社内教育用 鈴木幸一郎

ON THE EIGEN-STRUCTURE OF DFTMATRICES BY

やること

• 元ネタ

• Mar 2011のSignal Prcessing Magazine内記事

• DFT行列と遊んでみよう

DFT行列

• （Discrete) Fourier Transformとは

• 時間領域から周波数領域への直交変換

exp( 2 ) ( )fX i ft x t dtπ= − [ ] exp( 2 ) [ ]Hf

X f i fn x nπ= −

=a x有限・離散化

[exp( 2 0),..., exp( 2 ( 1))]

2 {0,2 / , , 2 ( 1) / }f N i f i f Nf N N N

π ππ π π

= −

= … −

a 周波数ベクトル

まとめて

0 ( 1)/, ,...,HN N− = = X F x F a a

DFT行列

要素で書くと

k, n = {0, …, N-1}

• まず、Fはunitaryなので、FHF=I, Fの全ての固有値の絶対値は必ず1でなければならない。

Fの固有値

Fの固有値

• J=F2を考える

• これはpermutation matrix（というか、要素をひっくり返す行列) x[n] -> x[(-n)N]

• であるので、JJは、 (-(-n)N )N=nなので、JJ=I

(・)Nはmod(・, N)

Fの固有値

• Fの固有ベクトルの一つをekとおくと、2 4 4

4

, ( ) ,

1{1, 1, , }

k k k k k k k k k k k

k

k i i

λ λ λ λλλ

= = = = =

== − −

kFe e FFe F e e F e e e であるので

こうなって

Fの固有値はNがどれだけ増えようともこの4つだけ！

でもそう言われればそんな気もするなんとなくだけど。。。

それぞれの固有値がSPANする空間を考えよう

• Fをスペクトル展開

• 固有値別に分類。E1, E2,E3,E4

• それぞれへの射影行列はPi=EiEiH、だけどこい

つはそれぞれのiで直交しない。。。Fは正値対称じゃないから。。。

• 気持ちわるいので別の方法を考える。

ケイリー・ハミルトン的な展開4

1 1

1 0( 1)( 1)( )( ) 0k

i ii iλλ λ λ λ− −

− =− + − + =

前掲の特性多項式=0

1( )p λ なる多項式として、 1( ) ( 1)( )( ) / 4p i iλ λ λ λ= + − + を考える

13 2

( 1)( )( ) / 4

( ) / 4

i i= + − +

= + + +

P F F FF F F I

λをFに置き替えて

・P1は１以外の固有値を持つ固有ベクトルと直交する！・P1=P1

H, P1P1=P1・∀e1:Fe1=e1にて、P1e1=e1 P1はE1への射影行列！

スペクトル展開なしでできた！

林修に似とるな。。

他の固有値についても

とできる

4

1 1

1 0( 1)( 1)( )( ) 0k

i ii iλλ λ λ λ− −

− =− + − + =

←これを使うと

その性質（ざっと）■ さっきやった

■ これも

■ Fが直交変換であることを考えると、まーそりゃそーだろう

■ 固有ベクトルにバラして考えると、そりゃそうなるわな

■ P1とP-1でローパス(正解じゃないが)！確かに！！

■ PiとP-iでハイパス(正解じゃないが) ！なるほど！！

さらにまとめると

任意N次ベクトル xForward と backwardで引き算

Forward と backwardで足し算

こんな風にそれぞれの固有値の張る空間へ射影されますBCの行列もこんな風にまとめられる、、、と面白いな。。。

x Jx

固有ベクトルの本数は？

• {1,-1,i,-i}な固有値があることはわかったけど、じゃあそれぞれ何本あるの？

• DFT matrix って別に次元は任意だし。。。

• 2nな必要ないし。。。

天下り的ですが、こうなる

※これからdet(F)もわかります

固有ベクトルは？

• Fからは直で正規直交な固有ベクトルを求めるのは難しい

• projection matrix Pkを直交化する

EiはP1内で正規直交で、Ei≠iHEi=0！

CONVENTIONAL DFT からの拡張

• Offset DFT

• 特別なケースのみ固有値についてよく知られている

• 多次元の場合

• 個別にやっておk

他の変換との関係

• Hartley transform

• Fractional Fourier Transform (Fのsqrt)• F1/2=P1+iP2+(1+i)/2Pi+(1-i)/2P-i とすると、

F1/2F1/2=F

フーリエ

Hartley

恒等

flipud

まとめ

• DFT行列の性質

• 単なる直交変換と思いきや、興味深い幾何学的な性質を持つ

• 興味深すぎてついていけない。。。

• DFTライクな変換はDFT行列のprojectionmatricesに帰着することで変換の直感的な理解を与えることができる(ことがある）。

• Hadamard変換もきっとできる、、、か？

• いやちょっとムリかもな。。