1

)

Ondas. Velocidad de fase. Velocidad de grupo. Supongamos dos ondas armónicas cuyas ecuaciones son: ( ) ( xktωAcosy;xktωAcosy 222111 −=−=

siendo, ω1 muy parecida a ω2.

T2πω = ; k =

kω

ω2πk2π

Tλv;

λ2π

===

Si estas dos ondas se superponen

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ))1(

2kkxωω

cos2

kkxωωAcos2Y

xktωcosxktωcosAY

21212121

2211

−−−+−+=⇒

⇒−+−=

Designamos como valores promedios a

M21

M21

P21

P21 k

2kk;ω

2ωω;k

2kk;ω

2ωω

=−

=−

=+

=+

Teniendo en cuenta que ω1 es muy parecido a ω2, ωP es muy diferente de ωM. Sustituyendo en la ecuación (1) resulta:

( ) ( ) ( xktωcosxktωcos*xktω2AcosY PPPPMM −=−−= A ) Caso a)

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−==−= x

16157,5t2cosxktωAcosy;x-8t2cosxktωAcosy 222111

1M

1P

1M

1P m

321k;m

3231k;s0,25ω;s7,75ω −−−− ====

sm8

16157,5

kωv;

sm8

18

kωv

2

22

1

11 ======

La velocidad de propagación de las dos ondas es la misma, decimos que el medio en el que se propagan es un medio no dispersivo.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= x

1631t*7,75cos*Y;x

1610,25tcos*2*2 AA

Ahora fijamos un valor de t=0 y damos sucesivos valores a x en ambas ecuaciones y hacemos la representación gráfica simultanea de A e Y .Luego le damos otro valor a t y representamos juntos A e Y. Seguimos repitiendo el proceso para distintos valores de t. Todas las graficas las colocamos una debajo de las otras y obtenemos la fig.1.

2

Fig.1

A la vista de la figura 1, podemos deducir: a) Existe una onda envolvente sobre el conjunto

100,

1612π

k2πλ

MM ===

A esta envolvente la llamamos modulada y corr b) Dentro de esta envolvente existe un conjuntde onda es:

4,6

32312π

k2πλ

PP ===

c) Observamos que la envolvente se desplaza hace. Para observarlo se ha colocado en el dibuna pequeña flecha que sigue a un máximo deconstante con el tiempo, por tanto, la velocidmisma. Esta situación se da en un medio en dque se denomina un medio no dispersivo. Podemos calcular las velocidades de la envolve

v;sm8

321

0,25kωv P

M

MM ===

de ondas. La longitud de onda de esta envolvente vale:

m5

esponde al valor de A.

o de ondas que corresponde a la función Y, cuya longitud

m

de izquierda a derecha y el conjunto de ondas también lo ujo un punto que sigue el movimiento de la envolvente y l conjunto. La distancia entre flecha y punto se mantiene ad de la envolvente y la del conjunto de ondas es la onde las dos ondas se propagan a la misma velocidad, lo

nte (modulada) y del conjunto de ondas

sm8

3231

7,75kω

P

P ===

3Caso b)

( ) ( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−==−= x16,514,57,5t2cosxktωAcosy;x-8t2cosxktωAcosy 222111

1M

1P

1M

1P m

332k;m

3331k;s0,25ω;s7,75ω −−−− ====

sm8,53

16,514,57,5

kω

v;sm8

18

kω

v2

22

1

11 ======

La velocidad de propagación de las dos ondas es diferente, decimos que el medio en el que se propagan es un medio dispersivo.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= x

3331t*7,75cos*Y;x

3320,25tcos*2*2 AA

Ahora fijamos un valor de t=0 y damos sucesivos valores a x en ambas ecuaciones y hacemos la representación gráfica simultanea de A e Y .Luego le damos otro valor a t y representamos juntos A e Y. Seguimos repitiendo el proceso para distintos valores de T,. Todas las graficas las colocamos una debajo de las otras y obtenemos la fig.2.

A la vista de la figura 2, podemos deducir: a) Existe una onda envolvente sobre el grupo de ondas .la longitud de onda de esta envolvente vale:

m7,103

332

2πk2πλ

MM ===

A esta envolvente la llamamos modulada y corresponde al valor de A. b) Dentro de esta envolvente existe un conjunto de ondas que corresponde a la función Y, cuya longitud de onda es:

m69,6

33312π

k2πλ

PP ===

Fig.2

4 c) Observamos que la envolvente se desplaza de izquierda a derecha y el conjunto de ondas también lo hace. Para observarlo se ha colocado en el dibujo un punto que sigue el movimiento de la envolvente y una pequeña flecha que sigue a un máximo del conjunto. La distancia entre flecha y punto no se mantiene constante con el tiempo, por tanto, la velocidad de la envolvente es menor que la del conjunto. Esta situación se da en un medio en donde las dos ondas no se propagan a la misma velocidad, lo que se denomina un medio dispersivo. Podemos calcular las velocidades de la envolvente (modulada) y del conjunto de ondas

MPP

PP

M

MM 2vv

sm8,25

3331

7,75kωv;

sm4,13

332

0,25kωv =⇒======

La velocidad del conjunto es doble que la velocidad de la envolvente o modulada. Caso c)

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−==−= x

31297t2cosxktωAcosy;x-8t2cosxktωAcosy 222111

1M

1P

1M

1P m

311k;m

3130k;s0,5ω;s7,5ω −−−− ====

sm48,7

31297

kωv;

sm8

18

kωv

2

22

1

11 ======

La velocidad de propagación de las dos ondas es diferente, decimos que el medio en el que se propagan es un medio dispersivo.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= x

3130t*7,5cos*Y;x

3110,5tcos*2*2 AA

Ahora fijamos un valor de t=0 y damos sucesivos valores a x en ambas ecuaciones y hacemos la representación gráfica simultanea de A e Y .Luego le damos otro valor a t y representamos juntos A e Y. Seguimos repitiendo el proceso para distintos valores de t. Todas las graficas las colocamos una debajo de las otras y obtenemos la fig.3.

5 Fig.3 A la vista de la figura 3, podemos deducir:

a) Existe una onda envolvente sobre el grupo de on

8,194

3112π

k2πλ

MM ===

A esta envolvente la llamamos modulada y corresp b) Dentro de esta envolvente existe un conjunto dede onda es:

49,6

31302π

k2πλ

PP ===

c) Observamos que la envolvente se desplaza de ihace. Para observarlo se ha colocado en el dibujo una pequeña flecha que sigue a un máximo del con

das .La longitud de onda de esta envolvente vale:

m

onde al valor de A.

ondas que corresponde a la función Y, cuya longitud

m

zquierda a derecha y el conjunto de ondas también lo un punto que sigue el movimiento de la envolvente y junto. La distancia entre flecha y punto no se mantiene

6constante con el tiempo, por tanto, la velocidad de la envolvente es mayor que la del conjunto. Esta situación se da en un medio en donde las dos ondas no se propagan a la misma velocidad, lo que se denomina un medio dispersivo. Podemos calcular las velocidades de la envolvente (modulada) y del conjunto de ondas

MPP

PP

M

MM v

21v

sm57,7

31307,5

kωv;

sm5,51

311

0,5kωv =⇒======

La velocidad del conjunto es la mitad que la velocidad de la envolvente o modulada. En los libros de texto se deduce que la velocidad de grupo viene dada por la expresión

dkdωvg =

Para los casos sencillos tratados anteriormente

21

21g kk

ωωdkdωv

−−

==

Que es la formula que hemos empleado para calcular la velocidad de la onda modulada.

Otros ejemplos 1) Radiación electromagnética en el vacío

La relación de dispersión es cdkdωvckω g ==⇒=

La velocidad de la fase es: ckωvg ==

La velocidad de grupo y la de fase son iguales a c (velocidad de la luz) para la radiación electromagnética en el vacío. 2) Ondas electromagnéticas en la ionosfera La relación de dispersión para ondas sinusoidales es 222

p2 kcωω +=

ωp es cuna constante. De la expresión anterior

2gf

22 cv*vcdkdω

kωdkk2cdω2ω =⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

7

c

kcω

1

ckcω

kckcω

kcω

kcdkdωv

22

2p

2

222p

24

222p

22

g ≤

+

=+

=+

===

La velocidad de la fase es: cvf ≥ Aun cuando la velocidad de la fase sea mayor que c, la velocidad de grupo es menor. Esto quiere decir que una señal no puede transmitirse a mayor velocidad que la luz. 3) Ondas superficiales en un líquido Para ondas armónicas y para cuando la profundidad del líquido no sea muy grande comparada con la longitud de onda la velocidad de propagación es:

λρT2π

2πgλv +=

T es la tensión superficial y ρ la densidad. Para el agua T = 72.10-3 N/m y ρ = 1.103 kg/m3

Cuando la longitud de onda es grande el primer término es mucho mayor que el segundo, por ejemplo para una longitud de onda de 5 metros

53

3

9.105*1.10

72.10*2πλρT2π;7,8

2π5*9,8

2πgλ −

−

====

La expresión de la velocidad de las ondas es:

kg

==2πgλvf

Podemos hacer uso de otra ecuación que viene en los textos de Física y que relaciona la velocidad de grupo con la velocidad de fase

dkdvkvv fg +=

fffgf

2f v

21v

21vv

2kv

kg

kg

2k1

kg2

k1g

dkdv

=−=⇒−=−=−

=

La velocidad de grupo es la mitad que la velocidad de fase.

8 4) Ondas de agua profunda La relación de dispersión para ondas de agua profunda está dada por la siguiente ecuación

ρ

Tkgkω3

2 += ; mN72.10T;

mkg10ρ 3

33 −==

a) Calcule la longitud de onda para las ondas en las que la velocidad de fase y de grupo son iguales b) Represente la velocidad de grupo, en el eje Y, frente a la de fase en el eje X.

a)

cm1,7m0,017

72.109,8*10

2πλ

λ2π

Tρgkg

ρTk

ρTk22gk

ρTk3gk

kρ

Tkgk

ρTkgk2

ρTk3g

kρ

Tkgk

kωv;

ρTkgk2

ρTk3g

dkdωv

3

3

233

3

3

23

f3

2

g

===

⇒==⇒=⇒+=+⇒

⇒+

=

+

+⇒

+==

+

+==

−

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6

velocidad de la fase /m.s-1

velo

cida

d de

l gru

po /m

.s-1