0

Kinh nghiệm“GiảI hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ”

II. GiảI quyết vấn đề:

Phương pháp1: Phương pháp đánh giá bằng tập xác định

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

11

11

xy

yx

(Đề thi vào trường chuyên tĩnh)

Lời giải

Điều kiện

0

0

y

x Suy ra

11

11

xy

yx

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0

Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0

Phương pháp2: Đánh giá bằng bất đẳng thức

1

Ví dụ1: Giải hệ phương trình (I)

043147

0232

222

yxx

yxyx

Lời giải

Viết lại (I)

)2(0)1(3)1(7

)1(2)1(32

22

yx

xyx

Từ (1) suy ra y 2 = 1

22 x

x 1 1y 1 + y 3 0

Lại có (x - 1) 2 0 , x nên (2)

01

0)1(3

2

y

x )3(

1

1

y

x

Kết quả (3) thỏa mản (1)

1

1

y

xlà nghiệm duy nhất của hệ

phương trình (I)

Vídụ2: Giải hệ phương trình

)2(3

)1(2008200720072007

222

zyx

xzyzxyzyx

Lời giải

Ta có (1) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0

(x - y) 2 + (y - z) 2 + (x - z) 2 = 0 (3)

Vì (x - y) 2 0; (y - z) 2 0; (x - z) 2 0 với mọi x;y;z

(x - y) 2 + (y - z) 2 + (x - z) 2 0 với mọi x; y; z

(3) x –y = y – z = z – x = 0 x = y = z

Thay vào (2) ta có:

3x 2007 = 3y 2007 = 3z 2007 = 3 2008 x 2007 = y 2007 = z 2007 = 3 2007

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3

Phương pháp3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ

Ví dụ1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2

(I)

2

2

2

1

1

113

ayy

yx

yax

(Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001)

Lời giải

Để ý yyyy

11

1 2

2 nên hệ (I) (II)

22

2

1

113

ayx

yax

Điều kiện cần

Thấy rằng nếu có nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì hệ cũng có nghiệm (x 0 ,-y 0 )

Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y 0 = 0

Thay y 0 = 0 vào (II) ta có

21

13

ax

ax

3

4

1

a

a

Điều kiện đủ

a = -1, hệ (II) trở thành

11

113

2

2

yx

yx x = y = 0

a = 3

4, hệ (II) trở thành

9

161

113

43

2

2

yx

yx

09

7

y

x

Hệ có nghiệm duy nhất

09

7

y

x

Vậy tập hợp các giá trị của a tương thích với yêu cầu bài toán là

3

4;1 aa

Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

axxy

ayx

355

3

22

2

Lời giải*Điều kiện cần

3

Thấy rằng, nếu hệ có nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì nó cũng có nghiệm (-x 0 ,-y 0 ),

(-x 0 ,y 0 ),(x 0 ,-y 0 ).Bởi vậy, nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là x 0 = y 0 = 0

Thay vào hệ ta có a = 3

*Điều kiện đủ

Với a = 3 , hệ trở thành

)2(55

)1(33

22

2

xxy

yx

Để ý: 332 yx Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0.

Suy ra (1) x = y = 0. Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2)Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ

Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a = 3

Phương pháp 4: Đặc biệt hóa một ẩn

Ví dụ1: Giải hệ phương trình (I)

12

3222

222

xyxzyzyx

yzxzxyzyx

(Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004)Lời giải

Viết lại (I) (II)

01)()(

03)()(2

22

yxzyx

zyxzyx

Đặt

yxv

yxu

2

2vu

y

vux

Hệ (II) trở thành (III)

01

032

22

zvv

zzuu

Hệ (III) có nghiệm

0

0

v

u

4

42

2

z

z z = 2

*Với z = 2 ta có (III) u = v = 1

0

1

y

x

Hệ đã cho có nghiệm (1;0;2)

4

*Với z = -2 ta có (III) u = v = -1

0

1

y

x

Hệ đã cho có nghiệm (-1; 0; -2)

*Tóm lại: Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2)

Nhận xét: - Số ẩn nhiều hơn số phương trình suy ra đặc biệt hóa một

ẩn xem là tham số

- Sự vắng mặt hạng tử z 2 trong phương trình (2) cho ta thấy thiếu

bình đẳng của nó đối với x và y

- Sự phân tích trên dẩn chúng ta đặc biệt hóa ẩn z, xem nó là tham

số

Ví dụ2: Giải hệ phương trình (I)

)4(0

)3(165)3)(2(

)2(84

)1(23)3(22

3

z

xxxz

yyz

yx

Lời giải

Xem z là tham số,khi đó phương trình (2) trở thành 4(y - 1) 2 = 4 - z 2 (i)

Phương trình (i) có nghiệm khi và chỉ khi z 2 4 -2 2z (5)

Phương trình (3) trở thành : x 2 + 2(4 - z)x + 16 - 6z = 0 (ii)

Phương trình (ii) có nghiệm 0 x z(z - 2) 0 )6(2

0

z

z

Từ (4), (5), (6) suy ra

2

0

z

z

*Thay z = 0 vào các phương trình (i) và (ii) sẻ lần lượt có

x = - 4,

2

0

y

y

Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phương trình (I) (7)

Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phương trình (I)

(8)

*Thay z = 2 vào các phương trình (i) và (ii) ta sẻ lần lượt có x = -4 ; y = 1

(9)

5

Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phương trình (I)

(10)

*Từ (7),(8),(10) kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là (- 4; 2; 0) và (- 4; 1; 2)

Nhận xét:

Sự có mặt của bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt của ẩn z đối với hệ

đã cho

Khi z được đặc biệt hóa, thì (2),(3) theo thứ tự trở thành phương trình một

ẩn đối với x,y.

Nhờ đó ta thu được các đánh giá độc lập đối với biến z

Phương pháp5: Đánh giá giữa các ẩn

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của hệ

)3(2

)2(2

)1(2

200720072008

200720072008

200720072008

yxz

zxy

zyx

Lời giải

Ta sẻ chứng minh x = y = z. Thật vậy:

Do vai trò của x , y , z như nhau nên không mất tính tổng quát,giả sử

x y và x z (4)

Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên:

Từ (1),(2),(4) 2x 2008 = y 20072007 z x 20072007 z = 2y 2008

2x 2008 2y 2008 x y (5)

Từ (1),(3),(4) 2x 2008 = y 20072007 z y 20072007 z = 2z 2008

2x 2008 2z 2008 x z (6)

Từ (4),(5),(6) suy ra x = y = z

Thay vào (1) ta có 2x 2008 = x 20072007 x = 20072x suy ra x = 1 (do x > 0)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1

Phương pháp 6: Đánh giá bằng tính chia hết

6

Ví dụ: Chứng tỏ rằng hệ phương trình

)3(671

)2(670

)1(667

20052008

20052008

20052008

xz

zy

yx

không có nghiệm nguyên

Lời giải

Cộng vế theo vế của (1),(2),(3) ta được:

x 2008 + y 2008 + z 2008 = x 2005 + y 2005 + z 2005 + 2008 (x 2008 - x 2005 )+ (y 2008 - y 2005 ) + (z 2008 - z 2005 ) = 2008 x 2005 (x 3 - 1) + y 2005 (y 3 - 1) + z 2005 (z 3 - 1) = 2008 x 2005 (x- 1)x(x + 1) + y 2005 (y- 1)y(y + 1) + z 2005 (z- 1)z(z + 1) = 2008 (4)

Dể thấy vế trái của phương trình (4) chia hết cho 6 (do tích của 3 số

nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6)

Mặt khác 2008 chia cho 6 có số dư là 4

Do đó phương trình (4) không có nghiệm nguyên.

Vì vậy hệ (I) không có nghiệm nguyên x,y,z

III.Kết luận - kiến nghị:

Trên đây là một vài phương pháp giải hệ phương trình bằng phương

pháp đánh giá mà trong quá trình giảng dạy tôi đã tổng hợp, sử dụng trong

quá trình dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.Đây chỉ là kinh nghiệm nhỏ về

cách giải hệ phương trình trong rất nhiều phương pháp giải hệ phương trình

chúng ta đã gặp. Mong nhận được sự góp ý chân thành từ các thầy cô giáo

và các bạn đồng nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

7

8