CALCULO NUMÉRICO Y MANEJO DE ERRORES

  

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICERECTORADO ACADEMICODECANATO DE INGENIERIA

Victoria Dominguez CI 24400354

ANÁLISIS NUMÉRICO Es una rama de la matemática y también es la técnica mediante la cual se puede formular

problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, la computación es una herramienta que nos facilita su desarrollo.

IMPORTANCIA DE LOS METODOS

Los métodos numéricos son importantes ya que nos dan la capacidad para entender esquemas numéricos con la finalidad de resolver problemas matemáticos , científicos o de ingeniería en un computador .

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

·         Cálculo de derivadas·         Integrales·         Ecuaciones diferenciales·         Operaciones con matrices·         Interpolaciones·         Ajuste de curvas·         Polinomios

NUMEROS DE MAQUINAS DECIMALES También llamado código binario , es un sistema que

consta de dos números , (0) y (1) con base dos, la unidad lógica del computador utiliza componentes únicamente de apagado y encendido , o en una conexión abierto/cerrado.

EN BITS Existen varios métodos de conversión de números

decimales a binarios; aquí solo se analizará uno. Naturalmente es mucho mas fácil una conversión con una calculadora científica, pero no siempre se cuenta con ella, así que es conveniente conocer por lo menos una forma manual para hacerlo.

NÚMEROS DE MAQUINAS DECIMALES El método que se explicará utiliza la división sucesiva entre

dos, guardando el residuo como dígito binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir.

Tomemos como ejemplo el número 43 decimal. 43/2 = 21 y su residuo es 1 21/2 = 10 y su residuo es 1 10/2 = 5 y su residuo es 0 5/2 = 2 y su residuo es 1 2/2 = 1 y su residuo es 0 1/2 = 0 y su residuo es 1 Uniendo el número de abajo hacia arriba tenemos que el

resultado en binario es 101011

ERRORES RELATIVOS Y ABSOLUTOS Los errores asociados con los cálculos y

medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

COTA DE ERRORESEJEMPLODa una cota del error absoluto y otra del error relativo en

las siguientesaproximaciones:a) Radio de la Tierra: 6 400 km.b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.c) Habitantes de España: 41 millones.d) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,007

segundos.e) Volumen de una gota de agua: 0,4 mm3.

a) Cota del error absoluto: = 50Cota del error relativo: 0,008 b) Cota del error absoluto: = 5 000 000Cota del error relativo: 0,03 c) Cota del error absoluto: 500 000Cota del error relativo: 0,12 d) Cota del error absoluto: = 0,0005Cota del error relativo 0,07 e) Cota del error absoluto: = 0,05Cota del error relativo= 0,125 

FUNCIONES BASICAS DE ERRORES Los principales errores en cálculos

numericos,son los errores de redondeo y los errores de truncamiento, el error de redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC mientras que el error de truncamiento  se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo.

ERROR DE REDONDEO El error de redondeo se debe a la naturaleza

discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.

ERROR DE TRUNCAMIENTOEl error de truncamiento es el error que aparece cuando un procedimiento

infinito se hace finito.

El ejemplo clásico del error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una función, en series de potencia.

La expansión de una función en series de potencias de Taylor está dada por:

 

Como se ve, esta expansión es infinita lo cual no es práctico para calcular un valor de la función, de ahí que la serie se trunca, lo cual produce automáticamente un erro, el cual es precisamente llamado error de truncamiento. Póngase como ejemplo, el cálculo del valor de

Aquí se tendrán diferentes errores, dependiendo el número de términos usados para calcular la exponencial.

GRACIAS