Matrizes

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Capítulo 1 - Parte 1

Professor: Luiz Fernando Nunes

Geometria Analítica e Álgebra Linear ii

Índice 1 Matrizes e Determinantes ......................................................................................... 1

1.1 Matrizes ............................................................................................................ 1 1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes ........................................................................ 2 1.1.2 Operações com matrizes ............................................................................. 4 1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes: ............................................................... 9

1.1.4 Matrizes Elementares ................................................................................ 10 1.1.5 Definição de Matriz como Função ............................................................ 12

1.2 Determinantes e Matriz Inversa ...................................................................... 12 1.2.1 Determinantes ........................................................................................... 12 1.2.2 Matriz Inversa ........................................................................................... 14

1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa .......................... 17 Referências Bibliográficas ............................................................................................ 18

Geometria Analítica e Álgebra Linear 1

1 Matrizes e Determinantes

1.1 Matrizes

Noção de matriz:

Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas.

Representação

Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por:

nmji

mnmm

n

n

nm a

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

, onde 1 i m, 1 j n.

Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz,

podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e

n.

O símbolo nmM indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem nm de

elementos reais.

Exemplos

1. Se

305

212

011

A , então temos que: 111 a , 112 a , 013 a , 221 a ,

122 a , 223 a , 531 a , 032 a , 333 a .

2. Se

270

5293B , então temos que: 311 b , 912 b , 213 b , 514 b ,

021 b , 722 b , 223 b , 24b .

3. Se

187

34

2/13/2

C , então temos que: 3

211 c ,

2

112 c , 421 c , 322 b ,

021 b , 731 c , 1832 c .

4. Suponha que temos alguns dados como peso, altura e idade referentes a um grupo de

quatro pessoas, como na tabela seguinte:

Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos)

Pessoa 1 1,75 62 40

Pessoa 2 1,64 53 27

Pessoa 3 1,83 75 31

Pessoa 4 1,50 50 18


Podemos representar estas informações na matriz seguinte:

185050,1

317583,1

275364,1

406275,1

D , onde cada linha representa um indivíduo e as colunas

representam, as grandezas altura, peso e idade, respectivamente.

Definição

Duas matrizes nmijnm aA

][ e

srijsr bB

][ são iguais, se e somente se:

jiba

sn

rm

ijij ,

1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes

Matriz Quadrada

É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n.

Exemplos

5.

302

715

010

A , 8B e

73

49C .

Matriz Nula

É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, 0ija para todo i e j.

Exemplos

6.

000

000

000

A e

00

00B

Matriz Linha

É aquela onde m = 1.

Exemplos

7. 2309 A e 31B

Matriz Coluna

É aquela onde n = 1.


Exemplos

8.

1

2

9

7

A e

2

3B

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada (m = n) onde 0ija , para ji .

Exemplos

9.

200

040

001

A e

3000

0100

0040

0009

B

Matriz Identidade

É uma matriz diagonal onde

jiparaa

ejiparaa

ij

ij

1

0

Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por nnI ou apenas nI .

Exemplos

10.

100

010

001

A ,

10

01B e

1000

0100

0010

0001

C

Matriz Triangular Superior

É uma matriz quadrada onde 0ija para i > j.

Exemplos

11.

100

270

091

A ,

10

91B ,

1000

2100

0600

3031

C

Matriz Triangular Inferior

É uma matriz quadrada onde 0ija para i < j.


Exemplos

12.

17

029

004

A ,

13

01B e

1002

0934

0056

0001

C

1.1.2 Operações com matrizes

Adição

Dadas duas matrizes nmijnm aA

][ e

nmijnm bB

][ , então:

nmnmnm ijijijij babaBA

][][][

Exemplos

13. Se

171

229

104

A e

126

031

812

B , então

095

2510

716

BA

14. Suponha que as tabelas que seguem trazem as produções de soja, feijão e milho (em

milhares de toneladas) de dois anos consecutivos de três regiões de um país:

Produção agrícola do primeiro ano

Soja Feijão Milho

Região 1 2000 150 700

Região 2 1000 450 120

Região 3 500 300 900

Produção agrícola do segundo ano

Soja Feijão Milho

Região 1 2500 200 400

Região 2 500 250 300

Região 3 1500 200 100

Se representarmos estas produções pelas matrizes:

900300500

1204501000

7001502000

A e

1002001500

300250500

4002002500

B , respectivamente, então a matriz

10005002000

4207001500

11003504500

BA representa a produção total nestes dois anos

consecutivos.


Propriedades da Adição de Matrizes

i) Associatividade: ,CBACBA nmMCBA ,,

ii) Comutatividade: ABBA , nmMBA,

iii) Elemento Neutro: A0A , onde 0 denota a matriz nula nm , nmMA

iv) Oposto: Dada nmMA , existe a matriz A nmM , tal que 0AA

Multiplicação de matriz por escalar

Dada uma matriz nmijnm aA ][ e um escalar , então:

nmnm ijij aaA

][][

Exemplos

15. Se

471

269

103

A e 2 , então

8142

41218

206

2 AA

16. Se

252

143B e 3 , então

6156

31293 BB

17. Suponha que a tabela que segue traz a produção de arroz e milho (em milhares de

toneladas) de dois Estados de um país em um determinado ano:

Arroz Milho

Estado X 400 600

Estado Y 700 800

Se representarmos estas produções pela matriz:

800700

600400A e no ano seguinte

estes Estados dobraram suas produções, então a matriz

16001400

12008002 A representa esta

nova safra.

Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar

i) AA , ,,nmMA

ii) AAA , ,,nmMA

iii) BABA , ,, nmMBA

iv) AA1 , nmMA

v) 0A0 , nmMA obs.: 0 e nmM0


Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes nmijnm aA

][ e

pnjkpn bB

][ , então:

pmikcCBA

][ , onde

n

j

jkijnkinkikikiik bababababac1

332211 .....

Exemplos

18. Se

2221

1211

aa

aaA e

232221

131211

bbb

bbbB , então

232221

131211

ccc

cccC , onde:

2

1

2211

j

jkijkikiik bababac , isto é:

2112111111 babac

2212121112 babac

2312131113 babac

2122112121 babac

2222122122 babac

2322132123 babac

19. Se

112

131A e

6021

1125

1304

B , então

24232221

14131211

cccc

ccccC ,

onde:

1211534111 c

821230112 c

001133113 c

461131114 c

211514221 c

421210222 c

501113223 c

761111224 c

Logo

7542

40812C

20. Imagine que uma empresa possui duas confeitarias chamadas de A e B, que fabricam

três tipos de bolos chamados de 1, 2 e 3.

As vendas de bolos destas confeitarias, por semana, estão apresentadas na tabela que

segue:

Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo 2 Bolo tipo 3

A 50 unidades 30 unidades 25 unidades

B 20 unidades 20 unidades 40 unidades

Para a fabricação destes bolos, são necessários materiais conforme a seguinte tabela:


Bolo Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos

Tipo 1 500 g 200 g 500 ml 150 g 4

Tipo 2 400 g 100 g 300 ml 250 g 5

Tipo 3 450 g 150 g 600 ml 0 g 6

Que quantidade destes materiais cada confeitaria deverá receber semanalmente para

atender às demandas?

Se a primeira tabela for representada pela matriz

402020

253050X e a segunda

tabela pela matriz

60600150450

5250300100400

4150500200500

Y , a resposta será dada pela matriz

YXZ :

Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos

A 11c 12c 13c 14c 15c

B 21c 22c 23c 24c 25c

4825045025400305005011 c

1675015025100302005012 c

4900060025300305005013 c

15000025250301505014 c

50062553045015 c

3600045040400205002021 c

1200015040100202002022 c

4000060040300205002023 c

8000040250201502024 c

42064052042025 c

Logo a resposta é:

Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos

A 48250 16750 49000 15000 500

B 36000 12000 40000 8000 420

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

(Desde que sejam possíveis as operações)

i) ,AAIIA sendo I a matriz identidade

ii) CABACBA e CBCACBA

iii) CBACBA

iv) 0A0 e 00A

Observe que em geral ABBA , podendo inclusive um dos membros estar definido

e o outro não.


Transposição de matrizes

Dada uma matriz nmnmijnm MaA ][ , denomina-se transposta de A, a matriz:

mnijT bA ][ , cujas linhas são as colunas de A, isto é: jiij ab .

Exemplos

21. Se

471

269

103

A , então

421

760

193TA

22. Se

52

40

13

B , então

541

203TB

Propriedades da Transposição de Matrizes

i) TTTBABA

ii) TTAA , onde

iii) AATT

iv) TTTABBA

Definições

Seja A uma matriz quadrada, então:

a) A é dita simétrica, se e somente se, AAT .

Exemplo

23.

571

720

103

A AAT

571

720

103

b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, AAT .

Exemplo

24.

053

501

310

A AAT

053

501

310


1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes:

25. Para cada , considere a matriz

cossen

sencosT

a) Mostre que TTT

cossen

sencos

cossen

sencosTT

=

coscossensencossencossen

cossencossensensencoscos

T

cossen

sencos

b) Ache T

TTT

cossen

sencos

cossen

sencos

26. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT .

BABABA TTT .

27. Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica.

Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo AAT e BBT .

.BABABABA TTT

28. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então TAA é uma matriz simétrica.

TTTTTTT AAAAAAAA

29. Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz

simétrica.

Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT .

ABABBA TTT .

30. Se 0BA , então podemos afirmar que 0A ou 0B ?

Não! Encontre alguns contra-exemplos.

31. Suponha que 0A e CABA , então podemos afirmar que B=C ?

Não!

CABA 0CABA 0CBA . Sabemos que 0A , e que podemos

ter 0CBA sem que 0CB , Logo B não é necessariamente igual a C.


32. Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que IAY , podemos

afirmar que B=C ?

Sim !

CABA CAYBAY CAYBAY CIBI B=C

33. Podemos dizer que a seguinte igualdade 2222 BBAABA é verdadeira?

Não!

22 BABBAABBABBAAABABA

34. Podemos dizer que a seguinte igualdade 2222 BBAABA é verdadeira?

Não!

22 BABBAABBABBAAABABA

1.1.4 Matrizes Elementares

Definição

Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes

operações:

i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;

ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;

iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma

constante diferente de zero.

Definição

Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas

linhas de uma matriz identidade.

Exemplos

35. Considere a matriz identidade

1000

0100

0010

0001

I . Então as matrizes

1000

0100

0050

0001

1E ,

1000

0001

0010

0100

2E ,

1020

0100

0010

0001

3E , são matrizes

elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se

iL representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira:


1000

0100

0010

0001

22 5 LL

1

1000

0100

0050

0001

E

1000

0100

0010

0001

31 LL

2

1000

0001

0010

0100

E

1000

0100

0010

0001

244 2LLL

3

1020

0100

0010

0001

E

Teorema

Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de nI .

Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem rn , então

o resultado será igual a AE .

Exemplo

36. Considere as matrizes elementares 1E , 2E e 3E , obtidas conforme segue:

100

010

001

11 3 LL

1

100

010

003

E

100

010

001

32 LL

2

010

100

001

E

100

010

001

233 4LLL

3

140

010

001

E

Considere agora a matriz

1532

0241

3021

A . Verifique que:

1532

0241

3021

11 3 LL

1532

0241

9063

=

100

010

003

1532

0241

3021

1532

0241

3021

32 LL

0241

1532

3021

=

010

100

001

1532

0241

3021


1532

0241

3021

233 4LLL

13136

0241

3021

=

140

010

001

1532

0241

3021

1.1.5 Definição de Matriz como Função

Uma matriz do tipo m n sobre um corpo F é uma aplicação do conjunto X={ (i, j)

N N: 1 i m, 1 j n } em F. (N é o conjunto dos números naturais).

Se m = n a matriz é dita matriz quadrada.

Exemplo

37. A aplicação A: X onde X= { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3) }, definida por:

A(1,1) = 1, A(1,2) = 1, A (1,3 ) = 3,

A (2,1) = 3, A (2,2) = 4, A (2,3) = 0

é uma matriz do tipo 2 3, isto é: A =

043

311

1.2 Determinantes e Matriz Inversa

1.2.1 Determinantes

Definições

Se

2221

1211

aa

aaA 21122211det aaaaA

Se

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A 312213322113312312

332112322311332211det

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaA

Definição

Dada uma permutação dos inteiros n,.....,2,1 , existe uma inversão quando um inteiro

precede outro menor que ele.

Permutação Número de inversões

( 1 2 3 ) 0

( 1 3 2 ) 1

( 2 1 3 ) 1

( 2 3 1 ) 2

( 3 1 2 ) 2

( 3 2 1 ) 3

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn .

Então nnjjjj

JaaaaA ......1det

321 321


Onde ),....,,,,( 321 njjjjJJ é o número de inversões da

permutação ),....,,,,( 321 njjjj e indica que a soma e estendida para todas as n!

permutações.

Observações

i) o coeficiente J1 dá o sinal de cada parcela da somatória.

ii) em cada termo existe um e só um elemento de cada linha e um e só um elemento de cada

coluna.

iii) Através de reordenações, mostra-se também que: njjjjJ

naaaaA ......1det 321 321

Propriedades dos determinantes

i) TAA detdet

ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por k , o determinante fica multiplicado

por k.

iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.

iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero.

v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos

correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.

vi) BABA detdetdet

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn . Uma submatriz ijA de A é uma matriz obtida de A

eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

Exemplo

38. Se

432

304

121

A então

32

2123A ,

30

1231A , etc.

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn . O cofator ou complemento algébrico de um

elemento ija de A é o número: ijji

ij Adet1

.


Exemplo

39. Se

432

304

121

A então:

943

30det1det1

211

1111

A ,

732

21det1det1

523

3223

A , etc.

Desenvolvimento de Laplace

Generalizando: ij

n

j

ijnnij aa

1

det para qualquer linha i.

Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j:

ij

n

i

ijnnij aa

1

det para qualquer coluna j.

Exemplo

40. Se

432

304

121

A então calcule .det A

Escolhendo, por exemplo a segunda linha (i=2)

2323222221212

3

1

2det aaaaA j

j

j

43

12det14

12+

42

11det10

22

32

21det13

32

1736054

1.2.2 Matriz Inversa

Seja A é uma matriz quadrada n n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz

B, também n n, que satisfaz a seguinte propriedade: IABBA , em que nII é a

matriz identidade n n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.

Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 1A , logo: IAAAA 11

Exemplo

41. Ache a inversa da matriz

41

32A

10

01

41

32

dc

ba

10

01

44

3232

dbca

dbca

04

132

ca

ca

5

4a e

5

1c e

14

032

db

db

5

3b e

5

2d


Logo

5

2

5

15

3

5

4

1A

Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo:

10

01

41

32

dc

ba

Teorema

Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.

Demonstração

Vamos supor que a matriz A possui duas inversas 11A e 1

2A . Logo temos que

AAIAA 11

11 e AAIAA 1

21

2 .

Assim 12

12

12

11

12

11

11

11

AAIAAAAAAIAA .

Portanto 12

11

AA e a inversa é única.

Observações

i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então BA é também invertível e

111 ABBA .

ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 0det A .

iii) Se A é uma matriz quadrada e 0det A , então A

Adet

1det 1 .

Demonstração de (iii)

Sabemos que BABA detdetdet . Se IAA 1 , então temos que

IAAAA detdetdetdet 11 A

Adet

1det 1 .

iv) AA 11 .

v) 11 TTAA .

Teorema

Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas

linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 1A .

Demonstração

Se A for linha equivalente a I, podemos conseguir essa redução multiplicando A à

esquerda por uma seqüência kEEEE ,.....,,, 321 de matrizes elementares. Portanto, temos

IAEEEEE kk 1231.... . Denotando 1231.... EEEEEB kk , temos IAB .

Assim, temos que A é invertível e 1 AB . Agora, aplicar a mesma sequência de operações

elementares em I é equivalente a multiplicar I, à esquerda por 1231.... EEEEE kk . O


resultado é 111231....

AIAIBIEEEEE kk . Desta forma, I é transformada

em 1A pela mesma seqüência de operações elementares de linhas.

Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a

matriz inversa de A:

][ IA

.. elemop

][ 1AI

Exemplo

42. Ache a inversa da matriz

321

121

121

A

100321

010121

001121

21 LL

100321

001121

010121

133

122

LLL

LLL

110440

011240

010121

224

1LL

110440

04

1

4

1

2

110

010121

233

211

4

2

LLL

LLL

101200

04

1

4

1

2

110

02

1

2

1001

332

1LL

2

10

2

1100

04

1

4

1

2

110

02

1

2

1001

3222

1LLL

2

10

2

1100

4

1

4

1

2

1010

02

1

2

1001

. Assim,

2

10

2

14

1

4

1

2

1

02

1

2

1

1A .

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn . Então a matriz dos cofatores de A é a matriz nnijA

.

Exemplo

43. Se

13

12A então

21

31

2221

1211A

Pois

11111

11

,

33121

12

,


11121

21

,

22122

22

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn . Chama-se matriz adjunta de A, a matriz

TAadjA .

Exemplo

44. Se

13

12A então

23

11

21

31T

adjA

Teorema

Seja A uma matriz quadrada nn , tal que 0det A . Então: nIAadjAA det .

Deste teorema podemos concluir que:

nIAadjAA det nIA

adjAA

det

A

adjAA

det

1

1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa

45. Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial.

Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma

matriz 33 assim:

ADI

VA

XUP

, que usando a correspondência numérica fica: M =

149

2201

242116

Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo:

C =

102

212

011

Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos CM :

7133

22145

183722

CM


Transmitimos esta nova matriz CM . Quem recebe a mensagem, decodifica-a através

da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo 1 CCM e posterior transcrição dos

números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.

Questão

Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz

17172

303510

333411

CM , traduza a mensagem.

46. Sendo A uma matriz quadrada nn e, verifique que AA n detdet .

47. Seja A uma matriz triangular superior. Calcule o determinante de A.

nn

n

n

n

a

aa

aaa

aaaa

A

000

00

0

333

22322

1131211

Aplicando Laplace sucessivamente 1111det aA

=

nn

n

n

a

a

aa

a

00

0det1

3

222

1111

=

nn

n

n

a

a

aa

aa

00

0det1

4

333

112211

=

nn

n

n

a

a

aa

aaa

00

0det1

5

444

11332211

=........... nnaaaa ...........332211

Referências Bibliográficas

1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do

Brasil, 1980.

2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,

1990.

3. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro:

Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

4. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.

Engineering

Matrizes