NOTAS DE AULA
Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Capítulo 1 - Parte 2
Professor: Luiz Fernando Nunes
Geometria Analítica e Álgebra Linear ii
Índice 1 Sistemas de Equações Lineares ................................................................................ 1
1.1 Definições Gerais .............................................................................................. 1 1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2 .................................. 2 1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3 .................................. 4 1.4 O Método do Escalonamento ............................................................................ 6
1.5 O Método de Cramer ........................................................................................ 9 1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o Método de Cramer ....... 11 1.7 Sistemas Homogêneos .................................................................................... 12 1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares ................................... 12 1.9 Referências Bibliográficas. ............................................................................. 13
Geometria Analítica e Álgebra Linear 1
1 Sistemas de Equações Lineares
1.1 Definições Gerais
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n
incógnitas
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Forma Matricial:
A x b
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
mb
b
b
2
1
.
Onde:
A matriz dos coeficientes;
x vetor das incógnitas (ou vetor solução);
b vetor dos termos independentes.
Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema
B [ A b ]
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
.
Definições
Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível (ou sistema impossível –
S.I.), se não admite nenhuma solução.
Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de
compatível determinado (ou sistema possível determinado – S.P.D.).
Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução (infinitas soluções) ele
recebe o nome de compatível indeterminado (ou sistema possível indeterminado – S.P.I.)
Discutir um sistema de equações lineares S significa efetuar um estudo visando
classificá-lo de acordo com as definições anteriores.
Resolver um sistema de equações lineares significa determinar todas as suas soluções.
O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema.
Geometria Analítica e Álgebra Linear 2
1.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações
2x2 Nesta seção são apresentados três exemplos que ilustram a interpretação geométrica
para a solução de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas:
Exemplos
1. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:
63
52
yx
yxSolução: x = 3 e y = -1
Como o sistema tem solução única, esta é representada pela intersecção das retas cujas
equações gerais são: 52 yx e 63 yx .
2. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:
1536
52
yx
yx Solução: S.P.I.
y
yx2
5
2
1
Como o sistema tem infinitas soluções, estas são representadas pela intersecção das
retas cujas equações gerais são: 52 yx e 1536 yx (retas coincidentes).
Geometria Analítica e Álgebra Linear 3
3. Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema:
1036
52
yx
yx Solução: S.I. (Sistema Impossível)
O sistema não tem solução. De fato, as retas cujas equações gerais são: 52 yx e
1036 yx são paralelas (não coincidentes).
Geometria Analítica e Álgebra Linear 4
1.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações
3x3 Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Desta forma os planos
1 , 2 e 3 são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, as soluções do
referido sistema pertencem à interseção 321 desses planos.
Se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro
segundo retas paralelas, a interseção 321 é vazia e o sistema é impossível.
Se os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se r 321 , o sistema
é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
O sistema é determinado (solução única), quando os três planos se encontram em um
único ponto.
Existem ao todo, oito posições relativas possíveis para os planos 1 , 2 e 3 . Quatro
dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis e nas outras quatro, o sistema tem
solução.
Na seqüência são descritas estas oito posições relativas de 1 , 2 e 3 :
1º. Caso: Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto
dos planos é uma solução do sistema.
Exemplo:
4.
9363
6242
32
zyx
zyx
zyx
2º. Caso: Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é
impossível.
Exemplo:
5.
8363
6242
32
zyx
zyx
zyx
3º. Caso: Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso
o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
Exemplo:
6.
963
6242
32
zyx
zyx
zyx
Geometria Analítica e Álgebra Linear 5
4º. Caso: Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
7.
5363
4242
32
zyx
zyx
zyx
5º. Caso: Os planos 1 e 2 são paralelos e o plano 3 os intersecta segundo duas retas
paralelas. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
8.
92
5242
32
zyx
zyx
zyx
6º. Caso: Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é r 321 .
Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do
sistema.
Exemplo:
9.
6425
32
1
zyx
zyx
zyx
7º. Caso: Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas 21 r , 31 s e
32 t , paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
10.
668
23
132
zyx
zyx
zyx
8º. Caso: Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível
e determinado (solução única).
Exemplo:
11.
123
22
132
zyx
zyx
zyx
Geometria Analítica e Álgebra Linear 6
1.4 O Método do Escalonamento
Definição
Diz-se que uma matriz é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada
uma das suas linhas situa-se à esquerda do primeiro elemento não-nulo da linha seguinte.
Além disso, as linhas que tiverem todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo
das demais.
Definição
Diz-se que um sistema de equações lineares é um sistema escalonado, quando a matriz
aumentada associada a este sistema é uma matriz escalonada.
O Método do Escalonamento para resolver ou discutir um sistema de equações
lineares S consiste em se obter um sistema de equações lineares escalonado equivalente a S
(equivalente no sentido de possuir as mesmas soluções que este).
Partindo do sistema S pode-se chegar a este sistema escalonado equivalente por meio
de uma seqüência de operações elementares, que são as seguintes:
1) Trocar a ordem das equações do sistema;
2) Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero;
3) Substituir uma equação do sistema por sua soma com outra equação multiplicada por uma
constante diferente de zero.
Desta forma, se um sistema de equações foi escalonado e, retiradas as equações do
tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas.
Se a última das equações restantes é do tipo:
000000 1321 ppnn xxxxx , então o sistema de
equações é impossível – S.I. (não admite soluções);
Caso contrário, sobram duas alternativas:
(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D .(admite solução única);
(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções).
Observação:
Para se escalonar um sistema S é mais prático efetuar o escalonamento da matriz
aumentada associada ao sistema. Uma vez concluído o escalonamento dessa matriz
aumentada, associamos a ela o novo sistema que é equivalente ao sistema original S.
Exemplo
12. Discutir e resolver o sistema:
13
022
1
zyx
zyx
zyx
Geometria Analítica e Álgebra Linear 7
1113
0212
1111
133
122
3
2
LLL
LLL
2220
2030
1111
223
1LL
22203
2010
1111
233 2LLL
3
2200
3
2010
1111
cujo sistema equivalente é
3
22
3
2
1
z
y
zyx
Como o número de equações restantes é igual ao número
de incógnitas, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Resolvendo este sistema de baixo
para cima, obtemos 3
1z ,
3
2y e finalmente 0x . Desta forma, a solução pode ser dada
pela única tripla ordenada
3
1
3
20 ,,,, zyx
Exemplo
13. Discutir e resolver o sistema:
37
032
12
yx
zyx
zyx
3071
0312
1121
133
122 2
LLL
LLL
2150
2150
1121
233 LLL
0000
2150
1121
cujo sistema equivalente é
25
12
zy
zyx Como o número de equações
restantes é menor que o número de incógnitas, o sistema é possível mas indeterminado
(S.P.I.). Desta forma, para cada valor de z , pode-se encontrar zy5
1
5
2 e
zx5
7
5
1 . Assim, a solução pode ser dada por uma tripla ordenada
zzzzyx ,,,,
5
1
5
2
5
7
5
1, sendo z .
Exemplo
14. Discutir e resolver o sistema:
022
42
1
zyx
zyx
zyx
Geometria Analítica e Álgebra Linear 8
0221
4112
1111
133
122 2
LLL
LLL
1110
2110
1111
233 LLL
1000
2110
1111
cujo sistema equivalente é
1000
20
1
zyx
zyx
zyx
Como esta última equação não
possui solução, o sistema é impossível (S.I.).
Exemplo
15. Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e
determiná-la:
ay
yx
yx
S
3
22
1
a30
212
111
122 2LLL
a30
010
111
233 3LLL
a00
010
111
que é uma matriz
ampliada de um sistema que somente será possível se a = 0. Assim, o sistema equivalente é
0
1
y
yx
Desta forma, a solução pode ser dada pelo único par ordenado 01,, yx
Exemplo
16. Discutir o sistema de acordo com os parâmetros a e b:
bazyx
zx
zyx
24
1376
9342
ba24
13706
9342
133
122
2
3
LLL
LLL
18660
142120
9342
ba
222
1LL
18660
7160
9342
ba
233 LLL
11500
7160
9342
ba
cujo sistema equivalente é:
115
76
9342
bza
zy
zyx
...
...
..
DPSba
IPSba
ISba
qualquere5Se
11e5Se
11e5Se
Geometria Analítica e Álgebra Linear 9
1.5 O Método de Cramer O método de Cramer se aplica para sistemas de equações lineares onde a matriz dos
coeficientes das incógnitas é quadrada.
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n
incógnitas
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Forma Matricial:
A x b
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
nb
b
b
2
1
.
Onde:
A matriz dos coeficientes;
x vetor das incógnitas (ou vetor solução);
b vetor dos termos independentes.
Chamamos de D ao determinante de A, isto é AD det e iD ao determinante da
matriz obtida de A, substituindo a i-ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes.
Assim, se 0D , então D
Dx i
i .
Neste caso ( 0D ) a solução será única, pois 1 A e
bxA bAxAA 11 bAxAA 11 bAxI 1 bAx 1
Exemplo
17. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares:
12
4
6
321
321
321
xxx
xxx
xxx
04
112
111
111
det
D 4
iii
D
D
Dx
14
4
4
111
114
116
det
1
x
Geometria Analítica e Álgebra Linear 10
34
12
4
112
141
161
det
2
x
24
8
4
112
411
611
det
3
x
Observação Importante:
Se 0.......21 nDDDD o sistema não é necessariamente SPI !!!
Assim, aplicar o Método de Cramer apenas para os casos em que 0D .
Exemplo
18. Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares:
4963
2642
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
0
463
242
121
det
943
622
311
det
964
642
321
det
963
642
321
det
D isto é:
0321 DDDD
Mas escalonando o sistema obtemos:
4963
2642
1321
133
122
3
2
LLL
LLL
1000
0000
1321
32 LL
0000
1000
1321
cujo sistema
equivalente é:
1000
132
321
321
xxx
xxx que é impossível (SI) !!!
Geometria Analítica e Álgebra Linear 11
1.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o
Método de Cramer
Suponha um computador capaz de efetuar 1.000.000 de operações de multiplicação e
divisão por segundo. Então seriam exigidos os seguintes tempos para a resolução de sistemas
de equações lineares cujas matrizes dos coeficientes das incógnitas têm o formato: 1010,
1515 e 2020, respectivamente.
Escalonamento Cramer
1010 0,8 milésimos de seg. 1 min. e 8 seg.
1515 2,5 milésimos de seg. 1 ano, 1 mês e 16 dias
2020 6 milésimos de seg. 2 milhões, 754 mil, 140 anos
Fonte: Revista do Professor de Matemática n.23, 1993.
Geometria Analítica e Álgebra Linear 12
1.7 Sistemas Homogêneos
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Sistemas Homogêneos de Equações Lineares com m equações e n incógnitas são
sistemas de equações lineares onde os termos independentes são todos nulos. Este tipo de
sistema é sempre possível, pois admite a solução 0321 nxxxx .
Desta forma, se um sistema homogêneo de equações foi escalonado e, retiradas as
equações do tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas.
(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D. (admite solução única), e esta solução é
0321 nxxxx , conhecida por solução trivial;
(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções).
1.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares Neste exemplo, apresentado por FILHO, 2006, temos uma interessante aplicação dos
sistemas lineares.
A tabela que segue traz os principais nutrientes presentes em alguns alimentos:
Arroz
(50g)
Feijão
(30g)
Frango
(80g)
Suco
(200ml)
Pão
(50g)
Margarina
(14g)
VDR
Energia(Kcal) 190 100 150 120 130 45 2000
Carboidratos(g) 37 16 8 30 28 0 300
Proteínas(g) 3 7 13 1 4 0 75
Gorduras Totais(g) 0 0 6 0 1,5 5 55
1.8.1 Sistema Linear
Para montar uma dieta é necessário determinar as quantidades 654321 e,,,, xxxxxx
(em porções) de cada alimento, necessárias para compor os VDR (Valores Diários de
Referência). Isto corresponde a resolver o sistema linear:
5555,16
7541373
300283081637
200045130120150100190
653
54321
54321
654321
xxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
Escalonando este sistema, podemos obter o seguinte sistema equivalente:
60,1145,024,1
16,983,025,0
05,868,107,0
19,017,033,0
654
653
652
651
xxx
xxx
xxx
xxx
Geometria Analítica e Álgebra Linear 13
Assim, este sistema é do tipo possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas
soluções). Os valores de 4321 e,, xxxx podem ser colocados em função de 65 e xx . Temos
então:
654
653
652
651
45,024,160,11
83,025,016,9
68,107,005,8
17,033,019,0
xxx
xxx
xxx
xxx
Assim, se fizermos, por exemplo: 55 x e 66 x , podemos obter:
81,01 x ; 71,12 x ; 91,23 x e 64,24 x ,
O que corresponde, aproximadamente, a 40g de arroz, 50g de feijão, 230g de frango,
520ml de suco, 250g de pão e 84g de margarina.
Observação: Evidentemente a dieta aqui proposta tem caráter didático; apenas
médicos ou nutricionistas podem prescrever dietas alimentares.
1.9 Referências Bibliográficas.
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do
Brasil, 1980.
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,
1990.
3. FILHO, Adalberto A.D. Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares. Revista
do Professor de Matemática, n. 59 – Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.
4. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro:
Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.
5. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.