Tecnica delle Costruzioni - Esercitazione 7-parte 1

DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DELLE COLONNE

http://www.francobontempi.org

Prof. Franco Bontempi, Ing. Stefania Arangio

[email protected], [email protected]

Sapienza Università di Roma

Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile

A.A. 2015 – 2016

ESERCITAZIONE 7 (parte I)

20 Novembre 2015

http://www.francobontempi.org/

mailto:[email protected]

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Prof. Franco Bontempi – Ing. Stefania Arangio

ESERCITAZIONE 7

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Cenni sull’instabilità

Verifiche secondo la CNR10011 – metodo ω

• solo sforzo normale

• presso-flessione

Verifiche secondo le NTC 2008



Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011

• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC 2008

Progetto di un telaio a traverso rigido

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Cenni sull’instabilità








• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08


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Cenni sull’instabilitá

Un’asta snella soggetta a compressione collassa prima che il carico raggiunga

il valore massimo in base alla resistenza

Interviene il fenomeno dell’instabilità che fa diminuire il carico di rottura

Il carico che procura collasso per instabilità è il carico critico

l0 = lunghezza libera di inflessione:

distanza tra due punti di flesso

consecutivi della linea elastica

con l0=βl

β dipende dallo schema

statico adottato

Snellezza

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Lunghezza libera di inflessione

Valori di β a seconda dello schema

statico

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Cenni di instabilità










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Dimensionamento e verifica a sforzo normale CNR 10011 – Metodo ω

METODO ω - § 7.2 CNR 10011/97

1) ANALISI DEI CARICHI

Per aree di influenza

Si considerano:

• Carichi verticali (permanenti – variabili)

• Carichi orizzontali (vento)

2) PREDIMENSIONAMENTO (scelta del profilo tramite l’area minima)

Deve essere soddisfatta:

quindi invertendo la relazione si ha

3)CALCOLO DELLA SNELLEZZA

λ≤ 200 membrature principali

λ≤ 250 membrature secondarie

4) VALUTAZIONE DI ω VERO (Prospetti 7.II, 7.III, 7.IV – CNR 10011/97)

5) VERIFICA DI STABILITA’

Nel predimensionamento

si pone 2≤ω≤3

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Dimensionamento e verifica a sforzo normale CNR 10011 – Metodo ω

Prospetto 7.II CNR 10011 per determinare ω a partire da λ

λ= 72 ω= 1,49

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Verifica a presso-flessione secondo CNR 10011 (1/2)

§ 7.4 CNR 10011/97

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VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DELLA COLONNA (§ 7.4 CNR 10011/97)

𝛹 = 1

𝜈 = 1

𝑁𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 ∙ 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜆

fattore di forma

per verifiche agli stati limite

nel prospetto 7.VII CNR 10011

Meq = Momento

equivalente

Meq = M se M costante

Meq = 0,6MA – 0,4MB se M lineare

Meq = 1,3 Mm se M variabile

Sempre: Meq ≥ 0,75Mmax

Verifica a presso-flessione secondo CNR 10011 (2/2)

MA

MB

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Verifica di instabilità a compressione secondo NTC 2008

1) Calcolo della snellezza

2) Calcolo dell’azione di progetto Ned

3) Calcolo del carico critico elastico

4) Calcolo della snellezza adimensionale

5) Calcolo del coefficiente (Tab. 4.2.VI -NTC)

6) Calcolo del parametro

7) Calcolo del fattore di riduzione

8) Calcolo dell’azione assiale resistente

9) Verifica

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Verifica di instabilità a presso-flessione secondo NTC 2008

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Verifica di instabilità a presso-flessione secondo NTC 2008

Momento equivalente

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Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08

• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011


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TRONCO SUPERIORE PERMANENTI CARICHI [kN]

solaio 3,82 kN/m2 x 30 m2 114,60

travi secondarie (IPE 240) 0,307 kN/m x 5 m x 4 (n°travi) 6,14

trave principale (IPE 500) 0,907 kN/m x (2+4) m x 1 (n°travi) 5,44

Totale permanenti 126,2

VARIABILI

Qk: vento (vedi Figura 143) 21,00

Qk: carichi antropici 0,5 kN/m2 x 30 m2 15,00

Qk: neve 0,48 kN/m2 x 30 m2 14,40

11

Area di influenza

5x6=30 m2

Schema statico

Analisi dei carichi Tronco superiore

Tronco inferiore

Analisi dei carichi del

tronco superiore per

area di influenza


tronco superiore per

area di influenza

Tronco superiore

Tronco inferiore

Esempio: dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Analisi dei carichi

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COMBINAZIONE DELLE AZIONI – TRONCO SUPERIORE

3303220211sup, kQkQkQGd QQQGF

KNFd 4,206155,104,145,15,00,215,12,1263,11sup, COMB1 Vento variabile di base

KNFd 3,216215,16,04,145,15,0155,12,1263,12sup, COMB2 Antropico variabile di base

KNFd 6,204155,10215,16,04,145,12,1263,13sup, COMB3 Neve variabile di base

NEd,sup = Fd,sup= 216,3 kN

Dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Azioni di progetto

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TRONCO INFERIORE PERMANENTI CARICHI [kN]

solaio 3,77 kN/m2 x 30 m2 113,10

travi secondarie (IPE 240) 0,307 kN/m x 5 m x 4 (n°travi) 6,14

trave principale (IPE 500) 0,907 kN/m x (2+4) m x 1 (n°travi) 5,44

Totale permanenti 124,7

VARIABILI

Qk: vento (vedi Figura 143) 79,5

Qk: carichi antropici 2 kN/m2 x 30 m2 60,0

PIANO SUPERIORE Fd,sup 216,3

COMBINAZIONE DELLE AZIONI – TRONCO INFERIORE


tronco inferiore per

area di influenza

sup,220211inf, dkQkQGd FQQGF

COMB1 Vento variabile di base

COMB2 Antropico variabile di base

KNFd 7,5603,216605,17,05,795,17,1243,11inf,

KNFd 5403,2165,795,16,0605,17,1243,12inf,

NEd,inf = Fd,inf= 560,7 KN

Dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Azioni di progetto

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DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DEL TRONCO INFERIORE

Si progetta la colonna del tronco inferiore (più caricato) e si utilizza per entrambi i piani

3,433

1021014,3

104107,56032

233

2

2

0min

E

lNI Ed

cm4

1) Calcolo dell’azione di progetto Ned

2) Calcolo del carico critico elastico

3) Calcolo della snellezza adimensionale

PREDIMENSIONAMENTO

Si inverte la relazione del carico critico

VERIFICA

A = 38,8 cm2

p.p. = 0,304 kN/m

Ix = 1673 cm4

Iy = 615,6 cm4

HEA 160

cr

y

N

fA 07,1

106,796

235108,383

2

NEd = 560,6 +(1,3·0,304·4·2)= 563,8 KN

Contributo del p.p.

6,796

104

106,6151021014,323

432

2

0

min

2

l

IENcr

Esempio NTC 2008: dimensionamento e verifica colonna n. 11

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4) Calcolo del coefficiente Dal Prospetto 4.2.VI delle NTC 2008 =0,49

5) Calcolo del parametro

6) Calcolo del fattore di riduzione

7) Calcolo dell’azione assiale resistente

8) Verifica

13,1

2,434

8,563

,

Rdb

Ed

N

N

])2,0(1[5,02

29,1]07,1)2,0,071(49,01[5,0 2

5,007,129,129,1

11

2222

KNfA

NM

y

Rdb 2,43405,1

235108,385,0 2

1

,

La verifica non è soddisfatta!


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Si sceglie un profilo più grande - HEA 180 - e si applica la stessa procedura.

(I calcolo estesi sono riportati sul libro)

Alla fine:

196,0

4,587

8,563

,

Rdb

Ed

N

N

La verifica risulta soddisfatta

Ma ATT! Alle dimensioni geometriche dei profili che andranno collegati

(trave – colonna)

Trave: IPE 500 (b=200 mm)

Colonna HEA 180 (b = 180 mm)

E’ necessario utilizzare

almeno un profilo HEA 200

(b=200 mm)


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Esempio metodo ω (CNR 10011): dimensionamento colonna n. 11

1) ANALISI DEI CARICHI

2) PREDIMENSIONAMENTO (scelta del profilo tramite l’area minima)

𝐴 ≥𝜔𝑁𝐸𝑑

𝑓𝑦𝑑=

2 ∙ 560,7 ∙ 103

223,8= 5011 c𝑚2

3) CALCOLO DELLA SNELLEZZA

𝜆 =𝑙0

𝑖𝑚𝑖𝑛=

1 ∙ 400

4,98= 80 < 200

4) VALUTAZIONE DI ω VERO (Prospetti 7.II, 7.III, 7.IV – CNR 10011/97)

5) VERIFICA DI STABILITA’

NEd,inf = Fd,inf= 560,7 KN

A = 53,8 cm2

p.p. = 0,423 kN/m

Jx = 3692 cm4

ix = 8,28 cm

iy = 4,98 cm

HEA 200

λ= 80 ω= 1,62

𝜎 =𝜔𝑁𝐸𝑑

𝐴=

1,62(560,7 + 1,3 ∙ 0,423 ∙ 4 ∙ 2) ∙ 103

5380=

565,1 ∙ 103

5380= 104,8

𝑁

𝑚𝑚2≤ 𝑓𝑦𝑑 = 223,8

𝑁

𝑚𝑚2

Contributo del p.p.

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Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (1/9)

GENERALITA’ Telaio a traverso infinitamente rigido

k → ∞

90°

h

l

I vincoli esterni possono essere incastri o

cerniere.

Sarà diversa la lunghezza libera di

inflessione della colonna

k → ∞ non è ottenibile per le costruzioni

reali.

Un telaio in acciaio si può considerare a

traverso rigido se k ≈ 3

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GENERALITA’

A cosa serve assegnare un valore a k?

Lo troviamo nelle formule del prontuario per il calcolo delle sollecitazioni (in fase di predimensionamento non conosciamo i profili di traverso e colonna per calcolarlo, quindi è

necessario fare delle ipotesi).

IMMAGINE PRONTUARIO

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GENERALITA’

Nello studio dei telai a traverso rigido si considera l’interazione tra i carichi

orizzontali e i carichi verticali anche per il calcolo delle sollecitazioni agenti sulla

trave

G

Qv

Qh

l = 5 m

h =

4 m

G Qv Qh

= + +

A

B C

D

KNmpl

k

kM Gl 6,48

832

12 2

2/

KNmk

plMM GCGB 7,16

)2(6

2

)()(

KNmk

plMM GAGA 4,8

)2(12

2

)()(

KNmpl

k

kM Qvl 1,12

832

12 2

)(2/

KNmk

plMM QvCQvB 2,4

)2(6

2

)()(

KNmk

plMM QvAQvA 1,2

)2(12

2

)()(

KNkl

phV QhD 5,3

)16(

2

)(

KNk

kphH QhD 3,6

2

23

8)(

KNm

k

k

k

kphM QhA 7,24

61

41

26

3

4

2

)(

KNm

k

k

k

kphM QhD 6,13

26

3

61

41

4

2

)(

KNmhHMM QhDQhDQhC 6,11)()()(

0)(2/ QhlM

ESERCITAZIONE 12: parte II 26/03/2009

PREDIMENSIONAMENTO E VERIFICA DI UNA STRUTTURA A TELAIO: SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

G = 20 kN/m

Qv = 5 KN/m

Qh = 7 KN/m

k = 3

16,7

8,4

48,6

4,2

12,1

2,124,7

11,6

13,6

Nota

L’effetto dei diversi carichi viene studiato

singolarmente senza l’uso di coefficienti

moltiplicativi

La combinazione con i coefficienti

parziali verrà fatta sugli effetti

(M e spostamenti)

I carichi vengono applicati senza

coefficienti moltiplicativi.

La combinazione viene

effettuata sulle sollecitazioni di

progetto

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SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

G

Qv

Qh

l = 5 m

h =

4 m

G Qv Qh

= + +

A

B C

D

KNmpl

k

kM Gl 6,48

832

12 2

2/

KNmk

plMM GCGB 7,16

)2(6

2

)()(

KNmk

plMM GAGA 4,8

)2(12

2

)()(

KNmpl

k

kM Qvl 1,12

832

12 2

)(2/

KNmk

plMM QvCQvB 2,4

)2(6

2

)()(

KNmk

plMM QvAQvA 1,2

)2(12

2

)()(

KNkl

phV QhD 5,3

)16(

2

)(

KNk

kphH QhD 3,6

2

23

8)(

KNm

k

k

k

kphM QhA 7,24

61

41

26

3

4

2

)(

KNm

k

k

k

kphM QhD 6,13

26

3

61

41

4

2

)(

KNmhHMM QhDQhDQhC 6,11)()()(

0)(2/ QhlM

ESERCITAZIONE 12: parte II 26/03/2009

PREDIMENSIONAMENTO E VERIFICA DI UNA STRUTTURA A TELAIO: SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

G = 20 kN/m

Qv = 5 KN/m

Qh = 7 KN/m

k = 3

16,7

8,4

48,6

4,2

12,1

2,124,7

11,6

13,6

Nota

L’effetto dei diversi carichi viene studiato

singolarmente senza l’uso di coefficienti

moltiplicativi

La combinazione con i coefficienti

parziali verrà fatta sugli effetti

(M e spostamenti)

G = 20 KN/m

Qv = 5 KN/m

Qh = 7 KN/mv

G

Qv Qh

45,8

8,3

11,4

v

l=5m

h=

4m

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CALCOLO DEL MOMENTO DI PROGETTO del TRAVERSO MEd

COMB1 x=l/2

≈ 0

COMB2 x=l

Qv

Var. principale

COMB3 x=l

Qh

Var. principale

La combinazione viene fatta sulle sollecitazioni.

Le azioni sono state applicate senza coefficienti moltiplicativi

MEd = 76,6 KNm

c

c

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PREDIMENSIONAMENTO TRAVERSO

VERIFICA AGLI STATI LIMITE ULTIMI

IPE 240

Wpl = 366,6 cm3

Jx = 3891,6 cm4

p.p. = 0,307 KN/m

Momento sollecitante con

aggiunta del contributo

dovuto al peso proprio

Momento resistente plastico

(sezione classe 1 a flessione)

Verifica di sicurezza agli SLU

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VERIFICA AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO

Spostamento verticale dovuto

ai carichi permanenti

Spostamento verticale dovuto

ai carichi variabili Qv

Spostamento verticale totale

CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI

VERIFICA

(Limiti calcolati con riferimento al caso «coperture in generale» della Tab. 4.2.X - NTC08)

𝛿1 =5

384

𝐺𝑙4

𝐸𝐽=

5

384

20,307∙54

2,1∙108∙3891,6∙10−8 =2 cm

𝛿2 =

5

384

𝑄𝑣𝑙4

𝐸𝐽=

5

384

5∙54

2,1∙108∙3891,6∙10−8 = 0,5 cm

𝛿𝑡𝑜𝑡 = 𝛿1 + 𝛿2 = 2,5 𝑐𝑚

𝛿2 = 0,5 𝑐𝑚 ≤𝐿

250=

500

250= 2 𝑐𝑚

𝛿𝑡𝑜𝑡 = 2,5 𝑐𝑚 ≤𝐿

200=

500

200= 2,5 𝑐𝑚

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PREDIMENSIONAMENTO DELLA COLONNA PRESSO-INFLESSA

Vengono scelti profili di tipo HEA e HEB per facilitare l’unione trave-colonna (l’ala della colonna deve essere almeno pari alla larghezza della trave IPE240 b=120mm)

HEB 140 Wx = 216 cm3

Jx = 1509 cm4

A = 43 cm2

ix= 5,93 cm ; iy = 3,58 cm

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Mmax(piede)=1,3·8,3+1,5·24,7+1,5·0,5·2,1=49,4 KNm

Mmin(testa)=1,3·16,7+1,5·4,2-1,5·0,6·11,6=38,45 KNm

Mm=(Mmax+Mmin)/2= 43,9 KNm

Meq = 1,3 Mm=1,3·43,9=57,1 KNm

Meq = 1,3 Mm per M variabile

Meq ≥ 0,75Mmax=37KNm

𝑁𝐸𝑑 ∙ 𝛾𝑀1

𝜒𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦𝑘 ∙ 𝐴+

𝑀𝑦𝑒𝑞𝐸𝑑 ∙ 𝛾𝑀1

𝑓𝑦𝑘 ∙ 𝑊𝑦 1 −𝑁𝐸𝑑𝑁𝑐𝑟

VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DELLA COLONNA (Metodo A NTC08 §C4.2.4.1.3.3.1)

Engineering

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