teoría de cola jorge velasquez

Investigación de operaciones II

Teorías de cola

Jorge Velasquez 24.414.853

• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:

• Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco,

• Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,• Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo,

• Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

Colas

• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

• Los Análisis de Colas relacionan:

– la longitud de la línea de espera,– el promedio de tiempo de espera y otros factores como:

– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

Colas

• Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común.

• Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

Colas

COLAS MAS COMUNES

SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehículos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de Cómputo Programas a ser corridos

Proceso de datos

Compañía de teléfonos

Llamadas Efectuar comunicación

Banco Clientes Depósitos y Cobros

Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación

Muelle Barcos Carga y descarga

Colas

Características de una LINEA DE ESPERACARACTERISTICAS DE ARRIBOº

• DISTRIBUCION DE POISSON:

• P(x) = Probabilidad de x arribos• .x= número de arribos por unidad de tiempo = rata promedio de arribo

.e = 2.71828

P ( x )= e−λ λ x

x !para x=0,1,2 ,3 ,4 , . . .

Colas

TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO

PROB

ABIL

IDAD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,00020 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Colas

Proceso de nacimiento y muerte

• Los llamados procesos de nacimiento y muerte describen una gran diversidad de situaciones prácticas cuya característica principal consiste en la aparición y/o desaparición de entes en la cantidad +1 ó –1.

• Si N(t) expresa el número total de entes que componen la población al tiempo t, entonces N(t) puede sufrir cambios crecientes o decrecientes de magnitud 1 en un instante infinitesimal de tiempo

Colas

• Para calcular la probabilidad de estado es preciso tener en cuenta:– El proceso de llegada de los paquetes– La distribución de duración de los paquetes– La política de servicio

• PEPS: Primero en entrar, primero en salir (FIFO)• UEPS: último en entrar primero en salir (LIFO)

Teoría de Colas

Colas

Clasificación de Kendall y LeeKendall y Lee 1953

Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera, el cual considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos.

El cual tiene el siguiente formato

(a/b/c)(d/e/f)

Colas

X X , x , X , X, X

PATRON de LLEGADASM: MarkovianoG : GeneralE : Erlang

PATRON del SERVICIOM: MarkovianoG : GeneralE: Erlang

NUMEROSERVIDORES

1: un servidors: s servidores en paralelo

TAMAÑO POBLACION : Infinita P : Finita

8

TAMAÑO COLA : InfinitaK : Finita

8

DISCIPLINA DE SERVICIODG , FIFO , LIFO

RAND, PRI

Clasificación de Kendall y Lee

Colas

Clasificación de Kendall y LeeDonde

a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones

b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.

Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG : cualquier tipo de distribuciónGI: distribución general independienteH : distribución hiperexponencialM : distribución exponencial

Colas

Clasificación de Kendall y Leec número de servidores

d orden de atención de los clientes

Símbolos utilizados en este campo son:

FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorioPR : con base en prioridadesGD : en forma general

e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo

f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera

Colas

• Se pueden obtener los valores siguientes:– Probabilidad de que hayan n paquetes en el sistema– Longitud o número esperado de paquetes en la cola LEC– Longitud o número esperado de paquetes en el sistema LES– Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en la cola TEC– Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en el sistema

antes de ser atendido TES– Número promedio de canales en servicio inactivos en el sistema

NCI– Probabilidad de que un paquete que llega deba esperar– Probabilidad de que un paquete deba esperar en la cola o en el

sistema más de un tiempo t– Número promedio de paquetes atendidos

Objetivos de los modelos de colas

Colas

TEORIA DE COLASMedición del Rendimiento de las Colas

• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.

• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la

cola2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el

sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).4. Número de clientes promedio en el sistema.5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío6. Factor de utilización del sistema7. Probabilidad de la presencia de un específico número de

clientes en el sistema.

Colas

Medidas de desempeño

Medidas de desempeño:Utilización de Servicio

Tasa de entrada Promedio

Número Promedio de Clientes en el sistema

Número promedio de Clientes en la fila

Tiempo promedio de espera en el sistema

Tiempo promedio de espera en la fila

Coeficiente cuadrado de variación

Colas

Modelo Monoservidor

• Los paquetes son “clientes” formando cola en espera del servicio

λ

μLlegada de paquetes

Salida de paquetes

ServidorÁrea de

almacenamiento temporal

Modelo de cola en un servidor único

Colas

• Ejemplos de modelos de un solo servidor:– Taquilla de Pago CANTV– Caja de UNITEC– Cafetin– Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)

Colas

Modelo Monoservidor

• Los paquetes llegan en forma aleatoria a una velocidad promedio de:

λ paquetes / unidad− de− tiempo

Forman una cola en espera de servicio en el área de almacenamiento temporal y luego, con alguna política de servicio especificada, son atendidos a razón de un promedio de

μ paquetes / unidad− de− tiempo

Colas

Modelo Monoservidor

• La cola empieza a formarse cuando:

λ → μλ Llegada de paquetesμ Capacidad de transmisión del paquete

Para un área de almacenamiento temporal finita, la cola llegaría a saturación cuando exceda . Cuando el área de almacenamiento temporal se satura, se bloquean las llegadas de todos los paquetes.

λμ

Colas

Modelo Monoservidor

• Un parámetro crítico en el análisis de la teoría de formación de colas es: Utilización o intensidad de tráfico en el enlace ρ

Es la razón entre la carga y la capacidad del sistemaρ

Para el caso de un solo servidor se presenta congestión cuando:

ρ¿1¿

ρ→ 1

ρ≡ λμ

Colas

Modelo Monoservidor

Zapatería Mary’s

Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson.

El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.

La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

Elementos a estudiar en las COLAS

Ejemplo• Un peluquero atiende sus clientes sin cita

previa, el primero en llegar es el primero en ser atendido. La llegada de los clientes se distribuye de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio de 5/hora. Los clientes prefieren esperar el tiempo necesario antes de ser atendidos. El tiempo de corte del cabello está exponencialmente distribuido con un tiempo de corte promedio de 10 minutos.

• ¿Cual es el número promedio de clientes en el negocio y el número promedio de personas esperando a ser atendidas?

Colas

Ejemplo Cont...

λ= 5hora

μ= 110 min X

60min1hora =

6hora

ρ= λμ=56

LES= ρ1−ρ

LES=5

LES=

56

1− 56


Ejemplo Cont...

LEC= λ2

μ (μ−λ )

LEC=56

• La probabilidad de que los clientes no deban esperar antes de ser atendidos es P0

P0=1−λμ


• Esta probabilidad es:

P0=1−56=0 .1666

Ejemplo Cont...

Esto indica que el 16.7% de los clientes son atendidos sin hacer cola y el 83.3% deben esperar algún tiempo en la cola antes de pasar a la silla del peluquero.


• Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y el dueño desea conocer qué porcentaje de clientes que esperan deben hacerlo parados. La probabilidad de no encontrar silla es:

Ejemplo Cont...

P5+ P6+ P7+ .. .+=∑n=5

∞Pn=0 . 405


• El 40% del tiempo los clientes no encuentran silla disponible.

• Cuánto debe el cliente esperar en promedio en la cola y en el sistema, está dado por la formulas y LEC y LES

Ejemplo Cont...

LEC= λ2

μ (μ−λ ) LES= ρ1−ρ

En el ejemplo LEC y LES es de 50 y de 60 minutos respectivamente.


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