FONDAMENTI DI AUTOMATICA.MODELLO MATEMATICO DI UN MOTORE

ELETTRICO DC

Damiano D’Amico, Alessia Franco

MODELLO MATEMATICO.

Cos’è?Un modello matematico è una rappresentazione semplificativa di un sistema reale, in cui vengono schematizzate le sole caratteristiche fisiche che interessa studiare tramite una serie di regole (in generale un sistema di equazioni algebriche o differenziali) che legano i parametri (grandezze non manipolabili), le sollecitazioni (ovvero gli ingressi, variabili indipendenti nell’ambito del proprio campo di esistenza) e le uscite (variabili dipendenti, anch'esse legate ad un campo di esistenza).

MOTORE ELETTRICO. Cos’è?Un motore è una macchina elettrica in cui la potenza di

ingresso sia di tipo elettrico e quella di uscita sia di tipo meccanico. I motori elettrici in corrente continua hanno una notevole flessibilità di impiego e la loro velocità è facilmente controllabile.

Un motore elettrico è una macchina elettrica che converte l’ energia elettrica in energia cinetica. Per compiere questa trasformazione energetica, il motore elettrico, in genere, si compone di due parti: un rotore e un statore.

Il rotore è la parte mobile del motore, e comprende tutti quei conduttori destinati a stabilire un campo magnetico che dovrà interagire con un campo analogo prodotto dallo statore; il rotore inoltre, possiede dei dispositivi che permettono di connetterlo elettricamente con lo statore.

Lo statore, a sua volta, contiene dei conduttori destinati a produrre un campo magnetico che dovrà interagire con quello prodotto dal rotore; in più lo statore si trova saldamente collegato ad una base che sostiene l’intera apparecchiatura

Come funziona?

Il funzionamento di un motore elettrico in corrente continua si basa su due leggi fondamentali : La prima legge afferma che, se si fa muovere un conduttore di sezione costante e di lunghezza con una velocità in un campo magnetico , si genera una forza elettromotrice indotta nel conduttore pari a:

dove è la componente di perpendicolare a . Il verso di è calcolato usando la regola della mano destra. La seconda legge afferma che se un conduttore a sezione costante di lunghezza , immerso in un campo magnetico e attraversato da una corrente , genera una forza:

dove è la componente di perpendicolare ad . La direzione e il verso di si ottengono con la regola della mano sinistra.

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Per capire meglio l’utilizzo di queste due leggi sul motore elettrico bisogna sapere che sia sullo statore che sul rotore sono installati degli avvolgimenti di materiale conduttore, alcuni hanno il compito di generare il campo magnetico formando il circuito di eccitazione, altri invece creano la sede di corrente , formando il circuito di armatura.I due tipi di avvolgimenti si possono trovare sia sullo statore che sul rotore, noi considereremo l’avvolgimento di eccitazione sullo statore e l’avvolgimento di armatura sul rotore.

Nella figura qui riportata, si illustra l’ interazione tra gli avvolgimenti. Quelli indicati con N e S sono i due magneti dellostatore, quelli del rotore sono le due spire colorate di rosso e blu, avvolte intorno alla parte grigia centralein rotazione.

Nel momento in cui la corrente scorre negli avvolgimenti, si genera un campo magnetico intorno al rotore. La parte sinistra del rotore è respinta dal magnete di sinistra ed attratta da quello di destra, analoghe conseguenze si hanno per il magnete di destra (respinto dalla parte destra del rotore, viene attratto da quello di sinistra). Con ciò si crea la rotazione.

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Un interruttore rotante (rappresentato in figura dall’anello color rame) inverte due volte per giro il senso della corrente che percorre i due avvolgimenti generando un campo magnetico in un verso o nell’altro a seconda della direzione della corrente stessa. Da queste inversioni nascono delle forze di attrazione e di repulsione con i magneti permanenti fissi. Il rotore continua quindi a girare fino a quando non si allinea orizzontalmente con i magneti, quando raggiunge l’allineamento l’interruttore rotante invertirà il senso delle correnti che scorrono negli avvolgimenti attorno al rotore invertendo quindi il verso del campo magnetico generato e producendo infine la coppia di forze necessarie ad effettuare la seconda parte del giro. La velocità di rotazione del motore dipende da: intensità del campo magnetico generato tensione applicata carico La coppia di forze generata dipende invece dalla corrente.

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in pratica

DAL SISTEMA AL MODELLO.

Per potere effettuare un controllo del motore in corrente continua è opportuno ottenere un modello matematico del sistema. In questo caso il motore può essere rappresentato come un sistema dinamico non lineare.Per ottenere il modello matematico introduciamo delle limitazioni rispetto al motore reale: assumiamo che il circuito sia lineare assumiamo che l’attrito meccanico sia una funzione lineare della velocità del motore, nel motore è presente solo l’attrito viscoso.

MODELLO ELETTRICO.

Lo statore ha una sola terminazione polare, caratterizzata da una induttanza associata al relativo avvolgimento e da una resistenza associata alle dispersioni del conduttore.

L’equazione analitica di questo circuito elettrico è data dall’equazione :

Calcolando la trasformata di Laplace di ambo i membri con le condizioni iniziali nulle si ottiene :

dove e sono rispettivamente le trasformate del dominio di Laplace dalle funzioni e

Da quest’ultima formula si ricava che :

dove è il guadagno di statore e è la

costante di

tempo di statore. dal punto di vista elettrico 1 di 3

Analogamente si assume che il rotore abbia una sola terminazione polare, caratterizzata da una induttanza e da una resistenza . Si deve considerare anche l’effetto della forza elettromotrice che corrisponde ad una tensione proporzionale alla velocità di rotazione.L’equazione che descrive il relativo circuito è :

anche in questo caso, essendo l’equazione lineare ed ipotizzando le condizioni iniziali nulle, possiamo applicare la trasformata di Laplace ed ottenere :

dove sono rispettivamente le trasformate nel dominio di Laplace delle funzioni

Allo stesso modo le grandezze e vengono chiamate,

rispettivamente, guadagno di rotore e costante di tempo di rotore.dal punto di vista elettrico 2 di 3

Prendendo in considerazione le proprietà fisiche del motore e le relazioni che caratterizzano il legame tra le grandezze meccaniche e le grandezze elettriche del motore, si può dimostrare che ci sono altre relazioni.Quando il motore ruota con velocità angolare ω, nel circuito di armatura viene generata una forza contro-elettromotrice proporzionale secondo una costante alla velocità angolare:

se invece nel rotore circola la corrente (corrente di armatura), tra i due avvolgimenti presenti sullo statore e sul rotore, si manifestano delle forze magnetiche di attrazione o repulsione, che fanno si che il motore inizi a ruotare. La formula che mette in relazione la coppia motrice erogata dal motore e la corrente di armatura è :

in cui è una costante che dipende dalla geometria del motore.

dal punto di vista elettrico 3 di 3

Un motore elettrico alimentato con tensioni di statore e di rotore esercita una coppia sull’albero motore che agisce sulla struttura meccanica. Se si suppone che l’inerzia di rotore sia J e che sia presente un attrito viscoso e tenendo conto della coppia di carico esercitata sull’albero motore, si ricava la seguente equazione di moto:

Come nel caso dello studio dal punto di vista elettrico, anche dal punto di vista delle equazioni meccaniche si può associare una funzione di trasferimento della relazione :

dove è il guadagno meccanico e è la costante di tempo

meccanica. Inoltre , , e sono le trasformate nel

dominio di Laplace delle funzioni , e dal punto di vista meccanico

:inerzia del motore

:attrito viscoso

:costante proporzionale alla forza contro-elettromotrice

:induttanza

:resistenza

:costante che dipende dalla geometria del motore

PARAMETRI TIPICI MOTORE ELETTRICO DC.

è considerata a modulo nullo, in quanto, essendo un parametro costante, il modello varia a meno di una costante.

MODELLO MATEMATICO.Il motore elettrico in corrente continua viene visto come un

sistema in cui l’ingresso è rappresentato dalla tensione di armatura e l’uscita è rappresentata dalla velocità angolare .

Ponendo , e ed elaborando

con le formule:

si ottiene:

lavorando con le relazioni :

sapendo inoltre che l’uscita è rappresentata dalla velocità angolare

e assumendo che la coppia di carico abbia

valore nullo, si può scrivere:

essendo una equazione differenziale del

secondo ordine a coefficienti costanti, risulta che il motore elettrico può essere descritto con un sistema del secondo ordine *.

* I sistemi del secondo ordine sono, per definizione, quei sistemi in cui lo spazio di stato X è uno spazio vettoriale di dimensione due. Ciò significa che X è rappresentabile mediante un piano cartesiano a due dimensioni (o un suo sottoinsieme nel caso in cui X non coincida con l'insieme delle coppie di numeri reali) e che lo spazio degli eventi è rappresentabile mediante un piano cartesiano tridimensionale (o un suo sottoinsieme).

RAGGIUNGIBILITA’&

CONTROLLABILITA’.

Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità, descrivono la possibilità di azione della funzione di ingresso al fine di influenzare il movimento dello stato.

La proprietà di raggiungibilità descrive la possibilità di modificare lo stato del sistema a partire da un particolare stato iniziale prefissato agendo opportunamente sull’ingresso .

raggiungibilità

La proprietà di controllabilità descrive la possibilità di trasferire lo stato del sistema ad un particolare stato finale prefissato agendo opportunamente sull’ingresso .

controllabilità

.. nella pratica! A B

il nostro sistema è completamente raggiungibile in quanto :

Conclusioni:

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il nostro sistema è anche completamente controllabile in quanto :

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Osservabilità.A differenza della raggiungibilità e controllabilità che mettono in luce il ruolo dell’ingresso l’analisi di osservabilità mette in luce il ruolo dell’uscita nella stima dello stato del sistema.

L’unica soluzione del sistema è una soluzione banale , quindi Ker = 0.Da ciò si deduce che il sistema è completamente osservabile.

con Matlab.In Matlab esiste il comando ctrb che, data la matrice di stato A e

la matrice di distribuzione degli ingressi B, calcola la matrice di raggiungibilità R+

>> R = ctrb (A,B) ;Siccome il sottospazio di raggiungibilità è dato dall’immagine di

R+ , la dimensione d del sottospazio di raggiungibilità è dato dal rango di R+

>> d = rank (R)

Per il calcolo dell’osservabilità, esiste il comando obsv che, data la matrice di stato A e la matrice dell’uscita C, calcola la matrice di osservabilità.

>> O = obsv (A,C)Siccome il sistema è completamente osservabile, se e solo se Ker

{0}=0, cioè se O ha rango massimo, calcoliamo il rango di O.>> v = rank (O)

con Matlab.

con Matlab.