Modelacion de redes aereas

________________________________________________________________

MMOODDEELLAACCIIÓÓNN DDEE RREEDDEESS DDEE TTRRAANNSSMMIISSIIÓÓNN DDEE EENNEERRGGÍÍAA EELLÉÉCCTTRRIICCAA

________________________________________________________________

LLEEOONNAARRDDOO CCAARRDDOONNAA CC.. PPrrooffeessoorr AAssoocciiaaddoo

EESSCCUUEELLAA DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA EELLÉÉCCTTRRIICCAA YY MMEECCÁÁNNIICCAA UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL DDEE CCOOLLOOMMBBIIAA

SSEEDDEE MMEEDDEELLLLÍÍNN AAGGOOSSTTOO 22000044

LEONARDO CARDONA C.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

CONTENIDO Pág. 1 INTRODUCCION .......................................................................................... 1 2 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED ....................................................... 5 2.1 RESISTENCIA DE LA LINEA................................................................... 6 2.2 INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA................ 8 2.3 INFLUENCIA DEL SISTEMA DE RETORNO EN LA

RESISTENCIA.............................................................................................. 9 2.4 INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION ......................... 10 2.5 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LA

CORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR ............................................ 12 2.6 CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL ............................................... 13 2.7 FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN

GRUPO DE CORRIENTES.......................................................................... 18 2.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDO

SUELO IDEAL............................................................................................. 20 2.9 MATRIZ DE REACTANCIAS INDUCTIVAS DE UNA RED

TRIFASICA ................................................................................................. 24

LEONARDO CARDONA C.


2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS ............ 26 2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFÁSICA TRANSPUESTA ........... 26 2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA...... 30 2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO POR

TIERRA CONSIDERANDO SUELO REAL............................................ 35 2.14 APROXIMACION DE LEWIS PARA CALCULO DE IMPEDANCIA

SERIE A BAJA FRECUENCIA ................................................................ 38 2.15 LAS IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CONSIDERANDO LA

APROXIMACION DE LEWIS ................................................................. 40 2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ ........ 41 2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFÁSICA

DE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA.............................. 44 2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA

DE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA......................... 45 2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA

DE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA................... 47 3. CAPACITANCIA DE UNA RED............................................................... 50 3.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO A

UNA DISTRIBUCION LINEAL DE CARGA.......................................... 51 3.2 CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA ......................................... 54 3.3 INTERPRETACION FISICA DE LA MATRIZ DE

CAPACITANCIAS ...................................................................................... 57

LEONARDO CARDONA C.


3.4 CAPACITANCIA PARA UNA LINEA TRIFASICA CON

TRANSPOSICION..................................................................................... 58 3.5 RADIO MEDIO GEOMETRICO Y DISTANCIA MEDIA

GEOMETRICA ............................................................................................. 62 3.6 CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICA

TRANSPUESTA .......................................................................................... 64 4 REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DE

TRANSMISION......................................................................................... 66 4.1 LINEAS DE TRANSMISION CORTAS................................................ 67 4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA...................... 71 4.3 LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA........................ 74 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 79

LEONARDO CARDONA C.


INTRODUCCIÓN

Un sistema de transmisión de energía eléctrica es una parte constitutiva

de un sistema de potencia eléctrico que requiere de una modelación

adecuada dependiendo del estudio que se esté realizando. Esta

modelación depende de parámetros como la distancia, y la frecuencia del

fenómeno motivo de estudio.

Estas notas son el resultado de haber trabajado el tema de la modelación

de líneas aéreas de alta tensión inicialmente en el curso de Transporte de

Energía y posteriormente en los cursos de Redes I y Redes II. Con la

utilización de herramientas modernas de simulación como el programa

ATP/EMTP, que considera las redes como elementos polifásicos sin hacer

uso de las componentes simétricas, se hace necesario fortalecer el

concepto de impedancia generalizada de una red polifásica. Este concepto

se construye a partir de las expresiones de Carson y las simplificaciones

propuestas por Lewis para estudios a frecuencia industrial.

Las redes constituyen el elemento más común en un sistema eléctrico de

potencia. Con fines de análisis en estado estacionario y diseño del

sistema eléctrico se podría suponer conductores ideales si la red tuviera

una distancia muy pequeña, pero la realidad es otra, ya que las redes se

construyen con el fin de transportar energía de las fuentes al usuario o

entre subestaciones con fines de interconexión.

Introducción

LEONARDO CARDONA C.


2

Sobre una red aparecen cuatro fenómenos físicos que no se pueden

ignorar dependiendo de la distancia y del voltaje de operación. Estos

fenómenos físicos son los siguientes:

Efecto resistivo, responsable del calentamiento del conductor y de caída de tensión a lo largo del conductor. La resistencia depende del

tipo de material del cual esté hecho. Este efecto es dominante sobre

los demás en redes de baja tensión, debido al calibre de los

conductores que se emplean en dichos niveles de tensión.

Efecto inductivo, debido a los enlaces de flujo que rodean al conductor, creados por su propia corriente y por las corrientes de

los otros conductores. Este efecto se ignora generalmente en redes

de baja tensión donde el efecto resistivo es mayor que la reactancia

inductiva. Se empieza a considerar en redes donde los conductores

presentan una reactancia inductiva comparable con el la resistencia

reactivo, como es el caso de las redes de distribución. A medida que

aumenta el nivel de tensión, la resistencia de los conductores

empleados es mucho menor que la reactancia inductiva, como es el

caso de una línea de 230 kV donde la relación X1/R1 es del orden de

8 y para una línea de 500 kV del orden de 14. En redes de alta

tensión el efecto inductivo es el limitante de las transferencias de

potencia activa.

Efecto capacitivo, debido a las corrientes de desplazamiento en derivación que se presentan entre conductores y entre estos y el

suelo. Estas corrientes de desplazamiento hace que los conductores

se carguen cuando son energizados, aún con la línea en vacío. La

Introducción

LEONARDO CARDONA C.


3

capacitancia se desprecia normalmente para redes con longitud por

debajo de 80 km. El efecto capacitivo se empieza a tener en cuenta

en redes de longitud mayor a 80 km ya que éste se acentúa por

aumento de la corriente de desplazamiento. El efecto principal de la

capacitancia asociada a los conductores es el aumento de la tensión

en el extremo de carga en vacío. Este aumento de tensión depende

de la longitud de la red. Para redes por debajo de 80 km la

regulación está por debajo de 0.5%, razón por la cual se considera

despreciable el efecto capacitivo. Cuando se trata de cables

aislados las consideraciones de longitud ya no son válidas y el efecto

capacitivo se debe considerar en casi todas las situaciones.

Efecto conductivo. Un cuarto efecto es el de conducción de corrientes de fuga debido a las características del aislamiento de la

red. Estas corrientes se presentan debido a la contaminación del

medio ambiente que rodea al conductor. Este efecto normalmente se

ignora en lo que respecta al circuito que representa la red en

funcionamiento normal en estado estacionario. Las pérdidas de

potencia activa que ocasionan estas corrientes si se tienen en cuenta

en la selección de conductores para líneas de alta tensión, cuando se

evalúan las pérdidas por efecto "corona".

Una vez que se ha tomado la decisión de diseñar y construir una nueva

red, se hace necesario un modelo que represente adecuadamente la red en

los diferentes estudios donde ésta esté involucrada. La modelación para

estudios de estado estacionario de la red, se hace mediante un circuito en

forma general n-fásico.

Introducción

LEONARDO CARDONA C.


4

El modelo circuital para una red de transmisión de energía se construye a

partir de las leyes de la Física que describen matemáticamente los

efectos físicos anteriormente expuestos.

Las redes son del tipo trifásico de uno o varios circuitos. Es usual en

Colombia el utilizar cable de guarda como medio de apantallamiento contra

descargas atmosféricas, en redes aéreas, debido al alto nivel ceráunico

que se presenta en la mayoría de las regiones. El cable de guarda hace las

veces de conductor neutro al estar eléctricamente en contacto con la

torre.

Para estudios transitorios rápidos, los modelos deben involucrar las

variables tiempo y desplazamiento, dando lugar a los modelos distribuidos

de onda viajera, los cuales manejan un concepto relativista, ya que un

evento que aparezca al inicio de la línea necesita de un tiempo

determinado para propagarse, dado por la velocidad con que las ondas de

corriente y voltaje se desplazan a lo largo de la red.

LEONARDO CARDONA C.


IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED AÉREA

La caída de voltaje lo largo de un conductor que transporta una corriente

alterna se debe a dos fenómenos físicos: efecto resistivo propio del

conductor y el efecto de la autoinducción motivado por la presencia de

campo magnético variable en el tiempo que rodea al conductor. Las líneas de

campo magnético son ocasionadas por la propia corriente y por corrientes

de líneas paralelas vecinas, para el caso de líneas con varios conductores.

Una red está formada en general por n conductores acoplados entre si. Este acoplamiento es tanto resistivo como inductivo.

En la obtención de la impedancia serie de una red trifásica aérea se va

seguir la siguiente metodología:

Cálculo de la resistencia AC del conductor incluyendo algunos efectos

como la temperatura y el retorno por tierra.

Planteamiento de la ecuación básica para el flujo ligado sobre un

conductor, creado por su propia corriente.

Determinación del flujo ligado sobre un conductor debido a un grupo

de varias corrientes.

Impedancia serie de una red aérea 6

LEONARDO CARDONA C.


Con la generalización anterior se particulariza para una red trifásica

de un conductor por fase. Se considera el caso de suelo ideal

(perfectamente conductor).

Se le da una interpretación a la matriz de reactancias inductivas, para

el caso de red trifásica.

Se determinan las inductancias de secuencia, haciendo las

consideraciones de red completamente transpuesta.

Se hacen las correcciones a las expresiones de impedancia serie

obtenidas para suelo ideal, al considerar las características de suelo

real. Se plantean las expresiones de Carson y se considera finalmente

una solución práctica a 60 hz, que es la aproximación de Lewis.

Se plantea el caso de una fase constituida por un grupo de

conductores formando un haz.

Se considera el efecto que tienen los cables de guarda sobre la

impedancia de secuencia cero de una red trifásica.

2.1 RESISTENCIA DE LA LINEA

Los conductores que normalmente se utilizan en líneas aéreas son de

aluminio y alma de acero reforzado (ACSR), conductor totalmente de

aluminio (AAC), conductor totalmente de aleación de aluminio (AAAC),

conductor de aluminio reforzado (ACAR). Estos conductores de estos


LEONARDO CARDONA C.


materiales ofrecen buenas características a la tracción mecánica (caso del

ACSR), buena conductividad y además poseen poco peso.

Para determinar el efecto resistivo de los conductores se puede hacer por

cálculos o por mediciones. En primera instancia parece sencillo el cálculo de

la resistencia de un conductor, pero hay varios factores que complican dicho

cálculo. Estos factores son los siguientes: la temperatura, efecto skin

(pelicular), la forma espiral de los hilos que componen el conductor

(espiralización), la frecuencia de la corriente, la tierra como sistema de

retorno.

El valor de la resistencia efectiva se puede obtener a partir de la medición

de pérdida de potencia y del valor efectivo de la corriente. El valor de la

resistencia obtenido de esta manera sería:

ΩI

conductor el enpotencia de pérdidas = R

2 (2.1)

La resistencia DC de un conductor de material uniforme se puede calcular

como:

A

l = RDCρ (2.2)

donde,

RDC = resistencia DC del conductor en Ω.

A = área de la sección transversal del conductor, en m²

l = longitud del conductor, en m.

ρ = resistividad del material del conductor, en Ω.m

2.83 x 10-8 Ω.m para el aluminio a 20 °C.


LEONARDO CARDONA C.


La resistividad del material del conductor varía en forma aproximadamente

lineal con la temperatura. Esta variación se puede calcular con la siguiente

expresión:

T+T

T+T = 01

0212 ρρ (2.3)

donde,

T2,T1 son las temperaturas en °C correspondientes a las

resistividades ρ 2 y ρ1 respectivamente.

T0 es una constante que puede tomar los siguientes valores,

234.5 para cobre recocido de 100% de conductividad,

241 para cobre estirado en frío de 97.3% de conductividad,

228 para aluminio estirado en frío de 61% de conductividad.

2.2 INFLUENCIA DEL EFECTO SKIN EN LA RESISTENCIA

La resistencia también se ve afectada por el efecto skin (pelicular o

superficial). Este consiste en la tendencia que tiene la corriente alterna a

concentrarse en la superficie del conductor, efecto que se incrementa con

la frecuencia. La resistencia se ve incrementada con este efecto ya que

disminuye al área efectiva del conductor para transportar la corriente. El

cálculo del incremento de la resistencia debido al efecto skin es complejo,

dando lugar a ecuaciones tipo Bessel. Para efectos prácticos la corrección

por este efecto se va a considerar al tomar el valor de resistencia a la

corriente alterna de las tablas que suministran los fabricantes. Este valor


LEONARDO CARDONA C.


se da para la frecuencia de trabajo del conductor, a una temperatura

determinada y para diferentes valores de corriente (pequeñas y ≈75% de la

corriente nominal).

2.3 INFLUENCIA DEL SISTEMA DE RETORNO EN LA RESISTENCIA.

Cuando el sistema de retorno de una corriente es un conductor físico o una

tierra de características ideales ( ρ =0.0), la resistencia total será

simplemente la suma de las dos resistencias de los respectivos conductores,

el de fase y el de retorno. Cuando el sistema de retorno lo constituye la

tierra física la resistencia total está dada por las correcciones de Carson:

R+R = R ACTOTAL ∆ (2.4)

donde ∆ R es una serie infinita,

∆ . . .

f h 10. 10 -

8 f 10.8 = R 4-

344-

ρπππ (2.5)

donde,

h es la altura del conductor con respecto a la superficie del suelo en

m.

f es la frecuencia de la corriente en hz.

ρ es la resistividad del suelo en Ω.m.

Para cálculos a 60 hz. una solución que se considera práctica es considerar

únicamente el primer término de la serie. Para este caso la corrección sería


LEONARDO CARDONA C.


un término constante que es independiente de la altura del conductor. En lo

sucesivo a este término constante de corrección por retorno por tierra se

le llamará Rn, y su valor será:

Km

0.0592 = RnΩ (2.6)

2.4 INDUCTANCIA DE LA LINEA DE TRANSMISION

La fuerza electromotriz (FEM) inducida a lo largo de un conductor, de

acuerdo a la Ley de Faraday de la Inducción, se calcula de la manera

siguiente:

B.dSdt

d- =

dt

d- = E.dl = FEM = e

SL ∫∫Φ (2.7)

De acuerdo a la anterior ecuación, la fuerza electromotriz está definida

como la integral de línea del campo eléctrico. Igualmente se puede evaluar la

fem como la variación del flujo ligado con respecto al tiempo. El signo

menos se introduce de acuerdo a la Ley de Lenz, para definir el sentido de

la diferencia de potencial que se opone a la corriente que produjo la caída

de tensión.

La relación entre el flujo ligado, la inductancia y la corriente, se puede

obtener a partir de la siguiente ecuación:

dtd

= dtd

N = dtdi

L = v = eψφ∆ (2.8)

De donde se puede establecer:


LEONARDO CARDONA C.


i L = ψ (2.9)

Donde, ψ corresponde al flujo ligado.

De la ecuación 2.8 se puede establecer que el flujo ligado es igual al flujo

magnético multiplicado por el factor N. Este factor N tiene un significado

un poco diferente al que normalmente tiene en una bobina, por ejemplo,

(donde corresponde al número de vueltas). Para el caso de puntos

exteriores a un conductor, N tiene un valor de uno (1.0) y para puntos

interiores N corresponde a la fracción de corriente total que es rodeada

por un diferencial de flujo.

La anterior ecuación (teorema del flujo ligado) nos dice que existe una

relación directa entre el flujo ligado y la corriente. El flujo ligado total

sobre un conductor es el resultado del flujo ligado interno del conductor y

el flujo ligado externo al conductor.

La Ley de Ampere permite calcular la fuerza magnetomotriz (FMM), en

amperios-vuelta alrededor de una trayectoria cerrada:

I = H.dl = FMM encerrada∫ (2.10)

donde,

H = Intensidad de campo magnético, A/m

l = Distancia a través del paso de integración, m

I = Corriente encerrada por la trayectoria de integración, A.

Si se escoge una trayectoria de integración adecuada, la integral cerrada se

puede evaluar de manera fácil. Ver Figura 2.1.


LEONARDO CARDONA C.


FIGURA 2.1 Líneas de intensidad de campo magnético Hx creadas por una corriente

2.5 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO H DEBIDO A LA

CORRIENTE DE UN SOLO CONDUCTOR

En puntos interiores del conductor, es decir para valores de x ≤ r, se tiene:

I r

x = I 2

2

encerrada (2.11)

I r

x = .dlH 2

2

x∫ (2.12)

En la trayectoria escogida de integración Hx tiene un valor constante,

I r

x = H x22

2

xπ (2.13)


LEONARDO CARDONA C.


De lo anterior se deduce que para puntos interiores, la intensidad de campo

magnético se puede evaluar,

I r2

x = H 2x π

(2.14)

Para puntos exteriores, lo único que cambia en la evaluación de la ecuación

2.10 es la corriente encerrada por la trayectoria de integración, que en este

caso ya corresponde a la totalidad de la corriente I.

x2

I = H I = .dlH xx π

⇒∫ (2.15)

El campo Hx para puntos interiores y exteriores se ilustra en la Figura 2.1,

donde se observa que para valores de x ≤ r la intensidad de campo

magnético varía linealmente con la distancia al centro del conductor y para

valores de x > r, el campo decrece y lo hace de manera inversa al incremento

de x.

2.6 CALCULO DEL FLUJO LIGADO TOTAL

Tal como quedó establecido en la ecuación 2.9 para calcular la inductancia

de un conductor en el espacio (sin efecto del suelo), hay que evaluar el flujo

ligado total que produce la corriente que circula por el conductor. En la

Figura 2.2 se ilustra este flujo ligado total hasta un punto exterior que está

a una distancia D del centro del conductor.


LEONARDO CARDONA C.


FLUJO LIGADO EXTERNO

FLUJO LIGADO INTERNO

SUPERFICIE DEL CONDUCTOR

D

r

FIGURA 2.2 Flujo ligado total debido a una corriente

Para la evaluación del flujo ligado interno, se realiza la integración en una

trayectoria radial desde x=0 hasta x=r, y tomando un diferencial de área

como se ilustra en la Figura 2.3.


LEONARDO CARDONA C.


dAHx

dx

FIGURA 2.3 Trayectoria para cálculo de flujo ligado interno

Para la evaluación del correspondiente flujo ligado externo se realiza la

respectiva integración desde x=r hasta un punto externo a una distancia

genérica D y tomando un diferencial de área como el que se ilustra en la

Figura 2.4.


LEONARDO CARDONA C.


LINEAS DE CAMPO MAGNETICO

dA

CORRI ENTE I

x dx

l

E

H

CONDUCTOR

Hx

FIGURA 2.4 Trayectoria de integración para cálculo de flujo ligado externo

Las ecuaciones básicas para obtener el flujo ligado total serían:

φψ d N = d (2.16)

B.dA = dφ (2.17)

donde,

B = Densidad de flujo magnético

El diferencial se toma por cada unidad de longitud, es decir,

dx = l

l.dx = dA (2.18)

De las ecuaciones 2.16, 2.17, 2.18 y además recordando la relación que

existe entre la intensidad de campo magnético H y la densidad de campo

magnético B (B=µH), un diferencial de flujo ligado en cualquier punto se

puede evaluar como:


LEONARDO CARDONA C.


dx H N = d µψ (2.19)

Haciendo la correspondiente integración se obtiene la expresión para el

flujo ligado interno:

π

µψ 8

I = interno (2.20)

Para el flujo ligado externo, se obtiene:

rD

2I

= externo lnπ

µψ (2.21)

El flujo ligado total, será entonces:

r

D +

2

I = 4

1total ln

πµψ (2.22)

Como el flujo ligado interno resulta independiente del radio del conductor,

la ecuación 2.22 se puede expresar de manera que se elimine el flujo ligado

interno y quede expresado el flujo ligado total en función de un radio

ficticio (r'), que representa un conductor sin flujo interno,

rD

2I

= total ′ln

πµψ (2.23)

donde,

er. = r 41-′ (2.24)

Según la ecuación 2.23 la inductancia de un conductor cilíndrico, sería:


LEONARDO CARDONA C.


rD

2

= L′

lnπµ (2.25)

2.7 FLUJO LIGADO SOBRE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN GRUPO DE CORRIENTES

Sobre un conductor además de su propia corriente, también tienen

influencia las corrientes de conductores vecinos. Estos últimos crean

enlaces de flujo que rodean al conductor sobre el que se desea calcular el

flujo ligado total. Ver Figura 2.5

D12

D2P

D1P PUNTO P

I1

I2

CREADO POR LA CORRIENTE I1

FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1CREADO POR LA CORRIENTE I2

FLUJO LIGADO SOBRE EL CONDUCTOR 1

FIGURA 2.5 Flujo ligado debido a un grupo de conductores


LEONARDO CARDONA C.


Para el cálculo del flujo ligado total sobre un conductor debido a un grupo

de corrientes, se puede utilizar la ecuación 2.23 para la evaluación del flujo

ligado total debido a su propia corriente. El cálculo del flujo ligado sobre el

conductor debido a otras corrientes, se puede hacer con la ecuación 2.21,

pero evaluado desde una distancia D1 hasta una distancia D2 al centro del

conductor:

1

2ln

D

D

2

I = externo π

µψ (2.26)

Tal como se ilustra en la Figura 2.5, solamente se va a considerar un grupo

de dos corrientes actuando sobre un conductor y a partir del resultado se

hace la correspondiente generalización.

ψψψ 12111 + = (2.27)

D

D 2I +

r

D 2I =

12

2P2

1

1P11 lnln

πµ

πµψ

′ (2.28)

Haciendo la siguiente descomposición,

′ D

1 I +

r

1 I + D I + D I

2 =

122

112P21P11 lnlnlnln

πµψ (2.29)

Como la suma de corrientes debe ser cero, se puede expresar I2 en función

de I1. Agrupando términos la ecuación 2.29 se puede expresar de la

siguiente manera:

′ D

D I + D

1 I +

r

1 I

2 =

2P

1P1

122

111 lnlnln

πµψ (2.30)


LEONARDO CARDONA C.


En la ecuación anterior el último término tiende a cero, cuando se evalúa el

flujo ligado hasta un punto P muy alejado. La ecuación 2.30 queda reducida

a:

′ D

1 I +

r

1 I

2 =

122

111 lnln

πµψ (2.31)

Generalizando la anterior ecuación,

′ D

1 I + ... +

r

1 I + ... +

D

1 I +

D

1 I

2 =

inn

ii

i22

i11i lnlnlnln

πµψ (2.32)

La anterior ecuación corresponde al flujo ligado por unidad de longitud

sobre un conductor genérico i (ψ i ), debido a un grupo de n corrientes.

2.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CONSIDERANDO SUELO IDEAL

Inicialmente se va a considerar el caso de una línea monofásica, que

transporta una corriente I, y se encuentra sobre un suelo ideal

(conductividad infinita). Sobre la superficie del terreno ideal, el campo

magnético, creado por la corriente del conductor, es tangente. Ver Figura

2.6.


LEONARDO CARDONA C.


CORRIENTE IMAGEN

CORRIENTE I

LI NEAS DE CAMPO MAGNETI CO

FIGURA 2.6 Corriente sobre un suelo perfectamente conductor

Para cumplir con la anterior condición de borde, el suelo se puede

reemplazar por una corriente imagen situada a una distancia 2h del

conductor que transporta la corriente y con una dirección contraria.

Para una red trifásica se puede aplicar el mismo recurso de las corrientes

imágenes. Ver Figura 2.7.


LEONARDO CARDONA C.


Haa' Hbb' Hcc'

a

b

c

a'

b'

c'

Dab

Dac

Dbc

Hab'

Hbc'

Ia

Ib

Ic

-Ia

-Ib

-Ic

FIGURA 2.7 Línea trifásica y corrientes imágenes

Para calcular el flujo ligado sobre los conductores a,b,c, se utiliza la

ecuación 2.32 incluyendo la contribución de las corrientes imágenes. El flujo

ligado sobre el conductor a, sería:

′′′′ H

1 I -

H

1 I -

H

1 I -

D

1 I +

D

1 I +

r

1 I

2 =

cac

bab

aaa

acc

abb

aaa lnlnlnlnlnln

πµψ (2.33)

La ecuación 2.33 se puede utilizar para evaluar el flujo ligado para las dos

fases restantes. El resultado se puede expresar matricialmente:


LEONARDO CARDONA C.


′

′′′

′

′

′′

′′

′

′

I

I

I

rH

DH

DH

DH

rH

DH

D

H D

H r

H

2

=

c

b

a

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

c

b

a

lnlnln

lnlnln

lnlnln

πµ

ψ

ψ

ψ

(2.34)

I

I

I

LLL

LLL

L L L

=

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

ψ

ψ

ψ

(2.35)

La anterior ecuación tiene la misma forma de la ecuación 2.9 ( i L = ψ ).

Se concluye que la matriz de inductancias para una línea trifásica sobre

suelo ideal, es la siguiente:


LEONARDO CARDONA C.


′

′′′

′

′

′′

′′

′

′

r

H

D

H

D

H

D

H

r

H

D

H

D

H D

H r

H

2

=

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

abcL

lnlnln

lnlnln

lnlnln

πµ (2.36)

La ecuación 2.35 escrita en forma compacta,

IL abc . abc = abcΨ (2.37)

La correspondiente generalización de un elemento de la matriz de

inductancias para una línea de n conductores sería:

r

H 2

= Li

iiii

′

′lnπ

µ (2.38)

j i para D

H 2

= Lij

jiij ≠′ln

πµ (2.39)

La permeabilidad magnética µ para el aire se toma igual a la del vacío. Este

valor corresponde a:

Km

mH 0,2 =

2

m

H 10 x 4 = = 7-

0 πµπµµ ⇒ (2.40)

2.9 MATRIZ DE REACTANCIAS INDUCTIVAS DE UNA RED TRIFASICA


LEONARDO CARDONA C.


La ecuación 2.37 puede llevarse a una ecuación fasorial que relacione las

caídas de potencial con las corrientes,

ψψ j w = V

dt

(t)d = V(t) ∆⇒∆ (2.41)

La ecuación 2.34 se puede convertir en una relación entre las diferencias de

potencial en los conductores y las corrientes de línea,

∆

∆

∆

′

′′′

′

′

′′

′′

′

′

I

I

I

r

H

D

H

D

H

DH

rH

DH

D

H D

H r

H

2

wj =

V

V

V

c

b

a

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

c

b

a

lnlnln

lnlnln

lnlnln

πµ (2.42)

∆

∆

∆

I

I

I

XXX

XXX

X X X

j =

V

V

V

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

(2.43)

Las diferencias de potencial y corrientes en las dos ecuaciones anteriores

son variables fasoriales. La ecuación 2.42 en forma compacta:

I . X = V abcabcabc∆ (2.44)


LEONARDO CARDONA C.


2.10 INTERPRETACION DE LA MATRIZ DE INDUCTANCIAS

La interpretación de cada uno de los términos de la matriz de inductancias

para una línea trifásica se ilustra en la Figura 2.8.

a'

b'

c'

a

b

c

Laa

Lbb

Lcc

Lab

Lbc

Lac

Ia

Ib

Ic

Laa Lab Lac

Lba Lbb Lbc

Lca Lcb Lcc

FIGURA 2.8 Circuito inductivo para línea trifásica

Los términos de la diagonal principal corresponden a las inductancias propias

de cada fase o de cada conductor, para el caso de un conductor por fase.

Los términos fuera de la diagonal principal corresponden a las inductancias

mutuas entre fases.

2.11 INDUCTANCIAS PARA RED TRIFÁSICA TRANSPUESTA

En una red trifásica cuando los conductores no tienen una disposición

geométrica equilátera, las inductancias propias no son exactamente iguales


LEONARDO CARDONA C.


entre si. Similarmente sucede con las inductancias mutuas. El balance de las

tres fases puede lograrse, intercambiando la posición de los conductores a

intervalos regulares a lo largo de la línea. Para el caso de una línea trifásica

de un solo circuito, la línea se divide en tres tramos, tal como se ilustra en la

Figura 2.9.

a

b

c

Laa

Lbb

Lcc

Lab

Lbc

Lac Lac

Lbc

Lab

Lcc

Lbb Lac

Lbc

Lab

Lcc

Lbb

I1

I2

I3

TRAMO #1 TRAMO #2 TRAMO #3

FIGURA 2.9 Ciclos de transposición

En la Figura 2.9 las posiciones geométricas se representan por las letras a,b

y c.

Para el primer tramo, la relación entre voltajes y corrientes es:

I

I

I

LLL

LLL

L L L

=

3

2

1

cccbca

bcbbba

acabaa

3

2

1

ψ

ψ

ψ

(2.45)

Para el segundo tramo,


LEONARDO CARDONA C.


I

I

I

LLL

LLL

L L L

=

1

3

2

cccbca

bcbbba

acabaa

1

3

2

ψ

ψ

ψ

(2.46)

Para el tercer tramo,

I

I

I

LLL

LLL

L L L

=

2

1

3

cccbca

bcbbba

acabaa

2

1

3

ψ

ψ

ψ

(2.47)

El flujo ligado por unidad de longitud sobre cada conductor para toda la

longitud de la línea se puede evaluar como el promedio de los flujo ligados

que tiene cada conductor en los tres tramos.

I

I

I

3L + L + L

3L + L + L

3L + L + L

3L + L + L

3L + L + L

3L + L + L

3L + L + L

3L + L + L

3L + L + L

=

3

2

1

ccbbaaacbacbabbcca

caabbcccbbaacbacba

bacbacbccaabccbbaa

3

2

1

ψ

ψ

ψ

(2.48)

Se observa en la matriz de inductancias para línea transpuesta que los

términos de la diagonal principal son iguales entre si, lo mismo que las


LEONARDO CARDONA C.


inductancias mutuas. Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones, la

matriz de inductancias tiene la siguiente forma,

LLL

LLL

L L L

= abc

SMM

MSM

MMS

L (2.49)

La nueva ecuación matricial de los flujos ligados en función de las corrientes

de línea sería,

I

I

I

LLL

LLL

L L L

=

c

b

a

SMM

MSM

MMS

c

b

a

ψ

ψ

ψ

(2.50)

Las expresiones para LS y LM son las siguientes,

3

cba

3ccbbaa

Sr . r . r

H. H. H 2

= L′′′

′′′lnπ

µ (2.51)

3

bcacab

3cbcaba

MD . D . D

H. H. H 2

= L′′′ln

πµ (2.52)

Al término 3bcacab D . D . D se le denomina distancia media geométrica entre

fases o DMG .

Al término 3cba r.r.r ′′′ se le denomina el radio medio geométrico de la red o

MGR′ , que para el caso de conductores iguales es equivalente al radio medio

geométrico del conductor (0,7788*r para conductor macizo).


LEONARDO CARDONA C.


2.12 INDUCTANCIAS DE SECUENCIA PARA LINEA TRIFASICA

Tal como se indicó en el circuito equivalente inductivo de una línea trifásica,

éste constituye un sistema acoplado. Un circuito magnético con acoples

dificulta mucho los cálculos que se hagan sobre el sistema de potencia.

Si la línea es completamente transpuesta o se puede asumir como tal, la

transformación de componentes simétricas ofrece una alternativa muy

atractiva con el fin de simplificar el circuito inductivo. La realidad es la de

que muy pocas líneas son completamente transpuestas, pero se puede

asumir para poder utilizar de manera sencilla la transformación de

componentes simétricas.

Definiendo los flujos ligados sobre las fases y las corrientes de línea en

función de los flujos ligados de secuencia y de las corrientes de secuencia,

ψψ 012abc . T = (2.53)

I . T = I 012abc (2.54)

Reemplazando las ecuaciones 2.53 y 2.54 en la ecuación 2.50,

I.T.L = T. 012abc012ψ (2.55)

Premultiplicando por T -11 en ambos miembros de la ecuación anterior,

I.T.L.T = 012abc

-1012ψ (2.56)

L 012


LEONARDO CARDONA C.


aa1

aa1

111

LLL

LLL

L L L

aa1

aa1

111

=

2

2

SMM

MSM

MMS

2

231L012 (2.57)

L - L00

0L - L0

0 0 L 2 + L

=

MS

MS

MS

L012 (2.58)

La ecuación 2.58 corresponde a la matriz de inductancias de secuencia. La

matriz es completamente diagonal, lo cual indica que en el dominio de las

componentes de secuencia existen tres circuitos inductivos independientes.

Ver Figura 2.10.

La ecuación 2.56 quedaría como,

I

I

I

L00

0L0

0 0 L

=

2

1

0

2

1

0

2

1

0

ψ

ψ

ψ

(2.59)


LEONARDO CARDONA C.


a'

b'

c'

a

b

c

Ia

Ib

Ic

L 0

L 1

L 2

0 0

0

0 0

0

L 0

L 1

L 2

I0

I1

I2

L S LM

L S

L S

LM

LMLM

LM LM

L S

L S

L S

LM

LM

LM

FIGURA 2.10 Inductancias de secuencia

La inductancia de secuencia positiva y negativa para una línea trifásica,

sería:

′′′′′′

′′′

3cba

3cbcaba

3bcacab

3ccbbaa

21r.r.r . H.H.H

D.D.D . H.H.H 2

= L = L lnπ

µ (2.60)

Para una línea, la anterior ecuación se puede aproximar a:

KmmH

3cba

3bcacab

21 MGR

DMG 0,2 =

MGR

DMG

2 =

r.r.r

D.D.D 2

= L = L ′′

′′′lnlnln

πµ

πµ (2.61)

La inductancia de secuencia cero sería:

′′′

′′′′′′

3cba

3bcacab

2

3cbcaba

23

ccbbaa

0

r.r.r . D.D.D

H.H.H . H.H.H

2 = L ln

πµ (2.62)

Haciendo un ordenamiento de la ecuación anterior,


LEONARDO CARDONA C.


′′′

′′′′′′

3cba

3bcacab

2

9 2cb

2ca

2baccbbaa

3

0

r.r.r . D.D.D

H.H.HH.H.H

2 = L ln

πµ (2.63)

Matemáticamente una distancia media geométrica (DMG ) entre un grupo

de elementos de un conjunto con otro grupo de elementos de otro conjunto,

se define como la raíz n-ésima de todas las distancias posibles, entre cada

uno de los elementos del primer conjunto con los elementos del segundo

conjunto. En la Figura 2.11 se observan las distancias posibles entre un

conjunto de 2 elementos y otro conjunto de 5 elementos.

c

d

e

fg

a

b

FIGURA 2.11 Distancias posibles entre conjuntos de 2 y 5 elementos

Para el caso ilustrado la DMG está definida como:

10bgbfbebdbcagafaeadac D. D. D. D. D. D. D. D. D. D =DMG (2.64)

El concepto de DMG se puede aplicar también a más de dos conjuntos de

elementos. Para el caso de tres conjuntos unitarios, como es el caso de una

línea trifásica de un conductor por fase, la distancia media geométrica

corresponde a la raíz cúbica de las distancias entre elementos.


LEONARDO CARDONA C.


Haciendo uso del concepto de la distancia media geométrica, la ecuación

2.63 puede ser escrita de la siguiente manera:

DMG .MG R

De 2

= L 2

3

0 ′ln

πµ (2.65)

donde,

De es la distancia media geométrica entre las corrientes de los

conductores de fase y sus respectivas imágenes.

DMG es la distancia media geométrica entre fases.

MGR′ corresponde al radio medio geométrico. Dato que

normalmente se obtiene de las tablas de fabricantes de

conductores.

Una interpretación, acerca de una red trifásica con retorno por tierra, que

se puede hacer a partir de la expresión de la inductancia de secuencia cero,

sería la de una red equivalente que tiene como sistema de retorno un

conductor ficticio situado a una distancia igual a De. Ver Figura 2.12


LEONARDO CARDONA C.


Haa' Hbb' Hcc'

a

b

c

a'

b'

c'

Dab

Dac

Dbc

Hab'

Hbc'

Ia

Ib

Ic

-Ia

-Ib

-Ic

Ic

Ib

Ia

Dbc

Dac

Dabc

b

a

DeDe

De

CONDUCTOR FICTICIODE RETORNO

FIGURA 2.12 Línea trifásica con conductor de retorno equivalente

2.13 IMPEDANCIA SERIE DE UNA RED CON RETORNO POR TIERRA

CONSIDERANDO SUELO REAL

Hasta ahora se ha considerado el suelo con unas caracterísiticas ideales, es

decir de una conductividad infinita. Partiendo del hecho de que no es

posible resolver el problema teniendo en cuenta las características

desiguales de la superficie del suelo, y capas con diferentes resistividades,

Carson estudió el problema considerando la tierra como un plano sólido

semi-infinito y homogéneo. Las soluciones que obtuvo Carson son

correcciones a las que se han obtenido considerando suelo ideal.

Las expresiones de impedancia serie desarrolladas por Carson para un

conductor genérico i son las siguientes:


LEONARDO CARDONA C.


Para la impedancia propia del conductor,

Kmiii

iiiiiii X +

r

H 2 w

j + R + Rac = Z Ω

′

′

∆∆ lnπµ (2.66)

Para las impedancias mutuas,

Kmijij

jiijij X +

D

H 2

wj + R = Z Ω′

∆∆ ln

πµ (2.67)

donde,

Raci Resistencia AC del conductor en Ω/Km

r i ′ Radio corregido del conductor i . RMG de tablas de

fabricante.

H ii ′ Distancia del conductor i a su imagen

H ji ′ Distancia del conductor i a la imagen del conductor j

Dij Distancia del conductor i al conductor j

Las anteriores definiciones se pueden observar en la Figura 2.13


LEONARDO CARDONA C.


i

j

j

i

Hij

Dij

Hii

Xij

FIGURA 2.13 Geometría de torre para dos conductores genéricos

Las correciones en la impedancia mutua Rij∆ , X ij∆ dependen del ángulo θ

ilustrado en la Figura 2.13, de la distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j , además de depender de la resistividad y de la frecuencia.

Para el caso de las correcciones en la impedancia propia se utilizan las

mismas expresiones para las correcciones en la impedancia mutua haciendo

el ángulo θ igual a 0° y la distancia H ji ′ en la distancia del conductor a su

imagen, es decir en 2*h. Las correcciones para impedancias mutuas son:

Km4-

ii .P10 w.4 = .P 2

2.w. = R Ω∆π

µ (2.68)

Km4-

ij .Q 10 w.4 =.Q 2

2.w. = X Ω∆π

µ (2.69)


LEONARDO CARDONA C.


En las dos ecuaciones anteriores w corresponde a la frecuencia angular

(rad/seg) y los términos P y Q a valores adimensionales cuyas expresiones

son las siguientes:

... 4 .

1536k -

245

3 .k + 2 .sen.16k +

k

2 + 0,6728 * 2.

16k + k.

2 3

1-

8 = P

432

2

θπθθθ

θθπ

coscos

lncoscos

(2.70)

. . . 1,0895 +

k2

.384

4.k - .sen4384

.k -

2 45

3.k + 2.64k - .k.

23

1 +

k2

+ 0,0386- =Q

44

32

21

lncos

coscoscosln

θθθ

θθπθ (2.71)

donde,

ρf

. H.102.81x = k ji3-

′ (2.72)

H

Xsen =

ji

ij1-

′θ (2.73)

Las ecuaciones para P y Q corresponden a los primeros términos de una

serie infinita. Los términos que se han indicado en las ecuaciones 2.70 y 2.71

dan una buena precisión para todos los cálculos que se hagan a baja

frecuencia.

2.14 APROXIMACIÓN DE LEWIS PARA CÁLCULO DE IMPEDANCIA SERIE A BAJA FRECUENCIA

Una aproximación que se considera práctica para cálculos a baja frecuencia

es la denominada aproximación de Lewis. Esta aproximación considera


LEONARDO CARDONA C.


solamente el primer término en la serie deP para el cálculo de R∆ . Para el

cálculo de la corrección X∆ considera los dos primeros términos para Q .

Las ecuaciones 2.66 y 2.67 considerando la aproximación de Lewis

quedarían:

Km

k2

+ 0,0386- x 2 + r

H 2 w

j + 8

.10 . w4 + Rac = Z 21

i

ii4-iii

Ω

′

′ lnlnπµπ (2.74)

Reemplazando el valor de k de acuerdo a la ecuación 2.72, se llega a la

siguiente expresión:

r

f 658,86

2

wj + wx 10 x + Rac = Z

i

4-21

iii′

ρ

πµπ ln (2.75)

Rn

Para una frecuencia industrial de 60 hz y definiendo,

hz en f

m . en para m

f 658,86 = De

Ωρρ (2.76)

Km

r

De 0,0754j + 0.0592 + Rac = Z

iiii

Ω′

ln (2.77)

Para las impedancias mutuas,

Km

D

De 0,0754j + 0,0592 =

D

De

2 w

j + Rn = Zijij

ijΩ

lnlnπµ (2.78)


LEONARDO CARDONA C.


2.15 LAS IMPEDANCIAS DE SECUENCIA CONSIDERANDO LA APROXIMACION DE LEWIS

Para una red trifásica la matriz de impedancias serie Zabc tendría la

siguiente forma:

r

De

D

De

D

De

D

De

r

De

D

De

D

De

D

De

r

De

w

j

RnRac Rn Rn

RnRnRac Rn

Rn Rn RnRac

=

ccbca

bcbba

acaba

c

b

a

abcZ

′

′

′

+

+

+

+

lnlnln

lnlnln

lnlnln

2πµ (2.79)

Si la línea es completamente transpuesta o se considera como tal, la matriz

de impedancias tendrá la forma:

ZZZ

ZZZ

Z Z Z

=

SMM

MSM

MMS

abcZ (2.80)

donde,

MGRDe

2 w

j + Rn + Rac = ZS ′ln

πµ (2.81)

DMG

De

2 w

j + Rn = ZM lnπµ (2.82)

Las impedancias de secuencia de acuerdo a la aproximación de Lewis serían:


LEONARDO CARDONA C.


MGR

DMG

2 w

j + Rac = Z2= Z1′

lnπµ (2.83)

DMG MGxR

De 2

wj + Rn 3 + Rac = Z0

2

3

′ln

πµ (2.84)

Si se comparan las ecuaciones anteriores, con las ecuaciones 2.61 y 2.65 se

concluye que la impedancia de secuencia positiva no se ve afectada por el

sistema de retorno, es decir que las consideraciones que se hagan del suelo

(ideal o no), no afecta el resultado. La impedancia de secuencia cero, por el

contrario, si se ve afectada por el sistema de retorno. La variación de la

impedancia de secuencia cero, teniendo en cuenta la influencia de un suelo

real, se ve reflejada en la modificación de la distancia De. En este caso, esta distancia ya no corresponde a la distancia media geométrica entre las

corrientes de conductores y sus correspondientes imágenes, sino que se

evalúa a partir de la ecuación 2.76. Lo anterior sería equivalente a

considerar una línea con un conductor ficticio de retorno, situado a una

distancia de los conductores de fase igual a metros f / 658,86 = De ρ .

2.16 IMPEDANCIA DE UNA RED PARA CONDUCTORES EN HAZ

Los conductores en haz se pueden manejar matemáticamente como

conductores independientes, y luego mediante un proceso de reducción,

considerando que están en paralelo, se reduce la línea a una de tipo

equivalente de un conductor por fase. Un método simple consiste en reducir

el haz a un conductor equivalente antes de empezar cualquier cálculo.


LEONARDO CARDONA C.


Para la determinación del equivalente para un haz de conductores,

consideremos, por ejemplo una fase formada por un haz de tres

conductores (Ver Figura 2.14).

I T

I1 I2 I3

FIGURA 2.14 Haz de tres conductores

La relación entre las caídas de voltaje a lo largo de los tres conductores y

las respectivas corrientes de línea está dada por la siguiente ecuación:

∆

∆

∆

I

I

I

ZZZ

ZZZ

Z Z Z

=

V

V

V

3

1

1

333231

232221

131211

3

2

1

(2.85)

Suponiendo que las tres corrientes son iguales entre si, la diferencia de

potencial ( V∆ ) se puede calcular como el promedio de las tres diferencias

de potencial sobre los tres conductores,

I x 9

Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z+Z = 3

V + V + V = V T333231232221131211321 ∆∆∆∆ (2.86)


LEONARDO CARDONA C.


Utilizando las ecuaciones 2.75 y 2.78 para expresar cada término Zij ,

I x D . D . D . D . D . D . r. r. r

De

2

wj + Rn +

3

Rac = V T

9323123211312

′′′∆

321

lnπµ (2.87)

Según la ecuación anterior el radio equivalente para representar el haz de

tres conductores sería:

9323123211312 D . D . D . D . D . D . rrr =MG R 321 .. ′′′′ (2.88)

El radio equivalente ( MGR′ ) para diferentes configuraciones de haz de

conductores se ilustran en la Figura 2.15.

d

d

d

d

r

Ar

d . r =MG R ′′ 3 2 d . r =MG R ′′ 4 3d . r 1,0905 =MG R ′′ n 1-nAr n =MG R ′′

FIGURA 2.15 Diferentes tipos de haz de conductores

En la Figura 2.15 la expresión para el MGR′ del haz de cinco conductores es

general, o sea que se puede aplicar a cualquier tipo de haz con la condición

que el radio A esté definido.


LEONARDO CARDONA C.


2.17 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFÁSICA DE UN CIRCUITO CON UN CABLE DE GUARDA

Cuando una línea tiene cables de guarda aterrizados, el retorno por tierra

se ve afectado por la presencia de estos conductores. El efecto de los

conductores de guarda es ofrecer un camino alterno para la circulación de

corrientes de secuencia cero y por eso únicamente afecta la impedancia de

secuencia cero.

Para determinar la expresión correspondiente consideremos todos los

acoples que están presentes entre las fases y el cable de guarda. Ver Figura

2.16.

El circuito trifásico se alimenta con una fuente de voltaje de secuencia

cero. Para obtener la impedancia de secuencia cero (Z0 ) basta con

determinar la relación I / V 00 .

Zm

Zfg

Zg

Io

Igo

Vo+

-

Zs

Zs

Zs

Io

Io

FIGURA 2.16 Línea trifásica de un circuito y un cable de guarda


LEONARDO CARDONA C.


La diferencia de potencial en las fases es igual a V0 y se puede evaluar en

una de las tres ramas,

I . Z - I . Z 2 + I . Z = V 0gfg0M0s0 (2.89)

En la rama correspondiente al cable de guarda,

Z

I . Z 3 = I

g

0fg0g (2.90)

Reemplazando 2.90 en 2.89 se obtiene la relación para la impedancia de

secuencia cero,

ZgZ 3

- Z = Z

Z 3 - )Z 2 + Z( = Z

2fg

0g

2fg

MS0E (2.91)

2.18 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA DE UN CIRCUITO CON DOS CABLES DE GUARDA

En la Figura 2.17 se observa los acoples de impedancias que se presentan

entre las tres fases de un circuito y los dos cables de guarda.


LEONARDO CARDONA C.


Zm

Zg

Io

Igo

Vo+

-

Zs

Zs

Zs

Io

Io

IgoZgZgg

Zfg

Zfg

FIGURA 2.17 Línea trifásica de un circuito y dos cables de guarda

La ecuación de voltajes sobre una malla correspondiente a una de las fases,

I . Z 2- I )Z 2 + Z( = V 0gfg0M00 (2.92)

La ecuación de voltajes sobre uno de los cables de guarda,

I Z + Z

Z 3 = I _ I . Z - I . Z 3 = Z . I 0

ggg

fg0g0ggg0fgg0g (2.93)

La impedancia de secuencia cero será entonces,

Z + Z

Z 6 - Z =

Z + ZgZ 6

- )Z 2 + Z( = Zggg

2fg

0gg

2fg

MS0E (2.94)

2.19 IMPEDANCIA DE SECUENCIA CERO DE UNA RED TRIFASICA DE DOS CIRCUITOS CON DOS CABLES DE GUARDA


LEONARDO CARDONA C.


Una línea trifásica de dos circuitos con dos cables de guarda y los acoples

de impedancia se observa en la Figura 2.18.

Zm

Zg

Io

Igo

Vo+

-

Zs

Zs

Zs

Io

Io

IgoZgZgg

Zfg

Zfg

Zs

Zs

Zs

Zp

Zfg

SEGU

NDO

CIRC

UITO

PRIM

ER C

IRCU

ITO

FIGURA 2.18 Línea trifásica de dos circuitos y dos cables de guarda

Para este caso existe acople de secuencia cero entre los dos circuitos

trifásicos. Para el caso de que no existieran los cables de guarda o

estuvieran aislados, este acople sería de Z . 3 P .

La ecuación de voltajes sobre una fase del primer circuito sería:

0I . Z 2 - I )Z 2 + Z( = V gfgOMS0 (2.95)


LEONARDO CARDONA C.


La ecuación de voltajes sobre uno de los cables de guarda,

I Z + Z

Z 3 = 0I I . Z = 0I . Z - I . Z 3 0

ggg

fgggogggg0fg _ (2.96)

La impedancia de secuencia cero para cada circuito sería entonces:

Z + Z

Z 6 - Z =

Z + ZgZ 6

- )Z 2 + Z( = Zggg

2fg

0gg

2fg

MS0E (2.97)

El voltaje que aparece inducido sobre el circuito abierto sería,

I . Z + Z

Z 6 - Z 3 = I Z 2 - I . Z 3 = V 0

ggg

2fg

P0gfg0Pind

(2.98)

Se concluye entonces que el acople de secuencia cero entre circuitos sería,

Z + Z

Z 6 - Z =

Z + Z

Z 6 - Z 3 = Z

ggg

2fgM

0ggg

2fg

PM0E

× (2.99)

La red de secuencia cero para esta configuración de línea se ilustra en la

Figura 2.19.


LEONARDO CARDONA C.


Z0EM

Z0E

Z0E

REFERECIA DE SEC. CERO FIGURA 2.19 Red de secuencia cero para línea doble circuito y dos cables de guarda

La red de la Figura 2.19 es general para una red trifásica, que tenga hasta

dos circuitos.

LEONARDO CARDONA C.


CAPACITANCIA DE UNA RED AÉREA

Una red formada por un solo conductor tiene las características de un

condensador donde una placa es un cilindro metálico y la otra placa es la

superficie del terreno (Ver Figura 3.1)

++++ ++++

++++

FIGURA 3.1 Configuración cilindro plano de una red

Cuando la red tiene una distancia considerable, el efecto capacitivo trae

como consecuencia un nivel de voltaje en vacío, en el extremo de carga,

superior al nivel de voltaje de la fuente. (Figura 1.1)

La capacitancia de la red normalmente no se considera para distancias

cortas (d<80 Km). Pero para distancias mayores hay que considerar su

efecto, ya que la inyección de reactivos por parte de la red al sistema,

Capacitancia de una red aérea 51

LEONARDO CARDONA C.


empieza a ser considerable, hasta el punto que las redes de mayor nivel de

voltaje, deben ser compensadas mediante reactores.

Para llegar a un modelo capacitivo de una red trifásica se van a seguir los

siguientes pasos:

Como una red trifásica está formada por una serie de conductores,

cada uno de éstos se considera como portador de una carga lineal

uniformemente distribuida. Se plantea una expresión general para

calcular la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio

debido a una distribución lineal de carga.

Aplicando la metodología de las cargas imágenes, una red trifásica

sobre un suelo conductor se considera equivalente, a un sistema

compuesto de las cargas reales de los conductores de fase y sus

respectivas imágenes de carga. Se plantea para una red trifásica de un

conductor por fase la relación entre voltajes inducidos y las cargas de

los mismos. Las capacitancias asociadas a una red aparecen expresadas

desde el punto de vista matricial.

Se plantea una interpretación física de la matriz de capacitancias de

una red.

Se calculan las capacitancias de secuencia para una red sin considerar

el efecto de los cables de guarda y suponiendo que hay transposición

completa.


LEONARDO CARDONA C.


3.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN LINEAL DE CARGA

Considerando un tramo de conductor (Figura 3.2) de longitud l.

x

l

dA

Q

Dx ds

SUPERFICIE GAUSSIANA

FIGURA 3.2 Superficie gaussiana rodeando un conductor cargado

La superficie gaussiana alrededor de un tramo de conductor tiene las

siguiente características:

El flujo eléctrico en las caras circulares es cero porque no hay líneas

de campo en esta dirección.

En la superficie cilíndrica la densidad de flujo eléctrico (Dx ) es

constante. Esto permite evaluar con facilidad la ecuación de la Ley de

Gauss.

l . q =Q = q = D.dA = encerradaerficieE ∫supψ (3.1)

donde,

ψ E = Flujo eléctrico


LEONARDO CARDONA C.


D = Densidad de flujo eléctrico, C/m²

q = Carga lineal por unidad de longitud, Q/m

Sobre la superficie cilíndrica la densidad de flujo eléctrico es constante y

será igual a:

x 2

q = Dx π

(3.2)

El campo eléctrico en la superficie gaussiana depende de la permitividad

eléctrica del medio (aire), ε . Esta permitividad o constante dieléctrica se puede asumir aproximadamente como la del vacío ( m

F-9 36

10 10 x = πεε ≈ ).

V/m x 2

q = Ex επ

(3.3)

La diferencia de potencial en el aire debido a una distribución lineal de

carga se puede evaluar a partir de la ecuación 3.3 y recordando que el

campo eléctrico se calcula como el gradiente del potencial multiplicado por

(-1).

En la Figura 3.3 se observa la trayectoria seguida en la integración del

campo eléctrico para evaluar la diferencia de potencial entre los puntos P1 y

P2.


LEONARDO CARDONA C.


P1

P2

D1

D2

FIGURA 3.3 Trayectoria de integración para el campo eléctrico

∫∫2

1

2

1 2.

D

D

D

D12 dx

x

q = dxE= v επ

(3.4)

DD

12 1

2 2

q = v ln

επ (3.5)

3.2 CAPACITANCIAS DE LINEA TRIFASICA

Para determinar la capacitancia de una red trifásica, hay que considerar el

efecto del suelo.

FIGURA 3.4 Líneas de campo eléctrico para conductor sobre una superficie plana

metálica


LEONARDO CARDONA C.


Sobre la superficie del suelo el campo eléctrico es perpendicular. La

distribución de cargas sobre la superficie del suelo se puede reemplazar por

una carga imagen. Ver Figura 3.4.

Una red trifásica formada de un conductor por fase sobre un suelo

conductor es equivalente al sistema de cargas y cargas imágenes que

aparece en la Figura 3.5.

Haa' Hbb' Hcc'

a

b

c

a'

b'

c'

Dab

Dac

Dbc

Hab'

Hbc'

qa

qb

qc

-qa

-qb

-qc

FIGURA 3.5 Conductores cargados e imágenes de carga para red trifásica

La ecuación 3.5 permite calcular la diferencia de potencial entre cada

conductor y su imagen debido a la superposición de las seis cargas (qa, qb,

qc, -qa, -qb, -qc)

′′′

′′′′

H

D q - H

D q - H

r q - D

H q + D

H q + r

H q 2

1 = V

ca

acc

ba

abb

aa

aa

ac

cac

ab

bab

a

aaaaa lnlnlnlnlnln

επ(3.6)


LEONARDO CARDONA C.


′′′′

D

H q + D

H q + r

H q 2

1 = = V

ac

cac

ab

bab

a

aaa2

Van

aa lnlnlnεπ

(3.7)

Igualmente se puede evaluar Vbn y V cn

Expresando en forma matricial,

′′′

′′′

′′′

c

b

a

c

cc

cb

bc

ca

ac

bc

cb

b

bb

ba

ab

ac

ca

ab

ba

a

aa

cn

bn

an

q

q

q

r

H

D

H

D

H

D

H

r

H

D

H

D

H D

H r

H

2

1 =

V

V

V

lnlnln

lnlnln

lnlnln

επ (3.8)

q

q

q

PPP

PPP

P P P

=

V V

V

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

cn

bn

an

(3.9)

La ecuación 3.9 escrita en forma compacta,

abc

. abc

= abc

QPV (3.10)

La matriz Pabc se denomina de coeficientes capacitivos de Maxwell.

De la ecuación 3.10 se concluye la forma de calcular la matriz de

capacitancias,


LEONARDO CARDONA C.


PC 1-abc = abc (3.11)

3.3 INTERPRETACION FISICA DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIAS

Para comprender con mayor facilidad el significado físico de la matriz de

capacidades es conveniente llevar la ecuación (8) al dominio fasorial y en vez

de cargas, determinar la ecuación matricial para corrientes capacitivas.

q j w = I dtdq

=i rr→ (3.12)

La correspondiente ecuación matricial para las corrientes fasoriales de

desplazamiento (corrientes capacitivas), sería:

[ ]V C j wI abcabc = abcrr

(3.13)

Para un sistema circuital genérico la ecuación anterior tiene la forma:

[ ]V Y I = rr (3.14)

donde,

I Vector de corrientes de inyección nodales

Y Matriz de admitancias nodal

V Vector de voltajes nodales

Los elementos de la matriz tienen significados bien definidos:


LEONARDO CARDONA C.


Los elementos de la diagonal principal, se determinan como la sumatoria de

las admitancias de las ramas que están conectadas al nodo respectivo.

Los elementos fuera de la diagonal principal, se determinan como el inverso

negativo de la admitancia de conexión de los nodos correpondientes a la fila

y columna respectiva.

Si el circuito es completamente capacitivo, los elementos de la matriz ] [Y

seran susceptancias capacitivas. Las relaciones entre matriz y circuito

serán como se ilustra en la Figura 3.6.

Caa Cab Cac

Cba Cbb Cbc

Cca Ccb Ccc

a b c

-Cac

-Cab -Cbc

Caa+Cab+Cac

Cba+Cbb+Cbc

Cca+Ccb+Ccc

FIGURA 3.6 Relación entre matriz Cabc y circuito capacitivo

3.4 CAPACITANCIA PARA UNA LINEA TRIFASICA CON

TRANSPOSICION

Cuando una red, debido a la disposición asimétrica de las fases y a una gran

longitud, pierde la característica de ser trifásica balanceada.


LEONARDO CARDONA C.


La transposición de fases es una acción remedial, esta consiste en que cada

fase ocupe las tres posiciones geométricas posibles de las disposición que se

tenga. Realmente la transposición se hace sobre muy pocas reds.

POSICION a

POSICION b

POSICION c

TRAMO #1 TRAMO #2 TRAMO #3

1

2

3 1

1

2

2

3

3

FIGURA 3.7 Transposición de una red trifásica

En la Figura 3.7 las letras a,b,c representan la disposición geométrica de los

conductores y los números 1,2,3 los respectivos conductores en la red.

La matriz [ ]abcP que depende de la geometría de la red, va a ser la misma en

los tres tramos.

Para el primer tramo, la relación entre voltajes y cargas es:

q

q

q

PPP

PPP

P P P

=

V V

V

3

2

1

cccbca

bcbbba

acabaa

3

2

1

(3.15)

Para el segundo tramo,

q

q

q

PPP

PPP

P P P

=

V V

V

1

3

2

cccbca

bcbbba

acabaa

1

3

2

(3.16)

Para el tercer tramo,


LEONARDO CARDONA C.


q

q

q

PPP

PPP

P P P

=

V V

V

2

1

3

cccbca

bcbbba

acabaa

2

1

3

(3.17)

El voltaje sobre los conductores 1,2,3 se puede evaluar como el promedio de

los respectivos voltajes en los tres tramos.

q

q

q

3P + P + P

3P + P + P

3P + P + P

3P + P + P

3P + P + P

3P + P + P

3P + P + P

3P + P + P

3P + P + P

=

V

V

V

3

2

1

ccbbaaacbacbabbcca

caabbcccbbaacbacba

bacbacbccaabccbbaa

3

2

1

(3.18)

La matriz [ ]abcP de la ecuación 3.18 presenta las siguientes características:

Los elementos de la diagonal principal son iguales entre si y se evaluan

como el promedio aritmético de los elementos de la matriz [ ]abcP de la

red sin transposición.

Los elementos fuera de la diagonal principal son iguales entre si y se

evalúan como el promedio aritmético de los elementos de la matriz

[ ]abcP diferentes a la diagonal principal.

La matriz resultante presenta la siguiente forma genérica,


LEONARDO CARDONA C.


PPP

PPP

P P P

=

SMM

MSM

MMS

abcP (3.19)

La relación matricial entre los voltajes y las cargas presenta para red

transpuesta la siguiente forma,

q

q

q

PPP

PPP

P P P

=

V

V

V

c

b

a

SMM

MSM

MMS

c

b

a

(3.20)

Los términos PS y PM son los siguientes,

3

cba

3ccbbaa

Sr . r . r

H. H. H 2

1 = P

′′′lnεπ

(3.21)

3

bcacab

3cbcaba

MD . D . D

H. H. H 2

1 = P

′′′lnεπ

(3.22)

Al término 3bcacab D . D . D , al igual como se hizo con la inductancia, se le

denomina distancia media geométrica entre fases o DMG y el término 3

cba r.r.r para una red de conductores iguales es equivalente al radio físico.


LEONARDO CARDONA C.


3.5 RADIO MEDIO GEOMETRICO Y DISTANCIA MEDIA GEOMETRICA PARA CONDUCTORES EN HAZ

d

h

r

FIGURA 3.8 Conductores en haz

Cuando en una red aparecen haces de conductores (caso de la línea de 500

kV) la representación matricial de todos los conductores daría lugar a

matrices de un orden elevado. Una manera de simplificar el problema es

reducir el haz de conductores a un conductor equivalente.

Con fines de demostración consideremos una red monofásica de dos

conductores en haz. Ver Figura 3.8.

r Req

FIGURA 3.9 Conductor equivalente desde el punto de vista capacitivo


LEONARDO CARDONA C.


Aplicando la ecuación 3.9 a la anterior red formada por dos conductores,

q

q

PP

P P =

V

V

2

1

2221

1211

2

1

(3.23)

Suponiendo que los dos voltajes son iguales ( V = V = V 21 ) y las cargas

también son iguales ( q = q = q 21 ) y calculando el voltaje como el promedio del

resultante en los dos conductores, resulta la siguiente relación entre el

voltaje y la carga:

q .RMG

aaH 2

1 = q .

.r D.Dr.H.H.H.H

21

= V4

2112

422122111 ′′′′′ lnln

επεπ (3.24)

De acuerdo a la ecuación anterior el radio equivalente para representar un

haz de dos conductores para cálculo de capacitancias, sería:

r.d =RMG (3.25)

La expresión generalizada para cálculo del radio equivalente de un haz de n conductores tiene la misma forma que para cálculo de inductancias (Ver

Figura 2.15). La única diferencia consiste en el radio que se considera. Para

cálculo de inductancias se toma el MGR′ que es el radio corregido al

considerar el flujo interno. Para cálculo de capacitancias se toma el radio

exterior del conductor.

El radio equivalente para conductores en haz en cálculo de capacitancias

tiene la siguiente forma:


LEONARDO CARDONA C.


r

A

FIGURA 3.10 Haz de conductores genérico

n 1-n Ar n =RMG (3.26)

3.6 CAPACITANCIAS DE SECUENCIA DE UNA RED TRIFASICA

TRANSPUESTA

En la interpretación física de la matriz de capacitancias que aparece en la

Figura 3.6 se observa que desde el punto de vista capacitivo los tres

conductores de fase están acoplados.

Una herramienta matemática de permite desacoplar en tres circuitos

capacitivos independientes desacoplados es la transformación en

componentes simétricas.

012abc .V T = V (3.27)

012abc

Q . T = Q (3.28)


LEONARDO CARDONA C.


Reemplazando las ecuaciones 3.27 y 3.28 en la ecuación 3.20, finalmente

resulta una ecuación matricial donde las variables en el dominio de las

componentes de secuencia están desacopladas,

q

q

q

P - P00

0P - P0

0 0 P 2 + P

=

V V

V

2

1

0

MS

MS

MS

2

1

0

(3.29)

Haciendo el mismo desarrollo que se hizo para las inductancias de secuencia,

se llega a las expresiones para las capacitancias de secuencia.

KmnF

21

RMGDMG

55,55 =

RMGDMG

2 = C = C

lnln

επ (3.30)

3ln

3

1

lnDMG .RMG

De

2

DMG .RMG De

2 = C

22

30

επεπ = (3.31)

donde,

De Es la distancia media geométrica entre las cargas de los

conductores y sus respectivas imágenes. Corresponde a la

misma distancia que se definió para inductancia con suelo ideal.

DMG Es la distancia media geométrica entre fases. Igual a la

definición hecha para inductancias.

RMG Corresponde al radio medio geométrico. Para una fase

compuesta por un solo conductor equivale al radio físico del

respectivo conductor.

LEONARDO CARDONA C.


REPRESENTACION CIRCUITAL DE LINEAS DE TRANSMISION

En los dos capítulos anteriores se han obtenido las matrices Zabc y Yabc por

unidad de longitud, lo mismo que las matrices Z012 y Y012 en el dominio de las

componentes simétricas. Una primera aproximación para representar

circuitalmente una línea, sería la de una conexión en cascada del elemento

que se obtuvo para representar la línea por unidad de longitud. Esta

representación se observa en la Figura 4.1.

TRAMO DE 1 Km

[R] [X] [C]

FIGURA 4.1 Representación de línea trifásica con elementos acoplados en cascada

La representación circuital de la Figura 4.1 se puede reducir a tres circuitos

monofásicos, si se hace una descomposición en redes de secuencia. Un

circuito monofásico para cualquiera de las tres secuencias se ilustra en la

Figura 4.2.

Representación circuital de líneas de transmisión aéreas 67

LEONARDO CARDONA C.


FIGURA 4.2 Circuito monofásico de una línea

La representación circuital de la Figura 4.2 se considera general para

cualquier línea y se hace mediante parámetros uniformemente distribuidos.

Dependiendo de la longitud de la línea, esta se suele clasificar en tres tipos:

Línea corta de menos de 80 Km de longitud.

Línea media entre 80 y 240 Km de longitud.

Línea larga de más de 240 Km.

Para casos donde no se requiera mucha precisión líneas hasta de 300 Km se

podrían considerar como de longitud media.

La longitud de las líneas depende básicamente del nivel de tensión al cual

deben transmitir potencia. Un criterio práctico, pero no generalizado, es el

de que una línea debe tener como mínimo 1 Kv por cada Km de longitud.

4.1 LINEAS DE TRANSMISION CORTAS

Para una línea de transmisión corta se puede considerar despreciable el

efecto capacitivo. Para este caso solo se tendría resistencia e inductancia

por unidad de longitud y para toda la longitud de la línea bastaría con


LEONARDO CARDONA C.


multiplicar por la distancia los parámetros obtenidos por unidad de longitud.

El circuito equivalente para línea corta se observa en la Figura 4.3.

V S V R

I RI SR X

V S V R

I RI SR X

P R Q R

CARGA

FIGURA 4.3 Cuircuito equivalente monofásico para línea corta

En el circuito anterior R y X representan la resistencia y reactancia total

de la línea. Para este caso la corriente de la fuente y de la carga son las

mismas. V S y V R corresponden a los voltajes de la fuente y de la carga

respectivamente.

La regulación de una línea de transmisión y en general para cualesquier

punto de una red se define como el porcentaje de variación de la magnitud

del voltaje en vacío (sin carga) con respecto a la magnitud del voltaje a

plena carga y para un determinado factor de potencia de la carga.

100% V

V - V = nRegulaci %

cargaplena R,

cargaplena R,vacÍo R, (4.1)

Para el circuito correspondiente a la Figura 4.3, la regulación por definición

sería:

100% V

V- V = RegR

RS (4.2)


LEONARDO CARDONA C.


Para línea corta la regulación se puede calcular haciendo una serie de

suposiciones. En la Figura 4.4 se observa el diagrama fasorial de voltajes y

corriente para este tipo de línea. Se ha supuesto una carga del tipo R-L, es

decir con un factor de potencia en atraso.

V R

V S

I . RI . X

I

V R

V S

I . RI . X

I

FIGURA 4.4 Diagrama fasorial de voltajes y corriente para línea corta

El ángulo de desfase δ entre el voltaje V S y V R es muy pequeño para línea

corta, se puede suponer entonces que la magnitud del voltaje de la fuente

es igual a su proyección sobre el eje horizontal. Con estas consideraciones la

relación entre los voltajes de la fuente y la carga sería:

) X. + (R. . I + V V RS θθ coscos≈ (4.3)

donde,

θ es el ángulo de desfase entre la corriente y el voltaje en la

carga.

La regulación de voltaje quedaría expresada como:

100%V

) X.sen + (R.cos I = Reg

R

θθ (4.4)


LEONARDO CARDONA C.


100% cos . V

) X.sen + (R.cos P = Reg2R

R

θθθ (4.5)

donde,

PR es la potencia trifásica de carga.

En la ecuación 4.5, el voltaje V R depende de la potencia PR . Una buena

aproximación es considerar el voltaje de la carga como aproximadamente el

voltaje nominal de operación de la línea. Con estas consideraciones la

regulación se puede expresar con la siguiente expresión:

100% cos V

)X.sen + (R.cos P = Reg2

R

θθθ (4.6)

donde,

V es el voltaje de línea nominal de operación.

La ecuación 4.6 corresponde a la manera clásica de cálculo de regulación.

Una mejora en el cálculo de regulación sería expresar el voltaje de la carga

en función de la propia potencia de carga ( )P( f = V RR ). Del circuito que se

ilustra en la Figura 4.3 y tomando como referencia de voltaje a V R :

∠Xj + RV - V . V = jQ + P

RS

*

RRRδ (4.7)

V - -V V = X)j - ).(RQj + P( 2 RSRRR δ∠ (4.8)

δ- V.V = )PX. - Q(R.j + )V + QX. + P(R. SRRR2RRR ∠ (4.9)


LEONARDO CARDONA C.


En la ecuación 4.9 se puede eliminar el ángulo δ al tomar magnitud de las expresiones fasoriales en ambos miembros y luego elevar al cuadrado. El

resultado es la siguiente ecuación:

( ) ( )( ) 0 = Q +P.X + R + V V- )QX. + P2(R. + V2R

2R

222 R

2 SRR

4 R (4.10)

La solución para V R sería:

B - 2

A +

2

A- = V

2

R

(4.11)

donde,

V- )QX. + P2(R. = A 2 SRR (4.12)

)Q +P).(X + R( = B 2R

2R

22 (4.13)

De esta manera el cálculo de regulación se puede evaluar a partir de la

ecuación 4.2.

4.2 LINEAS DE TRANSMISION DE LONGITUD MEDIA

En la línea de longitud media ya es necesario considerar el efecto

capacitivo. La representación circuital para este tipo de línea se hace

mediante un circuito PI nominal. Este circuito PI está constituido por la

impedancia serie y por el efecto capacitivo distribuido en dos partes iguales

en los extremos de la línea. Este circuito se observa en la Figura 4.5.


LEONARDO CARDONA C.


V S V R

I RI SR X

V S V R

I RI SR X

P R Q R

CARGAY/2Y/2

FIGURA 4.5 Circuito PI nominal de una línea de longitud media

Los parámetros en el circuito PI nominal para línes de longitud media se

obtienen multiplicando los parámetros por unidad de longitud por la

distancia total de la línea.

Para el cálculo de regulación, el voltaje de vacío en la carga ya no es el

voltaje de la fuente, como sucede con la línea de longitud corta, sinó una

fracción de la magnitud del voltaje de la fuente. Esta fracción es mayor que

uno para una línea de longitud media.

V . )X.Y/2 - (1 + )(R.Y/2

1= 0V S22R (4.14)

En la Figura 4.6 se observa el diagrama fasorial de voltaje y corriente para

una línea de longitud media en vacío.


LEONARDO CARDONA C.


V S

I S

V S

I S R X

Y/2 Y/2 V R 0

V S

0V R

Io.X

Io.RI 0

I 0

FIGURRA 4.6 Diagrama fasorial de voltaje y corriente para línea en vacío de longitud

media

En una línea de este tipo se cumple que R « X , razón por la cual el voltaje

de vacío en la carga puede ser mayor que el voltaje de la fuente.

El voltaje V R a plena carga (V R ) se puede calcular a partir de una expresión

que relacione dicho voltaje con la potencia en la carga,

∠.Y/2 Vj -

Xj + RV - V . V = Qj + P R

RS

*

RRR

δ (4.15)

V - -V V = X) J- .Y/2).(R Vj - Qj + P( 2 RSR

2RRR δ∠ (4.16)

( ) ( ) δ- V. V = VR.Y/2. - )PX. - Q(R.j + VX.Y/2) - (1 + )QX. + P(R. SR2RRR

2RRR ∠ (4.17)

Eliminando de la ecuación anterior el ángulo δ se llega a la siguiente ecuación:

0 = C + VB. + VA. 2 R

4 R (4.18)

donde,

)X.Y/2 - (1 + )(R.Y/2 = A 22 (4.19)


LEONARDO CARDONA C.


V - ).(R.Y/2)QX. - Q(R. 2 + X.Y/2) - ).(1QX. + P(R. 2 = B 2 SRRRR (4.20)

)Q +P).(X + R( = C 2R

2R

22 (4.21)

La solución para V R será:

A

C -

2A

B +

2A

B- = V

2

R

(4.22)

4.3 LINEA DE TRANSMISION DE LONGITUD LARGA

Cuando la línea de transmisión tiene una distancia considerable (línea larga)

ya no es muy preciso el considerar que los parámetros están concentrados,

sino distribuídos uniformemente a todo lo largo de la misma.

Para determinar un circuito que represente adecuadamente este tipo de

línea, hay que resolver las ecuaciones diferenciales, planteadas en un

diferencial de longitud de línea.

Las ecuaciones diferenciales se van a plantear a partir de las definiciones

hechas en el circuito de la Figura 4.7.


LEONARDO CARDONA C.


V(x)

X

Vs

x=dx=0

y . x

I R

V R

I S z . xI (x) I (x + x)

V (x + x)

FIGURA 4.7 Diferencial circuital de línea

Los parámetros z y y corresponden a la impedancia serie y admitancia

shunt por unidad de longitud. El voltaje y la corriente en cualesquier punto

de la línea depende de dos variables independientes, la longitud y el tiempo.

Para eliminar la dependencia del tiempo, las ecuaciones se van a plantear en

el dominio de los fasores, es decir que todas las variables involucradas son

fasores.

x.I(x)z. - V(x) = x) + V(x ∆∆ (4.23)

La ecuación anterior se puede organizar como:

z.I(x) - = x

V(x) - x) + V(x

∆∆ (4.24)

Tomando limite cuando 0x →∆ , se obtiene:

z.I(x) - = dx

V(x) d (4.25)


LEONARDO CARDONA C.


y.V(x) - = x

I(x) - x) + I(x x.V(x)y. - I(x) = x) + I(x

∆∆→∆∆ (4.26)

y.V(x) - = dx

I(x) d (4.27)

Derivando la ecuación 4.25 y 4.27 con respecto a x se obtienen las

repectivas ecuaciones diferenciales para el voltaje y para la corriente.

z.y.V(x) = dx

V(x) d2

2

(4.28)

z.y.I(x) = dx

I(x) d2

2

(4.29)

Las ecuaciones par el voltaje V(x) y para la corriente I(x) se pueden

resolver utilizando cualquier método de solución de ecuaciones

diferenciales. Utilizando por ejemplo el método de la Transformada de

Laplace ( L L L L ).

( )z.y.V(x)_ = dx

V(x) d_2

2

(4.30)

V(s)y z = dx

0)=dV(x - 0)=V(x s- V(s) s2 (4.31)

Iz - V s= y)z - sV(s)( SS2 (4.32)

Iz yz - s

1 - V

yz - s

s = V(s) S2S2

(4.33)


LEONARDO CARDONA C.


Obteniendo la Transformada Inversa de Laplace (LLLL----1111) a la anterior

ecuación, se obtiene la solución para el voltaje fasorial en cualquier punto de

la línea,

( ) ( ).xy z .SenhI z/y - .xy z .V = V(x) SS Cosh (4.34)

Definiendo,

j wC

j wL+ R =

y

z = Z =tica CaracterÍs Impedancia c (4.35)

y z = = nPropagaci de Constante γ (4.36)

Para x=d la ecuación 4.34 se convierte en:

( ) ( ).d .SenhI Z - .d .V = V ScSR γγCosh (4.37)

Siguiendo el mismo proceso se obtiene la solución para la corriente I R ,

( ) ( ) .d SenhZ

V - .d .I = Ic

SSR γγCosh (4.38)

Las ecuaciones 4.37 y 4.38 en forma matricial,

I

V

.d

Z

.d Senh -

.d SenhZ - .d

=

I

V

S

S

c

c

R

R

γγ

γγ

Cosh

Cosh

(4.39)


LEONARDO CARDONA C.


Mediante un proceso de síntesis de circuitos se determina el circuito

equivalente que cumpla con el sistema de ecuaciones formuladas en la

ecuación 4.39. Es circuito equivalente es un circuito PI como el de la Figura

4.5, con la diferencia en la forma de evaluar Z y Y/2.

) .d Senh(. Z = Z c γ (4.40)

) .d Senh(. Z

1 - ) .d( = Y/2

c γγCosh (4.41)

Referencias bibliográficas 79

LEONARDO CARDONA C.


Referencias bibliográficas

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Engineering

Modelacion de redes aereas