Geometria Analítica e Álgebra Linear 1

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba

Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT

Primeira Lista de Exercícios

Disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear Código: MA71B Assunto: Matrizes e Determinantes, Sistemas de Equações Lineares, e Álgebra Vetorial.

Professor: Luiz Fernando Nunes

OBS: Esta lista foi desenvolvida apenas para auxiliar os alunos a se prepararem para a

primeira prova. Não é necessário entregá-la ao professor.

1 Matrizes e Determinantes:

1. Sendo A =

2 1

3 0

2 -1

; B = 2 3

1 5

; C =

1 0 5

4 3 1, encontre, se existir, a matriz X

para cada situação a seguir:

a) A.X = CT

b) A + C T = X . B

c) X = C T . A T

2. Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o

valor de x na equação det (2.A.AT

) = 4x ?

3. Seja a matriz quadrada A = [a ij ] de ordem 2, tal que

j i se j+i

sen

j = i se .2

cos

= ji

aij .

Calcule o determinante de A. Se det A0 ache A 1 .

4. Dada a matriz A =

1 2 7

0 3 1

0 5 2

, ache (A 1 )T

e (AT

) 1 .

Conclua que (A 1 )T

= (AT

) 1 .

5. Encontre as matrizes

tz

y x que comutam com a matriz

1 0

1 1, isto é, ache as

matrizes

tz

y x, tais que

tz

y x.

1 0

1 1=

1 0

1 1.

tz

y x

Geometria Analítica e Álgebra Linear 2

6. Encontre a matriz inversa da matriz A, utilizando operações elementares com linhas,

sendo A =

831

121

210

.

7. Dada a matriz A, resolva a equação: AAXA T 1 e ache X para A =

8 3 1

1 2 1

2 1 0

.

8. Ache os valores dos seguintes determinantes:

a)

3 3 0 1

0 4 0 0

2 1 0 5

1 2 4 3

b)

0 a b 1

b 0 a a

0 0 1 0

1 b a 0

2 Sistemas de Equações Lineares:

9. Determine o valor de m para que o sistema seja indeterminado:

043

054

03

zy

mzyx

zymx

10. Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b

bzyx

zyx

azyx

4

123

532

11. Dado o sistema linear

5 2 2

64

31253

wzy

wzyx

wzyx

a) Discuta a solução do sistema.

b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 neste sistema e encontre um valor de k

que o torne incompatível.

12. Resolver os sistemas de equações lineares, reduzindo-os à forma escalonada.

a)

934

12

42

zyx

zyx

zyx

b)

034

23

32

zyx

zyx

zyx

Geometria Analítica e Álgebra Linear 3

c)

0245

02

03

zyx

zyx

zyx

d)

122

32

2

zyx

zyx

zyx

13. Discutir os sistemas abaixo, reduzindo-o à forma escalonada.

a)

23

332

1

zayx

azyx

zyx

b)

2

22

44

222

4

bzyx

abazyx

azayx

3 Vetores: Seja E = ( i

, j

, k

) uma base ortonormal dextrógira.

14. Calcule || 2 vu

4 + || ², sabendo que || u

|| = 1 e || v

|| = 2, e a medida em radianos do

ângulo entre v

e u

é 2

3

.

15. Ache v

tal que || v

|| = 3 3 , e seja ortogonal a E1)3, (2, = u

e a Ew )6,4,2(

16. Ache um vetor unitário ortogonal a u

= (1,3,1) E e a v

= (3,3,3) E

17. A medida em radianos entre u

e v

é de 2

3

. Sendo || u

|| = 1 e || v

|| = 7, calcule:

|| u v

|| ² e || vu

4

3

3

1 ||

18. Dados u

= 3 i2 j

+6 k

; v

= 3 i

5 j

+ 8 k

e w

= i

+ k

, calcule:

a ) a área do paralelogramo construído sobre u

e v

;

b) o volume do paralelepípedo construído sobre u

, v

e w

;

c) a altura do paralelepípedo.

19. Calcular os valores de m para que o vetor u

+ v

seja ortogonal a w u

onde:

u

= (2, 1, m) E ; v

= (m+2, 5, 2) E e w

= (2m, 8, m) E

20. Resolva o sistema

kikjix

kjix

22

9432

)(

).(

Geometria Analítica e Álgebra Linear 4

___________________________________________________________________________

Respostas:

Matrizes e Determinantes:

1. a) Não existe b)

357

3

7

1210

X c)

91511

303

632

X

2. x = 32

3. 4

3Adet .

3

4

3

323

320

1A

4. (A 1 )T

= (AT

) 1 =

3119

5231

001

.

5.

x0

y x

6.

1 1 5

2 2 9

3 2 311A

7. TAAX 12 e X =

119 233 318

15 31 39

30 59 80

8. a) -208 b) 22 ba

Sistemas de Equações Lineares:

9. m = 2 ou m =3

26

10.

...

...

..

DPSba

IPSba

ISba

qualquere3Se

4e3Se

4e3Se

11. a) S.P.I. b) 1k

12. a) O sistema é S.P.I. Assim, para cada z , temos: 3

57 zx

e

3

5 zy

, ou, a

solução é a tripla

z

zz,

3

5,

3

57.

Geometria Analítica e Álgebra Linear 5

b) Sistema Impossível.

c) Após o escalonamento restam 3 equações com 3 incógnitas, logo o sistema é S.P.D.,

e a solução é: x = y = z = 0.

d) x = 4, y = 1 e z =3

13. a)

...2e3Se

...2Se

..3Se

DPSaa

IPSa

ISa

b) A discussão se divide em 3 casos:

Para a ≠ 4 e a ≠ 1 S.P.D.

Para a = 4:

b = 8 ou b = 2 S.P.I.

b ≠ 8 e b ≠ 2 S.I.

Para a = 1

b = 2 ou b = 2

1S.P.I.

b ≠ 2 e b ≠ 2

1S.I.

Vetores:

14. 52

15. )( kjiv

3

16. )( kjiv

26

1

17. 4

147 e

8

37, respectivamente.

18. a ) 49 b) 7 c) 7

1

19. 6m ou 3m

20. kjix