Bài tập Cơ lý thuyet 1

3

4

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn “ Bài tập cơ lý thuyết ” in lần này là kết quả của nhiều lần rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy của Bộ môn cơ học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua.

So với hai tập giáo trình xuất bản năm 1976, chúng tôi đã chọn lọc sửa chữa và rút bớt lại về số lượng bài, kết cấu lại các chương mục cho phù hợp với đề cương môn học đã được sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục và đáp ứng yêu cầu đào tạo các ngành nghề của Trường Đại học Thủy lợi.

Giáo trình này được dùng cho sinh viên chính quy hệ 5 năm của trường Đại học Thủy lợi, ngành công trình và ngành máy(chương trình A). Tuy nhiên những sinh viên học theo chương trình B hoặc sinh viên hệ tại chức, khi sử dụng giiaos trình này có sự hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi. Ngoài ra giáo trình này còn làm tài liệu ôn tập cho những học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành cơ học.

Chúng tôi mong có sự góp ý của các thầy giáo cô giáo và người sử dụng về nội dung và hình thức để giúp chúng tôi hoàn thiện hơn về giáo trình này.

Hà Nội, tháng 10-2003

Tập thể bộ môn Cơ học lý thuyết

GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Doãn Điền

PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ

PGS.TS.Nguyễn Bá Cự PGS.TS.Lê Đình Don

TS.Nguyễn Đình Thông TS.Nguyễn Thị Thanh Bình

5

PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC

CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực. Vật rắn ở trạng thái cân bằng hiểu theo nghĩa tĩnh học là vật rắn đứng yên.

Với qui ước ngay từ đầu vật rắn đã đứng yên, ta có thể đồng nhất khái niệm cân bằng của vật rắn với khái niệm cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó. Do đó để nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực, ta chỉ cần nghiên cứu điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó là đủ. Nội dung chủ yếu của các bài toán tĩnh học là tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân bằng. Cơ sở lý luận của phần tĩnh học là hệ tiên đề tĩnh học.

HỆ TIÊN ĐỀ:

Tiên đề 1: ( Tiên đề về sự cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hệ hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau.

( )1 2,F Fr r

0r

1 2F F⇔ = −r r

và cùng giá.

Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng )

Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi một hệ lực cân bằng

( )1 2, ,..., nF F Fr r r

( )m21n21 P,...,P,P;F,...,F,Frrrrrr

Trong đó: ( )m21 P,...,P,Prrr

0r

Tiên đề 3: ( Tiên đề về hợp lực )

Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm có hợp lực đặt tại điểm chung ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực là véc tơ đường chéo của hình bình hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực đã cho.

( )1 2,F Fr r

Rr

; 1 2R F F= +ur ur ur

Tiên đề 4: (Tiên đề về lực tác dụng và phản tác dụng)

Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau.

FF

F1

F2 F

6

Chú ý: Khác với tiên đề 1, trong tiên đề 4, lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng.

Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn )

Khi vật biến dạng đã cân bằng, thì hoá rắn lại, nó vẫn cân bằng.

HỆ QUẢ:

Những hệ quả phát biểu dưới đây được trực tiếp rút ra từ hệ tiên đề tĩnh học đã nêu ở trên:

Hệ quả 1: ( Định lý trượt lực)

Tác dụng của một lực lên vật rắn không thay đổi, nếu ta trượt lực dọc theo giá của nó.

Do đó lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng véc tơ trượt.

Hệ quả 2:

Nếu một hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ thuộc hệ lấy theo chiều ngược lại, sẽ là hợp lực của hệ lực còn lại.

Hệ quả 3:

Có thể phân tích một lực thành 2 lực theo qui tắc hình bình hành lực.

Hệ quả 4:

Vật rắn chịu tác dụng của một lực khác không, sẽ không ở trạng thái cân bằng.

Hệ quả 5: (Định lý về 3 lực cân bằng )

Nếu ba lực không song song, cùng nằm trong một mặt phẳng mà cân bằng thì giá của chúng đồng quy tại một điểm.

Liên kết và phản lực liên kết

Nắm vững các loại liên kết và phản lực liên kết là một trong những yếu tố quan trọng để giải đúng các bài toán tĩnh học.

• Liên kết tựa:

NA N B

NC N

N

A

B

C

7

• Liên kết thanh không trọng lượng:

• Liên kết ngàm:

• Liên kết dây mềm, thẳng, khôngdãn:

• Liên kết bản lề:

+ Bản lề trụ:

XX

y

x

Y

Z

+ Bản lề cầu

+ Bản lề cối

XY y

x

AS BS CS

A B C

T

TBT A

A B

RA

MA

X A

M A A

Y A

YX

x

y

Z

Z

Z

y R

Z

Y y

Z

x

X x

Z

Y

X

Z

X

Y

8

A

B C

D

O

K

P A

BC D

K

PT

DN

AN

X α F

y

x

z F

xyF

θ ϕ

O

x

z

y

B

A

A'

B' d

r

F

xyF O

h

Nguyên lý giải phóng liên kết

Vật không tự do có thể coi như tự do nếu thay các liên kết bằng những phản lực liên kết tương ứng.

Vật không tự do Vật tự do

Để lập hệ phương trình cân bằng cho các loại hệ lực, chúng ta phải nắm vững cách chiếu véc tơ lực lên các trục toạ độ và cách lấy mômen của lực đối với một tâm cũng như đối với trục.

Chiếu lực:

Lực và trục cùng nằm trên một mặt phẳng:

X= F.cosα

Lực và trục không cùng nằm trên một mặt phẳng:

X= Fxy.cosϕ= F.cosθcosϕ

Y= Fxy.sinϕ= F.cosθ.sinϕ

Z= F.sinθ

. . .F X i Y j Z k= + +rr r r

Mômen của lực:

+ Mômen của lực đối với 1 tâm:

0 ( )m F r F= ∧r rr r

( )0

i j km F x y z

X Y Z=

rr r

rr

0 ( ) .m F F h=r

0 ( ) 0m F =rrr khi giá của lực F

rđi qua tâm lấy

mômen 0.

+ Mô men của lực lấy đối với một trục:

9

( ) .z xym F d F= ±r

Ta có ( ) 0zm F =r

khi lực và trục lấy mômen cùng nằm trên một mặt phẳng nghĩa là

giá của lực Fr

cắt trục z, hoặc giá của lực Fr

song song với trục z.

10

CHƯƠNG II. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

I. Bài toán thu gọn hệ lực

( )1 2, ,..., nF F Fr r r

∼ 0 0( , )R Mr r

01 1 1

n n n

K K KK K K

R X i Y j Z k= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

rr r r

0 0 0 01 1 1

( ) ( ) ( )n n n

x K y K z KK K K

M m F i m F j m F k= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ ∑

rr r r rr r

Các trường hợp có thể gặp khi thu gọn hệ lực không gian về một tâm được tóm tắt ở bảng dưới đây

0Rr

. 0Mr

≠ 0 0Rr

. 0Mr

= 0

Rr

≠ 0

Rr

= 0

0Rr

. Mr

0 > 0 0Rr

. Mr

0 < 0

Mr

0= 0 Mr

0 ≠ 0 Mr

0≠ 0 Mr

0 = 0

Hệ lực thu

về xoắn

thuận

Hệ lực thu

về xoắn

nghịch

Hệ lực thu về hợp lực

có giá đi

qua tâm 0

Hệ lực thu

về hợp lực có fgiá không

đi qua tâm 0

Hệ lực thu về

một ngẫu có mômen là M

r0

không phụ thuộc tâm 0

Hệ

lực

cân

bằng

1. Thí dụ

Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực 1 2 3 4 5 6, , , , ,F F F F F Fr r r r r r

có chiều như hình vẽ.

Biết F1 = F6 = 10N,

F2 = F4 = 5N ,

F3 = F5 = 5 2 N,

OA =2.OB = 10m , α= 450.

Thu gọn hệ lực về dạng tối giản.

Bài giải

y

F4x

Z

α

F5

R K

F 1

F 2

R M O

F3

F6

A

B

C

K

0 0

Hình 1

11

6

1 61

KK

X F F=

= +∑ = 20N

6

5 31

2( )2K

KY F F

=

= −∑ = 0

6

4 2 3 51

2( )2K

KZ F F F F

=

= − + −∑ = 0

0 20. 0. 0.R i j k= + +rr r r

⇒ R0 = 20N

( )6

0 3 51

2( ) 0 02x K

Km F F F B

=

= − =∑r

6

0 1 5 4 1 5 41

2( ) .0 . .0 .0 ( 2 2 )0 502y K

Km F F C F A F A F F F B Nm

=

= + − = + − =∑r

6

0 5 6 5 61

2( ) 0 .0 ( 2 ).0 02z K

Km F F A F B F F B

=

= − = − =∑r

0 0. 50. 0.M i j k= + +rr r r

⇒ M0 = 50Nm.

Vậy, khi thu gọn hệ lực ( 1 2 3 4 5 6, , , , ,F F F F F Fr r r r r r

) về gốc toạ độ 0, ta được véc tơ chính

0Rr

có chiều trùng với chiềucủa trục 0x và có trị số 20N, mômen chính 0Muur

có chiều trùng với chiều của trục 0y và có trị số 50Nm.

0 0R ≠r

, 0 0M ≠r

, 0 0. 0R M =r r

suy ra hệ lực đã cho thu về hợp lực.

Hợp lực có trị số và phương chiều trùng với trị số và phương chiều của véc tơ

chính 0Rr

. Ta cần tìm điểm đặt của hợp lực: 0

0

500 2,520

MK mR

= = =

Điểm K là điểm đặt của hợp lực: ( 1 2 3 4 5 6, , , , ,F F F F F Fr r r r r r

) ∼ Rr

K

Điểm K phải nằm về phía chiều dương của trục 0z, cách gốc toạ độ 0 một đoạn 2,5m mới phù hợp với trị số và phương chiều của véc tơ chính 0R

r và mômen chính

0Mr

.

2. Thí dụ

Hệ ba lực ( 1 2 3, , )F F Fr r r

đặt tại các điểm A, B, C và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=0B=0C = a.

a. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực.

b. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực.

B z

x

O y

ACF3

F2

F1

12

Bài giải Hình 2

Trước hết ta cần tìm véc tơ chính 0Rr

và mômen chính 0Mr

khi thu gọn hệ lực về gốc toạ độ 0.

3

2 31

3

3 11

3

1 21

2( )22( )

22( )

2

KK

KK

KK

X F F

Y F F

Z F F

=

=

=

⎧= −⎪

⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪

= −⎪⎪⎩

∑

∑

∑

suy ra 0 2 3 3 1 1 2

2 ( ) ( ) ( )2

R F F i F F j F F k⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦rr r r

Mômen của một lực lấy đối với một trục bằng không khi giá của lực cắt trục nên ta dễ dàng tìm thấy tổng mômen của các lực 1 2 3, ,F F F

r r r đối với các trục tọa độ 0xyz.

3

0 11

3

0 21

3

0 31

2( ) . .22( ) . .

22( ) . .

2

x KK

y KK

z KK

m F F a

m F F a

m F F a

=

=

=

⎧=⎪

⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪

=⎪⎪⎩

∑

∑

∑

r

r

r

suy ra ( )0 1 2 3

2 . . . 02

aM F i F j F k= + + ≠rr r r

0 0. 0R M =r r

; 0 0M ≠r

Kết quả trên luôn luôn đúng đối với hệ lực đã cho ( 1 2 3, ,F F Fr r r

).

a. Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực:

Để hệ lực thu về một ngẫu lực chỉ cần thêm điều kiện :

0 0R =r

suy ra F1 = F2 = F3.

Ngẫu lực có véc tơ mômen là 0Mr

.

b. Điều kiện để hệ lực thu về một lực:

Để hệ lực đã cho thu về một lực chỉ cần thêm điều kiện:

1 2 3

0 2 3 1

3 1 2

;0 ;

.

F F FR F F F

F F F

− ≠ ≠⎧⎪≠ ⇒ − ≠ ≠⎨⎪− ≠ ≠⎩

r

13

O

Z

x

K

y

y

Z

xC

A

B

A P 4

P 3

P 2 P 1

P 5 α P3

P5

P 2 P 1 P4

Hình 3 Hình 5

3. Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực có trị số P1=40N, P2=P5=10N; P3=15N; P4 = 5N và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=2; 0K=20cm, α = 300. Thu gọn hệ lực về dạng tối giản.

Trả lời: Hệ lực thu về hợp lực KRr

đặt tại điểm K có chiều trùng với chiều trục y,

có trị số RK= 20 3 N .

4. Cho 3 lực Pr

1, Pr

2, Pr

3 đặt tại các điểm tương ứng A1(0,2,1) ; A2(1,-1,3); A3(2,3,1) và chiếu của chúng lên các trục toạ độ cho trong bảng bên.

Thu gọn hệ lực trên về gốc toạ độ.

Trả lời: 0Rr

=0; M0 = 23,4Nm; cos ( )0 ,M ir r

= 0,679

cos ( )0 ,M jr r

=0,085 ; cos ( )0 ,M krr

=-

0,727

5. Cho hệ lực Pr

1, Pr

2, Pr

3, Pr

4, Pr

5 đặt ở các đỉnh của hình hộp chữ nhật có chiều như hình vẽ. Biết P1=60N, P2=P3=10N, P4=10 5 N, P5=20N, 0A=0B=20cm, 0C=10cm. Thu gọn hệ lực trên về dạng tối giản.

Trả lời: 0Rr

có chiều ngược với chiều trục 0y và R=30N,

0Mr

nằm trong mặt phẳng 0yz và M0=100 5 Nm. Hệ lực thu về xoắn.

6. Trên hình hộp chữ nhật có lực Pr

và Qr

tác dụng. Tìm mômen của các lực ấy đối với các trục toạ độ. Biết 0A = 3cm, 0C = 4cm, 0L=5cm, P= Q = 3N.

Trả lời: m0x60( )34

P =r

Nm ; m0y45( )34

P = −r

Nm ; m0z36( )34

P =r

Nm

Lực X Y Z Pr

1 3 5 4

Pr

2 -2 2 -6

Pr

3 -1 -7 2

14

C

A B

Dz

x

y 3P

1P

2P O

E

z

y x

3P 1P

2P

O

m0x ( ) 6 2Q = −r

Nm ; m0y ( ) 4,5 2Q =r

Nm ; m0z ( ) 0Q =r

Nm

y

Z

x

O A

F

C

B

K

D E

P

Q

O

x

Z

y

P 6 P 1 P 5

P 4 P2

P3 Hình 6 Hình 7

7. Tại các đỉnh của một lập phương có cạnh bằng a đặt 6 lực cùng có trị số P, có chiều như hình vẽ. Rút gọn hệ lực về dạng tối giản.

Trả lời: Hệ lực thu về một ngẫu lực với M0 = 20 3 P đơn vị mômen lực

Hình 8 Hình 9

8. Trên một tứ diện đều ABCD đặt các lực 1Pr

hướng theo AB, 2Pr

hướng theo CD và

3Pr

có điểm đặt tại trung điểm E của BD. Giá trị của 1Pr

, 2Pr

tuỳ ý. Chiếu của 3Pr

lên 3

trục toạ độ là X35 3

6= P2 ; Y3

12

= − P2; Z32

3= − P2. Thu gọn hệ lực trên.

Trả lời: 0 0. 0R M =r r

. Hệ lực thu về hợp lực.

9. Ba lực 1Pr

, 2Pr

, 3Pr

đặt tại các điểm A, B, C cách gốc toạ độ 0 tương ứng a, b, c nằm trong các mặt phẳng toạ độ và song song với các trục toạ độ. Hệ lực đã cho phải thoả mãn điều kiện gì để hệ lực có hợp lực, điều kiện nào để hệ lực đưa về một xoắn có trục đi qua gốc toạ độ.

Trả lời:

a. 1

aP

+2

bP

+3

cP

=0

15

b a

c

P

P P

6F

5F 4F

1F 2F

3F

3P 2P

1P 4P

E F

B

C D

H G

A

b. 31 2

3 1 2

PP PbP cP aP

= =

Hình 10 Hình 11 Hình 12

10. Theo 3 cạnh không cắt nhau và không song song với nhau của một hình hộp tác dụng 3 lực P

r có trị số bằng nhau. Tìm quan hệ giữa a, b và c để hệ lực đó thu về một

lực.

Trả lời: b = a+ c

11. Tại các đỉnh của một hình lập phương ta đặt các lực theo phương của cạnh như hình vẽ. Tìm điều kiện để hệ lực ( F

r1, F

r2, F

r3, F

r4, F

r5, F

r6) cân bằng.

Trả lời: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6

12. Tại 4 đỉnh A, B, D, H của hình lập phương đặt 4 lực có trị số bằng nhau P1 = P2 = P3 = P4 = P, trong đó 1P

r hướng theo AC, 2P

r hướng theo HF, 3P

r hướng theo BE

và 4Pr

theo hướng DG. Hãy thu gọn hệ lực về điểm D. Tìm dạng tối giản của hệ lực.

Trả lời: 2( )R P j k= +rr r

; 0DM =r

.

Hệ lực thu về một lực.

II. Bài toán cân bằng của hệ lực

13. Thí dụ

Vật nặng Q= 9 3 N được treo vào bản lề C. Thanh BC nằm ngang. Thanh AC và BC bỏ qua trọng lượng được nối với nhau bằng bản lề C và gắn vào tường thẳng đứng bằng bản lề A, B. Biết β= 600. Xác định ứng lực ,A BS S′ ′

r r trong thanh

AC, BC.

Bài giải

Hình 13

y

x

Q

SA

SB

A

B C

b

16

a) Khảo sát cân bằng bản lề C.

b) Các vật liên kết: Thanh AC và thanh BC. (Hình 13)

c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm : Các lực tác dụng tích cực và phản lực liên kết:

• Lực tác dụng tích cực là Qr

• Liên kết là hai thanh thẳng bỏ qua trọng lượng hai đầu gắn bản lề nên hai phản lực có phương dọc theo thanh, ký hiệu là ,A BS S

r r và giả sử có chiều như hình vẽ.

• Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật khảo sát là: ( , , )A BQ S Sr r r

∼ 0.

d) Hệ lực trên là hệ ba lực đồng qui phẳng. Ta có thể giải bằng phương pháp hình học hoặc phương pháp giải tích.

Phương pháp hình học: Dựng tam giác lực khép kín.

LựcQr

đã biết trước cả trị số và phương chiều nên trước hết ta dựng

abuur

= Qr

. Từ a và b dựng hai nửa đường thẳng song song với hai

giá của ,A BS Sr r

. Chúng cắt nhau tại C. Để được tam giác lực khép

kín ta chọn chiều của ,A BS Sr r

sao cho phù hợp với chiều (quay)

của Qr

. Vậy ta đã xác định được chiều của ,A BS Sr r

dựa vào tam giác lực khép kín.

Chiều giả sử của ,A BS Sr r

ở trên là đúng. Do các cạnh tương ứng song song nên tam giác lực abc đồng dạng với tam giác hình học ABC. Từ đó trị số SA, SB được xác định theo định lý hàm số sin trong tam giác lượng:

0 0 0 18sin 90 sin 30 sin 60 3

2

CA BA

SS S QS N= = ⇒ = = ; 1 923

2

B

QS N= = .

Phương pháp giải tích: Hệ trục toạ độ Cxy được chọn như hình vẽ. Nên chọn gốc toạ độ trùng với điểm đồng qui của hệ lực và các trục toạ độ hướng sao cho việc lập hệ phương trình cân bằng đơn giản và dễ giải nhất.

Áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực phẳng đồng qui ta có:

3

1cos 0K B A

KX S S β

=

= − =∑ (1)

3

1sin 0K B

KY S Qβ

=

= − =∑ (2)

b c

Q

S B

S A β

17

Từ (2) ta tìm được 2 3 18sin 3A

QS Q Nβ

= = =

Từ (1) ta có: 1cos 18. 92BS Nβ = =

e) Nhận xét:

Nếu giải bằng phương pháp hình học thì dựa vào chiều của tam giác lực khép kín ta xác định được phương chiều của các phản lực trước sau đó tìm môđuyn của các phản lực sau. Nếu giải bằng phương pháp giải tích thì dựa vào hệ phương trình cân bằng của hệ lực ta tìm được môđuyn của các phản lực trứơc. Dựa vào kết quả tìm được, môđuyn của phản lực nào dương thì phương chiều của phản lực đó đúng như chiều giả thiết, môđuyn của phản lực nào âm thì phản lực đó có phương chiều ngược lại với phương chiều giả thiết.

Trong bài toán này SA= 18N > 0; SB = 9N > 0 nên hai phản lực ,A BS Sr r

có chiều như giả thiết trên hình vẽ.

Ứng lực của thanh AC có môđuyn bằng môduyn của phản lực ASr

.

18A AS S N′ = = ; A AS S′ = −r r

Ứng lực của thanh BC có môđuyn bằng môduyn của phản lực BSr

.

9B BS S N′ = = ; B BS S′ = −r r

Áp dụng tiên đề 4 và tiên đề 1 tĩnh học ta thấy thanh AC bị kéo với cường độ 18N, còn thanh BC bị nén với cường độ 9N.

14. Thí dụ.

Một sợi dây không dãn hai đầu buộc vào trần nằm ngang tại hai điểm A, B. Tại điểm C treo tải trọng trọng lượng P. Các nhánh dây AC, BC lập với đoạn AB các góc α, β. Hãy xác định sức căng T

r của các nhánh dây AC, BC theo P, α và β.

Bài giải

a) Vật khảo sát : Nút C

b) Vật liên kết: hai nhánh dây AC, BC (Hình 14)

c) Hệ lực tác dụng lên nút C: , ,A BP T Tr r r

d) Lập điều kiện cân bằng của hệ lực trên: ( , , )A BP T Tr r r

∼ 0

+ Phương pháp hình học:

x

a b A B

CTA

P3

TB

Hình 14

P 3 T A

T B a+b

90-b

90-a

18

Hình 15

BN AR

O D

C A B

P

Ta dễ dàng dựng được tam giác lực abc như hình vẽ và có:

cos cos sin( )

A BT T Pβ α α β

= =+

Suy ra : cossin( )AT Pβ

α β=

+ ; cos

sin( )BT Pαα β

=+

+ Phương pháp giải tích:

3

1cos cos 0K B A

KX T Tβ α

=

= − =∑ (1)

3

1sin sin 0K B A

KY T T Pβ α

=

= + − =∑ (2)

Nhân hai vế phương trình (1) với sinα , phương trình (2) với cosα rồi cộng từng vế với nhau ta được:

(sin cos sin cos ) cos 0BT Pα β β α α+ − =

Suy ra: cossin( )BT Pα

α β=

+

Thay giá trị TB vào (1) thu được: cossin( )AT Pβ

α β=

+

e) Nhận xét

Các góc α, β nhọn ; 0 < α+β < π nên TA >0 ; TB > 0

Chiều của các phản lực ,A BT Tr r

chọn như hình vẽ là đúng ( phản lực của dây cũng như phản lực tựa là loại phản lực đã biết chiều).

Sức căng của dây: Một sợi dây mềm căng thẳng sẽ tách thành hai phần (I) và (II) nếu ta cắt dây tại một điểm K. Nếu ký hiệu 0t

urlà véc tơ đơn vị định hướng từ (I) đến

(II), thì sức căng T của dây tại điểm K là đại lượng vô hướng xác định bởi hệ thức :

12 0.T T t= −uur ur

hay 21 0.T T t=uur ur

Sợi dây xét luôn căng, và sức căng T là dương. Vậy, sức căng AT ′ của nhánh dây AC, BT ′ của nhánh dây BC có môđuyn bằng môđuyn TA, TB tương ứng: A AT T′ = ;

B BT T′ = .

15. Thí dụ

Xà AB bỏ qua trọng lượng nằm ngang, đầu A gắn vào bản lề A, đầu B là gối tựa con lăn đặt lên mặt phẳng

19

nghiêng so với phương nằm ngang một góc α= 450. Tại điểm C của xà treo vật nặng P

= 20N. Biết AC = 13

BC = 2m. Xác định phản lực tại A, B.

Bài giải

a) Vật khảo sát: Xà AB cân bằng.

b) Liên kết: Bản lề A, gối tựa con lăn B. (Hình 15)

c) Hệ lực tác dụng lên xà: ( , , )B AP N Rr r r

∼ 0

d) Trong hệ ba lực cân bằng trên ta đã biết được phương chiều của hai lực Pr

và BN

r, giá của chúng giao nhau tại điểm O, còn phương chiều của phản lực

ARr

chưa biết. Theo hệ quả 5 ta có giá của ARr

cũng phải đi qua 0. Do đó ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp hình học hoặc giải tích như hai thí dụ trên. Tuy nhiên trong trường hợp này ( khi đã đưa về dạng hệ ba lực đồng qui) nên dùng phương pháp hình học để giải thì nhanh gọn hơn, còn muốn sử dụng phương pháp giải tích không nhất thiết phải tìm tâm đồng qui.

Phương pháp hình học

Từ điểm 01 tùy ý dựng véc tơ 0C = Pr

. Từ gốc 0 và mút C dựng các nửa đường thẳng song song với các giá của lực BN

r, ARr

, hai nửa đường

thẳng này cắt nhau tại điểm d. Dựa vào chiều của lực Pr

và phản lực BNr

ta có tam giác lực ocd. Tam giác giác lực ocd đồng dạng với tam giác hình học 0CD. Dựa vào các điều kiện hình học ta dễ dàng tính được các cạnh:

0C = 6m; 0D=2 2 m ; CD= 2 5 m.

Do đó ta có: 62 5 2 2

A BR N P= = suy ra 5 20 5

3 3AR P= = (N);

2 20 23 3BN P= = (N).

Từ tam giác lực khép kín ocd ta có chiều của phản lực ARr

.

16. Thí dụ:

Thanh đồng chất AB nặng P=2N treo vào tường thẳng đứng nhờ bản lề A và dây BC. Biết α= 300. Xác định phản lực AR

r

của bản lề A, sức căng của dây BC.

Bài giải

a) Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng

Hình 16

B

A C

O α

α T

P

AR

BNuuur

Pur

ARuur

o

c

dba

q

20

b) Liên kết: Bản lề A, dây BC. (Hình 16)

c) Hệ lực tác dụng lên thanh AB: ( , , )AP T Rr r r

∼ 0, trong đó giá của

trọng lực Pr

và giá của phản lựcTr

cắt nhau tại 0 nên giá của phản lực AR

rcũng phải qua 0.

d) Ta sử dụng phương pháp hình học để giải.

Dựng tam giác lực o1ac. Tam giác lực o1ac đồng dạng với tam giác hình học 0AC nên các góc tương ứng bằng nhau do đó ta có:

0 0 0sin 30 sin 60 sin 90AR T P

= =

Suy ra: RA = P.sin300 = 2. 12

= 1N

T= P.sin600= 2. 3 32

= N

e) Sức căng của dây BC có cường độ T ′ = T = 3 N và có chiều ngược với chiều của phản lực T

r:

Tr

' = - Tr

Bài toán này cũng như các bài toán tĩnh học khác có thể được giải bằng phương pháp giải tích:

Do điều kiện hình học đã cho, ta chọn gốc toạ độ trùng với tâm đồng qui còn hai trục toạ độ trùng với giá của AR

r, Tr

:

3

0

1cos30 0K

KX T P

=

= − + =∑ (1)

3

0

1cos60 0K A

KY R P

=

= − =∑ (2)

0 3cos30 2. 32

T P= = = N ; 0 1cos60 2. 12AR P= = = N.

17. Thanh AC nằm ngang được nối với thanh BC bởi bản lề C và cùng gắn vào tường thẳng đứng bởi bản lề A, B. Tại bản lề C treo tải trọng Q = 30N. Biết AC=1,2m; BC=1,5m. Bỏ qua trọng lượng hai thanh. Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC.

Trả lời: Thanh AC bị kéo với cường độ AS′ = SA = 40N

c

oP

T

R Aa

Hình 17

A

B

C

Q

21

Thanh BC bị nén với cường độ BS′ = SB = 50N.

18. Dây AB được buộc chặt tại A đầu B treo vật nặng P. Dây BCD luồn qua ròng rọc C và đầu D treo vật nặng Q=10N. Bỏ qua ma sát ở ròng rọc C. Biết dây AB và BC lập với phương thẳng đứng các góc tương ứng α=450; β=600. Tìm lực căng của dây AB và trọng lượng P.

Trả lời: T= 12,2N ; P= 13,7N

Hình 18

19. Thanh AC và BC được nối với nhau và gắn vào tường thẳng đứng nhờ các bản lề A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N.Bỏ qua trọng lượng hai thanh. Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC cho các trường hợp:

a. α=600; β=300 Trả lời: a) S1=866N ; S2= - 500N.

b. α=300; β=600 b) S1= 577N ; S2= - 1154N.

c. α=600; β=300 c) S1= 1154N ; S2= -577N

Hình 19a Hình 19b Hình 19c

20. Thanh AC và BC không trọng lượng được nối với nhau và gắn vào trần nằm ngang bởi các bản lề A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N. Xác định phản lực của hai thanh AC, BC.

Trả lời: SA= SB= 707N

.

P

Q

A

B

Cα β

D

Q

A

B

C

2

1 A

B

C

A

C B

1

2Q

1

2 Q

β

α

β α α

β

22

21. Một vật nặng 15N treo tại trung điểm B của dây ABC dài 20m. Biết A,C,D nằm ngang, BD = 0,1m. Tìm lực căng của đoạn dây AB, BC.

Trả lời: TA= TC= 750N


22. Một đèn nặng 2N treo tại điểm B của dây ABC. Xác định lực căng của các đoạn dây AB, BC. Biết α=600 , β=1350.

Trả lời: TA= 1,46N ; TC= 1,04N.

23. Đoạn dây CAEBD vắt qua hai ròng rọc nhỏ nằm ngang A, B, AB = l. Tại mút C và D treo hai tải trọng cùng trọng lượng Q, tại E treo tải trọng P. Bỏ qua ma sát ở hai ròng rọc. Tìm khoảng cách x từ E đến AB khi hệ ở vị trí cân bằng.

Trả lời: 2 22 4

PlxQ P

=−

24. Thanh AB bỏ qua trọng lượng được gắn bản lề ở A, đầu B được treo tải trọng P và buộc dây vắt qua ròng rọc nhỏ không ma sát C có treo vật nặng Q. A, C cùng trên đường thẳng đứng, AC=AB. Xác định ứng lực trong thanh AB và góc α khi hệ cân bằng.

Trả lời: S =-P, sin2 2

QP

α=

25. Vật P=20KN treo trên cần trục ABC nhờ xích vắt qua hai ròng rọc bỏ qua ma sát A và D. Các góc cho trên hình vẽ. Trọng lượng các thanh và xích không đáng kể. Tìm ứng lực trong thanh AB và AC.

Trả lời: S1=0 ; S2=-34,6KN

26. Tìm trị số tối thiểu của lực ngang Pr

để nâng con lăn nặng 40KN, bán kính 50cm lên khỏi nền gạch cao 10cm.

C

Q B

PA

α

Hình 24

Hình 23

PE C

B

QQ

x A

D

l

C

A

B

D

Q 30o30

o

60o

Hình 25

A B

QC

Q

B

CA AC

B

45 45 O

O β α D

23

Trả lời: P=30KN

27. Trên hai mặt phẳng nhẵn vuông góc với nhau AB và BC đặt quả cầu D đồng chất nặng 60N. Xác định áp lực của quả cầu lên mỗi mặt phẳng nghiêng nếu BC tạo với phương ngang góc 600.

Trả lời: RD = 52N ; RE = 30N

28. Trên tường nhẵn, thẳng đứng AB treo một quả cầu đồng chất D nặng P nhờ dây AC tạo với tường một góc α. Xác định lực căng của dây và áp lực của quả cầu lên tường.

Trả lời: cos

PTα

= ; R=Ptgα.

r

P O O

DE

C

B

A

O B

A

C

60O

α


29. Xà AB được giữ ở vị trí nằm ngang nhờ thanh CD và các bản lề A, C, D. Xác định phản lực ở bản lề A, D nếu tại B tác dụng lực thẳng đứng xuống dưới F=5KN. Bỏ qua trọng luợng xà và thanh, AC=2m, BC=1m.

Trả lời: RA=7,9KN

RD=10,6KN

30. Thanh đồng chất AB nặng 2N được treo vào tường nhờ bản lề A và dây BC. Xác định phản lực tại A.

Trả lời: RA= 1N, ( , )AR AC =r

600

Hình 29

BA C

D

450

2 1F

24

31. Thanh đồng chất AB=2m, nặng 5N đầu A tựa vào tường thẳng đứng, đầu B buộc vào sợi dây BC, biết góc ∠ (DAB) =450. Xác định khoảng cách AC cần thiết để buộc dây vào tường, phản lực ở A và lực căng của dây khi thanh cân bằng.

Trả lời: AC=AD=1,41m

T=5,6 N ; NA=2,5N

C

B

A

60O

O30

B

C

A

45O

P

l

h

A

B Hình 30 Hình 31 Hình 32

32. Một cần trục được giữ bởi bản lề A, và bản lề cối B mang tải trọng P. Các kích thước cho trên hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng cần trục. Xác định phản lực các bản lề.

Trả lời: RA= l Ph

; RB=2

21 lh

+ P

33. Thanh đồng chất nặng P dài 2a tựa lên nửa hình cầu lõm nhẵn bán kính r như hình vẽ. Xác định phản lực ở A, B và góc α giữa thanh và phương ngang khi thanh cân bằng.

Trả lời: 2 232cos8

a a rr

α + += ; RA= Ptgα ; RB= cos2

cosP α

α

34. Tại điểm giữa của xà AB=4m bắt bản lề ở đầu A còn đầu B đặt trên con lăn tác dụng lực P=20KN tạo với xà góc 450. Xác định phản lực ở A, B trong hai trường hợp (a) và (b). Bỏ qua trọng lượng xà.

Trả lời:

a. RA= 15,8KN ; RB = 7,1KN

b. RA= 22,4KN; RB = 10KN

Hình 33 A

B

O α

r

A B B A45 O

4545

2m 2m

O

O

2m 2m

P P

Hình34 Hình35

25

35. Lực Pr

tác dụng vào khung ABCD bỏ qua trọng lượng tại B theo phương nằm ngang. Xác định phản lực tại bản lề A, con lăn D.

Trả lời: RA = 52

P ; RD = 2P

36. Ở trục ròng rọc C treo tải trọng P=18N có thể trượt dọc theo dây cáp ACB, hai đầu dây A, B được buộc chặt vào 2 tường có khoảng cách 4m, dây dài 5m. Bỏ qua trọng lượng dây cáp và ma sát ở ròng rọc. Xác định sức căng của dây cáp khi ròng rọc cân bằng.

Trả lời: T=15N và không phụ thuộc vào độ cao BF.

37. Thí dụ:

Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và AC tạo với cột góc α=300 , góc giữa hai mặt phẳng 0AB và 0AC là β=600. Tại đầu Acủa cột buộc hai dây vuông góc với nhau và song song với các trục 0x, 0y. Biết lực kéo mỗi dây F=200N. Tìm áp lực thẳng đứng của cột lên nền và sức căng của mỗi dây AB, AC. Bỏ qua trong lượng cột và hai dây.

Bài giải

a) Vật khảo sát : Nút A cân bằng

b) Liên kết: Cột AB, hai dây AB, AC.(Hình 37)

c) Hệ lực tác dụng lên nút A: ( 1 2, , , , )B cR T T F Fur ur ur ur ur

0

d) Dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ và áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực đồng qui không gian ta có:

5

11

5

21

5

1

sin sin cos 0

sin sin 0

cos cos 0

K B CK

K CK

K B CK

X T T F

Y T F

Z R T T

α α β

α β

α α

=

=

=

⎧ = + − =⎪⎪⎪ = − =⎨⎪⎪

= − − =⎪⎩

∑

∑

∑

z

O y

x

A

C

B

F 2 R

T C T BF 1

a a

b

Hình 37

P

A

C

FB

4m

Hình 36

A

B C

D

2a a

P

Hình35

26

P

A

B

C

D

O

C B

D

A

E 60 O

α

Với F1= F2 = F = 200N

Giải hệ phương trình trên ta thu được:

sin sinC

FTα β

= ; ( )1 cotsinB

FT gβα

= − ; 1 cot2

R F tg gβ α⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Để đảm bảo dây luôn căng, thì cần điều kiện β > 450.

Thay số vào ta có: TC = 461N ; TB = 172N ; R= 546N

e) Các phản lực liên kết , ,B CR T Tr r r

có chiều như hình vẽ là đúng vì TC > 0 ; TB > 0; R >0.

Vậy áp lực thẳng đứng của cột, sức căng của các dây AB, AC tương ứng là:

R R′ = −r r

; B BT T′ = −r r

; C CT T′ = −r r

.

38. Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và AD tạo với cột góc α=300 , góc giữa các mặt phẳng 0AB và 0AD là ϕ=600. Tại đầu A của cột buộc hai dây vuông góc với nhau và song song với 0x, 0y. Biết lực kéo mỗi dây P1=P2=P=100N. Bỏ qua trong lượng cột và dây AB, AD. Tìm áp lực thẳng cột và sức căng mỗi dây.

Trả lời: ϕ>450 ; TD = 231N ; TB= 85N ; R= 273N

HHình 38

39. Hai dây điện thoại được buộc vào cột AB tại A lập với nhau góc ∠ (DAE)=900. Sức căng của các dây AD và AE tương ứng bằng 12N và 16N. Cột chống AC lập với phương ngang góc 600. Bỏ qua trọng lượng hai cột. Xác định góc α lập bởi hai mặt phẳng BAC và BAE và ứng lực cột chống AC.

Trả lời : α = 36o50', S = -40 N.

z

O x

y B

A

α

α

P 1 P 2

ϕ

27

Hình 39 Hình 40

40. Tại đỉnh A của giá 3 chân AB, AC, AD treo vật P=100N. Khoảng cách từ A đến đất 0A=3m, độ dài mỗi chân l=10m, 3 đỉnh B, C, D tạo thành tam giác đều. Tìm lực nén lên mỗi thanh.

Trả lời: S= - 41,67N

41. Cột AB được giữ ở vị trí thẳng đứng nhờ 4 dây neo sắt đặt đối xứng. Góc giữa hai dây kề nhau là α=600 Sức căng mỗi dây bằng 1000N, trọng lượng cột là 2000N. Xác định áp lực của cột lên mặt đất.

Trả lời: R= 4828N


42. Vật nặng Q=100N được giữ bởi xà 0A, bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A và nghiêng so với phương thẳng đứng góc α=450 và hai xích nằm ngang 0B, 0C dài như nhau trọng lượng không đáng kể. Biết ∠ (CBO)= ∠ (BCO)=α=450. Tìm sức căng của xích và ứng lực của xà.

Trả lời: T= 71N ; S= 41N

43. Tìm ứng lực 1 2,S Sr r

trong các thanh AB, AC và sức căngTr

của dây AD của cần trục, nếu CBA=BCA=600, EAD=300, P=300N, mặt phẳng ABC nằm ngang. Các thanh được bắt bản lề tại A, B, C.

Trả lời: T = 600N ; S1 = S2= - 300N

B

E

F C

D

A

ϕ

QA

BO

D

aa

a

P

AB

C

D

E

28

Q

B

C

E D

A

V W

yQ

O

A

C

D

αα

α

B

y

x

Q A

C

BD

O


44. Tìm ứng lực Sr

trong thanh AB và sức căng của dây xích AC, AD giữ trọng vật Q = 42N nếu AB = 145cm, bỏ qua trọng lượng, AC = 80cm, AD=60cm, mặt phẳng chữ nhật ACED nằm ngang, mặt phẳng V, W thẳng đứng, B là bản lề.

Trả lời: S= -58N ;

TC = 32N ; TD= 24N

45. Vật nặng Q=1000N treo ở điểm D như hình vẽ. Các thanh được gắn với nhau bằng bản lề A, B, C, D. Tìm phản lực tại A, B và C, α=450.

Trả lời: SA= SB= 2640N;

SC= 3350N

46. Tại các điểm A, B, C nằm trên 3 trục toạ độ cách đều gốc toạ độ 0 một khoảng l buộc

các sợi dây AD=BD=CD=L và nối với nhau tại D có toạ độ x=y=z= ( )2 21 3 23

l L l− − .

Tại D treo tải trọng Q. Biết 23

l < L < l . Tìm sức căng của các dây AD, BD, CD.

Trả lời: TA= TB= 2 2

2 2

3 23 3 2l L l LQ

l L l− −

−;

TC= 2 2

2 2

2 3 23 3 2

l L l LQl L l

+ −

−

47. Thí dụ

Trên dầm công xông CD nằm ngang, bỏ qua trọng lượng, tác dụng ngẫu lực có mômen M= 50Nm. Tại đầu D tác dụng lực thẳng đứng Fr

có giá trị F= 4N. Biết AB= 10m ; BD= 5m. Tìm phản lực tại A, B. Hình 47

C F

y

A B

RA M R B D

x

29

Bài giải

a) Vật khảo sát: Dầm CD.

b) Liên kết: Tựa tại A, B (Hình 47)

c) Hệ lực tác dụng lên vật: ( , , ,A BM F R Rr r r r

) 0

d) Hệ lực trên là hệ lực song song phẳng. Sử dụng hệ phương trình cân bằng cho loại hệ lực này ta có:

5

1

5

1

0

( ) . . 0

K A BK

Az K BK

Y R R F

m F R AB M F AD

=

=

⎧ = + − =⎪⎪⎨⎪ = + − =⎪⎩

∑

∑r

Giải ra ta được: . 1B

F AD MRAB

−= = N

RA= F- RB = 3N

e) Nhận xét: RA = 3N > 0 ; RB = 1N >0 như vậy chiều của các phản lực ,A BR Rr r

như trên hình vẽ là đúng.

48. Thí dụ

Thanh AB nằm ngang trọng lượng 100N có thể quay xung quanh bản lề A cố định. Đầu B được giữ nhờ quả tạ trọng lượng G= 150N vắt qua ròng rọc không ma sát bằng dây nhẹ, không dãn. Tại điểm K với BK=20cm treo vật nặng Q= 500N. Tìm phản lực tại A và độ dài thanh AB khi thanh cân bằng.

Bài giải

1. Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng.

2. Liên kết: Bản lề A, dây.

3. Hệ lực tác dụng lên AB: ( , , ,AP Q Y Trr r r

) 0

Ròng rọc C là lý tưởng (bỏ qua khối lượng và ma sát). Với dây mềm nhẹ không dãn (lý tưởng) vắt qua ròng rọc lý tưởng thì sức căng T trên dây là đồng đều. Ta thừa nhận được T = G = 150 N. (Có thể xem chứng minh phần ma sát - công thức Ơle).

Hình 48

GQ

P

y

A BT RA K

G

Q

C

30

4. Hệ phương trình cân bằng của hệ lực song song phẳng trên:

4

1

4

1

0

( ) . . . 02

K AK

Az KK

Y Y T P Q

ABm F T AB P Q AK

=

=

⎧ = + − − =⎪⎪⎨⎪ = − − =⎪⎩

∑

∑r

Trong đó: AK = x; AB = x + 20.

Thay các trị số đã cho vào hệ phương trình trên và giải ra ta thu được:

YA = 450N ; AB= 25cm.

5. Nhận xét:

YA = 450N > 0 như vậy chiều của phản lực AYr

chọn là đúng.

49. Một dầm đồng chất AB=1,5m có trọng lượng P=80N. Tại mút B treo vật nặng Q=200N, ngoài ra còn tác dụng vào dầm ngẫu lực ( 1 2,F F

r r) có mômen M=100Nm. Các

kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực tại C, D.

Trả lời: NC= 1020N ; ND =1300N

50. Trên dầm công xon nằm ngang, bỏ qua trọng lượng tác dụng một ngẫu lực có mômen M=60KNm. Tại C tác dụng lực thẳng đứng P

rcó giá trị P=20KN. Biết

AB=3,5m; BC=0,5m. Tìm phản lực ở A, B.

Trả lời: RA= - 20KN ; ARr

hướng xuống dưới.

RB= 40KN ; BRr

hướng lên trên.

51. Trên dầm hai côngxon nằm ngang tác dụng ngẫu lực ( , 'P Pr r

), bên công xon trái tác

dụng lực phân bố đều qur

, tại D bên công xon phải chịu tác dụng lực thẳng đứng Qr

. Xác định phản lực tại A, B. Biết P=10KN, Q=20KN, q=20KN/m; a=0,8m.

AF1

Q

BD

C

F20.23 0.3 0.23 0.75

P

A B

MC

Hình 49 Hình 50

31

Trả lời: RA=(7- 4n)KN ; RB= (3+4n)KN ; n = ACAB

Trả lời:RA= 15KN ; RB= 21KN.

52. Dầm AB=1,5m trọng lượng 80N đặt giữa hai gối đỡ C và D nằm ngang. Tại mút B treo tải trọng 200N. Biết AC=25cm, CD=30cm. Tìm phản lực tại C, D.

Trả lời: RC= 688,7N ; RD= 966,7N

53. Xà đồng chất BC=4m nặng 5KN. Đầu C treo vật nặng P=40KN đầu kia tựa vào hai điểm cố định A và B với AB=0,5m. Xác định phản lực tại A, B khi xà cân bằng.

Trả lời: RA= 340KN ; RB= 295KN

54. Tìm giá trị phản lực của cần trục cầu tại A và B trên đường ray, phụ thuộc vào vị

trí của xe nhỏ C trên có gắn ròng rọc ở nửa bên trái cầu, đặt ACAB

= n. Trọng lượng cầu

P=6KN, trọng lượng xe kể cả ròng rọc P1=4KN.

55. Trên một dầm ngang đặt lên hai bệ đỡ cách nhau 4m đặt hai tải trọng: C nặng 200N, D nặng 100N, CD=1m. Bỏ qua trọng lượng dầm và thanh nối CD. Tìm khoảng cách x từ A đến C để phản lực

DBA

QP'

PCa

qA BD

CPa a a

a

Hình 51 Hình 52

C

PA

B

P1

P

A B

C

Hình 53 Hình 54

BA

C Dx

Hình 55

32

B A

M

M

M30

O

2

1 3

Hình 59 Hình 60

C B D

Q A

d

Hình 56

ở A gấp đôi phản lực ở B khi dầm cân bằng.

Trả lời: x= 1m

56. Hai thanh đồng chất có cùng tiết diện AB và BC nối cứng với nhau tạo thành góc 600 và được treo tại điểm A bởi dây AD. Biết BC=2AB. Xác định góc ϕ tạo giữa thanh BC và phương nằm ngang khi thanh gẫy khúc ABC cân bằng.

Trả lời: ϕ= arctg 35

= 1905’

57. Hai thanh đồng chất cùng tiết diện AC=2a, CB=2b nối cứng với nhau tại C tạo thành góc α và được treo bởi dây CD. Tìm góc ϕ giữa thanh AC và phương nằm ngang khi thanh cân bằng.

Trả lời: tgϕ=2 2

2

cossin

a bb

αα

+

58. Một cửa cống hình chữ nhật rộng b=2m nối với đáy công trình bằng bản lề trụ nằm ngang còn phía trên có móc giữ chặt. Chiều sâu của nước phía trước cửa cống là h1=4m, phía sau cửa cống là h2=2m. Chốt bản lề và móc chịu tất cả áp lực phân bố của nước lên cửa cống từ phía trái và từ phía phải. Biết áp lực riêng của nước là σ=10KN/m2; HK=0,5m. Xác định phản lực của chốt bản lề B và phản lực của móc H. Trả lời: RB= 78,5KN ; Rm= 41,5KN

59. Supap an toàn A của nồi hơi nối liền với thanh AB có cánh tay đòn CD=50cm nặng 1N có thể quay quanh trục cố định C. Đường kính supap d=6cm, BC=7cm. Tìm trị số của lực Q

r để supap tự mở khi

áp suất nồi hơi là 11N/cm2.

Trả lời: Q=43N

Hình 58

h 1

h2

K

B

0,5 m

B

D

A

C

α ϕ

Hình 57

D

A

B

C ϕ

60o

33

60. Xà AB=10m, đầu A nối bản lề cố định, đầu B đặt trên con lăn nghiêng so với phương ngang góc α=300. Trên xà có 3 ngẫu lực tác dụng với mômen M1=8KNm, M2=10KNm, M3=7KNm và có chiều như hình vẽ. Tìm phản lực ở A, B.

Trả lời: ( ),A BR Rr r

- ngẫu lực: RA=RB=0,58KN

61. Vật nặng Q=50N được treo vào trục bán kính r=10cm nhờ dây cáp. Tay quay có độ dài l=1,25m bắt chặt vào trục và cùng nằm trong mặt phẳng của dây vuông góc với trục. Tìm phản lực ở bản lề trụ O và trị số lực của ngẫu ( ,P P′

uur uur) nếu giá của P

uurvuông góc

với tay quay.

Trả lời: R= 50N ; P= 4N

62. Bộ phận chính của ròng rọc visai được cấu tạo bằng hai bánh xe răng khía luồn chặt vào nhau cùng quay quanh trục cố định A bán R và r. Một dây xích dài luồn qua hai bánh xe răng khía tạo thành hai nhánh. Tại một trong hai nhánh đó đặt ròng rọc B mang vật nặng Q. Tác dụng áp lực động P

r vào nhánh tự do ở phía tiếp xúc với

ròng rọc lớn. Tìm sự liên hệ giữa P và Q. Tính P khi Q=500N, R=25cm, r=24cm. Bỏ qua ma sát ở ròng rọc.

Trả lời: 1 1 102

rP QR

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

N

63. Thí dụ

Một tấm hình tam giác vuông đồng chất 0'A'B' trọng lượng P= 120N được giữ nằm ngang bởi ba thanh thẳng đứng, bỏ qua trọng lượng AA', BB', 00'. Tại điểm K với

B'K'= 14

A'B' đặt vật nặng trọng lượng Q= 240N. Tìm ứng lực trong các thanh.

Bài giải

a) Vật khảo sát: Tấm 0'A'B' cân bằng.

b) Liên kết: các thanh không trọng lượng AA', BB', 00'.

c) Hệ lực song song không gian tác dụng lên vật khảo sát:

( 0, , , ,A BP Q S S Sr r r rr

) 0.

d) Hệ phương trình cân bằng của hệ lực trên:

Hình 62

Q

B

A rR

P

Q

Or

P'

P

Hình 61

34

A B

C β

α O

1P 2P

3P


O b

a

y

x B

K . A

A

Aϕ

ϕ

ϕO A

5

01

5

01

5

01

0

3.( ) . . . 03 4

( ) . . 03 4

K A BK

x K BK

y K AK

Z S S S P Q

b bm F S b P Q

a am F p Q S a

=

=

=

⎧ = + + − − =⎪⎪⎪ = − − =⎨⎪⎪

= + − =⎪⎩

∑

∑

∑

r

r

Từ hệ ba phương trình đại số trên dễ dàng tìm được:

1003 4A

P QS N= + = ; 3 2203 4B

PS Q N= + = ;

0 403PS N= =

e) Nhận xét:

Các SA, SB, S0 tìm được đều dương, chứng tỏ chiều của 0, ,A BS S Sr r r

như trên hình vẽ là đúng. Vậy chiều của ứng lực sẽ ngược lại:

A AS S′ = −r r

; B BS S′ = −r r

; 0 0S S′ = −r r

Bài toán thuộc dạng này luôn luôn có thể giải được bằng phương pháp hợp lực song song hoặc phân tích một lực thành hai lực song song và cùng nằm trong một mặt phẳng.

64. Một tấm chữ nhật đồng chất có cạnh a= 6m và b=12m, trọng lượng P= 180N được đặt nằm ngang lên 3 điểm nhọn 0, A và K như hình vẽ. Biết phản lực tại 0 là 10N và điểm K có toạ độ K(2,yK). Tìm phản lực tại A, K và toạ độ yK.

Trả lời: NA = 50N; NK = 120N; yK = 9m.

65. Một bàn tròn có ba chân A1, A2, A3. Tại tâm 0 đặt một vật nặng. Tìm điều kiện các góc ở tâm ϕ1, ϕ2, ϕ3 sao cho áp lực lên các chân A1, A2, A3 theo tỷ lệ 1:2: 3 .

Trả lời: ϕ1= 1500; ϕ2 =900 ; ϕ3 = 1200.

Hình 63

B'

A'

K'

O'

y

z

x

P QB

A

O

Ka

b

35

66. Một đĩa tròn trọng lượng không đáng kể nằm yên ở mặt phẳng ngang tâm tựa lên điểm nhọn 0. Xác định góc α, β sao cho khi tác dụng các lực P

r1, Pr

2, Pr

3 theo phương thẳng đứng từ trên xuống đĩa vẫn cân bằng. Biết P1=1,5N, P2=1N, P3=2N.

Trả lời: α = 75030’ ; β = 1510

67. Cần trục ba bánh xe A, B, C với kích thước AD=DB=1m, CD=1,5m, CM=1m, KL=4m, ở cân bằng nhờ đối trọng F. Trọng lượng của cần trục và của đối trọng là 10KN đặt tại điểm G nằm trong mặt phẳng MLNF với khoảng cách GH=0,5m kể từ trục cần trục MN, tải

trọng Q=3KN. Tìm áp lực của các bánh xe lên ray khi mặt phẳng MLN song song với mặt phẳng Dyz.

Trả lời: RA = 56

KN ; RB = 7 56

KN ; RC = 143

KN

68. Một cần trục có hình tứ diện ABCD. Mặt đáy ABC là tam giác đều. Mặt bên thẳng đứng ADB là tam giác cân. Trục thẳng đứng của cần trục được giữ bởi bản lề 0 và D, thanh chống 0E mang tải trọng P có thể quay quanh trục đó. Đáy ABC được giữ chặt bởi bản lề trụ A, B và bulông thẳng đứng C. Xác định phản lực ở A, B, C khi cần nâng 0DE nằm trong mặt phẳng đối xứng của cần trục, nếu P=1200N, trọng lượng cần trục Q=600N với trọng tâm ở G, h=1m, a=b=4m.

Trả lời: ZA = ZB = 1506 N ; ZC = -1212 N ; XA=XB=0

69. Một tấm chữ nhật đồng chất có cạnh a và b, trọng lượng P được đặt nằm ngang trên 3 điểm nhọn A, B và E như hình vẽ. Biết áp lực lên điểm A và B tương ứng là P/4 và P/5. Tìm áp lực lên điểm E và toạ độ của nó.

Trả lời: NE = 1120

P ; x = 6

11a ; y =

1011

b

70. Thí dụ

Xà AB đồng chất trọng lượng P=100N được giữ trong mặt phẳng thẳng đứng như hình vẽ. Biết các góc α= 300 ; β= 600. Bỏ qua ma sát trượt. Tìm phản lực tại A, B.

Bài giải

a) Vật khảo sát: Xà AB.

x

y z

B A

b

a

E

M

4m K L

x

z

Q

C

BA 1m1m

1m 1,5m

N

DH

F

GA

O

EP

y bzD

h.G

Cx

a

B


36

b) Liên kết: tựa tại A, B.

c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát AB:

( , , ,A A BP X Y Nr r r r

) 0.

d) Hệ lực trên là hệ lực phẳng, trong đó các phản lực phải tìm đều đã biết phương chiều. Sử dụng hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng ta sẽ tìm được cường độ của chúng.

4

1

4

1

4

1

cos 0

sin 0

( ) . sin . cos 02

K A BK

K B AK

Az K BK

X X N

Y N P Y

ABm F N AB P

α

α

β α

=

=

=

⎧ = − =⎪⎪⎪ = − + =⎨⎪⎪

= − =⎪⎩

∑

∑

∑r

Thay các giá trị đã cho P=100N, α= 300 ;

β= 600 vào hệ phương trình trên ta được:

25 3AX = N ; YA= 75N , NB = 50N.

e) Nhận xét: XA > 0 ; YA > 0 ; NB > 0 như vậy chiều của , ,A A BX Y Nr r r

đã chọn là đúng.

71. Thí dụ

Xác định phản lực bệ đỡ của khung cứng dưới tác dụng của lực P

r nằm ngang và lực phân bố theo tam

giác. Bỏ qua trọng lượng khung. Biết P= 2KN, cường độ phân bố lớn nhất q=0,2KN/m ; h= 3m ; ℓ = 1,5m

Bài giải

1) Vật khảo sát: Khung ABCD.

2) Liên kết: Bản lề A, con lăn B.

3) Hệ lực tác dụng lên khung ABCD:

( , , , ,B A AP Q N X Yrr r r r

) 0

Trong đó lực phân bố tam giác có cường độ của hợp lực 2qQ h= = 0,3 KN và đặt tại

điểm E với 3hAE = = 1m, có phương chiều trùng với phương chiều của qr .

4) Lập hệ phương trình cân bằng:

A

B

C

α

NB

PXA

YA

β

Hình 70

B

D C

A

y

x

P

q

YA

X A

N B

l

h Q

E

Hình 71

37

5

1

5

1

5

1

0

0

( ) . . 03

K AK

K A BK

Az K BK

X X P Q

Y Y N

hm F N l P h Q

=

=

=

⎧ = + + =⎪⎪⎪ = + =⎨⎪⎪

= − − =⎪⎩

∑

∑

∑r

Thay các trị số đã cho và giải hệ phương trình trên ta tìm được:

NB= 4,2KN ; XA = -2,3KN ; YA =- 4,2KN

5) Nhận xét:

Vì XA < 0 ; YA <0 nên ,A AX Yr r

có chiều ngược với chiều giả thiết trên hình vẽ.

72. Thanh AB đồng chất, trọng lượng P, đầu A tựa trên nền nhẵn nằm ngang, đầu B tựa lên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng β và được giữ bởi dây luồn qua ròng rọc và buộc vào tải trọng Q. Bỏ qua ma sát. Xác định phản lực ở A, B và Q theo P khi thanh cân bằng.

Trả lời: NA=2P ; NB=

2P cosβ ; Q= T= =

2P sinβ


73. Xà đồng chất trọng lượng 60N dài 4m một đầu tựa trên nền nhẵn và tại điểm B của xà gác lên cột cao 3m, góc giữa xà và cột là 300 còn tại đầu C của xà buộc dây vào chân cột A. Tìm phản lực ở B, C và sức căng của dây AC.

Trả lời: T= 15N ; NB= 17,3N ; NC= 51,3N

74. Một thang AB nặng 200N được tựa trên tường nhẵn lập với phương ngang một góc

450. Một người nặng 600N đứng tại điểm D với AD= 13

AB. Tìm phản lực tại A, B.

Trả lời: NB= 300N ; XA= 300N ; YA= 800N

B

A

Q

30

Β

Α C 45 A

B

D O β

Ο

.

38

a

a

B

A

A

B

D

C

B F C

E

.D

1m 2m 4m

A

75. Thanh đồng chất dài 2l trọng lượng P tựa vào hai tường tại đầu B và điểm A. Khoảng cách giữa hai tường là a. Xác định phản lực tại A, B và góc nghiêng α giữa thanh và phương nằm ngang.

Trả lời: RA=cos

Pα

; RB= P.tgα ; α= arccos 3al

; a≤ l


76. Thanh đồng chất AB nặng 100N tựa tự do tại A và được giữ bởi hai thanh BC, BD trọng lượng không đáng kể bằng các bản lề B, C, D. BCD là tam giác đều. AB nghiêng so với phương nằm ngang một góc 450 còn C, D cùng trên tường thẳng đứng. Xác định phản lực tại A và ứng lực trong các thanh.

Trả lời: NA=35,4N ; SC= 89,5N ; SD= - 60,6N

77. Người ta cần nâng một dầm cầu bằng ba dây cáp như hình vẽ. Trọng lượng của dầm cầu là 4200N, trọng tâm đặt tại D. Biết AD=4m, BD=2m, BF=1m và AC nằm ngang. Tìm sức căng của ba dây.

Trả lời: TA= 1800N ; TB= 1757N; TC= 1243N

78. Thanh đồng chất AB trọng lượng P được tựa trên một mặt phẳng nằm ngang và một mặt phẳng nghiêng. Hai mặt phẳng lập với nhau góc một α. Thanh được giữ lập với mặt phẳng nằm ngang một góc β nhờ dây CD lập với phương ngang góc γ. Tìm sức căng của dây, phản lực tại A, B. Góc γ phải thỏa mãn điều kiện nào thanh mới có thể cân bằng.

Trả lời: NA= cos cos4cos( )

P β γα β γ

−+ −

;

NB= cos cos( )12cos( )

P β α γα β γ

⎡ ⎤−−⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

;

α γ β Β

D

Α

C

Hình 78

39

T= sin cos2cos( )

P α βα β γ

−+ −

; 2πγ α β< + − ;

79. Một tấm ván hình vuông đồng chất ABCD trọnglượng P được treo bởi sợi dây BE=BA, đỉnh A tựa trên tường nhẵn thẳng đứng. Xác định phản lực của tường, sức căng của dây và góc ϕ khi tấm cân bằng.

Trả lời: N= Ptgϕ ; T=cos

Pϕ

; ϕ= arctg 13

80. Quả cầu đồng chất trọng lượng Q, bán kính a và vật nặng P được treo nhờ sợi dây buộc tại D, khoảng cách OM = b. Xác định góc ϕ tạo bởi 0M và phương thẳng đứng khi quả cầu cân bằng.

Trả lời: ϕ= arcsin( )

PaP Q b+

81. Tấm ván đồng chất AB=2l trọng lượng Q được treo bằng hai sợi dây AC=CB và cùng lập với ván một góc β. Một người trọng lượng P đứng tại D với AD=m. Xác định góc nghiêng α của ván với phương nằm ngang khi ván cân bằng.

Trả lời: ( ) cot( )l m Parctg g

l P Qα β

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

82. Xà AB=l=3m bỏ qua trọng lượng được giữ bởi bản lề A và con lăn B chịu tác dụng lực phân bố đều q=2KN/m và F=4KN có phương nghiêng so với xà góc α=600. Biết a=1m. Tính phản lực tại A, B.

Trả lời: NA= 2,48KN ; XA= 2KN ; YA= 2,98KN.

83. Xà AB=l=3m bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A, còn B tựa trên con lăn nghiêng so với phương nằm ngang góc α=300 chịu tác dụng của lực phân bố đều q=2KN/m trên một đoạn a=2m và một ngẫu lực có mômen M=3KNm. Tìm phản lực tại A, B.

E

A

C

B ϕ

D

Hình 79

O

M

D

a

P

ϕ

C

Hình 80 Hình 81

C

A

BD

O

βα

β

40

αA B

F

P

l l

4m

C

A

B

Pa

Trả lời: NB= 4,24KN ; XA= 2,12KN ; YA=0,33KN.

84. Một xà đồng chất AB=l=27dm trọng lượng Q=10N tựa trên một mặt trụ nhẵn bán kính r = 6dm tại D. Đầu A bắt bản lề còn đầu B treo vật nặng P trọng lượng P= 5N, góc α=600. Xác định phản lực ở A, D.

Trả lời: ND=39N ; XA= 33,5N ; YA= 4,5N

85. Một xà đồng chất AB trọng lượng P=100N gắn vào tường bằng bản lề A và nghiêng với phương thẳng đứng một góc 450. Đầu B được buộc vào dây luồn qua ròng rọc không ma sát có treo vật nặng G. Biết đoạn đây BC lập với phương thẳng đứng một góc 300. Tại D với BD = 1

4 AB treo vật nặng Q=200N. Tìm trọng lượng G và phản lực tại A khi xà cân bằng.

Trả lời: G= 146N ; XA= 73N ; YA= 173N

Hình 86 Hình 87

A

D

B

P

Or

A

D

B

G

C

Q

30 45

α

o o

Hình 84 Hình 85

Hình 82 Hình 83

q

aa

A BF

A B

aM

αα

l

q

l

41

86. Xà AB đồng chất trọng lượng 100N đầu A bắt bản lề vào tường , đầu B buộc vào dây nằm ngang BC và treo vật nặng P=200N, nghiêng với phương thẳng đứng góc α=450. Tìm sức căng của dây BC và phản lực tại A.

Trả lời: T= 250N ; XA= 250N ; YA= 300N

87. Một dàn có bệ đỡ bản lề cố định tại A và xe di động B có độ dài AB=20m, nặng 100KN chịu lực ép tổng hợp của gió là F=20KN tác dụng song song với AB từ phải sang trái và cách AB là 4m. Tìm phản lực tại A, B. Biết α=300. Trả lời: NB= 62,4KN ; XA= 11,2KN ; YA= 46KN

88. Thí dụ:

Khung gấp khúc ABCD có phần ABC nằm ngang, phần BCD thẳng đứng. Khung được giữ bởi bản lề cầu A, bản lề trụ E và dây không dãn DK song song với BA. Khung chịu tác dụng của lực thẳng đứng P

r tại D và các ngẫu lực 1 2,m mr r . Biết

∠ (ABC) = ∠ (BCD) = 900; AB = 40cm; BE = 20cm; EC= 40cm ; CD = 40cm; P = 100N; m1 = 60Ncm ; m2 = 40Ncm. Bỏ qua trọng lượng khung. Xác định phản lực tại A, E và sức căng của dây DK.

Bài giải

a) Vật khảo sát: Khung ABCD cân bằng.

b) Liên kết: Bản lề cầu A, bản lề trụ E và dây DK.

c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát:

Với khung ABCD đã cho ta có thể lập hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ.

Ta có: ( 1 2, , , , , , , ,A A A E EX Y Z X Z T P m mr r r r r r r r r ) 0

d) Lập hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian trên ta có:

Hình 88

y

z

D

A

BE

XE

ZE

T

K

ZAYA

m1

m2x

XA

P

C

42

B

A

C

D

a

a

1 2

3

6

45 P

a

B

a

a

21

3

6

5 4

D

C

A

Hình 89 Hình 90

7

1

7

1

7

1

9

11

9

1

9

21

0

0

0

( ) . . 0

( ) . . . 0

( ) . . 0

K A EK

K AK

K A EK

Ax K EK

Ay K EK

Az K EK

X X X T

Y Y

Z Z Z P

m F Z BE P BC m

m F T CD P AB Z AB

m F T BC X BE m

=

=

=

=

=

=

⎧ = + − =⎪⎪⎪ = =⎪⎪⎪ = + − =⎪⎨⎪ = − − =⎪⎪⎪ = + − =⎪⎪

= − + =⎪⎩

∑

∑

∑

∑

∑

∑

r

r

r

Thay các trị số đã cho vào 6 phương trình cân bằng trên và giải ra, ta tìm được:

YA = 0 ; ZE = 303N ; T = 203N ; ZA = -203N ; XE = 611N ; XA =-408N.

e) Nhận xét: ZE > 0 ; T > 0 ; XE > 0 nên chiều của , ,E EZ T Xr r r

giả thiết như hình

vẽ là đúng, còn ZA < 0 , XA < 0 nên chiều của ,A AZ Xr r

ngược lại với chiều giả thiết trên hình vẽ.

89. Xác định ứng lực trong 6 thanh đỡ giữ tấm vuông ABCD bỏ qua trọng lượng dưới tác dụng của lực nằm ngang P

r dọc theo AD. Kích thước như hình vẽ.

Trả lời: S1= P ; S2=-P 2 ; S3=-P ; S4=P 2 ; S5=P 2 ; S6= -P .

90. Một tấm đồng chất có dạng hình chữ nhật nặng P nằm ngang được giữ cố định bởi 6 thanh thẳng trọng lượng không đáng kể hai đầu gắn bản lề. Xác định ứng lực trong các thanh.

Trả lời: S1= S3= S4= S5 = 0; S2= S6 =- 6P

Hình 92

x

y

E

G

A

BCD F

60OQ

AE

B

C

x

yz

60o

D25

C A

D

By

x

10025

75

60H

K

E

z

Hình 91 Hình 93

43

C

D

B

A

Z

E y

x30O

P

BA

DCM H

Y

Z

X

E α

Hình 94

XY

A

BB

D

C P

F E

Z

Hình 95 Hình 96

91. Nắp đồng chất ABCD của hộp chữ nhật được giữ nhờ thanh chống DE. Nắp nặng 12N, AD = AE, góc DAE = 600, bỏ qua trọng lượng thanh. Tìm phản lực tại A, B và ứng lực trong thanh DE.

Trả lời: XA= 1,73N ; ZA = 3N ;

XB= 0; ZB = 6N ; S = 3,46N;

92. Giá đỡ hàng ABCD của một toa xe có thể quay qunh trục AB nhờ hai bản lề trụ H, K được giữ ở vị trí nằm ngang bởi thanh bỏ qua trọng lượng ED. Trọng lượng tổng cộng trên tấm là P = 80N và đặt tại tâm của tấm. Kích thước như hình vẽ (đơn vị là cm ). Xác định phản lực tại H,K và ứng lực thanh DE.

Trả lời: XH= 1133

N ; ZH=50N ; XK= 2663

N;

ZK=-10N; S= 2663

N.

93. Nắp chữ nhật đồng chất nặng 40N được mở so với phương nằm ngang một góc 600 nhờ đối trọng Q, bỏ qua ma sát ở ròng rọc A, D trên đường thẳng đứng và AD = AC. Tìm trị số lực Q

r và phản lực ở bản lề A, B.

Trả lời: Q= T= 10,4N ; XB= 0 ; ZB=20N ; XA=10N ; ZA=17,3N

94. Nắp hộp chữ nhật ABCD có thể quay quanh bản lề A, B. Dây CE song song với Ax giữ nắp hộp tạo với phương nằm ngang góc α = 300. Biết nắp hộp đồng chất và nặng 2N. Xác định phản lực ở A, B và sức căng dây CE.

Trả lời: XA= 0 ; ZA = 1N ;

XB= 1,73N ; ZB= 1N ; T= 1,73N

95. Cánh cửa đồng chất ABCD nặng Q = 100N được giữ bởi dây EF// HD, cánh cửa mở ra góc α = 600. Cho BD= BH ; CE= ED. Xác định trị số của lực P để cánh cửa cân bằng ở vị trí đang xét và phản lực ở bản lề A, B

Trả lời: P= T= 50N ; XA= 21,6N ; ZA= 37,5N ;

44

C

A B Y

Z

XD

EA

D

Y

X

BE

C

α

H

F

Z

Hình 97 Hình 98

XB= 21,6N ; ZB= 37,5N

96. Cánh cửa dồng chất hình chữ nhật ABCE nặng 640N có trục quay thẳng đứng AB được mở một góc α = 600, AC = AD = 18dm ;AB = 24dm. Cửa được giữ nhờ hai dây CD và EF, P = 320N, EF// By, bỏ qua ma sát ở ròng rọc D. Tìm sức căng của dây EF và phản lực ở A, B.

Trả lời: T= T1= 320N ; XA= 69N ; YA= -280N

XB= 208N ; YB= 440N ; ZB= 640N

97. Nắp chữ nhật đồng chất nặng 200N được giữ ở vị trí nằm ngang nhờ bản lề cầu A, bản lề trụ B và dây CE; E, A cùng trên một đường thẳng đứng. Góc ∠ACE= ∠CAB = 300. Xác định sức căng của dây và phản lực tại A, B.

Trả lời: XA= 86,6N ; YA= 150N ; ZA= 100N

XB= 0 ; ZB= 0 ; T= 200N

98. Một tấm đồng chất ABCD hình vuông cạnh 30cm nặng 50N được giữ ở vị trí nghiêng so với phương nằm ngang một góc α=300 nhờ bản lề cầu A, bản lề trụ B và điểm nhọn E. Cạnh AB nằm ngang. Tại H tác dụng lực F

r song song với AB. Biết CE = ED, BH =

10cm, F=100N. Tìm phản lực tại A, B và E.

Trả lời: NE= 21,6N ; XA= 100N ; YA= 23,5N

ZA= 1,1N ;YB= -34,3N ; ZB= 32,3N

45

Y

E

B

A

D

C

K

X

30 O

Hình 99

Q

P yz

x

A D

B

CE K

Hình 100

99. Một nhịp cầu sắt ABCD nặng 15000N được kéo lên nhờ dây xích CE luồn qua ròng rọc E và tời K. Ba điểm C, E, K cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Byz. Xác định sức căng của dây xích CE và phản lực tại A, B.

Trả lời: T= 3750N ; YA= 0 ; ZA= 7500N ; YB= -3250N ; ZB = 5625N

100. Thanh gẫy khúc ADEK được giữ trong mặt phẳng nằm ngang nhờ các gối trụ A, B, C. Tại mút A tác dụng lực nằm ngang P

r hướng dọc theo AD. Tại K tác dụng lực

thẳng đứng Qr

. Bỏ qua trọng lượng thanh. Biết P = 20N, Q=40N, AD= 20cm, BD = 10cm, ED = 25cm; CE = 20cm, EK = 30cm. Xác định phản lực tại A, B và C.

Trả lời: XA= 5N ; XC= -5N ; YB= -20N ; ZA= -60N; ZC= 0; ZB = 100N.

101. Một máy tời gồm hình trụ bán kính r và bánh xe bán kính R cùng quay quanh trục AB, trục này được giữ nhờ 2 bản lề trụ A, B. Ở hình trụ cuốn một sợi dây có treo tải trọng Q. Một sợi dây khác cuốn vào bánh xe và ở mút đặt lực P

r lập với phương

thẳng đứng góc 300. Biết trọng lượng Q, AB= l; AC=a; AD = b. Tìm trị số lực Pr

và phản lực ở A, B.

Trả lời: P= 1 QR

; XB=2ar QlR

− ; ZB= 32

ar QbR l

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠;

XA= ( )2l a r Q

lR− − ; ZA= 3 ( )

2r Ql b l a

R l⎡ ⎤

− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

46

α

A

C

D

P

r

R

Q

B

B

A

a

b

c

Fα

Q

z

x

y

DE

Hình 101 Hình 102

102. Trục cơ có thể quay trong gối đỡ A và B. Tại mút của trục có pi nhông bán kính R = 20cm. Tại tâm D của khuỷu nằm ngang đặt lực F

r nằm trong mặt phẳng thẳng đứng

vuông góc với trục và tạo với phương thẳng đứng góc α=300 . Biết F = 2000N, ED = 15cm, a = 15cm, b=20cm, c=25cm. Tìm trị số lực Q

r và phản lực ở A, B.

Trả lời: Q= 1298N ; YA= -2286N ; ZA= 964N ; YB= -11,7N ; ZB= 764N

Hình 103 Hình 104

103. Nhờ trục quay như hình vẽ mà tải trọng Q=100N được nâng lên. Biết R=5cm, KD = 40cm, KA=30cm, AC=40cm, CB=60cm. Sợi dây rời khỏi tay quay hướng theo tiếp tuyến và nghiêng với phương ngang góc 600 và KD nằm ngang. Tìm trị số lực P

r

và phản lực ở A, B.

Trả lời: P= 12,5N ; XA= -30N ;

ZA= -35,7N ; XB= -20N ; ZB= -38,4N

104. Một trục nằm ngang có hai pu-li C và D mang đai truyền có thể quay trong gối đỡ A, B. Bán kính pu-li rC =20cm, rD=25cm, a=b=50cm, c=100cm. Lực căng ở pu-li C nằm

90

P

B

y

z

xA

KD

R

60O

C Q

O t

T

T

t1

12

2

A B

C D

bca

x

y

z

α

47

ngang T1=2t1=500N, còn ở pu-li D thì tạo với phương thẳng đứng góc α=300 và T2=2t2. Xác định lực căng t2 và các phản lực ở A, B khi trục cân bằng.

Trả lời: t2= 200N; XA= -637,5N; ZA= 130N ; XB= - 412,5N ; ZB = 390N.

105. Trên trục nằm ngang đặt hai gối đỡ A, B có bánh răng C bán kính 1m và D bán kính 10cm; Kích thước khác cho trên hình vẽ. Tại bánh răng D đặt lực thẳng đứng Q

r,

tại C đặt lực nằm ngang Pr

có trị số 10N. Xác định Q và phản lực ở A, B khi trục cân bằng.

Trả lời: Q= 100N ; XA= -1N ; ZA= -90N

106. Nhờ một cơ cấu như hình vẽ mà một xe goòng nặng Q=10.000N đi xuống đều. Xác định lực P

r đặt

vào 4 tay đòn vuông góc với trục tay quay và phản lực tại A, B nếu trọnglượng trục quay q=1000N, đường kính d=24cm, độ dài tay đòn l=1m, trục tay quay ở vị trí thẳng đứng.

Trả lời: P= 150N ; XA= 0 ; YA= -1250N

ZA= 1000N; XB= 0 ; YB= -3750N

107. Một vật nặng Q=500N được nâng lên nhờ tời thẳng đứng có trọng lượng G=200N bán kính r=10cm, các khoảng cácha=25cm,b=35cm,c=15cm, CD=50cm. Tại D đặt lực ngang P

r

B

A

x

y

b

c

a

z 30 O

CD

K

Q

E

Hình 107

O

30

z

0.5m

0.5m

0.5m

1m

1m

y

xPP

PP

Q

B

A

H×nh 106

x y

A

C z Q

10cm

80cm

10cm

B

P

D

Hình 105

48

dưới góc 300 . Xác định trị số lực P và phản lực tại A, B khi cân bằng. Biết đoạn dây EK//CD.

Trả lời: P= 200N ; XA= 25N ; YA= -335N ; ZA= G= 200N ; XB=-125N ; YB=7,9N

108. Thanh gẫy khúc ABCD có mặt phẳng BCD thẳng đứng, các góc ∠ (ABC)= ∠ (BCD)=900. Thanh được giữ nhờ bản lề cầu D và bản lề trụ A. Trên thanh có 3 ngẫu lực tác dụng nằm trong các mặt phẳng vuông góc tương ứng với các phần của thanh. Biết trị số m2, m3, AD = a, BC = b, CD = c, bỏ qua trọng lượng thanh. Xác định mômen m1, phản lực tại A, D.

Trả lời: m1= 2 3bm cma+ ; YA= 3m

a; ZA= 2m

a

XD=0 ; YD= 3ma

− ; ZD= 2ma

−

Hình 108

109. Thanh gẫy khúc ACDE bỏ qua trọng lượng có mặt phẳng ACD nằm ngang, mặt phẳng CDE thẳng đứng. Thanh được giữ nhờ bản lề cầu A, bản lề trụ B và dây EK,biết EK // AC, AC = 40cm, BC = 20cm, CD = 60cm, DE = 40cm, ∠ (ACD)= ∠ (CDE)=900. Tại E đặt lực thẳng đứng P

rvà ngẫu lực nằm ngang có mômen m với P=10N,

m=60Nm. Xác định phản lực tại A , B và sức căng của dây EK. Hình 109

Trả lời: XA= -43N ; YA= 0 ; ZA= -20N

XB= 53N ; ZB= 30N ; T= 20N

110. Thanh AB đồng chất trọng lượng P=8N được giữ ở vị trí nghiêng nhờ hai dây nằm ngang AD và BC. Mút A tựa trên tường nhẵn thẳng đứng còn mút B tựa lên nền nhẵn nằm ngang. Biết ∠ (ABC)= ∠ (BCE)=α=600, A và C cùng trên đường thẳng đứng. Xác định phản lực của tường và nền cùng sức căng của hai dây.

Trả lời: RA= 2N ; RB= 8N;

TA= 1,15N ; TB= 2,3N

m3

m 2 m1

D

CB

P

xKC

A

D

z y

E

B

49

Hình 110 Hình 111

111. Thanh AB trọng lượng P treo trên hai sợi song song Ac và BD. Nó được giữ ởvị trí mới tạo với vị trí cũ một góc ϕ nhờ một ngẫu lực nằm ngang có mômen M. Tìm góc ϕ nếu AC=BD=AB=l.

Trả lời: sin2ϕ = 2M

Pl

DA

C B 60 60O O

E

ϕ

C

B

50

CHƯƠNG III. MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

I. Bài toán cân bằng đòn phẳng

Vật rắn có thể quay xung quanh một trục cố định dưới tác dụng của hệ lực cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ấy được gọi là đòn phẳng. Giao điểm giữa trục và mặt phẳng chứa các lực được gọi là điểm tựa của đòn. Nếu điểm tựa của đòn ký hiệu là 0 thì điều kiện cần và đủ để đòn phẳng cân bằng là tổng đại số mômen của các lực đặt lên đòn lấy đối với điểm O bằng không.

01

( )n

KK

m F=

∑r

= 0

112. Thí dụ

Thanh đồng chất 0A= 100cm nặng 4N có thể quay quanh bản lề 0. Đầu A buộc các tải trọng G nặng 10N, tải trọng Q nặng 20N vắt qua ròng rọc không ma sát B. Tại điểm K treo vật nặng P1= 10N. Biết 0B thẳng đứng, đoạn dây AB nằm ngang, α= 450. Xác định độ dài 0K khi thanh cân bằng.

Bài giải

a) Vật khảo sát: Đòn OA

b) Liên kết: Bản lề O, dây AB.

c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát:

( 1 0, , , ,P P G T Rrr r r r

) 0

d) Phương trình cân bằng của đòn: 5

0 11

0( ) .0 cos .0sin sin .0 sin 02K

K

Am F T A G P P Kα α α α=

= − − − =∑r

Trong đó: T= Q

Thay các giá trị đã cho vào phương trình trên và giải ra ta thu được 0K= 80cm.

e) Nhận xét: Nếu phải tìm phản lực ở bản lề 0 thì bài toán cân bằng đòn đưa về bài toán cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực phẳng. Ngược lại một số bài toán cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực phẳng có thể đưa về bài toán cân bằng đòn phẳng nếu số ẩn số phải tìm chỉ có một.

O

G

A

Q

B

P

K

P1

T

α

RO

Hình 112

51

113. Thí dụ

Một xà đồng chất AB trọng lượng P = 100N gắn vào tường bằng bản lề A và lập với phương thẳng đứng một góc 450. Đầu B được buộc vào sợi dây không dãn luồn qua ròng rọc không ma sát có treo vật nặng G. Biết đoạn dây BC lập với phương thẳng đứng một góc 300. Tại điểm D trên xà

với BD= 14

AB treo một vật nặng 200N. Tìm trọng lượng

G khi xà cân bằng.

Bài giải

a) Vật khảo sát: Xà AB

b) Liên kết: Bản lề A, dây BC.

c) Hệ lực tác dụng lênvật khảo sát AB: ( 1, , , AP P T Rr r r r

) 0

Xà AB chính là đòn phẳng với điểm tựa là bản lề A.

d) Sử dụng phương trình cân bằng đòn phẳng ta có: 4

1( )A K

Km F

=∑

r= P 0 0 0

1

3sin 45 .sin 45 . sin 75 02 4

AB P AB T AB+ − =

Trong đó: G = T

Thay các giá trị đã cho vào phương trình trên ta tìm được: G = T = 146N.

114. Thanh đồng chất nặng 2N có thể quay quanh bản lề A. mút B treo quả cân nặng 1N buộc ở diểm C. Một dây khác luồn qua ròng rọc D có buộc quả cân nặng 2N và cũng buộc vào B. Biết AB=AD, bỏ qua ma sát ở ròng rọc. Tìm góc α khi thanh cân bằng.

Trả lời: α= 1200

115. Thanh đồng chất AB nằm ngang trọng lượng 100N có thể quay quanh bản lề A cố định. Đầu B được giữ nhờ quả tạ P=150N buộc vào sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc không ma sát . Tại K, với BK=20cm treo vật nặng Q=500N. Tìm độ dài AB để thanh cân bằng.

Hình 113

4530

C

G

B

D

A

P1

PT

R A

OO

D

2N

B

C

A

P

Q

B A Kα1N

Hình 114 Hình 115

52

Trả lời: AB= 25cm

116. Thanh đồng chất AB trọng lượng P đầu A gắn bản lề với tường, đầu B buộc vào dây không dãn luồn qua ròng rọc không ma sát C cùng trên tường thẳng đứng với A và buộc vào tải trọng Q. Cho AB = AC. Tìm góc α khi thanh cân bằng.

Trả lời: α= 2arcsin QP

117. Thanh AB đồng chất trọng lượng P, đầu A găn bản lề với trần còn đầu B buộc dây không dãn luồn qua ròng rọc không ma sát C treo tải trọng trọng lượng Q. Biết AB = AC. Xác định góc α khi thanh cân bằng.

Trả lời: cos2 2

2 2Q Q P

Pα + +

=

118. Đòn bẩy ABC nặng 80N có trục B cố định, cánh tay đòn AB = 4dm, BC =1m, trọng tâm đòn bẩy cách đường thẳng đứng BD về phía phải là 2,12dm. Tại A và C buộc dây vắt qua hai ròng rọc bỏ qua ma sát E và F có mang hai vật nặng P1=310N, P2=100N. Góc ∠BAE = 1350 khi đòn bẩy cân bằng. Tính góc ϕ = ∠BCF.

Trả lời: 0

0

45135

ϕ⎧

= ⎨⎩

Hình 118 Hình 119 119. Hai thanh AB và CD đồng chất trọng lượng riêng 2p nối chặt vuông góc với nhau tại C. Thanh CD có thể quay quanh trục nằm ngang tại D. Cho AC=CB=a;

Hình 117

Q

CA

B

α

A

BQ

C

a

Hình 116

D

P1

P2

aa

A

BC

b

α

P 1

P2E A

B

D

C F

135 o

j

53

CD=b. Tại A và B treo hai quả cân P1, P2 biết P1<P2. Tìm góc nghiêng α giữa thanh AB và phương ngang khi nó cân bằng.

Trả lời: tgα = 2 1

2 1 (4 )a P Pb P P a bρ

−+ + +

II. Bài toán vật lật

Trong khi xét sự cân bằng của vật rắn chúng ta thường gặp những bài toán trong đó cần phải xác định giá trị giới hạn của lực hay kích thước của vật rắn để đảm bảo sự cân bằng đã định. Nếu tăng hoặc giảm giới hạn ấy thì vật có thể bị lật quanh một điểm nào đó gọi là điểm tựa hay một trục vuông góc với mặt phẳng chứa các lực.

Để giải các bài toán loại này trước tiên ta phải tìm hiểu xem vật có thể bị lật quanh điểm (trục ) nào, trong điều kiện nào. Sau đó xác định giá trị của lực hay kích thước của vật để nó không bị lật quanh điểm (trục ) ấy. Liên kết gặp trong các bài toán vật lật thường là liên kết tựa. Khi xét vật lật quanh điểm tựa nào thì phản lực của những điểm tựa khác có thể bỏ qua (coi như bằng không ). Do đó điều kiện để vật không lật quanh điểm tựa đang xét là mômen của hợp lực của hệ lực đã cho lấy đối với điểm ấy bằng không. Giả sử điểm tựa đang xét là điểm 0

thì: 01

( )n

KK

m F=

∑r

=0

Căn cứ vào hướng lật của vật quanh một điểm tựa nào đó, người ta còn phân các lực đã cho kF

uur, 1,k n= thành hai loại là lực lật và lực giữ đối với điểm tựa ấy. Nếu gọi tổng

mômen của tất cả các lực của từng loại đối với trục đi qua điểm tựa và vuông góc vơí mặt phẳng hệ lực lần lượt là mômen lật (M0 lật ) và mômen giữ (M0 giữ) thì điều kiện cân bằng của vật lật có thể viết dưới dạng: M0 lật ≤ M0 giữ.

120. Thí dụ

Cần trục nặng P=30KN có trọng tâm nằm trên đường trung trực của bề rộng AB= 4m, tay đòn dài 8m. Đối trọng đặt cách chân bánh xe A là 3m. Tìm trọng lượng lớn nhất của đối trọng Q để cần trục không bị lật quanh bánh xe A khi cần trục không có tải trọng cũng như khi cần trục có tải trọng. Xác định trọng lượng lớn nhất của tải trọng G cần trục có thể nâng được để nó không bị lật quanh bánh xe B. Hình 120

Bài giải

G

Q PA B

C

54

25KNG A B

Q

X 3 m 1.5 m 8.5 m l a b

G

A B

Hình 122 Hình 121

Vật khảo sát là cần trục, nó là vật lật, có thể bị lật quanh hai điểm tựa là hai bánh xe A, B.

Khi cần trục có đối trọng mà không có tải trọng thì cần trục chỉ có thể bị lật quanh bánh xe A( Khi đó NB =0). Điều kiện để cần trục không lật quanh A là mômen lật quanh A không lớn hơn mômen giữ quanh A.

MAl ≤ MAg 2.3 .2 203

Q P Q P KN⇒ ≤ ⇒ ≤ =

Khi cần trục có cả đối trọng và tải trọng thì nó có thể bị lật quanh B ( Khi đó NA =0).

Điều kiện để cần trục không bị lật quanh B là mômen lật quanh B không lớn hơn mômen giữ quanh B.

MBl ≤ MBg 2. 7..8 .2 .7 25

8P QG P Q G KN+

⇒ ≤ + ⇒ ≤ ≤

Với kích thước của cần trục trên, trọng lượng lớn nhất của đối trọng và trọng lượng lớn nhất của tải trọng là: Q= 20KN ; G=25KN.

121. Trọng lượng cần trục không có đối trọng là 50KN đặt cách bánh xe bên phải A một khoảng 1,5m. Tải trọng nâng của giá treo là 25KN. Tay đòn dài 10m kể từ bánh xe A. Xác định đối trọng bé nhất Q và khoảng cách lớn nhất x kể từ trọng tâm đối trọng đến đường thẳng đứng qua B để cần trục không bị lật đổ khi cần trục có tải trọng cũng như khi nó không có tải trọng. Bỏ qua trọng lượng giá treo. AB=3m.

Trả lời: Q= 1313

KN ; x=6,75m

122. Cần trục nặng Q=200KN có độ dài tay đòn l=5m, chiều rộng của đáy AB=a=4m. Đối trọng có hình lập phương cạnh b=2m nặng P=50KN. Trọng tâm của cần trục nằm trên đường trung trực của AB. Tìm tải trọng lớn nhất cần trục có thể nâng được mà nó không bị lật quanh A.

Trả lời: G=130KN

123. Một cần trục được bắt chặt trên nền đá có trọng lượng Q=35KN và trọng tâm A cách trục của cần trục một khoảng AB=0,8m. Cách tay đòn CD=4m. Nền có đáy là

55

hình vuông cạnh EF=2m và tỉ trọng 0,02N/cm3. Tính chiều sâu cực tiểu để cần trục nâng tải trọng dưới 30KN không bị lật quanh mép F.

Trả lời: h= 1,1m.

124. Cần trục được bắt chặt trên một ôtô vận tải. Trọng lượng của đối trọng B là P2=20KN. Trọng lượng của ôtô và cần trục không kể đối trọng là P1=20KN được đặt ở điểm C. Xác định khoảng cách ngắn nhất DE giữa hai trục của bánh xe ôtô và tải trọng lơn nhất P3 cần trục có thể nâng để ôtô không bị lật khi có tải trọng cũng như khi không có tải trọng. Kích thước cho trên hình vẽ.

Trả lời: DE= 3,5m ; P3=35KN

125. Áp lực của nước lên diện tích yếu tố của thành đập tỷ lệ thuận với chiều cao của cột nước kể từ mặt thoáng và có môduyn bằng trọng lượng của cột nước ấy còn diện tích đáy bằng diện tích đã lấy. Xác định bề dầy của đáy đập để nó không bị lật quanh mép B trong 2 trường hợp:

a. Khi diện tích ngang của đập là hình chữ nhật.

b. Khi diện tích ngang của đập là hình tam giác.

Biết hệ số ổn định là 2, chiều cao của đập cũng là chiều cao của Hình 125

cột nước H =5m. Tỷ trọng của nước γ =10KN/m3, của vật liệu xây dựng đập γ1 = 22KN/m3.

Hướng dẫn:

Hệ số ổn định bằng tỷ số giữa mômen giữ và mômen lật. Áp lực của nước lên một diện tích của đập có bề dài 1m và chiều cao dy bằng γ(h-y)dy ( trong đó y được tính từ đáy và đo bằng m).

Mômen của áp lực này đối với mép B là γ(h-y)ydy.

Mômen lật quanh mép B là 0

( )h

h y ydyγ −∫ .

Trả lời: a= 2,75m ; b=3,37m

H H

G

B A

D C4m

.0,8m

E F

A

C B

D E4m 1.5m 2mX=?

Hình 123 Hình 124

56

III. Bài toán hệ vật

Bài toán xét sự cân bằng của nhiều vật rắn có liên kết với nhau được gọi là bài toán hệ vật.

Giả sử hệ vật gồm n vật rắn S1, S2, ..., Sn chịu tác dụng của hệ lực phẳng ( 1 2, ,..., mF F Fr r r

), như vậy mỗi vật rắn cũng chỉ chịu tác dụng của một hệ lực phẳng nào đó. Giải bài toán hệ vật tức là tìm một số phản lực liên kết hoặc cũng có thể tìm một số lực tác dụng tích cực chưa biết hoặc điều kiện hình học nào đó để hệ vật cân bằng..

Chúng ta có hai phương pháp giải bài toán này:

1. Phương pháp 1:(Phương pháp tách vật)

Xét cân bằng của từng vật, mỗi vật chịu tác dụng của hệ lực phẳng nên ta có 3 phương trình cân bằng. Lần lượt xét cân bằng của cả n vật ta sẽ có 3n phương trình cân bằng đủ để tìm 3n ẩn số. Phương pháp này thường áp dụng khi phải tìm tất cả phản lực liên kết là nội lực.

2. Phương pháp 2:(Phương pháp hoá rắn)

Áp dụng tiên đề hoá rắn coi toàn bộ hệ n vật như một vật rắn ta có 3 phương trình cân bằng, sau đó xét (n-1) vật nào đó riêng biệt ta có 3(n-1) phương trình cân bằng. Tổng cộng ta cũng có 3n phương trình cân bằng để xác định 3n ẩn. Phương pháp này thường được sử dụng trong truờng hợp không cần tìm tất cả phản lực liên kết là nội lực hoặc chỉ cần tìm phản lực liên kết là ngoại lực.

Trong nhiều bài toán hệ vật phải tìm N (N < 3n) ẩn số, khi đó ta chỉ cần lập đủ N phương trình cân bằng độc lập có chứa N ẩn số đó là đủ.

Tổng quát hơn, nếu mỗi vật của cơ hệ hoặc cả cơ hệ chịu tác dụng của loại hệ lực nào thì ta áp dụng hệ phương trình cân bằng cho loại hệ lực ấy sao cho số phương trình cân bằng độc lập bằng số ẩn số cần tìm.

126. Thí dụ.

Thang di động cấu tạo bằng hai thanh đồng chất AC và BC bắt bản lề ở C. Đầu A và B tựa trên nền ngang nhẵn. AC và BC được nối với nhau bằng dây EF. Tại D treo vật nặng Q= 72N. Biết AC= BC= l = 3m có cùng trọng

E

CD

QF

BA

C

E

C

D

F

BA

NB

YC

NA

Q

-T

T

XC -XC

-YC

PPα α

Hình 126

57

lượng P=12N , AE= BF= 1m, CD= 0,6m; α= 450. Tìm phản lực tại A,B, C và sức căng dây EF.

Bài giải

Hệ vật gồm hai thanh AC và BC.

Có thể dùng cả hai phương pháp để giải bài toán này đều thuận tiện như nhau. Chúng ta sử dụng phương pháp 1: Tách vật ngay từ đầu.

• Xét cân bằng thanh AC: ( , , , ,A C CN T X Y Pr r r r r

) 0

Hệ lực trên là hệ lực phẳng nên ta có hệ phương trình cân bằng sau:

5

1

5

1

5

1

0

0

( ) . cos cos . sin 02

K CK

K A CK

Cz K AK

X T X

Y N Y P

ACm F N AC P T ECα α α

=

=

=

⎧ = + =⎪⎪⎪ = + − =⎨⎪⎪

= − − =⎪⎩

∑

∑

∑r

• Xét cân bằng thanh BC. Hệ lực cân bằng đặt lên BC là:

( , , , , ,B C CN T X Y P Q− − −rr r r r r

) 0

Hệ lực trên cũng là hệ lực phẳng nên hệ phương trình gồm có 3 phương trình. Nhưng chỉ cần tìm 5 ẩn số nên lập thêm 2 phương trình độc lập nữa là đủ:

6

1

6

1

0

( ) . .sin . .cos cos . .cos 02

K B CK

Cz K BK

Y N Y P Q

BCm F T CF Q CD P N BCα α α α

=

=

⎧ = − − − =⎪⎪⎨⎪ = + + − =⎪⎩

∑

∑r

Thay thế các giá trị đã cho vào hệ 5 phương trình trên và giải ra ta tìm được kết quả:

NA= 40,8N ; NB = 55,2N ; T= 52,2N ; XC =- 52,2N ; YC = -28,8N.

Vì XC < 0 ; YC < 0 nên chiều đúng của ,C CX Yr r

là chiều ngược với chiều giả thiết trên hình vẽ.

127. Thí dụ.

Với điều kiện bài toán trên, tại bản lề C treo thêm vật G nặng 50N. Tìm phản lực tại A,B và sức căng của đoạn dây EF.

Bài giải

Trường hợp bài toán này nên sử dụng phương pháp 2 mới thuận lợi. Trước hết xét cân bằng của cả hệ vật gồm hai thanh AC, BC chịu tác dụng của hệ lực song song:

58

( , , , , ,A B AC BCN N P P Q Gr rr r r r

) 0

Hệ phương trình cân bằng của hệ lực trên:

6

1

6

1

2 0

8( ) . cos . .cos cos10 2

3 cos 2. . .cos 02

K A BK

B K BCK

AC A

Y N N P Q G

BCm F G BC Q BC P

P BC N BC

α α α

α α

=

=

⎧ = + − − − =⎪⎪⎨⎪ = + +⎪⎩

+ − =

∑

∑r

Để tìm sức căng đoạn dây EF ta xét cân bằng thanh AC. Thanh này chịu tác dụng của hệ lực phẳng: ( , , , ,A C CN T X Y P

r r r r r) 0

Vì không cần tìm phản lực tại bản lề C nên chỉ lập thêm một phương trình mômen của hệ lực trên đối với điểm C.

5

1

2( ) . sin cos . cos 03 2Cz K A

K

ACm F T AC P N ACα α α=

= + − =∑r

Thay thế các giá trị đã cho vào hệ 3 phương trình trên và giải ra ta có kết quả:

NA= 65,8N ; NB=80,2N; T=89,7N.

Hình 128 Hình 129

B

A

E C

D

a

a

a

a

P

a a

B

EP

A C

aDa

a a a a a a

XY

TE

C

A

D

C

FE

A B

N NPP

Q

G

α α PA B

AN

C

C

Hình 127

59

128. Trên khung ABECD bỏ qua trọng lượng bắt bản lề tại A, E và D đặt lực Puur

theo phương nằm ngang tại B. Kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực ở A, D.

Trả lời: RA= RD= 22

P

129. Cho hệ thống khung bỏ qua trọng lượng, có kích thước như hình vẽ. Tại E tác dụng lực P

r nằm ngang. Xác định phản lực tại A, B, C và D khi khung cân bằng.

Trả lời: RA= 22

P ; RB= P ; RC= P ; RD= 22

P .

130. Tại bản lề A của máy ép tác dụng lực Pr

nằm ngang. Trọng lượng của thanh và pittông không đáng kể. Xác định lực ép của pít tông lên vật M theo các góc α, β.

Trả lời: Q= Ptg tgα β+

B

D

M

Q

RA

B

D C

90 6030

P30

o

o o

o

α

β

A

Hình 130 Hình 131

131. Cho khung ABCD bỏ qua trọng lượng, các đỉnh A, B, C và D là các bản lề. Tại A tác dụng lực Q=10N. Xác định trị số của lực R

r đặt vào B để khung cân bằng. Chiều

của lực ,Q Rr r

và các góc cho trên hình vẽ.

Trả lời: R= 16,3N

132. Cột AB được giữ thẳng đứng nhờ thanh chống AC. Tại điểm D của dây cáp ADE có treo vật nặng Q=51,8N. Các góc của thanh chống và các đoạn dây cáp so với phương nằm ngang cho trên hình vẽ. Xác định lực căng của dây cáp ở các đoạn AD, DE cùng ứng lực trong cột AB và thanh chống AC, bỏ qua trọng lượng cột và thanh.

Trả lời: TE= 173,2N ; TA= 141,5N ;

SC= 245,1N ; SB= 141,5N.

N

F

D

B

C Eα

α

A

C B

D

E

Q 30

45 O

O

60 O

60

Hình 132 Hình 133

133. Để kéo vật nặng từ dưới đất lên, người công nhân buộc đầu A của dây vào vật, đầu B vào xà ngang và lấy sợi dây thứ hai buộc một đầu vào điểm C của dây thứ nhất còn đầu kia buộc vào điểm D của cột thẳng đứng. Sau đó anh ta nắm chặt lấy điểm E của dây thứ hai rồi đu người lên. Biết trọng lượng của người công nhân là 800N, khi đó đoạn dây AC thẳng đứng, EC nằm ngang và các góc ( , ) ( , )CE ED AC CB∠ = ∠ = α = 40. Xác định lực căng của đoạn dây AC.

Trả lời: T= 163592N

134. Trên dầm đồng chất AB=10m nặng 30KN đặt cần trục nặng 50KN với trọng tâm ở trên trục CD mang tải trọng P=10KN. Biết KL=4m, AC=3m. Tìm phản lực tại A, B khi cần trục nằm trong mặt phẳng thẳng đứng chứa AB và hệ cân bằng.

Trả lời: RA= 53KN ; RB= 37KN

135. Một số tấm đồng chất có cùng tiết diện và dài 2l được xếp chồng lên nhau sao cho mỗi tấm đều có phần nhô ra ngoài. Xác định độ dài giới hạn của phần nhô ra ngoài của mỗi tấm khi chúng cân bằng.

Trả lời: , , , ,2 3 4 5l l l ll ,...

BA

3m 7m 1m 1m

C

D

4m K

2l P

L

Hình 134 Hình 135

136. Xà AB=4m nặng 200N có thể quay quanh trục nằm ngang A còn đầu B tựa trên xà CD=3m, nặng 160N được đỡ tại E và nối với tường nhờ bản lề D. Tại M và N đặt hai vật đều nặng 80N. Kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực A, B, E, D.

Cho AB và CD là các thanh đồng chất

Trả lời: RA= 120N ; RB= 160N ; RE= 400N ; RD= 0

61

Hình 136 Hình 137

137. Một cái cầu công xôn gồm có dầm chính AB và hai dầm bên AC, BD. Trọng lượng của mỗi mét trên AB là 15KN, trên AC, BD là 10KN. Xác định phản lực ở các bệ đỡ C, D, E, F khi FD chịu tác dụng của tải trọng 30KN/m.

Biết EF=50m,AC=BD=20m,AE=FB=15m.

Trả lời: RC=100KN;RD= 400KN ; RE= 542,5KN ;RF=1607,5KN

138. Hai thanh AC và BC trọng lượng không đáng kể được giữ nằm ngang nhờ bản lề A và hai gối trụ con lăn B, D được nối với nhau bằng bản lề C. Trên thanh AC tác dụng mômen M=12Nm và lực P=6N tại E, trên thanh BC tác dụng lực Q=8N tại M. Tìm phản lực ở A, B, C và D. Kích thước cho trên hình vẽ.

Trả lời: RA= 1N ; RB= 1,5N

RC= 7N ; RD= 16,5N

139. Hai xà AC và CB nằm ngang, nối với nhau bằng bản lề C, đầu A ngàm vào tường, đầu B tựa trên con lăn. Trên xà đặt cần trục có trọng lượng Q=50KN, trọng tâm nằm trên đường thẳng đứng CD mang tải trọng P=10KN. Kích thước như hình vẽ. Hai xà và cần trục cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Tìm phản lực tại A, B.

Trả lời: RA= 53,75KN ; MA= 205KNm ; RB= 6,25KN

140. Thanh đồng chất CD trọng lượng P được treo bởi dây DE và tựa trên thanh AB được giữ bởi bản lề 0 tại trọng tâm của nó với OC =l. Tại F treo vât nặng Q. Xác định khoảng cách 0F để thanh AB cân bằng ở vị trí nằm ngang.

D A M

B C

E N

DCA B E F

8m

B

4m

4m1m1m

K

D

CA

L

P

Hình 139

BA M PC

QD

5m 1m 2m 1m 3mE M

Hình

62

Trả lời: x= 0F= 2lPQ

141. Để xác định trọng tâm của xà không đồng chất AB người ta treo mút A và đặt xà lên trên đĩa cân tại C. Khoảng cách AC=30cm, trọng lượng của xà là 1,5N, trọng lượng của quả cân trên đĩa là 1N. Xác định khoảng cách x từ A đến trọng tâm xà.

Trả lời: x= 20cm

OA FC

B

D

EA F C B 1N

OX

30cmA B

EQ

C

D

a b c l x

F

x l

Q

P


142. Để đo độ lớn của lực Q người ta dùng hệ đòn ABC và EDF được nối với nhau bằng thanh CD, B và E là bản lề. Tải trọng P=12,5N có thể dịch chuyển trên đòn EDF. Lực Q

r đặt tại A cân bằng với tải trọng đặt tại một điểm cách D một khoảng l. Xác

định độ dài x mà tải trọng cần dịch chuyển để giữ nguyên vị trí cân bằng khi tăng độ lớn của Q lên 1000N. Biết a=3,3mm; b=660mm; c=50mm.

Trả lời: x= 2cm


143. Thanh AB đồng chất, nặng P có thể quay quanh A, tựa trên thanh CD cũng đồng chất có thể quay quanh E trên đường thẳng đứng với A (điểm E là trung điểm CD ). Biết AB=CD=2l; AE=l. Tại mút D treo tải trọng Q=2P. Tìm góc ϕ giữa AB và phương thẳng đứng khi hệ cân bằng.

Trả lời: ϕ= arccos 18

= 82050’

144. Bán kính trục quay của tời r =5cm, bán kính các bánh xe răng cưa tương ứng r1=10cm, r2=20cm, 0A=40cm. Tìm lực P

r vuông góc với tay quay 0A để cân bằng với

Q=200N.

Q

A

B C

E

D

ϕ

P

rr

r

A O O'

12

D

A

45 C

a4a

B

QO

45O

Q

63

Trả lời: P= 12,5N

145. Cho cơ hệ như hình vẽ. Các thanh đồng chất AB=4a, nặng G=20N, CD=a, nặng P=10N. Tải trọng Q=10N. Các góc ∠ (CAD) =∠ (ADC)=450. Mặt phẳng ABCD thẳng đứng và bản lề A, D cùng nằm trên đường thẳng đứng. Xác định phản lực tại A, C và D

Trả lời: XA=XC=-XD=42,5N; YA=-7,5N; YC=-37,5N ; YD= 47,5N

Hình 146 Hình 147

146. Hai thanh đồng chất AB và CD như nhau, dài 4a nặng 20N. AB nằm ngang nhờ bản lề B và con lăn A đặt trên mặt phẳng nghiêng 300 so với phương ngang. Thanh CD tựa trên AB tại C và lập với AB một góc 600 nhờ bản lề D. Hai thanh cùng nằm trên mặt phẳng thẳng đứng. Tại E tác dụng lực F

r có giá vuông góc với CD. Biết

F=10N, CB=DE=a. Tìm phản lực tại A, B, C và D.

Trả lời: NA=16N; NC=15N; XB=8N

YB=21N; XD=8,65N; YD=10N

147. Hai thanh đồng chất AB và AC có đầu A tựa lên nhau theo mặt phẳng thẳng đứng và trên nền nhẵn nằm ngang. Hai đầu B và C tựa lên hai tường thẳng đứng. Xác định khoảng cách giữa hai tường khi hệ cân bằng. Biết góc ∠ (BAC)=900, AB=a, AC=b. Trọng lượng thanh AB là P1, AC là P2.

Trả lời: DE= 2 1

1 2

a P b PP P

+

+

148. Thanh AB đồng chất dài l nặng Q được nối bản lề với hai nửa khối cầu đồng chất nặng P1 và P2, bán kính r1 và r2. Hệ được đặt trên nền ngang. Xác định các góc ϕ, ϕ1, ϕ2 của thanh và hai đáy với phương ngang khi hệ cân bằng.

Trả lời: sinϕ= [ ]1 1 2 2

1 (1 sin ) (1 sin )r rφ φ− − −l

tgϕK= 83 K

QP

; K= 1, 2

A E D

C a b

B

E

D

A C B

F

O60

90O

O30

64

149. Giữa hai mặt phẳng nghiêng 0A và 0B đặt hai quả cầu đồng chất C1 nặng P1=10N, C2 nặng P2=30N chạm nhau. Xác định góc ϕ tạo bởi C1C2 với phương ngang, áp lực của hai quả cầu lên hai mặt phẳng nghiêng và áp lực giữ chúng nếu góc ∠ (A0x1)=600; ∠ (B0x2)=300.

Trả lời: ϕ= 0 ; N1= 20N ; N2= 34,6N ; N3= 17,3N

O1 A

B O2

r2 r1

ϕ1 ϕ2 l

ϕ

C1

C2

A

BO A

O

B

60 30

ϕ

OO

x1 x2 Hình 148 Hình 149 Hình 150

150. Xà đồng chất AB=3r, nặng 16N có thể quay quanh bản lề A và tựa trên hình cầu nhẵn bán kính r nằm trong mặt phẳng nằm ngang nhẵn và được giữ chặt nhờ dây không giãn. Biết 0A=2r. Tìm lực căng của dây và áp lực của xà lên bản lề A.

Trả lời: T= 6,92N ; XA= 6N ; YA= 12,5N

151. Một hệ gồm 2 xà AB=1m, CD=0,8m nối với nhau bằng bản lề D và treo lên trần nằm ngang tại bản lề A và C. Trọng lượng của xà AB là 60N đặt tại E với AE=0,4m. Trọng lượng của xà CD là 50N đặt tại F với CF=0,4m. Tại B có lực Q

uur tác dụng thẳng

đứng với Q=200N. Biết α=600, β=450. Tìm phản lực tại A,C.

Trả lời: XA= - XC= - 135N ; YA= 150N ; YC= 160N

152. Hai xà đồng chất AC và BC độ dài như nhau, cùng nặng P được nối với nhau bằng bản lề C, tại A và B gắn bản lề treo vào trần nằm ngang. Tại C treo vật nặng Q. Biết AB= d, khoảng cách từ C đến đoạn thẳng AB là b. Xác định phản lực tại A và B.

Trả lời: XB= -XA= ( )4

d P Qb+ ; YB= YA = P+

2Q

C

Q

BA A C

Q

E F

B

d

bC

D

B

AQα β

D

ϕ ϕ

60

45 O

O


65

153. Hai xà đồng chất AC và BD dài như nhau và nặng 40N nối với nhau bằng bản lề D, đầu A, B gắn bản lề vào tường thẳng đứng. Xà AC nằm ngang, xà BD lập với phương thẳng đứng góc 600. Tại C tác dụng lực Q

r có giá lập với mặt phẳng nằm

ngang một góc 450,có trị số Q= 400N. Tìm phản lực tại A, B

Trả lời: XA= - 287N ; YA= 6N ; XB= 216N ; YB= 145N

154. Hai xà AC và BC có độ dài như nhau và gắn bản lề với nhau tại C, hai đầu A và B được giữ trên mặt phẳng ngang nhờ hai mấu A và B. Góc giữa mỗi xà và mặt phẳng nằm ngang là α với tgα= 0,5. Tại trung điểm mỗi xà đặt vật nặng 900N. Tìm áp lực giữa hai xà tại C và áp lực tại A.

Trả lời: XA= - 900N ; YA= -900N ; XC= ± 900N ; YC= 0.

155. Hai xà AC và BC dài như nhau bắt bản lề tại C. Hai đầu A và B tựa tự do lên mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Xà EF bắt bản lề tại E, F vào xà AC và BC. Biết tgα=0,5 ; AC= 3.EC. Tại điểm giữa mỗi xà AC, BC đặt vật nặng 800N. Tìm áp lực tại A và ứng lực trong xà EF.

Trả lời: YA= -800N ; S= 2400N.

A

C

B

A B

F

Q

C

E

Q

C A D EB1 2 3 4

a

P

α α α α60 60

O O


156. Cầu gồm hai xà dài như nhau được nối với nhau bởi bản lề A và bắt bản lề với các thanh cứng 1, 2, 3, 4 như hình vẽ. Thanh 1, 4 thẳng đứng; Thanh 2, 3 nghiêng với mặt phẳng ngang góc 600. BC= 6m, AB= 8m. Cầu chịu tải trọng P=150N đặt cách B một khoảng a= 4m. Tìm ứng lực trong các thanh và phản lực tại A.

Trả lời: S1= 62,5N ; S2= S3=-57,7N ; S4=12,5N ;

XA= ± 28,9N ; YA= ± 37,5N.

66

IV. Bài toán ma sát

157. Vật A nặng P nằm trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương nằm ngang. Tác dụng lên A một lực Q

r lập với mặt nghiêng góc β. Hệ số ma sát giữa A và mặt nghiêng

là f. Xác định điều kiện của Q để A cân bằng trong hai trường hợp:

a. Vật A có xu hướng trượt lên trên.

b. Vật Acó xu hướng trượt xuống.

Trả lời: a) sin( )cos( )P Qα ϕ

ϕ β−

≤+

; b) Q sin( )cos( )

P α ϕβ ϕ

+≤

−

Hình 157(a) Hình 157(b) Hình 158

158. Dầm đồng chất dài 2l được tựa vào điểm C cố định có độ cao là h và mút dưới của nó tựa trên mặt phẳng nằm ngang tại A. Biết giá trị nhỏ nhất của góc j=∠ (0AC) khi dầm còn ở cân bằng là ϕ0. Tìm hệ số ma sát f tại điểm A. Bỏ qua ma sát tại C.

Trả lời: sin( ) sin( )sin( ) sin( )

PQ

β ϕ β ϕα ϕ α ϕ

− +≤ ≤

+ −

159. Chèn A có độ nghiêng tga=0,05 được chôn xuống độ sâu BB1 bởi lực có cường độ Q=6KN. Xác định áp lực pháp tuyến N lên má của chèn và cường độ lực P cần thiết để kéo chèn lên nếu hệ số ma sát f = 0,1.

Trả lời: N =20KN; P=2KN.

Q

B B1α

A

Q

T

P

β

B

Qα

A

P

Q

N Fms

Q

N

P

Fms

A

C

h

y

xα

β

α

β

ϕO

67


160. Một khối hộp trọng lượng P nằm trên mặt phẳng ngang không nhẵn với hệ số ma sát f. Xác định góc b và trị số nhỏ nhất của lực Q để có thể đẩy được khối hộp.

Trả lời: b=arctgf ; Qmin =1

2 ( )Ptg

f f P Qα ≥ −

+

161. Một vật A nặng P nằm trên mặt phẳng nghiêng góc a. Buộc vào A một sợi dây song song với mặt phẳng nghiêng luồn qua ròng rọc B và treo quả cân ở đầu kia. Khi A bắt đầu chuyển động xuống thì đĩa cân nặng Q. Xác định hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng.

Trả lời: f= AC nCB m

=

162. Hai vật A và B trọng lượng P và Q nằm trên hai mặt phẳng nghiêng, nghiêng các góc a và b so với phương ngang, được nối với nhau bằng một sợi dây luồn qua một

ròng rọc ma sát không đáng kể. Xác định tỷ số PQ

khi hệ cân bằng. Biết góc ma sát

giữa mặt phẳng nghiêng với các tải trọng là j.

Trả lời: sin( ) sin( )sin( ) sin( )

PQ

β φ β φα φ α φ

− +≤ ≤

+ −

B A

α β

A

H CG

α

B α


163. Trên hai mặt AB và BC của khung tam giác vuông cân có hai vật G và H cùng trọng lượng nối với nhau bằng sợi dây luồn qua ròng rọc B, ma sát không đáng kể. Hệ số ma sát giữa các vật và các mặt, đều là f. Xác định góc nghiêng a của AC với phư-ơng ngang để G bắt đầu trượt xuống.

Trả lời: tga = f

164. Thang AB nặng P dựa trên tường nhẵn và nền ngang không nhẵn với hệ số ma sát f1. Tìm góc a giữa thang với phương ngang để một người nặng Q có thể trèo lên tới đỉnh thang.

Trả lời: 12 ( )

Ptgf f P Q

α ≥ −+

68

C

B

n

m α

B

C

A

60O

A

CD

α Hình 165 Hình 166 Hình 167

165. Thang AB một đầu tựa trên tường thẳng đứng có hệ số ma sát là f1, đầu kia tựa trên nền ngang với hệ số ma sát f2. Trọng lượng thang và người đứng trên thang là P

đặt tại C với AC nCB m

= . Tìm góc amax giữa thang và tường để thang cân bằng và phản

lực tại A và B.

Trả lời: 2

1 2

( )m n ftgm nf f

α +=

− ; NA= 2

1 21f P

f f+ ; NB=

1 21Pf f+

166. Thang AB đầu A tựa trên nền thẳng đứng, đầu B tựa lên nền ngang không nhẵn với góc ma sát giữa thang và tường cũng như mặt phẳng ngang là 150. Thang lập với mặt phẳng ngang một góc 600. Trên thang tại C một người đứng có trọng lượng P bỏ qua trọng lượng thang. Tìm khoảng cách BC lớn nhất để thang cân bằng.

Trả lời: BC= 12

AB

167. Thanh đồng chất AB nặng P đặt giữa hai gối cố định C và D. Hệ sô ma sát giữa thanh và gối là f. Tìm độ dài 2l của thanh để nó có thể ở cân bằng nếu góc giữa thanh và phương ngang là a, CD=a; AC=b. Bỏ qua bề dầy thanh

Trả lời: l > a + b ; 2 2 al b a tgf

α≥ + +

Hình 168 Hình 169

168. Một dầm đồng chất đầu A tựa trên nền nằm ngang với hệ số ma sát là f, còn đầu B được giữ bởi sợi dây làm với phương ngang một góc b. Với giá trị nào của b thì dầm bắt đầu trượt ở vị trí lập với phương ngang 1 góc a=450.

CB

A α

β

α A

B C

Q

69

Trả lời: tgβ = 2+ 1f

169. Một thanh đồng chất nặng P đầu dưới tựa trên nền không nhẵn có hệ số ma sát là f, đầu trên được giữ nhờ một sợi dây luồn qua ròng rọc cố định ma sát không đáng kể và buộc vào tải trọng Q. Tìm Qmax để thanh cân bằng khi nó tạo với phương ngang góc a.

Trả lời: Qmax=2 2(1 2 )2(1 )

P f ftgftg

αα

+ ++

170. Thanh đồng chất AB, hai đầu có thể trượt theo vòng tròn không nhẵn bán kính a. Hệ số ma sát giữa thanh và vòng tròn là f. Khoảng cách 0C từ trung điểm của thanh đến tâm vòng tròn là b. Xác định góc a hợp giữa 0C và đường kính thẳng đứng của vòng tròn khi thanh cân bằng.

Trả lời: 2 2

2

(1 )cot b fg fa f

α +≥ −

A

C B

a

αO

Rr

P

P1

Ro

2r

O1

A B

R


171. Trục tròn nặng Q bán kính R có thể quay nhờ trọng vật P treo ở đầu sợi dây luồn

qua nó. Bán kính cổ trục r = 2R . Hệ số ma sát trong gối đỡ là f=0,05. Tìm tỷ số Q

P để

vật hạ đều.

Trả lời: QP

= 39

172. Một ròng rọc nặng Q bán kính R có cổ trục bán kính r tựa trên mặt trụ AB có các đường sinh nằm ngang với hệ số ma sát f. Trên ròng rọc có một sợi dây vắt qua hai đầu được treo hai tải trọng P và P1 với P > P1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P1 để ròng rọc ở cân bằng.

Chỉ dẫn: Vị trí biểu diễn trên hình vẽ không phải là vị trí cân bằng mà vị trí đó chúng ta cần phải tìm.

70

Trả lời: Ở vị trí cân bằng mặt phẳng đi qua các trục của hình trụ AB và ròng rọc lập với phương thẳng đứng một góc bằng góc ma sát.

P1= 2

2

( 1 . ) . .1 .

P R f f r f r QR f f r

+ − −

+ +

O

P P2r

α αO1

A B

a b

α Hình 173 Hình 174

173. Giữa hai tấm OA và OB nối với nhau bằng bản lề O đặt một hình trụ đồng chất trục O1 song song với trục bản lề. Biết hệ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Trọng lượng hình trụ là Q, bán kính r, hệ số ma sát giữa trục và tấm là f, góc AOB= 2a ; AB= a. Xác định trị số lực nén P ở A và B để trụ cân bằng.

Trả lời:

a. tg fα > ; sin cos sin cos

r Q r QPa f a fα α α α

≤ ≤+ −

b. tg fα ≤ ; sin cos

r QPa fα α

≥+

174. Một hình chữ nhật đồng chất trọng lượng P tựa trên mặt phẳng nghiêng không nhẵn với hệ số ma sát f. Góc nghiêng a tăng dần đến giá trị nào thì hình bắt đầu trượt và bắt đầu lật.

Trả lời:

1) Bắt đầu trượt a= arctgf

2) Bắt đầu lật aarctgb

α =

P α

RPO

Hình 175 Hình 176

71

175. Tìm trị số lực Pr

để con lăn đường kính 60cm nặng 300N lăn đều trên mặt phẳng không nhẵn với hệ số ma sát lăn k= 0,5cm và góc giữa P

r với phương ngang là a= 300.

Trả lời: P= 5,72N.

176. Quả cầu nặng Q bán kính R nằm trên mặt phẳng ngang không nhẵn với hệ số ma sát trượt f, hệ số ma sát lăn là k. Trong điều kiện nào lực nằm ngang P

r đặt vào tâm

quả cầu làm quả cầu lăn đều.

Trả lời: kP QR

= ; kfR

>

O

A

P Q

α

PBA

Q

Hình 177 Hình 178

177. Một con lăn hình trụ bán kính r nặng Q được giữ cân bằng trên mặt phẳng nghiêng so với phương ngang góc a nhờ sợi dây luồn qua ròng rọc A. Ở mút dây treo tải trọng P. Hệ số ma sát lăn là d. Xác định giá trị lớn nhất, bé nhất của P để con lăn cân bằng. Tìm giá trị bé nhất của hệ số ma sát trượt f để con lăn khi chuyển động thì lăn không trượt.

Trả lời: (sin cos ) (sin cos )Q P Qr rδ δα α α α− ≤ ≤ + ; f

rδ

>

178. Xác định trị số của lực ngang Pr

tác dụng vào xe trọng lượng G chuyển động đều trên đường ray nếu trọng lượng các bánh xe là Q, bán kính R, hệ số ma sát lăn là k, OA= OB.

Trả lời: ( )k Q GPR+

=

179. Trục tời quay quanh trục A cố định được giữ ở cân bằng nhờ lực tiếp tuyến Q

r và lực ma sát

gây ra do hãm dây da hai đầu buộc vào một đòn bẩy. Biết hệ số ma sát giữa dây da và trục tời là f, góc ôm là a. Kích thước như hình vẽ. Tìm P khi cân bằng.

Trả lời: T1= T2efa ;

Hình 179

P

Q

α b a

b

AB

72

11

f

f

b eP Qa e

α

α

+=

−

V. Bài toán trọng tâm

180. Xác định vị trí trọng tâm C của một tiết diện giới hạn bởi nửa vòng tròn AOB bán kính R và hai đường thẳng bằng nhau AD= BD; OD= 3R.

Trả lời: 3 16 1,193 12

OC R Rππ

+= =

+

O D

20cmXc

2cm

20cm

15cm

2cm r1/2r1

2

o1


181. Tìm trọng tâm của hình đồng chất. Kích thước cho trên hình vẽ.

Trả lời: xC= 9cm.

182. Tìm trọng tâm của đĩa có lỗ hổng tròn, biết bán kính đĩa là r1, bán kính lỗ hổng là

r2. tâm lỗ nằm cách tâm đĩa 1 khoảng 1

2r .

Trả lời: xC =2

1 22 2

1 22( )r r

r r−

x

D

A B

C

O

O1 K2m

0.7m

0.5m

AD

C E B

Hình 183 Hình 184

73

183. Xác định toạ độ trọng tâm của một tấm hình vuông đồng chất cạnh 2m bị hổng một lỗ cũng hình vuông cạnh là 0,7m và song song với các cạnh hình vuông ABCD, OK= O1K= 0,5m, O và O1 là tâm của 2 hình vuông; OK và O1K song song với các cạnh tương ứng của hình vuông

Trả lời: x= y= - 0,07m.

184. Vẽ một đường thẳng DE qua đỉnh D của một hình chữ nhật đồng chất ABCD sao cho khi treo hình thang ABED tại E thì cạnh DA nằm ngang biết DA= a.

Trả lời: BE= 0,366a.

185. Tìm tọa độ trọng tâm của chu tuyến hình hộp chữ nhật thẳng mà các cạnh xem như những thanh đồng chất; cạnh 0A= 8dm; 0B= 4dm; 0C= 6dm. Trọng lượng thanh 0A là 25N, thanh 0B, 0C, CD là 7,5N; CG nặng 20N; AF nặng 12,5N; AG và GF nặng 5N ; DE, BD, BF, EF mỗi thanh nặng 2,5 N

Trả lời: x= 2,625dm ; y= 4dm ; z= 1,05dm

186. Xác định trọng tâm cơ cấu thước vẽ ellíp gồm hai con chạy A và B, trọng lượng mỗi con chạy là Q. Tay quay OK trọng lượng P, thước AB trọng lượng là 2P. Biết OK= AK= BK= l. Coi tay quay và thước vẽ là các thanh đồng chất và con chạy coi như chất điểm, góc KOB= j.

Trả lời: xC= 5 4 cos3 2 2

P Q lP Q

φ++

; yC= 5 4 sin3 2 2

P Q lP Q

φ++

y

z

F B

x A

D

C

O

E

G

x

y

O

A

B

K

ϕ

Hình 185 Hình 186

187. Hai nửa hình trụ đồng chất được gắn với nhau bằng sợi dây vắt qua hình trụ nặng Q. Ở hai nút dây có 2 quả cân trọng lượng P. Mặt phẳng tiếp xúc của hai nửa hình trụ thẳng đứng. Tìm P nhỏ nhất để cho 2 nửa hình trụ đứng yên trên mặt phẳng ngang.

Trả lời: P= 23

Qπ

N

P

P

A Hr

rh

74

Hình 187 Hình 188

188. Tìm chiều cao giới hạn h của hình trụ thuộc vật, bao gồm: hình trụ và nửa quả cầu mật độ như nhau và cùng bán kính r để vật mất ổn định tại vị trí cân bằng, khi bề mặt nửa quả cầu tựa trên mặt ngang nhẵn.

Chỉ dẫn : Trọng tâm toàn bộ vật thể phải trùng với tâm bán cầu .Khoảng cách của trọng tâm bán cầu đồng chất đến đáy của nó bằng 3/8 r

Trả lời: h= 22

r

75

HỌC PHẦN II: ĐỘNG HỌC

CHƯƠNG I: ĐỘNG HỌC ĐIỂM

Bài tập chương động học điểm có thể chia làm 3 loại sau:

1. Thành lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của động điểm.

2. Tính vận tốc và tìm phương trình tốc độ của động điểm.

3. Tính gia tốc và bán kính cong quĩ đạo của động điểm.

I. Loại 1: Thành lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của động điểm

1. Thí dụ

Tay quay OA quay quanh trục O với vận tốc

Không đổi là w0=10s-1 và j=w0t. Chiều dài

OA = AB = 80cm. Tìm phương trình chuyển

động, phương trình quĩ đạo trung điểm M

của then truyền AB và phương trình chuyển

động của con chạy B ? Hình 1

Bài giải

a) Phương trình chuyển động và phương trình

quĩ đạo của động điểm M:

Áp dụng phương pháp toạ độ Đề các, chọn hệ trục như hình vẽ ta có:

3 .cos21 .sin2

M

M

x OA

y OA

φ

φ

⎫= ⎪⎪⎬⎪=⎪⎭

(1)

Với t0ω=ϕ và thay 10 s10 −=ω vào (1) ta có:

120.cos1040.sin10

M

M

x ty t

= ⎫⎬= ⎭

(2)

(2) là hệ phương trình chuyển động của trung điểm M của then truyền AB.

Để có phương trình quĩ đạo của điểm M, ta khử t từ (2).

A

BO

x

80cmM

XM

YM

ϕ=ωt

76

cos10

120

sin1040

M

M

x t

y t

⎫= ⎪⎪⎬⎪=⎪⎭

hay 2 2

2 2 1120 40

M Mx y+ =

Đây là phương trình êlíp, tâm O, bán trục lớn bằng 120cm và bán trục nhỏ bằng 40cm.

b) Phương trình chuyển động của con chạy B:

Nhận xét rằng: Con chạy B luôn luôn chuyển động dọc theo phương Ox, nên có thể dùng phương pháp toạ độ tự nhiên để khảo sát. Chọn gốc toạ độ O, chiều dương trùng với chiều dương Ox. Khi đó ta có phương trình chuyển động của con chạy B:

S = xB = 2.OA.cosj

hay S = xB= 160 cos10t

Chú ý: khi biết quĩ đạo của M là elíp bằng cách tương tự chúng ta dễ dàng viết phương trình chuyển động của nó dới dạng toạ độ tự nhiên (sinh viên tự suy lấy).

Bây giờ nếu chọn trục cực OB trùng với Ox, góc giữa 0M = r với trục OP (hay Ox) là j1, ta viết

phương trình chuyển động của động điểm M dưới dạng toạ độ cực (r, j)

( )22 2 2120cos10 (40sin10 )M Mr x y t t= + = +

= 2 2 2 240 (9cos 10 1 cos 10 ) 40 1 8cos 10t t t+ − = + (5)

Mặt khác: tgj1=40sin10 1 10

120cos10 3M

M

y t tg tx t

= =

Suy ra : j1= arctg 103

tg t⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(6)

Kết hợp (5) và (6) ta được phương trình chuyển động của điểm M viết dưới dạng toạ

độ cực:

2

1

40 1 8cos 10103

r ttg tarctgφ

⎧ = +⎪⎨ ⎛ ⎞=⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

Cần chú ý phương pháp này chỉ dùng được khi quĩ đạo của điểm là đường cong phẳng.

2. Cho phương trình chuyển động, xác định quĩ đạo của động điểm.

1) 2

2

20 515 3

x ty t

⎧ = +⎨

= +⎩ Trả lời: Quĩ đạo là nửa đường thẳng: 3x- 4y = 3.

Điểm gốc (x=5, y=3).

77

B

A

O a Cϕ

Hình 5

2) 2

2

4 23 1,5

x t ty t t

⎧ = −⎨

= −⎩ Trả lời: Quĩ đạo là nửa đường thẳng: 3x- 4y = 0.

Với 2x ≤<∞− ; 5,1y ≤<∞−

3. Cho phương trình chuyển động của điểm, xác định phương trình quĩ đạo của nó:

1) 5 3cos4sin

x ty t

= +⎧⎨ =⎩

Trả lời: Quĩ đạo là elíp 2 2( 5) 1

9 16x y−

+ =

2) 3cos

8

4sin4

x t

y t

π π

π π

⎧ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Trả lời: Quĩ đạo là elíp

2 22sin cos

9 16 6 8 8x y xy π π

+ − =

4. Cho phương trình chuyển động của chất điểm, hãy xác định phương trình quĩ đạo và luật chuyển động theo quĩ đạo ? Biết rằng gốc toạ độ là vị trí ban đầu của chất điểm.

1) 2

2

34

x ty t

⎧ =⎨

=⎩ Trả lời: Quĩ đạo: 4x- 3y = 0.

Luật chuyển động: S = 5t2

2) 2

2

5cos55sin 5

x ty t

⎧ =⎨

=⎩ Trả lời: Quĩ đạo: x2+ y2

= 25. Luật chuyển

động: S = 25t2

5. Tìm qui luật chuyển động của thanh AB nếu đườngkính bánh xe lệch tâm d = 2r và trục quay O ở cách tâm của đĩa một khoảng OC = a ? Trục

Ox hứơng dọc theo thanh, gốc tọa độ O ở trục quay và ar

λ= .

Trả lời: cosx a ϕ= + r 2 21 sinλ ϕ−

6. Viết phương trình chuyển động của pít tông lệch tâm trong cơ cấu then truyền tay quay ( hình vẽ ). Khoảng cách từ trục quay của tay quay tới đường dẫn hướng của pít tông là h chiều dài của tay quay là OA = r.Chiều dài của then truyền AB = l. Trục x có phương theo hướng chuyển động của pít tông, gốc tọa độ lấy ở vị trí xa nhất của pít

tông về phía bên phải. Cho biết lr

λ= ; h kr

= ; 0tφ ω= .

78

Trả lời: x = r 2 2 2 2( 1) (sin ) cosk kλ λ φ φ⎡ ⎤+ − − − + −⎣ ⎦

ϕ=ωt

A

O

Bx

lr

h C

Or N

B

x

A

ϕ

Hình 6 Hình 7

7. Thanh AB = l chuyển động sao cho mút A của nó luôn luôn ở trên một vòng tròn bán kính r < l/2 và thanh luôn đi qua một điểm N cố định trên vòng tròn đó. Tìm phương trình chuyển động của điểm B, biết j = wt.

Trả lời: cos sin

2

sin cos2

tx r t l

ty r t l

ωω

ωω

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

8. Thanh AB = l chuyển động sao cho đầu mút A trượt dọc theo trục Oy cố định, còn thanh AB ở mọi thời điểm đều đi qua điểm C cố định cách trục Oy một khoảng OC = a. Tìm phương trình quĩ đạo của điểm B ? Hình 8

Trả lời: 2 2 2

22

( ) ( )x a l xyx

− −=

9. Tìm phương trình đường cong trong toạ độ cực (r, j) do tầu vạch nên mà góc phương vị a giữa hướng vận tốc của tầu và hướng từ nó đến điểm cố định luôn luôn không đổi. Nếu cho a, r/j = r0. Tầu coi như điểm chuyển động trong mặt phẳng và cực lấy ở điểm cố định bất kỳ trong mặt phẳng này. Khảo sát trường hợp riêng khi

a = 0, 2π và p.

Trả lời: Đường logarit: r = r0e-jtga

Khi a = 2π . Đường tròn r = r0

Khi a = 0, p: Đường thẳng

II. Loại 2: Tính vận tốc và tìm phương trình tốc độ của động điểm

10. Thí dụ

Một chất điểm chuyển động theo phương trình như sau:

OB

C x

A

a

79

2cos2sin

x ty t

=⎧⎨ =⎩

x, y tính bằng cm, t tính bằng giây.

Xác định trị số và phương vận tốc của chất điểm, khi nó ở trên trục Oy trong toạ độ Đề các và trong toạ độ cực ?

Bài giải:

a) Toạ độ Đề các: Ta tính

2sin

2cosx ty t= − ⎫

⎬= ⎭

&

& (1)

Khi chất điểm ở trên trục Oy thì x = 2cost = 0,do đó cost = 0

hay t = 2π

± (K=0). Thay giá trị của t vào (1): Hình 10

2x = −& ; 0y =& và 2x =& ; 0y =&

Vậy với t=2π thì V= 2 2 2( 2) 2x y+ = − =& & cm/s;

cos(Vr

, ir

) = 1xV

= −&

; cos (Vr

, jr

) = yV&

=0

Với t = -2π thì V = 2cm/s; cos(V

r, ir

) = 1 ; cos (Vr

, jr

) = 0.

b) Toạ độ cực: Từ phương trình chuyển động, bằng cách khử t, ta có phương trình quĩ đạo của điểm: x2 + y2 = 4.

Chọn cực hệ toạ độ cực ở tâm vòng tròn và hướng trục cực theo trục Ox ta có:

x = rcosj

y= rsinj

Từ đó x2 + y2 = r2 nên suy ra r = 2 = const.

Mặt khác : cosj= cosx tr

= ; sinj= yr

= sint nên suy ra j = t.

Vậy phương trình chuyển động của điểm trong toạ độ cực là:

2rtφ

=⎧⎨ =⎩

(2)

Để tìm vận tốc từ (2) ta có: Vr = r& = 0 ; Vj= rφ& = 2

hay V= 2 2( )r rφ+ =&& 2cm/s = const

x

M

Or ϕ

ϕ M

C

O A x

B

Hình 11

80

Rõ ràng chất điểm chuyển động trên đường tròn có

mô đuyn vận tốc không đổi và có phương vuông góc

với bán kính.

11. Thí dụ

Cho cơ cấu thước vẽ elíp OC = AC = BC = 20cm.

Tay quay OC quay quanh trục O vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Góc j giữa OC và trục Ox tỷ lệ với thời gian j = w0t (w0 là hằng số ). Tìm phương trình chuyển động,

phương trình quĩ đạo và vận tốc của điểm M tại j = 2π nếu AM = 10cm, tại thời điểm

ban đầu B trùng với O.

Bài giải

a) Thành lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của điểm M. Sử dụng toạ độ Đề các.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy ta có:

AM = 12

OC = 10cm nên

1 cos21 sin2

M

M

x OC

y OC

φ

φ

⎫= ⎪⎪⎬⎪=⎪⎭

Thay j = w0t vào (1) ta được phương trình chuyển động của trung điểm M của đoạn AC:

0

0

30cos10sin

M

M

x ty t

ωω

=⎧⎨ =⎩

(2)

Khử t từ (2) ta có phương trình quĩ đạo của trung điểm M:

0cos30

Mx tω= ; 0sin10

My tω=

Sau đó bình phương hai vế rồi cộng lại ta được phương trình quĩ đạo là êlíp:

2 2

1900 100x y

+ =

b) Tính vận tốc của điểm M:

Xuất phát từ phương trình chuyển động (2) ta có:

0 0

0 0

30 sin10 cos

x ty t

ω ωω ω

= −⎧⎨ =⎩

&

&

81

Tại j = w0t = 2π thì 030

0x

yω= −⎧

⎨ =⎩

&

&

Vậy: 2 2030V x y ω= + =& & cm/s ; cos(V

r, ir

) = 1xV

= −&

; cos (Vr

, jr

) = yV&

=0

Kết quả chỉ rằng: Tại j = 2π thì AB nằm dọc theo trục Oy, vận tốc điểm M có phương

song song và ngược chiều với trục Ox.

12. Một chất điểm chuyển động theo luật:

4sin

2

3sin2

x t

y t

π

π

⎫= ⎪⎪⎬⎪=⎪⎭

x, y tính bằng cm, t tính bằng giây.

Xác định vận tốc của điểm khi: t = 0; t = 1; t = 2s ?

Trả lời:

1) V0 = π25 cm/s ; cos 0( , )V i

r r = 4

5 ; cos 0( , )V j

r r= 3

5

2) V1 = 0

3) V2 = 52

π cm/s ; cos 0( , )V ir r

= - 45

; cos 0( , )V jr r

= - 35

13. Một quả cầu được ném từ máy bay chuyển động theo phương trình:

0

2

x = V tgty=h-2

⎧⎪⎨⎪⎩

Ở đây trục Ox chọn theo phương ngang, trục Oy chọn theo phương thẳng đứng hướng lên trên. Xác định vận tốc của quả cầu khi nó rơi tới đất ?

Trả lời: V = 20 2V gh+ ;

cos 02

0

( , )2

VV iV gh

=+

r r ;

82

h x

j i

y 0v

O Hình 13

O

M

VoRα

Hình 14

cos 2

0

2( , )

2gh

V jV gh

= −+

r r

14. Một bánh xe lăn không trượt theo đường ray ngang với vận tốc của tâm bánh xe là V0 = 72km/h. Bán kính bánh xe là R = 1m.

a) Xác định vận tốc của điểm M nằm trên vành bánh xe có bán kính lập với 0Vr

một góc

2π α+ .

b) Vẽ hôđôgrap vận tốc điểm M và xác định vận tốc 1Vr

của điểm vạch nên hôđôgrap đó.

Trả lời:

a) V = 40cos2α (m/s) , chiều V

rtừ M đến A.

b) Vòng tròn r = 2V0cosq trong đó q = 2α , bán kính r = V0, V1 =

20VR

= 400m/s2.

ϕ

A

B

O

rl

M

a

y

x

b

e f

dϕ=ω t c

l l

E

A B

HD

x

C

y

o


15. Hãy tìm vận tốc trung điểm M của cơ cấu then truyền tay quay và vận tốc con chạy khi r = l = a, j = wt (w là const).

Trả lời: VM = 28sin 12a tω ω + ; VB = 2awsinwt.

16. Một cơ cấu gồm hai thanh AB và BC cùng độ dài l và gắn bản lề tại B. Mỗi thanh lại được gắn bản lề với hai thanh khác là ED và DF sao cho hình DEBF là hình thoi có cạnh có cạnh là a. Xác định vận tốc của điểm D phụ thuộc vào góc j=∠ (BAC) ? Nếu

83

điểm A cố định, điểm C chuyển động theo phương thẳng góc với BD và có vận tốc là V.

Trả lời: VD = 2 24 ( )cos2 sin

V a a− −l ll

17. Tải trọng D được treo nhờ hai dây EAC và HBC vắt qua hai ròng rọc A và B. ở vị trí đầu độ võng OC = 10 3 m, và AC = BC. Khoảng cách giữa hai ròng rọc AB = 2a = 20cm. Dây HBC được quấn vào cái tang quay làm nó chuyển động với vận tốc V không đổi, V = 1m/s. Dây EAC tởi ra nhờ cái tang thứ hai cũng chuyển động với vận tốc đó. Xác định quĩ đạo của điểm C mà nó nâng tải, cũng như vận tốc của điểm này.

Trả lời: 2 2

2 2 2 1x yb b a

+ =−

( E líp )

2

32300 3

tV i jt

= +−

r r r

18. Chuyển động của điểm cho theo phương trình r = aekt, j = kt ( với a, k là hằng số). Tìm phương trình quĩ đạo và vận tốc của điểm là hàm của bán kính véc tơ rr .

Trả lời: r = aej ; V = kr 2 .

19. Chuyển động của điểm trong mặt phẳng cho theo phương trình:

=rr acos60t ir

+ asin60t jr

a) Tìm phương trình quĩ đạo, phương trình chuyển động của điểm ở dạng toạ độ cực, cho chuyển động của điểm ở dạng tự nhiên.

b) Tìm vận tốc của chất điểm từ phương trình chuyển động đã biết ở dạng trên ?

Trả lời: a) Quĩ đạo là đường tròn x2 + y2 = a2

r = a ; j = 60t

S = 60at

b) |Vr| = 0 ; Vj = 60a (cm/s)

VS = 60a (cm/s).

III. Loại 3: Tính gia tốc và bán kính cong quĩ đạo của động điểm

20. Thí dụ.

Một viên đạn được bắn lên chuyển động theo phương trình:

x = 300t

y = 400t - 5 t2

Xác định: a) Vận tốc và gia tốc của nó ở thời điểm ban đầu ( t = 0).

84

Hình 20

b) Tầm cao và tầm xa của viên đạn ?

c) Bán kính cong của quĩ đạo viên đạn ở thời điểm ban đầu và ở thời điểm khi viên đạn ở vị trí cao nhất?

Bài giải

a) Xác định 0Vr

và 0Wr

Từ phương trình chuyển động ta có:

300x =& 0x =&&

400 10y t= −& 10y = −&&

Tại thời điểm ban đầu t = 0:

0x x=& & t=0 = 300 ; 0y y=& & t=0 = 400

và 0x x=&& && t=0 = 0; 0y y=&& && t=0 = -10

Vậy V0= 2 2 2 20 0 300 400x y+ = +& & = 500 m/s;

cos 0( , )V ir r

= 0

0

xW&&

= 0 ; cos 0( , )V jr r

= 0

0

yW

=&& 4

5;

W0= 2 2 2 20 0 (0) ( 10)x y+ = + −&& && =10 m/s2;

cos 0( , )W ir r

= 0

0

xW&&

= 0 ; cos 0( , )W jr r

= 0

0

yW&&

= -1

Kết quả tính toán cho phép ta biểu diễn như ở hình vẽ

b) Xác định tầm cao và tâm xa của viên đạn, tức là xác định vị trí cao nhất và xa nhất mà viên đạn đạt tới:

Như hệ trục toạ độ đã chọn, trục Ox nằm ngang trên mặt đất, trục Oy hướng thẳng đứng lên trên, gốc tọa độ tại thời điểm ban đầu và từ phương trình chuyển động của viên đạn, ta thấy quĩ đạo của viên đạn là parabol ( như hình vẽ). Vậy lúc viên đạn ở vị trí xa nhất thì y = 0, nghĩa là: y = 400t - 5t2 = t(400-5t) = 0

Ta suy ra: hoặc t = 0 ứng với thời điểm ban đầu hoặc t = 80s ứng với thời điểm đạn ở xa nhất.

Ta có: l = xmax = t

x = 80s = 300. 80= 24000m ;

Do parabol đối xứng qua trục song song với 0y nên vị trí có độ cao lơn nhất ứng với

0,5xmax. Vì thế ta có : h= ymax = y max

2x y⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠t=40s

h= ymax = 400. 40 - 5.402 = 8000m

x

Vo

L

Xmax/2

α H=Ymax

Wo

O

85

c) Xác định bán kính cong quĩ đạo:

Để tính bán kính cong ta áp dụng các công thức sau:

V= 2 2x y+& & ; W= 2 2x y+&& && và W= 22 2dV V

dt ρ⎛ ⎞⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Từ đó suy ra công thức xác định bán kính cong:

r2 = ( )42 2

22 2

2 2( )

x yxx yyx yx y

+

++ −

+

& &

&&& &&&&& &&

& &

(*)

Thay biểu thức x, y vào (*) với t = 0 ta có r0 = 41667m .

Tương tự, nếu thay t = 40s ta được: rh = 9000m.

21. Thí dụ

Chất điểm chuyển động trên đường tròn bán kính R = 6cm theo qui luật:

S = 6 + 9t2 - 12t3 . Xác định vận tốc, gia tốc của điểm đó sau 1 giây.

Bài giải

Chọn gốc toạ độ O. Vị trí đầu của điểm là S0 = S t=0 = 6cm.

Sau 1 giây điểm cách O: S1 = S t=1s = 6 + 9. 12 - 12. 13 = 3cm

a) Tính vận tốc:

dVdt

= (6 + 9t2 - 12t3)= 18t - 36t2.

Tại t = 1s thì: V1 = V t=1s = 18.1- 36.12 = -18 cm/s Hình 21a

Dấu (-) chứng tỏ vận tốc có chiều ngược với chiều dương đã chọn

trên quĩ đạo.

b) Xác định gia tốc: Ta có : W W=r r

t +Wr

n

Wt = 2

2

dV d Sdt dt

= = 18-72t ; Wn = 2V

R=

2 2(18 36. )6

t−

tại t= 1s thì: Wt = 18- 72 = -54 cm/s2;

Wn = 2 2

2(18 36.1 ) 54 /6

cm s−=

Vậy : W1 = 2 2( 54) (54) 54 2− + = cm/s2 Hình 21b

Căn cứ vào kết quả tính toán, ta có thể biểu diễn trên hình vẽ:

M

Wτ

RO1

W

Wn

VR O 1

Mo M

O

+

86

22. Chất điểm chuyển động theo phương trình:

x = 75cos4t2

y = 75 sin4t2

x , y : tính bằng cm, t : tính bằng giây.

Tìm vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của chất điểm đó.

Trả lời: V = 600t cm/s; Wt = 600 cm/s2 ; Wn = 4800t2 cm/s2

23. Một chất điểm chuyển động theo đường ren vít có phương trình: 2cos 42sin 42

x ty tz t

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

Xác định bán kính cong của quĩ đạo.

Trả lời: r = 18

m

24. Một chất điểm chuyển động theo phương trình: cossin

t

t

t

x e ty e tz e

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

Xác định bán kính cong của quĩ đạo của chất điểm ở thời điểm t.

Trả lời: r = 3 22

te

25. Một chất điểm chuyển động theo phương trình: 4sin

2

3sin2

x t

y t

π

π

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

Tìm gia tốc và bán kính cong của quĩ đạo ở thời điểm t = 1s

Trả lời: W = 1,25p2 cm/s2 ; r = ∞

xB

A

O

Mϕ

y

x

C

B

A

O

D

ϕO

p/2

yA

B X

Q w=wx

C


87

26. Tìm quĩ đạo điểm M trên then truyền AB trong cơ cấu then truyền tay quay, nếu OA = AB = 60cm, MB = 20cm, j = 4pt và xác định vận tốc, gia tốc, bán kính cong quĩ đạo của nó khi j = 0.

Trả lời: Elíp 2 2

2 2 1100 20

x y+ = ;

V = 80p cm/s; W = 1600p2 cm/s2 ; r = 4cm.

27. Thanh OB quay quanh trục O với j = ∠ (A0B) = 2t và truyền chuyển động đến thanh AD. Điểm A và C chuyển động dọc theo các trục toạ độ. Xác định vận tốc và gia tốc điểm D của thanh tại thời điểm j = 600. Biết AB = OB = BC = CD = 12cm.

Trả lời: V = 41,57 cm/s ; W = 127 cm/s2.

28. Điểm Q chuyển động theo parabol y2 = 2px, biết vị trí của nó chiếu lên trục Oy cho bởi công thức: y = C.t . Xác định vận tốc, gia tốc điểm Q cũng như bán kính cong của parabol ?

Trả lời: V = 2 1xp

+ ; W = 2C

p ; r = 2 2

sinx p QA

φ+

=

( j là góc giữa tiếp tuyến của parabol tại Q và trục Ox).

29. Chất điểm chuyển động theo vòng tròn bán kính R theo luật sau: S = V0t - 21 at2

Xác định trị số gia tốc của điểm, thời gian cần thiết để trị số gia tốc đó bằng a, số vòng đi được của chất điểm cũng như vận tốc của chất điểm ở thời điểm này.

Trả lời: 2 402

1 ( )W a V atR

= + −

W = a khi t = 0 0V Va a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Số vòng: n = 2

0

4Va Rπ

và V = 0

30. Một chiếc tầu hoả chuyển động trên một đoạn đường có bán kính cong là r = 600m. Xác định gia tốc và quãng đường đi được của tầu sau 5 phút, biết phương

trình chuyển động của tầu là: 1

5 200010 1 50t

S e t−⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Trả lời: S = 390m; W = 3,81 m/s2.

31. Một chất điểm trên vành vô lăng bán kính R = 2m, lúc lấy đà chuyển động theo phương trình S = 0,1t3. Xác định gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của điểm khi vận tốc của nó đạt được V = 30 m/s ?

88

Trả lời: Wt = 6m/s2 ; Wn = 450 m/s2.

32. Một con tầu chuyển động chậm dần đều theo cung tròn bán kính R = 800m và di chuyển được một đoạn đường S = 800m, với vận tốc ban đầu V0 = 54km/h và vận tốc cuối V = 18km/h. Tính gia tốc con tầu ở đầu và cuối đoạn đường và thời gian cần thiết để con tầu đi hết đoạn đường đó ?

Trả lời: W0 = 0,308 m/s2 ; W1 = 0,129 m/s2 ; t = 80s.

33. Một tầu hoả chuyển động gia tốc đều, vận tốc của nó tăng từ 18 km/h đến 72 km/h trong khoảng thời gian 2 phút. Quãng đường nằm trên một vòng cung có bán kính 1000m. Xác định luật chuyển động, vận tốc và gia tốc của tầu hoả sau 10 giây kể từ lúc chuyển động với gia tốc đều ?

Trả lời: S = 2

516tt + ; V = 10m/s ; W = 0,16 m/s2.

34. Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng xOy có chiếu vận tốc lên trục x là hằng số C. Chứng minh rằng giá trị gia tốc của nó được biểu diễn theo công thức:

3VWCρ

= , trong đó V là giá trị vận tốc, r là bán kính cong của quĩ đạo.

35. Hãy xác định chuyển động của viên đạn ( phương trình chuyển động, phương trình quĩ đạo, độ cao và tầm xa ) nếu biết rằng gia tốc của chuyển động W=g=9,8m/s2 luôn hướng thẳng đứng xuống dưới, vận tốc ban đầu V0 = 1000 m/s và nghiêng một góc a = 600 so với phương nằm ngang.

Trả lời: x = 500t ; y = 856t - 4,905t2

y = 1,732x - 10-8.1962x2

h = 38,24 km ; S = 88,3 km.

36. Từ một khẩu pháo của pháo binh đặt ở trên bờ với

độ cao là h = 30m so với mặt biển, bắn một phát súng dưới

một góc a = 450 so với phương nằm ngang, với vận tốc

ban đầu của đạn là V0 = 1000m/s.

Hãy xác định khoảng cách S theo phương ngang từ Hình 36

miệng pháo tới đích viên đạn rơi xuống nằm trên mặt nước

biển. Bỏ qua sức cản của không khí.

Trả lời: S = 102 km.

αΟ

VΟ

Sh

89

CHƯƠNG II: HAI DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

37. Thí dụ

Một bánh xe có vận tốc góc ban đầu ω0, nó quay được n vòng thì dừng lại vì có xuất hiện lực cản trở chuyển động. Hãy tìm gia tốc góc ε ? Biết rằng bánh xe quay chậm dần đều.

Bài giải

Vì bánh xe quay chậm dần đều nên ε = const. Chọn thời điểm ban đầu t0 = 0 thì

ω t=0 = ω0 và ϕ t=0 = ϕ0 = 0. Ta có: ε = ddtω suy ra dω = ε.dt

hay: 0 0

t

dω

ω

ω ε=∫ ∫ dt suy ra ω = εt+ ω0

Mặt khác ta lại có: ddtϕω = nên dϕ = ωdt

hay: 0 0

(t

dϕ

ϕ ε=∫ ∫ t+ω0)dt suy ra ϕ= 2

02t tε ω+

Ta có: ϕq= ϕ - ϕ0 = ϕ = 2

02t tε ω+ = 0

2tω ω+

Do bánh xe quay n vòng thì dừng lại, tức là tại đó ω = 0 nên ϕq = 2πn = 002

tω+ .

Suy ra t = 4πn/ω0. Thay giá trị này của t vào biểu thức tính ω và cho ω = 0, ta có:

ω = εt + ω0 = 0 hay ε = 0

tω

− = 20

4 nωπ

− .

Dấu (-) chứng tỏ rằng bánh xe quay chậm dần đều.

38. Một bánh xe có trục cố định quay với vận tốc góc ban đầu ω0 = 2π s-1. Sau khi quay được 10 vòng thì nó dừng lại vì ma sát ở trục. Xác định gia tốc góc của bánh xe, coi nó như hằng số.

Trả lời: ε = 0,1πs-2 và bánh xe quay chậm dần đều.

39. Xác định vận tốc góc của:

1) Kim giây đồng hồ ?

2) Kim phút đồng hồ ?

3) Kim giờ đồng hồ ? Hình 40

A

O xB L

ϕ

90

4) Sự quay của trái đất quanh trục của nó ?

Trả lời: ω1 = 0,1047 s-1; ω2 = 0,001745 s-1;

ω3 = 0,0001455 s-1 ; ω4= 0,0000727 s-1.

40. Một cơ cấu cu lít được mô tả như hình vẽ.

Hãy xác định vận tốc góc và gia tốc góc của cu lít OC ở thời điểm khi ϕ = 4π , nếu

thanh AB chuyển động với vận tốc u= hằng số. Ở thời điểm ban đầu ϕ = 0.

Trả lời: ω = 2ul

; ε = 2

22ul

− .

41. Một tải trọng được buộc vào sợi dây quấn vào trục nằm ngang. Nó được nâng lên nhanh dần đều không có vận tốc ban đầu. Trong t giây đầu nó được nâng lên đoạn h(m).

Hãy tìm gia tốc góc của trục nếu bán kính nó là r(m).

Trả lời: ε = 2

2hrt

s-2

42. Một vật thực hiện dao động quanh một trục cố định nhận được góc quay biểu diễn bằng phương trình: ϕ = 200sinψ . Trong đó ψ = 2t, t tính bằng giây.

Hãy xác định vận tốc góc của vật ở thời điểm t = 0, tại thời điểm gần nhất t1, t2 trong đó thay đổi hướng quay và chu kỳ dao động T.

Trả lời: ω = 21810

π s-1 ; t1 = 45s ; t2 = 135s ; T = 180s.

43. Một con lắc dao động trong mặt phẳng thẳng đứng quanh trục nằm ngang cố định

Ox. Tại thời điểm ban đầu, từ vị trí cân bằng nó đạt được góc lệch lớn nhất α =16π rad

trong thời gian 23

s.

a) Viết qui luật dao động của con lắc, coi nó thực hiện dao động điều hoà.

O

h

ϕ

Hình 41

O

ω

VAVBB

A

ϕ

d

Hình 44

d

R

r

II

I

Hình 45

91

b) Ở vị trí nào thì con lắc có vận tốc lớn nhất và bằng bao nhiêu ?

Trả lời: a) ϕ = 3sin15 4

tπ π

b) ở vị trí thẳng đứng ωmax = 2364

π s-1

44. Điểm A thuộc vành bánh xe quay quanh một trục cố định Ox có vận tốc VA = 50 cm/s. Một điểm B nào đó cũng thuộc bánh xe, cùng nằm trên một bán kính với điểm A có vận tốc VB =10cm/s. Khoảng cách AB = 20cm. Xác định vận tốc góc ω và đường kính d của bánh xe.

Trả lời: ω = 2 s-1; d = 50cm.

45. Trục chủ động I truyền chuyển động thực hiện 600v/phút và di chuyển theo qui luật : d = 10 - 0,5t (cm). Xác định:

a) Gia tốc góc của trục II là hàm số theo d.

b) Gia tốc toàn phần của một điểm B trên vành bánh xe II ở thời điểm khi d = r?

Biết bán kính các bánh xe là r = 5cm; R = 15cm.

Trả lời: ε = 2

50d

π s-2 ;

W = 230 40000 1π π + cm/s2.

46. Hãy tìm tỷ số K = 4

1

ωω

của vận tốc góc đối với các bánh xe răng khía có bán kính

r1, r2, r3, r4 được gắn với nhau như hình vẽ. Mở rộng cho trường hợp n bánh răng ?

Trả lời: K = 4 14 1

1 4

( 1) rr

ωω

−= − ; K = (-1)n-1 1

1

n

n

rr

ωω

= .

47. Trên hình vẽ biểu diễn sơ đồ truyền chuyển động dây da phức tạp. Puli II và III gắn chung một trục và hai puli ấy được coi như một. Đường kính các puli là d1= 200cm ; d2= 500cm ; d3= 300cm ; d4 = 100cm. Xác định số vòng quay trong một phút của puli IV, biết rằng puli I thực hiện chuyển động quay 500v/phút.

Trả lời : n4 = 600 v/phút.

Hình 48

O

h

R

iv

i iiiii

Hình 47

r 1 r 2 r 3 r 4

Hình 46

92

48. Một cuộn dây được cuộn vào bánh xe có trục quay nằm ngang buộc tải trọng, trọng lượng P. Ở thời điểm nào đó tải trọng bắt đầu rơi với gia tốc W0 và làm quay bánh xe. Hãy tìm gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh xe là hàm số của độ cao h là độ dịch chuyển của tải trọng P. Bán kính bánh xe là R, vận tốc ban đầu của tải trọng P bằng không.

Trả lời: 2 20 4WW R hR

= +

49. Thanh AB chuyển động thẳng đứng xuống dưới với vận tốc hằng số V nhờ tay quay vuông góc ODC. Xác định vận tốc và gia tốc điểm C phụ thuộc theo góc ϕ. Biết OD = a, CD = 2a.

Trả lời: VC = 2cos5

sinV ϕ

ϕ

WC = 2

3 25 cot 1 3sinV ga

ϕ ϕ+

OD

A

C

2a

a

Sϕ

x1

2 3

4

50cm

30cm

O1

O


50. Trong cơ cấu của máy chỉ báo, kim chuyển động từ thang răng của chốt 1, truyền cho bánh răng 2, trên trục của nó gắn chặt với bánh xe răng 3, móc với bánh răng 4 mang theo kim. Hãy xác định vận tốc góc của kim, nếu chuyển động của chốt cho trước bằng phương trình : x = asin(kt) và bán kính của các bánh xe răng tương ứng bằng r2, r3, r4.

Trả lời: 34

2 4

cosr ak ktr r

ω =

51. Để nhận được sự thay đổi vận tốc góc, người ta gắn 2 bánh xe răng elíp như nhau, một bánh quay xung quanh trục O với vận tốc góc 270v/p, làm bánh kia quay quanh trục O1. Hai trục O và O1 song song với nhau và đi qua tiêu điểm elíp. Khoảng cách OO1 = 50cm, bán trục lớn và nhỏ là 25cm và 15cm. Xác định vận tốc góc nhỏ nhất và lớn nhất của bánh xe O1 ?

Trả lời: ωmin = π s-1 ; ωmax = 81π s-1

93

52. Xác định vận tốc góc ω2 của bánh xe răng elíp II với bán trục a, b. Biết rằng vận tốc góc bánh xe I là ω1=const. Khoảng cách giữa hai trục là O1O2 = 2a, ϕ là góc giữa đường thẳng nối hai trục quay và trục lớn của bánh xe elíp I. Hai trục quay đi qua tiêu điểm của elíp và 2 bánh xe elíp hoàn toàn giống nhau.

Trả lời: ω2 = 2 2

2 22 cosa C

a aC Cϕ−

− + ω1

với C = 2 2a b−

N2

M2

ω2

O2

r2r1

ω1

O1

O'1

1

N1

I

IIO'2

ϕ

94

CHƯƠNG III: CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

Bài tập về chuyển động song phẳng của vật rắn (hay chuyển động của hình phẳng trong mặt phẳng của nó ) chia ra làm 3 loại như sau:

Loại 1: Thành lập phương trình chuyển động của hình phẳng chuyển động trong mặt phẳng của nó.

Loại 2 : Tìm vận tốc chuyển động của điểm của hình phẳng.

Loại 3: Tìm gia tốc chuyển động của điểm của hình phẳng.

I. Loại 1: Lập phương trình chuyển động

53. Thí dụ

Bánh xe nhỏ bán kính r lăn không trượt trên bánh xe lớn cố định bán kính R nhờ tay quay OA quay qua trục O đi qua tâm bánh xe lớn với gia tốc góc không đổi ε0. Thành lập phương trình chuyển động của bánh xe nhỏ với cách chọn điểm A là tâm bánh xe nhỏ làm cực. Ở thời điểm ban đầu t=0 vận tốc góc của tay quay OA là ω0 = 0 và góc quay ban đầu của nó là ϕ0 =0.

Bài giải Hình 53

Vì điểm A thuộc thanh OA quay quanh trục cố định O nên:

VA= ω.0A = ω(R+r) (a)

Vì điểm A thuộc bánh xe nhỏ lăn không trượt trên bánh xe lớn cố định với B là tâm vận tốc tức thời nên: VA= ω1.r (b)

Kết hợp (a) và (b) ta có: ω = rR r+

ω1

hay d r ddt R r dtϕ ϕ

=+

. Suy ra: dϕ= rR r+

dϕ1

0

dϕ

ϕ∫ ϕ=

1

10

rR r

ϕ

ϕ +∫ dϕ1 . Suy ra: ϕ - ϕ0 = rR r+

(ϕ1- ϕ10)

Do ϕ0 = 0 theo giả thiết và tại t = 0 ta chọn ϕ10 = 0.

Vậy theo trên ta có: ϕ1 = R rr+

ϕ (c)

B

R

rA

O xϕ

95

Như ta đã biết: ddtω = ε0 hay ω = ε0t +ω0 = ε0t và ω= d

dtϕ suy ra rằng:

ϕ=ε0

2

2t + ϕ0 = ε0

2

2t (d)

Thay (d) vào (c) ta có: ϕ1 = 2R r

r+

ε0t2 (*)

Nhìn trên hình vẽ ta có: xA= (R+r)cosϕ ; yA=(R+r)sinϕ

Kết hợp lại ta có phương trình chuyển động của bánh xe nhỏ là: 2 2

21 0 0 0; ( )cos ; ( )sin

2 2 2A A

R r t tt x R r y R rr

ϕ ε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

54. Tay quay OA quay đều quanh trục O đi qua tâm của bánh xe răng khía cố định bán kính R với vận tốc góc ω = const làm bánh xe răng khía nhỏ bán kính r lăn không trượt bên trong bánh xe cố định. Lấy điểm A làm cực, lập phương trình chuyển động của bánh xe động ?

Trả lời: 1 1R tr

ϕ ω⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )cosAx R r tω= −

( )sinAy R r tω= −

55. Tay quay OC quay đều quanh trục O cố định với vận tốc góc ω = const làm thanh AB của cơ cấu êlíp chuyển động. Lấy B làm cực lập phương trình chuyển động của thanh AB nếu OC = AC = BC = r.

Trả lời: ϕ = ω0t ; xB = 2rcosω0t ; yB = 0.

r x

R

C

O

A

ϕ ω

ϕ

CB

A

O x

r

r

r

Hình 54 Hình 55

96

O O

O

B BV

AV

DV

CVCDV

DV

C

A

600

D20ω

B10ω

A0ω

D

Hình 56

II. Loại 2: Xác định vận tốc của điểm trên hình phẳng

56. Thí dụ.

Tay quay OA = 20cm quay đều với vận tốc góc ω0A = 4π s-1 kéo theo thanh truyền AB và cần lắc O1B chuyển động. Nhờ thanh truyền CD một đầu nối với trung điểm C của AB, một đầu nối với tay quay O2D mà tay quay này được truyền chuyển động. Tại thời điểm khảo sát: OA thẳng đứng, O1B = 400cm thẳng đứng, góc OAB = 600, CD vuông góc với AB, O2D = 10cm, CD = 20cm. Tính vận tốc góc của các thanh : O1B ; O2D ; CD ?

Bài giải

* Ta có: VB= ω01B. O1B

VA= ω0A.OA

VA cos300 = VB cos300

ω01B = 1 1

4 .20 0,8100

B AV VO B O A

π π= = = s-1

* VD= ω02D. O2D ; VC = VB = VA

Vì B A BAV V V= +r r r

mà A BV V=r r

nên 0BAV =r

suy ra ωAB.AB = 0 mà AB ≠ 0 nên ωAB = 0. Suy ra AB chuyển động tịnh tiến tức thời.

Do đó C A BV V V= =r r r

Theo định lý chiếu vận tốc, xét hai điểm C và D thuộc thanh CD ta có:

VDcos300 = VCcos600

hay VD= 0

0

cos60cos30

VC= 80 33

π

Mặt khác: VD= ω02D.O2D . Suy ra

ω02D= 2

80 33

10DV

O D=

Vậy: ω02D = 80 33

π s-1

* Tính ωCD : Lấy D làm cực ta có: C D CDV V V= +r r r

97

Chiếu đẳng thức này lên phương CVr

ta có:

0cos30C CDV V=r r

. Hay VCD = 4 .203

2

π . Mặt khác ta lại có: VCD= ωCD.CD.

Vậy ωCD = 4 ..20.2 3833.20

π π= s-1

57. Thí dụ:

Vòng tròn bán kính r2 = 9cm lăn không trượt trong vòng tròn lớn cố định bán kính r1 = 18cm. Vòng tròn động gắn bản lề với thanh AB chuyển động trong rãnh K. Xác định vận tốc của thanh AB khi ϕ = 450 nếu tay quay O1O2 thực hiện chuyển động quay quanh O1 với n = 180v/p.

Bài giải

Vì thanh AB chuyển động tịnh tiến nên chỉ cần tính vận tốc của điểm B là đủ.

Vì ϕ = 450 nên 02B vuông góc với O1O2 và có thể áp dụng định lý chiếu vận tốc cho hai điểm O2 và B thuộc bánh xe động: VB.cos450 = V02 (*)

mà V02 = ω0102. O1O2

Suy ra V02 = 180 9 5430

π π= . Từ (*) rút ra:

VB =V02. 2 54 2π= = 239,87 cm/s

58. Hãy xác định vận tốc góc của thanh AB, tay quay O1B của cơ cấu bốn thanh OA, AB, BO1 và O1O ( thanh O1O cố định ). Tại thời điểm ϕ = 900, tay quay O1B thẳng

hàng với thanh OO1. Nếu OA = O1B = 12

AB , vận tốc góc của 0A là ω = 3 s-1.

Trả lời : ωAB = 3 s-1 ; ω01B = 5,2 s-1

ϕO

BO 1

ω

A

E

B

A

O

Dβ

β

α

EB

O2O1

A


Hình 57

O1

O2

ϕ

BV

2OV

A

K B

98

59. Trong cơ cấu như hình vẽ, tay quay OA quay với vận tốc góc ω0. Xác định vận tốc 2 điểm B, E và vận tốc góc của tay quay BD tại vị trí khi α = 300, β = 600, còn thanh BE thẳng đứng. Cho biết OA = AB = a ; BD = 3a .

Trả lời: VB = 3a ω0 ; VE = 32

aω0 ; ωBD = ω0

60. Vận tốc góc của thanh O1A trong cơ cấu 4 thanh gắn bản lề là ω1. Xác định vận tốc góc ω2 của thanh O2B theo ω1 và các khoảng cách O1D; O2E từ trục quay của O1A và O2B tới then truyền AB.

Trả lời: ω2 = 1

2

O DO A

ω1

ω BE

D A

O

ω D

E

BCA

O

ωΟ

O

AB

D

60O


61. Các con chạy B và E của cơ cấu then truyền tay quay được gắn bản lề bằng thanh BE. Tay quay chủ động OA quay với vận tốc góc ω = 12 s-1 và tay quay bị động OD cùng quay quanh trục cố định chung qua O và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Xác định vận tốc góc tức thời của tay quay OD và then truyền DE tại thời điểm khi tay quay OA vuông góc với phương các con chạy. Biết OA = 10cm; OD= 12cm; AB = 26cm; EB = 12cm và DE = 12 3 cm.

Trả lời: ω0D = 10 3 s-1 ; ωDE = 10 33

s-1.

62. Một cơ cấu tay quay được gắn bản lề từ trung điểm C của then truyền AB với thanh CD và sau đó thanh CD lại được gắn bản lề với thanh DE, thanh này có thể quay chung quanh điểm E. Xác định vận tốc của thanh DE ở thời điểm cơ cấu được chỉ dẫn như hình vẽ. Điểm B và E nằm trên đường thẳng đứng. Tay quay OA = 25cm, quay với vận tốc góc ω = 8 s-1; DE = 100cm, ∠ (CDE) = 900 ; góc ∠ (BED) = 300.

Trả lời: ωDE = 0,5 s-1.

63. Một cơ cấu được biểu diễn như hình vẽ. Góc giữa hai đường dẫn là 600. Tay quay OA = r quay với vận tốc góc ω0. Xác định vận tốc của các con chạy B và D tại thời điểm then truyền AB nằm ngang, BD thẳng đứng và tay quay OA song song với đường dẫn của con chạy B.

99

Trả lời: VB = 33

ω0r ; VD = 36

ω0r.

D

A

C O

ω Ο 1 Α B

A

O2

O1

6030O

O

A2A1

3

4

O

A

B

ω

C


64. Đoạn thẳng AB chuyển động trong mặt phẳng hình vẽ. Đầu mút A của nó luôn luôn tựa trên nửa đường tròn CAD và thanh luôn đi qua điểm C cố định của đường kính CD. Xác định vận tốc của điểm trên thanh trùng với điểm C của đường kính CD ở thời điểm OA vuông góc với CD. Biết tại thời điểm đó điểm A có vận tốc VA = 4 m/s.

Trả lời: VC = 2,83 m/s.

65. Tay quay OA = 20cm, quay trong một phút được n = 120 vòng, truyền chuyển động cho then truyền AB và tay quay O2B bằng 60cm. Xác định vận tốc góc của tay quay O2B tại thời điểm tay quay O1A có vị trí thẳng đứng và góc ∠ (O1AB) = 600 ; ∠ (ABO2 )= 300.

Trả lời: ω02B = 4 33

π s-1.

O A x

B . C

0.35m

AB

C

r O

B

A

ϕ


66. Tìm vận tốc của con chạy B trong cơ cấu then truyền tay quay lệch tâm khi tay quay ở 2 vị trí thẳng đứng và 2 vị trí nằm ngang. Tay quay OA = 40cm quay quanh O với vận tốc góc ω = 1,5 s-1 ; AB = 200cm ; OC =20cm.

Trả lời: 1 3 6,03B BV V= = cm/s ; 2 4 60B BV V= = cm/s.

67. Thước vẽ elíp AB = l, đầu A chuyển động dọc theo trục Ox, đầu B chuyển động dọc theo trục Oy, đầu A của thước thực hiện một dao động điều hoà với phương trình chuyển động là x = asinωt với a< l. Xác định giá trị vận tốc của điểm C, biết CA = m ;CB = n ; ω = const.

Trả lời: VC = 2 2

2 2 2

cos ( )sin

a t m l l n ml l a t

ω ωω

+ −−

100

68. Hệ thống truyền chuyển độngcủa một chiếc xe đạp bao gồm một xích bao quanh đĩa A, có 26 răng và líp B có 9 răng. Líp B gắn chặt vào vành sau có đường kính bằng 70cm ; Xác định vận tốc của xe khi đĩa A quay hết một vòng mất 4 giây, còn bánh sau C lăn không trượt trên đường thẳng ngang.

Trả lời: V = 28,86 km/h.

69. Một đĩa lăn không trượt theo một đường thẳng với vận tốc V0 = const. Thanh AB được gắn vào vành đĩa nhờ bản lề B. Tìm vận tốc nút A của thanh theo góc quay của đĩa. Biết AB = l, bán kính đĩa là r.

Trả lời: VA = 2V02

2 2 4

sin1 sin2

4 sin2

r

l r

ϕ ϕϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

70. Trong máy nổ dùng để chọn quặng, tay quay O1A quay đều xung quanh trục O1 với n = 60 v/p. Nhờ AB truyền chuyển động cho tay quay O2B quay xung quanh trục O2. Biết O1A = O2B = AB = 10cm ; O1O2 = 4cm. Hãy xác định vận tốc của điểm B ở 3 vị trí của máy khi:

a) Điểm A nằm về bên trái trên đường kéo dài O1O2.

b) AB song song với O1O2.

c) Điểm B nằm về bên phải, trên đường kéo dài O1O2.

Trả lời: 1 44,9BV = cm/s ; 2 62,8BV = cm/s ; 3 88BV = cm/s.

A

O1 O2

V0OM2 M4

M3

1

V 0

M 1

M4M 2 O

3

u B


71. Bánh xe có bán kính R = 0,5m lăn không trượt trên một đoạn đường thẳng. Vận tốc của tâm bánh xe không đổi và bằng V0 = 10m/s. Tìm vận tốc của một điểm nằm trên đầu mút của 2 đường kính ( một đường kính nằm ngang, một đường kính thẳng đứng ) của bánh xe là M1, M2, M3, M4 và xác định vận tốc góc của bánh xe.

Trả lời: M1 là tâm vận tốc tức thời , VM1 = 0.

VM2 = VM4 = 14,4m/s; VM3= 20 m/s; ω = 30s-1.

72. Một con lăn bán kính R lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Trên phần trục ở giữa người ta cuộn sợi dây có đầu mút B của nó chuyển động với vận tốc ur theo phương nằm ngang. Xác định vận tốc V0 của tâm con lăn và vận

101

Hình 73

tốc các điểm M1, M2, M3, M4 của vành con lăn ( M1M3 ⊥M2M4). Biết R = 0,5m ; r = 0,3m ; u = 4m/s.

Trả lời: V0 = 10m/s ; VM1 = 0 ; VM2 = 14,02m/s ;

VM3 = 20m/s ; VM4 = 14,02m/s.

73. Tay quay OA dài 30cm quay xung quanh trục O cố định với vận tốc góc ω0 = 0,5 s-1. Bánh xe răng khía II có bán kính r2 = 20cm lăn không trượt trên bánh xe cố định I có bán kính r1 = 10cm và truyền chuyển động tới then truyền BC dài 20 26 cm nhờ bản lề B. Xác định vận tốc góc của then truyền BC, vận tốc điểm B, vận tốc con chạy C ở thời điểm khi OA vuông góc AB. Biết O, A, C thẳng hàng.

Trả lời:ωBC = 0,15 s-1 ; VB = 21,2 cm/s ; VC =18 cm/s.

74. Bánh xe K bán kính 10cm và tay quay OA dài 20cm không gắn với nhau nhưng cùng quay chung quanh trục O. Thanh truyền AB gắn chặt với bánh răng L có bán kính 10cm, AB = 100cm. Bánh xe răng khía K quay đều trong 1 phút được n = 60 vòng và khớp với bánh xe L để truyền cho AB chuyển động. Cả cơ cấu đều cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định vận tốc góc của OA tại 4 vị trí I, II, III, IV.

Trả lời: ωI = 1011

π s-1 ; ωII = π s-1 ; ωIII = 109

s-1 ; ωIV = π s-1.

K

A

BO

II

IV

III I

A

A4

A3

A2

O A1

B

A O 1

B II

O

α

β

I Hình 74 Hình 75 Hình 76

75. Trong cơ cấu hành tinh Yatta tay quay OA quay xung quanh trục O với vận tốc góc ω = 10 s-1. Trục O cũng là trục của bánh răng có bán kính R = 25cm. Thanh truyền AB = 150cm gắn chặt vào bánh xe răng nhỏ có bán kính r = 10cm lăn bên trong bánh xe răng nói trên. Tìm vận tốc góc của tay quay OA ở 4 vị trí khi điểm A trùng với các điểm A1, A2, A3, A4.

Trả lời: ω1 = 17,81 s-1 ; ω2 = 16,67 s-1 ; ω3 = 15,62 s-1 ; ω4 = ω2.

76. Cơ cấu Yatta gồm tay quay OA = 75cm quay quanh O1 với vận tốc góc ω0 = 6 s-1. Nhờ then truyền AB truyền chuyển động cho tay quay OB quay xung quanh trục O. Cũng trên trục này có gắn bánh xe I khớp răng với bánh xe II. Then truyền AB gắn chặt với bánh xe II. Xác định vận tốc góc của tay quay OB và của bánh xe I tại thời điểm α = 600 , β = 900 ; AB = 150cm ; r1 = r2 = 30 3 cm.

I

A

C

BII

O

102

Trả lời: ω0B = 3,75 s-1 ; ωI = 6 s-1.

Hình 77 Hình 78

77. Cũng như cơ cấu trong bài 76, nhưng bánh xe II khớp trong bánh xe I, bánh xe I có bán kính r1 = 25cm, bánh xe 2 có bán kính r2 = 10cm ; O1A=30 2 cm ; AB = 150cm. Tay quay OB quay với vận tốc góc ω = 8 s-1 quanh trục O. Xác định vận tốc góc của O1A và bánh xe I khi α = 450 ; β=900.

Trả lời: ω01A = 4 s-1 ; ωI = 5,12 s-1.

78. Một máy bơm nước có xi lanh đu đưa và có tay quay OA = 12cm. Khoảng cách giữa trục quay của tay quay và trục đu đưa của xi lanh OO1 = 60cm , AB = 60cm. Xác định vận tốc của pit tông ứng với 4 vị trí của tay quay như chỉ dẫn như hình vẽ. Biết vận tốc góc của tay quay OA không đổi và bằng ω0A = 5s-1

Trả lời: V1 = 15cm/s ;

V2 = V4 = 58,88 cm/s ;

V3 = 10cm/s.

79. Một hệ thống gồm 4 ròng rọc, người ta treo vào đó các tải trọng P1 và P2. Hãy xác định:

a) Vận tốc của điểm thấp nhất của 2 ròng rọc I và II.

b) Vận tốc góc của hai ròng rọc I và II.

c) Vận tốc V2 của tải trọng P2, biết rằng tải trọng P1 được hạ xuống với vận tốc V1 = 12cm/s ; r1 = 6cm ; r2 = 9cm.

Trả lời: a) VI = 4,24 cm/s ; VII = 9,49 cm/s

b) ωI = 0,5 s-1 ; ωII = 2 s-1

c) V2 = 3 cm/s

B I

IV

III

II

O O 1

A

I

II

B

A O 1

O

α

β

P 1

P 2

I

II

Hình 79

103

III. Loại 3: Xác định gia tốc của điểm trên hình phẳng

80. Thí dụ

Một hình vuông ABCD có cạnh a = 10cm thực hiện chuyển động song phẳng trên mặt phẳng hình vẽ. Tìm vị trí tâm gia tốc tức thời và gia tốc các đỉnh C và D tại thời điểm đã cho. Biết WA = WB = 10cm/s2 và hai gia tốc có phương và chiều như trên hình vẽ.

Bài giải

* Tìm tâm gia tốc tức thời:

Lấy A làm cực ta có: h qB A BA BAW W W W= + +r r r r

(1)

Giả thiết qBAWr

từ C đến B. Chiếu (1) lên hai trục toạ độ ta có:

hB BAW W− = − (2)

0 qA BAW W= − (3)

Từ đó suy ra 2.hBA BW W ABω= = và .q

BA AW AB Wε= = . Do đó 2 1ω = và 1ε = . Điều đó

chứng tỏ rằng chiều đúng của qBAWr

là chiều hướng lên. Để xác định tâm gia tốc tức thời ta áp dụng:

2 1tgε

αω

= = do đó α = 450

2 4

10 5 21 1

AW

WACε ω

= = =++

cm

Từ kết quả α = 450 ; 5 2WAC = và chiều qBAWr

có chiều hướng lên ta xác định được CW là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD.

* Tính DWr

và CWr

:

2 4 10C WW CC ε ω= + = cm/s2

Chiều của CWr

được biểu thị trên hình vẽ: từ C đến B.Tương tự DWr

có chiều từ D đến

C và có trị số là: 2 4 10D WW DC ε ω= + = cm/s2

81. Thí dụ

WBWBA

WBA

WA

WD

WC

CWε

αh

q

A

D C

α

αα

y

xB

Hình 80

l r

A

ωο

C W

V B

VA

B

WA

B O

α

104

Hình 81

Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ω0. Hãy tìm gia tốc của con chạy B và gia tốc góc của then truyền AB ở thời điểm khi ∠ (BOA)=900. Biết OA=r, AB =l .

Bài giải

* Tính BWr

: Vì con chạy B luôn luôn chuyển động dọc theo rãnh ngang nên gia tốc của nó cũng có phương nằm ngang. Ta cần xác định chiều và trị số của nó.

Vì OA quay đều quanh O nên AWr

hướng tâm và: 20 .n

A AW W rω= = .

Áp dụng định lí chiếu vận tốc cho hai điểm A và B của thanh AB tacó:

VAcosϕ = VBcosϕ ⇒VA = VB suy ra 0ABV =r

Mà VAB= ωAB.AB = 0 Vậy ωAB = 0.

Do đó 2tg εαω

= = ∞ suy ra 2πα =

Ta xác định được CW và chiều cuả BWr

như trên hình vẽ.

Ta có A B

W W

W WAC BC

= rút ra 2

20 2 2

WB A

W

BC rW WAC l r

ω= =−

* Tính εAB: Xét điểm A thuộc thanh AB, ta có:

20. .

W

qA AC AB WW W AC rε ω= = =

Do đó 2 20 0

2 2ABW

rAC l rω ωε = =

−

Chiều gia tốc góc là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

82. Thí dụ

Bánh xe răng khía bán kính R = 12cm được truyền chuyển động nhờ tay quay OA quay quanh trục O của bánh xe cố định có cùng bán kính với bánh xe răng khía nói trên. Ở thời điểm khảo sát, tay quay có vận tốc góc ω0 = 2s-1 và gia tốc góc ε0 = 8s-2. Xác định:

a) Gia tốc của điểm M nằm trên bánh xe động ở thời điểm khảo sát trùng

với tâm quay tức thời.

b) Gia tốc điểm N ( xem hình vẽ ).

Bài giải

N

M WMA

WA

AWA

WNM

xε2

ω2

WMA

εο

O ωO

y

τ

WNM

q

h

q

h

n

105

� Tính MWr

:

M là tâm vận tốc tức thời của bánh xe răng động.

Lấy A làm cực ta có: q hM A MA MAW W W W= + +r r r r

(1)

Xét điểm A thuộc tay quay OA ta có: nA A AW W Wτ= +r r

0.2AW Rτ ε= ;

20

nAW Rω= 2

0AV Rω=

Vì M là tâm vận tốc tức thời bánh xe động nên 2.AV Rω=

Vậy 02 0

.2 2RR

ωω ω= = = 4 s-1

22 0

10 0

1 1 (2 )

2 ( ) 2 16

AA

d d V d dV Rdt dt R R dt R dt

d sdt

ωε ω

ω ε −

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

Vậy (1) có thể viết lại như sau:

n h qM A A MA MAW W W W Wτ= + + +r r r r r

(2)

Vẽ tất cả các véc tơ vế phải lên hình vẽ và chiếu (2) lên hai trục x, y ta có:

2 20 2.2 .n h

Mx A MAW W W R Rω ω= − + = − + (3)

0 2.2 .qMy A MAW W W R Rτ ε ε= − + = − + (4)

Thay giá trị bắng số vào (3) và (4) ta có: WMX = 96cm/s2 ; WMY = 0 cm/s2

Vậy: 296 96MW = = cm/s2 ; MWr

có chiều từ M đến A.

* Tính NWr

: lấy M làm cực ta có: q hN M NM NMW W W W= + +r r r r

(5)

Vẽ các véc tơ gia tốc ở vế phải của (5) lên hình vẽ rồi chiếu lên các trục toạ độ ta có: 2

296 .2 288hNx NMW W Rω− = − = − cm/s2

2.2q

Ny NMW W Rε= − = − = -384 cm/s2

Vậy WN = 2 2( 288) ( 384)− + − = 480 cm/s2

Dựa vào WNX, WNY ta biết được chiều của NWr

Hình 82

106

B

AWB

WA

α β

A

BO

WA

C

WB

x

W A

BC

A

W B


83. Tìm gia tốc trung điểm C của thanh AB nếu biết WA = 10cm/s2, WB = 20cm/s2 và góc mà các phương gia tốc lập với đoạn thẳng AB những góc α = 100 ; β = 700.

Trả lời: WC = 8,66 cm/s2.

84. Tam giác đều ABC có cạnh bằng 40cm,chuyển động trên mặt phẳng Oxy sao cho các đỉnh A và B di chuyển theo các trục Ox và Oy. Tìm gia tốc đỉnh C tại thời điểm khi cạnh AC song song với trục Ox. Biết WA = 20 3 cm/s2, WB = 10cm/s2 và chiều của W

rA , W

rB như hình vẽ.

Trả lời: WC = 26,46 cm/s2.

85. Tam giác đều ABC chuyển động trong mặt phẳng hình vẽ. Gia tốc hai đỉnh A và B tại thời điểm đã cho là WA = WB = 16cm/s2 và có phương chiều theo các cạnh của tam giác. Xác định gia tốc đỉnh C.

Trả lời: WC = 16 cm/s2 và Wr

C có chiều từ C tới B.

x

A

BO

WA

C

B D

WB

B

C

WA

A

D

A B

C

30

30

o

o

W A

W B


86. Tam giác đều ABC có cạnh dài 40cm chuyển động trong mặt phẳng Oxy. Tại thời điểm khảo sát, biết WA = 20 3 cm/s2, WB = 10cm/s2 và W

rA và W

rB đều có

chiều từ trên xuống dưới. Tìm gia tốc đỉnh C lúc cạnh AC song song với trục Ox và tìm tâm gia tốc tức thời của hình phẳng.

Trả lời: WC = 30,86cm/s2 ;

AC = 56,02cm ;

α = 300.

87. Hình vuông ABCD có cạnh là a = 2cm thực hiện chuyển động song phẳng. Tại thời điểm khảo sát biết WA= 2 cm/s2 ; WB = 4 2 cm/s2 có phương như hình vẽ. Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của hình phẳng và gia tốc của đỉnh C.

Trả lời: ω= 2 s-1; ε=1s-2 ;

WC = 6cm/s2 và Wr

C có chiều từ C tới D.

107

45

45

BO1

A

OO

O

O

C

BA


88. Hình chữ nhật ABCD thực hiện chuyển động song phẳng, tại thời điểm khảo sát biết WA = 2cm/s2; WB = 6cm/s2 có chiều như hình vẽ. Cho AB = 10cm; BC=5cm. Xác định vận tốc góc và gia tốc góc tức thời và gia tốc điểm C.

Trả lời: ω = 0,69s-1 ;

ε = 0,619s-2 ;

WC = 6,7 cm/s2.

89. Cơ cấu bản lề 4 thanh O1ABO2, tay quay O1A = 10 3 cm quay với vận tốc góc

không đổi ω1 = 32

s-1 truyền chuyển động cho tay quay O2B nhờ then truyền AB. Xác định

vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của điểm B nếu AB = 20cm, ∠ (A0102 )= ∠ (01AB )= 900 ; ABO2 = 600.

Trả lời: VB = 10 3 cm/s ;

BW τ = - 4,3cm/s2;

4,3nBW = − cm/s2.

90. Trong cơ cấu như hìnhvẽ, tay quay OA quay với vận tốc góc không đổi ω0. Xác định tỷ số gia tốc của hai điểm A và B tại thời điểm khi ∠ (AOO1)=900; ∠ ( BO1O) = BAO = 450 ; OA = O1B.

Trả lời: 22

B

A

WW

=

91. Trong cơ cấu 4 thanh, hai thanh OA và OB quay chung quanh trục O với vận tốc góc không đổi ω0. Xác định vận tốc góc và gia tốc góc của hai thanh CA và CB và gia tốc điểm C tại thời điểm OA và OB nằm ngang. Cho OA = OB = OC = r.

Trả lời: a) Khi OA và OB quay ngược chiều:

ωCA = ωCB = 0; εCA=εCB = 0; WC = rω02

b) Khi OA và OB quay cùng chiều:

ωAC = ωBC = ω0 ; εAC=εBC = 0; WC = rω02

O1 O2

BA

ω

108

Hình 95

92. Một cơ cấu gồm 4 thanh, hai thanh quay AB và CD cùng dài 40cm nối bản lề với thanh BC dài 20cm. Thanh AD cố định dài 20cm. Tay quay AB quay với vận tốc góc không đổi ω0 . Xác định vận tốc góc và gia tốc góc của thanh BC khi ADC= 900.

Trả lời: ωBC = 83

ω0 ; εBC = - 209

ω02.

Dấu (-) suy ra thanh BC quay chậm dần.

93. Một thước vẽ êlíp có AB = 2l = 20cm được truyền chuyển động nhờ tay quay OC quay quanh O với vận tốc góc không đổi ω0 = 2 s-1. Biết BC = AC = l. Xác định gia tốc hai điểm A và B và gia tốc của tâm vận tốc tức thời tại thời điểm khi ABO = 300.

Trả lời: WA = 40cm/s2 ;

WB = 69,3 cm/s2 ;

WCV = 80cm/s2.

94. Tay quay OA = 20cm quay đều với vận tốc góc ω0 = 10s-1 và truyền chuyển động tới then truyền AB = 100cm. Con chạy B chuyển động theo rãnh thẳng đứng. Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của then truyền AB và gia tốc con chạy B ở thời điểm khi tay quay và then truyền vuông góc với nhau và hợp với trục nằm ngang một góc α = β = 450.

Trả lời: ω = 2s-1 ; ε = 16s-2 ;

WB = 565,6cm/s2.

95. Thanh gẫy khúc BAC vuông tại A chuyển động sao cho các phần của thanh AB và AC đi qua hai điểm cố định M và N nằm trên đường tròn bán kính r. Điểm A chuyển động với vận tốc không đổi V trên đường tròn nhờ sự quay của tay quay OA. Xác định gia tốc các điểm thuộc các phần AB và AC ở thời điểm khi nó trùng với các bản lề M và N. Tìm tâm gia tốc tức thời của thanh gãy khúc.

Trả lời: WM = 2

10 6cos4V

rϕ−

WN = 2

10 6cos2V

rϕ+

xOA

B

α βx

C

O

A

B

B

D A ω Ο


CNM

BO

109

O

C

OM

C

DC

O

B

M

V W

C

O

B

A ω

45o

Hình 96

Tâm gia tốc tức thời CW nằm trên đường thẳng qua O và qua A, cách A một đoạn bằng 4r.

96. Thanh OA = r = 0,5m quay đều quanh O với vận tốc góc ω0 = 4s-1 truyền chuyển động cho then truyền AB = 2r làm cho tay quay BC = r 2 chuyển động. Xác định gia tốc điểm B và vận tốc góc, gia tốc góc tay quay BC tại thời điểm khi ∠ (OAB) = 900; ∠ (ABC ) = 450.

Trả lời: WB = 12,65cm/s2;

ωBC = 4s-1; εBC=- 8s-2

qBAWr

và BAVr

ngược chiều nhau.

97. Tâm của một bánh xe lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng chuyển động theo

phương trình: S = 12

at2 + b ( a, b là các hằng số ) . Xác định gia tốc điểm tiếp xúc của

bánh xe với mặt phẳng nghiêng nếu bán kính bánh xe bằng R.

Trả lời: WC = 2 2a tR


98. Một bánh xe bán kính R = 0,5m lăn không trượt theo đường ray thẳng. Ở thời điểm khảo sát tâm O có vận tốc V0 = 0,5 m/s và gia tốc giảm dần W0 = 0,5 m/s2. Xác định:

a) Tâm gia tốc tức thời CW.

b) Gia tốc của tâm vận tốc tức thời C.

c) Gia tốc của điểm M với OM = MC ( M nằm trên OC).

d) Bán kính cong quĩ đạo của M.

Trả lời: a) OCW = 0,3536m ; α = 450;

b) WC = 0,5m/s2 ; Wr

C có chiều từ C đến O.

c) WM = 0,3536m/s2.

d)ρ = 0,25m.

110

Hình100

Hình101

99. Một con lăn bán kính R có thể lăn không trượt trên mặt phẳng ngang nhờ sợi dây buộc vào tải trọng M. Tại thời điểm khảo sát, sợi dây có vận tốc V và gia tốc W. Tìm gia tốc của hai điểm mút đường kính thẳng đứng tại thời điểm đó và gia tốc điểm D trên con lăn trùng với dây.

Trả lời: WC = ( )

2

2

RVR r−

;

WB = 2 2 42 4 ( )

( )R W R r V

R r− +

−

WD = 2 4

24( )

r VWR r

+−

.

100. Xác định vận tốc, gia tốc ( pháp tuyến và tiếp tuyến của điểm B của cơ cấu được chỉ dẫn trên hình vẽ ở thời điểm khi tay quay OA và O1B có phương thẳng đứng. Tay quay OA quay với gia tốc góc không đổi ε0 = 5s-2 và vận tốc góc ω0

= 10s-1. Biết OA = 20cm; O1B = 100cm; AB = 120cm.

Trả lời: VB = 200cm/s ;

nBW = 400cm;

BW τ = 370,45 cm/s2

101. Xác định gia tốc điểm B và gia tốc góc của then truyền

AB ở thời điểm khi ∠ (BOA) = 2π . Con chạy B vẽ nên

vòng tròn bán kính R = 30cm ở thời điểm đang xét nằm trên

đường nằm ngang OB. Tay quay OA = 20cm quay với vận tốc góc ω0 = π s-1 và gia tốc góc ε0 = 0,2π s-2. Biết AB = 40cm.

Trả lời: WB = 132,1 cm/s2;

εAB = 0,192π2 s

102. Bánh xe II bán kính r2 = 0,2m lăn không trượt trên bánh xe cố định r1 = 0,3m được truyền chuyển động nhờ tay quay OA tại thời điểm khảo sát tay quay có vận tốc góc ω = 1s-1 và gia tốc góc ε = - 4s-2. Xác định gia tốc điểm D trên vành bánh động với bán kính AD vuông góc với OA.

Trả lời: WD = 3,58 m/s2.

ε0

O1

C

OBω0

A

R

A

BO

ω0

ε0

111

D

I

II

ωO

A

O1

9030 R

O

A

B

OO

ω0

WO=g

60B

O

A

O


103. Trong cơ cấu then truyền tay quay với đường dẫn cong. Tay quay OA quay với vận tốc góc ω0 và gia tốc góc ε0. Xác định gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của con chạy B tại thời điểm khi OAB = 900, O1BA = 300 trong đó O1 là tâm cong của đường dẫn. Biết OA = a ; AB = 2a 3 ; O1B = 2a.

Trả lời: 20 0( 3 2 )BW aτ ω ε= − ;

202n

BW aω= .

104. Một thanh đồng chất AB dài 39,24cm được ném ngang ra phía ngoài và chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Trọng tâm O của thanh vạch nên một parabol có gia tốc không đổi W0 = g = 9,81m/s2 hướng xuống dưới theo phương thẳng đứng. Thanh quay trong mặt phẳng thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω0 = 10 s-1. Xác định gia tốc của hai đầu mút A và B khi thanh lập với phương thẳng đứng một góc 600 và xác định tâm gia tốc tức thời của thanh cũng tại thời điểm đó.

Trả lời: WA = 17m/s2 ;

WB = 25,96m/s2;

OCW = 0,0981m.

112

CHƯƠNG IV: CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM

I. Thành lập phương trình chuyển động tuyệt đối hoặc tương đối của chất điểm

105. Thí dụ

Một máy trục quay quanh trục thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ và đi qua tâm O với vận tốc góc ω=const. Cánh tay máy trục trùng với chiều trục Ox1. Một xe nhỏ tải vật chuyển động theo cánh tay máy trục thoả mãn phương trình: x1 = acosωt; y1 = 0. Xác định phương trình chuyển động tuyệt đối của xe nhỏ và quĩ đạo của nó.

Bài giải

* Phân tích chuyển động: chọn Oxy làm hệ trục cố định, ta có:

⎯ Chuyển động của xe nhỏ M dọc theo trục Ox1 so với hệ trục Ox1y1 là chuyển động tương đối. Hình 105

⎯ Chuyển động của máy trục ( bao gồm cả cánh tay máy trục) đối với hệ Oxy là chuyển động theo.

⎯ Chuyển động của xe nhỏ M đối với hệ trục Oxy là chuyển động tuyệt đối. Thành lập phương trình chuyển động tuyệt đối. Trên cơ sở đã phân tích chuyển động ở trên ta có:

x= x1cosϕ - y1sinϕ

y= x1sinϕ + y1cosϕ

Thay x1 = acosωt; y1 = 0 và ϕ = ωt vào ta nhận được phương trình chuyển động tuyệt đối của xe nhỏ như sau:

x = acos2ωt (1)

y= acosωt sinωt = 2a sin2ωt (2)

* Tìm quĩ đạo của xe nhỏ M:

Từ (1) suy ra: cos2ωt = xa

. Thay vào (2) ta có:

y = a.cosωt.sinωt= acosωt 21 cos 1x xt aa a

ω ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2 ( )ax xa x a xa−

= = −

Vậy phương trình quĩ đạo tuyệt đối của M là:

ϕ

x1

y1

O

y

y

xx

113

y = ( )x a x− hay x2 + y2 = ax

106. Thí dụ

Bộ phận tăng tốc độ của máy bào được xây dựng từ 2 trục song song O và O1 với tay quay OA và culít O1B. Tìm phương trình chuyển động tương đối của con chạy trong rãnh culít, biết rằng OA = r quay với vận tốc góc ω = const và OO1 = a.

Bài giải

Phân tích chuyển động: chọn trục O1x1 gắn vào culít O1B, trục OO1 coi như cố định.

⎯ Chuyển động của con chạy A dọc theo rãnh O1B ( dọc theo O1x1) là chuyển động tương đối.

⎯ Chuyển động của culít O1B quay quanh trục cố định qua O1 thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ là chuyển động theo.

⎯ Chuyển động của con chạy A đối với trục cố định O và O1 là chuyển động tuyệt đối.

Tìm phương trình chuyển động tương đối của con chạy A:

Để tìm phương trình chuyển động tương đối của con chạy A so với culít OB ta phải xác định O1A= x1 và góc ϕ1 lập giữa O1B và OO1 là hàm của thời gian t. Muốn vậy ta xét tam giác OAO1 với các cạnh: r, a, x1

Theo hệ thức lượng trong tam giác thường ta có:

O1A2 = O1O2 + OA2 – 2OO1.OA.cosO1OA

hay x12 = a2 + r2 +2arcosϕ

Xét tam giác vuông 01AH ta lại có: 1

sin0 cosAH rtg

H a rϕϕ

ϕ= =

+

Thay ϕ = ωt vào hai đẳng thức trên, ta có phương trình chuyển động tương đối của con chạy A so cới culít O1B:

2 2 21 2 cosx a r ar tω= + +

1

sincos

r ttga r t

ωϕω

=+

107. Thanh OA = l quay quanh trục O trong mặt phẳng hình vẽ theo luật ϕ = bt. Một chất điểm M chuyển động dọc theo thanh với luật OM = at. Tìm phương trình quĩ đạo chuyển động tuyệt đối của M.

Trả lời: x2 + y2 = 2

2

ab

arctg2yx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ .

X1

ϕ

ϕ1

ω0

O1

B

H

O

A

r

Hình 106

114

O x

y1 x1

ϕ

MA

MO x

y1x1

ϕ

aO1

Mrrϕ

y

OB

A

x1

y1


108. Lưỡi dao chuyển động tịnh tiến thẳng qua lại, đầu mút M của nó chuyển động trên trục cố định Ox theo luật x = OM = asinωt. Lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo tương đối của M đối với một đĩa quay đều quanh trục O với vận tốc góc ω ?

Trả lời: x1 = 2a sin2ωt ; y1 = -asin2ωt ; 2

1x + (y1+ 2a )2 =

2

4a .

109. Tay quay OA = r quay đều trong mặt phẳng hình vẽ quanh điểm cố định O thoả mãn phương trình: ϕ = ωt. Thanh truyền AB = r. Con chạy B chuyển động dọc theo Ox. Người ta gắn một cái ống với con chạy và cùng chuyển động tịnh tiến với con chạy B, và xem nó như một vật rắn tuyệt đối. Một điểm chuyển động trong ống sao cho O1M = r sinωt, với O1B = a. Cho rằng chuyển động của điểm M đối với ống là tương đối. Xác định phương trình chuyển động tương đối và tuyệt đối của điểm M và quĩ đạo tuyệt đối của nó ?

Trả lời: - Phương trình chuển động tương đối của điểm M là:

x1 = 0 ; y1 = rsinωt.

- Phương trình chuyển động tuyệt đối của điểm M là:

x = a+2rcosωt ; y = rsinωt.

- Phương trình quĩ đạo tuyệt đối của điểm M là:

( )( )

2 2

2 2 1x a y

rar−

+ =

110. Đầu mút của con lắc kép vạch nên một đường Litxagvơ nhờ tổng hợp hai dao động điều hoà liên hợp vuông góc có dạng:

x = asin2ωt

y = asinωt

Tìm phương trình quĩ đạo ?

Trả lời: a2x2 = 4y2(a2-y2).

115

Hình 112

II. Tính vận tốc của chất điểm

111. Thí dụ

Chất điểm M chuyển động dọc theo thanh OA với vận tốc ur , đồng thời OA lại chuyển động quay trong mặt phẳng xOy xung quanh tâm O với vận tốc góc ω. Xác định vận tốc tuyệt đối của chất điểm M.

Bài giải Hình 111

Phân tích chuyển động: chọn hệ trục Oxy cố định và hệ trục Ox1y1 gắn chặt vào thanh OA.

⎯ Chuyển động của M dọc theo OA ( giả thiết từ O đến A ) là chuyển động tương đối, khi đó vận tốc ur có hướng như hình vẽ.

⎯ Chuyển động quay của OA quanh trục qua O và thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ là chuyển động theo. Vận tốc theo của điểm M là vận tốc của điểm M gắn chặt vào thanh OA tại thời điểm khảo sát nó trùng với điểm M, eV

r hướng thẳng góc với OA theo chiều quay của vận

tốc góc.

⎯ Chuyển động của M so với hệ trục Oxy là chuyển động tuyệt đối. Vận tốc aVr

bằng tổng hình học hai vận tốc nói trên.

Tính MaVr

:

Theo định lý hợp vận tốc : M M M Ma e r eV V V V u= + = +r r r r r

Ta có: . .MeV OM rω ω= =

MrV u=

Vì M Me rV V⊥r r

nên : ( ) ( )2 2 2 2 2.M M Ma e rV V V r uω= + = +

112. Thí dụ

Chèn A chuyển động tịnh tiến với vận tốc V = 3m/s, còn tải trọng B chuyển động dọc theo biên của chèn A. Cho OB = s thay đổi theo luật: s = t2. Tìm vận tốc tuyệt đối của tải trọng B và C được nối với nhau nhờ dây không dãn tại thời điểm t=2s ?

Bài giải

Phân tích chuyển động: Hệ trục cố định gắn chặt vào mặt đất, hệ trục động gắn chặt với chèn.

⎯ Chuyển động của B và C trên các biên của chèn là chuyển động tương đối, vận tốc tương đối là Vr = 2t.

u

Va

Ve

ω

x1

O x

M

My

1

M

A

VaVr

Ve

VaVrV=Ve

VeBC

B

B

B

CC

C

O60

116

⎯ Chuyển động của chèn tịnh tiến trên mặt đất là chuyển động theo. Vận tốc theo là Ve = 3m/s.

⎯ Chuyển động của B và C đối với mặt đất là chuyển động tuyệt đối, vận tốc tuyệt đối là B

aVr

, CaVr

.

Tính vận tốc BaVr

, CaVr

:

Theo định lý hợp vận tốc ta có: B B Ba e rV V V= +r r r

; C C Ca e rV V V= +r r r

Theo hình vẽ, tại t= 2s ta có: ( )2 2 2 02 . .cos60B B B B Ba e r e rV V V V V= + −r

= 13

Vậy : BaV ≈ 3,62 m/s

Tương tự, vì C Ce rV V⊥r r

nên : ( )2 2 2 2( ) 3 4C C Ca e rV V V= + = + = 5m/s

113. Để xác định vận tốc của máy bay và gió, người ta vạch một đoạn thẳng độ dài l xuôi theo chiều gió. Ban đầu máy bay bay theo đoạn thẳng xuôi theo chiều gió mất t1 giây và sau đó bay ngược lại mất t2 giây. Hãy xác định vận tốc riêng V1 của máy bay và vận tốc V2 của gió ?

Trả lời: V1 = 1 2

1 12l

t t⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

m/s

V2 = 1 2

1 12l

t t⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

m/s

114. Mưa rơi theo phương thẳng đứng, nhưng hành khách ngồi trong ô tô thấy hạt mưa rơi theo phương hợp với phương thẳng đứng góc 400. Biết ô tô chuyển động theo một đường nằm ngang với vận tốc 72 km/h. Tìm vận tốc của những hạt mưa rơi tự do ?

Trả lời: V = 23,8m/s.


115. Trong cơ cấu culít tay quay OC đu đưa quanh trục O thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ. Con chạy A di chuyển dọc theo tay quay OC và truyền chuyển động cho

K

A

Ol

ϕ x

y

R

M

α

V

B A ω

r r ω

α

117

thanh AB làm cho thanh này chuyển động dọc theo rãnh thẳng đứng K. Cho OK = l, tìm vận tốc con chạy A đối với tay quay OC là hàm số của vận tốc góc ω và góc quay ϕ của tay quay ?

Trả lời: 4

cosr

ltgV ω ϕϕ

= .

116. Những quả cầu của máy tiết chế ly tâm quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω = 10s-1. Nhờ thay đổi tải trọng của máy, những quả cầu đi ra khỏi trục quay, khi đó thanh của quả cầu ở vị trí đã cho có vận tốc góc ω = 1,2s-1. Tìm vận tốc tuyệt đối của quả cầu ở thời điểm đang xét. Biết l = 50cm, khoảng cách giữa 2 trục theo là 2r=10cm và α =300.

Trả lời: 306AaV = cm/s.

117. Trong tuốc bin thủy lực, nước từ bộ phận dẫn chảy vào bánh xe quay có các cánh bố trí sao cho vận tốc tương đối rV

uurtiếp tuyến với chúng để tránh va chạm. Hãy tìm vận tốc tương

đối của hạt nước trên vành ngoài của bánh xe ( tại thời điểm vào) nếu vận tốc tuyệt đối của nó khi vào V = 15m/s, góc giữa vận tốc tuyệt đối và bán kính là α = 600, bán kính bánh xe R = 2 m, tương ứng với vận tốc góc của bánh xe n = 30v/p.

Trả lời: Vr = 10,06m/s ; ( rVr

, R) = 41050’.

E A r

C

B O V 1 V 2

K

y

M

BC

hα

Obωt

ωa

B

C


118. Một bán trụ rỗng bán kính r = 10cm, chuyển động tịnh tiến trên mặt phẳng ngang cố định với vận tốc V1 = 30cm/s. Thanh CD tựa trên mặt bán trụ chuyển động theo rãnh K thẳng đứng. Tìm vận tốc điểm C của thanh đối với bán trụ và tìm khoảng cách CE từ C đến đường kính AB khi vận tốc của thanh bằng V2 = 40cm/s.

Trả lời: Vr = 50cm/s ; CE = 6cm.

119. Điểm M chuyển động trên mặt phẳng nghiêng AB với vận tốc tương đối Vr= 2gy (g là hằng số). Tại thời điểm ban đầu, M ở vị trí A. Mặt phẳng nghiêng di chuyển theo nền ngang về phía bên phải với vận tốc eV bằng hằng số. Xác định quĩ đạo tuyệt đối của M và vận tốc tuyệt đối của nó tại thời điểm khi M chuyển động tới nền. Cho AC = h và mặt nghiêng có góc nghiêng α.

Trả lời: 2 2 2 2 2 cosa e eV V gh V gh α= + +

118

(xsinα- ycosα)2 = 22 eV y

g

120. Cho cơ cấu chuyển động trong mặt phẳng hình vẽ, tay quay OC dài b quay quanh trục cố định qua O theo luật ϕ = ωt (ω = const), truyền chuyển động cho thanh BD quay quanh trục cố định qua B nhờ con chạy C dọc theo BD. Xác định vận tốc tuyệt

đối, kéo theo và tương đối của con chạy C tại thời điểm t = 2πω

, biết OB = a.

Trả lời: Va = ω.b;

Ve = 2

2 2

ba b

ω+

;

Vr = 2 2

aba b

ω+

.

III. Tính gia tốc của chất điểm

121. Thí dụ

Một đĩa tròn bán kính R quay quanh trục z vuông góc với mặt phẳng đĩa qua tâm O của nó với qui luật ϕ = π.t . Dọc theo vành đĩa một con chạy xuất phát từ điểm A chuyển động theo luật S = π.t. Giả sử các chuyển động ngược chiều kim đồng hồ. Xác định gia tốc tuyệt đối của con chạy tại thời điểm t ?

Bài giải

Phân tích chuyển động: Hình 121

⎯ Chuyển động của con chạy theo vành đĩa là chuyển động tương đối với phương trình S = π.t thì rV S π= =&

⎯ Chuyển động quay của đĩa tròn quanh trục z là chuyển động kéo theo với luật ϕ= π.t thì eω ϕ π= =& ; 0eε = .

⎯ Chuyển động của con chạy so với hệ trục cố định Oxyz là chuyển động tuyệt đối.

Xác định gia tốc tuyệt đối aWr

của con chạy tại thời điểm t bất kỳ.

Giả sử con chạy ở vị trí M (hình vẽ), theo định lý hợp gia tốc ta có:

a e r cW W W W= + +r r r r

(1)

Để tính aWr

ta lần lượt tính các thành phần ở vế phải của hệ thức (1).

Z

Wc

M

AWr

Weωe

Vr

n

e

O

119

⎯ Tính gia tốc kéo theo eWr

:

Vì chuyển động theo là đĩa quay quanh trục cố định z nên gia tốc có hai thành phần: n

e e eW W Wτ= +r r r

(2)

eW τ = eε .0M = 0

2ne eW ω=r

. 0M = π2R ; neWr

có hướng từ M đến O.

⎯ Tính gia tốc tương đối rWr

Vì con chạy chuyển động theo vành đĩa tròn, nên gia tốc tương đối có hai thành phần: n

r r rW W Wτ= +r r r

(3)

rr

dVWdt

τ = = 0 (Vì rV constπ= = )

2 2

n rr

VWR R

π=

r; n

rWr

có hướng từ M đến 0.

⎯ Tính gia tốc Côriolít cWr

: Ta có 2c e rW Vω= ∧r rr (4)

Vì đĩa tròn quay ngược chiều kim đồng hồ và con chạy chuyển động ngược chiều kim đồng hồ ( hình vẽ) nên cW

r có hướng từ M đến O.

0 22 . sin 90 2c e rW Vω π= =r

Thay kết quả ở (2), (3), (4) vào (1) ta suy ra gia tốc tuyệt đối của con chạy aWr

hướng từ M đến O có độ lớn là:

2 2

2 2 22 ( 1)aW R RR R

π ππ π= + + = +

122. Một chèn tam giác chuyển động theo phương ngang, cạnh huyền hợp với phương ngang một góc α. Xác định gia tốc tuyệt đối của thanh tựa trên chèn và trượt tự do theo rãnh thẳng đứng. Nếu chèn chuyển động với gia tốc W0 = const.

Trả lời: W = W0 tgα

Wo

α

A

K

O

CBα

A

B30oO


120

123. Một cơ cấu truyền chuyển động, tay quay culít của máy búa có culít BC chuyển động theo rãnh K, con chạy A gắn vào đầu tay quay OA = 40cm, quay n = 120v/p. Khi t = 0, culít ở vị trí thấp nhất. Xác định gia tốc của culít.

Trả lời: W = 6320 cos4πt.

124. Trên chiếc xe chuyển động về phía phải theo đường nằm ngang với gia tốc W = 49,2 cm/s2 đặt môtơ điện mà rôto của nó khi phát động, quay theo phương trình ϕ = t2 (ϕ tính bằng radian) bán kính rôto bằng 20cm. Xác định vận tốc tuyệt đối của điểm A được chỉ dẫn như hìnhvẽ tại thời điểm t = 1s ?

Trả lời: Wa = 74,6cm/s2 ; Wr

a hướng thẳng đứng lên trên.

125. Trên trục quay của động cơ điện gắn chặt thanh OA dài l quay theo phương trình ϕ = ωt (ω = const). Động cơ điện không gắn chặt với nền thực hiện dao động điều hoà theo phương trình x = a sinωt. Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của điểm A tại thời điểm

t = 2πω

s

Trả lời: WA = ω2 2 2a l+ .

O

Al

ϕ

BM

O

ωD A

Ca

a

ω O2O1

BS A M

ϕ


126. Một hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh CD thẳng đứng với vận tốc góc

ω= 2π s-1 và bằng hằng số. Điểm M chuyển động từ O dọc theo AB theo luật S =asin

2π t

. Biết OA = CB = a. Xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M ở thời điểm t= 1s ?

Trả lời: Wa = 2

24

aπ cm/s2.

127. Tay quay O1A = 0,5m của một hình bình hành nối bản lề O1ABO2 quay quanh trục cố định O1 với vận tốc góc ω1 = 2t s-1. Dọc theo cạnh AB của hình bình hành ấy có con chạy M chuyển động theo luật AM = s = 5t2 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Xác định gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s, khi ấy ϕ= 300?

Trả lời: Wa = 6,05m/s2.

128. Một hình vuông ABCD có cạnh là 2a quay quanh cạnh AB với vận tốc góc không đổi ω = π 2 s-1. Một chất điểm thực hiện dao động điều hoà dọc theo đường

121

chéo AC theo luật OM = s = acos2π t (cm). Xác định gia tốc tuyệt đối của M tại thời

điểm t = 1s và t = 2s?

Trả lời: Wa1 = aπ2 5 cm/s2; Wa2 = 0,44 π2a cm/s2

SM

A

ω

D

O

B C

M

VrA

Mo

O

α

xM

O

ξη


129. Điểm M chuyển động đều trên hình nón tròn xoay có trục OA từ đỉnh dọc theo đường sinh đến đáy với vận tốc tương đối Vr , góc ∠ (A0M) = α. Tại thời điểm t = 0 khoảng cách OM0 = a. Nón quay quanh trục của nó với vận tốc góc không đổi ω. Tìm gia tốc tuyệt đối của điểm M.

Trả lời: Gia tốc nằm trong mặt phẳng thẳng góc với trục quay, lập từ tam giác với các cạnh Wcn = ω2(a+Vrt)sinα và Wk = 2Vrωsinα.

130. Một đĩa quay biến đổi đều với gia tốc góc ε = 1s-2 theo chiều kim đồng hồ quanh trục vuông góc với mặt phẳng của nó. Khi t = 0, vận tốc góc của nó là ω0 = 0. Một điểm M dao động theo đường kính của đĩa sao cho ξ = sinπt (cm) , t tính bằng giây.

Xác định chiếu của gia tốc tuyệt đối của M trên các trục ξ, η gắn với đĩa tại t = 1 23

giây ?

Trả lời: W0ξ = 10,95 cm/s2 ; Waη = - 4,37 cm/s2.

AR

M

O ϕ

O2O1

O

M60O

OM

O1

M1

Y


131. Một chiếc ống hình khuyên bán kính r = 1m quay quanh trục O nằm ngang theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc không đổi ω = 1s-1. Trong ống gần điểm A, có một quả cầu dao động theo luật ϕ = sinπt. Xác định gia tốc tuyệt đối của quả cầu theo hai

thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến tại thời điểm t = 2 16

s.

Trả lời: 4,93aW τ = − m/s2 ; 13,84naW = m/s2.

122

Hình 136

132. Một đĩa quay quanh trục O1OO2 là đường kính của đĩa với vận tốc góc ω = 2t s-1. Một điểm M chuyển động từ tâm đĩa theo bán kính đĩa tới vành đĩa theo luật S=OM = 4t2 (cm). Bán kính OM làm với OO2 một góc 600. Xác định giá trị gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t = 1s ?

Trả lời: Wa = 35,56 cm/s2.

133. Một vòng tròn bán kính R =12 π (cm) quay theo qui luật 20,56

tπϕ = + quanh

trục nằm ngang O. Một xe con M trượt theo vòng tròn thoả mãn MO = S = 6t2. Xác định gia tốc tuyệt đối của xe M tại thời điểm khi nó ở vị trí M1 mà O1M1 vuông góc với OO1.

Trả lời: xaW = 12cm/s2 ; y

aW = 66cm/s2.

134. Dòng sông rộng 1km chẩy từ Nam lên Bắc với vận tốc 5 km/h. Xác định gia tốc Criôlít ( CW

r) của nước ở đoạn sông 600 vĩ độ Bắc. Mực nước ở bờ bên nào cao hơn và

cao hơn bao nhiêu nếu biết rằng mặt nước vuông góc với vectơ tổng hợp giữa hai vectơ: Gia tốc trọng trường ( gr ) và vectơ bằng và ngược chiều với gia tốc Criôlít

Trả lời: WC = 0,0175 cm/s2 ;

CWr

hướng về Tây. Mực nước bờ Đông cao hơn bờ Tây 1,782cm.

135. Hãy tìm vận tốc và gia tốc của các điểm M1, M2, M3, M4 thuộc dây xích của máy kéo, chuyển động không trượt theo một đường thẳng với vận tốc V0 và gia tốc W0, bán kính bánh xe của máy kéo bằng R, bỏ qua sự trượt của xích trên hai bánh xe.

Trả lời: V1 = V2 = V0 2 ; V2 = 2V0 ; V4 = 0

W1=22

2 00 0

VW WR

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ ; W2 = 2 W0 ;

W3 = 22

2 00 0

VW WR

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ ; W4 = 0.

136. Máy nén khí với rãnh thẳng quay đều với vận tốc góc ω xung quanh trục O vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Không khí chạy theo rãnh với vận tốc tương đối rV

r = const .

A

O ξ

CB Vr

1KM

gO

R 0W 0V M

1

M2

M3

M4Hình 134 Hình 135

123

Hình 137

Hãy tìm chiếu của vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối lên các trục toạ độ của những hạt khí nằm tại điểm C của rãnh AB. Cho trước: rãnh AB nghiêng với bán kính 0C một góc 450 ; OC = 0,5m ; ω= 4πs-1; Vr = 2m/s.

Trả lời: Vξ = 7,7 m/s ; Vη = 1,404 m/s ;

Wξ= 25754 m/s2 ; Wη= - 414 m/s2.

137. Hãy giải bài toán trên với trường hợp rãnh cong, nếu bán kính cong của rãnh tại C bằng P, còn góc giữa pháp tuyến của đường cong AB tại điểm C và bán kính OC bằng ϕ. Cho bán kính OC = r.

Trả lời: Vξ = Vrcosϕ + r ω ; Vη= Vrsinϕ ;

Wξ= 2

2 rr

VV ωρ

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠sinϕ ;

Wη=- 2

2 2 cosrr

Vr Vω ω φρ

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦.

Vr

ϕ

O

A

ξ

B

CP

I

Engineering

Bài tập Cơ lý thuyet 1