagrange 1736-1813

Newton 1643-1727 Leibniz 1646-1716

Fourier 1768-1830 Laplace 1749-1827

Arbogast 1759-1803

Heaviside 1850-1925

1800

1657

擺鐘

1679

壓力鍋

1643

晴雨表

1609

克卜勒行星運動定律

1610

伽利略提出太陽自轉

1621

斯耐爾

折射定律

1687

牛頓

自然哲學的數學原理

(萬有引力, 三大運動定律)

1690

惠更斯

以太說

1652

富蘭克林

論電與

電氣相同

1685

庫侖定律

221

Historical Points of View (II)

1774-1783

美國獨立戰爭

1774

大陸會議

1776

傑佛遜獨立宣言,

美國成立

1789

美國憲法生效

華盛頓第一任總統

1861

南北戰爭爆發

1865

林肯遇刺身亡

1662-1722 康熙 1795-1908 嘉慶, 道光, 咸豐, 同治, 光緒 1722-35-95 雍正, 乾隆

1754 吳敬梓歿

1763 曹雪芹歿

1796-1804

白蓮教起義

1840-42 第一次鴉片戰爭

1851 洪秀全

成立太平天國

1852 曾國藩成立湘軍

1856-60 第二次鴉片戰爭, 英法

聯軍

1861 慈禧垂簾聽政

1865 李鴻章成立江南製造局

1866 左宗棠成立福州造船廠

1885 劉銘傳任台灣巡撫

1894 中日甲午戰爭

1898 譚嗣同,

康有為戌戊變法

1900 義和團起義

1784 鹿港開港

1863 雞籠開港

1864 打狗開港

1874 牡丹社事件

1884 中法戰爭, 砲轟基隆

1885 台灣脫離福建省, 為台灣省

1887 台灣鐵路

1760 英國工業革命開始

1789-1794 法國大革命

1795 法王路易十六上斷頭台

1799-1814 拿破崙王朝

1871 德意志帝國成立 1889 巴黎艾菲爾鐵塔

1895 馬關條約

1600 1900 1700 1800

-1644 明朝末

1644

吳三桂降清

1644-62 南明

1650

鄭成功居廈門與金門抗清

1661

鄭成功攻台灣逐荷蘭人

1636 大清國

皇太極稱帝

1683

施琅攻台

鄭克塽降清

1600

英國東印度公司

1600~

英法殖民者於北美拓殖

1624 荷蘭占台

222

感謝您的參與！

謝謝指教

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