Serie de problemas de transferencia de calor

Tarea 2 Problemas de aplicacioacuten de la Ecuacioacuten de Calor (Conduccioacuten)

Transferencia de Calor y Masa

Adalberto Corteacutes Ruiz

Profesor Dr Miguel Aacutengel Morales Cabrera

APLICANDO EL BALANCE DE CALOR (ECUACIOacuteN DE CONDUCCIOacuteN)

Problema 1 Se genera calor de forma uniforme en un plato de acero inoxidable con una conductividad teacutermica k de

20W(mdegC) El espesor del plato es de 1cm y el calor de generacioacuten es de 500MWm3 Si los dos lados del plato

se mantienen a 100 y 200degC respectivamente calcular la temperatura en el centro del plato

Suposiciones

Estado estable (estacionario)

Transporte unidireccional

Entradas Salidas Generacioacuten Acumulacioacuten

(A) x xq (A) x x x

q (A ) genx 0

dT

dt

Se determina el modelo del perfil de temperaturas a partir de la ecuacioacuten de calor (ecuacioacuten (11) para eacuteste

caso) y de la ley de Fourier en seguida se usa la expresioacuten obtenida para hallar la temperatura a la mitad del

plato (x=05cm)

Entradas Salidas Generacioacuten Consumo Acumulacioacuten

(A) (A ) 0x x genx x xq q x

(11)

1

1

2 11 2

0

2

x xx x xgen

xgen x gen x gen

gen

gen gen

q q

x

dqdq dx q x c

dx

dTk x c

dx

cdT xdx c dx T x x c

k k k

2[001m][100degC]

[100degC]2 [001m] 2

gen genT x x

k k

(12)

Al sustituir x=0005m en el perfil de temperatura (12) se obtiene una temperatura de 4625degC la

cual es razonable debido a la cantidad de generacioacuten de energiacutea que se tiene

8 35 10 Wmgen x

20Wm degCk

L=001m

Elemento de volumen

A x

Condiciones de frontera

0 100

001m 200

x T

x T

Problema 2 Un cable calefactor eleacutectrico es instalado en una pared soacutelida que tiene un espesor de 8cm y una conductividad

teacutermica por conduccioacuten de k=25W(mdegC) La cara derecha es expuesta a un ambiente con h=50W(m2degC) y

T =30degC mientras que la cara izquierda es expuesta a h=75W(m2degC) y T =50degC iquestCuaacutel es la velocidad

maacutexima de generacioacuten de calor aceptable de tal forma que la temperatura maacutexima en el soacutelido no exceda los

300degC

Suposiciones



2

1 2

(50 30) W306122

0081 1 1 1 m50 25 75

x

Tq

xh k h

Temperatura en las caras

1

30612230 36122degC

50

xR R

qT T

h

2

30612250 459184degC

75

xL L

qT T

h

Del perfil de temperatura (21) se halla una expresioacuten que represente la posicioacuten cuando la temperatura es

de Tmax=300degC y a partir de la misma se halla a la generacioacuten de calor como una funcioacuten de eacutesta posicioacuten

correspondiente a T

2

2 2

gen genL RR

LT TT x x T

k L k

(21)

max2

max 2 2

2 2

L RR

gen genL RR gen

T TT T x

L LT TT x x T k

k L k Lx x

(22)

Sustituyendo al perfil de temperatura (21) en la ley de Fourier

2

2 2

2

2 2

gen genL Rx R

gen genL Rx

gen L R

x gen gen L R

LT Tdq k x x T

dx k L k

LT Tq k x

k L k

L T T k L kq x x T T

L L

2

x gen L R

L kq x T T

L

(23)

50degCLT 30degCRT k

LT

008cmL

RT

Se sustituye (22) en (23) y tambieacuten los valores constantes

max

22

2

L RR

x L R

T TT T x

L L kq k x T T

Lx x L

(24)

Usando un software de caacutelculo como MATLAB a partir de la funcioacuten integrada fsolve se halloacute a x con un valor

de 00408m el cual indica la posicioacuten de la generacioacuten de calor dentro de la pared Ya con x=00411m se

sustituye en la ecuacioacuten (22) con Tmax y se despeja la generacioacuten de calor

max

2 2 3

3

459184 36122300 36122 (00408) W008 2 2(25) 876680

(008)(00408) (00408) m

087 MW m

L RR

gen

gen

T TT T x

Lk

Lx x

Problema 3 Derive una expresioacuten para la distribucioacuten de temperatura en una esfera de radio r con una generacioacuten de calor

uniforme gen

y una temperatura constante de superficie wT

Suposiciones




24 rr

r q 24 rr r

r q

24 genr r 0

dT

dt

Para la ecuacioacuten de calor se sigue la estructura de un balance de materiaenergiacutea es decir

Entradas Salidas Generacioacuten Consumo Acumulacioacuten (1)

Seguacuten (1) la ecuacioacuten de Calor para un cuerpo esfeacuterico con generacioacuten constante de calor es la ecuacioacuten (32)

2 24 4 0r r genr r rr q q r r

(32)

Dividiendo a (2) por el elemento de volumen

2

2 0r rr r r

gen

r q qr

r

(33)

r

gen

wT

RElemento de volumen

24 r r


0

r

w

r q q

r R T T

Aplicando el liacutemite cuando r tiende a 0 a (3)

22( )r

gen

d r qr

dr (34)

Integrando a (4) de forma indefinida

32 1

1 2

3 3r gen r gen

cr rr q c q

r (35)

Sustituyendo a rq por la ley de Fourier

1

23

gen cdTk r

dr r (36)


212

6

gencT r c

rk k (37)

En (7) la constante 1c se debe forzar a ser 0 para que sea posible cumplir las condiciones de frontera

2

26

genT r c

k (38)

Utilizando la segunda condicioacuten de frontera se obtiene el perfil de temperatura

2

26

gen

wc T Rk

2 2

6 6

gen gen

wT r T Rk k

2 2

6

gen

wT R r Tk (39)

APLICANDO EL CONCEPTO DE RESISTENCIAS TEacuteRMICAS

Problema 4 Una pared de 2cm de grosor se va a construir a partir de un material que tiene una conductividad teacutermica

promedio de 13 W(mdegC) La pared se va a aislar con un material que posee una conductividad teacutermica

promedio de 035 W(mdegC) de tal forma que la peacuterdida de calor por metro cuadrado no excederaacute los 1830 W

Asumiendo que las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared aislada son de 1300 y 30degC

calcular el grosor del aislante requerido

Suposiciones



Trasporte de calor por conduccioacuten

Se pide calcular 2x Para ello se despeja de la ecuacioacuten (41) y se evaluacutea

1 2

1 2

f i

x

T Tq

x xk k

(41)

12 2 2

1

1300degC 30degC 002m(035W m degC) 02375m

1830Wm 13W m degC

f i

x

T T xx k

q k

Problema 5

Un lado de un bloque de cobre de 4cm de grosor se mantiene a 175degC El otro lado es cubierto con una capa de

fibra de vidrio de 15cm de grosor El lado exterior de la capa de fibra de vidrio se mantiene a 80degC y el flujo

de calor total a traveacutes del bloque compuesto es de 300W iquestCuaacutel es el aacuterea de la placa

Suposiciones




1 2

|200 |85

A A(2216114)i f

Cu C fg C

T TQ

x xk k

2A= 13537m2216114

Q

1k2k1 002mx

30degCfT

1300degCiT

1x2x

iTfT

2 035W m degCk 1 13W m degCk

21830Wmxq

175degCiT

iT

2x

2 0015mx

1x

1 004mx

80degCfT fT

|200

|85

374 W m degC

0035W m degC

Cu C

fg C

k

k

Problema 6

Un cierto material tiene un espesor de 30cm y una conductividad teacutermica de 004 W(mdegC) En un tiempo en

particular la distribucioacuten de temperatura con x la distancia de la cara izquierda es T=150x2-30x donde x estaacute

expresado en metros Calcular el flux de calor en x=0 y x=30cm iquestEl soacutelido se estaacute calentando o enfriando

Suposiciones



Cuando x=0

2 2

0150 30 (300 30) (004)( 30) 12Wmx

dq k x x k x

dx

Se estaacute calentando

Cuando x=03

2 2

03150 30 (300 30) (004)(300(03) 30) 24Wmx

dq k x x k x

dx

Se estaacute enfriando

Problema 7

Un tanque esfeacuterico con 1m de diaacutemetro se mantiene a una temperatura de 120degC y es expuesto a una

conveccioacuten con el ambiente Con h=25 W(m2degC) y 15 CT iquestCuaacutel es el espesor que la espuma de uretano

debe antildeadirse para asegurar que la temperatura exterior del aislante no exceda los 40degC iquestCuaacutel es el porcentaje

de reduccioacuten de la peacuterdida de calor a partir de la instalacioacuten del aislante

Suposiciones



2

2 2 2

2 2 24 ( ) (100 )(40 15) 2500r uConveccioacuten

Q r h T T r r

2

2

2

2 1

4 R ur

Conduccioacuten

T TQ r k

r r

2 2r rConduccioacuten Conveccioacuten

Q Q

2150 30T x x

03mx

004W m degCk

15 CT

120 CRT

RTT

225Wm Ch

002Wm degCuk

40 CuT

1 05mr

uT

1r

2r

2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r

El porcentaje de peacuterdida estaacute definido como

sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2

sin 14 ( ) 824668WRaislante

Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T

Porcentaje de peacuterdida 7595

Problema 8

Un flujo de aire a 120degC en un tubo de pared delgada de acero inoxidable con h=65W(m2degC) El diaacutemetro

interno del tubo es de 25cm y el espesor de la pared es de 04mm k=18W(m degC) para el acero El tubo es

expuesto a el ambiente con h=65W(m2degC) y T =15degC Calcular el coeficiente de transferencia de calor global

total y la peacuterdida de calor por metro de longitud iquestCuaacutel es espesor de un aislante de k=40mW(m degC) deberiacutea

ser adicionado para reducir la peacuterdida de calor un 90

Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e

El flujo de calor sin el aislante por metro es

1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9

Una tuberiacutea con vapor caliente tiene una temperatura superficial interna de 250degC y tiene un diaacutemetro interno

de 8cm y un espesor de 55mm Se cubre con 9cm de una capa de aislante que tiene k=05W(m degC) seguido

de una capa de aislante de 4cm teniendo k=025W(mdegC) La temperatura exterior del aislante es de 20degC

Calcular la peacuterdida de calor por metro de longitud Asuma que k=47W(m degC) para la tuberiacutea

Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r

USANDO COMSOL Multiphysics

Problema 10 Una tuberiacutea de acero con 5cm de diaacutemetro exterior se cubre con 64mm de aislante de asbesto [k=0096Btu(h

ft degF)] seguido de una capa de aislante de fibra de vidrio de 25cm [k=0028Btu(h ft degF)] La temperatura de la

pared de la tuberiacutea es de 315degC y la temperatura del aislante exterior es de 38degC Calcular la temperatura de

interfaz entre los asbestos y la fibra de vidrio

Procedimiento Se deben definir las suposiciones que restrinjan la fiacutesica del planteamiento Una vez hecho esto se disentildea la

geometriacutea del problema en COMSOL Multiphysics y se le antildeaden los datos o paraacutemetros y suposiciones fiacutesicas

al cuerpo geomeacutetrico

Suposiciones

Transferencia de calor por conduccioacuten en soacutelidos



Se desprecia la parte de acero del tubo como una resistencia Es decir permite el paso de flujo de

calor sin generar peacuterdidas y por consecuencia se tendraacute la misma temperatura en el aacuterea del radio

interno y el externo

Tabla de paraacutemetros

Descripcioacuten Simbologiacutea Valor

proporcionado por el problema

Conversioacuten de unidades Valor empleado

Conductividad teacutermica por conduccioacuten del aislante de asbesto

1k 0096BtuhftdegF - 0096BtuhftdegF

Conductividad teacutermica por conduccioacuten del aislante fibra de vidrio


Temperatura de la pared interna de la tuberiacutea iT 315degC

degF=18(degC)+32

599degF

Temperatura de la pared exterior de la uacuteltima capa de aislante

fT 38degC 1004degF

Radio exterior del tubo 1r 25cm

ft=0032808(cm) 0082021 ft

espesor del aislante de fibra de vidrio 2e 25cm 0082021 ft

espesor del aislante de asbesto 1e 64mm mmft=0032808

10 00209974 ft

Radio exterior del aislante de asbesto 2 1 1r r e - - 01030184 ft

Radio exterior del aislante de fibra de vidrio

3 2 2r r e - - 01850394 ft

Se utilizoacute el sistema de unidades ingleacutes

Geometriacutea del problema

Debido a que se desprecia la existencia de peacuterdida de calor en el tubo de acero se puede asumir que la

temperatura se mantendraacute constante a lo largo del tubo de acero Por lo tanto se puede comenzar la

simulacioacuten a partir de la capa del aislante de asbesto

Figura 1 Geometriacutea del problema En rojo se encuentra la capa representativa del aislante de asbesto En gris la capa representativa del aislante de fibra de vidrio

Simulacioacuten1

1 Una vez iniciado COMSOL Multiphysics en el Model Wizard se dirige a Select

Space Dimention y se elige 3D despueacutes se da ldquoclickrdquo en Next (flecha derecha)

2 Enseguida apareceraacute el panel de Add Physics Se selecciona y dar

ldquoclickrdquo en Next

3 Se despliega y se selecciona despueacutes dar ldquoclickrdquo en Finish

4 Dar ldquoclickrdquo derecho en y despueacutes en

Aquiacute apareceraacute una ventana (Settings) en la cual se deben ingresar los datos de la tabla de

paraacutemetros especificando entre corchetes las unidades dimensionales en las que se encuentran

(Figura 2)

5 En dar ldquoclickrdquo derecho y seleccionar A continuacioacuten

apareceraacute una nueva lista de dar ldquoclickrdquo derecho e ingresar dos ciacuterculos con

Circle Se veraacuten dos cuadros similares a los siguientes

6 En el radio del ciacuterculo 1 se agrega r1 y en el del ciacuterculo 2 seraacute r2 se da ldquoclickrdquo en Build All Despueacutes

se da ldquoclickrdquo derecho de nuevo en y se selecciona Boolean Operations y luego

Ahiacute apareceraacute un recuadro en el que se agregaraacute el ciacuterculo de radio r1 a Objects to

Substract y el ciacuterculo de r2 a Objects to Add A continuacioacuten se obtendraacute un contorno semejante al

de la Figura 3 en la parte de la graacutefica Este contorno representa la primera capa de aislante en el

tubo

Para agregar la longitud se da ldquoclickrdquo derecho en y se selecciona

Luego se despliega una ventana en la que pide la longitud que tendraacute la figura en la

parte de Distances from Work Planes

Debido a las suposiciones realizadas la distribucioacuten de calor a lo largo de la tuberiacutea no cambiaraacute Es

decir soacutelo cambiaraacute la temperatura de la tuberiacutea respecto al radio y no de la longitud

1 Eacuteste procedimiento es aplicable para la versioacuten 42a de COMSOL Multiphysics para otras versiones el procedimiento puede variar debido que pueden cambiar las ubicaciones de las herramientas manejadas

Con esto se tiene que es posible agregar cualquier longitud y no se alteraraacuten los resultados Para

eacutesta simulacioacuten se agregoacute 02 ft de longitud Al final se da click en Build Selected

7 Se repiten los puntos 5 y 6 pero ahora usando los radios r2 y r3 para los ciacuterculos 1 y 2

respectivamente Al dar click en Build Selected se deberaacute visualizar una figura como la Figura 4

8 Se unen las figuras con

9 En se da click derecho y se antildeaden dos cuadros de Materials al primer material se le

asigna la conductividad teacutermica k1 que le debe corresponder al aislante de asbesto y el k2 al aislante

de fibra de vidrio

10 Se agregan las temperaturas Ti y Tf a las caras interna y externa de la tuberiacutea respectivamente Esto

se hace dando click derecho en y seleccionando Temperature

11 Se realiza el mallado de la figura con obteniendo algo semejante a la Figura 5

12 Se da click derecho en y se selecciona Compute A continuacioacuten se obtendraacuten los

resultados de la Figura 6

Figura 2 Tabla de paraacutemetros en COMSOL Multiphysics

Figura 3 Grosor del aislante de asbesto

Figura 4 Figura representativa de las capas de

aislantes

Figura 5 Mallado de la figura representativa de la tuberiacutea

Figura 6 Distribucioacuten de la temperatura alrededor de las capas de aislantes

La temperatura entre la interfaz del aislante de asbesto y el aislante de fibra de vidrio es de 559885K Esto

se puede detectar si se realiza una graacutefica con los datos de la temperatura que recolecta una liacutenea a lo ancho

de la tuberiacutea (Figura 7) con

Figura 7 Perfil de temperatura a traveacutes de los espesores de la tuberiacutea

APLICANDO EL BALANCE DE CALOR (ECUACIOacuteN DE CONDUCCIOacuteN)

Problema 1 Se genera calor de forma uniforme en un plato de acero inoxidable con una conductividad teacutermica k de

20W(mdegC) El espesor del plato es de 1cm y el calor de generacioacuten es de 500MWm3 Si los dos lados del plato

se mantienen a 100 y 200degC respectivamente calcular la temperatura en el centro del plato

Suposiciones




(A) x xq (A) x x x

q (A ) genx 0

dT

dt

Se determina el modelo del perfil de temperaturas a partir de la ecuacioacuten de calor (ecuacioacuten (11) para eacuteste

caso) y de la ley de Fourier en seguida se usa la expresioacuten obtenida para hallar la temperatura a la mitad del

plato (x=05cm)

Entradas Salidas Generacioacuten Consumo Acumulacioacuten

(A) (A ) 0x x genx x xq q x

(11)

1

1

2 11 2

0

2

x xx x xgen

xgen x gen x gen

gen

gen gen

q q

x

dqdq dx q x c

dx

dTk x c

dx

cdT xdx c dx T x x c

k k k

2[001m][100degC]

[100degC]2 [001m] 2

gen genT x x

k k

(12)

Al sustituir x=0005m en el perfil de temperatura (12) se obtiene una temperatura de 4625degC la

cual es razonable debido a la cantidad de generacioacuten de energiacutea que se tiene

8 35 10 Wmgen x

20Wm degCk

L=001m

Elemento de volumen

A x


0 100

001m 200

x T

x T





300degC

Suposiciones



2

1 2

(50 30) W306122

0081 1 1 1 m50 25 75

x

Tq

xh k h


1

30612230 36122degC

50

xR R

qT T

h

2

30612250 459184degC

75

xL L

qT T

h



correspondiente a T

2

2 2

gen genL RR

LT TT x x T

k L k

(21)

max2

max 2 2

2 2

L RR

gen genL RR gen

T TT T x

L LT TT x x T k

k L k Lx x

(22)


2

2 2

2

2 2

gen genL Rx R

gen genL Rx

gen L R

x gen gen L R

LT Tdq k x x T

dx k L k

LT Tq k x

k L k


L L

2

x gen L R

L kq x T T

L

(23)

50degCLT 30degCRT k

LT

008cmL

RT


max

22

2

L RR

x L R

T TT T x

L L kq k x T T

Lx x L

(24)




max

2 2 3

3

459184 36122300 36122 (00408) W008 2 2(25) 876680

(008)(00408) (00408) m

087 MW m

L RR

gen

gen

T TT T x

Lk

Lx x


uniforme gen


Suposiciones




24 rr

r q 24 rr r

r q

24 genr r 0

dT

dt





(32)


2

2 0r rr r r

gen

r q qr

r

(33)

r

gen

wT


24 r r


0

r

w

r q q

r R T T


22( )r

gen

d r qr

dr (34)


32 1

1 2

3 3r gen r gen

cr rr q c q

r (35)


1

23

gen cdTk r

dr r (36)


212

6

gencT r c

rk k (37)


2

26

genT r c

k (38)


2

26

gen

wc T Rk

2 2

6 6

gen gen

wT r T Rk k

2 2

6

gen

wT R r Tk (39)







Suposiciones





1 2

1 2

f i

x

T Tq

x xk k

(41)

12 2 2

1


1830Wm 13W m degC

f i

x

T T xx k

q k

Problema 5




Suposiciones




1 2

|200 |85

A A(2216114)i f

Cu C fg C

T TQ

x xk k

2A= 13537m2216114

Q

1k2k1 002mx

30degCfT

1300degCiT

1x2x

iTfT


21830Wmxq

175degCiT

iT

2x

2 0015mx

1x

1 004mx

80degCfT fT

|200

|85

374 W m degC

0035W m degC

Cu C

fg C

k

k

Problema 6




Suposiciones



Cuando x=0

2 2

0150 30 (300 30) (004)( 30) 12Wmx

dq k x x k x

dx


Cuando x=03

2 2

03150 30 (300 30) (004)(300(03) 30) 24Wmx

dq k x x k x

dx


Problema 7





Suposiciones



2

2 2 2


Q r h T T r r

2

2

2

2 1

4 R ur

Conduccioacuten

T TQ r k

r r


Q Q

2150 30T x x

03mx

004W m degCk

15 CT

120 CRT

RTT

225Wm Ch

002Wm degCuk

40 CuT

1 05mr

uT

1r

2r

2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r


sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2


Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T


Problema 8






Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e


1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes











300degC

Suposiciones



2

1 2

(50 30) W306122

0081 1 1 1 m50 25 75

x

Tq

xh k h


1

30612230 36122degC

50

xR R

qT T

h

2

30612250 459184degC

75

xL L

qT T

h



correspondiente a T

2

2 2

gen genL RR

LT TT x x T

k L k

(21)

max2

max 2 2

2 2

L RR

gen genL RR gen

T TT T x

L LT TT x x T k

k L k Lx x

(22)


2

2 2

2

2 2

gen genL Rx R

gen genL Rx

gen L R

x gen gen L R

LT Tdq k x x T

dx k L k

LT Tq k x

k L k


L L

2

x gen L R

L kq x T T

L

(23)

50degCLT 30degCRT k

LT

008cmL

RT


max

22

2

L RR

x L R

T TT T x

L L kq k x T T

Lx x L

(24)




max

2 2 3

3

459184 36122300 36122 (00408) W008 2 2(25) 876680

(008)(00408) (00408) m

087 MW m

L RR

gen

gen

T TT T x

Lk

Lx x


uniforme gen


Suposiciones




24 rr

r q 24 rr r

r q

24 genr r 0

dT

dt





(32)


2

2 0r rr r r

gen

r q qr

r

(33)

r

gen

wT


24 r r


0

r

w

r q q

r R T T


22( )r

gen

d r qr

dr (34)


32 1

1 2

3 3r gen r gen

cr rr q c q

r (35)


1

23

gen cdTk r

dr r (36)


212

6

gencT r c

rk k (37)


2

26

genT r c

k (38)


2

26

gen

wc T Rk

2 2

6 6

gen gen

wT r T Rk k

2 2

6

gen

wT R r Tk (39)







Suposiciones





1 2

1 2

f i

x

T Tq

x xk k

(41)

12 2 2

1


1830Wm 13W m degC

f i

x

T T xx k

q k

Problema 5




Suposiciones




1 2

|200 |85

A A(2216114)i f

Cu C fg C

T TQ

x xk k

2A= 13537m2216114

Q

1k2k1 002mx

30degCfT

1300degCiT

1x2x

iTfT


21830Wmxq

175degCiT

iT

2x

2 0015mx

1x

1 004mx

80degCfT fT

|200

|85

374 W m degC

0035W m degC

Cu C

fg C

k

k

Problema 6




Suposiciones



Cuando x=0

2 2

0150 30 (300 30) (004)( 30) 12Wmx

dq k x x k x

dx


Cuando x=03

2 2

03150 30 (300 30) (004)(300(03) 30) 24Wmx

dq k x x k x

dx


Problema 7





Suposiciones



2

2 2 2


Q r h T T r r

2

2

2

2 1

4 R ur

Conduccioacuten

T TQ r k

r r


Q Q

2150 30T x x

03mx

004W m degCk

15 CT

120 CRT

RTT

225Wm Ch

002Wm degCuk

40 CuT

1 05mr

uT

1r

2r

2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r


sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2


Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T


Problema 8






Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e


1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes








max

22

2

L RR

x L R

T TT T x

L L kq k x T T

Lx x L

(24)




max

2 2 3

3

459184 36122300 36122 (00408) W008 2 2(25) 876680

(008)(00408) (00408) m

087 MW m

L RR

gen

gen

T TT T x

Lk

Lx x


uniforme gen


Suposiciones




24 rr

r q 24 rr r

r q

24 genr r 0

dT

dt





(32)


2

2 0r rr r r

gen

r q qr

r

(33)

r

gen

wT


24 r r


0

r

w

r q q

r R T T


22( )r

gen

d r qr

dr (34)


32 1

1 2

3 3r gen r gen

cr rr q c q

r (35)


1

23

gen cdTk r

dr r (36)


212

6

gencT r c

rk k (37)


2

26

genT r c

k (38)


2

26

gen

wc T Rk

2 2

6 6

gen gen

wT r T Rk k

2 2

6

gen

wT R r Tk (39)







Suposiciones





1 2

1 2

f i

x

T Tq

x xk k

(41)

12 2 2

1


1830Wm 13W m degC

f i

x

T T xx k

q k

Problema 5




Suposiciones




1 2

|200 |85

A A(2216114)i f

Cu C fg C

T TQ

x xk k

2A= 13537m2216114

Q

1k2k1 002mx

30degCfT

1300degCiT

1x2x

iTfT


21830Wmxq

175degCiT

iT

2x

2 0015mx

1x

1 004mx

80degCfT fT

|200

|85

374 W m degC

0035W m degC

Cu C

fg C

k

k

Problema 6




Suposiciones



Cuando x=0

2 2

0150 30 (300 30) (004)( 30) 12Wmx

dq k x x k x

dx


Cuando x=03

2 2

03150 30 (300 30) (004)(300(03) 30) 24Wmx

dq k x x k x

dx


Problema 7





Suposiciones



2

2 2 2


Q r h T T r r

2

2

2

2 1

4 R ur

Conduccioacuten

T TQ r k

r r


Q Q

2150 30T x x

03mx

004W m degCk

15 CT

120 CRT

RTT

225Wm Ch

002Wm degCuk

40 CuT

1 05mr

uT

1r

2r

2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r


sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2


Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T


Problema 8






Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e


1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes








22( )r

gen

d r qr

dr (34)


32 1

1 2

3 3r gen r gen

cr rr q c q

r (35)


1

23

gen cdTk r

dr r (36)


212

6

gencT r c

rk k (37)


2

26

genT r c

k (38)


2

26

gen

wc T Rk

2 2

6 6

gen gen

wT r T Rk k

2 2

6

gen

wT R r Tk (39)







Suposiciones





1 2

1 2

f i

x

T Tq

x xk k

(41)

12 2 2

1


1830Wm 13W m degC

f i

x

T T xx k

q k

Problema 5




Suposiciones




1 2

|200 |85

A A(2216114)i f

Cu C fg C

T TQ

x xk k

2A= 13537m2216114

Q

1k2k1 002mx

30degCfT

1300degCiT

1x2x

iTfT


21830Wmxq

175degCiT

iT

2x

2 0015mx

1x

1 004mx

80degCfT fT

|200

|85

374 W m degC

0035W m degC

Cu C

fg C

k

k

Problema 6




Suposiciones



Cuando x=0

2 2

0150 30 (300 30) (004)( 30) 12Wmx

dq k x x k x

dx


Cuando x=03

2 2

03150 30 (300 30) (004)(300(03) 30) 24Wmx

dq k x x k x

dx


Problema 7





Suposiciones



2

2 2 2


Q r h T T r r

2

2

2

2 1

4 R ur

Conduccioacuten

T TQ r k

r r


Q Q

2150 30T x x

03mx

004W m degCk

15 CT

120 CRT

RTT

225Wm Ch

002Wm degCuk

40 CuT

1 05mr

uT

1r

2r

2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r


sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2


Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T


Problema 8






Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e


1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes













Suposiciones





1 2

1 2

f i

x

T Tq

x xk k

(41)

12 2 2

1


1830Wm 13W m degC

f i

x

T T xx k

q k

Problema 5




Suposiciones




1 2

|200 |85

A A(2216114)i f

Cu C fg C

T TQ

x xk k

2A= 13537m2216114

Q

1k2k1 002mx

30degCfT

1300degCiT

1x2x

iTfT


21830Wmxq

175degCiT

iT

2x

2 0015mx

1x

1 004mx

80degCfT fT

|200

|85

374 W m degC

0035W m degC

Cu C

fg C

k

k

Problema 6




Suposiciones



Cuando x=0

2 2

0150 30 (300 30) (004)( 30) 12Wmx

dq k x x k x

dx


Cuando x=03

2 2

03150 30 (300 30) (004)(300(03) 30) 24Wmx

dq k x x k x

dx


Problema 7





Suposiciones



2

2 2 2


Q r h T T r r

2

2

2

2 1

4 R ur

Conduccioacuten

T TQ r k

r r


Q Q

2150 30T x x

03mx

004W m degCk

15 CT

120 CRT

RTT

225Wm Ch

002Wm degCuk

40 CuT

1 05mr

uT

1r

2r

2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r


sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2


Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T


Problema 8






Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e


1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes







Problema 6




Suposiciones



Cuando x=0

2 2

0150 30 (300 30) (004)( 30) 12Wmx

dq k x x k x

dx


Cuando x=03

2 2

03150 30 (300 30) (004)(300(03) 30) 24Wmx

dq k x x k x

dx


Problema 7





Suposiciones



2

2 2 2


Q r h T T r r

2

2

2

2 1

4 R ur

Conduccioacuten

T TQ r k

r r


Q Q

2150 30T x x

03mx

004W m degCk

15 CT

120 CRT

RTT

225Wm Ch

002Wm degCuk

40 CuT

1 05mr

uT

1r

2r

2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r


sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2


Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T


Problema 8






Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e


1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes







2 2

2 2

2 1

2500 4 R uT Tr r k

r r

3

2

2 1

625 120 40 (002) 256 10 m

625 625

R u R uT T T Tr k

k r r


sin Re

sin

100al

aislante

aislante

Q Q

Q

2


Q r h T T y 2

Re 24 ( ) 198365Wal uQ r h T T


Problema 8






Suposiciones



2 1

2

1

2

2 1

1 2

2 3 2

15 C 120 C

65Wm C

65Wm C 00125m

18W degC 00165m

004W degC (00165 )m

T T

h

h r

k r

k r e


1 2

2 1

1 1 1 2 2

120 15624145W

1 1 ln(00165 00125) 1ln( )1 1 1

2 65(00125) 18 (65)(00165)2

T TQ

r r

L h r k h r

2r

1r

3r

1k

2k2T

2h

1h1T

2e

(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes







(624145W)(09) 56173WTotalQ

1 2

2 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ln( ) ln(( ) )1 1 1

2

Total

T TQ

r r r e r

L h r k k h r

4

2 8 10 me

Problema 9





Suposiciones



1 1

2 2

3 3

4

250 C

20 C

004m 47WmdegC

00455m 05WmdegC

01355m 05WmdegC

01755m

i

f

T

T

r k

r k

r k

r

3 42

31 2

4488W

lnln ln

2 2 2

i fT TQ

r rrrr r

kL kL kL

iT1r

2r

1k2k

3k

fT

3r4r









Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes















Suposiciones
















degF=18(degC)+32

599degF


fT 38degC 1004degF


ft=0032808(cm) 0082021 ft



10 00209974 ft



3 2 2r r e - - 01850394 ft







Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes












Simulacioacuten1









(Figura 2)









tubo














de fibra de vidrio









aislantes














de fibra de vidrio









aislantes








aislantes








Engineering

Serie de problemas de transferencia de calor