Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Modelos de optimización de redes

Volumen 5- AFacultad de Ingeniería Industrial

Universidad de Guayaquil1

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Modelos de redes• En el volumen 5, tuvimos la oportunidad de

revisar, desarrollar y aprender a interpretar modelos de transporte y asignación, inclusive desarrollamos una red de distribución que partía de un origen a un destino.Estos modelos, en realidad son modelos de red particulares.Ahora, en este volumen (5-A) veremos sus distintas aplicaciones generalizadas, como modelos de “transbordo”; “ruta más corta”; “flujo máximo”. Y aprenderemos a interpretarlos.

2

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Terminología de redes

• En un diagrama de red, cada circulo o cuadrado se lo identifica como “NODO” y las líneas que los une se las conoce como “FLECHAS O ARCOS”, a veces a la flecha que une dos nodos se la identifica (N1,N2); en el ejemplo sería (1,2) o (3,4). En la figura, el valor (+5) implica los recursos que oferta o dispone el origen o nodo 1, y los valores (-2) y (-3) de los nodos 3 y 4 son las demandas o requerimientos de esos locales.

• También podemos concluir, por ejemplo que para entregar del nodo 1 los requerimientos del nodo 3 se puede seguir las siguientes rutas: o o,

3

1 2

3

4

5Nodo

Flecha o arco

+5

-3

-2

1 2 3 1 2 4 31 2 4 35

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Terminología de redes

• Los costos asociados a recorrer las rutas, y las capacidades a lo largo de las mismas, determinarán cual de ellas será elegida. Los costos son unitarios en cada rama y están asociados al combustible, salario, peajes, etc. Que se generan en cada rama..

4

1 2

3

4

5

+10

-7

-3

C12U12

C23U23C24U24

C34U34

C43U43

C54U54

C53U53

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Supuestos del modelo y propiedades de la PL1. Cualquier planta o almacén puede enviar embarques a

cualquier otra planta o almacén.2. Puede haber cotas (capacidades superiores o inferiores

en cada embarque (rama).

5

Propiedades:1. Por cada arco o rama de una red, hay una variable Xij

asociada a él.2. Por cada rama hay una ecuación de balance de flujo.

3. Los lados derechos positivos corresponden a nodos que son proveedores netos (orígenes). Los lados derechos negativos corresponden a nodos que son destinos netos. Los lados derechos con valor cero corresponden a nodos que no tienen ni oferta ni demanda (transbordo). La suma de los términos del lado derecho es siempre cero (vertical)

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

NODO (1 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 , 5) (4 , 3) (5 , 3) (3 , 4) (5 , 4) ld1 1 0 0 0 0 0 0 0 5 ORÍGEN

2 -1 1 1 1 0 0 0 0 0 TRANSBORDO

3 0 -1 0 0 -1 -1 1 0 -2 DEMANDA

4 0 0 -1 0 1 0 -1 -1 -3 DEMANDA

5 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 TRANSBORDO

ARCOS

100-3-7

Matriz de incidencia nodo - arco

6

1 2

3

4

5

+10

-7

-3

C12U12

C23U23C24U24

C34U34

C43U43

C54U54

C53U53

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Formulación general del modelo de transbordo con capacidades

Sujeto a:

7

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Formulación del ejemploSujeto a:

8

Costos unitarios y capacidades (cotas)• La Empresa estima las siguientes capacidades y

costos unitarios

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

9

costo unitario de-a Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 Lugar 4 Lugar 5Lugar 1 100,00$ Lugar 2 45,00$ 50,00$ 20,00$ Lugar 3 60,00$ Lugar 4 85,00$ Lugar 5 10,00$ 55,00$

capacidad de - a Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 Lugar 4 Lugar 5Lugar 1 10Lugar 2 4 3 3Lugar 3 2Lugar 4 4Lugar 5 3 5

Uij

Cij

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Modelo de la ruta más cortaEl Modelo de la ruta más corta, se refiere a una red en la cual cada arco (i,j) tiene un número Cij que, en vez de ser el costo puede ser; distancia, tiempo, costos, desde el nodo i al nodo j. Por lo tanto una secuencia de arcos que se conecte entre sí para unir dos arcos (inicio-final) es una RUTA. El objetivo entonces es; encontrar la ruta más corta, o de menor costo o más rápida desde un nodo específico hasta cada uno de los demás nodos.Veamos un ejemplo.

10

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Ejemplo de ruta más corta (extraído de “Investigación de operaciones” EPPER; pág. 244)• Aaron Druner envía con frecuencia remesas de

vino a siete localidades diferentes. Aaron considera que el total de sus costos se minimizaría si pudiera asegurarse de que todos los envíos futuros a cualquiera de las localidades se realicen siguiendo la ruta más corta. Por tanto su objetivo consiste en especificar cuáles son las rutas más cortas desde el nodo inicial hasta cualquiera de los otros siete nodos. Observe que en este modelo, la tarea no consiste en encontrar las Xij sino una ruta óptima.

11

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Red de caminos de Aaron Drunner (ruta más corta)

12

H

1

7

4

3

2

6

5

8

7

4 1

6

2

1

1

1

3

3

2

3

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Consideraciones del caso Aaron• Aquí, a diferencia de los modelos de transbordo, los

arcos no están orientados. Esto significa que en cada arco se permite el flujo en cualquier dirección. Por supuesto, es posible asignar una orientación a los arcos entre los nodos, por lo cual el costo del nodo 1 al 2 es diferente al costo del nodo 2 al 1. Esto podría ocurrir cuando el tráfico está en la hora pico en una dirección, pero no en la otra, o cuando la calle es de un solo sentido. Los números que aparecen en cada arco son distancias que conectan un nodo con otro. Aquí el punto de partida se a designado con la letra H. En este caso Aaron está interesado en nodo 5 y desea saber cual es la ruta más corta.

• Sigua el caso en la hoja de excel REDES 13

El modelo de flujo máximo• En el modelo de flujo máximo hay un solo nodo fuente (el nodo

de entrada) y un solo nodo recipiente o destino (el nodo de salida). La meta consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total (Dinero, petróleo, tráfico de vehículos, mensajes de internet, gas saturado, etc.) en una unidad de tiempo.

• La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitada por restricciones de capacidad. Por ejemplo. Los diámetros de las tuberías limitan el flujo de petróleo en las diversas partes del sintema de distribución. También, si notamos, veremos que la capacidad en los nodos no está especificada. Por lo que el único requisito en este caso es que para cada nodo (a excepción de la fuente o el recipiente) la ecuación de BALANCE DE FLUJO debe satisfacerse.

• En términos formales, si el nodo 1 (i) es la fuente y el nodo n (n) el recipiente. El modelo es:

para todo (i,j) de la red

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

14

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Observaciones para el modelo de flujo máximo1. Las variables Xij denotan el flujo por unidad de tiempo

a través del arco (i,j) que conecta el nodo i y el nodo j.2. En la es el flujo total que sale del nodo i que conecta

todos los nodos a este arco.3. En la es el flujo total que entra al nodo j que conecta

todos los nodos de entrada.4. El símbolo f es una variable que denota el flujo total

que pasa por la red en cada unidad de tiempo. Por definición, esto equivale al flujo por unidad de tiempo que sale de la fuente, el nodo 1, la primera restricción. También es igual al flujo por unidad de tiempo que entra al recipiente, nodo n (la segunda restricción). El objetivo es maximizar esta última cantidad.

5. Las Uij indican las capacidades de los flujos por unidad de tiempo a través de los diversos arcos.

15

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Caso de flujo máximoComisión de planeación de

desarrollo urbanoGloria Stime está a cargo de la comisión de Planeación del Desarrollo Urbano (UDPC por sus siglas en inglés), un grupo de estudio ad hoc de interés especial. La responsabilidad actual del grupo es el de coordinar la construcción del nuevo sistema de vías subterráneas con el departamento de mantenimiento de caminos. En virtud de que el nuevo sistema de vía subterránea se construirá cerca del circuito periférico de la ciudad, el tráfico de este que se dirige al oriente deberá ser desviado. La desviación planeada es en realidad una red de rutas alternas propuestas por el departamento de mantenimiento de caminos. Los diferentes límites de velocidad y los patrones de tráfico producen distintas capacidades de flujo en los diferentes arcos de la red propuesta de acuerdo al siguiente diagrama.

16

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Diagrama de desviacción

17

1

2

3

4

6

5

0 6

0 4

0

3

0

1Empieza la

desviaciónTermina ladesviación

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

Interpretación del diagramaEl nodo indica el inicio de la desviación; es decir, el punto en el cual el tráfico que se dirigía hacia el oriente sale de la vía periférica, El nodo es el punto en cual el tráfico desviado entra de nuevo en la vía periférica. Vemos también que las capacidades dependen de la dirección. Por ejemplo 6 en el arco (1,3) equivale a 6000 vehículos por hora en la dirección 1 – 3. En sentido contrario (3-1) es cero, esto por lógica nos dice que es una vía de un solo sentido.Veamos el caso en la hoja de Excel REDES

18

1

6

Carlo

s J. M

oles

tina

Mal

ta

19