Geometr 8kl roganin_2016

1

8

2016

2

51(075.3) 22.1723 59

, - 8 - :

. ., - 1 , ;

. ., - - , ;

. ., - . . , - .

( 10.05.2016 . 491)

., ., ., 2016

ISBN 978-966-07-3027-4 , -, 2016

.

59

: . 8 . . . . / . , . , . . - : , 2016. 256 .

ISBN 978-966-07-3027-4

51(075.3) 22.1723

3

!

- . 8 , , , , . - . , - .

, , , - , .

: , . , , - . , - . , . , . , .

. , , .

, , , , , , , . - .

, , , , (), , , . : , , .

4

, - .

8 .

!

6 1.

1.

1. .

. 1

, , (. 1 ). - : D E (. 1 ). , ABCDE. . 1 ) ADE.

. . , - , . , ABCDE (. 1 ) , D .

2. .

ABCDE (. 1 ) : - . . - ADE (. 1 ) : D . .

) ) )

, - , -, - .

, .

1.1. 7

3. .

. 2

D ABCD (. 2 ), - D (. 2 ). . .

, .

, . , - MOPKL : M, O, P, K L : MO, P, K, KL LM.

1. , : ) ;

) . 2. ,

. 3. , : ) -

; ) . 4. : ) MPKO; ) -

ML? . 5. , :

) ; ) ; ) ?

6. , : ) ; ) ? .

7. , . , ?

) )

, -.

8 1.

1. .

. 3

. 3 ) ) , , , , - . .

.

, , , . - , . , , - . , . , 3 ) ABCD.

, , - , , , . , , , , , . - .

. 3 ) ABCD. A, B, C D , , , D D . -

) ) )

, , , , .

1.2. 9

. A C, B D , D D .

- - (. . 15).

. . PABCD = + + D + D.

.

. 4

ABCD AC BD, MOPK MP OK (. 4).

. ABCD (. 5 ).

, D, - (. 5 ). D . . 5 ) ABCD B.

. 5

, - .

) )

) ) )

10 1.

. , -, .

, , .

2. .

().

. 6

. 6 ) ) ABCD. - ( ): AB (. 6 ), B (. 6 ), CD (. 6 ) AD (. 6 ). : , , . - .

. 7

) ) ) )

, , .

) ) ) )

1.2. 11

MOPK, . 7 ) ), MO MK (. 7 ) ). OP PK MOPK (. 7 ) ), OP PK .

() , , - .

.

3. .

. 8 . ABCD

(. 8). , A + B + C + D = 360. , , AC. -

ABCD ABC ADC. , , 14. -: 1 + + 3 = 180 ( ABC), 2 + D + 4 = 180 ( ADC). :

1 + + 3 + 2 + D + 4 = 180 + 180. (1 + 2) + B + D + (3 + 4) = 360; A + B + D + C = 360.

8. MNKL,

. ) : ; ; ; ) ; ) , .

360.

12 1.

9. MPOL. , . , -.

10. AODK , -.

11. , : ) 3 , 5 , 7 12 ; ) 3 , 5 , 7 16 ; ) 4 , 6 , 8 18 ? , .

12. 220. - .

13. 180. - ?

14. . ?

15. , 100; 110 120.

16. , . ? , - .

17. , . ? , - .

1

, , , , . - .

13

, .

, .

, , , -, .

.

D = AB + BC + CD + DA

-, -.

-, - , .

14 1.

1. , - . . ABCD (. 9). -

, , AB < BC + CD + AD.

. 9

, , AC. - :

AB < BC + AC; (1) ACD:

AC < CD + AD. (2) (1)

CD AD (2), AB < BC + CD + AD.

2. , 1, 2, 3 4.

x, 2x, 3x 4x. - 360, x + 2x + 3x + 4x = 360. : 10x = 360; x = 36. 2x = 72; 3x = 108; 4x = 144.

: 36; 72; 108; 144.

360.

+ + + D = 360

, 15

.

ABCD (. 10) - : AB D. BD : ABD CBD. ABCD (. 11) BD; - .

. ABCD (. 10). -

. , AC BD .

, , , , . , AC BD, BD AC. , AC BD -, AC BD. , AC BD , .

1. , .

2. (. .), - ?

,

. 10 . 11

.

16 1. . (. 11)

. , - .

1. , : ) ; )

; ) . 2. , -

. 3. , : ) ;

) . 4. .

? 5. ? 6. . 7. .

18. . 12 , , D. ) BCDA ACDB ? ) , . ) , . ) , D. ) , . ) ,

.

. 1

1

17

. 12 19. 3 , 7 9 , -

36 . . 20. ,

25 2 , 10 , 13 .

21. 64 . -, 2, 3, 4 7.

22. : ) ; ) ; ) ?

23. , - 2, 5, 8 9.

24. D = , = 100, D = 40. - .

25. D, = 40, = 150, = 100.

26. ABCD, AD = 6 , A = 110, AB = 4 , B = 90 BC = 5 .

27. ABCD, AD = 6 , AB = 3 , A = 90, D = 70 B = 120.

28. ABCD, AD = 5 , A = 80,

D = 70, AB = 4 DC = 3 . 29. D, , -

.

18 1.

30. MNKP NK MP . N P, = 41, K = 125.

31. 29 . , 26 27 .

32. , 15 32 33 .

33. , . 34. ,

. 35. ABCD BD B,

AB BC . , D CD .

36. MOKL . , O L .

37. ABCD AB = 2 ; AD = 4 ; CD = 3 , AC = 5 A = 120.

38. ABCD AB = 4 , AD = 6 CD = 2 AC = 7 , BD = 2 .

39. , 82 ,

2 , .

40. ABCD AB = BC AD = CD. , - .

41. ABCD AC A C . - 32 , AB 7 . .

42. , .

43. . 44. . 45. M, O P, .

K, MOPK .

19

-

. , - (. 2000 . .).

-, - .

:

, , , . VIII -. - , .

(. 2000 . . .)

(XIV .) -

- - , - . , - . , . . , - , -.

. . (1801 1862)

20 2.

2. 2.1.

1. .

. 13 a b c d. ABCD. .

. 13

, -

. , , -, 360. .

2. .

.

, , , , 180. ABCD (. 13): + B = 180, + = 180, + D = 180 D + = 180.

. ABCD (. 14 ). -

, AB = CD, BC = AD A = C, B = D.

, - .

, - , 180.

.

2.1. 21

. 14

1. , , AC. : ABC CDA (. 14 ). - , A C, 14.

2. ABC CDA. AC , 1 = 3 AB||CD AC, 2 = 4 - B||AD AC. , ABC = CDA - ( ).

3. , AB = CD, BC = AD B = D (. 14 ).

4. A C : A = 1 + 2, = 3 + 4. .

3. .

. 15

. ABCD . AC BD, (. 15). O.

, = B = D. 1. . -

, , , D = O. AD = BC ( ) 1 = 3

) ) )

) ) )

.

22 2.

AD||BC AC, 2 = 4 AD||BC BD. , D = O.

2. , = B = D. .

4. .

. 16 ABCD a b, AD BC . MN, BP, ST LO a b. .

. 16

. -

ABCD . 17 ) BN BM B, . 17 ) CK CP C.

. 17

- , -. - .

) )

2.2. 23

46. ACDK, .

: ) ; ) ; ) ; ) .

47. -: ) ; ) ; ) -?

48. 2 5 . ? : ) ; ) -?

49. a b . P ?

50. ABCD A = 50. ? 51. 90. ? -

? 52. ABCD .

: ) ; ) . 53. , . 18?

. 18

-,

, - . .

1. .

(. 19 ). -: AD = BC (. 19 ). AB CD (. 19 ). -

) ) )

24 2.

ABCD, , -? .

. 19

. ABCD , - , , AB = CD AB||CD (. 20). , ABCD .

. 20

1. , , AC. , : ABC DCA.

2. ABC = CDA ( ). AC , AB = CD , BAC = DCA AB||CD AC.

3. ABC CDA , BCA = DAC .

) ) )

, .

2.2. 25

4. BCA DAC BC AD AC, BC AD.

5. , ABCD (AB||CD , BC||AD ).

2. .

A, , - B = a; AD = b (. 21 ).

, b, D, a (. 21 ). .

. 21

C B D (. 21 ). -, . , , ? .

. ABCD , -

: AB = CD BC = AD. , ABCD .

. 22

) ) )

, .

) )

26 2.

1. , , BD (. 22 ). BAD DCB, .

2. 14 , BD B D (. 22 ). , 1 = 2, 3 = 4.

3. 1 2 AD BC BD, , AD||BC ( ).

3 4 AB CD BD, , AB||CD.

4. , ABCD , -, , . .

3. .

a b, (. 23 ). - a OA OC, b OB OD (. 23 ).

. 23

A, B, C D (. 23 ). ABCD ?

.

) ) )

, .

2.2. 27

. ABCD , : A = C, OB = OD (. 24 ). , ABCD .

. 24

1. D (AO = OC, BO = OD , AOB = COD ).

2. AOB COD BAO DCO (. 24 ). AB CD AC, AB CD .

3. AOD COB - D BC (. 24 ).

4. , ABCD (AB||CD AD||BC). , ABCD ( ).

54. , -

: ) ; ) ; ) -; ) ?

55. , -, 3 . . .

56. , - 4 , 3 . .

57. O. , - , O.

) ) )

28 2.

2

-, -.

, - , 180.

+ = 180, + = 180, + D = 180, D + A = 180

.

= D, C = AD, = C, B = D

- .

= , = D

, .

29

1. , 120.

, .

, , 180. , + 120

. : + + 120 = 180; 2 = 60; = 30; + 120 = 150. , 30 ; 150 .

, - 30; 150; 30; 150.

: 30; 150; 30; 150.

2. , , 42 .

, . ,

. , 42 : 2 = 21 (). ( ), 2 ( ).

: + 2 = 21; 3 = 21; = 7; 2 = 14; = 7.

, -.

, -.

, -. .

MN D, EF AD

30 2.

, 7 ; 14 ; 7 ; 14 .

: 7 ; 14 ; 7 ; 14 .

. D (. 25), A

, .

. 25

1. = DAM . 2. AMB = DAM -

AD . 3. DAM, . 4. , ( ).

. ,

. BK , D (. 26).

, = C = .

. 26

K ( = K = 90), , = 90 CBK = 90 . MBK = ( + BK) =

3

, .

- 4

, , () , - () .

31

= ABC (90 + 90 ) = ABC (180 2). 180, : = 180 . , MBK = 180 (180 2) = 180 180 + 2 = , MBK = , . , - , .

. BCD , = = = D = (. 27).

. 27

: + + + = 360; 2( + ) = 360; + = 180. , + = 180 + D = 180. AD . + = 180, , AD||. D - D D. + + D = 180, ||CD. , ABCD ||CD ||D. , ABCD .

1. , , .

. , - .

- 5

, -.

32 2.

2. . - ?

3. . ? ?

1. ? 2. : ) ;

) ; ) ; ) ?

3. : ) ; ) ; ) . 4. -: ) ; ) . 5. : ) ; ) ; ) . 6. .

. 2

33

58. 250.

. 59. 70. ,

. 60. D -

: = 20, = 30. . 61. 290. -

. 62. ,

40. 63. , 4

. 64. , : ) 62;

) 20; ) 4 : 11.

65. 12 , 3,5 . .

66. 48 . -, 6 .

67. 3 : 4, - 28 . .

68. D . CD, BD 16 , 30 40 . - .

69. 6 8 , - 30. .

70. 7 9 . -, 150.

71. ABCD A + B = 180 A + D = 180. , ABCD .

2

2* . . 8 .

34 2.

72. MNOK KMO = NOM MK = N. , MNOK .

73. FSPT Q SQ = 8 , TQ = 0,8 , FQ = 120 , FP = 24 . - ?

74. MNKP MN KP . MK . , MNKP -.

75. ABCD CD CK. , MBKD .

76. , 3 . - , 3 , 50.

77. , 3 4 , 40.

78. , 6 8 , 30.

79. , 4 5 , - 6 .

80. MNKP MN = KP, MNP = KPN. ,

MNKP . 81. , 80%

. 82. 20% .

, 88 . 83. 1 : 5. -

, 16 20 . 84. 120, -

9 12 . . 85. , ,

29 . , 36 .

35

86. , 28.

. 28

87. 40 . , 18 .

88. BC ABCD BM, - AB. , AM .

89. , - - , , -. ?

90. ABCD BD BM DK, BD. , AMCK .

91. ABCD AB CD AF C. , BD EF .

92. ABCD CD F P , ADF = CBP (. 29). , FBPD -.

. 29

93. FBPD (. 29), ADF = CBP. , - D .

36 2.

94. 30 D . BD . , KBMD , , K AD.

. 30

95. . 96. , , ,

. 97. , , ,

. 98. ,

.

99. , -

, 2 . , 24 .

, . 101. D , 60, -

, AD 10 . 100 . -.

, - .

, - , , - .

104. 5 4 , . - .

37

105. , . , 36 .

106. D DK BAD CDA (. . 31). 64 . , EK = 5 .

. 31

107. , 56 , , 8 . .

108. 16 , 17 . .

109. MNKP . , AB = 50.

110. , , 30 4 7 . -.

111. , , - 150 5 8 . .

, -.

. . 113. B D ABCD AC -

BO DK. , BKDO .

114. BC AD ABCD M K, , BM = KD. , AC MK .

38 2.

115. D , = , BD N D , BN = DQ (. 32). -, MNPQ .

. 32

116. ABCD D - M K. , , , D K -.

117. , , , - , , . . .

118. , b mc, .

119. : - - , .

120. . 121. . 122. .

-

, , , . -

(VI . . .).

39

, ( . . .). . .

-

. : , .

, b , . , , b. , 2 + 2b. 4d (d ), a + b = 2d, , - , . , , .

- - XVII . - 1804 . - - . , - , - .

. . (1765 1832)

40 2.

1. , , D

D?

3. D 35, ...

55; 35; 145; 180.

4. , -

18 , 6 . 5. D. -

COD, = 7 , = 12 , BD = 8 . 6. , 72.

1 2

2. -

D. ? ; OD; OB; AC.

7. D , AD = = 15 , AM = 10 , BK = 5 . , AKCM .

41

9. BD ABCD 67, AD 53. .

10. .

, 48 .

12. 72

38. .

8. AM ABCD, K . , BKAM.

11. - , PBTQ -. -, 25 .

42 3. . .

3. . . 3.1.

1. .

. 33 , . . - .

. 33

, -

. , , , .

: .

. ABCD . ,

AC BD .

. 34

) ) )

, .

.

3.1. 43

1. ABD DCA, BD CA (. 34). - AD , AB CD -. , ABD = DCA .

2. ABD DCA BD CA. , BD = CA.

2. .

-, - : . - .

. 35

O a b (. 35 ). O OA, , OC

OD (. 35 ). A, B, C D . -, . .

. ABCD , -

AC BD , O AO = OC, BO = OD (. 35 ). , ABCD .

1. AO = OC BO = OD , ABCD (- ).

.

) ) )

, .

44 3. . .

2. , A D ABCD , , , -. BAD CDA, . BAD DA AD , AB = CD ( ); AC = BD . , BAD = CDA .

3. BAD CDA , BAD = CDA. BAD + DA = 180 ( ), BAD = CDA = 90. , ABCD . , -. .

123. MOPK . -

: ) ; ) ; ) .

124. MNK. . , , .

125. , 3 4 .

126. 7 , 34 . : ) ; ) .

127. O ABCD. O , AC 12 .

128. a b, O. O, 4 . a b M N P K. - MPNK . .

129. , 3 .

3.2. . 45

1. . . 36 ABCD, AB

AD . - . .

. 36

, . -

. , -

, .

. ABCD ,

AC BD (. 37). , AC BD, -, , . , ABD = CBD.

. 37

1. AB. , AB = BC. , ABC AC.

2. O AC. , BO ABC.

, .

( )

.

46 3. . .

3. BO ABC. , ACB, , ACBD ABO = = CBO. .

2. . ,

. .

.

. a b,

(. 38 ).

. 38

OA , b O OD (. 38 ). A, B, C D . :

. ABCD , - AC BD O : AO = O, = OD. , ABCD (. 38 ) .

1. AO = OC BO = OD, - ABCD .

2. A = . , AB = C. 3. ABCD , AB = CD = AD. ,

ABD . , .

, .

) ) )

, .

3.2. . 47

130. MNPK . -

O. MNPK : ) , ; ) ; ) - .

131. ? 132. . -

, 3,5 ? 133. 30. . 134. ,

25. , . 135. a b, O.

a OA = OC = 3 , b OB = OD = 4 . A, B, D. . .

3. .

. 39 ABCD, A , . . , .

. 39

, , , .

, ; , .

48 3. . .

136. MOPK, -

: ) ; ) ; ) . 137. -

. , 3,5 . : ) ; ) -?

3

, .

. .

. - . . , - .

, .

. .

49

. , , = (. 40 ). MD = CM (. 40 ). D .

. 40

. -, .

. - , .

, ; , .

- 1

, , , .

) ) )

50 3. . .

CADB ( -) (. 40 ). D = ACB = 90,

AD = 180 ACB = 180 90 = 90; D = CAD = 90. , - CADB . -

AB = CD. , CD = , = .

2. , , -, .

ABCD , AD BMAD, - (. 41 ).

. 41

1. BD (. 41 ). : = DBM - ( , = MD ). - , AB = BD.

2. AB = AD ( ), ABD - , . = 60 .

3. = = 60 ( ). B D 180 60 = 120.

: 60; 120; 60; 120.

3. , . . , .

) )

51

. ABCD , . , , D, = D (. 42). , ABCD .

. 42

1. BMD ( = D ). 2. BD.

, BMD, , ( ). , MABD, CABD.

3. , ABCD BD -. , ABCD .

1. .

, , ?

2. , . , ?

3. , , , . ?

52 3. . .

4. - . ?

5. ? , ?

6. . -, , ?

7. -, , , , . ?

8. , , , , , , , . -?

1. :

) ; ) ; ) ? 2. :

) ; ) . 3. . 4. :

) ; ) . 5. :

) ; ) .

. 3

53

138. 6 . , 32 .

139. 2 : 3, 30 . .

140. 14 . -, 60.

141. AB ABCD 10 , AC - 16 . AB, O .

142. , 10 . .

143. 40. .

144. 70. , .

145. , 30, 5 .

146. , 6 , 40.

147. : , . 148. : 180,

. 149. 28. . 150. 32.

. 151. . . 152. , 2 : 7.

. 153. , 40

. . 154. 4 40. 155. 6 7 . 156. : , .

3

54 3. . .

157.

5 2 . . 158. 16 10 .

. 159. D,

34 . -.

160. - 36 . . .

161. , , , .

162. 2 : 3. .

163. , , - 4 : 11. , - .

164. . 165. ,

. 166. , D

12 , 1 : 3, . - .

167. : , -.

, , , . 169. . ,

45. 170. , ,

. . 171. 120, ,

, 10 . . 172. , , ,

, . , - 15 .

55

, .

174. : , - .

175. : , .

176. : -, .

177. , , , . 9 . .

178. . 179. . 180. , .

181. ,

. 182. :

, . 183. , ,

1 : 3. , - .

184. , , - , , , .

185. : , , .

186. , . , , , 18 24 .

187. . , 24 .

188. A D ABCD BC M K, M B K. , BM = 5 MK = 2 .

56 3. . .

189. . 190. . 191. ABCD .

CMD. 192. D BK BM,

60. 5 . - .

193. . , -.

194. 8 . . .

195. , 36 , , , . .

196. , . . .

197. ) , , ; ) , , , .

198. . , .

199. ) , ; ) .

, ,

. rombus (),

. , ,

57

, .

I , .

.

quadratus -. , , .

1. ?

2. 18 , ...

9 ; 36 ; 6 ; 4,5 .

3

58 3. . .

3. 25, ... 50; 90; 65; 155.

4. , 8 ,

. . 5. D 30 , -

50 . COD, .

6. , , .

7. , 12 ,

96 . 8. ,

. , 60 .

9. . 2 . K D, 4 6 . DK -.

10. ABCD N , BN = NC

NAND. , - 48 .

12. ACBD ABD

, = MD. .

11. KMTP - BD, -. , D , BD.

4.1. 59

4. .

1. .

, .

. 43

a b. a , : 1A2 = 2A3 = 3A4 (. 43 ). - , b B1, B2, B3 B4. B1B2, B2B3 B3B4 (. 43 )? , . - 1A2B2B1, 2A3B3B2 3A4B43 . : 1A2 = B1B2, 2A3 = B2B3 3A4 = B3B4, 1A2 = 2A3 = 3A4, B1B2 = B2B3 = B3B4.

c, a (. 43 ). 12, C2C3, C3C4 c?

.

) ) )

, - , .

60 4. .

. 44

A , -, 1A2 = 2A3. 1, A2, A3 , B1, B2, B3 (. 44 ) , B1B2 = B2B3.

. 1. B2 , .

C1 C3 A1B1 A3B3 (. 44 ).

2. 1B2 = A12 23 = A23 A1221 A233B2. A12 = A23, C1B2 = 23.

3. 211 = 233 : 12 = 23, 1 = 2 , 3 = 4 11||33 .

4. 211 233 12 = 23. .

2. .

.

. (. 45 ). = 5.

) )

4.1. 61

. 45

1. (. 45 ). 2. 1 = 1A2 = 2A3 = 3A4 =

= 4A5 (. 45 ). 3. 5. 4. 1, 2, 3 4 ,

5. B1, B2, B3, B4 AB (. 45 ). 5. : B1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B ( ). ,

5 .

200. .

201. ? 202. .

m||. - K. K ? . -: ) , K = 6 ; ) K, = 15 .

203. , , 3 .

) ) ) )

62 4. .

. 46 K K

. .

. 46

46 . -, . .

. (. 47 ). . || (. 47 ). K.

. 47

) )

, .

- .

) ) ) )

4.2. 63

, K . , K - , ,

K||. , K = .

1. K || (. 47 ). , , . ,

= .

2. K , . K = A (. 47 ).

3. : K = A = . , K = . .

204. . , K. . K .

205. - ? ?

206. 5 , 12 14 . .

207. , 5 , 7 10 .

208. : ) 6 8 ; ) 8,4 .

209. 6 . ? ?

64 4. .

1. , , , , K (. 48). , = 12 .

. 48

, K , K. , K , K.

4

. - , - , .

-, .

. -.

65

K = 2 = 2 12 = 24 (). = 2K = 2 24 = 48 (). : = 48 . 2. 1 1,

(. 49). , K - . , 1K1 .

. 49

1. 11 . , 11||

11 = .

2. K . , K||

K = .

3. 11|| K|| , 11||K.

4. 11 = K = , 11 = K.

, 1K1 .

. 50

- 3

, .

3* . . 8 .

66 4. .

. 1. MN

(. 50). , MN|| MN = .

2. PK D. , PK||

PK = .

3. MN||A PK||A , MN||PK.

4. MN = AC PK = A , MN = PK.

, NKP .

1. , , -

, , ?

1. . 2. ? 3. . 4. . 5. .

. 4

67

210. K BD , KAC = KBD, KC = CD =

= 5 , = 7 , , D . KB.

211. 5 , - .

212. , -

, .

213. MNK , MN NK . = 6 , MK = 10 , NK = 8 . ANB.

214. 6 , 9 12 . , .

215. D E , BDE = DAC, = . DBE 20 . .

216. 4 , , . 6 . .

217. 24 . -, .

218. 5 8 . .

219. - 6 . , 32 .

220. - 8 . , - 42 .

221. , F, K M D. , EM||FK.

4

68 4. .

222. ,

. 223. = 16 .

MN . MBN 28 . .

224. b. - , -.

225. K D ABCD. , D K .

226. , . 227. ,

. , .

228. , -. , - 12 8 .

229. 3 : 4 : 5. , , - 30 .

230. 80 . , , 4 : 7 : 9. .

231. , . 232. . ,

. 233. = 63, = 27. K -

K . BMK 30 . .

234. , .

69

235. , - b. -.

236. . , , 52 , 38 54 . - , .

237. M, N K, . -, .

238. . M, - . , .

239. ABCD B M AD , AC P. ,

PO = , .

240. D D , . -, 40 .

- . . - , - , - . - , , , - , .

(624 546 . .)

70 5.

5. 5.1. .

1. .

. 51 , , . .

. 51

,

. 1. - : , -

, - .

2. - . .

, , - .

3. - , , - 180. , 180 ( 180, ).

2. .

. 52 ABCD AD BC. N - A CD. MN .

) ) ) )

, , .

5.1. . 71

. 52

.

. ABCD AD BC,

MN (. 53). , : ) MN||AD (MN||BC);

) MN = (AD + BC).

. 53

1. B N . BC||AD, BN AD. T BN AD.

2. NCB NDT. CN = ND , CNB = DNT ( ), NCB = NDT ( BC AD CD). , NCB = NDT - .

3. NCB NDT , BC = DT BN = NT. 4. ABT M AB, N ,

MN ABT. :

1) MN||A, , , MN||AD MN||BC ( AD||BC).

, - .

.

72 5.

2) MN = AT = (AD + DT). DT = BC, :

MN = (AD + BC). .

3. .

. 54 ST, BK, FL, CM OP - a b, ABCD. - .

. 54

.

241. , ,

4 , 5 3 . .

242. , : ) 8 22 ; ) .

243. 24 , 30 . : ) ; ) .

244. , - : ) 35 65; ) 90 40; ) 35 100.

245. ? , .

246. 3 5 . - ?

, . .

5.2. 73

. 55 ABCD, AB CD -

. , .

. 55

, . - .

. D AD (. 56 ). , : ) A = D; ) B = C.

. 56

1. AD AP, BC.

2. ABCP ( ) (. 56 ). , AB||C - AB = CP.

, .

.

) ) )

74 5.

3. AB = CP AB = CD ( ) , CP = CD. , PCD D (. 56 ).

4. CPD = D PCD. CPD = A AB C AP. , A = D, .

5. B = 180 A C = 180 D A = D, B = C, . .

. D AD. , AC BD (. 57).

. 57

1. ABD DCA, BD AC. ABD = DCA : AD ; AB = CD ( ); BAD = CDA ( - ).

2. ABD DCA , BD = AC ( - ). .

247. , : )

20 , 6 ; ) 5 7 , 6 ; ) 15 , 6 .

248. . , .

.

75

1. , - - . . ABCD (. 58).

AD , .

5

, , . -, .

. , , 180.

, , .

, . . .

- , . -.

, . 1. - . 2. .

76 5.

. 58

1. , ( : = , D|| ). , ||.

2. CMD = || AD. 3. - , -

CMD D . 4. CMD = , D -

.

. 1. ABCD AD = = b (. 59). K.

. 59

K AD , - ( ), BD N BD ( BD). , MN, , , , .

- 2

, , - .

77

2. PK = PM + MN + NK, MN = PK (PM + NK).

3. , = =

= b. NK BCD, NK = =

= b. PK = (AD + BC) = ( + b) ABCD. -

: . MN = ( b).

3. , - 12 23 , 30.

ABCD , = 30, MN = 23 , K = 12 (. 60).

. 60

ABCD = AD + BC + 2AB. MN =

= (AD + C). , AD + BC = 2MN = 2 23 = 46 (). K:

K = ( , 30);

= 2K = 2 12 = 24 (). : ABCD = 46 + 2 24 = 94 ().

: 94 .

. ABCD (AB = CD)

BD . BKAD CMAD (. 61).

4

, ( ).

78 5.

. 61

BKD = CMA ( = BD BK = CM), BDK = CAM. , AOD , AO = DO. = BD AO = DO , = . - , .

. ABCD (AD||BC) = D. BAD CKAD. MN (. 62).

. 62

DCK (

= D = D), = DK. BCKE -

, EK = BC.

.

- 5

, , , , - .

79

. ABCD (AD||BC, = DC) BD 90, KL (. 63).

. 63

AOD BOC (. 2). OD = OD, OAD = 45. -, BOC = 45. MN. 45, AON BOM : AN = ON, BM = OM. :

MN = MO + ON = BM + AN = = KL, .

1. -

. - , - 40 60 ?

2. , , -. , ?

- 6

: , .

80 5.

1. ? 2. ? ? 3. ?

: ) ; ) . 4. . 5. . 6. . 7. .

249. 35 60.

. 250. 25. -

. 251. 8 , 12 .

. 252. 5 7 -

8 . 253. , 10 ,

24 . 254. , 4 ,

8 . 255. , 3 : 4,

35 . 256. 5 .

? 257. 10 22 . , -

.

. 5

5

81

258. 5 8 . .

259. ABCD AD = 6 , = 3 , AB = 4 A = 40.

260. , 10 4 , 5 .

261. 5 7 , 20 . .

262. , 6 , 7 .

263. 30 , 9 . .

264. , : ) 70; ) 250.

265. , 180.

266. , - 1 : 4.

267. 12 8 . , , .

268. , , , 5 11 .

269. , , 3 9 . .

270. 4 , 40 3 .

271. 6 , 3 4 .

272. AD = 7 ,

AB = 5 c CD = 4 A = 30. 273. , .

82 5.

274. , , , .

275. . , .

276. . -, .

277. , , - 14 , - 12 . ?

278. , 10 7 . .

279. 8 , , , 6 . - .

280. . -, .

281. - , . , - -, 8 13 .

282. , , . , , 20 10 .

283. ABCD AD = 6 , BC = 4 , CD = 3 AC = 5 .

284. ABCD AD = 7 , AB = 5 CD = 3 BD = 5 .

285. , . 286. , .

83

287. , - . .

288. 63. , .

289. , 8 , 6 , 120.

290. 60, 15 39 . .

291. , : ) ; ) .

: , . 293. , ,

, . 294. 18 40 ,

45. . 295. ,

12 , 135. 296. ,

. 297. , -

.

298. D ,

CD, AD . - 8 . , MD 5 .

299. , . , - 50 , 11 .

300. 20 , 60. , , - , 3 . . ?

84 5.

301. . - , 28 .

302. , - . 303. , -

. 304. -

, . : ) , 3 24 ; ) , 2 : 3, 5 .

305. , 14 , 6 .

306. , 2 , 7 .

307. , . -.

308. . 309. . 310. , , :

) ; ) .

311. : , . 312. : ,

. 313. ,

18 . , 78 .

314. 50 , . , - 13 .

315. , , . , .

85

316. . , P = 3a + b, a , b .

317. , . 318. 24 ,

. .

319. 162 , 18 , 40 , . .

1. MN (. .) -

? AM = AN; MB = NC; AN = MB; AN = NC.

EF MN ; EF = 2(BC + AD).

4 5

2. MN , MN = 4 . B -... 2 ; 8 ; 16 ; 6 .

3. E, M, F N ABCD (AD BC -). ? MN ; EF ;

86 5.

4. -

K. MK, BK = 7 .

5. 26 , 4 12 . .

6. , 42 155.

7. D -

AD = 4 MD = 10 30. .

8. K, L, M N D - = 15 BD = 23 . KLMN.

9. 20 15 , 45. .

10. , -

13 , 12 . . 11. 25,5 , -

60. - .

12. . K. KC, = 18 .

trapezium (-

), . , . - - -, . XVIII .

87

, , -. ( 2000 . .).

(I . . .).

, , - , , , .

( . . .)

88 6. , .

6. , .

6.1. .

1. . .

. 64 , . .

. 64

(. 64 ), - (. 64 ) (. 64 ).

, - . , - . , . , . . 65 ) (ACB) ADB (ADB). , , , - , , , .

) ) )

, .

6.1. . 89

. 65 ) AOB = 90, , ACB = 90. . 65 ) MOK = 225, , MPK = 225.

. 65

() 360, 180, - 90. , , 360. . 65 ) ADB = 360 90 = 270, . 65 ) MNK = 360 225 = 135.

2. .

. 66 ) BAC, , AB AC . BAC .

. 66

() . .

) )

) ) )

90 6. , .

(. 66 ), (. 66 ) (. 66 ).

. , . , , , . . 66 ) - m, . , .

. . ,

.

, = = m.

.

. 67

1 . , , (. 67 ).

1. ( = ). 2. : A = + =

= 2.

, , - , , .

, -, , .

) ) )

6.1. . 91

, = = m.

2 . (. 67 ). B, D. D

C D BD, BD

. , 1, :

= ABD + CBD = AOD + COD = (AOD + COD) =

= AOC = AmC.

3 . (. 67 ).

BD. ,

D . ,

1, : ABC = ABD CBD = AOD

COD = (AOD COD) = AOC = AmC. .

. 68

1. , , (. 68 ).

2. , (), (. 68 ).

) )

92 6. , .

. 68 ) , ANB, AKB .

, = ANB = AKB = .

. 68 ) . , ANB AKB -

. , K = ANB = AB = =

= 180 = 90.

320. . -

- . , .

321. : ) ; ) ; ) . 322. , , 50.

. 323. , : )

70; ) , , 250? 324. 70. : )

; ) , . 325. ADC . = 70.

D, B D : ) , ) ?

326. , , ?

327. PK, K ?

1. .

. 69 ) , D .

6.2. 93

. 69

, -.

, , (. 69 ).

. ABCD,

(. 70). , A + = 180 B + D = 180.

. 70

- , . , BCD, BAD. BCD BAD .

) )

, , - .

, - 180.

94 6. , .

:

+ = BCD + BAD = (BCD + BAD) = 360 = 180.

+ D = ADC + ABC = (ADC + ABC) = 360 = 180.

. : -

180, . , , , .

2. . , . ,

.

, .

328. , 5 , , -

MNKL. .

329. ABCD, = 70 = 105. C D .

330. K , . , .

331. - ?

180, .

1. - . 2. .

6.3. 95

332. , , , .

333. , : ) 30 150; ) 20 170; ) ; ) ; ) .

334. ? 335. BCD, = 50, = 40 = 130.

, , - , - .

336. 45 .

1. .

D.

. 71

, .

. 71 ). - , , - (. 71 ).

) )

, .

96 6. , .

. ABCD (. 71 ). -

, A + D = AD + BC. M, N,

K. , , , . : = K, = BN, DP = KD, PC = NC.

: + B + D + = K + BN + + KD + N; + DC = AK + KD + BN + N; B + DC = AD + B.

2. .

, -.

, ,

. , .

337. 5 , .

A, B, C D . , , MNKL. .

338. ?

339. 5 , 7 9 . ? .

340. , ; .

, .

, .

- .

97

341. 15 . ? -, ?

342. , 13 , . ? , ?

343. , - : ) 5 , 7 , 8 6 ; ) 9 , 9 , 11 12 ; ) 10 , 13 , 16 13 ?

344. ? 345. 5 3 .

6

, .

() . - .

, , , , - .

. , , , .

1. , , .

4* . . 8 .

98 6. , .

. S , (. 72).

2. , (), .

, -, .

1. -, 180. 2. 180, .

A + = 180; + D = 180

-, .

1. , .

2. - , - .

AB + D = AD + BC

- 1

, , , , , .

99

. 72

S ,

B D. , ASB = (AmB CnD).

( AD). : = ASB + CBS ( -

CBS). ASB = ACB CBS.

= m, CBS = CnD ( ),

= m CnD = (m CnD), .

. CD (. 73).

. 73

. DOC ( = CD, OA = OB = OC = OD ). COD. . , AmB CnD .

- 2

, .

100 6. , .

. , - (. 74).

. 74

. ,

, . D.

. ,

= 1 + 2. : 1 = AmB,

2 = CnD. , AMB = AmB + CnD = (AmB + CnD).

.

( ) (. 75 ). -

, = Am.

3

, , , - , -, .

4

, , , , .

101

. 75

AD, - ( ) (. 75 ). D . D = 90, . ACD:

DAC + CDA = 90. BAD = DAC + CAB = 90. CDA = CAB.

CDA , DA = AmB. B = AmC, .

. ABCD (. 76).

. 76

A + C = 180, C = 180 A (1). , -, A + = 180, = 180 (2). (1) (2) , = C, , A = D. , ( ).

) )

- 5

, - , , .

102 6. , .

6. ABCD AB : BC : CD = 3 : 5 : 7. , 30 .

, CD 3k , 5k 7k . - AB + CD = BC + DA. , 3k + 7k = 5k + D. DA = 3k + 7k 5k = 5k. 3k + 5k + 7k + 5k = 30; 20k = 30; k = 30 : 20 = 1,5. , = 3 1,5 = 4,5 (), = = 5 1,5 = 7,5 (), CD = 7 1,5 = 10,5 (). AD = 5 1,5 = 7,5 ().

: 4,5 ; 7,5 ; 10,5 ; 7,5 .

1. , ,

, 18? 2. ,

1 , 45 /? 3. ,

, 20, 30, 45, 80 120 . 4. 8 ?

?

. D , - 180. , + = 180. + D = 360 180 = 180. , - ABCD .

- , -, . , , , . D . D : ) (. 77 ); ) (. 77 ); ) (. 77 ).

,

180, .

, 103

. 77

) , D . AD . AD . . . : + = 180 ( - ), + D = 180 ( ). = D, , D DCE, , D > E. , D .

) , D . AD . - ABCP. : + = 180 ( -), + D = 180 ( ). = D, , D, , > D. , D .

) ) , D . , , ABCD.

. D , B + CD = = B + AD. , ABCD .

, , . O AD, AB BC , . - CD .

CD: ) (. 78 ), ) (. 78 ), ) (. 78 ).

) ) )

, .

104 6. , .

. 78

) , D . 1D1, D . : + D = + D ( ), + 1D1 = 1 + D1 ( ). - , : 1D1 CD = 1 BC + D1 D = = BC + C1 BC + AD + DD1 D = CC1 + DD1. , 1D1 CD = CC1 + DD1 1D1 = CD + CC1 + DD1.

CC1D1D, C1D1 , . , K .

) : D . , , , . .

1. : ) ; ) ? 2. ? 3. . 4. : ) ; ) -

? 5. : ) ; )

. 6. : ) ; ) -

. 7. : ) ; )

?

) ) )

. 6

105

8. . 9. : ) ,

; ) , . 10. : ) , ;

) , .

346. . , :

) 50 ; ) 2 : 3. 347. , :

) 4 ; ) 2 30 . 348. , , 220.

, . 349. , ,

5 7. ?

350. , . , 2 : 7?

351. , 100. , .

352. , - 8 : 13 : 9. .

353. . , , 50 110.

354. 85 55. .

355. . , 30.

356. , 74, . .

6

106 6. , .

357. 3 : 5, 4 : 5. .

358. ABCD, = 100, = 70, = 80. , , - .

359. 8 , - 3 , 30 .

360. , 5 , 8 40.

361. 5 7 . .

362. 3 , 7 10 . .

363. 45 . , 2 : 3.

364. 4 7 . , 5 .

365. , 12 30. 366. , , 6 , -

150. . 367. 5 7 . -

. 368. 4 12 , -

7 . . 369. 5 40 -

.

370. . -

28. , .

371. 20 , 120. .

107

372. , 3 : 7 : 5 : 3. , - .

373. , . 40, 5 9. , .

374. 56. , - , . .

375. K , 120, D 3 : 5, . MDK.

376. , AD (. 79 ) , = 18, = 51. CAD.

377. MNK (. 79 ), KP 50.

. 79

378. , . 379. , , ,

. 380. 8 , -

120. . 381. ,

30 . . 382. ABCD 20 ,

50 . . 383. 5 : 6 : 7.

.

) )

108 6. , .

384. , , .

385. , , .

386. 24 . , 2 .

387. 36 . .

388. 44 . .

389. 72 , 19 . , .

390. 120 , 1 : 5. - , .

391. . 392. .

, , -, , .

, , , , .

395. . , 2 : 7. .

. . , .

397. 80. , , .

398. 7 : 11. - . , .

399. D - D . BAD = 74. .

400. D - = 31, = 32, DAC = 54, DCA = 63. ?

109

401. CD = 110, ADC = 70, BDC = 25. - .

402. , . 50. .

403. 7 , 60. , - .

404. . , , : ) ; ) ; ) ?

405. , - .

406. , - .

407. , 42 , . - , , , 2 : 7 : 12.

408. , 20 , - 60, . .

409. 5 13 4 8 -, , , . .

410. 2 3 , , , . .

411. 30 . - , , , 10 .

110 6. , .

1. AmB 120?

4. 1 : 2,

11 . .

5. 22 . .

6

2. ABCD.

= 4 , = 5 , CD = 8 , AD = ... 6 ; 7 ; 8 ; 5 .

3. D. = 115, D = ... 90; 65; 115; 45.

111

7. D -

2 : 3 : 4 : 6. , , -, .

8. , 8 , . , .

9. 20 , , , 16 8 , . - .

10. D -

BD . , BAD = 50.

12. , ,

, . .

6. , , D, . CAD = 20, CDA = 30. DAB.

11. - K . BAK, KM = 128.

112 6. , .

, . , , , , -

4000 . - .

- ( ). , - :

CD + AD BC = AC BD.

(. 90 . 168 .)

114 7.

7.

1. .

,

.

AB CD

AB: D. , AB = k CD.

. AB = 4 , CD = 6 . AB = CD;

CD = 1,5AB.

.

, .

. k > 1, , D (

k ). , . = 4,5CD, 4,5

, CD. k = 1, CD . k < 1,

, CD. , .

AB = CD, CD.

2. .

AB = 3 , CD = 5 , MN = 6 PK = 10 (. 80).

, .

115

. 80

, CD

MN PK . , AB CD -

MN PK.

, AB CD A1B1 C1D1,

.

, AB CD A1B1 C1D1,

.

3. ( ). . 81 A, B C ,

b A1, B1 C1.

. 81

-, , , -, - .

) )

116 7.

a b, , AB BC A1B1 B1C1? .

, - , , .

, .

. b.

, , , , b

1, 1 1. , , ,

11 11, .

m , 11 n .

11 (m + n) ().

l. . , ,

11 11.

, - .

(m n ).

n , -

m (. 82).

(m + n) -.

,

1. 11

. 82

117

412. : AB = 4 , CD = 12 . : ) ; ) .

413. : MN = 30 , PK = 5 . : ) ; ) .

414. C AB AC = 3 CB = 7 . :

) ; ) ; ) ; ) .

415. , : ) CD 4

AB; ) AB CD; ) -

CD 4 AB.

416. AB CD MO PK: .

: ) AB; ) CD;

) MO.

417. 83 MN||EF||PK. K , - : ) ; ) M E; ) ; ) MN F; ) PK EF; ) MN K.

. 83

118 7.

. . 84 ) C .

, AA1 BB1 ?

. 84

.

7

, .

, - , , -, .

. - , - - .

,

) )

119

. C AA1 BB1,

, 1 1 .

, , .

A1 a||BC. CB1 BB1, -

A1M BC. : . -

AA1MB , BM = AA1. , .

, . .

1. 14 21 . , - 5 12 , . -, .

. 85

, - - , , .

120 7.

ABCD ,

(. 85). -

. = = b . :

1) 3 = 2( + 5); 3 = 2 + 10; = 10 ();

2) 3b = 2(b + 12); 3b = 2b + 24; b = 24 ().

, = + + = 10 + 24 + 14 = 48 (). : 48 .

2. , b (. 86 ). , : b = : .

: a, b, c . : , : b = : .

. 86

1. (. 86 ). = = b, AN = .

2. MN, PK , PK||MN (K PK).

, .

, NK .

) )

121

. BD (1 = 2)

(. 87). , .

. 87

1. , BD. . , , 3 4.

2. : 3 = 2 BD|| , 4 = 1 BD|| . 1 = 2, 3 = 4. , ( ). , = .

3. BD||, .

,

: .

.

. (AD BE) -

(. 88).

- 3

( ). , - , - .

- 4

, -, 2 : 1, .

122 7.

. 88

MNDE, M N .

MN , MN||AB

MN = AB. DE , DE||AB

DE = AB.

, MN||DE MN = DE, MNDE MD NE. , = OD, = , = = OD. , AD AO : OD = 2 : 1. .

, 2 : 1. - AD BE , , , 2 : 1, , .

1. 6 .

, 1 : 10000? 2. , 5

300 .

123

1. ? 2.

? 3. ,

? 4. :

) ; ) ; ) ; ) .

5. : ) ( ); ) ; ) ; ) .

418. , b d, : ) = 1,5 , b = 0,7 , c = 6 , d = 2,8 ; ) = 40 , b = 2,5 , c = 48 , d = 3 ; ) = 8 , b = 30 , c = 3,6 , d = 12 . 419. , b, c, d m ,

= 2 , b = 16 , c = 17,5 , d = 4 , m = 35 . 420. 60 5 : 7.

. 421. C AB AC : CB = 5 : 3. -

AB CB, AC = 15 . 422. AB CD MN PK. : ) AB,

CD = 21 , MN = 10 PK = 15 ; ) MN, AB = 24 , CD = 36 PK = 9 .

. 7

7

124 7.

423. : ) 2 : 3; ) 3 : 5.

424. 5 , 3 2 ,

: ) ; ) .

425. BD . : ) AD DC, = 8 , = 12 , = 15 ; ) , CD : AD = 4 : 3 AB = 36 .

426. 5 8 . , 3 . .

427. A BC DE ( B D

, C ). : ) AC, AB = 8 , AD = 12 A = 10 ; ) AD, AC : AE = 15 : 33 BD = 12 .

428. AB 5 : 13, - 4 . AB.

429. BD (. 89). D DK, K, BD F, BF : FD = 7 : 5. : .

. 89

430. AB 6 . A 3,6 . AB B

125

D , A B AC : CB. B D.

431. A B K ( B , K ). : ) AC, B = 2 , K = 5 = 9 ; ) A, K = 16 , = 3 K = 7 .

432. , 68 , - 7 : 10.

433. ADMK , D, M K , . , = 28 , = 20 , = 24 .

434. 55 . , , - 5 : 3, . , .

435. 5 8 . ,

3,6 3,9 , . , - .

436. 24 18 , 15 12 . , - .

437. CD CDM, 45, - CD. , - 60 .

438. 4 - , , 36 . , .

439. , , 12 30. , .

126 7.

440. 6 . , 120.

441. , b . : ) ; ) .

.

, . - .

.

- - (1794 .).

()

proportionalis, , - , , - .

, - . , , ,

(1642 1727)

- (1752 1833)

127

, , .

(. sectio aurea, . golden ratio), . - .

: b = c : d

XVIII . .

, - , - , . , - .

(1646 1716)

128 8.

8.

1. .

90 ) ) , - .

. 90

, , .

. 91

ABC A1B1C1, . 91, -

. ABC,

(), A1B1C1.

(A = A1, B = B1 C = C1), ,

, : .

) ) )

, - , .

129

A1B1C1 ABC, :

A1B1C1 ~ ABC. , : A1 = A, B1 = B

C1 = C .

. . 91 A1B1C1 ABC

k = 2 . : A1B1C1 ABC.

ABC A1B1C1

.

2. .

? -, ? - .

. ABC . a AB BC M K. a||AC. , BMK ~ BAC.

. 92

, - , , - .

5* . . 8 .

130 8.

1. BMK BAC (. 92). B , M = A MK||AC AB. K = C MK||AC BC.

2. :

. , BMK ~ BAC .

442. ABC ~ MOK. , .

443. ACD ~ OPK. A = 30, D = 100. OPK. 444. 3 , 8 10 .

: ) 4; ) ; ) 0,4.

445. ABC MOK 4. : ) ABC MOK; ) MOK ABC.

446. 21 .

: ) 4; ) .

447. ABC MPK MPK = STO. ABC STO? - STO ABC.

448. ABC. : ) AOP A 3;

) BMK B .

3. .

- .

131

. , , .

.

. ABC A1B1C1 A = A1 B = B1 (. 93). , ABC ~ A1B1C1.

. 93

1. BA ABC ( ) B2 = 11 2 , AC, BC C2.

2. : 2BC2 ~ ABC -.

3. 2BC2 = A1B1C1 . : A2B = A1B1 , B = B1 , 2 = A1 , - A.

4. : ABC ~ 2BC2 2BC2 = A1B1C1. , ABC ~ A1B1C1. .

, .

, .

132 8.

.

. A1B1C1 ABC A1 = A .

A1B1 = kAB A11 = kA (. 94). , ABC ~ A1B1C1.

. 94

1. , AB2C2 ~ ABC.

AB ABC AB2 = A1B1

B2C2||BC. : . AC2 = kAC.

2. AB2C2 = A1B1C1 . :

A = A1 , AB2 = A1B1 , AC2 = A1C1,

AC2 = kAC A1C1 = kAC.

3. : ABC ~ AB2C2. AB2C2 = A1B1C1. , ABC ~ A1B1C1.

.

.

, , .

, .

133

. A1B1C1 ABC ,

A1B1 = kAB, B1C1 = kBC A1C1 = kAC (1) (. 95). ,

A1B1 1 ~ ABC.

. 95

1. , - AB2C2, ABC, , - A1B1C1. AB ABC AB2 = A1B1 B2C2||BC.

: AB2C2 ~ ABC.

: . AB2 = kAB; B2C2 = kBC AC2 = kAC (2).

2. (1) (2) , A1B1 = AB2, B1C1 = B2B2 A1C1 = AC2. , A1B1C1 = AB2C2.

3. : ABC ~ 2C2 2C2 = A1B1C1. , ABC ~ A1B1C1. .

449. , ABC

ODF: ) ; ) ; ) .

450. ABC AMK, A . - , ABC AMK: ) ; ) ?

134 8.

451. ABC POD. , . -

, ABC POD:

) ; ) ?

452. ABC MOK , A = M, B = O. ,

(. 96). : ) ; ) ; ) BC, OK = 15 ;

) MK, AC = 10 .

453. ACD MPK , C = , AC = 4MP CD = 4PK (. 97). A M; D K. . : ) AD, MK = 8 ; ) MK, AD = 12 .

454. ACD POK, , AC = 2PO, AD = 2PK CD = 2OK. POK, A = 30 D = 70.

455. , 30 70, : ) 30 80; ) 30 50; ) 70 80? -.

456. , 40, : ) 30; ) 50? .

457. , - 4 12 , : ) 8 24 ; ) 15 5 ; ) 10 40 ?

. 96 . 97

135

8

, , .

= 1, = 1, = 1

-. , -, , - .

BMK ~ BAC

. -, , .

. - , . . - , .

. -, .

136 8.

1. , 2 : 3. , 15 .

. 98

ABCD , . : = 2 : 3 (. 98), MN , MN = 15 .

1. AOD ~ : = DOA ; = OAD AD||BC .

2. , .

3. MN = (AD + BC);

AD + BC = 2MN = 2 15 = 30 ().

4. , D (30 ) .

: . : 3 = 2(30 ); 3 + 2 = 60; 5 = 60,

= 12. , = 12 , = 30 12 = 18 ().

: 12 ; 18 .

137

. CD, . , = MD. : 1) (. 99 ); 2) (. 99 ).

. 99

1 . CD .

1. MDB ( = DM). A = D, m. , MDB .

2. : , = MD.

2 . .

1. = mC. MDA D = mC.

M . , MDA .

2. : , = MD.

- 2

, - , - .

) )

138 8.

. KA ( ) KB, (. 100). , KC KB = KA2.

. 100

1. KAC KA . KAC = mC.

2. . AC = mC. , KAC = ABC.

3. KAC KBA K KAC = KAB. , KAC KBA .

4. : , KC KB = KA2,

.

1. , , .

- 3

, , , .

139

2. , , . 3. , 1,7 , 8 ,

. . ?

4. 1 , 4 .

, 0,5 ?

5. 2 10 -, 90 . -, 1 ?

6. 15 2 , 70 . .

. 2 . 3

140 8.

1. ? 2. , ? 3. : ) ; )

; ) ? 4. ,

, . 5. : ) ; ) ; )

.

458. 4 : 5 : 7.

, : ) 32 ; ) 28 ; ) 27 .

459. 3: 4 : 5. , - 48 .

460. , - 37, 53?

461. , 73 81, 26 73?

462. , , D, K. DK, : ) = 76 , D = 33 , = 44 ; ) = 36 , = 30 , AD = 20 .

463. ABC MOK A = M, B = O, AB = 6 BC = 8 . OM, OK = 2 .

464. ACD POK. , AC = 15 , CD = 7 , AD = 10 , OP = 45 OK = 21 . PK, C = O.

. 8

8

141

465. AB CD O, AC BD . , AOC ~ BOD. AC, AO = 2 , OB = 8 BD = 12 .

466. MK, M K . = 35, K = 145, = 7,2 , MK = 6 , = 2,7 . , MBK ~ ABC. .

467. ABCD AD BC. -, BOC ~ DOA. OD, AD = 15 , BC = 5 BO = 4 .

468. ABC AC AB

M K , AM = AC AK = AB. ,

AMK . MK, BC = 12 .

469. AB AC ABC M K

, AK = AC AM = AB. , AKM = .

470. MK . , - 12 , = 18 .

471. , , ( ) , D . D 2,25. , = 12 .

472. O O1 ABC A1B1C1.

, AOC ~ A1O1C1. , .

142 8.

474. ABCD, AD BC 12 3 , AC 10 . AO OC.

475. D . AD 26 39 , BD 35 . , B ~ DOA. .

476. ABC AC D , ABD = C. , AB2 = AD AC.

477. ABCD AD BAC = ADC. , AC2 = AD BC.

478. AC ABC C D , BDC = ABC. AC, AB = 3 DC = 8 .

479. = 12 , = 18 . - , , = . , ~ A. .

480. ABC AB = 20 , BC = 12 AC = 18 . -, C AB.

481. , - 3 . , - 8 16 .

482. , -

. 483. : ,

, . 484. ,

, . 485. , -

4,5 13,5 . , 42 .

486. 18 32 . . .

143

487. D AD BD ABD BCD . AD, = 10 , DC = 15 c, BD = 20 c.

488. MK D. D , D , D = 9 , DK = 4 , 10 .

489. CD K. CD, CK = 22 , AK = 6 , OB = 25 .

490. KP 14 12 . 11 . .

, , , -

, . VI . . . ( ) 1 -. , .

, , , - V IV . . . , , - . : , .

, , , - 90 S simils, . ~ 1679 .

, (. 101). - - , - () , () .

144 8.

. 101

2. 5 : 6 : 8.

, ... 20 , 24 , 36 ; 10 , 12 , 18 ; 60 , 80 , 100 ; 35 , 42 , 56 .

3. 30 70. , - ? 30, 60, 90; 70, 60, 50; 130, 35, 15; 80, 70, 30.

7 8

1. ||DE, = 4 , BD = 6 , = 5 . -... 7 ; 8 ; 7,5 ; 10 .

4. D||CK, AD = 6 , DK = 4 , + = 24 . - .

145

5. D BD 65 91 , = 35 , = 40 . -, .

6. . 34 , 10 . , - 42 .

7. K , PK = 7 , KM = 8 .

9 . K .

8. ABCD BM, 10 6 , . , M 48 .

9. 42 54 24 . 7 : 9 : 4, - 18 . .

10. 42 , 3 4 .

. 11. , -

, 15 12 . , 252 . - .

12. AD , . AD m, K. MK, = 16 , KC = 6 .

146 9.

9. .

9.1.

1. , .

, . , - .

. 102

a A, (. 102 ). A b, a. B - a b. , , AB , - A a, B . - AC, A C - , a. C , , . BC, - , (. 102 ). . 102 ) MK , M m. MP ML m. PK LK .

) ) )

, , , . , - , . , , .

9.1. 147

1. - , , ( - , ).

2. - -, , ( - , ).

491. m M . MK

MN. MN. 492. ACD C.

CK. , : ) AC -; ) CD .

493. MK , MN m, MN = 20 . -: ) , MNK = 60; ) MK, NMK = 60.

2. .

().

a b. c,

, () a b. :

c2 = a b = .

, 4 9 6,

4 9 = 36 = 62 . () -

. , -

.

() - , .

148 9.

. ABC - C A, . a , A, b , B, - (. 103 ).

. 103

CD , ha (. 103 ). CD AB, CB AC

, BD AD . BD ac ( a ), AD bc ( b ).

, :

1) ;

2) ; .

CD ABC : ADC CDB, = , = 90 , DCB = 90 (90 ) = . .

ADC ~ D AB.

: 1) , , , ;

2) - .

) )

9.1. 149

1. : ADC CDB. - CD AD D DB CD CDB ( ).

: . :

.

2. ) ACB CDB. -

-

DB CDB. : . -

: 2 = ;

) ADC ACB.

AD C D

AC AB ACB. : . -

: b2 = c bc . .

494. , d x, -

() d? 495. b, : ) = 16; b = 49;

) = 2; b = 32. 496. MNK N

NO. , : ) MO OK; ) MO MK; ) OK MK. -, .

497. , , 16 25 . : ) ; ) ; ) .

150 9.

-

, - . - .

. -

, D (. 104). BC = a, AC = b, AB = c, AD = bc, BD = ac. , AB2 = BC2 + AC2, c2 = a2 + b2.

. 104

-: 2 = , b2 = b. : a2 + b2 = = + b; a2 + b2 = ( + b). b , a2 + b2 = = 2. , c2 = a2 + b2. .

:

c2= a2 + b2, c , a b .

- :

. :

, .

9.2. 151

498. ? 499. MNK K.

: ) MN; ) MK; ) NK. 500. , -

: ) 9 12 ; ) 6 0,8 ; ) . 501. ,

, 105.

. 105

502. , : ) 3 4 ; ) 5 1,2 ; ) 2 3 .

503. , , , :

) 16 15 ; ) ; ) .

504. , :

) 6 8 ; ) 10 12 ; ) ?

505. ,

:

) 5 3 ; ) 41 40 ; ) .

506. , -

: ) 20 16 ; ) 6,5 2,5 ; ) 2 .

507. , , , 41 40 .

152 9.

9

, , , - . , , - . , - , . 1. - , - , . 2. - , - , -.

() , . . : 1) , , - , ; 2) - -.

. - : c2 = a2 + b2, c -, a b .

1. .

2. , .

153

1. , -

8 , .

. 106

CD (. 106), AD = 8 = . . 1. DB , = ( + 8) .

2 = BD AB; ( )2 = ( + 8); 2 + 8 = 20; 2 + 8 + 16 = 36; (x + 4)2 = 36. + 4 > 0, + 4 = 6; = 2. , BD = 2 = 2 + 8 = 10 ().

2. 2 = AD AB; 2 = 8 10 = 80 ().

= ().

: 4 .

2. 15 , - 5 , 3 . .

. 107

154 9.

ABCD (. 107), AD = 15 , AB = CD = 5 . BM CK , = K = 3 .

1. K ABCD ABM DCK ( ) K. -, = KD K = . , B = AD 2AM.

2.

= (). , = 15 2 4 = 7 ().

: 7 .

3. 4 17 , 13 20 . .

. 108

ABCD (. 108) AD = 17 = 4 , = 13 BD = 20 K ( = K).

, , K, K, K. .

K , K = = 4 . = , K = ( + 4) , MD = (17 ) . K: K2 = 2 K2; K2 = 132 ( + 4)2.

DBM: BM2 = BD2 MD2; BM2 = 202 (17 )2. BM2 = K2, : 202 (17 )2 = 132 ( + 4)2; 400 289 + 34 2 = 169 2 8 16; 42 = 42; = 1. , = 1 ,

K = 5 K = (). K = = 12 .

: 12 .

155

4. a b (. 109). , : = : b.

: a b . : , : = : b.

b. , b.

1. m AD = DB = b. - = + b (. 110).

2. , .

3. D ; - . CD . , . , CD , ,

.

. , = , = b

= , 2 = 2 + b2, (. 111).

. 109 . 110

- 5

(, ). - , .

156 9.

. 111

111 1 -

11 = 11 = b. 11 = .

= , 11 = . , - 111 . -, = 1. 1 , .

.

. 112

.

(. 112).

, = . :

6

. , .

157

= ; = = = . -

R, r. -

, R = BO = BH (

), R = . r = OH = B, r = .

. R = ; r = .

1. 800 . -

600 . ?

2. 12,5 , 3,5 . - ?

3. . 4

6 , BD = 10 . BE , -?

. 1 . 2

158 9.

4. , , , 4 /, - 3 /. 30 ?

5. , ,

. 15 / 20 /. 2 ?

6. 5 12 . ?

7. 60 .

31 , 6 . .

8. 0,75, 60 . .

. 3 . 4

. 5 . 6

159

1. , , , -

. 2. ? 3. : ) , -

; ) -? , : ) ; ) ; ) .

4. ( -) ?

5. : ) -; ) .

6. . 7. , .

508. ,

2 . , 12 .

509. 1,8 3,2 . .

510. - 8 . .

511. - 20 16 . , .

512. - 16 9 . .

513. , 60 , 36 .

. 8

9

160 9.

514. 10 24 . , .

515. , 8 , 17 .

516. 15 20 . , .

517. 12 16 . . 518. 25

, , 24 . 519. 64 ,

30 . , . 520. 10 13 ,

4 . . 521. 4 ,

15 17 . . 522. 15 25 ,

12 . . 523. 53 , 45 .

, 20 . 524. ,

.

525. , .

526. 6

, 5 . . 527. 36

, 4 : 9. . 528. 6 . -

, - 1 .

529. , .

161

530. , , -, 14 . , 50 .

531. , , - 9 : 16. , - 75 .

532. 3 : 4, - 20 . .

533. 1 , , , 15 . -.

534. 28 , 10 . .

535. 36 , , , 12 . -.

536. 3 : 4, 50 . .

537. 50 , 48 . - .

538. 8 20 , 5 . .

539. 9 21 , - 17 . .

540. CK ABC, K AB. ABC, AC = 10 , CB = 17 , AK = 6 .

541. BD ABC, D AC. ABC, AB = 17 , BC = 39 BD = 15 .

542. , -

2 . .

6* . . 8 .

162 9.

543. 4 , - 1,8 . - .

544. 18 , 19,2 . .

545. , 2 8 . .

546. , 20 16 . .

547. , 24 , 18 , .

548. , , , 7 . , 24 .

549. - 6 , 16 . .

550. h , -

b. , .

551. , , , -.

552. : , .

553. , , - 1 12 , . - .

554. 12

60. .

163

555. , , 25 24 . .

556. 50 . - , , - 7 . .

557. 20 41 , 10 17 . .

558. 2 19 , 13 20 . .

559. 18 , , , 8 . - .

560. 28 , , , 12 . .

561. , 24 , 50 . .

562. , 3 , , 4 : 9. .

563. : CK , AC2 CB2 = AK2 BK2.

564. : ABCD , AD2 + BC2 = AB2 + CD2.

, 2000 . . , 3, 4 5 ( ) . , , 5, 4 3 .

, , -, 1200 . - . .

164 9.

. - . - -, , , , .

150 .

165

4. 68 , 16 .

. 5. , 50 ,

18 . .

6. . 20 , 16 . 13 . .

9

1. - , CD. - ... AD; CD; DB; .

2. BD D, - , - ...

; ;

82 + 62; .

3. , , ...

; ;

; .

166 9.

7. , , 100 ,

, 9 . .

8. 15 12 , 22 . .

9. , , 12 18 , . .

10. ,

18 , 8 10 . .

11. , , 3 . 5 . .

12. . 15 20 . , .

168 10.

10.

1. . . 113 ,

, .

. 113

. - .

, , ,

. , , - . -, .

, , . , , , . .

. .

. . 114 D .

. 114

, , .

169

, . , -

. , , - . n, n-. n , 3. - . , n-: n , n n . (. ).

.

(- );

.

2. .

. 115 ) , - , , .

. 115

, . , , . 115 ) ). , .

, , - .

, - .

) ) )

170 10.

, , - .

. 116 ) , , ( ).

. 116

, , . -, . 116 ) ), , - . .

, , .

. ().

) ) )

, , , ( ).

, -. , .

171

3. .

, 180 (. 117 ), - 360 (. 117 ) ( , : 180 2 = 360).

. 117

. 117 ) , 540 ( : 180 3 = 540).

, (. 117 ) 180 6 = 1080.

.

. 1. n = 3, n- .

180 (4 2) = 180, . 2. : n > 3, - -

n-. n > 3, - n- n 2 -. n-. , n- 180 (n 2). .

, (n = 6) 180 (6 2) = 720.

.

, , - . . 118 ) MAB .

) ) ) )

- - 180 ( 2).

172 10.

. 118

- (. 118 ).

. 118 ) K D, D D D. .

3. .

.

. 119 , , -, .

. 119

, , .

) )

, .

) ) ) )

173

, , , - , . , .

.

. 120 , , -, .

. 120

, -, .

, , , . -. , .

565. ABCDE.

? 566. ?

?

, .

) ) ) )

, .

174 10. 567. : ) ;

) ; ) n-, n > 3? 568. : ) ; ) ;

) n-? 569. .

? 570. :

) ; ) . 571. .

. . 572. : ) ;

) . . 573. -

, , : ) ; ) -; ) n-?

10

, - , .

, .

-, , .

175

1. n-?

- (n 3)

( ). n

, n(n 3) .

-, , , ( ).

- - - 180 ( 2).

, - .

-, .

-, .

,

176 10.

, n- (n > 3) . , :

; ;

= 170 .

. 180, n 180 n. n- 180 (n 2), , , : 180 n 180(n 2) = 180n 180n + 360 = = 360. .

1. 15-, .

1 . 15- 180 (15 2) = 180 13 = 2340. -

, 15- 2340 : 15 = 156. 2 . 15- , .

360 : 15 = 24. 180 24 = 156.

: 156.

2. , 35 -.

n, -

. = 35. n(n 3) = 70;

n2 3n 70 = 0; n1 = 7 ( n 3), n2 = 10.

, , 360.

, 177

1. , ABCD,

, , .

2. ,

? 3. ,

, -, ?

1. ? 2. : ) ; ) ;

) ? 3. : ) ; ) ?

. 4. . 5. n-? 6. : ) ; ) ? 7. n-. 8.

.

. 10

178 10.

574. : ) ; ) 22-. 575.

? 576. , : ) 540;

) 900. 577. , : ) 1000; ) 2700?

. 578. , 1620?

1540? 579. 360 -

. ? 580. -

. ? 581. , . 582. 23-. 583. , 165?

584. ,

45? 585. 24-, . 586. ,

2 : 4 : 5 : 6 : 7. 587. 145? 588. 126? 589. , 54 . 590. 77 . .

591. , , , -

.

10

179

592. , , , -.

593. 120, 150. - ?

- -

, ( , ). . . : , , -, ,

. , , - , .

- , - - .

- (XV .).

(1436 1476)

180 11.

11. 11.1. .

1. ? .

, - , . , . - , , , , , - , . , - , , : , -, .

- ( ) , , , , - .

.

1. , , :

SE = 1, S , E .

2. , .

SF > 0, S , F .

3. . F1 = F2, S1 = S2.

4. , .

SF = S1 + S2 + S3.

11.1. . 181

, . - , , . - , , (, , , , ). , - .

2. .

, - ( ), , . , .

. ABCD , AD = a AB = b (

. 121 a = 8, b = 5).

. 121

AD a , AB b . , -

, .

- :

S = a b.

182 11.

. b , a - . , ab . -, SABCD = a b.

594. (. 122), .

. 122

595. : ) 5 2 2; 2; ) 4,8 2 2; 2; ) 720000 2 2; 2; ) 0,4 2; ; ) 5200000 2 ; .

:

S = a2.

11.2. 183

596. , : ) 3 0,4 ; ) 80 5 ;

) ; ) .

597. , :

) 4 ; ) ; ) .

598. , :

) 4 25 ; ) 2 0,8 ; ) . 599. , : ) ; ) n ; ) 4 ; ) k ? 600. 80 2. ,

: ) 4 ; ) 4 ? 601. , , 1 2 = 100 2.

1.

. ABC -

, BC AC a b (. 123 ).

, SABC = a b.

:

S. . = a b.

184 11.

. 123

, -, D (. 123 ). CBDA a b, ab.

: SCBDA = SABC + SBAD. ABC = BAD, SABC = SBAD

( 2). , SABCD = 2SABC. SABC = SCBDA = a b.

.

2. .

. ABC , BC = a, AD

, , AD = ha. , SABC = BC AD = a ha.

. 124

) )

-, :

S. = a ha.

) ) )

11.2. 185

D AD - (. 124 ) ).

1 . D -

, , (. 124 ). D . ,

SABC = BC AD = a ha.

2 . D BC (D -

) (. 124 ). AD

: ABD ADC. : SABC = SAD + SAD =

= D AD + D AD = AD (D + D) = AD BC = BC AD =

= a ha. SABC = a ha.

3 . D BC (. 124 ).

ABC -

: ADC ADB. : SABC = SADC SADB = DC AD DB AD =

= AD (DC DB) = AD BC = BC AD = a ha. , SABC = a ha.

, S = a ha . .

3. .

. , =

(. 125). K, AK = .

:

S = , a .

186 11.

. 125

ABK BK:

BK = .

, S = , S = .

602. MOK.

OP K OP. 603. ACD D. -

CK ACD CK. 604. :

) ; ) ? 605. , :

) 3 5 ; ) 13 0,3 ; ) .

606. , , , : ) 3 8 ; ) 18 0,2 ;

) . 607. 4 . 608. , ,

, 10 15 .

11.3. , , 187

609. , , , 12 8 .

610. , , 126, .

. 126

1. .

. ABCD ,

, , AD = a, BK , , BK = ha (. 127). , S. = AD BK S. = a ha.

-, :

S. = a ha.

188 11.

. 127

, , BD. ABCD : ABD CDB.

ABD a , ha , . :

SABCD = 2SABD = 2 AD BK = 2 a ha = a ha.

SABCD = a ha. .

.

, . - , , .

: S = a h.

.

. ABCD , = d1 BD = d2 (. 128). . ,

S = d1 d2.

:

S = d1 d2, d1 d2 .

11.3. , , 189

. 128

-

, , ABC

ADC. , ,

BD. , : SABCD = 2SABC = 2 AC =

= 2 AC BD = d1 d2. S = d1 d2.

.

. ABCD AD, BK , (. 129). : D = a, B = b, BK = h.

, SABCD = , SABCD = .

. 129

:

S. = .

190 11.

, , BD. - : ABD D. :

SABCD = SBD + SBD = AD BK + BC BK =

= (AD + BC) BK = (a + b) h = .

S = .

. ,

.

611. MOPK M. -

: ) MA OP; ) OS PK. , MA; OS.

612. KLMN KN. NA. , NA.

613. , ,

, : ) 12 15 ; ) 4 3 . 614. 12 8 . 615. , : ) 10 24 ;

) 4 3 .

616. : ) 7 13 5 ; ) 8 5 .

617. : ) ; ) ; ) ?

618. , , 130, - .

.

191

. 130

11

, - , : SE = 1, S , E .

- , . SF > 0, S , F . . F1 = F2, S1 = S2.

, :

S(F) = S1 + S2 + S3.

192 11.

, .

: S = a b. : S = a2.

- :

S. . = a b.

, :

S. = a ha.

-

S = , a .

, :

S = a ha.

:

S = d1 d2, d1 d2 .

-

: S. = .

- : S. = mh.

193

1. 4 , 20 . .

, - ( + 4) . , -, 2 + ( + 4)2 = 202. : 2 + 2 + 8 + 16 = 400; 22 + 8 384 = 0; 2 + 4 192 = 0. 1 = 16 ( - ), 2 = 12. , 12 , 16 . , - 12 16 = 192 (2).

: 192 2.

2. d.

. 131

D BD = d (. 131). -

. ABD ( = 90) :

BD2 = AB2 + AD2; d2 = x2 + x2; 2x2 = d2; x = ; S = x2 = =

= = d2.

: d2.

7* . . 8 .

194 11.

3. 8 12 . , - 12 , 6 . , - 8 .

. -

- ,

, : 4 = 6 6; = 9.

9 .

: 9 .

. (. 132) = , = b

= , , ON K , ,

= ON = K = r. , , .

. 132

, . : O, , , K ON.

- 4

, - .

195

. .

. = , = b 1 = hb, AA1 = ha (. 133).

. 133

: .

, ;

a ha = b hb. : , .

. , b

, . ,

.

5

, b, ha

hb. , .

196 11.

6. , -

, , ha : hb = b : a.

. b (. 134).

. 134

: ha , hb b.

S = ha = b hb. : ha : hb = b : a,

.

7. 24 36 , 5 . .

- .

. , , -

.

, ( + 5) . -: 36 = 24( + 5). : 36 = 24 + 120; 12 = 120; = 10. , S. = 36 10 = 360 (2).

: 360 2.

8. 50 14 , . .

197

. 135

ABCD (. 135), AD = 50 ,

= 14 BD. K .

= DCK K , AM = KD K = .

(). MD = AD AM = 50 18 = 32 ().

ABD, -

AD. -

: (). -

(2).

: 768 2.

. ABCD (||AD), - BD BD (. 136).

. 136

- 9

, S , - , , S = h2.

198 11.

MN . ABD = DCA . CAD = BDA. , - AOD ( ) AN = ND. D = 90, AD = 2ON BC = 2OM ( , ).

, = = (ON + OM) MN =

= MN2 = h2; SABCD = h2, .

. ABCD - (. 137).

. 137

ADC ABD . AD , , , . DCO. : SABO = SABD SAOD, SDCO = SDCA SAOD, D - D.

1. 8,25 4,32

2,2 1,2 . , -.

2. , . 3. , .

- 10

. , , , .

199

4. 580 376 . - , 16 2 ?

5. 40 35 - , 40 12 20 . , .

6. ABCD, , MN . AN, AB = 100 , DC = 60 .

7. . , 6,5 2 1,5 ( )?

8. 4000 , - 7,2 . -, .

. 2 . 3

. 6 . 7

200 11.

1. ? . 2. . . 3. :

) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ?

. 4. : ) ; ) ; ) ; ) . 5. .

619. , 15

3 . 620. 270 2, 15 .

. 621. , 45 2,

5 . 622. , 7 , -

34 . 623. , 25 2. 624. .

6 , 9 . -.

625. , 6 , - 10 .

626. , 60 2, 12 .

627. , 144 2, - 1 : 2.

. 11

11

201

628. 6 . , 24 2.

629. 30 2, 12 . , .

630. , - 12 , 13 .

631. , 40 2, , , 8 .

632. , 20 , 26 .

633. , - 20 , 16 .

634. 3 : 4. - , 96 2.

635. , , , 3 : 2, 108 2.

636. 12 . , , 96 2.

637. , 40 2, 5 .

638. 10 . -, 120 2.

639. , 10 , - 50 2.

640. 4 . - , 36 2.

641. ABCD, AB = 6 , AD = 8 A = 30.

642. , 6 , 150.

643. , 10 , - 12 .

644. , 10 , 30.

202 11.

645. 8 , , , 6 . , , 4 . .

646. 72 2, 18 12 . .

647. ABCD A CK = 4 - AD AK = 6 KD = 3 . .

648. 120 2, 10 8 . .

649. ,

3 , 46 . 650. , 24 . -

, , 1 : 2.

651. 78 , 4 : 9. , .

652. , 26 , 40 2.

653. , 34 , 13 .

654. - 6 , . 96 . .

655. , 10 . 656. ,

4 . 657. , : )

. 138 ); ) . 138 ).

203

. 138

658. 9 6 . , 9 , 4 . , 6 .

659. 6 8 . - , .

, . 661. S. -

. , hc b, -

, .

663. 8 , , , 3 . , .

664. , , - 3 2 , - . .

665. , , 4 9 . .

666. , -

2.

667. 6 8 . . 668. , 40 ,

3 : 4.

) )

204 11.

669. 10 12 . .

670. , 19 10 , 15 .

671. , 12 13 , 4 : 9.

672. 20 , 13 , 12 . .

673. AK ABCD BC BK

KC , BK = 6 KC = 4 . . 674. A ABCD BC .

, 48 . 675. , -

, 16 9 . . 676.

24 , , - 14 . .

677. , 30 40 . .

678. , - 10 24 . .

679. 10 . .

680. , , , , .

681. - 2 6 . .

682. 26 10 . .

683. ,

2 , 4 . 684. , ,

12 8 . .

205

685. , , 4 8 , . .

686. 112 , , - , 25 . .

687. : ) - ; ) c.

, - .

689. , .

690. 18 24 . , 12 .

691. ABCD A 30, BC BK = 5 KC = 7 . -.

692. 12 16 , 30. .

693. , .

694. 2 19 , 13 20 . .

695. 4 20 , 13 . .

696. , - 10 . .

697. m, - . .

698. 24 . - 5 6 . .

699. , , 162 2. , 30.

206 11.

-

. , . , . : , -, , , , , .

, - .

-: ; ; ; . , , - .

( - quadratura ). - , - .

, . , : , , , . , - . , . - , . , - , - .

S superfic-ies . h - hipsos, .

207

3. n-,

1080? 6; 7; 8; 9.

4. , -

150? 5. ,

17 , , , 15 . 6. ABCD, = 24 , = 150

240 2.

7. , -

, 8 18 . .

8. ABCD (||AD), = 12 , = 45, 19,5 .

10 11

1. - 3 4 ... 7 2; 12 2; 6 2; 24 2.

2.

10 15 8 . ... 80 2; 120 2; 150 2; 1200 2.

208 11.

9. - 10 6 . .

10. 12 , 20 .

. 11. ,

, 17 15 . - .

12. 70 , 37 . .

210 12.

12.

1. .

, (. 139 ). , , 11 (. 139 ).

. 139

, , . - , (. 139 ). -, , - - .

.

. :

1. , , :

.

) ) )

- .

Law

Geometr 8kl roganin_2016