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IE.P LA SALLE
“DIOS ES MISERICORDIA NOSOTROS TAMBIEN”
NOMBRE: JOSE ENRIQUE
APELLIDOS: HUAMAN CCAPCHA
PROFESOR:
CURSO: MATEMATICA
GMAIL:[email protected]
VALORES:
1
FE FRATERNIDAD
SERVICI
O
PresentaciónEn este siguiente manual de algunos temas que se toca en la secundaria que contiene concepto básico problemas propuestos de un nivel intermedio nada más les digo que sea de su agrado para ustedes y que si les gusto ojala que lo compartan con sus amigosY hasta una próxima ocasión
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FE FRATERNIDAD
SERVICI
O
INDICE
DIVISIBILIDA 4NUMEROS RACIONALES 15POLINOMIOS 29CONJUNTOS 39
3
En matemáticas, básicamente en aritmética, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero Z tal que: H = g · Z.Se suele expresar de la forma , que se lee: «g divide a H», o «g es un divisor de H» o también «H es múltiplo de g».
Por ejemplo:6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea de 6 entre 4 no es cero.
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Divisibilidad
Como la imagen anterior nos muestra que puedes aplicar la divisibilidad en tu vida diaria o para compartir algo ya una fruta o algún aperitivo.
Antes de meternos a la divisibilidad misma tenemos que saber unos conceptos básicos:
Múltiplo
Se llama múltiplo de un número al producto de dicho número por cualquier número natural
Si un número es múltiplo de otro, la división es exacta.
DIVISOR
Se dice que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.
5
LOS TERMINOS MULTIPLO Y DIVISOR SON CORRELATIVOS
Al decir que los términos múltiplo y divisor son correlativos, se quiere expresar que donde quiera que consideremos un múltiplo habrá que considerar un divisor y viceversa.
CONJUNTO DE DIVISORES DE UN CONJUNTO
Para hallar los divisores de un número es suficiente encontrar todos los productos equivalentes a dicho número.
El conjunto de divisores de un número diferente de cero es finito.
6
Número de divisoresEs la cantidad de números que pueden dividir a un número ya se primó o compuesto:
Numero primos: que solo tiene dos divisores que son el uno y el mismo número
Números compuesto: que se puede dividir por uno, por sí mismo y otros números más.
Un ejemplo les daré en esta tabla del 1 al 100 donde cada uno ya lo habrá hecho capaz en el pasado pero lo recordaremos para no olvidarnos, donde separaremos los números primos de los compuestos:
7
Números primos: 2;3;5;7;11:13;17;19;23;29;31;37;43;47;53;61;67;71;73;……;∞. Números compuestos: 4;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;21;22;24;25;26;27;28;……….;∞.
Y estos números podrían seguir hasta infinito o hasta donde podremos lograrlo nosotros.
MAXIMO COMUN DIVISOr8
DIVISORES COMUNES
Llamase divisor común de varios números, al número que lo divide exactamente a todos.
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor
1. Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:
Solución: 72 = 2 3 · 32
108 = 2 2 · 33
60 = 2 2 · 3 · 5
2. m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
3. 126 | 2 60 | 2 63 | 3 30 | 2 21 | 3 15 | 3 7 | 7 5 | 5 1 | 1 1 | 1
126 = 2.32.7 60 = 22.3.5
MCD = 2.3 = 6
9
72 | 2 108 | 2 180 | 2 36 | 2 54 | 2 90 | 2 18 | 2 27 | 3 45 | 3 9 | 3 9 | 3 15 | 3 3 | 3 3 | 3 5 | 5 1 | 1 1 | 1 1 | 1
72 = 23.32 108 = 22.33 180 = 22.32.5
MCD = 22.32 = 36
70 | 2 60 | 2 50 | 2 35 | 5 30 | 2 25 | 5 7 | 7 15 | 3 5 | 5 1 | 1 5 | 5 1 | 1 1 | 1
70 = 2.5.7 60 = 22.3.5 50 = 2.52
MCD = 2.5 = 10
MINIMO COMUN MULTIPLO M.C.M de dos números es el menor número (distinto al cero) que es múltiplo común de ambos números. Esto concepto se aplica en la suma o resta de números racionales, al tener que buscar un denominador común para dos o más fracciones.
EJEMPLO:1.
12 | 2 50 | 2 6 | 2 25 | 5 3 | 3 5 | 5 1 | 1 1 | 1
12 = 22.3 50 = 2.52
MCM = 22.3.52 = 300
10
2.
168 | 2 250 | 2 180 | 2 84 | 2 125 | 5 90 | 2 42 | 2 25 | 5 45 | 3 21 | 3 5 | 5 15 | 3 7 | 7 1 | 1 5 | 5 1 | 1 1 | 1
168 = 23.3.7 250 = 2.53 180 = 22.32.5
MCM = 23.32.53.7 = 63000
Se le podría denominar d dos formas factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de s, pero diferente de s. Los divisores 1 y s son denominados impropios.Por ejemplo:Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor al número dado. En este caso, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14.
Criterios de divisibilidad
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.Este método nos sirve para poder identificar rápido si es divisible o no y te puede ser muy útil en tu examen o en tu vida diaria.Estos algunos números que son casi los más difíciles de poder identificar si es divisible o no pero si aprendes esta fórmula lograras tener éxito donde se te presenten problemas como estos.
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Factor propio
14
Un número es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7
xyz: separamos el último seis (xy'z) y lo doblamos, z*2=aa, entonces xy-aa=ss. ss es múltiplo de 7 y xyz es par; por lo tanto, xyz es divisible entre 14
15
Un número es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5
aaa: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por lo tanto, aaa es divisible entre 15
17
Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17
2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.
18
Un número es divisible por 18 si es par y divisible por 9 (Si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9)
9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539.
19
Un número es divisible por 19 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de
3401: separamos el 1,lo doblamos (2) y sumamos 340+2= 342, ahora separamos el 2, lo doblamos (4) y sumamos 34+4=38 que es múltiplo de 19,
12
19. luego 3401 también lo es.
20
Un número es divisible entre 20 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20
57860: Sus 2 últimas cifras son 60 (Que es divisible entre 20), por lo tanto 57860 es divisible entre 20.
29
Un número es divisible por 29 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 29.
2262: separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos, 226+6= 232, ahora separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos 23+6=29 que es múltiplo de 29, luego 2262 también lo es.
31
Un número es divisible por 31 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31.
8618: separamos el 8, lo triplicamos (24) y restamos 861-24=837, ahora separamos el 7, lo triplicamos (21) y restamos, 83-21=62 que es múltiplo de 31, luego 8618 también lo es.
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Problemas propuestos
1. Benavides hace los ejercicios de Matemáticas cada 4 días, y los ejercicios de Lengua cada 6 días. ¿Cada cuánto tiempo coincide los ejercicios de las dos asignaturas en el mismo día?
2. El próximo día de actividades en el I.E.S "Las Salinas", se va a hacer un concurso entre los alumnos de 1º y 2º, se organizan equipos iguales, sin mezclar alumnos de distinto curso. 1º tiene 42 alumnos y 2º tiene 60.¿Cuántos alumnos tendrá como máximo cadaequipo?
3. Lidia visita a Nerea cada 15 días, Jena la visita cada 18 días. ¿Cada cuánto tiempo coinciden Lidia y Jena en casa de Nerea?
4. Andrea, Águeda y Paula tienen 45 bombonesy 50 trufas, los quieren poner en paquetes con elmismo número de unidades y sin mezclar ambosproductos, metiendo la máxima cantidad posible. ¿Cuántos deben poner en cada paquete
NUMEROS RACIONALES
14
Un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteroso más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.
Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.
FRACIONES
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Una fracción es una forma de escribir una división. De esta forma podemos representar la división entre dos números: el numerador es el dividendo, y el denominador el divisor. Así de simple: También podemos ver la fracción como una forma de partir en trozos iguales una cantidad, y quedarnos con algunos de ellos.
Propias: En estas fracciones el denominador es mayor que el numerador, por lo que el valor de la misma es de entre cero y uno. Por ejemplo: 2/3.
Impropias: En estas fracciones, en cambio, el denominador es menor que el numerados. Los valores de estas superan siempre a uno. Por ejemplo 3/2.
Aparentes: Estas fracciones son iguales a una unidad porque su numerador y denominador son iguales. Por ejemplo: 2/2.
Mixtas: Estas fracciones contienen una parte fraccionaria y la otra entera. Por ejemplo: 2 ¾
Decimales: Estas poseen como denominador a una potencia del número 10. Por ejemplo: 19/100.
Equivalentes: Se le llama así a dos fracciones en las que el producto de extremos es equivalente al producto de medios. Por ejemplo a/b = c/d si a.d = b.c. En estas a y d son los extremos mientras que b y c los medios.
Irreductibles: Estas son las fracciones que no se pueden simplificar. Esto se da cuando el numerador y el denominador son ambos números primos. Por ejemplo: 6/13.
Amplificadas: Estas fracciones son el resultado de multiplicar al numerador y al denominador por el mismo número, por ejemplo: 1/3 = 1×4/3×4= 6/21.
16
Simplificadas: Estas fracciones son, en cambio, el resultado de dividir al numerador y al denominador por el mismo número, por ejemplo: 15/6 = 15:3/6:3 = 5/2.
Irreductibles: en estas fracciones sus numeradores y denominadores no tienen ningún divisor en común más allá de 1. Por ejemplo, 2/3.
Unitarias: Estas fracciones están compuestas por un número racional cuyo denominador es un número positivo y entero y su numerador es 1. Un ejemplo es ½.
Adición y potenciación de números racionales
Suma
Para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar.
Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso:
65+35=6+35=95
MULTIPLICACION Y DIVISION NDE NUMEROS RACIONALES
Multiplicación de números racionales
El producto entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador y denominador son los productos de los
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numeradores y denominadores de cada uno de los factores. Veamos un ejemplo:
Para operar más sencillamente conviene simplificar. En la multiplicación entre fracciones se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador.
División de números racionales
Para dividir dos números racionales, se multiplica al dividendo (primera fracción) por el inverso del divisor (segunda fracción), es decir a la primera fracción se la multiplica por la segunda fracción invertida. Veamos un ejemplo:
No te olvides que aquí también se respeta la regla de los signos y si es posible hay que simplificar la fracción obtenida.
Potenciación de números racionales
La potenciación es una operación matemática, entre una base y un exponente, donde el exponente nos indica el número de veces que debe multiplicarse la base, para obtener un resultado llamado potencia. En nuestro ejemplo se lee: "dos tercios elevado al exponente 3" o "dos tercios al cubo".
LAS PARTES O ELEMENTOS DE LA POTENCIACIÓN:
Base:
18
Exponente:
Potencia:
El exponente nos indica el número de veces que debe multiplicarse la base.
Ejemplo:
Resuelve: 33
Solución:
33 = 3 x 3 x 3 = 27
TEOREMAS
∀ a y b ∈ Q se cumplen los siguientes teoremas o propiedades:
EXPONENTE UNO
Un número racional elevado al exponente 1 es igual al mismo número.
Ejemplo:
19
2) EXPONENTE CERO
Cualquier número racional elevado al exponente 0 (cero) es igual a 1 (uno).
Ejemplo:
PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES
La multiplicación de dos potencias de igual base es igual a la misma base y se suman los exponentes.
Ejemplo:
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COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES
La división de dos potencias de igual base es igual a la misma base y se restan los exponentes del numerador y denominador.
Ejemplo:
POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN
La multiplicación de números racionales elevado a un exponente es igual a cada factor elevado al exponente, es decir, el exponente se distribuye como exponente de ambos factores.
Ejemplo:
21
POTENCIA DE UNA DIVISIÓN
En una fracción elevada a un exponente, este último se distribuye como exponente del numerador y denominador.
Ejemplo:
Ejemplo:
POTENCIA DE POTENCIA
En una potencia de potencia se escribe el número y se multiplican los exponentes.
22
Ejemplo:
Ejemplo:
POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO
Un número racional elevado a un exponente negativo se intercambian numerador con denominador y el exponente cambia de signo.
Ejemplo:
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NUMEROS DECIMALES
Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto.
La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma. Aquí varios ejemplos para ilustrar estos casos:
7,653
24
FRACCION GENERATRIZ
Pasar de decimal exacto a fracción. Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Periódico puro: En el numerador, la resta del número sin la coma, menos la parte no periódica, y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo. Ejemplos:
25
Periódico mixto: En el numerador, la resta del número sin la coma, menos la parte no periódica, y en el denominador, tantos nueves como decimales haya en el periodo seguido
de tantos ceros como decimales que no estén en el periodo. Ejemplos:
Propiedades de los números racionales
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Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna
Según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara.ab+cd=ef
Propiedad asociativa
Se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.-
donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:ab+cd=cd+ab
Elemento neutro
El elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto
Es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
27
ab−ab=0Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.-
en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.ab×cd=efEsta además aplica con la división:ab÷cd=efPropiedad asociativa
Donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.-
aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.ab×cd=cd×abPropiedad distributiva
Al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro
En la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.ab×1=ab ab÷1=ab
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Polinomios
Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn, donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo.
Ejemplos:1) 3x -22) x4+ 53) 2n2-5n + 34) 5y3+ 4y2-3y + 15) 23Las siguientes expresiones algebraicas no son polinomios:
Por qué: la variable ya sea cualquier letra de abecedario (las más comunes x, y, z) no puede ser ninguna fracción, raíz, etc.
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Observación: la variable puede tener exponentes negativos.
Término: Un término es una parte de una expresión algebraica.Los términos se separan entre sí por los signos de suma (+) o resta (-).2n2-5n + 35y3+ 4y2-3y + 1 términos
Y puede haber una infinidad de términos
Coeficiente numérico: . Es el factor numérico del mismo. . Término constante: . Es el coeficiente numérico que no contiene variable.
Clasificación de los polinomios
Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos.
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Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio.
Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio.
#Si tiene tres términos se llama trinomio
Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún
nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de
términos que contiene.
Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está determinado por el término que contiene el mayor exponente.
Si tiene más de una variable, se suman los exponentes de cada término y la suma más alta determina el grado del polinomio.
Completar el siguiente cuadro:
Orden de un polinomio
Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden
descendente, es decir, de mayor a menor
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Grado de un
Polinomios gradoEs de grado cuatroEs de grado tresEs de grado dosEs de grado unoEs de grado ceroEs de grado ocho
ascendente, es decir, de menor a mayor.
Polinomio Orden
3x2–5x + 8 Orden descendente
8 –5x + 3x2 Orden ascendente
Términos semejantes
Dos términos son semejantes cuando ambos son numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales.
Semejantes No semejantes
6 ; -11 6 ; -11x
x ; 3x x ; 3x2
-3x ; 11x -3x;11xy
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Problemas propuestos
1)2x4–3x3+ 6x –8ccuandocx = -2
2) x2+5x –6 cuando x = -3
3)3xy –xy+4 cuando x = 1 y y= -2
Factorización de un polinomio
Es expresar un polinomio como producto de factores, que, al multiplicarlos todos, resulta el polinomio original.
Proceso inverso a la propiedad distributiva
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Máximo Común Factor
Factor común mayor
Se buscan los factores de cada término
Se agrupan a la izquierda los factores en común en cada término, luego se coloca en paréntesis los factores restantes de cada término.
2a(m -2n) -b (m -2n ) = 2a(m -2n) -b (m -2n ) = (m -2n )( 2a -b )
3x(2z -5z) + x (2z –5z) = 3x(2z –5z) + x(2z –5z)
= (2z –5z) (3x + x)
Fórmulas Especiales
Diferencia de cuadrados perfectos
x2–y2= (x –y) (x + y) Suma de cubos
a3 + b3=(a + b) (a2-ab+ b2)Diferencia de cubos
a3 –b3 =(a -b) (a2+ ab+b2)
Cuadrado perfecto
a2+ 2ab + c =(a + b)2
a2–2ab + c = (a -b)234
Trinomios De la forma x2±bx±c
Siempre se factoriza de la siguiente manera
(x ±#) (x ±#)
El trinomio nos da unas claves para resolver estos ejercicios de una forma más rápida:
El segundo signo nos indica si los signos en los paréntesis son iguales o diferentes,
El primer signo indica donde va colocado el factor mayor.
La primera pregunta que usted se debe hacer que factores de c sumados (si el segundo signo es +) o restados (si el segundo signo es negativo) me dan b (en valor absoluto).
Polinomio factorización
x2+ bx+ c (x + #) ( x + #)Factores de c que sumados me den b
x2-bx + c (x -#) ( x -#)Factores de c que sumados me den b
x2+ bx –c (x + factor mayor) ( x -#)Factores de c que restados me den b
x2-bx –c (x + #) ( x –factor mayor)Factores de c que restados me den b
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Problemas propuestos 1) a2b -ab2=
2) 6p2q + 24pq2=
3) 12x3y -48x2y2=
4) 9m2n + 18 mn2-27mn=
5) ¼ ma+ ¼ mb+ ¼ mc
6) a/5 + b/25 + c/ 40
7) x2-8x + 16 =
8) 16y2+ 24y + 9 =
9) 36a2-12a + 1 =
10) 4x2+ 20xy + 25y2=
11) 16x2-25y2=
12) 144 -x2y2=
13) 36 -25a2=
14) 25 -4a2=
15) 16m2n2-9p2=
16) x2-4x + 3 =
17) x2-2x -15 =
18) x2-7xy -18y2=
19) 12 -4x -x2=
20) 5x2-11x + 2 =
21) 6x2-7x -5 =36
22) 12x2+ 17x -5 =
23) 7u4-7u2v2=
24) kx3+ 2kx2-63kx =
25) 5x3-55x2+ 140x =
26) 4m2n2+ 24m2n -28m2=
37
Conjuntos
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
38
B={ primavera, verano, otoño, invierno }
El símbolo indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada /quedando el símbolo como .
Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u }, a B y c B
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal .
Note que se utiliza solo para elementos de un conjunto y solo para conjuntos.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
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Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde
o N={ 1, 2, 3, .... } Conjunto de números enteros positivos y negativos representados
por la letra Z donde Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.
Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprensión.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A ∪ B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A ∪ B = { x/x ∈ A ó x ∈ B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCION
Sean A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
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Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A B, algebraicamente se escribe así:
A B = { x/x A y x B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q P={ a, b, o, r, s, y }
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A B.
A B= { }
El resultado de A B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A B=
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A B = entonces A y B son ajenos.
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COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x U/x y x A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x A ; X B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
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DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.
Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:
Esos son los gráficos de los conjuntos que la parte pintada de color azul representa:
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Propiedades de conjuntos
Unión:
1° (A U A) = A
2° (A U B) = B U A
3° A U (B U C) = (A U B) U C
4° A U ᴓ = A
5° A U U = U
Intersección:
1° (A ∩ A) = A Idempotencia
2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa
3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa
4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad
5° A ∩ U = A Identidad
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Diferencia:
1° (A - B) ≠ B - A
2° A - B = A ∩ B’
3° A - ᴓ = A
4° A - U = ᴓ
5° ᴓ - A = ᴓ
6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)
Conjunto complemento:
1° A U AC = U
2° A ∩ AC = ᴓ
3° UC = ᴓ
4° ᴓC = U
5° (AC)C = A
DIFERENCIA SIMETRICA
1° A Δ B = B Δ A
2° (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
3° A Δ A = ᴓ
4° A Δ ᴓ = A
5° A Δ U = U - A
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