Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Primer Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 16 de octubre de 2008

Tabla de Respuestas

1. (25 puntos)Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial y′′ − y′ + y = ex,y(0) = 1,y′(0) = 1.

Respuesta:Resolvemos la ecuacion diferencial del problema a valor inicial; para tal efecto, primero hallamos lasolucion general de la ecuacion

y′′ − y + y = 0,

que es una ecuacion a coeficientes constantes. Utilizamos el polinomio caracterıstico de la ecuacion

p(λ) = λ2 − λ+ λ = 0⇒ λ1 =12

+√

32i, λ2 =

12−√

32i.

Como las raıces son complejas y conjugadas, estas contribuyen al Sistema Fundamental de Solucionescon:

SF = {e 12 x cos(

√3

2x), e

12 x sin(

√3

2x).

La solucion particular dey′′ − y + y = ex,

la hallamos por tanteo, y = ex es una solucion particular. Por consiguiente, la solucion general de laecuacion diferencial del problema es

y = c1e12 x cos(

√3

2x) + c2e

12 x sin(

√3

2x) + ex.

Los valores c1 y c2 determinamos remplazando las condiciones iniciales, lo que da:{y(0) = c1 + 1 = 1y′(0) = 1

2c1 +√

32 c2 + 1 = 1

⇒ c1 = 1, c2 = 1.

Por consiguiente, y = ex es la solucion del problema a valor inicial y

y(ln 2) = 2.

2. (25 puntos)Hallar la solucion general de

xy′ + 2 = x3(y − 1)y′.

Respuesta:Despejamos y′ obteniendo

y′ =2

x2(y − 1)− x.

Intercambiamos roles, x se convierte en funcion incognita e y en variable independiente, lo que da

x′ = −x2

+(y − 1)

2x3,

ecuacion de tipo Bernouilli. Planteamos z(y) = z = x1−3; es decir z = x−2. Derivamos y obtenemos:

z′ = −2x−3x′ ⇒ −x3

2= −x

2+

(y − 1)2

x3 ⇒ z′ = z − y − 1.

Obtenemos una solucion particular de esta ultima ecuacion planteando z = αy + β, derivando yremplazando se tiene

α = αy + β − y + 1⇒ α = 1, β = 0

Por lo tantoz = cey + y ⇒ 1

x2= cey + y

De donde la solucion general de la ecuacion puede escribirse como

1 = x2(cey + y).

3. (25 puntos)Resolviendo hallar la solucion general de

y′ =y − xy2

x+ x2y.

Respuesta:La ecuacion a ser resuelta, no corresponde a ningun tipo de las ecuaciones estudiadas, por lo quedebemos buscar una substitucion adecuada

y′ =y − xy2

x+ x2y=y(1− xy)x(1 + xy)

,

intentamos planteando z = xy, derivando se tiene z′ = y + xy′, remplazando en la ecuacion se obtiene

z′ − yx

=y(1− z)x(1 + z)

⇒ z′ − y = y1− z1 + z

⇒ z′ = y(1− z1 + z

+ 1)⇒ z′ =2y

(z + 1)=

2zx(z + 1)

esta ultima ecuacion de tipo separable. Separamos e integramos:

z + 1z

=2x⇒ z + ln z = ln cx2 ⇒ z = ln(c

x2

z)⇒ xy = ln(c

x

y)

Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion esta dada por

xy = ecx/y.

4. (25 puntos)Hallar la solucion del problema a valor inicial yy′′ = y2y′ + (y′)2,y(0) = − 1

2 ,y′(0) = 1.

Respuesta:Reducimos el orden de la ecuacion del problema planteando u(y) = y′(x), lo que convierte la ecuacionen

yuu′ = y2u+ u2,

Como y′(0) = 1, se tiene que u es diferente de 0 y consiguientemente podemos simplificar u de laecuacion lo que da la ecuacion lineal de primer orden

u′ =1yu+ y

2

La solucion particular de esta ecuacion la obtenemos planteando u = αy2:

2αy = αy + y ⇒ α = 1 γ = −2.

Por consiguiente la solucion general es y = cy + y2. Para x = 0 y = − 12 e y′ = 1, por lo tanto

u(−12

) = −12c+

14

= 1⇒ c = −32.

Ahora resolvemosy′ = −3

2y + y2,

que es una ecuacion de Bernouilli, planteamos z = 1/y, lo que da

z′ =32z − 1⇒ z = ce3x/2 +

23.

La condicion inicial y = − 12 para x = 0, se convierte en z = −2 para x = 0, lo que

z(0) = c+23

= −2⇒ c = −83⇒ z = −8

3e3x/2 +

23.

Por lo tantoy =

1− 8

3e3x/2 + 2

3

=3

−8e3x/2 + 2⇒ y(−8e3x/2 + 2) = 3

La solucion del problema a valor inicial esta dada por

2y − 3 = 8ye3x/2.

3

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Primer Parcial de Calculo III 1 16 de octubre de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. d

2. a

3. b

4. c

1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial y′′ − y′ + y = ex,y(0) = 1,y′(0) = 1.

Respuesta:a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 1,

c) y(ln 2) = cos(ln 2 ·√

3)− sin(ln 2 ·√

3), d) y(ln 2) = 2,

e) Ninguna de las anteriores.

2. (25 puntos) Hallar la solucion general de

xy′ + 2 = x3(y − 1)y′.

Respuesta:a) 1 = x2(y + cey), b) xy2 = ey + c,

c) x = yey + cy, d) 1 + xy lnx = cxy,

e) Ninguna de las anteriores.

3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de

y′ =y − xy2

x+ x2y.

Respuesta:a) y3 = x3 ln(cx3), b) xy = cex/y,

c) x = cyexy, d) 2 + 5xy2 = cx5/2,

e) Ninguna de las anteriores.

4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial yy′′ = y2y′ + (y′)2,y(0) = − 1

2 ,y′(0) = 1.

Respuesta:a) y = 1

2 , b) 3y + x3 = 3,

c) 2y − 3 = 8ye32 x, d) y = − ln(2e−x − 1),

e) Ninguna de las anteriores.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Primer Parcial de Calculo III 2 16 de octubre de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. c

2. d

3. a

4. b

1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial y′′ − y′ + y = ex,y(0) = 1,y′(0) = 1.

Respuesta:

a) y(ln 2) = 1, b) y(ln 2) = cos(ln 2 ·√

3)− sin(ln 2 ·√

3),

c) y(ln 2) = 2, d) y(ln 2) = 0,

e) Ninguna de las anteriores.

2. (25 puntos) Hallar la solucion general de

xy′ + 2 = x3(y − 1)y′.

Respuesta:a) xy2 = ey + c, b) x = yey + cy,

c) 1 + xy lnx = cxy, d) 1 = x2(y + cey),

e) Ninguna de las anteriores.

3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de

y′ =y − xy2

x+ x2y.

Respuesta:a) xy = cex/y, b) x = cyexy,

c) 2 + 5xy2 = cx5/2, d) y3 = x3 ln(cx3),

e) Ninguna de las anteriores.

4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial yy′′ = y2y′ + (y′)2,y(0) = − 1

2 ,y′(0) = 1.

Respuesta:a) 3y + x3 = 3, b) 2y − 3 = 8ye

32 x,

c) y = − ln(2e−x − 1), d) y = 12 ,

e) Ninguna de las anteriores.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Primer Parcial de Calculo III 3 16 de octubre de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. d

2. a

3. b

4. c

1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial y′′ − y′ + y = ex,y(0) = 1,y′(0) = 1.

Respuesta:a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 1,

c) y(ln 2) = cos(ln 2 ·√

3)− sin(ln 2 ·√

3), d) y(ln 2) = 2,

e) Ninguna de las anteriores.

2. (25 puntos) Hallar la solucion general de

xy′ + 2 = x3(y − 1)y′.

Respuesta:a) 1 = x2(y + cey), b) xy2 = ey + c,

c) x = yey + cy, d) 1 + xy lnx = cxy,

e) Ninguna de las anteriores.

3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de

y′ =y − xy2

x+ x2y.

Respuesta:a) y3 = x3 ln(cx3), b) xy = cex/y,

c) x = cyexy, d) 2 + 5xy2 = cx5/2,

e) Ninguna de las anteriores.

4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial yy′′ = y2y′ + (y′)2,y(0) = − 1

2 ,y′(0) = 1.

Respuesta:a) y = 1

2 , b) 3y + x3 = 3,

c) 2y − 3 = 8ye32 x, d) y = − ln(2e−x − 1),

e) Ninguna de las anteriores.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Primer Parcial de Calculo III 4 16 de octubre de 2008

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. a

2. b

3. c

4. d

1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial y′′ − y′ + y = ex,y(0) = 1,y′(0) = 1.

Respuesta:

a) y(ln 2) = 2, b) y(ln 2) = 0,

c) y(ln 2) = 1, d) y(ln 2) = cos(ln 2 ·√

3)− sin(ln 2 ·√

3),

e) Ninguna de las anteriores.

2. (25 puntos) Hallar la solucion general de

xy′ + 2 = x3(y − 1)y′.

Respuesta:a) 1 + xy lnx = cxy, b) 1 = x2(y + cey),

c) xy2 = ey + c, d) x = yey + cy,

e) Ninguna de las anteriores.

3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de

y′ =y − xy2

x+ x2y.

Respuesta:a) 2 + 5xy2 = cx5/2, b) y3 = x3 ln(cx3),

c) xy = cex/y, d) x = cyexy,

e) Ninguna de las anteriores.

4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial yy′′ = y2y′ + (y′)2,y(0) = − 1

2 ,y′(0) = 1.

Respuesta:a) y = − ln(2e−x − 1), b) y = 1

2 ,

c) 3y + x3 = 3, d) 2y − 3 = 8ye32 x,

e) Ninguna de las anteriores.

2