Equações lineares

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Capítulo 1 - Parte 2

Professor: Luiz Fernando Nunes

Geometria Analítica e Álgebra Linear ii

Índice 1 Sistemas de Equações Lineares ................................................................................ 1

1.1 Definições Gerais .............................................................................................. 1 1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2 .................................. 2 1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3 .................................. 4 1.4 O Método do Escalonamento ............................................................................ 6

1.5 O Método de Cramer ........................................................................................ 9 1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o Método de Cramer ....... 11 1.7 Sistemas Homogêneos .................................................................................... 12 1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares ................................... 12 1.9 Referências Bibliográficas. ............................................................................. 13

Geometria Analítica e Álgebra Linear 1

1 Sistemas de Equações Lineares

1.1 Definições Gerais

Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n

incógnitas

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

Forma Matricial:

A x b

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

mb

b

b

2

1

.

Onde:

A matriz dos coeficientes;

x vetor das incógnitas (ou vetor solução);

b vetor dos termos independentes.

Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema

B [ A b ]

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

.

Definições

Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível (ou sistema impossível –

S.I.), se não admite nenhuma solução.

Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de

compatível determinado (ou sistema possível determinado – S.P.D.).

Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução (infinitas soluções) ele

recebe o nome de compatível indeterminado (ou sistema possível indeterminado – S.P.I.)

Discutir um sistema de equações lineares S significa efetuar um estudo visando

classificá-lo de acordo com as definições anteriores.

Resolver um sistema de equações lineares significa determinar todas as suas soluções.

O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema.


1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações

2x2 Nesta seção são apresentados três exemplos que ilustram a interpretação geométrica

para a solução de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas:

Exemplos

1. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:

63

52

yx

yxSolução: x = 3 e y = -1

Como o sistema tem solução única, esta é representada pela intersecção das retas cujas

equações gerais são: 52 yx e 63 yx .


1536

52

yx

yx Solução: S.P.I.

y

yx2

5

2

1

Como o sistema tem infinitas soluções, estas são representadas pela intersecção das

retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1536 yx (retas coincidentes).



1036

52

yx

yx Solução: S.I. (Sistema Impossível)

O sistema não tem solução. De fato, as retas cujas equações gerais são: 52 yx e

1036 yx são paralelas (não coincidentes).


1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações

3x3 Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Desta forma os planos

1 , 2 e 3 são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do

referido sistema pertencem à interseção 321 desses planos.

Se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro

segundo retas paralelas, a interseção 321 é vazia e o sistema é impossível.

Se os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se r 321 , o sistema

é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.

O sistema é determinado (solução única), quando os três planos se encontram em um

único ponto.

Existem ao todo, oito posições relativas possíveis para os planos 1 , 2 e 3 . Quatro

dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis e nas outras quatro, o sistema tem

solução.

Na seqüência são descritas estas oito posições relativas de 1 , 2 e 3 :

1º. Caso: Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto

dos planos é uma solução do sistema.

Exemplo:

4.

9363

6242

32

zyx

zyx

zyx

2º. Caso: Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é

impossível.

Exemplo:

5.

8363

6242

32

zyx

zyx

zyx

3º. Caso: Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso

o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.

Exemplo:

6.

963

6242

32

zyx

zyx

zyx


4º. Caso: Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:

7.

5363

4242

32

zyx

zyx

zyx

5º. Caso: Os planos 1 e 2 são paralelos e o plano 3 os intersecta segundo duas retas

paralelas. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:

8.

92

5242

32

zyx

zyx

zyx

6º. Caso: Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é r 321 .

Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do

sistema.

Exemplo:

9.

6425

32

1

zyx

zyx

zyx

7º. Caso: Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas 21 r , 31 s e

32 t , paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:

10.

668

23

132

zyx

zyx

zyx

8º. Caso: Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível

e determinado (solução única).

Exemplo:

11.

123

22

132

zyx

zyx

zyx


1.4 O Método do Escalonamento

Definição

Diz-se que uma matriz é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada

uma das suas linhas situa-se à esquerda do primeiro elemento não-nulo da linha seguinte.

Além disso, as linhas que tiverem todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo

das demais.

Definição

Diz-se que um sistema de equações lineares é um sistema escalonado, quando a matriz

aumentada associada a este sistema é uma matriz escalonada.

O Método do Escalonamento para resolver ou discutir um sistema de equações

lineares S consiste em se obter um sistema de equações lineares escalonado equivalente a S

(equivalente no sentido de possuir as mesmas soluções que este).

Partindo do sistema S pode-se chegar a este sistema escalonado equivalente por meio

de uma seqüência de operações elementares, que são as seguintes:

1) Trocar a ordem das equações do sistema;

2) Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero;

3) Substituir uma equação do sistema por sua soma com outra equação multiplicada por uma

constante diferente de zero.

Desta forma, se um sistema de equações foi escalonado e, retiradas as equações do

tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas.

Se a última das equações restantes é do tipo:

000000 1321 ppnn xxxxx , então o sistema de

equações é impossível – S.I. (não admite soluções);

Caso contrário, sobram duas alternativas:

(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D .(admite solução única);

(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções).

Observação:

Para se escalonar um sistema S é mais prático efetuar o escalonamento da matriz

aumentada associada ao sistema. Uma vez concluído o escalonamento dessa matriz

aumentada, associamos a ela o novo sistema que é equivalente ao sistema original S.

Exemplo

12. Discutir e resolver o sistema:

13

022

1

zyx

zyx

zyx


1113

0212

1111

133

122

3

2

LLL

LLL

2220

2030

1111

223

1LL

22203

2010

1111

233 2LLL

3

2200

3

2010

1111

cujo sistema equivalente é

3

22

3

2

1

z

y

zyx

Como o número de equações restantes é igual ao número

de incógnitas, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Resolvendo este sistema de baixo

para cima, obtemos 3

1z ,

3

2y e finalmente 0x . Desta forma, a solução pode ser dada

pela única tripla ordenada

3

1

3

20 ,,,, zyx

Exemplo


37

032

12

yx

zyx

zyx

3071

0312

1121

133

122 2

LLL

LLL

2150

2150

1121

233 LLL

0000

2150

1121


25

12

zy

zyx Como o número de equações

restantes é menor que o número de incógnitas, o sistema é possível mas indeterminado

(S.P.I.). Desta forma, para cada valor de z , pode-se encontrar zy5

1

5

2 e

zx5

7

5

1 . Assim, a solução pode ser dada por uma tripla ordenada

zzzzyx ,,,,

5

1

5

2

5

7

5

1, sendo z .

Exemplo


022

42

1

zyx

zyx

zyx


0221

4112

1111

133

122 2

LLL

LLL

1110

2110

1111

233 LLL

1000

2110

1111


1000

20

1

zyx

zyx

zyx

Como esta última equação não

possui solução, o sistema é impossível (S.I.).

Exemplo

15. Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e

determiná-la:

ay

yx

yx

S

3

22

1

a30

212

111

122 2LLL

a30

010

111

233 3LLL

a00

010

111

que é uma matriz

ampliada de um sistema que somente será possível se a = 0. Assim, o sistema equivalente é

0

1

y

yx

Desta forma, a solução pode ser dada pelo único par ordenado 01,, yx

Exemplo

16. Discutir o sistema de acordo com os parâmetros a e b:

bazyx

zx

zyx

24

1376

9342

ba24

13706

9342

133

122

2

3

LLL

LLL

18660

142120

9342

ba

222

1LL

18660

7160

9342

ba

233 LLL

11500

7160

9342

ba

cujo sistema equivalente é:

115

76

9342

bza

zy

zyx

...

...

..

DPSba

IPSba

ISba

qualquere5Se

11e5Se

11e5Se


1.5 O Método de Cramer O método de Cramer se aplica para sistemas de equações lineares onde a matriz dos

coeficientes das incógnitas é quadrada.

Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n

incógnitas

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

Forma Matricial:

A x b

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

nb

b

b

2

1

.

Onde:

A matriz dos coeficientes;

x vetor das incógnitas (ou vetor solução);

b vetor dos termos independentes.

Chamamos de D ao determinante de A, isto é AD det e iD ao determinante da

matriz obtida de A, substituindo a i-ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes.

Assim, se 0D , então D

Dx i

i .

Neste caso ( 0D ) a solução será única, pois 1 A e

bxA bAxAA 11 bAxAA 11 bAxI 1 bAx 1

Exemplo

17. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares:

12

4

6

321

321

321

xxx

xxx

xxx

04

112

111

111

det

D 4

iii

D

D

Dx

14

4

4

111

114

116

det

1

x


34

12

4

112

141

161

det

2

x

24

8

4

112

411

611

det

3

x

Observação Importante:

Se 0.......21 nDDDD o sistema não é necessariamente SPI !!!

Assim, aplicar o Método de Cramer apenas para os casos em que 0D .

Exemplo

18. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares:

4963

2642

132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

0

463

242

121

det

943

622

311

det

964

642

321

det

963

642

321

det

D isto é:

0321 DDDD

Mas escalonando o sistema obtemos:

4963

2642

1321

133

122

3

2

LLL

LLL

1000

0000

1321

32 LL

0000

1000

1321

cujo sistema

equivalente é:

1000

132

321

321

xxx

xxx que é impossível (SI) !!!


1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o

Método de Cramer

Suponha um computador capaz de efetuar 1.000.000 de operações de multiplicação e

divisão por segundo. Então seriam exigidos os seguintes tempos para a resolução de sistemas

de equações lineares cujas matrizes dos coeficientes das incógnitas têm o formato: 1010,

1515 e 2020, respectivamente.

Escalonamento Cramer

1010 0,8 milésimos de seg. 1 min. e 8 seg.

1515 2,5 milésimos de seg. 1 ano, 1 mês e 16 dias

2020 6 milésimos de seg. 2 milhões, 754 mil, 140 anos

Fonte: Revista do Professor de Matemática n.23, 1993.


1.7 Sistemas Homogêneos

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Sistemas Homogêneos de Equações Lineares com m equações e n incógnitas são

sistemas de equações lineares onde os termos independentes são todos nulos. Este tipo de

sistema é sempre possível, pois admite a solução 0321 nxxxx .

Desta forma, se um sistema homogêneo de equações foi escalonado e, retiradas as

equações do tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas.

(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D. (admite solução única), e esta solução é

0321 nxxxx , conhecida por solução trivial;

(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções).

1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares Neste exemplo, apresentado por FILHO, 2006, temos uma interessante aplicação dos

sistemas lineares.

A tabela que segue traz os principais nutrientes presentes em alguns alimentos:

Arroz

(50g)

Feijão

(30g)

Frango

(80g)

Suco

(200ml)

Pão

(50g)

Margarina

(14g)

VDR

Energia(Kcal) 190 100 150 120 130 45 2000

Carboidratos(g) 37 16 8 30 28 0 300

Proteínas(g) 3 7 13 1 4 0 75

Gorduras Totais(g) 0 0 6 0 1,5 5 55

1.8.1 Sistema Linear

Para montar uma dieta é necessário determinar as quantidades 654321 e,,,, xxxxxx

(em porções) de cada alimento, necessárias para compor os VDR (Valores Diários de

Referência). Isto corresponde a resolver o sistema linear:

5555,16

7541373

300283081637

200045130120150100190

653

54321

54321

654321

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

Escalonando este sistema, podemos obter o seguinte sistema equivalente:

60,1145,024,1

16,983,025,0

05,868,107,0

19,017,033,0

654

653

652

651

xxx

xxx

xxx

xxx


Assim, este sistema é do tipo possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas

soluções). Os valores de 4321 e,, xxxx podem ser colocados em função de 65 e xx . Temos

então:

654

653

652

651

45,024,160,11

83,025,016,9

68,107,005,8

17,033,019,0

xxx

xxx

xxx

xxx

Assim, se fizermos, por exemplo: 55 x e 66 x , podemos obter:

81,01 x ; 71,12 x ; 91,23 x e 64,24 x ,

O que corresponde, aproximadamente, a 40g de arroz, 50g de feijão, 230g de frango,

520ml de suco, 250g de pão e 84g de margarina.

Observação: Evidentemente a dieta aqui proposta tem caráter didático; apenas

médicos ou nutricionistas podem prescrever dietas alimentares.

1.9 Referências Bibliográficas.

1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do

Brasil, 1980.

2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,

1990.

3. FILHO, Adalberto A.D. Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares. Revista

do Professor de Matemática, n. 59 – Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

4. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro:

Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

5. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.

Engineering

Equações lineares