Desplazamientos

Universidad Politécnica de ValenciaDepartamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales

TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJO VIRTUALES

5.1. Desplazamientos virtuales

5.2. Desplazamiento virtual de un sólido no restringido

5.3. Partición de coordenadas

5.4. Matriz jacobiana de restricciones

5.5. Trabajos virtuales

5.6. Fuerzas generalizadas

5.7. Transformación de coordenadas

5.8. Elementos fuerza


2TEMA 5. DESPLAZAMIENTOS Y TRABAJOS VIRTUALES

5.1. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Para la aplicación de este principio son esenciales las definiciones de:

- desplazamientos virtuales - fuerzas generalizadas

Asociadas a estas últimas está el concepto de coordenadas generalizadas:Cualquier conjunto de coordenadas usadas para describir la configuración del sistema.

Un desplazamiento virtual se define como un desplazamiento infinitesimal que es compatible con las restricciones cinemáticas del sistema. Estos desplazamientos son imaginarios, es decir, ocurren mientras que el tiempo permanece fijo.



5.2. DESPLAZAMIENTO VIRTUAL DE UN SÓLIDO NO RESTRINGIDO

( )

{ }( ) [ ]PiiPi

Ti

Tii

iPiiPiiiPi

PiiiPi

i

Pi

i

i

uAIr

Rq

qruARruARr

qr

q

q

θ∂∂

θ

==

θ=

δ=δθ+δ=δ+=

El desplazamiento virtual del vector de posición de un punto arbitrario del cuerpo, puede ser expresado en función de los desplazamientos virtuales en las coordenadas que definen la posición del cuerpo



5.3. PARTICIÓN DE COORDENADAS

En un sistema restringido dinámicamente, el número de ecuaciones de restricción nr es menor que el número de coordenadas n.

Se pueden utilizar las ecuaciones de restricción para poner un subconjunto de coordenadas en función de las restantes.

Las coordenadas se pueden dividir en:- nr coordenadas dependientes qd- n-nr coordenadas independientes qi

Partiendo de estas relaciones, los desplazamientos virtuales en las coordenadas dependientes pueden ponerse en función de los de las independientes.



EJEMPLO 5.1En el péndulo de la figura calcular la relación entre el desplazamiento virtual en las coordenadas absolutas y el del grado de libertad θ2.

222

22

22

2222

2222

222

222

1

2

2

2

2

2

2

δθ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=δ

δθ=δθ

δθ=δ

δθ−=δ

=

=

cs

cR

sR

sR

cR

l

l

ly

lx

ly

lx

q



5.4. MATRIZ JACOBIANA DE RESTRICCIONES

( ) 0, =tqC

C qqδ = 0{ }TT

iTd qqq =

0=δ+δ id idqCqC qq

Cqd

Vamos a generalizar los cálculos anteriores. Partiendo de las ecuaciones de restricción:

Aplicamos un desplazamiento virtual:

Particionando el vector de coordenadas:

La ecuación de desplazamiento virtual quedará:

Las coordenadas dependientes e independientes se escogerán de manera que la matriz no sea singular. Entonces:

iiidi

i

d

idiid id

qBqI

Cqq

q

qCqCCq qq

δ=δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧δδ

=δ

δ=δ−=δ −1



EJEMPLO 5.2Aplicar el método de partición de coordenadas para obtener la relación entre los desplazamientos virtuales en las coordenadas absolutas y el desplazamiento virtual en la coordenada independiente θ2

( )

id

cs

sRcR

t

l

l

ly

lx

qq

q

CC

C

qC

1001

00

,

22

22

222

222

2

2

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

=

2222

22

22

221

1

--

- 2

2

2

2

δθ=δθ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=δ⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

== −i

l

l

l

l

di cs

cs

idBqCCC qq



5.5. TRABAJOS VIRTUALES

El trabajo virtual asociado a un sólido rígido sometido a una fuerza y a un momento resultante externos a lo largo de un desplazamiento virtual se define como:

iiPiTiiW δθ+δ=δ MrF



5.6. FUERZAS GENERALIZADAS

δ δ δθθr R A uPi i i Pi i= +

( )( ) iii

TiiiPii

Tii

Ti

iiiPiiiTii

QM

MW

δθ+δ=δθ++δ=

=δθ+δθ+δ=δ

θθ

θ

RQuAFRF

uARF

R

qQ δ=δ++δ+δ=δ Tnn qQqQqQW K2211

El desplazamiento virtual asociado a un punto Pi será:

Por tanto el trabajo virtual quedará:

Las diversas Q constituyen las denominadas fuerzas generalizadas asociadas a cada desplazamiento virtual. El número de fuerzas generalizadas coincide con el de coordenadas generalizadas. El mínimo número de fuerzas generalizadas es el de g.d.l.

En un sistema con n coordenadas, el trabajo virtual será:



EJEMPLO 5.3En el mecanismo de péndulo, suponiendo que está sometido a una fuerza F aplicada en el punto P y a un momento M sobre la barra 2, calcular las fuerzas generalizadas en las coordenadas absolutas.

{ }

22

22

222

22

22

222

2

222

2

2

222

2

222

2

222

22

2

22

222

2

2

2

2

2

2

clFslFMQ

FQ

FQ

clFslFMRFRFclR

slRFFMW

clR

slR

MW

yx

yR

xR

yxyyxx

y

x

yx

y

x

PP

PP

PT

y

x

+−=

=

=

δθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+δ+δ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

δθ+δ

δθ−δ+δθ=δ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

δθ+δ

δθ−δ=δθ+δ=δ

+=δ+δθ=δ

θ

θ uARr

uARrrF



5.7. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

{ }Tmppp K21=p

δ δ

δ δ δ

q B p

Q B p Q p Q B Q

=

= = ⇒ =

qp

Tqp p

Tp qp

TW

La ecuación anterior define las fuerzas generalizadas asociadas a un conjunto de coordenadas. En otro conjunto de coordenadas, dichasfuerzas pueden obtenerse a partir de la matriz de transformación que relaciona ambos conjuntos.Supongamos que

es un conjunto de coordenadas y que los desplazamientos virtuales en qpueden expresarse en función de p.



EJEMPLO 5.4

A partir de las fuerzas generalizadas calculadas en el ejemplo 6.3 calcular la fuerza generalizada en θ2.

{ }{ }

{ }

2222

22

22

2222Tqpp

22

22

qp

2

222

22

1-

δ1

-δδ

22

2

2

clFslFM

clFslFM

FF

cs

cs

RR

yx

yx

y

xll

l

l

Tyx

+−=

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+−

==

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

=

QBQ

ppBq

p

q

θ

θ



5.8. ELEMENTOS FUERZA: GRAVEDAD

δ δW m g yi i i= −

δ δy Ri yi=

( )( ) iiyiRyiiyixiiyiii

iyixiyii

yixiyii

QRQuugmRgmW

uuRy

uuRy

δθ+δ=δθθ−θ−δ−=δ

δθθ−θ+δ=δ

θ+θ+=

θii

ii

ii

sen cos

sen cos

cossen

El trabajo virtual de las fuerzas de gravedad que actúan en un cuerpo i será:

donde yi es la dirección en que actúa la fuerza de gravedad. Si el c.d.m. coincide con el origen del sistema de referencia local

En general, si el c.d.m. no coincide con el origen del sistema de referencia y conocemos la posición de dicho centro respecto el sistema de referencia local:



5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ACTUADOR LINEAL

( ) as flcllkf +−−= &0

lfW sδ−=δ

r R A u R A uPij i i Pi j j Pj= + − −

La fuerza total transmitida por el elemento muelle será:

El trabajo virtual será

El vector de posición de Pj respecto Pi será:

siendo

( ) 21Pij

TPijl rr=



5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ACTUADOR LINEAL

( ) [ ][ ] [ ]

[ ]

qlq

lAuIQ

Q

lAuIQ

Q

qQqQqq

l

uAIuAI

qq

lqqrrrq

qr

q

qr

qr

qr

qr

qr

qr

qrr

qr

q

&&&∂∂

∂∂

θθ

θθ

∂∂

∂∂

θ∂∂

θ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂−

∂∂

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

δ+δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧δδ

−=δ

−==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧δδ

=δ=δ=δ=δ

Pij

j

Pij

i

Pij

j

Pij

i

Pij

j

Pij

i

PijPijTPijPij

Tl

jTPj

sj

Rjj

iTPi

si

Rii

jTji

Ti

j

iTs

PjjPii

j

iTl

TPijPij

TPij

l

l

fQ

fQ

fW

l

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ21



EJEMPLO 5.5

En el mecanismo de la figura, suponiendo un muelle lineal de constante elástica k y de longitud libre l0, calcular las fuerzas generalizadas asociadas al muelle en las coordenadas absolutas de la barra 3.

X

Y

X2Y2

X3Y3

2

3( )0llkfs −=

lfW sδ−=δ

{ }( ) ( ) 2

121

23

233232

3332

22233332

yxPT

P

yxT

P

PPP

RRl

RR

+=⋅=

=

−−+=

rr

r

uARuARr



EJEMPLO 5.5

( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( )0 1 1

010001ˆ

32132

13

21

21

21

21

21

323

23

032

323

0

23

23

33330

23

23

23

23

3333

3

3

3

23

23

3

23

23

3

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−−=

+

δ+δ−+−=δ−=δ

+

δ+δ=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

δθδδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=δ=δ

θ

∂∂

QRRR

lkQRRR

lkQ

RR

RRRRlRRklfW

RR

RRRR

RR

RR

R

RRRl

y

yx

Rx

yx

R

yx

yyxxyxs

yx

yyxx

y

x

yx

y

yx

xi

T

yx

i

Pij ql qr



5.8. ELEMENTOS FUERZA: MUELLE-AMORTIGUADOR ROTACIONAL

( )

( )( )( )( )( )( )( )

( ) θ+θ−θ=

θ+θ−θ−=

δθ+δθ=δθ−δθθ+θ−θ−=

=δθθ+θ−θ−=δθ−=δ

θ−θ=θθ+θ−θ=

θ

θ

θθ

&

&

&

&

&

rrj

rri

jjiijirr

rrs

ji

rrs

ckQ

ckQ

QQck

ckMW

ckM

0

0

0

0

0



5.8. ELEMENTOS FUERZA: FUERZAS DE RESTRICCIÓN

0

=δ+δ

δ=δδ−=δ

ji

PTcijjP

Tciji

WW

WW rFrF

Las uniones mecánicas introducen fuerzas de restricción que hay que considerar en el equilibrio de cada cuerpo. Estas fuerzas aparecen como incógnitas en las ecuaciones del movimiento. Existen cierto tipo de uniones, denominadas ideales, que permiten la eliminación de las fuerzas de restricción al considerar el equilibrio global del sistema.

ARTICULACION IDEAL (SIN ROZAMIENTO)

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