Metodos basicos da analise de estruturas luiz fernando martha - livro completo
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MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS Luiz Fernando Martha Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio Departamento de Engenharia Civil Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea CEP 22453-900 – Rio de Janeiro, RJ Tel.: (21) 3114-1190 – Fax: (21) 3114-1195 E-mail: [email protected]URL: http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
Metodos basicos da analise de estruturas luiz fernando martha - livro completo
1. MTODOS BSICOS DA ANLISE DE ESTRUTURAS Luiz Fernando Martha
Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro PUC-Rio
Departamento de Engenharia Civil Rua Marqus de So Vicente, 225 -
Gvea CEP 22453-900 Rio de Janeiro, RJ Tel.: (21) 3114-1190 Fax:
(21) 3114-1195 E-mail: [email protected] URL:
http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
2. Sumrio 1.
INTRODUO................................................................................................................1
1.1. Breve histrico sobre a Engenharia
Estrutural.....................................................2
1.2. Anlise estrutural
.....................................................................................................3
1.2.1. Modelo
estrutural..............................................................................................4
1.2.2. Modelo discreto
.................................................................................................6
1.2.3. Modelo
computacional...................................................................................10
1.3. Organizao dos captulos
....................................................................................11
2. CONCEITOS BSICOS DE ANLISE
ESTRUTURAL............................................13 2.1.
Classificao de estruturas
reticuladas................................................................13
2.2. Condies bsicas da anlise
estrutural..............................................................18
2.2.1. Condies de
equilbrio..................................................................................19
2.2.2. Condies de compatibilidade entre deslocamentos e deformaes
.......21 2.2.3. Leis constitutivas dos
materiais.....................................................................22
2.3. Mtodos bsicos da anlise
estrutural.................................................................24
2.3.1. Mtodo das
Foras...........................................................................................25
2.3.2. Mtodo dos Deslocamentos
...........................................................................28
2.3.3. Comparao entre o Mtodo das Foras e o Mtodo dos Deslocamentos
.................................................................................................31
2.4. Comportamento linear e superposio de
efeitos..............................................32 2.5.
Estruturas estaticamente determinadas e
indeterminadas...............................39 2.6. Determinao do
grau de
hiperestaticidade.......................................................44
3. IDEALIZAO DO COMPORTAMENTO DE
BARRAS.......................................49 3.1. Relaes entre
deslocamentos e deformaes em
barras..................................49 3.1.1. Deformaes
axiais..........................................................................................51
3.1.2. Deformaes normais por
flexo...................................................................52
3.1.3. Distores por efeito cortante
........................................................................53
3.1.4. Distores por toro
......................................................................................54
3.2. Relaes diferenciais de equilbrio em barras
....................................................55 3.3.
Equilbrio entre tenses e esforos
internos........................................................56
3.4. Deslocamentos relativos
internos.........................................................................59
3.4.1. Deslocamento axial relativo interno provocado por esforo
normal .......59 3.4.2. Rotao relativa interna provocada por
momento fletor...........................60 3.4.3. Deslocamento
transversal relativo interno provocado por esforo cortante
.............................................................................................................61
3.4.4. Rotao relativa interna provocada por momento toror 61 3.5.
Equao de Navier para o comportamento
flexo..........................................62 3.6. Comparao
entre vigas isostticas e hiperestticas
.........................................63 3.7. A essncia da
anlise de estruturas reticuladas
.................................................65
3. Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha
4. SOLUES FUNDAMENTAIS
..................................................................................69
4.1. Traado do diagrama de momentos fletores
......................................................69 4.2.
Energia de deformao e princpio da conservao de
energia.......................73 4.3. Princpio dos trabalhos
virtuais............................................................................78
4.3.1. Princpio das foras
virtuais...........................................................................79
4.3.2. Princpio dos deslocamentos
virtuais...........................................................95
4.3.3. Teoremas de
reciprocidade..........................................................................102
4.4. Solues fundamentais para barras
isoladas....................................................104
4.4.1. Funes de forma para configuraes deformadas elementares de
barras de prticos
planos..............................................................................105
4.4.2. Coeficientes de rigidez de barra de prtico plano
....................................108 4.4.3. Coeficientes de
rigidez toro de
barra...................................................118 4.4.4.
Reaes de engastamento de barra para solicitaes
externas................120 5. MTODO DAS FORAS
...........................................................................................129
5.1. Metodologia de anlise pelo Mtodo das
Foras.............................................129 5.1.1.
Hiperestticos e Sistema Principal
..............................................................130
5.1.2. Restabelecimento das condies de
compatibilidade...............................132 5.1.3. Determinao
dos esforos internos
...........................................................136 5.2.
Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga
.......................................138 5.3. Escolha do Sistema
Principal para uma viga contnua
...................................139 5.3.1. Sistema Principal
obtido por eliminao de apoios..................................140
5.3.2. Sistema Principal obtido por introduo de rtulas
internas.................150 5.4. Escolha do Sistema Principal para
um quadro fechado..................................154 5.4.1.
Sistema Principal obtido por corte de uma seo
.....................................155 5.4.2. Sistema Principal
obtido por introduo de rtulas.................................158
5.5. Exemplos de soluo pelo Mtodo das
Foras.................................................161 6. MTODO
DOS DESLOCAMENTOS
.......................................................................193
6.1. Deslocabilidades e Sistema Hipergeomtrico
..................................................193 6.2.
Metodologia de anlise pelo Mtodo dos
Deslocamentos..............................196 6.3. Matriz de
rigidez global e vetor dos termos de
carga.....................................203 6.4. Convenes de
sinais do Mtodo dos
Deslocamentos....................................205 6.5. Exemplo
de soluo de uma viga contnua
......................................................207 6.6.
Exemplos de soluo de prticos
simples.........................................................214
6.6.1. Prtico com trs deslocabilidades
...............................................................214
6.6.2. Prtico com articulao
interna...................................................................219
6.6.3. Prtico com barra inclinada
.........................................................................225
7. MTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIES NAS
DEFORMAES..........................................................................................................231
7.1. Classificao das simplificaes adotadas
........................................................232 7.2.
Considerao de barras
inextensveis................................................................233
7.2.1. Exemplo de soluo de prtico com barras
inextensveis........................236
4. Luiz Fernando Martha Sumrio 7.2.2. Regras para determinao de
deslocabilidades externas de prticos planos com barras
inextensveis..................................................................244
7.3. Simplificao para articulaes
completas........................................................251
7.3.1. Prtico com articulao no topo de uma coluna
.......................................252 7.3.2. Prtico com
articulao dupla na viga e
coluna........................................256 7.3.3. Exemplo de
soluo de prtico com duas articulaes............................260
7.4. Considerao de barras infinitamente
rgidas..................................................262 7.4.1.
Exemplo de soluo de prtico com dois pavimentos
.............................266 7.4.2. Exemplo de barra rgida com
giro
..............................................................268
8. PROCESSO DE
CROSS...............................................................................................273
8.1. Interpretao fsica do Mtodo da Distribuio de
Momentos......................274 8.2. Distribuio de momentos
fletores em um n
.................................................276 8.3. Soluo
iterativa do sistema de equaes de
equilbrio..................................280 8.4. Formalizao do
Processo de
Cross...................................................................283
8.4.1. Processo de Cross para um prtico com uma
deslocabilidade...............283 8.4.2. Processo de Cross para uma
viga com duas deslocabilidades................285 8.5. Aplicao do
Processo de Cross a quadros
planos..........................................289 9. MTODO DA
RIGIDEZ DIRETA (no includo, ainda sendo escrito) 10. CARGAS
ACIDENTAIS E MVEIS; LINHAS DE INFLUNCIA.....................294
10.1. Introduo
...........................................................................................................294
10.2. Linhas de influncia para uma viga biapoiada
..............................................295 10.3. Mtodo
cinemtico para o traado de
LI.........................................................296
10.4. Metodologia para clculo de LIs pelo mtodo cinemtico
..........................304 10.5. Linha de influncia de esforo
cortante em viga biengastada .....................305 10.6. Linha
de influncia de momento fletor em viga
biengastada......................306 10.7. Exemplo de determinao de
envoltrias de esforos internos...................307 APNDICE A
CONVENO DE SINAIS PARA ESFOROS INTERNOS (no includo, ainda sendo
escrito) APNDICE B ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA
...........................................313 B.1. Converso de
condies de
apoio......................................................................314
B.2. Roteiro do processo de Mohr
.............................................................................316
B.3. Clculo de deslocamentos em vigas
isostticas...............................................316 B.4.
Anlise de vigas hiperestticas
..........................................................................318
B.5. Determinao de reaes de engastamento de
vigas......................................321 B.6. Deduo de
coeficientes de rigidez de
barras..................................................323
REFERNCIAS
BIBLIOGRFICAS..............................................................................325
5. 1. INTRODUO O projeto e a construo de estruturas uma rea da
Engenharia Civil na qual mui- tos engenheiros civis se
especializam. Estes so os chamados engenheiros estrutu- rais. A
Engenharia Estrutural trata do planejamento, projeto, construo e
manu- teno de sistemas estruturais para transporte, moradia,
trabalho e lazer. Uma estrutura pode ser concebida como um
empreendimento por si prprio, como no caso de pontes e estdios de
esporte, ou pode ser utilizada como o esqueleto de outro
empreendimento, como no caso de edifcios e teatros. Uma estrutura
pode ainda ser projetada e construda em ao, concreto, madeira,
pedra, materiais no convencionais (materiais que utilizam fibras
vegetais, por exemplo), ou novos ma- teriais sintticos (plsticos,
por exemplo). Ela deve resistir a ventos fortes, a solici- taes que
so impostas durante a sua vida til e, em muitas partes do mundo, a
terremotos. O projeto estrutural tem como objetivo a concepo de uma
estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ela ser
construda, satisfazendo questes de segurana, condies de utilizao,
condies econmicas, esttica, questes ambi- entais, condies
construtivas e restries legais. O resultado final do projeto es-
trutural a especificao de uma estrutura de forma completa, isto ,
abrangendo todos os seus aspectos gerais, tais como locao, e todos
os detalhes necessrios para a sua construo. Portanto, o projeto
estrutural parte de uma concepo geral da estrutura e termina com a
documentao que possibilita a sua construo. So inmeras e muito com-
plexas as etapas de um projeto estrutural. Entre elas est a previso
do comporta- mento da estrutura de tal forma que ela possa atender
satisfatoriamente s condi- es de segurana e de utilizao para as
quais ela foi concebida. A anlise estrutural a fase do projeto
estrutural em que feita a idealizao do comportamento da estrutura.
Esse comportamento pode ser expresso por diversos parmetros, tais
como pelos campos de tenses, deformaes e deslocamentos na
estrutura. De uma maneira geral, a anlise estrutural tem como
objetivo a deter- minao de esforos internos e externos (cargas e
reaes de apoio), e das corres- pondentes tenses, bem como a
determinao dos deslocamentos e corresponden- tes deformaes da
estrutura que est sendo projetada. Essa anlise deve ser feita para
os possveis estgios de carregamentos e solicitaes que devem ser
previa- mente determinados. O desenvolvimento das teorias que
descrevem o comportamento de estruturas se deu inicialmente para
estruturas reticuladas, isto , para estruturas formadas por
6. 2 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha
barras (elementos estruturais que tm um eixo claramente definido).
Estes so os tipos mais comuns de estruturas, tais como a estrutura
de uma cobertura ou o es- queleto de um edifcio metlico. Mesmo em
casos de estruturas nas quais nem to- dos os elementos estruturais
podem ser considerados como barras (como o caso de edifcios de
concreto armado), comum analisar o comportamento global ou parcial
da estrutura utilizando-se um modelo de barras. Este livro est
direcionado para a anlise de estruturas reticuladas estaticamente
indeterminadas, isto , para a anlise de estruturas hiperestticas.
Isso inclui as treli- as (estrutura com todas as barras articuladas
em suas extremidades), os prticos ou quadros (planos e espaciais) e
as grelhas (estruturas planas com cargas fora do plano). Nele so
tratados principalmente os mtodos clssicos da anlise de estru-
turas hiperestticas: o Mtodo das Foras e o Mtodo dos Deslocamentos.
Nesse con- texto, a anlise considera apenas cargas estticas e
admite-se um comportamento linear para a estrutura (anlise para
pequenos deslocamentos e materiais elstico- lineares). Considera-se
como pr-requisito para a leitura deste livro conhecimentos de Mec-
nica Geral (Esttica), Anlise de Estruturas Isostticas (estruturas
estaticamente determinadas) e Resistncia dos Materiais. Parte-se do
princpio de que o leitor entende os conceitos bsicos de equilbrio
esttico, esforos internos, tenses e de- formaes. Diversos
livros-texto abordam esses assuntos. Como sugesto para leitura,
recomenda-se na rea de Esttica os livros de Hibbeler (1999) ou
Meriam e Kraige (1999), na rea de Anlise de Estruturas Isostticas
os livros de Campanari (1985) ou Sssekind (1977-1), e na rea de
Resistncia dos Materiais os livros de Beer e Johnston (1996),
Fodosiev (1977), Hibbeler (2000) ou Timoshenko e Gere (1994). 1.1.
Breve histrico sobre a Engenharia Estrutural Timoshenko
(1878-1972), um dos pais da Engenharia Estrutural moderna, descreve
em seu livro Histria da Resistncia dos Materiais (Timoshenko 1983)
um histrico do desenvolvimento terico sobre o comportamento de
estruturas. A Engenharia Es- trutural vai encontrar razes, se bem
que de uma forma emprica, nos grandes mo- numentos e pirmides do
antigo Egito e nos templos, estradas, pontes e fortifica- es da
Grcia e da Roma antigas. O incio da formalizao terica da Engenharia
Estrutural atribudo publicao do livro Duas Cincias, de Galileu, em
1638, que deu origem a todo o desenvolvimento da cincia desde o
sculo 17 at os dias de hoje. Antes disso, Leonardo da Vinci
(1452-1519) j havia escrito algumas notas sobre Esttica e
Resistncia dos Materiais. Durante esses sculos, vrios matemti- cos
e cientistas ilustres deram suas contribuies para formalizar a
Engenharia Es- trutural tal como se entende hoje. At o incio do
sculo 20 pode-se citar, dentre outros, Jacob Bernoulli (1654-1705),
Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Cou- lomb (1736-1806),
Navier (1785-1836), Thomas Young (1773-1829), Saint-Venant
7. Luiz Fernando Martha Introduo 3 (1797-1886), Kirchhoff
(1824-1887), Kelvin (1824-1907), Maxwell (1831-1879) e Mohr
(1835-1918). A formalizao da Engenharia Estrutural atravs de
teorias cientficas permite que os engenheiros estabeleam as foras e
solicitaes que podem atuar com seguran- a nas estruturas ou em seus
componentes. Tambm permite que os engenheiros determinem os
materiais adequados e as dimenses necessrias da estrutura e seus
componentes, sem que estes sofram efeitos prejudicais para o seu
bom funciona- mento. A Engenharia Estrutural sofreu um grande avano
no final do sculo 19, com a Re- voluo Industrial. Novos materiais
passaram a ser empregados nas construes, tais como concreto armado,
ferro fundido e ao. Tambm nessa poca que a En- genharia Estrutural
teve um grande desenvolvimento no Brasil. Em seu livro His- tria da
Engenharia no Brasil (Telles 1994-1, Telles 1984-2), Pedro Carlos
da Silva Tel- les descreve, com uma impressionante quantidade de
informaes histricas, esse desenvolvimento. Durante o sculo 20, os
principais desenvolvimentos se deram nos processos construtivos e
nos procedimentos de clculo. A Engenharia Civil brasileira
detentora de vrios recordes mundiais, notadamente na construo de
pontes. 1.2. Anlise estrutural Como dito, a anlise estrutural a
etapa do projeto estrutural na qual feita uma previso do
comportamento da estrutura. Todas as teorias fsicas e matemticas
resultantes da formalizao da Engenharia Estrutural como cincia so
utilizadas na anlise estrutural. A anlise estrutural moderna
trabalha com quatro nveis de abstrao1 para a es- trutura que est
sendo analisada, tal como indicado na Figura 1.1. O primeiro n- vel
de abstrao o do mundo fsico, isto , esse nvel representa a
estrutura real tal como construda. Essa viso de carter mais geral
sobre a anlise de estrutu- ras tem por objetivo definir claramente
o escopo deste livro. Modelo Discreto Estrutura Real Modelo
Estrutural Modelo Computacional Figura 1.1 Quatro nveis de abstrao
para uma estrutura na anlise estrutural. 1 Baseado na concepo do
paradigma dos quatro universos da modelagem em Computa- o Grfica
idealizado por Gomes e Velho (1998) e no conceito de anlise
estrutural de Felippa (2001).
8. 4 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha
1.2.1. Modelo estrutural O segundo nvel de abstrao da anlise
estrutural o modelo analtico que utili- zado para representar
matematicamente a estrutura que est sendo analisada. Esse modelo
chamado de modelo estrutural ou modelo matemtico e incorpora todas
as teorias e hipteses feitas para descrever o comportamento da
estrutura para as di- versas solicitaes. Essas hipteses so baseadas
em leis fsicas, tais como o equil- brio entre foras e entre tenses,
as relaes de compatibilidade entre deslocamen- tos e deformaes, e
as leis constitutivas dos materiais que compem a estrutura. A criao
do modelo estrutural de uma estrutura real uma das tarefas mais im-
portantes da anlise estrutural. Essa tarefa pode ser bastante
complexa, depen- dendo do tipo de estrutura e da sua importncia.
Por exemplo, o modelo estrutu- ral de um prdio residencial de
pequeno porte concebido de uma forma corri- queira. Em geral, o
modelo deste tipo de estrutura formado por um conjunto de linhas
que representam as vigas e colunas do prdio e pelas superfcies que
repre- sentam as lajes de seus pavimentos. Por outro lado, a
concepo do modelo estru- tural de um prdio que abriga o reator de
uma usina atmica muito mais com- plexa e pode envolver diversos
tipos de elementos estruturais, das mais variadas formas (por
exemplo, superfcies para representar paredes estruturais com furos
ou a superfcie para representar a casca de concreto armado que
cobre o prdio). Na concepo do modelo estrutural feita uma idealizao
do comportamento da estrutura real em que se adota uma srie de
hipteses simplificadoras. Estas esto baseadas em teorias fsicas e
em resultados experimentais e estatsticos, e podem ser divididas
nos seguintes tipos: hipteses sobre a geometria do modelo; hipteses
sobre as condies de suporte (ligao com o meio externo, por e-
xemplo, com o solo); hipteses sobre o comportamento dos materiais;
hipteses sobre as solicitaes que agem sobre a estrutura (cargas de
ocupa- o ou presso de vento, por exemplo). No caso de estruturas
reticuladas, o modelo estrutural tem caractersticas que so bastante
especficas. O modelo matemtico deste tipo de estrutura usa o fato
de os elementos estruturais terem um eixo bem definido e est
embasado na Teoria de Vigas de Navier, que rege o comportamento de
membros estruturais que traba- lham flexo, acrescida de efeitos
axiais e de toro. A Figura 1.2 mostra um e- xemplo de um modelo
estrutural bidimensional para o prtico de um galpo in-
dustrial.
9. Luiz Fernando Martha Introduo 5 Estrutura Real Modelo
Estrutural Figura 1.2 Estrutura real e o seu modelo estrutural.
Observa-se na Figura 1.2 que os elementos estruturais do galpo
(vigas e colunas) aparecem representados por linhas. A informao
tridimensional das barras fica representada por propriedades
globais de suas sees transversais, tais como rea e momento de
inrcia. Portanto, no caso de estruturas reticuladas, a considerao
da geometria do modelo uma tarefa simples: os eixos das barras
definem os ele- mentos do modelo estrutural. Entretanto, a
considerao das outras hipteses simplificadoras que entram na ide-
alizao do comportamento da estrutura real pode ser bastante
complexa. Por e- xemplo, a representao das solicitaes (cargas
permanentes, cargas acidentais, etc.) pode envolver um alto grau de
simplificao ou pode ser muito prxima da realidade. O mesmo pode ser
dito com respeito considerao do comportamento dos materiais ou do
comportamento das fundaes (condies de apoio). No e- xemplo da
Figura 1.2, a ligao da estrutura com o solo foi modelada por apoios
que impedem os deslocamentos horizontal e vertical, mas que
permitem o giro da base das colunas. Outro tipo de hiptese poderia
ter sido feito para os apoios: por que no consider-los como
engastes perfeitos (que impedem tambm o giro da base)? Nesse mesmo
modelo, as cargas verticais representam o peso prprio da estrutura
e as cargas horizontais representam o efeito do vento. De quantas
manei- ras se pode considerar os efeitos do vento ou de outras
solicitaes? Questes como essas mostram que existem diversas
possibilidades para a concep- o do modelo estrutural de uma
estrutura. Nessa concepo diversos fatores en- tram em cena, tais
como a experincia do analista estrutural e a complexidade da
estrutura e de suas solicitaes. Apesar da importncia da concepo do
modelo estrutural dentro da anlise estru- tural, no o objetivo
deste livro abordar esse assunto. Os modelos matemticos adotados
para a idealizao do comportamento de estruturas usuais j esto de
certa forma consagrados, principalmente no caso de estruturas
reticuladas. Esses modelos so descritos em livros de Resistncia dos
Materiais (Fodosiev 1977; Ti- moshen-ko & Gere 1994; Beer &
Johnston 1996) e Teoria da Elasticidade (Timo-
10. 6 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha shenko & Goodier 1980, Malvern 1969, Little 1973, Boresi
& Chong 1987, Villaa & Taborda 1998), entre outros. Tambm
no so tratadas aqui questes que se referem representao das solici-
taes reais no modelo estrutural, bem como questes relativas s leis
constitutivas dos materiais que compem a estrutura. Esses assuntos,
em geral, so abordados em disciplinas que tratam das etapas de
dimensionamento e detalhamento dentro do projeto estrutural, tais
como Estruturas de Ao, Estruturas de Concreto ou Es- truturas de
Madeira. O foco principal deste livro so as metodologias de anlise
de estruturas hiperest- ticas. No corpo deste volume, o modelo
estrutural completo (com materiais, solici- taes e apoios
definidos) vai ser sempre fornecido como ponto de partida para a
anlise. Entretanto, para entender os mtodos de anlise estrutural,
necessrio conhecer os modelos matemticos adotados para estruturas
reticuladas. Portanto, os Captulos 2, 3 e 4 deste livro resumem
todas as teorias fsicas e matemticas que so necessrias para
descrever os mtodos de anlise estrutural que so tratados neste
volume. 1.2.2. Modelo discreto O terceiro nvel de abstrao utilizado
na anlise estrutural o do modelo discreto (veja a Figura 1.1). Esse
modelo concebido dentro das metodologias de clculo dos mtodos de
anlise. Portanto, a concepo do modelo discreto de estruturas
reticuladas um dos principais assuntos tratados neste livro. De uma
forma geral, os mtodos de anlise utilizam um conjunto de variveis
ou parmetros para representar o comportamento de uma estrutura.
Nesse nvel de abstrao, o comportamento analtico do modelo
estrutural substitudo por um comportamento discreto, em que solues
analticas contnuas so representadas pelos valores discretos dos
parmetros adotados. A passagem do modelo matem- tico para o modelo
discreto denominada discretizao. Os tipos de parmetros adotados no
modelo discreto dependem do mtodo utili- zado. No Mtodo das Foras
os parmetros adotados so foras ou momentos e no Mtodo dos
Deslocamentos os parmetros so deslocamentos ou rotaes. Por exemplo,
a Figura 1.3 mostra a discretizao utilizada na soluo de um prtico
plano pelo Mtodo das Foras. Nesse mtodo, os parmetros adotados para
discre- tizar a soluo so foras ou momentos redundantes para
garantir o equilbrio est- tico da estrutura. Isto , so foras e
momentos associados a vnculos excedentes de uma estrutura
hiperesttica. Esses parmetros so denominados hiperestticos.
11. Luiz Fernando Martha Introduo 7 HA MA VA HB VB (0) (1)
(2)MA HB Figura 1.3 Superposio de solues bsicas no Mtodo das Foras.
No exemplo da Figura 1.3, os hiperestticos adotados so as reaes de
apoio MA (reao momento no apoio da esquerda) e HB (reao horizontal
no apoio da direi- ta). A configurao deformada do prtico,
denominada elstica (indicada pela li- nha tracejada na figura e
mostrada em escala ampliada), obtida pela superposi- o de solues
bsicas dos casos (0), (1) e (2) mostrados na figura. A estrutura
utilizada nas solues bsicas uma estrutura isosttica obtida da
estrutura origi- nal pela eliminao dos vnculos excedentes
associados aos hiperestticos. Cada soluo bsica isola um determinado
efeito ou parmetro: o efeito da solicitao externa (carregamento)
isolado no caso (0), o efeito do hiperesttico MA isolado no caso
(1) e o efeito do hiperesttico HB isolado no caso (2). A
metodologia de clculo do Mtodo das Foras determina os valores que
os hiperestticos devem ter para recompor os vnculos eliminados
(restrio rotao no apoio da esquerda e restrio ao deslocamento
horizontal do apoio da direita). Dessa forma, a soluo do problema
fica parametrizada (discretizada) pelos hiperestticos MA e HB. Essa
metodologia ser apresentada em detalhes no Captulo 5 deste livro.
Na soluo pelo Mtodo dos Deslocamentos para estruturas reticuladas,
a soluo discreta representada por valores de deslocamentos e rotaes
nos ns (pontos de encontro das barras), tal como indicado na Figura
1.4. Esses parmetros so de- nominados deslocabilidades. No exemplo
dessa figura, as deslocabilidades so os deslocamentos horizontais
dos ns superiores, x C e x D , os deslocamentos verti- cais desses
ns, y C e y D , e as rotaes dos ns livres ao giro, B, C e D.
12. 8 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha C D B C D B x C x D y C y D x C x D y C y D X Y Figura 1.4
Parmetros nodais utilizados na discretizao pelo Mtodo dos
Deslocamentos. Na Figura 1.4, a configurao deformada da estrutura
(elstica mostrada em escala ampliada) representa a soluo contnua do
modelo matemtico. Os valores das deslocabilidades nodais
representam a soluo discreta do problema. Nesse tipo de metodologia
baseada em deslocamentos, a soluo contnua pode ser obtida por
interpolao dos valores discretos dos deslocamentos e rotaes nodais,
conside- rando tambm o efeito da carga distribuda na barra
horizontal. Em geral, para estruturas reticuladas com barras
prismticas, a soluo obtida por interpolao igual soluo analtica do
modelo estrutural. Isto ocorre porque as funes de interpolao que
definem a configurao deformada contnua so compatveis com a
idealizao matemtica do comportamento das barras feita pela
Resistncia dos Materiais. A metodologia de clculo do Mtodo dos
Deslocamentos vai ser deta- lhada no Captulo 6. No caso de
estruturas contnuas (que no so compostas por barras), o mtodo
comumente utilizado na anlise estrutural uma formulao em
deslocamentos do Mtodo dos Elementos Finitos2 (Zienkiewicz &
Taylor 2000, Felippa 2001). Nesse m- todo, o modelo discreto obtido
pela subdiviso do domnio da estrutura em sub- domnios, chamados de
elementos finitos, de formas simples (em modelos planos, usualmente
tringulos ou quadrilteros), tal como exemplificado na Figura 1.5
pa- ra o modelo bidimensional de uma estrutura contnua com um furo.
Essa subdivi- so denominada malha de elementos finitos e os
parmetros que representam a so- luo discreta so valores de
deslocamentos nos ns (vrtices) da malha. Pode-se observar por esse
exemplo que a obteno do modelo discreto para estru- turas contnuas
muito mais complexa do que no caso de modelos de estruturas
reticuladas (prticos, trelias ou grelhas). Para estruturas formadas
por barras, os ns (pontos onde valores discretos so definidos) so
identificados naturalmente no encontro das barras, enquanto que
para modelos contnuos os ns so obtidos pela discretizao do domnio
da estrutura em uma malha. 2 Muitos outros mtodos so utilizados,
tais como o Mtodo dos Elementos de Contor- no. As notas de aula de
Felippa (2001) apresentam uma excelente introduo aos m- todos de
anlise de estruturas contnuas.
13. Luiz Fernando Martha Introduo 9 Figura 1.5 Discretizao pelo
Mtodo dos Elementos Finitos para uma estrutura contnua. Uma
importante diferena entre os modelos discretos de estruturas
reticuladas e de estruturas contnuas que a discretizao de uma malha
de elementos finitos introduz simplificaes em relao idealizao
matemtica feita para o compor- tamento da estrutura. Isto ocorre
porque as funes de interpolao que definem a configurao deformada de
uma malha de elementos finitos no so, em geral, compatveis com a
idealizao matemtica do comportamento do meio contnuo feita pela
Teoria da Elasticidade. Dessa forma, a soluo do modelo discreto de
elementos finitos uma aproximao para a soluo analtica da Teoria da
Elasti-
14. 10 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha cidade, ao passo que a soluo do modelo discreto de uma
estrutura com barras prismticas igual soluo analtica da Resistncia
dos Materiais. Conforme comentado, este livro trata apenas de
modelos de estruturas reticuladas. Existem diversas referncias para
o tratamento de estruturas contnuas atravs do Mtodo dos Elementos
Finitos. Pode-se citar os livros de Cook et al. (1989), Felippa
(2001), Zienkiewicz e Taylor (2000), Assan (1999), e Soriano
(2003). Este ltimo se constitui em uma referncia em portugus
recente e completa (dentro do contexto da anlise de estruturas)
sobre o Mtodo dos Elementos Finitos. 1.2.3. Modelo computacional
Desde a dcada de 1960 o computador tem sido utilizado na anlise
estrutural, embora inicialmente somente nos institutos de pesquisa
e universidades. Nos anos setenta essa utilizao passou a ser
corriqueira, e nos anos oitenta e noventa, com a criao de programas
grficos interativos, a anlise estrutural passou a ser feita com uso
de computador em praticamente todos os escritrios de clculo
estrutural e empresas de consultoria. A anlise de estruturas pode
ser vista atualmente como uma simulao computa- cional do
comportamento de estruturas. Embora este livro no esteja
direcionado diretamente ao desenvolvimento de programas para prever
o comportamento de estruturas, importante ter em mente que no se
concebe atualmente executar as tarefas de anlise estrutural, mesmo
para o caso de estruturas reticuladas, sem o uso de computador e de
Computao Grfica. Portanto, este livro pode ser considerado como
introdutrio para a anlise de es- truturas. As solues apresentadas
para os modelos discretos das formulaes do Mtodo das Foras e do
Mtodo dos Deslocamentos so obtidas atravs de resolu- o manual. O
enfoque dado aqui para o entendimento do comportamento de
estruturas reticuladas hiperestticas e dos fundamentos dos mtodos
bsicos da anlise estrutural. Livros-texto sobre o Mtodo dos
Elementos Finitos, como os que so citados acima, abordam de uma
certa maneira a implementao computacional do Mtodo da Rigidez
Direta (que uma formalizao do Mtodo dos Deslocamentos direciona- da
para uma implementao computacional) e do Mtodo dos Elementos
Finitos. O Mtodo das Foras tem uma metodologia que no conveniente
para ser im- plementada computacionalmente e, por isso, pouco
utilizado em programas de computador. Entretanto, diversos outros
aspectos esto envolvidos no desenvolvimento de um programa de
computador para executar uma anlise estrutural. Questes como
estruturas de dados e procedimentos de criao do modelo geomtrico,
gerao do modelo discretizado, aplicao de atributos de anlise
(propriedades de materiais,
15. Luiz Fernando Martha Introduo 11 carregamentos, condies de
suporte, etc.) e visualizao dos resultados so fun- damentais nesse
contexto. Essas questes no so tratadas nos livros de elementos
finitos, mas so da rea de Modelagem Geomtrica e Computao Grfica.
1.3. Organizao dos captulos Este captulo procurou posicionar o
leitor dentro da atividade de anlise estrutural e direciona para os
principais tpicos que so abordados neste livro. No Captulo 2 so
introduzidos conceitos bsicos sobre a anlise de estruturas. O
captulo trata principalmente das condies bsicas que tm que ser
atendidas pelo modelo estrutural, tais como relaes de equilbrio
entre foras e entre tenses, as relaes de compatibilidade entre
deslocamentos e deformaes, e as leis constitu- tivas dos materiais
que compem a estrutura. feita uma introduo aos mtodos clssicos da
anlise estrutural: Mtodo das Foras e Mtodo dos Deslocamentos. O
comportamento linear de estruturas, condio para aplicar superposio
de efeitos, tambm discutido. Tambm feita uma abordagem conceitual
entre as diferen- as de comportamento de estruturas isostticas e
estruturas hiperestticas. Final- mente, apresentado um procedimento
geral para determinao do grau de hipe- restaticidade de prticos
planos e grelhas. O Captulo 3 resume a formalizao matemtica feita
na idealizao do comporta- mento de barras. A Teoria de Vigas de
Navier para o comportamento flexo de barras apresentada com todas
as suas hipteses e simplificaes. As principais relaes diferenciais
da Resistncia dos Materiais que regem o comportamento de barras
para efeitos axiais, cisalhantes, de flexo e de toro so
apresentadas com vistas sua utilizao no desenvolvimento dos mtodos
de anlise apresentados nos captulos subseqentes. O Captulo 4
apresenta solues fundamentais que so utilizadas nas metodologias
dos Mtodos das Foras e dos Deslocamentos. Tais solues so obtidas
com base no Princpio dos Trabalhos Virtuais. Esse princpio, atravs
de suas duas formula- es Princpio das Foras Virtuais e Princpio dos
Deslocamentos Virtuais , necessrio para deduzir as expresses
utilizadas no clculo de coeficientes dos sis- temas de equaes
resultantes da discretizao do problema pelos Mtodos das Foras e dos
Deslocamentos. O Mtodo das Foras apresentado em detalhes no Captulo
5. O captulo trata principalmente de aplicaes do mtodo para prticos
planos, mas tambm so considerados exemplos de trelias planas e
grelhas. Embora, atualmente, na prti- ca esse mtodo seja pouco
utilizado (tem difcil implementao computacional), o mtodo tem o
mrito de ser intuitivo e, por isso, em geral o primeiro mtodo a ser
apresentado em livros-texto.
16. 12 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha O Captulo 6 apresenta uma introduo ao Mtodo dos
Deslocamentos. O objetivo descrever os fundamentos do mtodo
aplicado a prticos planos. Nesse captulo s so tratados prticos com
barras horizontais e verticais, pois a resoluo de pr- ticos com
barras inclinadas pela formulao geral do Mtodo dos Deslocamentos
muito trabalhosa para ser feita manualmente. No Captulo 7 so
introduzidas restries que so comumente adotadas para as deformaes
de barras com o objetivo de reduzir o nmero de parmetros discre-
tos e, assim, facilitar a resoluo manual pelo Mtodo dos
Deslocamentos. A apre- sentao do mtodo com essas restries pode ser
considerada como a forma cls- sica de apresentao em livros-texto,
como por exemplo no de Sssekind (1977-3), que estavam voltados para
uma resoluo manual. Na verdade, o principal objeti- vo ao
considerar essas restries a deformaes de barras caracterizar o
compor- tamento de prticos com respeito aos efeitos de deformaes
axiais e de deforma- es transversais por flexo. Por exemplo, a
considerao de barras sem deforma- o axial (chamadas de barras
inextensveis.) uma aproximao razovel para o comportamento de um
prtico. A hiptese de barras inextensveis possibilita o entendimento
do conceito de contra-ventamento de prticos com barras inclinadas,
que muito importante no projeto de estruturas. O Captulo 8 descreve
um processo de soluo iterativa de prticos pelo Mtodo dos
Deslocamentos. Esse processo denominado Mtodo da Distribuio de Mo-
mentos (White et al. 1976) ou Processo de Cross (Sssekind 1977-3).
Apesar deste processo ter cado em desuso nos ltimos anos, ele tem a
vantagem de propiciar um entendimento intuitivo do comportamento de
vigas e quadros que trabalham fundamentalmente flexo, alm de
permitir uma rpida resoluo manual. O Mtodo da Rigidez Direta, que
uma formalizao do Mtodo dos Deslocamen- tos voltada para sua
implementao computacional, apresentado no Captulo 9. Essa formulao
geral do Mtodo dos Deslocamentos feita para prticos planos, com
barras com qualquer inclinao, com ou sem articulao, e para grelhas.
Finalmente, o Captulo 10 descreve o procedimento de anlise
estrutural para car- gas acidentais e mveis, isto , para cargas que
no tm atuao constante ou posi- o fixa sobre a estrutura. Os
conceitos de Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos so
introduzidos. deduzido o mtodo cinemtico para o traado de li- nhas
de influncia, tambm chamado de Princpio de Mller-Breslau (White et
al. 1976, Sssekind 1977-1). As solues de engastamento perfeito
deste princpio pa- ra barras isoladas so apresentadas. Essas solues
facilitam a determinao de linhas de influncia por programas de
computador que implementam o Mtodo da Rigidez Direta. Dois apndices
complementam os captulos descritos. O primeiro mostra a con- veno
de sinais adotada para esforos internos em estruturas reticuladas.
O se- gundo apresenta a Analogia da Viga Conjugada como forma
alternativa para de- duzir as solues fundamentais de barras
introduzidas no Captulo 4.
17. 2. CONCEITOS BSICOS DE ANLISE ESTRUTURAL Este captulo
resume alguns conceitos bsicos de anlise estrutural para estruturas
que so compostas por barras. Esses conceitos foram selecionados de
forma a permitir a compreenso dos demais captulos deste livro, e
essa seleo foi baseada em consultas a trabalhos de diversos autores
que certamente descrevem esses con- ceitos em maior profundidade.
Os principais livros que serviram como referncia para este captulo
foram os de White, Gergely e Sexsmith (1976), Rubinstein (1970),
Candreva (1981), Timoshenko e Gere (1994), Tauchert (1974) e West
(1989). So considerados como pr-requisitos para os assuntos
tratados neste captulo a definio de tenses, deformaes e esforos
internos (esforos normais e cortantes e momentos fletores e
torores) em barras e a anlise de estruturas estaticamente
determinadas (estruturas isostticas). Como referncias para esses
assuntos pode- se citar, alm das referncias anteriores, os livros
dos seguintes autores: Beaufait (1977), Beer e Johnston (1996),
Campanari (1985), Felton e Nelson (1997), Fleming (1997), Sssekind
(1977-1), Gorfin e Oliveira (1975), Hibbeler (1998) e Meriam
(1994). 2.1. Classificao de modelos de estruturas reticuladas
Conforme mencionado no Captulo 1, este livro est direcionado para a
anlise de estruturas reticuladas, isto , de estruturas formadas por
barras. Esta seo faz uma classificao dos tipos de modelos de
estruturas reticuladas de acordo com o seu arranjo espacial e de
suas cargas. Tambm so definidos sistemas de eixos globais da
estrutura e de eixos locais das barras. Para cada tipo de estrutura
so caracterizados os tipos de esforos internos e as direes dos seus
deslocamentos e rotaes. A Figura 2.1 mostra um exemplo de um quadro
ou prtico plano. Um quadro plano um modelo estrutural plano de uma
estrutura tridimensional. Este modelo pode corresponder a uma fatia
da estrutura, ou pode representar uma simplificao para o
comportamento tridimensional. Estruturas deste tipo esto contidas
em um plano (neste livro adotado o plano formado pelos eixos X e Y,
como mostra a Fi- gura 2.1) e as cargas tambm esto contidas no
mesmo plano. Isso inclui foras com componentes nas direes dos eixos
X e Y e momentos em torno do eixo Z (que sai do plano).
18. 14 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha O quadro plano da Figura 2.1 tem um solicitao externa
(carregamento) composta por uma fora horizontal P (na direo de X) e
uma carga uniformemente distribu- da vertical q (na direo de Y).
Tambm esto indicados na figura as reaes de apoio, que so compostas
de foras horizontais e verticais, e por um momento em torno do eixo
Z. X Y HA MA VA HB VB P q x C x D y C y D X Y z C z D z B Figura
2.1 Eixos globais, cargas, reaes, deslocamentos e rotaes de um
quadro plano. A Figura 2.1 tambm indica a configurao deformada da
estrutura (amplificada de forma exagerada) com as componentes de
deslocamentos e rotaes do ns (pontos extremos das barras). A
simplificao adotada para modelos estruturais de quadros planos que
no existem deslocamentos na direo transversal ao pla- no (direo Z)
e rotaes em torno de eixos do plano da estrutura. Portanto, um
quadro plano apresenta somente as seguintes componentes de
deslocamentos e rotao: x deslocamento na direo do eixo global X; y
deslocamento na direo do eixo global Y; z rotao em torno do eixo
global Z. As ligaes entre as barras de um prtico plano so
consideradas perfeitas (ligaes rgidas), a menos que algum tipo de
liberao, tal como uma articulao, seja indi- cado. Isto significa
que duas barras que se ligam em um n tem deslocamentos e rotao
compatveis na ligao. Ligaes rgidas caracterizam o comportamento de
prticos e provocam a deformao por flexo de suas barras. Os esforos
internos de um quadro plano tambm esto associados ao comporta-
mento plano da estrutura. Neste tipo de estrutura, existem apenas
trs esforos internos em um barra de um prtico plano, definidos nas
direes dos eixos locais da barra, tal como indicado na Figura 2.2:
N esforo normal (esforo interno axial) na direo do eixo local
x;
19. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
15 = y QQ esforo cortante (esforo interno transversal) na direo do
eixo local y; = z MM momento fletor (esforo interno de flexo) em
torno do eixo local z. Q Q N N M M x y Figura 2.2 Eixos locais e
esforos internos de uma barra de quadro plano. Esforos internos em
uma estrutura caracterizam as ligaes internas de tenses, isto ,
esforos internos so integrais de tenses ao longo de uma seo
transversal de uma barra. Esforos internos representam o efeito de
foras e momentos entre duas pores de uma estrutura reticulada
resultantes de um corte em uma seo transversal. Os esforos internos
correspondentes de cada lado da seo secciona- da so iguais e
contrrios, pois correspondem uma ao e a reao correspondente. A
relao entre tenses e esforos internos vai ser discutida no Captulo
3. Uma trelia uma estrutura reticulada que tem todas as ligaes
entre barras arti- culadas (as barras podem girar independentemente
nas ligaes). A Figura 2.3 mostra uma trelia plana com suas cargas e
reaes. Na anlise de uma trelia as cargas atuantes so transferidas
para os seus ns. A conseqncia disso, em con- junto com a hiptese de
ligaes articuladas, que uma trelia apresenta apenas esforos
internos axiais (esforos normais de trao ou compresso). X Y N N
Figura 2.3 Eixos globais, cargas, reaes e esforo interno normal de
uma trelia plana. Muitas vezes, a hiptese de ligaes articuladas uma
simplificao para o compor- tamento de uma trelia, pois muitas vezes
no existem articulaes nos ns. Esta
20. 16 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha simplificao se justifica, principalmente, quando os eixos
das barras concorrem praticamente em um nico ponto em cada ligao.
Nesse caso, o comportamento da estrutura de d fundamentalmente a
esforos internos axiais (esforos cortantes e momentos fletores so
pequenos na presena de esforos normais). Um outro tipo de estrutura
reticulada a grelha. Grelhas so estruturas planas com cargas na
direo perpendicular ao plano, incluindo momentos em torno de eixos
do plano. A Figura 2.4 mostra uma grelha com uma carga
uniformemente distri- buda transversal ao seu plano. Neste livro
adotado que o plano da grelha for- mado pelos eixos X e Y. Os
apoios de uma grelha apresentam apenas uma compo- nente de fora,
que na direo vertical Z, e duas componentes de momento. VA VB q z
XY Z x AM y AM x y Figura 2.4 Eixos globais, cargas, reaes,
deslocamentos e rotaes de uma grelha. Por hiptese, uma grelha no
apresenta deslocamentos dentro do seu plano. A Figura 2.4 indica a
configurao deformada da grelha (de forma exagerada), que apresenta
as seguintes componentes de deslocamento e rotaes: z deslocamento
na direo do eixo global Z; x rotao em torno do eixo global X; y
rotao em torno do eixo global Y. Em geral, as ligaes entre as
barras de uma grelha so rgidas, mas possvel que ocorram articulaes.
Uma ligao articulada de barras de grelha pode liberar a- penas uma
componente de rotao, ou pode liberar as duas componentes. Os
esforos internos de uma barra de grelha esto mostrados na Figura
2.5, junta- mente com a conveno adotada para os eixos locais de uma
barra de grelha. So trs os esforos internos: = z QQ esforo cortante
(esforo interno transversal) na direo do eixo local z; = y MM
momento fletor (esforo interno de flexo) em torno do eixo local y;
= x TT momento toror (esforo interno de toro) em torno do eixo
local x.
21. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
17 Q Q T T M M x y z Figura 2.5 Eixos locais e esforos internos de
uma barra de grelha. interessante fazer uma comparao entre as
componentes de deslocamentos e rotaes de quadros planos e grelhas,
bem como entre os tipos de esforos internos. A Tabela 2.1 indica as
componentes de deslocamentos e rotaes que so nulas pa- ra quadros
planos e grelhas. Observe que quando uma componente nula para um
quadro plano ela no nula para uma grelha, e vice-versa. A tabela
tambm mostra as diferenas entre os esforos internos de quadros
planos e grelhas. V-se que os esforos normais so nulos para
grelhas. Por outro lado, os quadros planos no apresentam momentos
torores. As barras de um quadro plano e de uma gre- lha apresentam
esforos cortantes, mas eles tm direes distintas em relao aos eixos
locais. O mesmo ocorre para momentos fletores. Tabela 2.1 Comparao
entre quadro plano e grelha. Quadro Plano Grelha Deslocamento em X
x 0=x Deslocamento em Y y 0=y Deslocamento em Z 0=z z Rotao em
torno de X 0=x x Rotao em torno de Y 0=y y Rotao em torno de Z z
0=z Esforo normal x NN = (x local) 0=N Esforo cortante y QQ = (y
local) z QQ = (z local) Momento fletor z MM = (z local) y MM = (y
local) Momento toror 0=T x TT = (x local)
22. 18 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha Finalmente, o caso mais geral de estruturas reticuladas o de
quadros ou prticos espaciais. Um exemplo mostrado na Figura 2.6.
Cada ponto de um quadro espa- cial pode ter trs componentes de
deslocamento )e,,( zyx e trs componentes de rotao )e,,( zyx .
Existem seis esforos internos em uma barra de prtico espacial:
esforo normal x NN = (x local), esforo cortante y Q (y local),
esforo cor- tante z Q (z local), momento fletor y M (y local),
momento fletor z M (z local), e momento toror x TT = (x local). XY
Z zP xP yP zq Figura 2.6 Eixos globais e cargas de um quadro
espacial. 2.2. Condies bsicas da anlise estrutural No contexto da
anlise estrutural, o clculo corresponde determinao dos esfor- os
internos na estrutura, das reaes de apoios, dos deslocamentos e
rotaes, e das tenses e deformaes. As metodologias de clculo so
procedimentos mate- mticos que resultam das hipteses adotadas na
concepo do modelo estrutural. Dessa forma, uma vez concebido o
modelo de anlise para uma estrutura, as me- todologias de clculo
podem ser expressas por um conjunto de equaes matem- ticas que
garantem a satisfao s hipteses adotadas. Dito de outra maneira, uma
vez feitas consideraes sobre a geometria da estrutura, sobre as
cargas e solicita- es, sobre as condies de suporte ou ligao com
outros sistemas e sobre as leis constitutivas dos materiais, a
anlise estrutural passa a ser um procedimento ma- temtico de clculo
que s se altera se as hipteses e simplificaes adotadas forem
revistas ou reformuladas. As condies matemticas que o modelo
estrutural tem que satisfazer para repre- sentar adequadamente o
comportamento da estrutura real podem ser dividas nos seguintes
grupos: condies de equilbrio; condies de compatibilidade entre
deslocamentos e deformaes;
23. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
19 condies sobre o comportamento dos materiais que compem a
estrutura (leis constitutivas dos materiais). A imposio destas
condies a base dos mtodos da anlise estrutural, isto , as formas
como essas condies so impostas definem as metodologias dos chamados
Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas, foco principal deste livro.
Esta seo exemplifica as condies bsicas que o modelo estrutural tem
que aten- der atravs de um exemplo simples de trs barras
articuladas (Timoshenko & Gere 1994), mostrado na Figura 2.7.
Existe uma fora externa P aplicada no n da estru- tura que conecta
as trs barras. As barras so feitas com um material com mdulo de
elasticidade E e tm sees transversais com rea A. l P N1N2 N2 X Y
Figura 2.7 Estrutura com trs barras articuladas. 2.2.1. Condies de
equilbrio No contexto deste livro, no qual no so considerados
problemas de vibraes ou de dinmica de estruturas, condies de
equilbrio so condies que garantem o e- quilbrio esttico de qualquer
poro isolada da estrutura ou da estrutura como um todo. No exemplo
da Figura 2.7, o equilbrio tem que ser garantido globalmente, isto
, para a estrutura como um todo, em cada barra isolada e em cada n
isolado. Nesse exemplo simples, em que s existem esforos internos
axiais nas barras (for- as normais), as trs reaes de apoio nos ns
superiores convergem em um ponto: o n inferior. Na verdade, essas
reaes so os prprios esforos normais nas bar- ras, tal como indicado
na Figura 2.7. Alm disso, a simetria da estrutura impe que os
esforos normais nas barras inclinadas sejam iguais (isto , na
verdade, uma
24. 20 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha imposio de equilbrio de foras na direo horizontal X). Dessa
forma, o equil- brio do n inferior na direo vertical Y garante o
equilbrio global da estrutura: =+= PNNFY cos20 21 . (2.1) Nessa
equao, tem-se: 1N esforo normal na barra vertical; 2N esforo normal
nas barras inclinadas. Na Equao (2.1), a condio de equilbrio na
direo vertical do n inferior da es- trutura foi escrita
considerando a geometria original (indeformada) da estrutura. Isto
s vlido quando os deslocamentos que a estrutura vai sofrer so muito
pe- quenos em relao s dimenses da estrutura. Essa hiptese,
denominada de hip- tese de pequenos deslocamentos (White et al.
1976, West 1989), ser adotada neste livro. A anlise de estruturas
com essa considerao denomina-se anlise de primeira or- dem. Nem
sempre possvel adotar a hiptese de pequenos deslocamentos. Por
exemplo, no projeto moderno de estruturas metlicas exige-se que se
faa uma an- lise de segunda ordem (deslocamentos no desprezveis na
imposio das condi- es de equilbrio), pelo menos de uma maneira
aproximada. Apesar disso, neste livro s sero consideradas anlises
com pequenos desloca- mentos, e as condies de equilbrio sempre sero
escritas para a configurao (ge- ometria) indeformada da estrutura.
Esse ponto ser justificado na Seo 2.4 deste captulo, onde a hiptese
de pequenos deslocamentos abordada em maior pro- fundidade.
Observa-se pela Equao (2.1) que no possvel determinar os valores
dos esfor- os normais N1 e N2. Isto , existem duas incgnitas em
termos de esforos e ape- nas uma equao de equilbrio (considerando
que a equao de equilbrio na dire- o horizontal j foi utilizada). As
estruturas que no podem ter seus esforos de- terminados apenas
pelas equaes de equilbrio so chamadas de estruturas hiperes-
tticas, como a estrutura do exemplo da Figura 2.7. Existe um caso
especial de es- truturas que podem ter seus esforos internos e
externos (reaes de apoio) deter- minados apenas pelas condies de
equilbrio so as chamadas estruturas isostti- cas. Em geral, as
equaes de equilbrio fornecem condies necessrias, mas no sufi-
cientes, para a determinao dos esforos no modelo estrutural. Para a
determina- o dos esforos em estruturas hiperestticas, necessrio
fazer uso das outras condies, que so tratadas nas sees a
seguir.
25. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
21 2.2.2. Condies de compatibilidade entre deslocamentos e
deformaes As condies de compatibilidade entre deslocamentos e
deformaes so condies geo- mtricas que devem ser satisfeitas para
garantir que a estrutura, ao se deformar, permanea contnua (sem
vazios ou sobreposio de pontos) e compatvel com seus vnculos
externos. Deve-se ressaltar que as condies de compatibilidade no tm
relao alguma com as propriedades de resistncia dos materiais da
estrutura (consideradas nas leis constitutivas dos materiais,
tratadas na seo a seguir). As condies de com- patibilidade so
expressas por relaes geomtricas impostas no modelo estrutural para
garantir a continuidade no domnio da estrutura real. Essas relaes
conside- ram as hipteses geomtricas adotadas na concepo do modelo.
As condies de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos:
Condies de compatibilidade externa: referem-se aos vnculos externos
da es- trutura e garantem que os deslocamentos e deformaes sejam
compatveis com as hipteses adotadas com respeito aos suportes ou
ligaes com outras estruturas. Condies de compatibilidade interna:
garantem que a estrutura permanea, ao se deformar, contnua no
interior dos elementos estruturais (barras) e nas fronteiras entres
os elementos estruturais, isto , que as barras permaneam ligadas
pelos ns que as conectam (incluindo ligao por rotao no caso de no
haver articulao entre barras). No exemplo da Figura 2.7, as condies
de compatibilidade externa so garantidas automaticamente quando s
se admite uma configurao deformada para a estru- tura que tenha
deslocamentos nulos nos ns superiores, tal como mostra a Figura
2.8. A configurao deformada est indicada, com deslocamentos
ampliados de forma exagerada, pelas linhas tracejadas mostradas
nessa figura. As condies de compatibilidade interna devem garantir
que as trs barras perma- neam ligadas pelo n inferior na configurao
deformada. Mantendo-se a hipte- se de pequenos deslocamentos,
pode-se considerar que o ngulo entre as barras aps a deformao da
estrutura no se altera, tal como indicado na Figura 2.8.
26. 22 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha D1 d1 = D1 d2 Figura 2.8 Configurao deformada da estrutura
com trs barras articuladas. Com base na Figura 2.8 e considerando a
simetria da estrutura, pode-se ento esta- belecer relaes de
compatibilidade entre os alongamentos das barras da estrutura e o
deslocamento vertical do n inferior: 11 Dd = ; cos12 = Dd . Sendo:
1D deslocamento vertical do n inferior; 1d alongamento da barra
vertical; 2d alongamento das barras inclinadas. Isto resulta na
seguinte equao de compatibilidade entre os alongamentos das barras:
cos12 = dd . (2.2) A introduo da equao de compatibilidade
acrescentou duas novas incgnitas ao problema, d1 e d2, sem
relacion-las s incgnitas anteriores, N1 e N2. Entretanto, essas
quatro incgnitas vo ficar relacionadas atravs da considerao do
compor- tamento do material que compe a estrutura, sem que isso
introduza novas incg- nitas. 2.2.3. Leis constitutivas dos
materiais O modelo matemtico do comportamento dos materiais, em um
nvel macroscpi- co, expresso por um conjunto de relaes matemticas
entre tenses e deforma-
27. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
23 es, chamadas de leis constitutivas (Fodosiev 1977). Essas relaes
contm par- metros que definem o comportamento dos materiais. A
Teoria da Elasticidade (Timoshenko & Goodier 1980) estabelece
que as relaes da lei constitutiva so e- quaes lineares com
parmetros constantes. Nesse caso, dito que o material tra- balha em
regime elstico-linear, em que tenses e deformaes so proporcionais.
Entretanto, nem sempre possvel adotar um comportamento to
simplificado pa- ra os materiais. Por exemplo, procedimentos
modernos de projeto de estruturas metlicas ou de concreto armado so
baseados no estado de limite ltimo, quando o material no tem mais
um comportamento elstico-linear. Apesar disso, no contexto deste
livro s sero considerados materiais idealizados com comportamento
elstico-linear e sem limite de resistncia. Isto justificado pelos
seguintes motivos: De uma maneira geral, as estruturas civis
trabalham em regime elstico- linear. Por isso, a maioria das
estruturas analisada adotando-se essa apro- ximao. Mesmo para
projetos baseados em regime ltimo, a determinao da distri- buio de
esforos internos , em geral, feita a partir de uma anlise linear.
Isto , faz-se o dimensionamento local no estado ltimo de
resistncia, com o uso de coeficientes de majorao de carga e de
minorao de resistncia, mas com esforos calculados atravs de uma
anlise global linear. Esta uma aproximao razovel na maioria dos
casos, mas o correto seria fazer uma anlise global considerando o
material em regime no linear (que relati- vamente complexa quando
comparada com uma anlise linear). Na prtica, uma anlise no linear
executada computacionalmente de for- ma incremental, sendo que em
cada passo do processo incremental feita uma anlise linear. Como
este livro introdutrio para a anlise de estrutu- ras, a considerao
de um comportamento linear se justifica. O foco principal deste
livro so os mtodos bsicos da anlise estrutural. A considerao em si
de leis constitutivas no lineares um tema bastante am- plo que foge
do escopo deste livro. Portanto, no exemplo da Figura 2.7, o
material considerado tem um comportamen- to elstico-linear. As
barras desta estrutura esto submetidas apenas a esforos axiais de
trao. As tenses x e deformaes x que aparecem nesse caso so nor-
mais s sees transversais das barras (na direo do eixo local x, na
direo axial da barra). A lei constitutiva que relaciona tenses
normais e deformaes normais a conhecida Lei de Hooke (Beer &
Johnston 1996, Fodosiev 1977) e dada por xx E = , (2.3) sendo: E
mdulo de elasticidade (propriedade do material);
28. 24 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha x tenses normais na direo axial da barra; x deformaes
normais na direo axial da barra. No contexto de uma anlise com
pequenos deslocamentos, a tenso normal devida a um esforo axial
dada pela razo entre o valor do esforo e a rea da seo transversal,
e a deformao normal a razo entre o alongamento da barra e o seu
comprimento original. Assim, para a barra vertical da Figura 2.7
tem-se: l d E A N 11 = , (2.4) e para as barras inclinadas tem-se:
cos 22 l d E A N = . (2.5) Observa-se que as Equaes (2.4) e (2.5)
introduziram novas relaes entre as in- cgnitas do problema sem que
aparecessem novas variveis. Dessa maneira, as Equaes (2.1), (2.2),
(2.4) e (2.5) formam um sistema de quatro equaes a quatro
incgnitas, N1, N2, d1 e d2, resultando na soluo nica do problema.
V-se que s foi possvel resolver a estrutura hiperesttica desse
exemplo utilizan- do todos os trs tipos de condies: equilbrio,
compatibilidade e leis constitutivas. A prxima seo discute esse
ponto em mais detalhe. H casos em que o material tambm solicitado
ao efeito de cisalhamento. Para materiais trabalhando em regime
elstico-linear, a lei constitutiva que relaciona tenses cisalhantes
com distores de cisalhamento dada por: G= , (2.6) sendo: G mdulo de
cisalhamento (propriedade do material); tenso de cisalhamento;
distoro de cisalhamento. 2.3. Mtodos bsicos da anlise estrutural O
exemplo simples mostrado na seo anterior ilustra bem a problemtica
para a anlise de uma estrutura hiperesttica. Para se resolver
(calcular esforos, deslo- camentos, etc.) uma estrutura
hiperesttica sempre necessrio considerar os trs grupos de condies
bsicas da anlise estrutural: condies de equilbrio, condi- es de
compatibilidade entre deslocamentos e deformaes e condies sobre o
comportamento dos materiais (White et al. 1976).
29. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
25 No exemplo, existem infinitos valores de N1 e N2 que satisfazem
a equao de equi- lbrio (2.1). Tambm existem infinitos valores de d1
e d2 que satisfazem a equao de compatibilidade (2.2). Entretanto,
existe uma nica soluo para essas entida- des: aquela que satisfaz
simultaneamente equilbrio, compatibilidade e leis cons- titutivas.
Observa-se que para esse exemplo a soluo da estrutura hiperesttica
requer a resoluo de um sistema de quatro equaes a quatro incgnitas.
Para estruturas usuais (bem maiores), a formulao do problema dessa
maneira acarreta uma complexidade de tal ordem que a soluo pode
ficar comprometida. Assim, ne- cessrio definir metodologias para a
soluo de estruturas hiperestticas. Isto vai resultar nos dois
mtodos bsicos da anlise estrutural, que so introduzidos a se- guir.
2.3.1. Mtodo das Foras O primeiro mtodo bsico da anlise de
estruturas o chamado Mtodo das Foras. Nesse mtodo as incgnitas
principais do problema so foras e momentos, que podem ser reaes de
apoio ou esforos internos. Todas as outras incgnitas so expressas
em termos das incgnitas principais escolhidas e substitudas em
equa- es de compatibilidade, que so ento resolvidas. O Mtodo das
Foras tem como idia bsica determinar, dentro do conjunto de solues
em foras que satisfazem as condies de equilbrio, qual a soluo que
faz com que as condies de compatibilidade tambm sejam satisfeitas.
Na formalizao do Mtodo das Foras existe uma seqncia de introduo das
condies bsicas do problema: primeiro so utilizadas as condies de
equilbrio, em seguida so consideradas as leis constitutivas dos
materiais, e finalmente so utilizadas as condies de
compatibilidade. O exemplo da Figura 2.7 vai ser usado para
ilustrar essa seqncia. Considere que o esforo normal N1 na barra
central foi adotado como a incgnita principal. O nmero de incgnitas
principais igual ao nmero de incgnitas ex- cedentes nas equaes de
equilbrio. A escolha de N1 como principal foi arbitrria (teria sido
indiferente escolher N2). Pela equao de equilbrio (2.1) pode-se
escre- ver N2 em funo de N1: cos2 1 2 = NP N . (2.7) Pelas Equaes
(2.4) e (2.5) pode-se expressar d1 e d2 em funo de N1 e N2, respec-
tivamente. Utilizando a Equao (2.7) e substituindo na Equao (2.2),
tem-se a equao de compatibilidade expressa em termos da incgnita
N1:
30. 26 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha 313 )(cos2)(cos2 = + EA lP N EA l EA l . (2.8) Finalmente, a
soluo desta equao resulta no valor de N1, e substituindo esse re-
sultado na Equao (2.7) tem-se N2: 31 )(cos21 + = P N ; 3 2 2
)(cos21 )(cos + = P N . Deve-se salientar que os valores de N1 e N2
independem da rea da seo transver- sal das barras e do mdulo de
elasticidade porque esses parmetros so, nesse e- xemplo, iguais
para as trs barras, tendo sido cancelados na soluo da Equao (2.8).
Na verdade, a soluo mostrada acima no corresponde metodologia
utilizada na prtica para analisar uma estrutura hiperesttica pelo
Mtodo das Foras. A meto- dologia adotada na prtica faz uma
parametrizao (discretizao) do problema em termos de variveis
independentes, tal como j sugerido na Seo 1.2.2 do Ca- ptulo 1. No
caso do Mtodo das Foras, essas variveis so as foras (e momentos)
associadas aos vnculos excedentes determinao esttica da estrutura.
Essas for- as e momentos so chamados de hiperestticos. Para o
exemplo das trs barras s existe um hiperesttico. Uma possvel soluo
parametrizada pelo Mtodo das Foras obtida pela superposio de solues
b- sicas dos casos (0) e (1) mostrados na Figura 2.9. O
hiperesttico escolhido nessa soluo a reao de apoio vertical X1 (=
N1) e o vnculo associado a restrio ao deslocamento vertical do
apoio central. X1 = 1 x X1 10 P (0) (1) P 11 X1 = N1 Figura 2.9
Superposio de solues bsicas do Mtodo das Foras.
31. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
27 Na soluo indicada na Figura 2.9, a estrutura utilizada nas
solues bsicas uma estrutura estaticamente determinada (isosttica)
obtida da estrutura original pela eliminao do vnculo excedente
associado ao hiperesttico. Essa estrutura isost- tica auxiliar
chamada de Sistema Principal (SP). Cada soluo bsica isola um de-
terminado efeito ou parmetro no SP: o efeito da solicitao externa
(carregamento) isolado no caso (0) e o efeito do hiperesttico X1
isolado no caso (1). As solues bsicas mostradas na Figura 2.9
violam uma condio de compatibili- dade da estrutura original pois o
vnculo eliminado libera o deslocamento vertical do apoio central.
Por outro lado, as solues bsicas do Mtodo das Foras satisfa- zem as
equaes de equilbrio da estrutura original. A metodologia de clculo
do Mtodo das Foras determina o valor que o hiperest- tico deve ter
para recompor o vnculo eliminado no SP. Essa condio pode ser
expressa matematicamente por uma equao de compatibilidade que
superpe os deslocamentos no vnculo eliminado de cada caso bsico:
011110 =+ X . (2.9) Nessa equao: 10 termo de carga: deslocamento
vertical no ponto do vnculo eliminado no caso (0); 11 coeficiente
de flexibilidade: deslocamento vertical no ponto do vnculo elimina-
do devido a um valor unitrio do hiperesttico aplicado isoladamente.
A Equao (2.9) determina o valor do hiperesttico X1 que faz com que
o desloca- mento do ponto do vnculo eliminado seja nulo. Dessa
forma, o valor correto do esforo normal N1 (= X1) determinado pois
a compatibilidade da estrutura origi- nal, violada na criao da
estrutura auxiliar (SP) utilizada na superposio de casos bsicos,
recomposta. Considerando que deslocamentos verticais so positivos
no sentido da fora unit- ria arbitrada para X1 (para cima), tem-se
que os valores do termo de carga e do coe- ficiente de
flexibilidade para esse problema so: 310 )(cos2 = EA lP e 311
)(cos2 += EA l EA l . Substituindo esses valores na Equao (2.9),
pode-se observar que essa equao exatamente igual equao de
compatibilidade (2.8) encontrada anteriormente. No Captulo 5 essa
metodologia prtica do Mtodo das Foras ser formalizada
detalhadamente. Essa metodologia est baseada na validade do
Princpio da Su- perposio de Efeitos (veja a Seo 2.4) e serve para
resolver qualquer estrutura hiperesttica reticulada com
comportamento linear.
32. 28 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha O Mtodo das Foras assim denominado pois os hiperestticos so
foras (ou momentos). O mtodo tambm denominado Mtodo da
Compatibilidade (West 1989) pois as equaes finais, como no exemplo
a Equao (2.9), so equaes de compatibilidade escritas em termos dos
hiperestticos. 2.3.2. Mtodo dos Deslocamentos O segundo mtodo bsico
da anlise de estruturas o chamado Mtodo dos Deslo- camentos. Nesse
mtodo as incgnitas principais do problema so deslocamentos e
rotaes. Todas as outras incgnitas so expressas em termos das
incgnitas prin- cipais escolhidas e substitudas em equaes de
equilbrio, que so ento resolvi- das. O Mtodo dos Deslocamentos tem
como idia bsica determinar, dentro do con- junto de solues em
deslocamentos que satisfazem as condies de compatibili- dade, qual
a soluo que faz com que as condies de equilbrio tambm sejam sa-
tisfeitas. Observa-se que o Mtodo dos Deslocamentos ataca a soluo
de estruturas de ma- neira inversa ao que feito pelo Mtodo das
Foras. Por isso esses mtodos so ditos duais. Na formalizao do Mtodo
dos Deslocamentos a seqncia de intro- duo das condies bsicas tambm
inversa: primeiro so utilizadas as condi- es de compatibilidade, em
seguida so consideradas as leis constitutivas dos ma- teriais, e
finalmente so utilizadas as condies de equilbrio. O exemplo da
Figura 2.7 tambm vai ser utilizado para mostrar isso. A incgnita
principal escolhida o alongamento d1 da barra vertical, que corres-
ponde ao deslocamento vertical D1 do n inferior da estrutura (veja
a Figura 2.8). O nmero de incgnitas no Mtodo dos Deslocamentos
igual ao nmero de in- cgnitas excedentes nas equaes de
compatibilidade. No exemplo, existe uma equao de compatibilidade
Equao (2.2) com duas incgnitas: d1 e d2. A esco- lha de d1 como
principal foi arbitrria. Utilizando a equao de compatibilidade e as
Equaes (2.4) e (2.5) da lei constitu- tiva, pode-se expressar a
equao de equilbrio (2.1) em funo da incgnita prin- cipal: Pd l EA l
EA = + 1 3 )(cos2 . (2.10) A soluo desta equao fornece o valor de
d1, e substituindo esse resultado na E- quao (2.2) tem-se d2: EA lP
d + = 31 )(cos21 ;
33. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
29 EA lP d + = 32 )(cos21 cos . Para encontrar os valores de N1 e
N2 mostrados anteriormente basta utilizar as E- quaes (2.4) e
(2.5). Assim como na seo anterior para o Mtodo das Foras, a soluo
pelo Mtodo dos Deslocamentos apresentada inicialmente nesta seo tem
um carter apenas didtico. Na prtica necessrio formalizar o mtodo
para resolver qualquer tipo de estrutura reticulada. A metodologia
adotada na prtica faz uma parametrizao (discretizao) do problema em
termos de variveis independentes, tal como indi- cado na Seo 1.2.2
do Captulo 1. No caso do Mtodo dos Deslocamentos, essas variveis so
os parmetros que definem completamente a configurao deforma- da da
estrutura, que so chamados de deslocabilidades. Para o exemplo das
trs barras, devido simetria da estrutura, est sendo conside- rado
que o n inferior no se desloca lateralmente. Portanto, s existe uma
deslo- cabilidade, que o deslocamento vertical D1 do n inferior. A
soluo parametri- zada pelo Mtodo do Deslocamentos obtida pela
superposio de solues bsi- cas dos casos (0) e (1) mostrados na
Figura 2.10. D1 D1 = 1 K11 x D1 10 P P (0) (1) Figura 2.10
Superposio de solues bsicas do Mtodo dos Deslocamentos. Na soluo
indicada na Figura 2.10, a estrutura utilizada nas solues bsicas
uma estrutura cinematicamente determinada (estrutura com configurao
deformada conhecida) obtida da estrutura original pela adio do
vnculo necessrio para impedir a deslocabilidade D1. Essa estrutura
cinematicamente determinada auxiliar chamada de Sistema
Hipergeomtrico (SH). Cada soluo bsica isola um determinado efeito
ou parmetro no SH: o efeito da solicitao externa (carregamento)
isolado no caso (0) e o efeito da deslocabilidade D1 isolado no
caso (1). As solues bsicas mostradas na Figura 2.10 satisfazem as
condies de equilbrio do Sistema Hipergeomtrico, mas violam o
equilbrio da estrutura original, que no contm o vnculo adicional
que impede a deslocabilidade D1. Dito de outra maneira, o apoio
fictcio adicionado no SH introduz uma reao de apoio espria
34. 30 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha que fere o equilbrio da estrutura original. Deve-se observar
que as solues bsi- cas do Mtodo dos Deslocamentos jamais violam as
condies de compatibilidade da estrutura original, isto , existe
continuidade interna (ligao entre as barras) e compatibilidade com
os vnculos externos. A metodologia de clculo do Mtodo dos
Deslocamentos determina o valor que a deslocabilidade D1 deve ter
para recompor o equilbrio da estrutura original sem o apoio fictcio
do SH. Essa condio pode ser expressa matematicamente por uma equao
de equilbrio que superpe as reaes no apoio fictcio do SH de cada
caso bsico: 011110 =+ DK . (2.11) Nessa equao: 10 termo de carga:
fora (reao) vertical no apoio fictcio do caso (0); 11K coeficiente
de rigidez: fora vertical no apoio fictcio do SH necessria para
impor uma configurao deformada tal que a deslocabilidade D1 tenha
um valor unitrio. A Equao (2.11) determina o valor da
deslocabilidade D1 que faz com que a reao final (na superposio) no
apoio fictcio do SH seja nula. Dessa forma, o valor cor- reto de D1
determinado pois o equilbrio da estrutura original, violado na
criao da estrutura auxiliar (SH) utilizada na superposio de casos
bsicos, restabeleci- do. Considerando que foras verticais so
positivas no sentido do deslocamento unit- rio arbitrado para D1
(para baixo), tem-se que os valores do termo de carga e do
coeficiente de rigidez para esse problema so: P=10 e l EA l EA K 3
11 )(cos2 += . Substituindo esses valores na Equao (2.11), pode-se
observar que essa equao exatamente igual Equao de equilbrio (2.10)
encontrada anteriormente. No Captulo 6 essa metodologia prtica do
Mtodo dos Deslocamentos ser forma- lizada detalhadamente. Assim
como para o Mtodo das Foras, essa metodologia est baseada na
validade do Princpio da Superposio de Efeitos (veja a Seo 2.4) e
serve para resolver qualquer estrutura reticulada com comportamento
linear. O Mtodo dos Deslocamentos assim denominado pois as
incgnitas (deslocabili- dades) so deslocamentos (ou rotaes). O
mtodo tambm chamado de Mtodo do Equilbrio (West 1989) pois as
equaes finais, como no exemplo a Equao (2.11), so equaes de
equilbrio tendo como variveis principais as deslocabilida-
des.
35. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
31 2.3.3. Comparao entre o Mtodo das Foras e o Mtodo dos
Deslocamentos Nas duas sees anteriores os dois mtodos bsicos da
anlise de estruturas reticu- ladas foram introduzidos com base em
um exemplo simples com trs barras articu- ladas. Como comentado,
esses mtodos sero apresentados em detalhes em cap- tulos
subseqentes deste livro. Entretanto, as principais idias dos dois
mtodos j foram abordadas e importante salientar os pontos
principais. Nesta seo feita uma comparao entre os Mtodos das Foras
e dos Desloca- mentos, mostrando um resumo da metodologia de cada
mtodo atravs da tabela mostrada a seguir, salientando a dualidade
entre os dois mtodos. Mtodo das Foras Mtodo dos Deslocamentos Idia
bsica: Determinar, dentro do conjunto de so- lues em foras que
satisfazem as condies de equilbrio, qual a soluo que faz com que as
condies de com- patibilidade tambm sejam satisfeitas. Metodologia:
Superpor uma srie de solues estati- camente determinadas
(isostticas) que satisfazem as condies de equilbrio da estrutura
para obter uma soluo final que tambm satisfaz as condies de
compatibilidade. Incgnitas: Hiperestticos: foras e momentos asso-
ciados a vnculos excedentes determi- nao esttica da estrutura.
Nmero de incgnitas: o nmero de incgnitas excedentes das equaes de
equilbrio, denominado grau de hiperestaticidade. Idia bsica:
Determinar, dentro do conjunto de so- lues em deslocamentos que
satisfa- zem as condies de compatibilidade, qual a soluo que faz
com que as con- dies de equilbrio tambm sejam satis- feitas.
Metodologia: Superpor uma srie de solues cinema- ticamente
determinadas (configuraes deformadas conhecidas) que satisfazem as
condies de compatibilidade da es- trutura para obter uma soluo
final que tambm satisfaz as condies de equilbrio. Incgnitas:
Deslocabilidades: componentes de des- locamentos e rotaes nodais
que defi- nem a configurao deformada da es- trutura. Nmero de
incgnitas: o nmero de incgnitas excedentes das equaes de
compatibilidade, de- nominado grau de hipergeometria.
36. 32 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha Estrutura auxiliar utilizada nas solu- es bsicas: Sistema
Principal (SP): estrutura estati- camente determinada (isosttica)
obtida da estrutura original pela eliminao dos vnculos excedentes
associados aos hiperestticos. Essa estrutura auxiliar viola condies
de compatibilidade da estrutura original. Equaes finais: So equaes
de compatibilidade ex- pressas em termos dos hiperestticos. Essas
equaes recompem as condi- es de compatibilidade violadas nas solues
bsicas. Termos de carga das equaes finais: Deslocamentos e rotaes
nos pontos dos vnculos liberados no SP devidos solicitao externa
(carregamento). Coeficientes das equaes finais: Coeficientes de
flexibilidade: desloca- mentos e rotaes nos pontos dos vncu- los
liberados no SP devidos a hiperest- ticos com valores unitrios
atuando iso- ladamente. Estrutura auxiliar utilizada nas solu- es
bsicas: Sistema Hipergeomtrico (SH): estrutu- ra cinematicamente
determinada (estru- tura com configurao deformada co- nhecida)
obtida da estrutura original pela adio dos vnculos necessrios para
impedir as deslocabilidades. Essa estrutura auxiliar viola condies
de equilbrio da estrutura original. Equaes finais: So equaes de
equilbrio expressas em termos das deslocabilidades. Essas e- quaes
recompem as condies de equilbrio violadas nas solues bsicas. Termos
de carga das equaes finais: Foras e momentos (reaes) nos vncu- los
adicionados no SH devidos solici- tao externa (carregamento)
Coeficientes das equaes finais: Coeficientes de rigidez: foras e
mo- mentos nos vnculos adicionados no SH para impor configuraes
deformadas com deslocabilidades isoladas com va- lores unitrios.
2.4. Comportamento linear e superposio de efeitos Como visto nas
sees anteriores, na formalizao dos mtodos bsicos da anlise
estrutural o Princpio da Superposio de Efeitos (White et al. 1976,
West 1989, Felton & Nelson 1996) adotado. Esse princpio
prescreve que a superposio dos cam- pos de deslocamentos provocados
por vrios sistemas de foras atuando isolada- mente igual ao campo
de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de foras atuando
concomitantemente. A Figura 2.11 exemplifica esse princpio mos-
trando que a combinao linear de duas foras resulta nos mesmos
deslocamentos
37. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
33 da combinao linear dos deslocamentos provocados pelas foras
atuando isola- damente. P1 P2 ( )2 1 1 1 + P2 ( )2 2 1 2 + 1 1 1 2
P1 2 1 2 2 Figura 2.11 Combinao linear de duas foras e os
correspondentes deslocamentos. Para que se possa utilizar esse
princpio necessrio que a estrutura tenha um comportamento linear. O
comportamento linear de uma estrutura est baseado em duas condies.
A primeira que o material trabalhe no regime elstico-linear. A
segunda condio que seja vlida a hiptese de pequenos deslocamentos.
Conforme abordado na Seo 2.2.1, os deslocamentos podem ser
considerados pe- quenos quando as equaes de equilbrio escritas para
a geometria indeformada da estrutura fornecem resultados
praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equa- es de equilbrio
escritas para a geometria deformada da estrutura (White et al.
1976). Exceto em casos particulares, as estruturas civis tm
deslocamentos pequenos em comparao aos tamanhos caractersticos dos
seus membros (comprimento da bar- ra ou altura da seo transversal,
por exemplo). Um contra-exemplo, para o qual no possvel adotar a
hiptese de pequenos deslocamentos, mostrado na Figura 2.12 (White
et al. 1976). Essa estrutura tem duas barras e trs rtulas
alinhadas, e o estado de equilbrio estvel s pode ser alcanado para
a estrutura na configurao deformada. Cabos, que so estruturas muito
flexveis, so um outro exemplo de estruturas cujo equilbrio alcanado
na geometria final, considerando os seus des- locamentos
sobrepostos geometria inicial indeformada. Essas estruturas no se-
ro tratadas neste livro, e sero classificadas como instveis.
38. 34 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha P Figura 2.12 Exemplo de uma estrutura para a qual no se
pode adotar pequenos deslocamentos. Existem exemplos clssicos de
estruturas instveis, tais como as mostradas na Fi- gura 2.13 (White
et al. 1976). O prtico da Figura 2.13-a apresenta trs componen- tes
de reao de apoio que so verticais, no existindo nenhum vnculo que
impea o movimento horizontal do prtico. A estrutura da Figura
2.13-b tem trs reaes concorrentes em um ponto. Portanto, na
configurao indeformada, no possvel equilibrar o momento de foras
atuantes, tal como a carga P, em relao ao ponto de convergncia das
reaes de apoio. Nesse caso, talvez o equilbrio pudesse ser alcanado
na configurao deformada da estrutura, quando as reaes deixariam de
concorrer em um ponto. Mesmo assim, essa estrutura sempre
apresentaria um estado de instabilidade eminente. P (a) (b) Figura
2.13 Exemplos de estruturas instveis pela configurao dos apoios
externos. A dependncia do comportamento linear com a hiptese de
pequenos deslocamen- tos pode ser entendida a partir do exemplo da
Figura 2.14. Nessa estrutura, o des- locamento vertical da
extremidade inferior do balano, a, depende das caracters- ticas
geomtricas das barras, assim como dos valores das foras V e H e das
propri- edades do material da estrutura.
39. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
35 V H b a a Figura 2.14 Configurao deformada de um prtico em forma
de L. Considerando que a estrutura da Figura 2.14 tem um material
elstico-linear e se- es transversais pr-definidas, e que as foras
esto sempre atuando nos mesmos pontos, o comportamento da
estrutura, no que diz respeito aos seus deslocamen- tos, depende
apenas das caractersticas geomtricas da estrutura (a e b) e dos
valo- res das cargas (V e H), que podem variar. Duas situaes podem
ser consideradas: Deslocamento a com um valor que no pode ser
desprezado em relao s dimenses a e b, de tal maneira que as condies
de equilbrio devem ser es- critas para a geometria deformada. Nesse
caso, ),,,( baaHVaa += , ou se- ja, a determinao de a depende do
conhecimento do seu prprio valor. Is- to caracteriza o que se
define como no-linearidade geomtrica (White et al. 1976).
Deslocamento a com um valor muito menor do que as dimenses a e b,
de tal maneira que as condies de equilbrio podem ser escritas para
a geome- tria original indeformada. Nesse caso pode-se dizer que
),,,( baHVaa = , ou seja, no existe dependncia de a em relao a si
prprio. Como todas as outras propriedades so lineares, o
comportamento da estrutura linear. Is- to , a varia linearmente em
funo dos valores das cargas. No caso em que os deslocamentos no so
pequenos, a determinao de a em ge- ral no tem soluo analtica
simples. Nesse caso, o valor de a pode ser determi- nado atravs de
algum processo iterativo. Por exemplo, partindo-se de um valor
inicial que poderia ser nulo, determina-se o valor seguinte
considerando um com- portamento linear. Com os valores de
deslocamentos calculados no passo anterior, atualiza-se a geometria
da estrutura e determina-se o valor seguinte de a. Esse processo se
repete at que o valor determinado em um passo no difira
significati- vamente do valor do passo anterior. Esse processo pode
no convergir, e nesse caso a estrutura instvel. Um exemplo
isosttico simples (White et al. 1976) mostrado na Figura 2.15 para
ilustrar o efeito da no-linearidade geomtrica. A configurao
deformada da es- trutura est indicada pelas linhas tracejadas da
figura. Na configurao indefor- mada o ngulo entre as barras e o
eixo vertical , e na configurao deformada o
40. 36 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha ngulo . Nesse exemplo os deslocamentos no so considerados
pequenos e a equao de equilbrio que relaciona a fora aplicada P com
o esforo normal N nas barras escrita na configurao final
(deformada) da estrutura, tal como expresso na Equao (2.12).
comprimento final: ( ) ( )22 tancos/ Dlll ++= l P N N D tanltanl
comprimento original: cos/l Figura 2.15 Estrutura isosttica com
grandes deslocamentos. ( ) ( )22 tan 2cos2 Dll Dl NNP ++ + == .
(2.12) Com base na Figura 2.15, pode-se relacionar o alongamento d
das barras com o deslocamento vertical D do n central. O
alongamento das barras a diferena entre o comprimento final
(deformado) das barras e o comprimento original (inde- formado),
resultando na seguinte relao de compatibilidade: ( ) ( ) cos/tan 22
lDlld ++= . (2.13) Para obter a resposta do problema em termos de
deslocamentos, necessrio con- siderar a relao tenso-deformao do
material. Considerando a deformao nas barras como a razo entre o
alongamento e o comprimento original da barra, ela resulta em uma
expresso que relaciona o esforo normal das barras com o seu a-
longamento: ( ) d l EA N = cos/ (2.14)
41. Luiz Fernando Martha Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural
37 Substituindo o alongamento d dado pela Equao (2.13) na Equao
(2.14), e depois substituindo o esforo normal N na Equao (2.12),
isso resulta em uma expresso que relaciona a fora aplicada P com o
deslocamento vertical D: ( ) ( ) ( ) ( )22 22 tan costan cos 2 Dll
DllDll l EA P ++ + ++ = . Simplificando essa expresso, tem-se: ( )
( ) ( ) ++ += 22 tan 1cos 2 Dlll DlEAP (2.15) A relao entre a fora
P e o deslocamento D da Equao (2.15) mostrada na Fi- gura 2.16 para
alguns valores do ngulo da configurao indeformada da estru- tura.
Os valores da fora aplicada foram normalizados pela razo P/EA e os
valo- res dos deslocamentos foram normalizados pela razo D/l. 0.0
0.5 1.0 1.5 2.0 1 2 3 4 EA P l D15=30=45=60=75= pequenos
deslocamentos EA P l D efeitos de segunda ordem Figura 2.16 Curvas
carga-deslocamento para estrutura isosttica com grandes
deslocamentos. Com base na Figura 2.16 pode-se observar a natureza
no linear da resposta da estrutura para grandes deslocamentos. A
curva carga-deslocamento para o caso da estrutura achatada (ngulo
grande) a que apresenta maior grau de no- linearidade, enquanto a
curva para o caso da estrutura alongada (ngulo peque-
42. 38 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando
Martha no) praticamente linear. Nota-se tambm que a estrutura mais
alongada a mais rgida (valor de carga mais alto para um dado valor
de deslocamento). interessante comparar a resposta no linear dada
pela Equao (2.15) com a res- posta linear da estrutura da Figura
2.15 para pequenos deslocamentos. A resposta linear obtida
igualando os ngulos e , e considerando d = Dcos, tal como na Equao
(2.2). Isto resulta na seguinte relao carga-deslocamento: D l EA
Plinear = 3 )(cos2 . (2.16) Pode-se comparar a Equao (2.16) com a
derivada da resposta no linear avaliada para D = 0: l EA dD dP 3
)(cos2)0( = . (2.17) V-se que o coeficiente angular da resposta
linear igual derivada da curva car- ga-deslocamento no linear para
D = 0, tal com indica o detalhe da Figura 2.16. Isso mostra que a
resposta linear uma aproximao da resposta no linear para pequenos
deslocamentos. Esse estudo do comportamento no linear de uma
estrutura indica que a soluo para grandes deslocamentos pode ser
relativamente complexa, mesmo para o caso de uma estrutura bastante
simples como a da Figura 2.15. De uma certa maneira, o
comportamento de todas as estruturas no linear para o caso de uma
anlise exa- ta que envolveria a considerao dos deslocamentos da
estrutura nas equaes de equilbrio (equilbrio imposto na configurao
deformada). Entretanto (e felizmen- te), para os casos mais
freqentes de estruturas civis, os deslocamentos so to pe- quenos
(para cargas usuais) que podem ser desconsiderados quando se
formulam as condies de equilbrio. Neste livro s sero consideradas
estruturas para as quais pode-se adotar a hipte- se de pequenos
deslocamentos (equaes de equilbrio sempre escritas para a for- ma
indeformada da estrutura). Essa hiptese bsica, juntamente com o
compor- tamento linear dos materiais, para a utilizao do princpio
da superposio de efeitos (White et al. 1976). Como dito
anteriormente, esse princpio aplicado nos mtodos bsicos da anlise
de estruturas, que so mtodos lineares. Deve-se observar que mtodos
lineares de anlise tambm so adotados