Лекц № 8

Тодорхой интегралыг ойролцоо

бодох аргууд, өргөтгөсөн

интеграл

[а,b] хэрчимд тасралтгүй f(х) функцийн

тодорхой интегралыг олох шаардлагатай

байг. Хэрэв f(х) функцийн эх функц мэдэгдэж

байвал дээрх бодлогыг Ньютон-Лейбницын

томъѐогоор бодно. Гэхдээ эх функц ямагт

мэдэгдсэн байх албагүй тул тодорхой

интегралыг ойролцоо бодох бодлого

тавигддаг. Тодорхой интегралын

тодорхойлолтоос дараах хялбар аргыг

томъѐолж болно.

Үүний тулд [а,b] хэрчмийг

(1)

цэгүүдээр тэнцүү урттай хэсгүүдэл хувааж, хэрчим

тус бүрээс дундаж цэг

авч интеграл нийлбэр зохиовол:

(2)

(2) томъѐог тодорхой интегралыг ойролцоо бодох

тэгщ өнцөгтийн томъѐо гэнэ. Муруй шугаман

трапецийн талбай нь тэгш өнцөгтүүдийн талбайн

нийлбэртэй ойролцоогоор тэнцүү байна.

0,1,...,k

b ax a k k N

N

1

2

k ki

x x

0

b N

k

ka

b af x dx f

N

N хүрэлцээтэй их үед (2) томъѐоны алдаа бага

байна. Энэ алдааг үнэлэхийн тулд f(х)-функц

дифференциалчлагддаг байх шаардлагатай.

Алдааг Rn(x)-ээр тэмдэглэе.

Хэрэв байвал алдааны

үнэлгээ байна. Харин f(х) = Ах + В шугаман

функц байхад (2) томъѐоны зүүн баруун тал яг

тэнцүү байна. Тодорхой интегралыг бодох

хоѐрдох ойролцоо арга нь трапецийн арга юм.

Бид [а,b] хэрчмийн (1) хуваалтыг| авъя. Тэгвэл

1 1' ,f x M M R

(4) томъѐог тодорхой интегралыг ойролцоо

бодох трапецийн томъѐо гэнэ.

Харин Ах + В шугаман функц байхад (4) томъѐо

талбайн жинхэнэ утгыг өгөх болно. Хэрэв f(х)

функцийн хоѐрдугаар эрэмбийн зааглагладсан

уламжлалтай, өөрөөр хэлбэл, |f "(х)| М2, байвал

(4) томъѐоны алдаа

(5)

томъѐогоор үнэлнэ.

0 1 3 12 2 ... 2 2

b

N N

a

b af x dx f x f x f x f x f x

N

2

2

212N

M b aR x

N

Тодорхой интегралыг ойролцоогоор бодох

нилээд сайн нарийвчлалтай Симпсоны аргыг

авч үзье. Үүнд:

(6)

Энэ томъѐог Симпсоны хялбар арга гэнэ.

(6) томъѐоны геометр утга нь f(х) функцийн

графикаар тодорхойлогдсон муруй шугаман

трапецийн талбайг параболын дор орших

талбайгаар илэрхийлж байна. [а,b] хэрчмийг

цэгүүдээр жижиг урттай

2N жижиг хэрчмүүд болгон хувааж

46 2

b

a

b a a bf x dx f a f f b

, 0,1,..., 22

k

b ax a k k N

N

[х0; х2], [х2; х4], [х4; х6] хэрчим бүрт (6) томъѐог

хэрэглэвэл

томъѐог Симпсоны томъѐо гэнэ.

Хэрэв f(х) функц [а,b] хэрчимд хоѐр удаа

тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд

нөхцлийг хангаж байвал

Симпсоны томъѐо интегралыг

алдаатайгаар ойролцоогоор

боддог.

0 1 2 3

2 1

{ 4 2 42

... 2 4 } 7

b

a

N N N

b af x dx f x f x f x f x

N

f x f x f x

'' ,f x M M R

3

3 281N

b aR x

M N

Өргөтгөсөн интеграл

Тодорхой интегралын ойлголтыг төгсгөлгүй

завсарт эсвэл интеграл доорх зааглагдаагүй

байх тохиолдлуудад өргөтгөн тодорхойлж

болно. [а,] дээр тодорхойлогдсон бөгөөд

дурын төгсгөлөг [a,В], а<В хэрчимд

интегралчлагдах f(х) функц өгөгджээ.

Тодорхойлолт 8.1

хязгаарыг f(х) функцийг 1-р төрлийи өргөтгөсөнинтеграл гэж нэрлэнэ. Тэмдэглэхдээ

Хэрэв (1) хязгаар төгсгөлөг бөгөөд харгалзахөргөтгөсөн интеграл (2)-ийг нийлэх өргөтгөсөнинтеграл гэнэ. Харин (1) хязгаар төгсгөлгүйэсвэл эс орших бол харгалзах өргөтгөсөнинтегралыг сарних интеграл гэнэ.

lim 1

B

Ba

f x dx

lim 2

B

Ba a

f x dx f x dx

Дээрхийн адилаар дараах өргөтгөсөн

интегралуудыг тодорхойлдог.

Геометрийн үүднээс нийлэх өргөтгөсөн

интеграл нь зураг 1-д харлуулсан дүрсүүд

төгсгөлөг талбайтай гэсэн үг юм.

lim 3

b b

AA

f x dx f x dx

Хэрэв (2) интегралын доорх функц f(x)-ийн эх

функц нь F(х) байвал өргөтгөсөн интегралын

тодорхойлолт, Ньютон-Лейбницын томъѐоноос

дараах тэнцлүүд гарна. Үүнд:

Иймд (5),(6) интегралууд

төгсгөлөг оршин байхад нийлэх болно.

lim lim lim 5

BB

aB B Ba a

f x dx f x dx F x F B F a

lim lim lim 6

b bb

AA A AA

f x dx f x dx F x F b F A

lim , limB A

F b F A

Өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг тогтоох

шинж

1- р төрлийн өргөтгөсөн интегралын нийлэх

нөхцлийг томъѐолсон шинжүүдийг авч үзье.

Теорем 8.1 (Кошийн шинж) интеграл

нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл

нь дурын >0 авахад B>0 тоо олдоод В' > В,

В" > В байх В' ба В" -н хувьд

тэнцэл биш биелэх явдал юм.

a

f x dx

''

'

B

B

f x dx

Теорем 8.2 (Жиших шинж) [а,[ завсарт

тодорхойлогдсон [а,b] хэрчимд интегралчлагдах,

сөрөг биш f(х) ба (х) функцууд, xa0a, 0f

(x)(x) байвал нийлэх интеграл байвал

нийлэх ба харин сарних интеграл

байвал сарнина.

Энэ теоремоос үэвэл "их" функцийн өргөтгөсөн

интеграл нийлбэл "бага" функцийн өргөтгөсөн

интеграл нийлэх ба харин бага функийн

өргөтгөсөн интеграл сарнивал "их" функцийн

өргөтгөсөн интеграл сарнина.

Практикт дараах хязгаарын жиших шинжийг

хэрэглэхэд дөхөмтэй.

a

x dx

a

f x dxa

f x dx

a

x dx

Теорем 8.3 [а,[ завсарт тодорхойлогдсон

эерэг функцууд f(х), (х) нь ямарч төгсгөлөг

хэрчим [а,b] дээр интегралчлагдаг байг.

Тэгвэл төгсгөлөг хязгаар

оршин байвал

интеграл нэгэн зэрэг нийлэх буюу эсвэл

сарнина.

lim 0 6x

f xL

g x

,a a

f x dx x dx

Өргөтгөсөн интегралын нөхцөлт ба абсолют

нийлэлт

Тодорхойлолт 8.2

Хэрэв нийлж байвал өргөтгөсөн

интеграл -ийг абсолют нийлэх интеграл

гэнэ.

Харин сарниж нийлж байвал

түүнийг нөхцөлт нийлэх интеграл гэнэ.

a

f x dx

a

f x dx

a

f x dxa

f x dx

энэ тэнцэл бишээс

тэнцэл биелэх тул Кошийн шинжээр абсолют

нийлэх интеграл бүхэн ердийн утгаар нийлэх

интеграл байна.

Иймд тодорхойлолт 8.2 ѐсоор өгсөн интеграл

абсолют нийлнэ. 1-р төрлийн өргөтгөсөн

интегралын нийлэлтийг тогтоох хүрэлцээтэй

нөхцлийг томъѐолсон Абель-Дирихлегийнн

шинжийг авч үзье.

f x f x'' ''

' '

B B

B B

f x dx f x dx

Теорем8.4 [а,[ тодорхойлогдсон тасралтгүй

f(х), (х) функцүүд өгчээ. Мөн аргумент х

үед (х) тэг рүү монотон тэмүүлэх ба ’(х)

тасралтгүй, ха үед f(х) функц нь зааглагдсан

эх функц F(х)-тэй бол

нийлэх интеграл байна.

7a

f x dx

Өргөтгөсөн интегралд хувьсагч солих,

хэсэгчлэн интегралчлах

Өргөтгөсөн интегралын тодорхойлолт

хязгаарын чанараас дараахи чанарууд мөрдөн

гардаг.[а;[ завсарт тодорхойлогдсон

тасралтгүй функцүүд f(х) ба (х) өгөгджээ.

1. Өргөтгөсөн интеграл нь шугаман шинж

чанартай. Ө.х:

,

a a a

R

f x x dx f x dx x dx

2. Хэсэгчлэн интегралчлах томъѐо хүчинтэй.

Энд

3. Хэрэв f(х) функц [а;[ дээр тасралтгүй (t)

функц [,] тасралтгүй

дифференциалчлагдах бөгөөд () = а,

бол өргөтгөсөн интегралд хувьсагч солих

томъѐо

хүчинтэй байна.

' 'a

a a

f x x dx f x x x f x dx

lima x

f x x f x x f a a

limt

'a

f x dx f t t dt

2-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл

[а,b[ дээр тодорхойлогдсон,

Ө.х: үед зааглагдаагүй f(х) функц

өгөгдсөн байг. Энэ тохиолдолд х=b цэгийг f(х)

функцийн онцгой цэг гэнэ. Мөн > 0 авахад

f(x) функц [а; b-] хэрчимд интегралчлагдана

гэж үзье.

Тодорхойлолт 8.3 Хэрэв хязгаар

төгсгөлөг оршин байвал түүнийг зааглагдаагүй

функц f(х)-ийн өргөтгөсөн интеграл буюу 2-р

төрлийн өргөтгөсөн интеграл гэнэ.

0lim

x bf x

x b

0lim

b

a

f x dx

Тэмдэглэхдээ:

Үүнтэй адилаар х = а нь f(х) функцийн онцгой

цэг байвал харгалзан 2-р төрлийн өргөтгөсөн

интегралыг дараах томъѐогоор тодорхойлъѐ.

Хэрэв а < с < b, х = с нь f (х)-ийн онцгой цэг

бол 2-р төрлийг өргөтгөсөн интегралыг

0lim 8

b b

a a

f x dx f x dx

0lim 9

b b

a a

f x dx f x dx

0 0lim lim 10

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

гэж тодорхойлно. (8)-(10) томъѐон дахь

хязгаарууд төгсгөлөг оршин байвал харгалзах

2-р төрлийн өргөтгөсөн интегралыг нийлж

байна гэж хэлдэг. Нийлэх интегралыг

геометрийн үүднээс дараах зургаар схемчилвэл

f(х)-ийн эх функц F(х), онцгой цэг х = b, (х = а)

байвал (8), (9) томъѐоноос өргөтгөсөн

интегралыг бодох дараах томъѐо гарна.

0 0

0

lim lim

lim 0

b bb

aa a

f x dx f x dx F x

F b F a F b F a

0 0

0

lim lim11

lim 0

b bb

aa a

f x dx f x dx F x

F b F a F b F a

Эндээс үзвэл F(b-0), {F(а+0)} төгсгөлөг

хязгаар оршин байх тохиолдолд харгалзах

өргөтгөсөн интеграл нийлдэг байна. 1-р

төрлийн интегралын нийлэлтийг тогтоох

шинжүүд, хувьсагч солих арга, хэсэгчлэн

интегралчлах аргыг 2-р төрлийн өргөтгөсөн

интегралд хэрэглэж болно.

Өргөтгөсөн интегралын гол утга

]-;+[ дээр тодорхойлогдсон, [a,b]R дээр

интегралчлагдах f(x) функц өгөгджээ.

Тодорхойлолт 8.4 Хэрэв төгсгөлөг

хязгаар оршин байвал өргөтгөсөн интеграл

гол утгаараа нийлж байна гэнэ.

Энэ хязгаарыг f(х) функцийн өргөтгөсөн

интегралын гол утга гэж нэрлэнэ.

Энд V.Р- valeurprincupal гол утга гэсэн үгийг

товчилжээ. Хэрэв а < с < b, х = с цэг f(х)-ийн

онцгой цэг бол интегралын гол утгыг

lim

A

AA

f x dx

f x dx

. lim 12

A

AA

V P f x dx f x dx

b

a

f x dx

гэж тодорхойлно.

0. lim 13

b c b

a a c

V P f x dx f x dx f x dx