Simulación en Ingeniería Eléctrica

ELI-213

INFORME: GUÍA DE TRABAJO N° 7

ECUACIONES DIFERENCIALES

Profesor: - Esteban Gil Sagás

Integrantes: - Sebastián Flores Carrasco

- Carlos Vergara Branje

Fecha: 20/06/2014

Pregunta 1:

Pregunta 2: La estabilidad de un sistema de potencia es la habilidad intrínseca de éste de poder retornar a la operación normal luego de sufrir alguna perturbación. Dentro de esta

área, la estabilidad transitoria estudia fenómenos que usualmente ocurren en el intervalo de un segundo como las fallas. Principalmente, en casos como éste, las máquinas ajustan sus ángulos relativos del rotor con tal de satisfacer las transferencias de potencia involucradas, por lo que es un problema tanto eléctrico como mecánico.

Un generador sincrónico (50 Hz) de capacidad 100 MVA entrega 100 MW a una barra infinita a través de una línea con reactancia 0.08 pu. La máquina posee una reactancia transitoria de 0.2 pu y una constante de inercia de 4 pu. Utilizando la tensión en la barra infinita como referencia, la corriente entregada por el generador es de (1-0.6375i) pu. Tomando 100 MVA como base para los datos en por unidad, se desea determinar el ángulo de carga y velocidad del rotor para un período de 2 segundos luego de una falla trifásica en los bornes del generador. Esta falla es despejada 0.1 segundos después de ocurrida.

Del análisis de los datos, se determinó que el sistema puede ser modelado mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

dδdt

=ω−2∗π∗f dωdt

= π∗fH

(Pm−Pe )Pe={ 00<t<0.14.3261 sen (δ )t ≥0.1}

ω (0 )=2∗π∗50 ;δ (0 )=0.2333

En donde δ y ω son las variables para el ángulo de carga y la velocidad de la máquina, f es la frecuencia del sistema, H es la constante de inercia, Pm es la potencia mecánica de la turbina antes de la falla igual a 1 pu y Pe es la potencia eléctrica entregada.

a) Utilizando simulink de MatLab arme el sistema de ecuaciones, a través de diagramas de bloques, con tal de obtener como salida las gráficas de velocidad y ángulo pedidos.

Se definen las variables en un archivo .m para simplificar el ingreso de datos:

Luego, teniendo definidas las ecuaciones diferenciales del sistema, se ingresan en simulink, donde la última ganancia antes de la salida del scope "delta" es una transformación de ángulos de radianes a grados:

Como observación, se ingresan en los integradores los valores iniciales de ω0 y δ 0.

Con esto quedan como salidas tanto ángulo de carga como velocidad de la máquina versus tiempo, por un tiempo de 10 segundos.

b) Modificando las opciones del Solver, resuelva el problema con el Método de Euler utilizando pasos de 10−2, 10−3 y 10−4. ¿Pierde estabilidad la máquina? (Estable: el ángulo de carga se mantiene bajo 90 ° a largo plazo). Comente.

Paso de 10−2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

10x 10

4 Ángulo de carga delta

tiempo [s]

Áng

ulo

°

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10200

400

600

800Velocidad de la máquina w

tiempo [s]

velo

cida

d an

gula

r [r

ad/s

]

Paso de 10−3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50

0

50

100Ángulo de carga delta

tiempo [s]

Áng

ulo

°

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10300

310

320

330Velocidad de la máquina w

tiempo [s]

velo

cida

d an

gula

r [r

ad/s

]

Paso de 10−4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40Ángulo de carga delta

tiempo [s]

Áng

ulo

°

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10305

310

315

320Velocidad de la máquina w

tiempo [s]

velo

cida

d an

gula

r [r

ad/s

]

De acuerdo a los 3 pasos usados anteriormente, se observa que para un paso grande de 10−2 por el método de Euler, la máquina no es estable, ya que supera los 90° de ángulo de carga δ . Lo mismo se observa para la velocidad de la máquina ω, pegándose un salto a los 3 segundos aproximadamente.

Disminuyendo el tamaño del paso, se aprecia que la máquina es estable para Euler con paso 10−3 llegando a un ángulo de carga de 60° aproximadamente, aunque se observa que no es su ángulo estacionario, ya que sigue creciendo, lo mismo pasa con la velocidad de la máquina, donde se ve un aumento continuo en el tiempo.

Para el paso más pequeño del análisis (10−4), se alcanza la estacionalidad del ángulo de carga, siendo un poco más de 30° su ángulo máximo y una velocidad de la máquina de 318[rad / s].

Como observación, en los tres casos el ángulo de carga y la velocidad de la máquina después de la falla (a los 0.1 segundos, donde se aprecia el cambio de la excitación Pe en la velocidad de la máquina) mantienen un comportamiento oscilante sinusoidal, ya que la ecuación diferencial no está amortiguada de ninguna forma, es por eso que se descartan los casos en los cuales el paso es de 10−2 y 10−3 .

Comparando por el uso de pasos, se aprecia que a medida que el paso es menor, el método converge, ya que si el paso es muy alto la intepretación puede ser errónea, como es el caso del paso 10−2 que indicaba que la máquina es inestable, siendo que realmente es estable.

c) Resuelva nuevamente el problema anterior pero utilizando el Método de Runge-Kutta 4. ¿Qué diferencias observa con respecto a la resolución por Euler?

Paso de 10−2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40Ángulo de carga delta

tiempo [s]

Áng

ulo

°

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10305

310

315

320Velocidad de la máquina w

tiempo [s]

velo

cida

d an

gula

r [r

ad/s

]

Paso de 10−3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40Ángulo de carga delta

tiempo [s]

Áng

ulo

°

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10305

310

315

320Velocidad de la máquina w

tiempo [s]

velo

cida

d an

gula

r [r

ad/s

]

Paso de 10−4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40Ángulo de carga delta

tiempo [s]

Áng

ulo

°

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10305

310

315

320Velocidad de la máquina w

tiempo [s]

velo

cida

d an

gula

r [r

ad/s

]

A diferencia del método de Euler, el tamaño del paso no afecta mucho, ya que con un tamaño de paso grande en Runge-Kutta 4 (10−2) es de convergencia con tamaño de paso más chico en Euler (10−4).

Por eso se mantiene la estabilidad del sistema y la forma sinusoidal, dado que no hay amortiguación alguna. También se mantienen los 318[rad / s] aproximados del caso Euler.

En conclusión, en el método de Runge-Kutta no es necesario un tamaño de paso tan pequeño como en Euler, por lo que computacionalmente sería más rápido de implementar en sistemas más grandes o más complejos que puedan significar un retraso mayor en el cálculo, por lo que este método es mejor.