Embed Size (px)
Citation preview
GEOMETRK TOPOLOJ
Prof. Dr. smet KARACA
Ders Notlar
çindekiler
1 EUCLID UZAYINDADÜZGÜN (SMOOTH) FONKSYON-LAR 51.1 Rn de Tanjant(Te§et) Vektörleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Yönlü Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Vektör Alanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Türev Cinsinden Vektör Alanlar . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 ALTERNE K-LNEER FONKSYON 142.1 Dual Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Çoklu Lineer Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 k-Lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permütasyon Hareketi . . . . . 162.4 Simetrik ve Alterne Operatörleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Tensör Çarpm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 D³ Çarpm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 D³ Çarpmn Birle³me Özelli§i . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 k-E³vektör Bazlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Rn ÜZERNDE DFERANSYEL FORMLAR 233.1 Diferansiyel 1-form, Bir fonksiyonun diferansiyeli . . . . . . . 233.2 Diferansiyel k-formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 D³ Türev (Exterior Derivation) . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Kapal Formlar ve Tam Formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Vektör Analiz Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Topolojik Manifoldlar 314.1 Haritalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Smooth Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler . . . . . . . . . . . . 334.4 Ksmi Türevler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5 Ters Fonksiyon Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1
4.6 Bölüm Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.7 Açk Denklik Ba§nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.8 Tanjant Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.9 Bir Dönü³ümün Diferansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.10 Zincir Kural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.11 Tanjant Uzay Bazlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.12 Bir Manifolda ait E§ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.13 E§riler Kullanlarak Diferansiyel Hesab . . . . . . . . . . . . . 434.14 Rank, Kritik ve Regüler Nokta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.15 Alt Manifoldlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.16 Fonksiyonu Sfrlayan Elemanlarn Kümesi . . . . . . . . . . . 484.17 Regüler Ters Görüntü Kümesi Teoremi . . . . . . . . . . . . . 494.18 C∞-Dönü³ümlerin Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.19 Sabit Rank Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.20 Batrma(Immersion) ve Daldrma(Submersion) . . . . . . . . . 524.21 C∞-Dönü³ümlerin Görüntüleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.22 Alt Manifoldlar çine C∞-Dönü³ümler . . . . . . . . . . . . . . 564.23 R3 deki Yüzeylerin Te§et Düzlemi . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 YÜZEYLER 605.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces) . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces) . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces) . . . . . . . . . . . . . . 62
6 YÜZEYLERN SINIFLANDIRILMASI 636.1 Ba§ntl Toplam(Connected Sum veya Topolojik Toplam) . . 636.2 Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . 646.4 Euler Karakteristi§i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.5 Yüzeyler Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.6 Ekli Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7 Al³trmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 TOPOLOJK GRUPLAR, GRUP HAREKET, LE GRU-PLARI 757.1 Topolojik Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2 Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3 Lie Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4 Lie Cebirleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.5 Al³trmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2
8 SMPLEKSLER 908.1 Ane Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.2 Simpleksler Kompleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9 SMPLEKSKER HOMOLOJ GRUPLARI 1079.1 Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi§i . . . . . . . . . . 1179.2 Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . 1209.3 Lefschetz Sabit Nokta Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.4 Borsuk-Ulam Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10 DÜÜM TEORS 12410.1 Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.2 Ambient zotopik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.3 Alexander Polinomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.4 Skein Ba§nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.5 Jones Polinomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.6 Aynalar VE Dü§üm Kodlamas . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6.1 Dü§üm Kodlamas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.7 Dü§üm Toplamlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.8 DNA'ya Ksa Bak³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.9 Tangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.10Tangle ³lemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.114-Plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.12Tangle Denklemlerinin Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.13Özel Bölgeli Rekombimasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.14Tangle Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.15Örnek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3
ekil Listesi
5.1 Küre 0-kulpludur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Tor 1-kulpludur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 2-kulplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4 g-kulplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 RP 2 1-çapraz yüzeydir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 RP 2 # RP 2 ≈ Kb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 646.4 Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . 656.5 Küpün üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.6 Kürenin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.7 RP 2 # T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.8 RP 2 # RP 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.9 RP 2 # RP 2 # RP 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.10 S1#S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.11 Koni dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.12 Süspansiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.13 Silindir dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.1 trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü . . . . . . . . . . 12610.2 hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri . . . . . . . 12710.3 uygun çaprazlama-kötü çaprazlama . . . . . . . . . . . . . . . 12710.4 41 ve 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.5 Dü§ümsüz - Sol Trefoil - Sa§ Trefoil . . . . . . . . . . . . . . 13110.6 ekil-8 dü§ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.7 ε = +1 ε = −1 . . . . . . . . . . 13310.8 zincirleme says +2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13510.9 Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§üm-
lenmi³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.104-plat çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4
Bölüm 1
EUCLID UZAYINDA DÜZGÜN(SMOOTH) FONKSYONLAR
Tanm 1.0.1. k negatif olmayan bir tamsay olsun. f : U −→ R fonksiyonu
tüm mertebeden j ≤ k için ksmi türevleri∂jf
∂xi1∂xi2 ...∂xijvar ve bu ksmi
türevler p noktasnda sürekli ise f 'ye p noktasnda Ck fonksiyonu denir.E§er f : U −→ R k ≥ 0 için Ck-fonksiyonu ise f 'ye C∞-fonksiyonu denir.
Örnek 1.0.1. 1.f : R −→ R, x 7−→ f(x) = x
13
f′(x) =
1
3x−
23 , 1. mertebeden türevi var fakat 0 noktasnda sürekli de§il
dolaysyla türev mevcut de§ildir. f , C0-fonksiyonudur fakat C1-fonksiyonude§ildir.
2.g : R −→ R, x 7−→ g(x) =
∫ x
0
f(t)dt =
∫ x
0
t13dt
g′(x) = f(x) = x
13 g, C1-fonksiyonudur.
3. R üzerindeki polinom, sinüs, kosinüs, üstel fonksiyonlar C∞-fonksiyonudur.
Tanm 1.0.2. Bir fonksiyonu p noktasnn kom³ulu§unda bu fonksiyonunTaylor serisine e³it ise (yani bir fonksiyon Taylor serisine açlabiliyorsa)f 'ye (p ∈ R) p noktasnda analitiktir denir.
Çok de§i³kenli fonksiyonun Taylor serisi:
f(x) = f(p) +∑i
∂f
∂xi(xi − pi) +
1
2!
∑i,j
∂2f
∂xi∂xj(xi − pi)(xj − pj) + ...
5
Tek de§i³kenli fonksiyonun Taylor serisi:
f(x) = f(x0) + f′(x0)(x− x0) +
1
2!f′′(x0)(x− x0)2 + ...
Örnek 1.0.2. i) Bir analitik fonksiyon C∞-fonksiyonudur çünkü yaknsakkuvvet serisi (yani Taylor serisi) terim terim türevlenebilirdir.
1. f(x) = sinx = x− x3
3!+x5
5!− ... =
∞∑n=0
(−1)2n+1 x2n+1
(2n+ 1)!
2. g(x) = cosx = 1− x2
2!+x4
4!− ... =
∞∑n=0
(−1)2n x2n
(2n)!
ii) C∞-fonksiyonu analitik olmak zorunda de§ildir.
f(x) =
e−
1x , x > 0
0 , x ≤ 0
f fonksiyonunun 0 noktasndaki türevleri f (k)(0) = 0 dr. Bu durumda fTaylor serisine e³it de§ildir. Böylece f analitik de§ildir.
C∞-fonksiyonu Taylor serisine e³it olmad§ndan C∞-fonksiyonlariçin Taylor Teoremini ifade edelim.
Tanm 1.0.3. S ⊂ Rn ve p ∈ S olsun. Her x ∈ S için p'den x'e gidenbir do§ru parças S içinde kalyorsa S alt kümesine p noktasna göreyldz ³eklindedir (yldz konveks) denir.
Lemma 1.0.1. (Taylor Teoremi)f , Rn e ait p noktasna göre yldz ³eklinde U açk alt kümesi üzerinde
C∞-fonksiyonu olsun. O zaman
f(x) = f(p)+n∑i=1
gi(x)(xi−pi), (gi(p) =∂f(p)
∂xi)
olacak ³ekilde p noktasnn kom³ulu§unda C∞-fonksiyonu gi(x) vardr.
6
spat : U , p noktasna göre yldz ³eklinde bir açk altküme olsun. Ozaman x ∈ U için, p+ t(x− p) ∈ U dur. t ∈ [0, 1] için f(p+ t(x− p)) ninksmi türevini belirleyelim.
∂
∂tf(p+ t(x− p)) =
∑i
(xi − pi)∂f
∂xi(p+ t(x− p))
∫ 1
0
∂
∂tf(p+ t(x− p))dt =
∫ 1
0
∑i
(xi − pi)∂f
∂xi(p+ t(x− p))dt
f(x)− f(p) =∑i
(xi − pi)∫ 1
0
∂f(p+ t(x− p))∂xi
dt
gi(x) =
∫ 1
0
∂f
∂xi(p+ t(x− p))dt
olsun. gi(x), C∞-fonksiyonudur.
f(x)− f(p) =∑i
(xi − pi)gi
f(x) = f(p) +∑i
(xi − pi)gi
gi(p) =
∫ 1
0
∂f(p)
∂xidt =
∂f(p)
∂xi
Özel olarak x = 1 ve p = 0 olsun.
f(x) = f(0) + x.f1(x) (f1 C∞-fonksiyon)fi(x) = fi(0) + x.fi+1(x) (fi, fi+1 C∞-fonksiyon)
f(x) = f(0) + x.(f1(0) + x.f2(x))
= f(0) + x.f1(0) + x2.f2(x)
= f(0) + x.f1(0) + x2.[f2(0) + x.f3(x)]
= f(0) + x.f1(0) + x2.f2(0) + x3.f3(x)
...
= f(0) + x.f1(0) + x2.f2(0) + ...+ xi.fi(0) + xi+1.fi+1(x)
7
fk(0) =1
k!f (k)(0) alrsak f fonksiyonunun Taylor serisini elde ederiz.
ALITIRMALAR
1. x = 0 noktasnda C2 olan fakat C3 olmayan bir h : R −→ R fonksiy-onu bulunuz.
2. f(x), R de
f(x) =
e−
1x , x > 0
0 , x ≤ 0
³eklinde tanmlansn.a) x > 0 ve k ≥ 0 için tümevarmla y ekseninde 2k dereceli baz p2k(y)
polinomlar için f (k)(x) yani f in k. türevinin p2k(1
x)e−
1x formunda
oldu§unu gösteriniz.
b) f in R üzerinde C∞-fonksiyon oldu§unu ve her k ≥ 0 için f (k)(0) = 0oldu§unu gösteriniz.
3. (−1, 1) açk aral§nn reel saylar kümesi R ye dieomork oldu§unugösteriniz.
4. f : R2 −→ R C∞-fonksiyon ise
f(x, y) = f(0, 0)+∂f
∂x(0, 0)x+
∂f
∂y(0, 0)y+x2f11(x, y)+xyf12(x, y)+
y2f22(x, y)
olacak ³ekilde R2 de f11, f12 ve f22 C∞-fonksiyonlarnn var oldu§unuispatlaynz.
5. f : R2 −→ R f(0, 0) = 0 olmak üzere f , C∞-fonksiyon olsun.
g(t, u) =
f(t, tu)
t, t 6= 0
0 , t = 0
8
ile tanmlansn. (t, u) ∈ R2 için g(t, u) nun C∞-fonksiyon oldu§unu ispat-laynz.
6. f : R −→ R, f(x) = x3 ³eklinde tanmlansn. f in bijektif C∞-dönü³üm oldu§unu fakat f−1 in C∞ olmad§n gösteriniz.
1.1 Rn de Tanjant(Te§et) Vektörleri
R3 de bir noktadaki vektörü cebirsel olarak
v =
v1
v2
v3
veya geometrik olarak
³eklinde ifade etmekteyiz.
Tanm 1.1.1. p noktasndaki bir vektör, p noktasn içeren tanjant (te§et)düzleminde bulunuyorsa bu vektöre bir yüzeyin p noktasnda tanjantdr(te§etidir) denir.
9
1.2 Yönlü Türev
Tp(Rn), Rn e ait p noktasndaki tanjant uzayn göstersin. Tp(Rn) nin ele-manlarna tanjant vektörü denir.
Tanm 1.2.1. p = (p1, p2, ..., pn) noktasndan geçen ve v = (v1, ..., vn) vek-törü do§rultusundaki do§runun parametrik denklemi c(t) = (p1 + tv1, ..., pn+tvn) olsun. f C∞-fonksiyonu ve v p'de tanjant vektörü olsun.
Dvf = limt→0
f(c(t))− f(p)
t=
d
dtf(c(t)) |t=0
ifadesine f 'nin yönlü türevi denir.
Zincir kuralndan,
Dvf =n∑i=1
dci(0)
dt.∂f
∂xi(p) =
n∑i=1
∂f
∂xi(p)vi
Tanm 1.2.2. U , p noktasnn kom³ulu§u ve f : U −→ R C∞-fonksiyonuolsun. f |W= g |W olacak ³ekilde p ∈ W ⊂ U ∩ V açk kümesi mevcut ise(f, U), (g, V )'ye denktir denir.
Not 1.2.1. Bu ba§nt bir denklik ba§ntsdr.
Tanm 1.2.3. (f, U) nun denklik snfna f 'nin p noktasndaki germi denir.C∞p (Rn) C∞-fonksiyonu p noktasndaki tüm germlerin kümesini göstersin.
Örnek 1.2.1. f(x) =1
1− x, (x ∈ R − 1) ve g(x) =
1 + x+ x2 + x3 + ...
(−1, 1) açk aral§nda bu iki fonksiyon ayn germe sahiptir fakat bu aral§nd³nda ayn germe sahip olamazlar.
Tanm 1.2.4. A, K cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özel-likleri sa§layanµ : A × A −→ A, (a, b) 7−→ µ(a, b) = a × b i³lemi ile birlikte A'ya bircebirdir denir.a, b, c ∈ A, r ∈ K,1) (a× b)× c = a× (b× c) (birle³meli)2) (a+ b)× c = a× c+ b× c a× (b+ c) = a× b+ a× c (da§lmal)3) r.(a× b) = (ra)× b = a× (rb)
10
1.3 Türev
Tanm 1.3.1. V , W , K cismi üzerinde birer vektör uzay olsun. L : V −→W dönü³ümü a³a§da verilen özellikleri sa§lyorsa L'ye lineer dönü³ümdenir.1) u, v ∈ V için L(u+ v) = L(u) + L(v)2) u ∈ V , r ∈ K için L(ru) = rL(u)
Dv : C∞p −→ R, f 7−→ Dv(f) vektör uzay dönü³ümüdür. (C∞p ,R :vektöruzay)
Dv lineer ve Leibniz kuraln sa§lar.
Dv(f.g) = Dv(f).g(p) + f(p)Dv(g)
Tanm 1.3.2. Leibniz kuraln sa§layan lineer dönü³üm D : C∞p −→ Rn yetürev dönü³ümü denir. Dp(Rn) ile gösterilir.
Dp(Rn) : türev dönü³ümlerinin kümesi vektör uzaydr.
Ödev: C∞p un vektör uzay oldu§unu gösteriniz.
φ : Tp(Rn) −→ Dp(Rn), v 7−→ φ(v) = Dv =∑i
vi∂
∂xi|p
Dv lineer oldu§undan φ de lineerdir.
Teorem 1.3.1. φ bir izomorzmdir.
spat: v ∈ Tp(Rn) için φ(v) = Dv = 0 olsun.
0 = Dv(xj) =∑i
vi∂
∂xi|pxj =
∑i
viδji = vj ⇒ v = 0
δji =
1, i = j
0, i 6= j
⇒ φ injektiftir.D p noktasndaki türevi, (f, U) da C∞p daki bir germi temsil etsin. Taylor
11
teoreminden,
f(x) = f(p)+n∑i=1
gi(x)(xi−pi), (gi(p) =∂f
∂xi|p)
olacak ³ekilde p noktasnn kom³ulu§unda C∞-fonksiyonu gi(x) vardr.E³itli§in her iki tarafna D dönü³ümünü uygulayalm.
Df(x) =∑i
Dxigi(p) +∑i
(pi − pi)Dgi(x)
=∑i
Dxi∂f
∂xi(p)
Böylece D = Dv ve v = (Dx1, Dx2, ..., Dxn) ∈ Tp(Rn) bulunur.
1.4 Vektör Alanlar
Tanm 1.4.1. U , Rn de açk alt küme olsun. U 'daki her noktay Tp(Rn)deki tanjant vektörüne Xp e³leme yapan fonksiyona U üzerindeki vektöralan denir.
Tanjant vektör uzaynn Tp(Rn) nin bazlar ∂∂xi|p dir. Dolaysyla
Xp =∑
ai(p)∂
∂xi|p (∗) p ∈ V
olarak ifade edebiliriz.
Tanm 1.4.2. (∗) ifadesindeki katsay fonksiyonlar ai(p), U üzerindeC∞-fonksiyonu ise vektör alan Xp, U üzerinde C∞-fonksiyonudur.
Örnek 1.4.1. p = (x, y) olsun. Vektör alan
Xp = − y√x2 + y2
.∂
∂x+
x√x2 + y2
.∂
∂y
1.5 Türev Cinsinden Vektör Alanlar
U , Rn de açk alt küme ve X de U üzerinde C∞-vektör alan olsun.Ayrca f , U üzerinde C∞-fonksiyonu olsun.
Xf(p) =∑i
ai(p)∂f(p)
∂xi⇒ Xf =
∑i
ai∂f
∂xi
12
C∞(U) −→ C∞(U), f 7−→ Xf . Burada Xf , U üzerinde C∞-fonksiyonudur.
Önerme 1.5.1. X C∞-vektör alan, f, g C∞-fonksiyonu olsun. X(fg) =(Xf)g + f(Xg) dir.
spat : p ∈ U için Xp Leibniz kuraln sa§lar.
Xp(fg) = Xp(f)g + fXp(g)
U daki tüm p ler için söyleyebildi§imiz için genel olarak
X(fg) = X(f)g + fX(g)
yazabiliriz.
ALITIRMALAR
1. X = x∂
∂x+ y
∂
∂yvektör alan ve f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 R üzerinde
bir fonksiyon olsun.
Xf i hesaplaynz.
2. C∞p uzaynda toplama, çarpma ve skaler ile çarpma i³lemlerini tanm-laynz. Ayrca C∞p uzaynda toplama i³leminin de§i³meli oldu§unu ispat-laynz.
3. p ∈ Rn noktas için D ve D′
türevler olsun ve c ∈ R (skaler)olsun. spatlaynz kia) D +D
′toplam da p nin türevidir.
b) cD skaler ile çarpm da p nin türevidir.
4. A bir K cismi üzerinde cebir olsun. D1 ve D2, A nn türevleri ikenD1 D2 nin A nn bir türevi olmas gerekmedi§ini ( D1 = 0 veya D2 = 0iken D1 D2, A nn türevidir. ), fakat D1 D2 −D2 D1 in her zaman Ann bir türevi oldu§unu gösteriniz.
13
Bölüm 2
ALTERNE K-LNEERFONKSYON
2.1 Dual Uzaylar
Tanm 2.1.1. V,W R cismi üzerinde vektör uzay olmak üzere
Hom(V,W ) = f |f : V −→ W lineer
olsun. V nin duali
V ∗ = Hom(V,R) = f |f : V −→ R lineer
V ∗ n elemanlarna e³vektör (kovektör) denir.
V sonlu boyutlu vektör uzay ve e1, e2, ..., en V 'de bir baz olsun.V 'deki her v eleman bu bazlarn lineer kombinasyonu olarak tek türlüifade edilebilir. Yani
v =n∑i=1
viei, vi ∈ R
αi : V −→ R, v 7−→ αi(v) = vi
αi(v) = αi(∑j
vjej) =∑j
vjαi(ej)
αi(ej) =
1, i = j
0, i 6= j
Önerme 2.1.1. α1, α2, ..., αn V ∗ için bazdr.
14
spat: f ∈ V ∗ ve v =n∑i=1
viei ∈ V olsun.
f(v) = f(n∑i=1
viei) =n∑i=1
vif(ei) =n∑i=1
αi(v)f(ei)
f =n∑i=1
f(ei)αi
α1, α2, ..., αn V ∗ gerer.
ci ∈ R olmak üzeren∑i=1
ciαi = 0 olsun.
0 =n∑i=1
ciαi(ej)αi =n∑i=1
ciδij = cj j = 1, ..., n
α1, α2, ..., αn lineer ba§mszdr.
Sonuç 2.1.1. Sonlu boyutlu vektör uzaynn duali de sonludur.
Örnek 2.1.1. e1, e2, ..., en V vektör uzaynn baz olsun. v ∈ V tek türlüyazlr. Yani
v =n∑i=1
bi(v).ei bi(v) ∈ R
α1, α2, ..., αn V ∗ n baz ve e1, e2, ..., en nin dual baz olsun.
αi(v) = αi(n∑j=1
bj(v).ej) =n∑j=1
bi(v)αi(ej) =n∑j=1
bi(v)δij = bi(v)
b1, ..., bn koordinat fonksiyonlar, e1, ..., en bazna dualdir.
2.2 Çoklu Lineer Fonksiyonlar
Tanm 2.2.1. V k = V ×V ×...×V (k-tane) olsun. f : V k −→ R fonksiyonua³a§daki özellikleri sa§lyorsa, f 'ye k-lineer denir.
f(v1, v2, ..., avj + bωj, vj+1, ..., vk) = af(v1, v2, ..., vj, vj+1, ..., vk)
+ bf(v1, v2, ..., ωj, vj+1, ..., vk)
V üzerindeki k-lineer fonksiyona ayn zamanda V üzerinde k-tensör dedenir. LK(V ), V üzerindeki tüm k-tensörlerin vektör uzayn göstersin.
15
Tanm 2.2.2. f : V k −→ R k-lineer fonksiyon olsun.1) Tüm σ ∈ Sk (simetrik grup) için
f(vσ(1), vσ(2), ..., vσ(n)) = f(v1, v2, ..., vn)
e³itli§i varsa, f 'ye simetrik fonksiyon denir.2) Tüm σ ∈ Sk için
f(vσ(1), vσ(2), ..., vσ(n)) = Sgn(σ)f(v1, v2, ..., vn)
e³itli§i varsa, f 'ye alterne fonksiyon denir.
Örnek 2.2.1. 1) f : Rn × Rn −→ R, (v, ω) 7−→ f(v, ω) = v.ω =n∑i=1
viωi
³eklinde tanml fonksiyon simetriktir.
2)f :Rn × Rn × ...× Rn −→ R
(v1, v2, ..., vn) 7−→ g(v1, v2, ..., vn) = det(v1, ..., vn)
³eklinde tanml fonksiyon alternedir.
2.3 k-Lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permüta-syon Hareketi
f , V üzerinde k-lineer, σ ∈ Sk olsun.
(σ.f)(v1, v2, ..., vk) = f(vσ(1), vσ(2), ..., vσ(k)).
Sonuç 2.3.1. 1) f simetriktir ⇔ Tüm σ ∈ Sk için σ.f = f2) f alternedir ⇔ Tüm σ ∈ Sk için σ · f = Sgn(σ)f .
Lemma 2.3.1. σ, τ ∈ Sk ve f , V üzerinde k-lineer olsun.
τ · (σ · f) = (τσ)f.
spat:
τ · (σ · f)(v1, v2, ..., vk) = σ · f(vτ(1), vτ(2), ..., vτ(k))
= f(vτ(σ(1)), vτ(σ(2)), ..., vτ(σ(k)))
= (τσ) · f(v1, v2, ..., vk).
16
Tanm 2.3.1. G bir grup ve X bir küme olsun.
G×X −→ X, (σ, x) 7−→ σ · x
dönü³ümü a³a§daki özellikleri sa§lyorsa, G grubu X kümesi üzerindesoldan hareket ediyor denir.1) Tüm τ, σ ∈ G ve x ∈ X için τ · (σ · x) = (τ · σ) · x2) 1 ∈ G ve x ∈ X için 1 · x = x
2.4 Simetrik ve Alterne Operatörleri
Tanm 2.4.1. f , V üzerinde k-lineer olsun.1) Sf(v1, v2, ..., vk) =
∑σ∈Sk
σf(vσ(1), vσ(2), ..., vσ(k)) ise S ye simetrik operatör
denir.
2) Af(v1, v2, ..., vk) =∑σ∈Sk
Sgn(σ)σf(v1, v2, ..., vk) ise A ya alterne operatör
denir.
Önerme 2.4.1. 1) Sf simetriktir.2) Af alternedir.
spat: 1) Ödev2) σ ∈ Sk olsun.
τ(Af) =∑σ∈Sk
Sgn(σ) τ(σf) =∑σ∈Sk
Sgn(σ)(τσ)f
= Sgn(τ)∑σ∈Sk
Sgn(σ)σf
= Sgn(τ)Af
Sonuç 2.3.1 den Af alternedir.
Lemma 2.4.1. f , V üzerinde alterne k-lineer fonksiyon olsun. Af = k!f
spat: Af =∑σ∈Sk
Sgn(σ)σf =∑σ∈Sk
Sgn(σ)Sgn(σ)f = k!f .
17
2.5 Tensör Çarpm
f , V üzerinde k-lineer fonksiyon, g, V üzerinde l-lineer fonksiyon olsun.f ve g nin tensör çarpm
(f ⊗ g)(v1, , ..., vk+l) = f(v1, v2, ..., vk)f(vk+1, vk+2, ..., vk+l)
³eklinde tanmlanr.
Örnek 2.5.1. <,>: Rn × Rn −→ R, (v, ω) 7−→< v, ω >=n∑i=1
viωi
v =n∑i=1
viei ω =n∑i=1
ωiei
< v, ω >=n∑i=1
viωi =n∑i=1
αi(v)αi(ω) =n∑i=1
(αi ⊗ αi)(v, ω)
<,>=∞∑i=1
(αi ⊗ αi)
2.6 D³ Çarpm
f ve g, V üzerinde çoklu lineer fonksiyonlar olsun. f ∈ Ak(V ), g ∈ Al(V )için
f ∧ g =1
k!.l!A(f ⊗ g)
³eklinde tanmlanan çarpma d³ (wedge-exterior) çarpm denir.
f∧g(v1, v2, ..., vk, vk+1, ..., vk+l) =1
k!.l!
∑σ∈Sk+l
Sgn(σ) f(vσ(1), ..., vσ(k)) g(vσ(k+1), ..., vσ(k+l))
Önerme 2.6.1. D³ çarpm de§i³meli de§ildir; yani f ∈ Ak(V ), g ∈ Al(V )için f ∧ g = (−1)klg ∧ f dir.
spat: τ ∈ Sk+l
τ =
[1 2 ... l l + 1 l + 2 ... l + k
k + 1 k + 2 ... k + l 1 2 ... k
]
18
σ(1)+ = σ(τ(k + 1)) σ(2) = σ(τ(l + 2)) ... σ(k) = σ(τ(l + k))(v1, ..., vk+l) ∈ V olsun.
A(f ⊗ g)(v1, ..., vk+l) =∑
σ∈Sk+l
Sgn(σ) f(vσ(1), ..., vσ(k)) g(vσ(k+1), ..., vσ(k+l))
=∑
σ∈Sk+l
Sgn(σ) f(vσ(τ(l+1)), ..., vσ(τ(l+k))) g(vσ(τ(1)), ..., vσ(τ(l)))
= Sgn(τ)∑
σ∈Sk+l
Sgn(σ) g(vστ(1), ..., vστ(l)) f(vστ(l+1), ..., vστ(l+k))
= Sgn(τ) A(g ⊗ f) (v1, ..., vk+l)
f ∧ g =1
k!.l!.A(f ⊗ g) =
1
k!.l!Sgn(τ).A(g ⊗ f)
=1
k!.l!.(−1)kl.A(g ⊗ f)
= (−1)klg ∧ f.
Sonuç 2.6.1. k tek say olmak üzere f , V üzerinde k-e³vektör ise
f ∧ f = 0
dr.
spat: f∧f = (−1)k.k f∧f = −f∧f ⇒ 2f∧f = 0 ⇒ f∧f = 0.
2.7 D³ Çarpmn Birle³me Özelli§i
Lemma 2.7.1. f , V üzerinde k-lineer, g, V üzerinde l-lineer fonksiy-onlar olsun.1) A(A(f)⊗ g) = k!.A(f ⊗ g)2) A(f ⊗ A(g)) = l!.A(f ⊗ g)
spat: Ödev.
Önerme 2.7.1. f , V üzerinde k-lineer, g, V üzerinde l-lineer ve h,V üzerinde m-lineer fonksiyonlar olsun.
(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h)
19
spat:
(f ∧ g) ∧ h =1
(k + l)!.m!A((f ∧ g)⊗ h) =
1
(k + l)!.m!
1
k!.l!A(A(f ⊗ g)⊗ h)
=1
(k + l)!.m!
1
k!.l!.(k + l)! A((f ⊗ g)⊗ h)
=1
k!.l!.m!A((f ⊗ g)⊗ h)
f ∧ (g ∧ h) =1
k!.(l +m)!A(f ⊗ (g ∧ h)) =
1
k!.(l +m)!
1
l!.m!A(f ⊗ (g ⊗ h))
=1
k!.(l +m)!
1
l!.m!(l +m)! A(f ⊗ (g ⊗ h))
=1
k!.l!.m!A(f ⊗ (g ⊗ h))
Tensör çarpm birle³meli oldu§undan istenilen sonuç elde edilir.
Sonuç 2.7.1. Bir önceki önermenin hipotezi altnda
f ∧ g ∧ h =1
k!.l!.m!A(f ⊗ g ⊗ h)
dir.
Önerme 2.7.2. α1, α2, ..., αk, V üzerinde lineer ve v1, v2, ..., vk ∈ V olsun.
(α1∧α2∧· · ·∧αk)(v1, v2, ..., vk) = det[αi(vj)] =
α1(v1) α1(v2) ... α1(vk)α2(v2) α2(v2) ... α2(vk)
::
αk(v1) αk(v2) ... αk(vk)
spat: Bir önceki sonuçtan,
(α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αk)(v1, v2, ..., vk) = A(α1 ⊗ α2 ⊗ ...⊗ αk)(v1, v2, ..., vk)
=∑σ∈Sk
Sgn(σ)α1(vσ(1))...αk(vσ(k))
= det(αi(vj)).
20
2.8 k-E³vektör Bazlar
e1, e2, ..., en, V vektör uzaynn baz ve α1, ..., αn, V ∗ e³vektöruzaynn baz olsun.
Önerme 2.8.1. I = (i1, ..., ik) (i1 < i2 < ... < ik) indeks olmak üzerealterne k-lineer αI , Ak(V ) uzay için bir bazdr.
spat: cI ∈ R için∑
cIαI = 0 olsun. 0 =∑
cIαI(ej) = cj j =
1, 2, ..., k
⇒ αI lineer ba§mszdr. f ∈ Ak(V ) olsun. f =∑
f(eI)αI oldu§unugösterelim.
g =∑
f(eI)αI olsun.
g(ej) =∑
f(eI).αI(ej) =∑
f(eI).δIj = f(ej) ⇒ g = f =
∑f(eI).αI .
Sonuç 2.8.1. 1) V n-boyutlu vektör uzay olsun. Ak(V ) uzay(nk
)boyut-
ludur.2) k > dimV ise Ak(V ) = 0 dr.
spat: 1) Ödev.2) αi1 ∧ αi2 ∧ ... ∧ αik daki en az iki çarpm ayn oldu§undan
αi1 ∧ αi2 ∧ ... ∧ αik = 0.
ALITIRMALAR
1. Vektör uzay V üzerinde bir k-tensör ω nn alterne olmas için gerekve yeter ko³ul ard³k herhangi iki vektör yer de§i³tirdi§i zaman
ω(..., vi+1, vi, ...) = −ω(..., vi, vi+1, ...)
olmasdr. Gösteriniz.
2. Vektör uzay V üzerinde bir k-tensör ω nn alterne olmas için gerekve yeter ³art v1, ..., vk vektörlerinden herhangi iki vektör birbirine e³it iken
21
ω(v1, ..., vk) = 0 olmasdr. Gösteriniz.
3. V bir vektör uzay olsun. a, b ∈ R, f ∈ Ak(V ) ve g ∈ Al(V ) içinaf ∧ bg = (ab)f ∧ g oldu§unu gösteriniz.
4. ω, V vektör uzay üzerinde bir k-e³vektör olsun. V de, uj =k∑j=1
ajivi,
j = 1, ..., k ³eklinde verilmi³ 2 tane u1, ..., uk ve v1, ..., vk vektörlerininkümesini kabul edelim. A = [aji] k × k matris olsun.
ω(u1, ..., uk) = (detA) ω(v1, ..., vk)
oldu§unu gösteriniz.
5. α1, ..., αk; V vektör uzaynda 1-e³vektörler olsun. α1 ∧ ... ∧ αk 6= 0olmas için gerek ve yeter ³art V ∗ dual uzaynda α1, ..., αk vektörlerininlineer ba§msz olmasdr. Gösteriniz.
6. Sonlu boyutlu V vektör uzaynda, α sfrdan farkl bir 1-e³vektör vew bir k-e³vektör olsun. α ∧ ω = 0 olmas için gerek ve yeter ³art τ , V de(k − 1)-e³vektör olmak üzere ω = α ∧ τ olmasdr. Gösteriniz.
22
Bölüm 3
Rn ÜZERNDE DFERANSYELFORMLAR
Diferansiyel formlar, R3'deki vektör analiz teoremlerinin birle³tirilmesinisa§layan bir yoldur.
3.1 Diferansiyel 1-form, Bir fonksiyonun difer-ansiyeli
Tanm 3.1.1. p noktasndaki Rn nin kotanjant uzay Tp(Rn) tanjant uza-yn duali olarak tanmlanr ve T ∗p (Rn) ile gösterilir. T ∗p (Rn) nin elemanTp(Rn) tanjant uzay üzerindeki e³vektör veya lineer fonksiyoneldir.
Tanm 3.1.2. f : U −→ R bir C∞-fonksiyonu olsun. p ∈ U , Xp ∈ Tp(U)için 1-form (df)p(Xp) = Xpf ³eklinde tanmlanr.
Önerme 3.1.1. (x1, x2, ..., xn) Rn de standart koordinatlar olsun. Her birp ∈ Rn noktasnda (dx1)p, ..., (dxn)p, T ∗p (Rn) kotanjant uzay için bir
bazdr. Ayn zamanda bu baz tanjant uzaynn baz olan ∂
∂x1
|p, ...,∂
∂xn|p
baznn dualidir.
spat: (dxi)p(∂
∂xj|p) =
∂
∂xj|p xi = δij.
Önerme 3.1.2. f : U −→ R, Rn e ait U açk alt kümesi üzerinde C∞-fonksiyonu olsun. O zaman
23
df =∑i
∂f
∂xidxi.
spat: Bir önceki önermeden, (df)p =∑
ai(p)(dxi)p (ai(p), p nok-tasna ba§l bir sabittir.)
df =∑
aidxi
df(∂
∂xj) =
∑aidxi(
∂
∂xj) =
∑aiδ
ij = aj
Di§er taraftan
df(∂
∂xj) =
∂f
∂xi
Dolaysyla
df =∑i
∂f
∂xidxi
bulunur.
Örnek 3.1.1. Xp ∈ Tp(Rn) tanjant vektörü, standart bazlarn lineer kombi-nasyonudur. Yani
Xp =∑i
bi(Xp)∂f
∂xi|p bi(Xp) = (dxi)p(Xp)
3.2 Diferansiyel k-formlar
Tanm 3.2.1. Rn nin açk alt kümesi U üzerinde k-formu U 'daki p ele-mann, Tp(Rn) tanjant vektör uzay üzerindeki alterne k-lineer fonksiyonae³leme yapan bir fonksiyondur. Yani ωp ∈ Ak(Tp(Rn)) dir.
Not 3.2.1. A1(Tp(Rn)) = T ∗p (Rn) oldu§undan k-form, 1-formun genelle³tir-ilmi³idir.Ak(Tp(Rn)) nin baz; 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n ve aI : U −→ R (katsayfonksiyonu) olmak üzere
dxI |p= dxi1 |p ∧... ∧ dxik |p ωp =∑
aI(p)dxI(p)
Tanm 3.2.2. E§er tüm katsay fonksiyonlar aI , U üzerinde C∞-fonksiyonuise k-form ω, C∞ snfndandr. Ωk(U) = U üzerindeki C∞ k-formlarnolu³turdu§u vektör uzaydr.
24
Not 3.2.2. 1) U üzerinde 0-form, U 'daki her noktay, A0(Tp(Rn)) = Relemanna e³leme yapan bir dönü³ümdür. Yani 0-formlar, U üzerinde birfonksiyondur.2) Ωk(U), R üzerinde vektör uzaydr ve C∞(U) üzerinde de modüldür.3) Ω∗(U) =
⊕nk=0 Ωk(U) R üzerinde bir cebirdir. Bu cebir birle³meli olup
de§i³meli de§ildir.
Örnek 3.2.1. (x, y, z) ∈ R3 olsun. R3 üzerinde C∞ 1-formlar
a(x, y, z)dx+ b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz
C∞ 2-formlar
a(x, y, z)dy ∧ dz + b(x, y, z)dx ∧ dz + c(x, y, z)dx ∧ dy
C∞ 3-formlara(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz
olur.
3.3 D³ Türev (Exterior Derivation)
Tanm 3.3.1. Bir C∞-fonksiyonu f ∈ C∞(U) d³ türevi
df =∑ ∂f
∂xidxi ∈ Ω1(U)
³eklinde tanmlanr.
Tanm 3.3.2. ω =∑I
aIdxI ∈ Ωk(U) ise
dw =∑I
daI ∧ dxI =∑I
∑J
(∂aI∂xj
) ∧ dxI ∈ Ωk+1(U).
Örnek 3.3.1. ω, R3 üzerinde 1-form olsun. Yaniω = fdx+ gdy ise
dw = df∧dx+dg∧dy = (fxdx+fydy)∧dx+(gxdx+gydy)∧dy = (gx−fy)dx∧dy
Tanm 3.3.3. 1) A, K cismi üzerinde bir cebir olsun. A =⊕∞
k=0Ak ve
Ak × Al −→ Ak+l çarpm ile birlikte A'ya graded cebir denir.2) A =
⊕∞k=0A
k graded cebir olsun. D : A −→ A k-lineer dönü³ümü
D(ω.τ) = Dω.τ + (−1)kω.D(τ)
özelli§ini sa§lyorsa, anti türev dönü³ümü denir. (D : Ak −→ Ak+m, D'ninderecesi m dir.)
25
Önerme 3.3.1. i) d : Ω∗(U) −→ Ω∗(U) 1. dereceden anti türev dönü³ümüdür.Yani
d(ω ∧ τ) = dω ∧ τ + (−1)deg(ω)ω ∧ dτii) d2 = 0iii) f ∈ C∞(U) ve X ∈ χ(U), df(X) = X(f).
spat: i) ω = fdxI ve τ = gdxJ olsun.
d(ω∧τ) = d(fdxI∧gdxJ) = d(fgdxI∧dxJ) =∑ ∂fg
∂xidxi∧dxI∧dxJ
=∑ ∂f
∂xidxi ∧ dxI ∧ gdxJ +
∑f∂g
∂xidxi ∧ dxI ∧ dxJ
= dw ∧ τ + (−1)kω ∧ dτ
ii) ω = fdxI olsun.
d2(ω) = d2(fdxI) = d(d(fdxI)) = d(∑ ∂f
∂xidxi ∧ dxI)
=∑i,j
∂2f
∂xixjdxi ∧ dxj ∧ dxI
i = j için dxi ∧ dxj = 0 oldu§undan d2 = 0 dr. i 6= j için∂2f
∂xixjsimetriktir.
iii) X =∑
ai∂
∂xiolsun.
df(X) = (∑ ∂f
∂xjdxj)(
∑ai
∂
∂xi) =
∑ ∂f
∂xi.ai = Xf.
Önerme 3.3.2. D : Ω∗(U) −→ Ω∗(U) a³a§daki özellikleri sa§layan 1.dereceden antitürev ise D = di) D2 = 0ii) f ∈ C∞(U) ve X ∈ χ(U), Df(X) = X(f)
spat: U üzerindeki her k-form, fdxi1∧ ...∧dxik gibi terimlerin toplamoldu§undan k-form üzerinde D = d oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
D(fdxi1 ∧ ... ∧ dxik) = D(fDxi1 ∧ ... ∧Dxik) = Df ∧Dxi1 ∧ ... ∧Dxik= df ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik= d(fdxi1 ∧ ... ∧ dxik).
26
3.4 Kapal Formlar ve Tam Formlar
Tanm 3.4.1. 1) ω, U üzerinde k-form olsun. dω = 0 ise ω'ya kapalform denir.2) U üzerinde ω = dτ olacak ³ekilde (k − 1)-form τ varsa, ω'ya tamform denir.
Not 3.4.1. Her tam form kapaldr çünkü d2 = 0 dr.
Tanm 3.4.2. dk : V k −→ V k+1 (dk+1 dk = 0) lineer dönü³ümleri ilebirlikte (V k)∞k=0 vektör uzay kolleksiyonuna diferansiyel kompleksi veya e³-zincir kompleksi denir.
Not 3.4.2. U , Rn de açk alt küme olsun. D³ türev d, Ω∗(U) vektör uzayne³-zincir kompleksine dönü³türür. (k = 0, ... dk : Ωk(U) −→ Ωk+1(U))Bu e³-zincir kompleksine de Rham Kompleksi diyece§iz.
Ω0(U) −→ Ω1(U) −→ ...dk−1−→ Ωk(U)
dk−→ Ωk+1(U) −→ ...
i) Kapal formlar, de Rham Kompleksi için Kerd'nin elemanlardr.ii) Tam formlar, de Rham Kompleksi için Imd'nin elemanlardr. De Rhamkohomolojisi,
Hn(Ω∗(U)) =KerdnImdn−1
3.5 Vektör Analiz Uygulamalar
Diferansiyel form teorisi, R3 üzerindeki vektör analizine ait teoremleri tekçat altnda toplar. Vektör de§erli fonksiyon ayn zamanda vektör alandr.
Skaler de§erli fonksiyonlar Grad−→ Vektör de§erli fonksiyonlar
Vektör de§erli fonksiyonlar Curl−→ Vektör de§erli fonksiyonlar
Vektör de§erli fonksiyonlar Div−→ Skaler de§erli fonksiyonlar
Gradf =
fxfyfz
Curlf =
PQR
=
∂
∂x∂
∂y∂
∂z
× PQR
=
Ry −Qz
−(Rx − Pz)Qx − Py
=
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zP Q R
27
div
PQR
= Px +Qy +Rz
Önerme 3.5.1. 1) Curl(gradf) = 0.2)
div(Curl
PQR
) = 0.
3) Bir vektör alan F , bir skaler de§erli fonksiyon f nin gradyantdr. Yani
F = grad(f) ⇔ Curl(F ) = 0.
Not 3.5.1. 1) R3 üzerindeki her 1-form dx, dy, dz nin lineer kombinasy-onudur. Yani
Pdx+Qdy +Rdz ⇔
PQR
2) Benzer ³ekilde R3 üzerindeki 2-formlar
Pdy ∧ dz +Qdz ∧ dx+Rdx ∧ dy ⇔
PQR
3) 0-form f 'nin d³ türevi
df = fxdx+ fydy + fzdz = Gradf
4) 1-formun d³ türevi
d(Pdx+Qdy+Rdz) = (Ry−Qz)dy∧dz−(Rx−Pz)dz∧dx+(Qx−Py)dx∧dy
↔ Curl
PQR
=
Ry −Qz
−(Rx − Pz)Qx − Py
5) 2-formun d³ türevi
d(Pdy ∧ dz +Qdz ∧ dx+Rdx ∧ dy) = (Px +Qy +Rz)dx ∧ dy ∧ dz
↔ div
PQR
= Px +Qy +Rz
28
Not 3.5.2. R3 üzerindeki < P,Q,R > vektör alannn C∞-fonksiyonf 'nin gradyenti olmas için gerek ve yeter ³art df = Pdx + Qdy + Rdzolmasdr.
Örnek 3.5.1. U = R3 − z-ekseni F =< − y
x2 + y2,
x
x2 + y2, 0 >
CurlF = 0 fakat F , U üzerindeki C∞-fonksiyon f 'nin gradyenti de§ildir.Yani F 6= Gradf . ∫
C
− y
x2 + y2dx+
x
x2 + y2dy = 0
C = (x, y) ∈ R2 | x = cos t y = sin t 0 ≤ t ≤ 2π
∫C
−ydx+ xdy =
∫ 2π
0
− sin td(cos t) + cos td(sin t) =
∫ 2π
0
(sin2 t+ cos2 t)dt
=
∫ 2π
0
dt = 2π
1-form ω = − y
x2 + y2dx +
x
x2 + y2dy kapal fakat tam de§ildir. dω = 0
ω = dτ olacak ³ekilde bir τ yoktur.
Tanm 3.5.1. Hk(U) =U daki kapali k − formlarU daki tam k − formlar
³eklinde tanmlanan ifadeye U 'nun de Rham kohomolojisi denir.
ALITIRMALAR
1. w = zdx − dz 1-form ve X = y∂
∂x+ x
∂
∂y, R3 de vektör alan olsun.
w(X) ve dw yi hesaplaynz.
29
2. R2 de standart koordinatlar r ve θ olsun. x = r. cos θ ve y = r. sin θ⇒ dx, dy, dx ∧ dy = ?
3. α, R3 de 1-form; β, R3 de 2-form olsun. O zamanα = a1dx1 + a2dx2 + a3dx3
β = b1dx2 ∧ dx3 + b2dx3 ∧ dx1 + b3dx1 ∧ dx2
oldu§unu gösteriniz. Ayrca α ∧ β hesaplaynz.
4. R3 deki α = a1dx+a2dy+a3dz 1-e³vektörünü Vα =< a1, a2, a3 > ³eklindegösterebiliriz. Yine R3 deki γ = c1dy∧dz+c2dz∧dx+c3dx∧dy 2-e³vektörünüVγ =< c1, c2, c3 > olarak gösterebiliriz. O halde, α = a1dx + a2dy + a3dzve β = b1dx+ b2dy + b3dz ⇒ Vα∧β = Vα × Vβ e³itli§inin gerçeklendi§inigösteriniz.
5. V vektör uzaynda w bir k-e³vektör ve v ∈ V , v ile w nn iç çarpmise ıvw ³eklinde tanml (ıvw)(v2, ..., vk) = w(v, v2, ..., vk) her v2, ..., vk ∈ V(k − 1)-e³vektördür. E§er α1, ..., αk V
de 1-e³vektörler ise ispatlaynz ki ıv(α1 ∧ ... ∧ αk) =k∑i=1
(−1)i+1αi(v)α1 ∧
... ∧ αi ∧ ... ∧ αk dr.
Burada αi nin anlam αi nin d³ çarpma dahil edilmemesidir.
6. 5. sorudaki ayn ³artlar sa§lanmak üzere ispatlaynz ki,a) ıv ıv = 0b) w ∈ Ak(V ) ve τ ∈ Al(V ) için ıv∧τ = ıv ∧ τ + (−1)kw ∧ ıτ dr.
30
Bölüm 4
Topolojik Manifoldlar
Tanm 4.0.2. M topolojik uzay a³a§daki özellikleri sa§lyorsa M 'ye topolo-jik manifold denir.1) M Hausdor2) kinci saylabilir uzay3) Rn nin açk alt kümesine homeomorf olacak ³ekilde her p ∈M noktasnnU kom³ulu§u vardr.
Örnek 4.0.2. 1) Rn nin her açk alt kümesi bir manifolddur.2) G = (x, y) ∈ R2 | y = x
23 ⊂ R2 kümesi bir topolojik manifolddur.
3) M = R× 0 ∪ 0 × R topolojik manifold de§ildir. M eksenlerdir.
4) Sn, n-manifolddur.(Hem ba§lantl hem kompakt)5) Kb,Mb, Tor, RP 2, S2, 2-manifolddur.M , Hausdor ve ikinci saylabilir uzaydr çünkü R2 Hausdor ve ikinci
31
saylabilir uzay olup bunlar kaltsal özelliklerdir. Fakat M deki açklar ileR2 nin açklar homeomorf de§ildir.
Özellikler 4.0.1.
1. Bir n-manifoldun açk alt kümesi bir n-manifolddur.
2. M m-manifold ve N n-manifold ise M ×N (m+ n)-manifolddur.
3. Bir n-manifold ya ba§lantl ya da ba§lantsz, ya kompakt ya da kom-pakt de§ildir.
4. Her n-manifold yerel kompakttr.
4.1 Haritalar
Tanm 4.1.1. Bir topolojik manifolduna ait (U, φ) ikilisine bir harita veyakoordinat kom³ulu§u veya koordinat sistemi denir. Bir topolojik manifoldunun(U, φ) ve (V, ψ) gibi iki tane haritas olsun. E§er
ψ φ−1 : φ(U ∩ V ) −→ ψ(U ∩ V ) φ ψ−1 : ψ(U ∩ V ) −→ φ(U ∩ V )
dönü³ümleri C∞-fonksiyonu ise bu iki harita C∞-uyumludur denir. φ, ψfonksiyonlarna transitive fonksiyonlar denir.
Tanm 4.1.2. M yerel Euclid uzay olsun. M üzerindeki C∞-atlas M =⋃α
Uα olacak ³ekilde C∞-haritalar kolleksiyonudur. Yani (Uα, φα).
Not 4.1.1. C∞-uyumlu haritalar, yansmal, simetrik fakat geçi³meli de§ildir.
Lemma 4.1.1. (Uα, φα), yerel Euclid uzay üzerinde atlas olsun. ki harita(V, ψ), (W,σ) ((Uα, φα)) atlasna göre uyumlu ise her ikisi birbirineuyumludur.
32
4.2 Smooth Manifold
Tanm 4.2.1. M bir topolojik manifold olsun. Maksimum atlas ile birlikteM manifolduna smooth veya C∞-manifoldu denir. Maksimum atlasa Mmanifoldu üzerindeki diferansiyellenebilir yap denir.
Not 4.2.1. M manifoldunun C∞ olmas için gerek ve yeter ³art M ninHausdor, ikinci saylabilir ve C∞-atlasa sahip olmasdr.
Örnek 4.2.1. 1) Rn bir smooth manifolddur.2) Bir M manifoldunun V açk alt kümesi smooth manifolddur.3) U ⊂ Rn açk f : U −→ Rn C∞-fonksiyonu Gf = (x, f(x)) ∈ U ×Rm
φ : Gf −→ U, (x, f(x)) 7−→ x 1× f : U −→ Gf , x 7−→ (x, f(x))
φ ve 1× f süreklidir. Gf bir smooth manifolddur.4) GL(n,R) = A ∈ Rn2 | detA 6= 0 det : Rn2 −→ R süreklidir.GL(n,R) de Rn2
de açk alt küme oldu§undan (2) den GL(n,R) bir smoothmanifolddur.5) S1 = (x, y) ∈ R2 | x2+y2 = 1 birim çemberi de bir smooth manifolddur.6) M ve N smooth manifold ise M ×N de smooth manifolddur.
ALITIRMALAR
1.
R3 deki saçl kürenin q da yerel Öklid olmad§n gösteriniz. Böylece saçlküre topolojik manifold olamaz.
2. M bir topolojik m-manifold, N bir topolojik n-manifold ise gösteriniz kiM ×N de topolojik (m+ n)-manifolddur.
4.3 Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler
Tanm 4.3.1. M bir smooth manifold olsun. f : M −→ R bir dönü³üm vep ∈ M olsun. Rn nin açk alt kümesi φ(U) üzerinde tanml olan f φ−1
33
dönü³ümü φ(p) noktasnda C∞-fonksiyonu olacak ³ekilde M 'nin atlasnaait (U, φ) haritas varsa, f 'ye p noktasnda C∞ veya smooth dönü³ümdenir.
f , M 'nin her noktasnda C∞-fonksiyonu ise f , M üzerinde C∞-fonksiyonudur denir.
Tanm 4.3.2. F : N −→M bir dönü³üm ve h, M üzerinde bir fonksiyonolsun. h'nin F tarafndan geri çekilim (pull back) dönü³ümü h F 'dir.
Tanm 4.3.3. N , n-boyutlu ve M m-boyutlu manifold olsun. Ayrca F :N −→ M ve p ∈ N olsun. ψ φ−1 : Rn −→ Rm dönü³ümü φ(p)noktasnda C∞-fonksiyonu olacak ³ekilde N 'de (U, φ) haritas ve M 'de(V, ψ) haritas varsa, F 'ye p ∈ N noktasnda C∞-dönü³ümüdür denir.
Tanm 4.3.4. 1) F : N −→ M dönü³ümü N 'nin her noktasnda C∞-dönü³ümü ise F 'ye N üzerinde C∞-dönü³ümü denir.2) F : N −→ M bijektif, kendisi ve tersi C∞-dönü³ümü ise F 'ye dieo-morzmdir denir.
34
Önerme 4.3.1. 1) F : N −→ M ve G : M −→ P C∞-dönü³ümleri iseG F : N −→ P C∞-dönü³ümdür.2) U , M manifoldun açk alt kümesi olsun. F : U −→ F (U) ⊂ Rn dieo-morzm ise (U, F ), M 'nin bir atlasnda haritadr.
4.4 Ksmi Türevler
Tanm 4.4.1. (U, φ) bir harita, f , m-boyutlu M manifoldu üzerindeC∞-fonksiyonu olsun. f 'nin ksmi türevi;
∂
∂xi|pf =
∂f
∂xi(p) =
∂(f φ−1)
∂ri(φ(p))
ri ler standart koordinatlar ve φ'nin n bile³eni (x1, ..., xn) e sahiptir.
Önerme 4.4.1. (U, (x1, ..., xn)) bir M manifoldu üzerinde harita olsun.∂xi∂xj
= δij dir.
spat: p ∈ U olsun.
∂xi∂xj
(p) =∂
∂rj|φ(p)xi φ−1 =
∂
∂rj|φ(p)(ri φ) φ−1 =
∂
∂rj|φ(p)ri = δij.
ALITIRMALAR
1. Rn de her U aç§ topolojik n-manifolddur. Gösteriniz.
2. Birinci sorudan hareketle bir topolojik n-manifoldun her açk altkümeside (alt uzay topolojisine göre) topolojik n-manifold olabilir mi? Yorum-laynz.
3. S2 topolojik 2-manifold dur . Gösteriniz.
4. S1 topolojik 1-manifolddur . Gösteriniz.
5. X topolojik uzay kompakt, Hausdor ve yerel homeomork ise X uza-ynn saylabilir baz vardr (yani X ikinci saylabilir uzaydr). Gös-teriniz. Buradan hareketle I = [0, 1] kapal aral§ topolojik 1-manifoldolabilir mi? Yorumlaynz.
35
6. M bir topolojik m-manifold , N bir topolojik n- manifold ise gösterinizki M × N de topolojik (m + n) - manifolddur . (Yani manifoldlarnkartezyen çarpm da manifolddur).
7. X = S1 × I silindirin topolojik 2 -manifold oldu§unu gösteriniz. (Yolgösterme : 4,5,6 nc sorulardan yararlannz.)
8. RP 2 reel projektif düzleminin topolojik 2-manifold oldu§unu gösteriniz.
9. S2 diferensiyellenebilir manifolddur. Gösteriniz.
10. RP 1 ve S1 dieomork midirler? Açklaynz.(yol gösterme : eiθ 7−→ [ei
θ2 ] )
4.5 Ters Fonksiyon Teoremi
U , Rn nin açk alt kümesi olsun. f = (f1, ..., fn) : U −→ Rn U 'dan Rn
nin bir açk alt kümesine dieomorzm olsun. (U, f), Rn deki diferansiyel-lenebilir yapy tayin eden maximal atlasn elemandr.
Tanm 4.5.1. U , Rn nin açk alt kümesi f = (f1, ..., fn) : U −→ Rn smoothdönü³üm olsun. p noktasnn kom³ulu§unda f 'nin smooth tersi varsa, f 'ye
p ∈ U 'da yerel tersinirdir denir. Ksmi türevler∂fi∂rj
matrisine f 'nin Jaco-
bien matrisi denir.
Teorem 4.5.1. (Ters Fonksiyon Teoremi): f : W −→ Rn, R nin açk altkümesi W üzerinde tanml ve C∞-dönü³üm olsun. p ∈ W için f 'nin,p noktasnda yerel tersinir olmas için gerek ve yeter ³art Jacobien determi-nantnn sfrdan farkl olmasdr.
ALITIRMALAR
1. F : M −→ N dönü³ümünün p ∈ N de C∞ oldu§unu kabul edelim.(U′, φ′) N nin bir atlasndaki p yi içeren herhangi bir harita ve (V
′, ψ′) M
nin bir atlasndaki F (p) yi içeren herhangi bir harita ise o zaman ψ′ F
(φ′)−1 in φ
′(p) de C∞ oldu§unu gösteriniz.
2. F : N −→ M ve G : M −→ P C∞-dönü³ümler ise G F : N −→ Pbile³kesinin de C∞-dönü³üm oldu§unu ispatlaynz.
3. M , m-boyutlu N , n-boyutlu manifold olmak üzere f : M −→ N
36
dönü³ümünün C∞-dönü³ümü olmas için gerek ve yeter ³art M nin at-lasndaki her (U, φ) haritas ve N nin atlasndaki her (V, ψ) haritas içinψ f φ−1 bile³kesinin φ(f−1(V )∩U) üzerinde C∞-dönü³ümü olmasdr.Gösteriniz.
4. f : M −→ R dönü³ümünün C∞-dönü³ümü olmas için gerek ve yeter ³artM nin atlasndaki her (U, φ) haritas için f φ−1 fonksiyonunun φ(U)üzerinde C∞-dönü³ümü olmasdr. Gösteriniz.
5. GL(n,R) = A ∈ Rn×n | detA 6= 0 ³eklinde tanmlanan genel lineergrup GL(n,R) nin matris çarpm altnda bir Lie grup oldu§unu gösteriniz.
4.6 Bölüm Uzaylar
∼, S üzerinde bir denklik ba§nts olsun.
π : S −→ S/ ∼ x 7−→ [x]
U nun S/ ∼ da açk olmas için gerek ve yeter ³art π−1(U) nun S'de açkolmasdr.τ = U ⊂ S/ ∼ | π−1(U), S ′de açkτ , S/ ∼ üzerinde bir topolojidir. (S/ ∼, τ) ya bölüm topolojik uzay denir.−f([p]) = f(p)
Önerme 4.6.1.−f : S/ ∼−→ Y sürekli ⇔ f : S −→ Y süreklidir.
spat: (⇒)−f sürekli olsun. f =
−f π ve π ile
−f sürekli oldu§undan f
süreklidir.(⇐) f sürekli olsun. V ⊂ Y açk olsun. f−1(V ), S de açktr.
f−1(V ) = π−1 −f−1
(V ) = π−1(−f−1
(V ))
37
π bölüm dönü³ümü oldu§undan−f−1
(V ) açktr. O halde−f süreklidir.
Önerme 4.6.2.−f : I/ ∼−→ S1 fonksiyonu homeomorzmadr.
spat: S1 ⊂ R2 Hausdor uzaydr. I = [0, 1] kompakttr. Kompaktuzaylarn sürekli bir fonksiyon altndaki görüntüsü kompakttr. Yani I/ ∼kompakttr.
f : I −→ S1 x 7−→ f(x) = e2πix
−f([x]) = f(x) ³eklinde tanmlansn.
−f nin bijektif oldu§u açktr.
Önerme 4.6.3. S/ ∼ Hausdor ise p ∈ S noktasnn denklik snf [p]S'de kapaldr.
4.7 Açk Denklik Ba§nts
Tanm 4.7.1. π : S −→ S/ ∼ dönü³ümü açk ise S üzerindeki ∼ ba§ntsaçktr denir.
Not 4.7.1. S üzerindeki denklik ba§ntsnn açk olmas için gerek ve yeter³art S üzerindeki U aç§ için π−1(π(U)) =
⋃x∈U
[x] kümesinin açk
olmasdr.
Örnek 4.7.1. π : R −→ R/ ∼ (−1 ∼ 1) dönü³ümü açk dönü³üm de§ildir.V = (−2, 0), R'de açktr. π−1(π(V )) = (−2, 0)∪ −1 R'de açk de§ildir.
Teorem 4.7.1. ∼, S üzerinde açk denklik ba§nts olsun.S/ ∼ Hausdortur ⇔ denklik ba§ntsnn gra§i G∼ S × S'de kapaldr.
spat: (⇒) S/ ∼ Hausdor olsun. G∼, S × S'de kapal oldu§unugösterece§iz. Yani S × S − G∼ nn açk oldu§unu göstermemiz yeterlidir.(x, y) ∈ S × S − G∼ olsun. x 6∼ y yani [x] 6= [y] dir. S/ ∼ Hausdoroldu§undan U[x] ∩ V[y] = ∅ olacak ³ekilde [x]'in U[x] ve [y]'nin V[y] aç§vardr.
π−1(U[x]) = U π−1(V[y]) = V
U × V açktr. S × S −G∼ açktr. G∼ kapaldr.(⇐) G∼ kapal olsun. Yani S×S−G∼ açktr. O zaman (x, y) ∈ S×S−G∼
38
için (x, y) ∈ U × V var öyleki U × V ⊂ S × S − G∼ dr. U 'nun hiçbir el-eman, V 'nin elemanna denk de§ildir. Yani π(U) ∩ π(V ) = ∅. π(U) veπ(V ), S/ ∼'da açk çünkü π bölüm dönü³ümü [x] 6= [y] dir.[x] ∈ U[x] = π(U) ve [y] ∈ V[y] = π(V ) ve U[x] ∩ V[y] = ∅ ⇒ S/ ∼Hausdortur.
Teorem 4.7.2. ∼, S üzerinde açk denklik ba§nts olsun. Ayrca π :S −→ S/ ∼ bölüm dönü³ümü olsun. β = Bα, S'nin baz ise π(Bα),S/ ∼ nn bazdr.
Sonuç 4.7.1. ∼, ikinci saylabilir uzay S üzerinde açk denklik ba§ntsise S/ ∼ da ikinci saylabilir uzaydr.
ALITIRMALAR
1. F : R2 −→ R3 dönü³ümü (u, v, ω) = F (x, y) = (x, y, xy) ³eklinde tanml
dönü³üm olsun. F∗(∂
∂y) de§erini
∂
∂u,∂
∂vve
∂
∂ωnin lineer kombinasyonu
olarak hesaplaynz.
2. α sabit bir reel say olsun ve F : R2 −→ R2[uv
]= (u, v) = F (x, y) =
[cosα − sinαsinα cosα
]=
[uv
]³eklinde tanmlansn. X = −y ∂
∂x+ x
∂
∂y, R2 üzerinde vektör alan olsun.
F∗(X) = a∂
∂u+ b
∂
∂v
ise a ve b yi; x, y ve α l terimler ³eklinde bulunuz.
3. x ve y, R2 de standart koordinatlar ve U = R2 − (x, 0) : x ≥ 0açk küme olsun.U nun kutup koordinatlar x = r cos θ y = r sin θ, r > 0, 0 < θ < 2πiçin
∂
∂rve
∂
∂θy;
∂
∂xve
∂
∂ycinsinden yaznz.
4. p = (x, y) R2 de bir nokta olsun. O zaman
cp(t) =
[cos 2t − sin 2tsin 2t cos 2t
] [xy
], t ∈ R
39
R2 de ba³langç noktal bir e§ridir. c′p(0) hz vektörünü hesaplaynz.
4.8 Tanjant Uzay
Rn de verilen bir noktadaki tanjant vektörünü tanmlam³tk. imdi dahagenelini tanmlayaca§z.
Tanm 4.8.1. M manifoldunun p noktasndaki tanjant vektörü,
D(f.g) = Df.g + f.Dg
olacak ³ekilde D : C∞p −→ R lineer dönü³ümüdür. p ∈ M deki tanjantvektörlerin olu³turdu§u uzaya da tanjant vektör uzay denir. Tp(M) ile gös-terilir.
Not 4.8.1. U , p ∈ M noktasn içeren bir açk alt küme olsun. U 'dakiC∞-fonksiyonlarn germ cebiri C∞p (U) ile C∞p (M) ayndr.
4.9 Bir Dönü³ümün Diferansiyeli
f : N −→ M C∞-dönü³ümü olsun. F , p ∈ N noktasnda tanjantuzaylar lineer dönü³üm üretir. Fp noktasndaki tanjant vektör
F∗ : Tp(N) −→ TF (p)(M), Xp 7−→ F∗(Xp)
Xp ∈ Tp(N) ise F∗(Tp(N)), TF (p)(M)'de tanjant vektörüdür.
Örnek 4.9.1. F : Rn −→ Rm, Rn nin bazlar∂
∂x1
, ...,∂
∂xnve Rm nin
bazlar∂
∂y1
, ...,∂
∂ymdir.
F∗ : Tp(Rn) −→ TF (p)(Rm),∂
∂xi|p 7−→ F∗(
∂
∂xi|p) =
∑akj
∂
∂yk|F (p)
40
Fi = yi F olsun.
∂
∂xj|pyiF =
∂Fi∂xj
(p) = F∗(∂
∂xi|p) =
∑akj
∂
∂yk|F (p) =
∑akj
∂
∂yk|F (p)yi =
∑akj δ
ik = aij
Bu da F 'nin p noktasndaki türev Jacobien matrisidir. Böylece manifold-lar arasndaki dönü³ümlerin türevi, Euclid uzaylar arasndaki dönü³ümlertürevinin genelle³tirilmi³idir.
4.10 Zincir Kural
F : N −→M ve G : M −→ P C∞-dönü³ümleri ve p ∈ N olsun.
Tp(N)F∗−→ TF (p)(M)
G∗−→ TGF (p)(P )
Önerme 4.10.1. F : N −→ M ve G : M −→ P C∞-dönü³ümleri vep ∈ N olsun. O zaman(G F )∗ = G∗ F∗ dir.
spat: G F : N −→ P
(GF )∗ : Tp(N) −→ TGF (p)(P ), Xp 7−→ (GF )∗(Xp)(f) = Xp(f GF )
Xp ∈ Tp(N) ve f , G(F (p)) noktasnda C∞-fonksiyon olsun.
(G F )∗(Xp)(f) = Xp(f G F )
(G∗ F∗)(Xp)(f) = G∗(F∗(Xp))(f) = F∗(Xp)(f G) = Xp(f G F )
Not 4.10.1. 1M : M −→ M birim dönü³ümün diferansiyeli 1Tp(M) :TpM −→ TpM birim dönü³ümüdür. Çünkü
(1M)∗(Xp)f = Xp(f 1M) = Xpf
dir.
Sonuç 4.10.1. F : N −→M dieomorzm ve p ∈M olsun.
F∗ : Tp(N) −→ TF (p)M
vektör uzay izomorzmasdr.
41
spat: F : N −→ M dieomorzm olsun. O zaman G F = 1N veF G = 1M olacak ³ekilde G : M −→ N diferansiyellenebilir C∞-dönü³ümüvardr.
(G F )∗ = (1N)∗ ⇒ G∗ F∗ = 1TpN ⇒ F∗ injektiftir.(F G)∗ = (1M)∗ ⇒ F∗ G∗ = 1TF (p)M ⇒ F∗ sürjektiftir.
Sonuç 4.10.2. U ⊆ Rn aç§ V ⊆ Rm aç§na dieomork ise n = m dir.
spat: F : U ⊆ Rn −→ V ⊆ Rm dieomorzm olsun. Bir önceki sonuçtanF∗ : TpU −→ TF (p)V izomorzmdir. Daha önceden biliyoruz ki TpU ' Rn
ve TF (p)V ' Rm dir. Dolaysyla
boyut(Rn) = boyut(Rm)⇒ n = m.
4.11 Tanjant Uzay Bazlar
(U, φ), p ∈M noktasnn koordinat kom³ulu§u olsun.
∂
∂xi|p f =
∂
∂ri|φ(p) f φ−1 ∈ R
φ : U −→ Rn dieomorzm oldu§undan φ∗ : TpU ⊂ TpM −→ Tφ(p)Rn
izomorzmadr.
Önerme 4.11.1. (U, φ), p ∈M noktasnn haritas olsun.
φ∗(∂
∂xi|p) =
∂
∂ri|φ(p)
dir.
spat: f ∈ C∞φ(p)(R) olsun.
φ∗(∂
∂xi|p)(f) =
∂
∂xi(f φ) =
∂
∂ri|φ(p) f φ φ−1 =
∂
∂ri|φ(p)(f).
Yani sonuç olarak φ∗(∂
∂xi|p) =
∂
∂ri|φ(p) dir.
Önerme 4.11.2. (U, φ), p noktasn içeren bir harita olsun. TpM tanjantuzaynn,
∂
∂x1
|p,∂
∂x2
|p, ...,∂
∂xn|p
formunda bazlar vardr.
42
4.12 Bir Manifolda ait E§ri
Tanm 4.12.1. Bir manifolda ait C∞-e§risi c : (a, b) −→M C∞-fonksiyondur.c e§risinin t ∈ (a, b) zamanndaki hz vektörü
c′(t) =
dc
dt(t) = c∗(
d
t) ∈ Tc′ (t)M.
Örnek 4.12.1. c : R −→ R2, t 7−→ c(t) = (t2, t3)
c′(t) = a.
∂
∂x+ b.
∂
∂y
a = (a.∂
∂x+b.
∂
∂y).x = c
′(t).x ⇒ a = c∗(
d
dt)x =
d
dt(xc) =
d
dt(t2) = 2t
b = (a.∂
∂x+b.
∂
∂y).y = c
′(t).y ⇒ b = c∗(
d
dt)y =
d
dt(y c) =
d
dt(t3) = 3t2
c′(t) = 2t.
∂
∂x+ 3t2.
∂
∂y
bulunur.
Önerme 4.12.1. c : (a, b) −→M bir e§ri (U, x1, ..., xn) c(t) civarnda birharita olsun. O zaman
c′(t) =
n∑j=1
(cj)′(t)
∂
∂xj|p.
Böylece Tc(t) uzaynn ∂
∂xj|p bazna göre hz vektörü
c′(t) =
c′1(t)c′2(t)::
c′n(t)
sütun vektörü ile ifade edilir.
4.13 E§riler Kullanlarak Diferansiyel Hesab
Önerme 4.13.1. F : N −→M C∞-dönü³üm, p ∈ N ve Xp ∈ TpN olsun.c, p ∈ N de ba³layp (c(0) = p) ve ba³langç noktasndaki hz vektörü Xp
olan bir e§ri ise
F∗,p(Xp) =d
dt|0 F c(t)
43
dir.
spat: c, c(0) = p ve c′(0) = Xp özelliklerine sahip olsun.
F∗,p : TpN −→ TF (p)M, Xp 7−→ F∗,p(Xp)
F∗,p(Xp) = F∗,p(c′(0)) = F∗,p c∗,p(
d
dt|0)
= (F c)∗,p(d
dt|0)
=d
dt|0(F c(t)).
Örnek 4.13.1. g, GL(n,R)'de bir matris ve
Lg : GL(n,R) −→ GL(n,R), B 7−→ Lg(B) = gB
olsun. GL(n,R), Rn2nin açk altkümesi oldu§undan, Tg(GL(n,R) ' Rn2
dir.X ∈ TI(GL(n,R) = Rn2
için
(lg)∗,I(X) =d
dt|0 lg c(t) =
d
dt|0 g(c(t)) = gc
′(t) = gX.
4.14 Rank, Kritik ve Regüler Nokta
Tanm 4.14.1. V, W sonlu vektör uzaylar olmak üzere L : V −→ Wdönü³ümünün rank L(V ) alt uzaynn boyutudur.
Not 4.14.1. L, V ve W 'nn bazlarna göre A matrisi ile ifade edilirseL'nin rank A'nn rank ile ayndr. Çünkü L(V ), A'nn sütun uzaydr.
Tanm 4.14.2. f : N −→ M C∞-dönü³üm olsun. f 'nin p noktasndakirank f∗,p : TpN −→ Tf(p)M diferansiyelinin rankdr.
Not 4.14.2. 1) Diferansiyel Jacobien matrisi ile ifade edildi§inden
rkf(p) = rk
∂f1
∂x1
|p ...∂f1
∂xn|p
: :: :
∂fn∂xn|p ...
∂fn∂xn|p
2) Bir dönü³ümün diferansiyeli koordinat haritasndan ba§msz oldu§undanrank da ba§mszdr.
44
Tanm 4.14.3. 1) f∗,p : TpN −→ Tf(p)M diferansiyeli sürjektif de§ilse, pnoktas f 'nin kritik noktasdr.2) f∗,p diferansiyeli sürjektif ise p noktas f 'nin regüler noktasdr.3) p noktas kritik noktann görüntüsü ise p'ye kritik de§er denir. Di§erhalde p'ye regüler de§er denir.
Önerme 4.14.1. f : M −→ R reel de§erli fonksiyon olsun. p ∈M olsun.p nin kritik nokta olmas için gerek ve yeter ³art p'yi içeren (U, x1, ..., xn)
haritasna göre tüm ksmi türevlerin∂f
∂xj(p) = 0 j = 1, ..., n olmasdr.
spat: f∗,p : TpN −→ Tf(p)R ' R diferansiyeli[∂f
∂x1
...∂f
∂xn
]matrisi ile ifade edilir. f∗,p nin görüntüsü R'nin lineer alt uzaydr. Dolaysylaf∗,p nin boyutu sfr veya birdir. Bir ba³ka deyi³le f∗,p sfr veya sürjektifdönü³ümüdür.
f∗,p sürjektif olamaz ⇔ tüm türevler∂f
∂xi(p) = 0
ALITIRMALAR
1. f : R2 −→ R, (x, y) 7−→ f(x, y) = x3 − 6xy + y2
Hangi c de§erleri için f−1(c), R2 nin regüler alt manifoldudur ?
2. x, y, z, w; R4 de standart koordinatlar olsun. R4 de x5 + y5 + z5 +w5 = 1denkleminin çözüm kümesi bir manifold mudur ? Açklaynz.
3. x3 + y3 + z3 = 1 ve z = xydenklem sisteminin çözüm kümesi R3 de bir C∞ manifold mudur ? Açk-laynz.
4. f : R2 −→ R smooth fonksiyonunun G(f) = (x, y, f(x, y)) ∈ R3gra§inin R3 ün bir regüler alt manifoldu oldu§unu gösteriniz.
45
4.15 Alt Manifoldlar
Bu bölümde bir manifoldun regüler alt manifoldunu tantaca§z. Ayrca TersFonksiyon Teoreminden, manifoldlar arasndaki C∞-dönü³ümü altnda tersgörüntü kümesinin regüler alt manifold oldu§unu belirleyen kriterleri ver-mektedir.
Tanm 4.15.1. N bir manifold olmak üzere S, N 'nin bir alt kümesiolsun. Her p ∈ S için, U ∩ V koordinat fonksiyonlarnn (n − k) snnyok olmas ile tanmlanacak ³ekilde N nin atlasna ait p noktasnn (U, φ)koordinat kom³ulu§u varsa, S alt kümesine k boyutlu regüler alt manifolddenir. Burada (n− k) koordinat fonksiyonlarnn xk+1, xk+2, ..., xn oldu§ubilinmelidir. N 'deki bu tür haritaya S'ye göre adopte edilmi³ harita denir.U ∩ S üzerinde φ = (x1, x2, ..., xk, 0, 0, ..., 0) dr.
φS : U ∩ S −→ Rk φS = φ|U∩S = (x1, x2, ..., xk)
Tanm 4.15.2. S, n-boyutlu N manifoldunun k-boyutlu regüler alt man-ifoldu olsun. (n− k)'ya N 'deki S'nin e³-boyutu denir.
Not 4.15.1. 1) Topolojik uzay olarak, N 'nin regüler alt manifoldunun altuzay topolojisine sahip olmas istenilir.2) Alt Manifold ifadesi daima regüler alt manifold anlamnda olacaktr.
Örnek 4.15.1. S = (−1, 1) xy-düzleminde (R2) regüler alt manifolddur.U = (−1, 1)× (−1, 1)
U ∩S = S (U, φ) S'ye göre adopte edilmi³ haritadr. V = (−2, 0)× (−1, 1)
46
(V, ψ) S'ye göre adopte edilmi³ harita de§ildir.
Örnek 4.15.2. Γ = (x, y) ∈ R2 | y = sin(1
x) ve 0 < x < 1 I =
(0, y) ∈ R2 | − 1 < y < 1
S = Γ ∪ I olup S, R2 nin regüler alt manifoldu de§ildir. Çünkü p ∈ Inoktasn içeren adopte edilmi³ harita yoktur. p noktasnn yeterince küçükU kom³ulu§u sonsuz çoklukta S ile kesi³ir. (1, sin 1), (0, 1), (0,−1) uçnoktalarnda U , S'den farkldr.
Önerme 4.15.1. S, N manifoldunun regüler alt manifoldu ve U =(U, φ), S'yi örten N 'nin adopte edilmi³ kolleksiyonu olsun. O zaman(U ∩S, φS) S için bir atlastr. Dolaysyla regüler alt manifoldu bir man-ifolddur. E§er N , n-boyutlu ve S'de n − k koordinatlar yok edilerektanmlanm³ ise dimS = k dr.
spat: (U, φ) = (U, x1, ..., xn) (V, ψ) = (V, y1, ..., yn)
adopte edilmi³ iki harita olsun. Bu iki haritann kesi³ti§ini varsayalm. p ∈U ∩ V ∩ S için
φ(p) = (x1, x2, ..., xk, 0, ..., 0) ψ(p) = (y1, y2, ..., yk, 0, ..., 0)
47
YaniφS(p) = (x1, x2, ..., xk) ψS(p) = (y1, y2, ..., yk)
DolaysylaψS (φS)−1 = (x1, x2, ..., xk) = (y1, y2, ..., yk)
(y1, y2, ..., yk) C∞-fonksiyonlar oldu§undan ψS φ−1S C∞-fonksiyonudur.
Böylece (U ∩ S, φS) atlasndaki iki harita C∞-uyumludur.
U ∩ SU∈U,
S'nin açk örtüsü oldu§undan (U ∩ S, φS), S'nin atlasdr.
4.16 Fonksiyonu Sfrlayan Elemanlarn Kümesi
Tanm 4.16.1. Bir c ∈ M noktasnn f : N −→ M dönü³ümü altndaters görüntü kümesi f−1(c) = p ∈ N | f(p) = 0. Özel olarak f : N −→ Rm
ise Z(f) = f−1(0) kümesine f 'nin sfr kümesi denir.Örnek 4.16.1.
f : R3 −→ R, (x, y, z) 7−→ f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1
f−1(0) = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1∂f
∂x= 2x
∂f
∂y= 2y
∂f
∂z= 2z
Bunlar sfra e³itlersek f 'nin kritik noktas (0, 0, 0) bulunur. (0, 0, 0) /∈ S2.Kürenin tüm noktalar f nin regüler noktalardr. Di§er taraftan (0, 0, 0)
f 'nin regüler noktas de§ildir. p ∈ S2 noktasnda∂f
∂x(p) = 2x|p 6= 0 olsun.
(f, y, z) : R3 −→ R3 dönü³ümünün Jacobien matrisi
A =
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∂y
∂x
∂y
∂y
∂y
∂z
∂z
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
=
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
0 1 0
0 0 1
detA|p =∂f
∂x|p 6= 0. Ters fonksiyon teoreminden, (Up, f, y, z) R3 deki bir
atlasa ait olacak ³ekilde p ∈ R3 noktasnn bir Up kom³ulu§u vardr. Birincikoordinat sfr alrsak (yani f = 0 ) Up∩S2 tanmldr. Böylece (Up, f, y, z),S2 ye göre adopte edilmi³ haritadr ve (Up ∩S2, y, z), S2 nin bir haritasdr.
48
Teorem 4.16.1. N bir manifold olmak üzere f : N −→ R C∞-fonksiyonuolsun. c ∈ R noktasnn f altndaki ters görüntü kümesi f−1(c), N 'nin1-e³-boyutlu regüler alt manifoldudur.
spat: f fonksiyonunu f−c ile de§i³tirirsek c = 0 varsayabiliriz. p ∈ Solsun. p, f 'nin regüler noktas oldu§undan p'yi içeren (U, x1, ..., xn) bir
harita vardr öyleki∂f
∂xi|p 6= 0 dr.
∂f
∂x1
|p 6= 0 olsun. (f, x2, ..., xn) : U −→ Rn C∞-fonksiyonudur. Üstelik
Jacobien matrisi
A =
∂f
∂x1
∂f
∂x2
...∂f
∂xn
∂x2
∂x1
∂x2
∂x2
...∂x2
∂xn::
∂xn∂x1
∂xn∂x2
...∂xn∂xn
=
∂f
∂x1
∂f
∂x2
...∂f
∂xn
0 1 ... 0: :: :0 0 ... 1
detA|p =∂f
∂x1
|p 6= 0.
Ters fonksiyon teoreminden, (f, x2, ..., xn) koordinat sistemi olacak ³ekildep noktasnn Up kom³ulu§u vardr. f = 0 olmal. Up ∩ S'nin f altndakiters görüntüsü tanmldr. Dolaysyla (Up, f, x2, ..., xn) adopte edilmi³ har-itadr. Böylece S, N 'de n− 1 boyutlu regüler alt manifolddur.
4.17 Regüler Ters Görüntü Kümesi Teoremi
Teorem 4.17.1. N n-boyutlu manifold olmak üzere f : N −→ Rm C∞-fonksiyonu olsun. c ∈ Rm noktasnn f altndaki ters görüntü kümesi, Nnin n−m boyutlu regüler alt manifoldudur.
spat: Ödev.
Lemma 4.17.1. f : N −→ Rm C∞-fonksiyon ve S = f−1(0) olsun.(U, x1, ..., xn) koordinat haritasna göre Jacobien matrisinin determinantsfrdan farkl ise p nin bir kom³ulu§unda N nin adopte edilmi³ haritasnelde etmek için xj1 , ..., xjm nin f1, ..., fm ile de§i³tirilebilir.spat: Ödev.
49
Teorem 4.17.2. (Regüler Ters Görüntü) : N , n-boyutlu,M m-boyutlu man-ifoldlar olmak üzere f : N −→ M C∞-dönü³üm olsun. c ∈ M elemannnf altndaki ters görüntü kümesi f−1(c), N nin n −m boyutlu regüler altmanifoldudur.
spat: Ödev.
Örnek 4.17.1. x3 + y3 + z3 = 1 denkleminin çözüm kümesi S, 2-boyutlumanifolddur.
S = (x, y, z) ∈ R3 | x3 + y3 + z3 = 1
f : R3 −→ R (x, y, z) 7−→ f(x, y, z) = x3 + y3 + z3
S = f−1(1) ∂f
∂x= 3x2 ∂f
∂y= 3y2 ∂f
∂z= 3z2
f nin kritik noktas (0, 0, 0) olur. Fakat (0, 0, 0) /∈ S. O halde Regüler TersGörüntü teoreminden, f−1(1) = S, R3 ün regüler alt manifoldudur.Örnek 4.17.2.
x3 + y3 + z3 = 1 x+ y + z = 0
denklem sisteminin çözüm kümesi R3 ün regüler alt manifoldudur.
F : R3 −→ R2 (x, y, z) 7−→ F (x, y, z) = (x3 + y3 + z3, x+ y + z)
S = F−1((1, 0)) alalm. F nin Jacobien matrisi[ux uy uzvx vy vz
]=
[3x2 3y2 3z2
1 1 1
]
F 'nin kritik noktas (x, y, z) dir.∣∣∣∣ 3x2 3y2
1 1
∣∣∣∣ = 0 ⇒ 3x2 − 3y2 = 0 ⇒ y = ∓x
∣∣∣∣ 3x2 3z2
1 1
∣∣∣∣ = 0 ⇒ 3x2 − 3z2 = 0 ⇒ z = ∓x∣∣∣∣ 3y2 3z2
1 1
∣∣∣∣ = 0 ⇒ 3y2 − 3z2 = 0 ⇒ z = ∓y
x + y + z = 0 oldu§undan (x, y, z) = (0, 0, 0) bulunur. S kümesi R3 ünregüler alt manifoldudur.
S = (x, y, z) ∈ R3 | x3 + y3 + z3 = 1 ve x+ y + z = 0
50
4.18 C∞-Dönü³ümlerin Rank
Tanm 4.18.1. f : N −→M C∞-dönü³ümünün p ∈ N noktasndaki rank,f 'nin p noktasndaki diferansiyelinin rankdr. BoyN = n boyM = molsun. f 'nin maksimal rank varsa 3 durum mevcuttur:i) n = m ise f p noktasnda yerel dieomorzmdir.ii) n ≤ m ise maksimal rank n ve f immersiyon (batrma) dr.iii) n ≥ m ise maksimal rank m ve f submersiyon (daldrma) dr.
4.19 Sabit Rank Teoremi
f : N −→ M C∞-dönü³ümü olsun. c ∈ M için f−1(c) nin bir manifoldoldu§unu göstermek istiyoruz. Regüler ters görüntü teoremini uygulamak içinf−1(c) nin her noktasnda f∗ diferansiyeli maksimum ranka sahip olmaldr.
Teorem 4.19.1. N n-boyutlu ve M m-boyutlu manifoldlar olsun. f :N −→ M dönü³ümünün p ∈ N noktasnn kom³ulu§unda k sabit rankvar olsun. φ(p) noktasnn bir kom³ulu§unda
ψ f φ−1(r1, ..., rn) = (r1, ..., rk, 0, ..., 0)
olacak ³ekilde M 'de (V, ψ) haritas ve N 'de (U, φ) haritas vardr.
Teorem 4.19.2. f : N −→ M C∞-dönü³ümü ve c ∈ M olsun. fdönü³ümü f−1(c) nin kom³ulu§unda k sabit rankna sahip ise f−1(c),N 'nin k-e³boyutlu regüler alt manifoldudur.
spat: p ∈ f−1(c) olsun. Sabit rank teoreminden,
ψ f φ−1(r1, r2, ..., rn) = (r1, r2, ..., rk, 0, ..., 0)
olacak ³ekilde f(p) = c ∈ M noktasnn (V, ψ) haritas ve p ∈ Nnoktasnn (U, φ) haritas vardr. 0 noktasnn ψ f φ−1 altndaki tersgörüntü kümesi r1, r2, ..., rk koordinatlar yok edilerek tanmlanr.
φ(f−1(c)) = φ(f−1(ψ−1(0))) = (ψ f φ−1)−1(0)
oldu§undan f−1(c) nin φ altndaki görüntü kümesi (ψ f φ−1)−1(0)kümesidir. U 'daki c ∈M nin f altndaki ters görüntü kümesi f−1(c) nin,N 'de regüler alt manifoldu oldu§unu verir.
51
Örnek 4.19.1. O(n,R), GL(n,R) nin regüler alt manifoldudur.
f : GL(n,R) −→ GL(n,R), A 7−→ f(A) = ATA
I birim matris olmak üzere, f−1(I) = O(n,R) dir. Bir önceki teoremdenO(n,R), GL(n,R) nin regüler alt manifoldudur.
4.20 Batrma(Immersion) ve Daldrma(Submersion)
Tanm 4.20.1. f : N −→M C∞-dönü³ümü olsun.1) Her p ∈ N için f∗,p : TpN −→ Tf(p)M injektif ise f 'ye batrmadrdenir.2) Her p ∈ N için f∗,p : TpN −→ Tf(p)M sürjektif ise f 'ye daldrmadrdenir.
f : N −→ M C∞-dönü³ümü ve (U, x1, ..., xn) p ∈ N noktasnn har-itas ve (V, y1, ..., ym) f(p) ∈ M noktasnn haritas olsun. fi = yi falalm. f∗,p dönü³ümü
A =
∂f1
∂x1
...∂f1
∂xn: :: :
∂fm∂x1
...∂fm∂xn
matrisi ile gösterilebilir. Bu durumda1) f∗,p injektif ⇔ n ≤ m ve rankA = n2) f∗,p sürjektif ⇔ n ≥ m ve rankA = m
Önerme 4.20.1. N , n-boyutlu manifold, M m-boyutlu manifold olsun.1) f : N −→ M C∞-dönü³ümü p ∈ N noktasnda batrma (immersiyon)ise f fonksiyonu p noktasnn kom³ulu§unda sabit rank n vardr.2) f p ∈ N noktasnda daldrma (submersiyon) ise f fonksiyonu p ∈ Nnoktasnn kom³ulu§unda sabit rank m vardr.
Teorem 4.20.1. (Daldrma Teoremi) N , n-boyutlu manifold, M m-boyutlumanifold olsun.1) f : N −→M fonksiyonu p ∈ N noktasnda batrma ise φ(p) noktasnnkom³ulu§unda
ψ f φ−1(r1, r2, ..., rn) = (r1, r2, ..., rn)
52
olacak ³ekilde (U, φ) ve (V, ψ) haritalar vardr.2) f : N −→ M fonksiyonu p ∈ N noktasnda daldrma ise φ(p) nok-tasnn kom³ulu§unda
ψ f φ−1(r1, ..., rm, rm+1, ..., rn) = (r1, ..., rm)
olacak ³ekilde (U, φ) ve (V, ψ) haritalar vardr.
Sonuç 4.20.1. f : N −→M daldrmas açk dönü³ümdür.
spat: W , N 'de açk olsun. f(p) ∈ f(W ) olsun. Daldrma Teore-minden, f yerel projeksiyondur. Projeksiyon açk dönü³üm oldu§undanf(U), M 'de açk olacak ³ekilde p ∈ W noktasnn U açk kom³ulu§u vardr.f(p) ∈ f(U) ⊂ f(W ) bulunur. Böylece f(W ), M 'de açktr. f : N −→ Mdaldrmas açk dönü³ümdür.
4.21 C∞-Dönü³ümlerin Görüntüleri
Örnek 4.21.1. 1) f : R −→ R2, t 7−→ f(t) = (t2, t3)
f injektif fakat f∗,0 : T0(R −→ T0(R2) injektif de§ildir. Dolaysyla fbatrma de§ildir.
2) g : R −→ R2, t 7−→ g(t) = (t2 − 1, t3 − t)
53
g injektif de§il fakat g∗,0 : T0(R −→ T0(R2) injektiftir.
3)
f : N −→M injektif ve batrmadr fakat f(R), R'ye homemorf de§ildir.Tanm 4.21.1. f : N −→M C∞-dönü³ümü olsun. A³a§dakiler mevcut isef 'ye gömme-yataklama (embedding) denir.1) f injektif batrmadr.2) f(N), N 'ye homeomorftur.
Örnek 4.21.2. f : (−π2, 3
π
2) −→ R2, t 7−→ f(t) =
(cos t, sin 2t)
54
f injektif ve batrmadr. Dolaysyla f 'nin görüntüsü R2 de batrlm³ altmanifolddur. Fakat R2 nin alt uzay olarak ³ekil sekiz manifold de§ildir. ekilsekiz, injektif batrma olan
g : (−π2, 3
π
2) −→ R2, t 7−→ g(t) = (cos t,− sin 2t)
dir.
Teorem 4.21.1. f : N −→M ye gömme-yataklama (embedding) ise f(N),M 'nin regüler alt manifoldudur.
spat: p ∈ N olsun. Daldrma Teoreminden p noktasnn kom³u-lu§unda (U, x1, x2, ..., xn) yerel koordinat ve f(p) noktasnn kom³ulu§unda(V, y1, y2, ..., ym) yerel koordinat vardr öyleki
f : U −→ V, (x1, x2, ..., xn) 7−→ f(x1, x2, ..., xn) = (x1, x2, ..., xn, 0, ..., 0)
yn+1, yn+2, ..., ym lerin yok edilmesiyle f(U), V 'de tanmldr. Bu tek ba³naf(N)'nin regüler alt manifold oldu§unu göstermez. Çünkü V ∩f(N), f(U)'yukapsamaktadr. V 'ye ait f(p) noktasnn kom³ulu§unda, f(N) n−m koor-dinatlarn yok edilmesiyle tanmlanr. f(N), N 'ye homeomorf oldu§undan,f(U), N 'de açktr. Alt uzay topolojisinden, V
′ ∩ f(N) = f(U) olacak³ekilde M 'de V
′aç§ vardr. V ∩V ′ de V ∩V ′ ∩ f(N) = V ∩ f(U) = f(U)
dur.f(U), yn+1, yn+2, ..., ym lerin yok edilmesiyle tanmlanr. Böylece (U ∩
V′, y1, ..., ym) f(N)'ye ait f(p) noktasn içeren adopte edilmi³ haritadr.
f(p), f(N)'nin key noktas oldu§undan f(N), M 'de regüler alt manifold-dur.
Teorem 4.21.2. N , M 'nin regüler alt manifoldu olsun. i : N −→ M ,p 7−→ i(p) = p ³eklindeki dönü³üm gömmesidir.
55
spat: Regüler manifoldun alt uzay topolojisi ve i(N) nin alt uzay topolo-jisi var oldu§undani : N −→ i(N) bir homeomorzmadr. Dolaysyla i : N −→ M yatak-lama oldu§unu göstermemiz gerekiyor. p ∈ N olsun. M 'nin adopte edilmi³haritas
(V, y1, y2, ..., yn, yn+1, ..., ym)
seçelim öyleki V ∩N , yn+1, ..., ym nin sfr kümesidir.
i : N −→ i(N) ⊂ N, (y1, y2, ..., yn) 7−→ i(y1, y2, ..., yn) = (y1, y2, ..., yn, 0, ..., 0)
kapsama dönü³ümü yataklamadr.
4.22 Alt Manifoldlar çine C∞-Dönü³ümler
f : N −→M , f(N), S ⊂M alt kümesinde olacak ³ekilde bir C∞-dönü³ümü
olsun.∼f : N −→ S dönü³ümü C∞-dönü³üm müdür ?
Cevap: S nin regüler alt manifold veya M nin batrma alt manifoldu olupolmamasna ba§ldr.
Örnek 4.22.1. S, R2 de ³ekil sekiz ve g tarafndan olu³turulan batrmaalt manifold yaps var olsun.
f : I −→ R2, t 7−→ f(t) = (cos t, sin 2t)
g : I −→ R2, t 7−→ f(t) = (cos t, − sin 2t)
f(I) ⊂ S oldu§undan C∞-dönü³ümü f ,∼f : I −→ S yi olu³turur. Fakat
∼f C∞-dönü³ümü de§ildir.
Teorem 4.22.1. F : N −→ M C∞-dönü³ümü ve F (N) ⊂ S ⊂ M olsun.
S, M 'nin regüler alt manifoldu ise∼F : N −→ S C∞-dönü³ümüdür.
spat: p ∈ N olsun. Ayrca dimN = n dimM = m dimS = solsun. F (p) ∈ S ⊂ M alalm. S, M 'nin regüler alt manifoldu oldu§un-dan F (p) civarnda M 'ye ait (V, ψ) = (V, y1, y2, ..., ym) adopte edilmi³(uyarlanm³) koordinat haritas vardr öyleki S ∩ V , ys+1, ys+2, ..., ym üz-erinde sfr kümesidir. F sürekli oldu§undan, F (U) ⊂ V olacak ³ekilde
56
(U, φ) = (U, x1, x2, ..., xn) koordinat haritasn seçebiliriz. F (U) ⊂ V ∩ Söyleki
ψ F φ−1(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ys, 0, ..., 0)
veψS
∼F φ−1(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ys)
dir.∼F , U üzerinde C∞-dönü³ümüdür.
Örnek 4.22.2. µ : GL(n,R) × GL(n,R) −→ GL(n,R), (A,B) 7−→ A.BC∞-dönü³ümüdür.
A = (aij) B = (bij) A.B = (n∑k=1
aikbkj)
aik ve bkj koordinatlar C∞-fonksiyonlardr.
∼µ : SL(n,R)× SL(n,R) −→ SL(n,R), (A,B) 7−→ A.B
C∞-dönü³ümüdür fakat (aij)1≤i≤n koordinat sistemi de§ildir.SL(n,R)×SL(n,R), GL(n,R)×GL(n,R) nin regüler alt manifoldu oldu§un-dan
i : SL(n,R)× SL(n,R) −→ GL(n,R)×GL(n,R)
C∞-dönü³ümdür. µ i C∞-dönü³ümdür.
µ i : SL(n,R)× SL(n,R) −→ GL(n,R)
ve∼µ : SL(n,R)× SL(n,R) −→ SL(n,R)
C∞-dönü³ümdür.
4.23 R3 deki Yüzeylerin Te§et Düzlemi
f(x1, x2, x3) R3 de kritik noktalar olmayan reel de§erli fonksiyon olsun.Regüler Ters Görüntü Teoreminden; N , R3 ün regüler alt manifoldudur. Ohalde i : N −→ R3 gömme (yataklama) dr. Dolaysyla i∗,p : Tp(N) −→Tp(R3) dönü³ümü injektiftir. N 'nin te§et düzlem denklemini bulmak istiy-oruz.
v =∑
vi∂
∂xiTp(N) de bir vektör olsun. TpR3 ' R3 oldu§undan, v'yi
57
R3 de (v1, v2, v3) olarak belirtebiliriz. c(t), c(0) = p ve c′(0) = (v1, v2, v3)
özelliklerine sahip N 'de bir e§ri olsun. c(t), N 'de oldu§undan f(c(t)) = 0dr. Zincir kuralndan
0 =d
dtf(c(t)) =
3∑i=1
∂f
∂xi(c(t))(ci)
′(t)
t = 0 için ifadeyi yeniden yazarsak;
0 =3∑i=1
∂f
∂xi(c(0))(ci)
′(0) =
3∑i=1
∂f
∂xi(p)vi
vi = xi − pi alrsak3∑i=1
∂f
∂xi(p)(xi − pi) = 0
te§et düzlemidir.
Örnek 4.23.1. f(x, y, z) = x2 +y2 +z2−1 küresinin p = (a, b, c) noktasn-daki te§et düzlemin denklemini belirleyiniz.
∂f
∂x= 2x
∂f
∂y= 2y
∂f
∂z= 2z
p = (a, b, c) noktasnda
∂f
∂x|p = 2a
∂f
∂y|p = 2b
∂f
∂z|p = 2c
∂f
∂x|p(x− a) +
∂f
∂y|p(y − b) +
∂f
∂z|p(z − c) = 0
2a(x− a) + 2b(y − b) + 2c(z − c) = 0
ax+ by + cz = 0
bulunur.
ALITIRMALAR
1. Sn ⊂ Rn+1 birim küresin+1∑i=1
(xi)2 = 1 ³eklinde tanmlansn. p ∈ Sn
noktas için
58
Xp =n+1∑i=1
ai∂
∂x|p ∈ Tp(Rn+1) nin, Sn e p noktasnda tanjant olmas için
gerek ve yeter ³art
n+1∑i=1
aipi = 0 olmasdr. Gösteriniz.
2. N kompakt manifold olmak üzere f : M −→ Rm C∞-dönü³ümünün birkritik noktas var oldu§unu gösteriniz.
3. S2 nin üst yar küresi için φ = (u, v) koordinat dönü³ümü vardr öylekiu(a, b, c) = a ve v(a, b, c) = b dir. O zaman S2 de herhangi bir p = (a, b, c)
üst yar küre noktasnda∂
∂u|p ve
∂
∂v|p, S2 nin tanjant vektörleridir.
i : S2 −→ R3 kapsama dönü³ümü ve x, y, z ler R3 de standart koordinatlar
olsun. i∗ : TpS2 −→ TpR3 diferansiyeli
∂
∂u|p ve
∂
∂v|p yi TpR3 e ta³r.
Böylece
i∗(∂
∂u|p) = α1
∂
∂x|p+β1
∂
∂y|p+γ1
∂
∂z|p ve i∗(
∂
∂v|p) = α2
∂
∂x|p+β2
∂
∂y|p+γ2
∂
∂z|p
olacak ³ekildeki αi, βi, γi i = 1, 2 sabitlerini tespit ediniz.
4. f : N −→ M 1 − 1 immersion (injektif batrma) olsun. N kompaktise f(N)'nin M 'nin regüler altmanifoldu oldu§unu gösteriniz.
5. f : [0, 2π] −→ R2 , x 7−→ f(x) = (cos 2x,− sinx)³eklinde tanmlanm³ f fonksiyonunun batrma olup olmad§n inceleyiniz.
6. g : R −→ S1 × S1, x 7−→ g(x) = (e2πiαx, e2πiβx)³eklinde tanmlanm³ g fonksiyonunun batrma olup olmad§n inceleyiniz.(NOT: α
βirrasyonel saydr.)
7. φ : R3 −→ R2, (x, y, z) 7−→ φ(x, y, z) = (y − z, x)dönü³ümünün daldrma (submersion) olup olmad§n belirleyiniz.
8. U = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 > 0 olsun.φ : U ⊂ R3 −→ R, (x, y, z) 7−→ φ(x, y, z) = x2 + y2 +
z2
dönü³ümünün daldrma (submersion) olup olmad§n belirleyiniz.
59
Bölüm 5
YÜZEYLER
Tanm 5.0.1. Kompakt, ba§lantl 2-manifolda bir yüzey denir.
Örnek 5.0.2. Silindir, paraboloid,kürenin kulplar çkartlarak elde edilenyüzey.
5.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces)
ekil 5.1: Küre 0-kulpludur
ekil 5.2: Tor 1-kulpludur
ekil 5.3: 2-kulplu
.......
ekil 5.4: g-kulplu
60
Tanm 5.1.1. Sg ailesinin g-inci elemanna g genuslu yüzey denir.
5.2 Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces)
.
.
.
.
.
ekil 5.5: RP 2 1-çapraz yüzeydir.
Tanm 5.2.1. C1, C2, ..., Cg ailesinin g-inci elemanna g çapraz yüzey denir.
61
5.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces)
Tanm 5.3.1. S bir yüzey olsun.
1. S ye ait her kapal e§ri yönünü koruyorsa S ye yönlü yüzey denir
2. S yüzeyi üzerinde yönü de§i³tiren en az bir kapal e§ri varsa S ye yönlüolmayan yüzey denir
Örnek 5.3.1. S2,T , silindir yönlü yüzeylerdir. Kb,Mb, RP 2 yönlü olmayanyüzeylerdir.
1. T ≈ S1xS1
2. T = (x, y, z) ∈ R3 : [(x2 + y2)12 − 2]2 + z2 = 1 ⊂ R3
62
Bölüm 6
YÜZEYLERNSINIFLANDIRILMASI
6.1 Ba§ntl Toplam(Connected Sum veya Topolo-jik Toplam)
Tanm 6.1.1. S1 ve S2 iki yüzey olsun. Bu iki yüzeyden birer disk çkartlsnve çkartlan ksmda bu iki yüzeyin yap³trlmasyla elde edilen yeni yüzeyeS1 ve S2 nin ba§lantl toplam denir.
Örnek 6.1.1. S2 ] S2 ≈ S2
ekil 6.1:
Özellikler 6.1.1. 1. S1 # S2 ≈ S2 # S1
2. (S1 # S2) # S3 ≈ S1 # (S2 # S3)
3. ki yönlü yüzeyin ba§lantl toplam yine yönlü yüzeydir.
4. S1 ve S2 herhangi biri yönlü de§ilse S1 # S2 yönlü de§ildir.
63
6.2 Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas
Teorem 6.2.1. Bir kompakt yüzey ya küreye ya tora ya da RP 2 # RP 2 ≈Kb ya homeomorfdur.
ab
a
b
ekil 6.2: RP 2 # RP 2 ≈ Kb
π1(Kb) = 〈a, b〉 : aba−1b = 1π1(RP 2) = 〈a, b〉 : abab = 1
6.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi
Tanm 6.3.1. S kompakt yüzey olsun. S nin üçgenle³tirilmesi S yi kaplayanT0, T1, . . . , Tn kapal alt kümelerinin sonlu ailesini içerir öyle ki Ti ler R2
deki kapal üçgenlere homeomorfdur.
Örnek 6.3.1. endörnek
1. Torun üçgenle³tirilmesi
a
b 1 2 3
45 6
78 9
1
11 2 3
4
7
ekil 6.3: Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi
Kareyi üçgenle³tiriyoruz. Farkl ³ekillerde üçgenle³tirebiliriz.
(a) ve (b) durumuda torun üçgenle³tirilmesidir. Yapt§mz üçgenle³tirmeile sadece sonraki i³lemlerimiz de§i³ecektir.
64
2. Projektif düzlemin herhangi bir üçgenle³tirilmesi
1 2 3
4
5 4
5
1 3 2 1
1
ekil 6.4: Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi
3. Küpün herhangi bir üçgenle³tirilmesi
e
g
d
e
a
a
f
bb f
gcc
d
ekil 6.5: Küpün üçgenle³tirilmesi
Not 6.3.1. Kompakt yüzeyin üçgenle³tirilmesi a³a§daki iki özellikelli§isa§lar;
(a) Üçgenle³tirmenin her kenar iki üçgenin kenardr
(b) ϑ, üçgenle³tirmenin bir kö³esi olsun.ϑ kö³eli üçgenler mevcutturöyle ki bu üçgenlerin ortak kenarlar vardr.
65
4. Kürenin herhangi bir üçgenle³tirilmesi
1
1
23
4
5
6
2
3
ekil 6.6: Kürenin üçgenle³tirilmesi
Lemma 6.3.1. Tor ve projektif düzlemin ba§lantl toplam üç projektifdüzlemin ba§lantl toplamna homeomorfdur.
RP 2 # T ≈ RP 2 # RP 2 # RP 2
RP’2# T
a
a
b
c
b
c
a
c
b
c
b
a
ekil 6.7: RP 2 # T
66
#
a aa a
a b
ba
ekil 6.8: RP 2 # RP 2
a
RP2 # RP2 # RP2
b
c
a
a
bb
c
c
ekil 6.9: RP 2 # RP 2 # RP 2
6.4 Euler Karakteristi§i
Euler karakteristi§i, kö³eleri, kenarlar ve yüzeyleri sayarak elde edilir.Bu nedenle hücre(cell) kompleksi üzerinde duraca§z.
Tanm 6.4.1. n-hücreyi, içinin n-diske homeomorf olan bir topolojiknesne olarak tanmlanabilir.
Örnek 6.4.1. (a) 0-hücre (kö³e) bir noktadr.
(b) 1-hücre (kenar), içi R de bir açk aral§a homeomorftur.
(c) 2-hücre (yüz), içi R2 de bir açk diske homeomorftur.
Tanm 6.4.2. Hücre Kompleksi, hücrelerin içi ikili baznda ayrkve snrlar boyutu dü³ük olan hücrelerin birle³imi olan yani 0-hücre,1-hücre, 2-hücre hücrelerin birle³imi olarak tanmlayabiliriz.
Not 6.4.1. Bir hücre kompleks, bi M yüzeyine homeomorf ise bu hücrekompleksine, M 'nin hücre ayr³m denir.
Örnek 6.4.2. A³a§da yüzeylerin hücre ayr³m verilmi³tir; Buraya³ekil yaplacak
Tanm 6.4.3. Bir M yüzeyinin v kö³esi, e kenar ve f yüzeyi varsaM 'nin Euler karakteristi§i
χ(M) = v − e+ f
³eklinde tanmlanr.
67
Örnek 6.4.3.
(a) S2 küre yüzeyinin 2 kö³esi, 1 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan
χ(S2) = v − e+ f = 2− 1 + 1 = 2.
(b) T Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan
χ(T ) = v − e+ f = 1− 2 + 1 = 0.
(c) 2T iki Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 4 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan
χ(2T ) = v − e+ f = 1− 4 + 1 = −2.
(d) RP 2 projektif düzlemin 1 kö³esi, 1 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan
χ(RP 2) = v − e+ f = 1− 1 + 1 = 1.
(e) Kb Klein isesinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan
χ(Kb) = v − e+ f = 1− 2 + 1 = 0.
(f) Mb Möbiüs ³eridinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu§undan
χ(Kb) = v − e+ f = 1− 2 + 1 = 0.
Not 6.4.2.
(a) χ(Kb) = 0 = χ(T ) olmasna ra§men Kb ve T homeomorf yüzeylerde§ildir.
(b) Kb ≈ RP 2 # RP 2 oldu§undan χ(Kb) = χ(RP 2 # RP 2) dir.
Teorem 6.4.1.
χ(M1#M2) = χ(M1) + χ(M2)− 2.
spat. M1 yüzeyinin kö³e says v1 olan 2n1-gen ile temsil edilsin. Budurumda
χ(M) = v1 − n1 + 1.
M2 yüzeyinin kö³e says v2 olan 2n2-gen ile temsil edilsin. Bu durumda
χ(M) = v2 − n2 + 1.
68
M1 # M2 yüzeyinin kö³e says v1 + v2− 1 ve kenar says n1 +n2 olan2(n1 + n2)-gen ile temsil edilir.
χ(M1 # M2) = v1 + v2 − 1− (n1 + n2) + 1
= v1 − n1 + 1 + v2 − n2 + 1− 2
= χ(M1) + χ(M2)− 2.
Not 6.4.3. S2 kulpsuz yüzey oldu§undan S2 = 0T dir.
Sonuç 6.4.1.
(a) n ≥ 0 için χ(nT ) = 2− 2n.
(b) m ≥ 1 için χ(RP 2) = 2−m.
spat.
(a) n = 0 için 0T = S2 oldu§undan χ(S2) = 2 dir. n = 1 için χ(T ) =0 dir. n = 2 için χ(2T ) = −2. n − 1 için do§ru olsun. Yaniχ((n− 1)T ) = χ(T # T # · · ·# T ) = 2− 2(n− 1) olsun. Yani
χ(nT ) = χ((n− 1)T # T ) = χ((n− 1)T ) + χ(T )− 2 (6.1)
= 2− 2(n− 1)− 0− 2 = 2− 2n. (6.2)
(b) Birinci ksmda oldu§u gibi m üzerinde tümevarmla ispatlanr.
Teorem 6.4.2. M herhangi bir yüzey olsun. χ(M),M 'nin hücre ayr³mseçiminden ba§mszdr.
Sonuç 6.4.2. A³a§daki önermeler Denktir;
(a) M1 yüzeyi M2 yüzeyine homeomorftur.
(b) χ(M1) = χ(M2) ve M1, M2 nin her ikisi oriyantel veya her ikisioriyantel de§ildir.
spat. 1)⇒ 2) : h : M1 −→M2 homeomorzma olsun. h, M1'in hücreayr³mn M2 nin hücre ayr³mna ta³d§ndan χ(M1) = χ(M2) dir.Ayrca oriyantellik bir topolojik özellik oldu§undan M1 yüzeyi oriyantelise M2 de oriyanteldir.
69
2) ⇒ 1) : kinci önerme mevcut olsun. M1 yüzeyinin M2 yüzeyinehomeomorf oldu§unu gösterce§iz. Bunun yüzeylerin oriyantel olma veoriyantel olmama durumlarna göre ispatlayaca§z.
Durum 1 : M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel olsun. O zaman M =n1T ve M2 = n2T dir. χ(M1) = χ(M2) oldu§undan
2− 2n1 = 2− 2n2 ⇒ n1 = n2.
Dolasyla M1 ≈ n1T = n2T ≈M2 dir.
Durum 2: M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel olmasn. O zaman M =m1RP 2 ve M2 = m2RP 2 dir. χ(M1) = χ(M2) oldu§undan
2−m1 = 2−m2 ⇒ m1 = m2.
Dolasyla M1 ≈M2 dir
Örnek 6.4.4. KB # RP 2, T # RP 2, RP 2 # RP 2 # RP 2 yüzey-lerinin homeomorf olduklarn gösterelim.
70
6.5 Yüzeyler Cebiri
Verilen kompakt yüzey kelime ile belirtilebilir. Kelime ve devir kuralnkullanarak kompakt yüzeyin düzlem modeli in³a edilir.
#
a
a
a aa a
ekil 6.10: S1#S1
Örnek 6.5.1. T# Kb # Rp2
T ⊕Kb⊕Rp2:acd−1eec−1d−1ba−1b−1
Teorem 6.5.1. (Pozisyon Devir Kural) Bir kompakt yüzey M ke-limesi ile belirtilsin.
(a) M = AB ise M ∼ BA (Çember Kural)
(b) M ∼M−1 (Flip Kural)
Teorem 6.5.2. (Küre Devir Kural) M = Axx−1B bir kompaktyüzeyi belirtsin. (A ve B den en az biri bo³tan farkl) O zaman AB bukompakt yüzeyi belirtir ve M ∼ AB dir.
Örnek 6.5.2. Küre için;
M = afg−1e−1b−1bec−1cgdd−1f−1a−1 ∼ afg−1e−1egf−1a−1
∼ afg−1gf−1a−1 ∼ aff−1a−1 ∼ aa−1 = S2
Teorem 6.5.3. (Silindir Devir Kural) M bir kompakt yüzey içinkelime ve M = AxBCx−1D ise M ∼ AxCBx−1D dir.
Örnek 6.5.3.
M = abca−1b−1c−1 = a(bc)a−1b−1c−1 ∼ a(cb)a−1b−1c−1
= acba−1b−1c−1 = ac(ba−1b−1)c−1
∼ ac(a−1b−1b)c−1 ∼ aca−1c−1 = T
Not 6.5.1. S2 = aa−1, T = aba−1b−1, Rp2 = aa,Kb = aba−1b
71
Teorem 6.5.4. (Mobius erit Devir Kural) Bir kompakt yüzeyibelirten kelime M ve M = AxBxC ise M ∼ AxxB−1C dir.
Örnek 6.5.4.
(a) M = abca−1b−1c ∼ abccba ∼ ccabba ∼ ccaabb = Rp2Rp2Rp2 =3Rp2
(b) Kb = aba−1b ∼ abba ∼ aabb = Rp2Rp2 = 2Rp2
(c) TRp2 = aba−1b−1cc ∼ a−1b−1(cca)b ∼ a−1b−1cacb
∼ a−1b−1cca−1b ∼ a−1b−1a−1bcc ∼ bab−1a(cc) = KbRp2
6.6 Ekli Uzaylar
Tanm 6.6.1. A, X in alt uzay ve f : A→ Y sürekli fonksiyon olsun.Ayrca ∀x ∈ A için x ∼ f(x) ba§nts tanimlansn. X∪Y
x∼f(x)= X ∪f Y
bölüm uzayna X in Y uzayna eklenmesi denir.
Örnekler:
(a) X = [0, 1] = Y,A = 0, 1
f : 0, 1 → [0, 1]
x→ f(x) =1
2
(b) X = [0, 1]x[0, 1] = Y,A = 0x[0, 1] ∪ 1x[0, 1]
f : A→ Y
(s, t)→ f(s, t) = (1
2, t)
(c) Koni
(d) Süspansiyon
72
XxI
Xx1
ekil 6.11: Koni dönü³ümü
Xx0
Xx1
ekil 6.12: Süspansiyon
(e) Mapping Silindir
XxI
Y
ekil 6.13: Silindir dönü³ümü
6.7 Al³trmalar
(a) T ] S2 ≈ T oldu§unu ³ekille gösteriniz.
(b) Rp2 ] Rp2 ≈ Kb oldu§unu ³ekil çizerek gösteriniz.
(c) T]Rp2 ≈ 3Rp2 oldu§unu uygun indirgeme kurallarnn kullanarakispat ediniz.
(d) n tane Rp2 nin ba§lantl toplam 2n kenarl poligonla temsil edilirve bu toplamn yüzey cebiri ise a1a1a2a2 · · · anan ³eklindedir.(yol gösterme : ispat n üzerinden tümevarmla yaplacaktr. )
73
(e) Uygun indirgeme i³lemlerinden yararlanarak abc−1b−1a−1c−1 veacb−1a−1c−1b yüzeylerinin orientable yüzey olup olmadklarn in-celeyiniz.
(f) ] ba§lantl toplam i³lemi komutatif midir? Birle³meli midir? Birimeleman var mdr? Ters eleman var mdr? Sonucu yorumlaynz.
(g) b−1a−1c−1c−1ba yüzeyi ile x−1x−1y−1y−1z−1z−1 yüzeyi ayn yüzeyincebirsel gösterimi olabilir mi? Açklaynz. (yol gösterme : indirgememethodlarn kullannz.)
(h) 2T ] Rp2 ≈ 5Rp2 oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : 3üncü soru-dan yararlannz.)
(i) x bir kenar ; P , Q ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.Uygunbir x1 kenar için ;xxP−1Q ≈ x1Px1Q dir. ekil çizerek ispatlaynz.
(j) x bir kenar , P , Q, R ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.Uygun bir x1 kenar içinxPQx−1R ≈ x1QPx
−11 R dir. ekil çizerek ispatlaynz.
(k) A³a§daki kelimelerin hangi yüzeyi belirtti§ini bulunuz.
i. abcba−1c
ii. abec−1ba−1cd−1ed
iii. ab−1cedefa−1bc−1d−1f
iv. aba−1cdb−1c−1d−1
v. ab−1c−1a−1cb
vi. abc−1bca
vii. abcb−1dc−1d−1a−1
74
Bölüm 7
TOPOLOJK GRUPLAR,GRUP HAREKET, LEGRUPLARI
7.1 Topolojik Gruplar
Tanm 7.1.1. (G, τ) topolojik uzay ve (G, .) bir grup olsun. A³a§dakiözellikellikler mevcut ise; (G, τ, .) üçlüsüne topolojik grup denir.
(a) f : G×G −→ G (x, y) 7→ f(x, y) = x.y sürekli fonksiyon
(b) g : G→ G x 7→ x−1 sürekli fonksiyon
Örnek 7.1.1. (a) (R, τs,+) bir topolojik guptur.(R, τs)bir topolojik uzay ve (R,+)bir gruptur.
i. f : R×R −→ R (x, y) 7→ f(x, y) = x+y = π1(x, y)+π2(x, y)zdü³üm fonksiyonlar sürekli oldu§undan toplamlar da sürek-lidir.
ii. g : R→ R x 7→ g(x) = −x = (−1).x = a.I(x)Sürekli fonksiyonun sabit bir say ile çarpm sürekli oldu§un-dan g süreklidir.
(b) (G, .) bir grup olsun. G üzerinde diskret topoloji alrsak (G, τd, .)bir topolojik gruptur.(G, τd)bir topolojik uzaydr.
i. f : G×G→ G (x, y) 7→ f(x, y) = x.y
ii. g : G→ G x 7→ g(x) = x−1
(G, τd) den alnan her açk (G × G,τdxτd) uzaynda açk ola-ca§ndan f ve g süreklidir.
75
(c) R∗ = R − 0, (R∗, τs, .) bir topolojik guptur. (R∗, .) bir grup ve(R∗, τs), (R, τs) nin altuzay topolojisidir.
i. f : R∗ × R∗ → R∗ (x, y) 7→ f(x, y) = x.y = π1(x, y).π2(x, y)
ii. g : R∗ → R∗ x 7→ g(x) = x−1 = 1x
= 1I(x)
, I(x) 6= 0f ve g süreklidir.
(d) (S1, τ, .) bir topolojik gruptur. τ = τs × τs, . : C deki çarpmai³lemidir. (S1, τ) topolojik uzay ve (S1, .) bir gruptur.
i. f : S1×S1 → S1 (z1, z2) 7→ f(z1, z2) = z1.z2 = π1(z1, z2).π2(z1, z2)
ii. g : S1 → S1 z 7→ g(z) = z−1 = 1z
= z|z| = z = e−iθ =
(cos θ,− sin θ)f ve g süreklidir.
(e) Banach ve Hilbert uzaylar birer topolojik gruptur.Banach uzay normlu tam vektör uzaydr. Vektör uzay oldu§un-dan grup yaps vardr. Norm tarafndan üretilen topolojiye sahip-tir.
i. f : BxB → B (x, y) 7→ f(x, y) = x+ y
ii. g : B → B x 7→ g(x) = −xf ve g süreklidir.
(f) C∗ = C−(0, 0), (C∗, τ, .) bir topolojik gruptur.(. : C deki çarpma)
Önerme 7.1.1. ki topolojik grubun kartezyen çarpm topolojik grup-tur. (G1, τ1, .), (G2, τ2, ∗) topolojik gruplar ise (G1×G2, τ1×τ2, o) topolo-jik gruptur.
spat. (G1, τ1, .) topolojik grup oldu§undan
f1 : G1 ×G1 → G1 (x, y) 7→ f1(x, y) = x.y
veg1 : G1 → G1 x 7→ g1(x) = x−1
süreklidir. (G2, τ2, ∗) topolojik grup oldu§undan
f2 : G2 ×G2 → G2 (x, y) 7→ f2(x, y) = x ∗ y
veg2 : G2 → G2 x 7→ g2(x) = x−1
süreklidir.
f = f1 × f2 : G1 ×G1 ×G2 ×G2 −→ G1 ×G2
76
((x1, y1), (x2, y2)) 7→ f1 × f2((x1, y1), (x2, y2)) = (x1.y1, x2 ∗ y2)
f1 ve f2 sürekli oldu§undan f fonksiyonu süreklidir.
g = g1 × g2 : G1 ×G2 −→ G1 ×G2
(x1, x2) 7→ g1 × g2(x1, x2) = (g1(x1), g2(x2)) = (x1−1, x2
−1)
g1 ve g2 sürekli oldu§undan g fonksiyonu süreklidir.
Ödev:(G1 × G2, τ1 × τ2) nin topolojik uzay, (G1 × G2, o) nin grupoldu§unu gösteriniz.
Örnek 7.1.2.
(a) (Rn, τ,+) topolojik gruptur. (τ : Çarpm topolojisi)
(b) (T, τ, .) topolojik gruptur. T ≈ S1xS1 dir. (S1, τ1, .) ve (S1, τ2,+)topolojik gruplardr.
(c) GL(n,R) = A ∈ Mnxn : detA 6= 0 matris çarpmna göre grupyaps te³kil eder.
(d) SL(n,R) = A ∈Mnxn : detA = 1 özel lineer gruptur.(e) O(n,R) = A ∈ Mnxn : detA 6= 0, ATA = I = AAT ortogonal
gruptur.
(f) SO(n,R) = A ∈ Mnxn : detA = 1, ATA = I = AAT özelortogonal gruptur.SL(n,R), O(n,R), SO(n,R), GL(n,R) nin alt gruplardr.
Önerme 7.1.2. (G, τ, .) bir topolojik grup ve H, G nin bir alt grubuolsun. Alt uzay topolojisi ile donatlan H grubu G nin bir topolojik altgrubudur.
Tanm 7.1.2. (G, τ, .) bir topolojik grup ve H, G nin bir alt grubuolsun. H açk (kapal) alt küme ise H ya açk (kapal) altgrup denir.
Örnek 7.1.3. GL(n,R) nin SL(n,R), O(n,R), SO(n,R) alt gruplarkapal alt gruplardr.
det : Mnxn → R A 7→ detA
fonksiyonu süreklidir. 1 ⊂ R kapals için det−1(1) = SL(n,R)oldu§undan SL(n,R) kapaldr.
t : Mnxn →Mnxn A 7→ t(A) = AAT = I
77
fonksiyonu süreklidir. I ⊂Mnxn kapals için t−1(I) = O(n,R) oldu§un-dan O(n,R) kapaldr.
SO(n,R) = SL(n,R) ∩O(n,R) oldu§undan SO(n,R) kapaldr.
Örnek 7.1.4. (Z, τd,+), (R, τd,+) nn topolojik alt grubudur.
Uyar:Topolojik gruplarda izomorzma teoremleri a³a§daki önermegeçerli oldu§unda geçerlidir.
"f : G→ H homeomorzma olsun. G/Kerf ' Imf dr⇔ f : G→ Imfaçk dönü³ümdür."
Tanm 7.1.3. G bir topolojik grup ve g ∈ G olsun. Lg : G → G,∀x ∈ G için Lg(x) = g.x fonksiyonuna homeomorzmann sol ötelemefonksiyonu denir. Rg : G→ G, ∀x ∈ G için Rg(x) = x.g fonksiyonunada homeomorzmann sa§ öteleme fonksiyonu denir.
Teorem 7.1.1. Lg ve Rg bir homeomorzmdir.
spat. Lg : G→ G, ∀x ∈ G için Lg(x) = g.x fonksiyonunu ele alalm.G topolojik grup oldu§undan
f : G×G −→ G (g, x) 7→ f(g, x) = g.x
fonksiyonu süreklidir. Lg(x) = f |gxG oldu§undan Lg fonksiyonu sürek-lidir.
Lg(x1) = Lg(x2)⇒ g.x1 = g.x2 ⇒ g−1(g.x1) = g−1(g.x2)⇒ x1 = x2
dolasyla Lg, 1 − 1 dir. ∀y ∈ G için x = g−1.y ∈ G oldu§undan Lgörtendir.
(Lg)−1 = Lg−1 oldu§unu iddia ediyoruz. Gerçektende
Lg−1oLg(x) = g−1(g.x) = x = I(x)
LgoLg−1(x) = g(g−1.x) = x = I(x)
dir. Lg−1 : G→ G, ∀x ∈ G için Lg−1(x) = g−1.x fonksiyonunu verilsin.(Lg)
−1 = f |g−1×G oldu§undan (Lg)−1 = Lg−1 fonksiyonu süreklidir.
Benzer ³ekilde Rg nin de homeomorzm oldu§u gösterilebilir.
Sonuç 7.1.1. G topolojik grup, g ∈ G ve U , G de açk ise Lg(U) veRg(U), G de açk alt kümelerdir.
78
Tanm 7.1.4. A ve B, G topolojik grubunun iki alt kümesi olsun.
(a) A.B = x.y : x ∈ A, y ∈ B(b) x.A = x.A = x.a : a ∈ A(c) A−1 = a−1 : a ∈ A(d) A = A−1 ise A ya G de simetriktir denir.
Teorem 7.1.2. G topolojik grup, F, U, P ⊂ G ve F kapal, U açk, Pkey bir küme, g ∈ G olsun. Fg, gF, F−1 kapal kümelerdir. UP, PU, U−1
açk kümelerdir.
spat. Lg : G → G, ∀x ∈ G için Lg(x) = g.x ve Rg : G → G,∀x ∈ G için Rg(x) = x.g dönü³ümleri homeomorzmdir. F kapal iseLg(F ) = g.F ve Rg(F ) = F.g kümeleri de Lg ve Rg homeomorzmaoldu§undan kapaldr. f : G → G, ∀x ∈ G için f(x) = x−1 fonksiyonuhomeomorzmdir. F kapal oldu§undan f(F ) = F−1 de f homeomor-zma oldu§undan kapaldr. U açk oldu§undan Lg(U) ve Rg(U) açktr.
UP =⋃
U.g (g ∈ P ) ve PU =⋃
g.U (g ∈ P)
kümeleri açktr. U açk oldu§undan f(U) = U−1 de açktr.
Önerme 7.1.3. G bir topolojik grup olsun.
(a) G nin açk topolojik alt grubu H ayn zamanda kapaldr.
(b) H, G nin topolojik alt grubu ise H da G nin topolojik alt grubudur.
spat.
(a) H, G nin açk topolojik alt grubu olsun. H = H oldu§unu göster-meliyiz. Her zaman H ⊂ H . . . (1) olur. p ∈ H olsun. p.H, pnin bir kom³ulu§u oldu§undan p.H ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumdap.h1 = h2 olacak ³ekilde h1, h2 ∈ H vardr. O halde p ∈ H dr.H ⊂ H . . . (2) elde edilir. (1) ve (2) den H = H olur. Bu da H nkapal oldu§unu ifade eder.
(b) H, G nin topolojik alt grubu olsun. H n G nin topolojik alt grubuoldu§unu göstermek için ∀x, y ∈ H için x.y ∈ H ve ∀x ∈ H içinx−1 ∈ H oldu§unu göstermeliyiz.
79
i. ∀x, y ∈ H olsun. W x.y nin kom³ulu§u olsun. U.V ⊂ W ola-cak ³ekilde x ∈ U , y ∈ V kom³uluklar vardr. x ∈ H iseU ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda h1 ∈ U ∩H vardr. Benzer³ekilde y ∈ H ise V ∩H 6= ∅ olur. Bu durumda h2 ∈ V ∩Hvardr. h1.h2 ∈ U.V ve h1.h2 ∈ H ise U.V ∩ H 6= ∅ olur. Budurumda W ∩H 6= ∅ elde edilir. Buradan x.y ∈ H bulunur.
ii. x ∈ H olsun. x in her U kom³ulu§u için U ∩ H 6= ∅ dr.U−1 = x−1 : x ∈ H ve U−1 ∩ H 6= ∅ oldu§undan x−1 ∈ Holur.
H bir topolojik alt grupdur.
Önerme 7.1.4. G bir topolojik grup olsun.
(a) V nin G de açk (kapal) olmas için gerek ve yeter ³art V −1'in Gde açk (kapal) omlasdr.
(b) e ∈ U olmak üzere U , G de açk olsun. V = V −1 ve V · V ⊂ Uolacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e ∈ V dir
spat.
(a) f : G −→ G g 7→ f(g) = g−1 dönü³ümü homeomorzm vef f = 1G oldu§unda sonuç kolayca elde edilir.
(b) p : G×G −→ G dönü³ümü sürekli oldu§undan p−1(U), G×G deaçk ve (e, e) ∈ p−1(U) dir. Dolasyla, V1 · V2 ⊂ U olacak ³ekildeV1 ve V2 açklar var ve e ∈ V1, e ∈ V2 dir. Bir önceki ksmdan,V −1
1 , V −12 açktr. Böylece V = V1∩V2∩V −1
1 ∩V −12 ayn zamanda
açktr. e ∈ V ve V = V −1, V · V ⊂ V1 · V2 ⊂ U dir.
Lemma 7.1.1. G bir topolojik grup olsun. G nin Housdor olmas içingerek ve yeter ³art e nin kapal olasdr.
spat. (⇒) G Housdor olsun. Her tek noktal küme kapal oldu§undane kapaldr.(⇐) e kapal olsun. Her g için Lg(e) = g kapaldr. e 6= g nin ayrkaçklarnn var oldu§unu gösterecegiz. e ∈ U ve g /∈ U olacak ³ekildebir U açk vardr. Bir önceki önermenin ikinci bölümünden, V = V −1
ve V · V ⊂ U olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e ∈ V dir. imdig ∈ gV dir. V ∩ gV nin bo³ oldu§unu iddia ediyoruz. h ∈ V ∩ gVoldu§unu varsyalm. O zaman h = gh1, h1 ∈ V dir. Dolasyla, g =hh−1 ∈ V · V ⊂ U olur. Bu bir çeli³kidir.
80
Teorem 7.1.3. G bir topolojik grup olmak üzere a³a§dakiler denktir:
(a) G, T0-uzaydr.
(b) G, T1-uzaydr.
(c) G, T2-uzaydr.
Teorem 7.1.4. G topolojik grubu regülerdir.
spat. A³a§daki aksiyomu sa§layan X topolojik uzayna regüler uzaydenir;
"F ⊂ X kapal, x /∈ F için ∃F ⊂ U açk, ∃x ⊂ V açk : U ∩ V = ∅."F kapal ve e /∈ F olsun. Bu durumda e ∈ G/F dir. G topolojik grupoldu§undan V −1V ⊂ G/F olacak ³ekilde e nin V kom³ulu§u vardr.V −1V ∩ F = ∅ ⇒ V ∩ V.F = ∅. Böylece U = V.F dir ve sonuçta Gregülerdir.
Not 7.1.1. Bir topolojik grubun bölüm grubu topolojik grup olmakzorunda de§ildir. Normal alt grup ise topolojik gruptur.
Teorem 7.1.5. G bir topolojik grup, N , G nin normal alt grubu olsun.
(a) ϕ : G→ G/Nsürekli ve açk homomorzmadr.
(b) Bölüm topolojisi ile donatlan G/N topolojik gruptur.
spat.
(a) ϕ : G → G/N bölüm dönü³ümü oldu§undan süreklidir. U ⊂ Gaçk olsun.
ϕ−1(ϕ(U)) = x : x ∈ UN = U = UN
açktr. ϕ sürekli oldu§undan ϕ(U) da açktr. U açk iken ϕ(U)açk oldu§undan ϕ açk dönü³ümdür.
(b) ψ : G/N×G/N → G/N (x, y) 7→ x.y−1 dönü³ümü sürekli midir?x.y−1 elemannn açk kom³ulu§u W olsun. ϕ−1(W ), G de açktrve x.y−1 ∈ ϕ−1(W ) dur. G topolojik grup oldu§undan
x.y−1 ∈ UV −1 ⊂ ϕ−1(W )
olacak ³ekilde x ∈ U , y ∈ V kom³uluklar vardr.
x.y−1 ∈ ϕ(U)[ϕ(V )]−1 ⊂ ϕ(ϕ−1(W )) = W
81
dr.ϕ açk dönü³üm oldu§undan ϕ(U) ve [ϕ−1(V )]−1 = ϕ(V −1) deaçktr.
ψ−1(W ) = (x, y) : x ∈ ϕ(U), y ∈ ϕ(V −1),
ψ süreklidir.
Tanm 7.1.5. G ve K iki topolojik grup olsun. f : G −→ K dön³ümühem grup izmorzmi hemde homeomorzme ise G ve K Topolojikolarak izomorftur denir. Böyle dön³üme de topolojik izomorzmadenir.
Örnek 7.1.5. G = K = (R,+) grup ve K üzerinde standart topolojive G üzerinde diskrit topoloji olsun. 1 : (R,+, τd) −→ (R,+, τs) birimdön³ümü sürekli, izomorzmdir fakat tersi sürekli olmad§ndan bu dön³ümtopolojik izomorzma de§ildir.
Örnek 7.1.6. G herhangibir topolojik grup ve g ∈ G olmak üzere π :G −→ G h 7→ π(h) = ghg−1 dönü³ümü bir topolojik izomorzmadr.
Not 7.1.2. K Housdor olmak üzere π : G −→ K sürekli homomor-zma ise Ker(π) G'nin kapal, normal altgrubudur.
Önerme 7.1.5. π : G −→ K homorzmas e de sürekli ise π süreklidir.
spat. π : G −→ K homorzmas e de sürekli olsun O zaman K dakie nin U aç§ için π−1(U), G de açktr.
imdi W , K da açk olsun. π(U) ∩ W bo³ küme ise π−1(W ) bo³küme olcaktr ve dolasyla açktr. Bu nedenle π(g) = k olacak ³ekildeg ∈ G bir elemann var oldu§unu varsayalm. Böylece k−1W , K dakie nin bir açk kom³ulu§udur. Dolasyla π−1(k−1W ) açktr. Bu nedenleπ−1(W ) = gπ−1(k−1W ) açktr.
Önerme 7.1.6. π : G −→ K sürekli homomorzma ve H = Kerπolsun. π : G/H −→ K bir sürekli homomorzmadr.
Önerme 7.1.7. π : G −→ K sürekli örten homomorzma ve H =Kerπ olsun. π bir açk dönü³üm ise π : G/H −→ K bir topolojikizomorzmadr.
spat. π nn tersnin sürekli oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.Buda π nn açk olmasna denktir. U nun G/H da açk olmas içingerek ve yeter ³art V = q−1(U), G de açk olmasdr. Böylece U ,G/H açk ise π(U) = π(V ), K da açktr.
82
Örnek 7.1.7. π(R,+) −→ S1 t 7→ π(t) = e2πit ³eklinde tanmldönü³üm sürekli homomorzma veKerπ = Z. Önermeden, π : R/Z −→S1 bir topolojik izomorzmadr.
Teorem 7.1.6. GL(n) bir topolojik gruptur.
spat. M , nxn tipindeki reel de§i³kenli matrislerin kümesi olsun. A ∈M ⊂ Rn2
, A = (aij) olarak alalm. A = (aij) matrisini
(a11, a12, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, an2, . . . , ann) ∈ Rn2
formunda dü³ünebiliriz.
f : M ×M →M (A,B) 7→ f(A,B) = A.B
³eklinde tanimlanan f fonksiyonu süreklidir. Çünkü A = (aij), B =(bij) ise f(A,B) = A.B nin ij−inci bile³eni
∑nk=1 aikbkj = cij dir.
πij : M → R (a1n, . . . , ann) 7→ πij(a1n, . . . , ann) = aij
fonksiyonu süreklidir. f ve πij fonksiyonlar sürekli oldu§undan
πijof : M ×M → R (A,B) 7→ πijof(A,B) = cij
fonksiyonu süreklidir. GL(n) ⊂M alalm. GL(n) için altuzay topolojisiolu³turulur. πij ve πij f dönü³ümleri sürekli oldu§undan
f : GL(n)×GL(n) −→ GL(n) (A,B) 7→ f(A,B) = A.B
dönü³ümü süreklidir. Adj(A) ve detA dönü³ümleri sürekli oldu§undan
g : GL(n)→ GL(n) A 7→ g(A) = A−1 =1
detA.Adjoint(A)
dönü³ümü süreklidir. Burada Adjoint(A), A matrisinin aij elemannsilip Aij kofaktörünü yazp ve elde edilen matrisin transpozesinialmaksuretiyle elde edilen matristir.
Özellikler 7.1.1. (a) GL(n) kompakt de§ildir.spat. f : M → R, f(A) = detA fonksiyonu süreklidir. 0 ⊂ Rde kapal, R−0 ⊂ R de açk f−1(R−0) = GL(n) ⊂ Rn2
açk-tr. Henri-Borel teoremine göre A ⊂ Rn nin kompakt olmas içingerek ve yeter ³art A nn snrl ve kapal olmasdr. Bu durumdaGL(n) kompakt de§ildir.
83
(b) GL(n) ba§lantl de§ildir.spat. K = A ∈ GL(n) : detA > 0, L = A ∈ GL(n) : detA <0, f : M → R için f−1((0,∞)) = K, f−1((−∞, 0)) = L dir.GL(n) = K ∪ L, K ∩ L = ∅ dir. Bu durumda GL(n) ba§lantlde§ildir.
(c) O(n) ve SO(n) kapal alt gruplar GL(n) nin kompakt alt gru-plardr.spat. A ∈ O(n) için A.AT = I, 1 ≤ i, k ≤ n,
∑nj=1 aijakj = δik
ve fik : M → R, fik(A) =∑n
j=1 aijakj = δik olsun. 0, 1 ⊂ Rkapallar için f−1
ik (0) ve f−1ii (1) 1 ≤ i ≤ n kümeleri kapaldr.
Bu kümelerin arakesiti O(n) yi verir. Buradan da O(n) nin kapaloldu§unu söyleyebiliriz.
A.AT = I ⇒ det(A.AT ) = detI = 1⇒ detA.detAT = 1
⇒ (detA)2 = 1⇒ |aij| < 1.
O halde O(n) snrldr. O(n) kapal ve snrl oldu§undan O(n)kompakttr.SO(n), O(n) in kapal alt kümesidir. Kompakt uzaylarn kapal altuzaylar da kompakt oldu§undan SO(n) kompakttr.
(d) SO(2) ≈ S1 dir.
spat. f : SO(2)→ S1, ∀(a −bb a
)∈ SO(2) için
f
(a −bb a
)= a+ ib ∈ S1 olsun. f , 1-1 ve örtendir.
Teorem 7.1.7. X kompakt, Y Hausdor uzay olmak üzere f :X → Y bijektif ise f homeomorzmadr."O halde f homeomorzmdir.
7.2 Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar
Tanm 7.2.1. G bir topolojik grup ve X bir topolojik uzay olsun. A³a§-dakiler mevcut ise G, X üzerinde (soldan) hareket ediyor denir.
(a) GxX → X dönü³ümü süreklidir.(g, x)→ gx
(b) ∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X için hg(x) = h(g(x)) dir.
84
(c) e ∈ G ve ∀x ∈ X için ex = x dir.
Tanm 7.2.2.
(a) O(x) = gx : g ∈ G kümesine x elemann orbiti denir.
(b) Gx = g ∈ G | gx = x kümesine x elemann stablizer grubudenir.
(c) Herhangi x, y ∈ X için gx = y olacak ³ekilde bir g ∈ G varsaG'nin X üzerindeki harakete transitiidir denir
(d) Bir x için gx = x iken g = e oluyorsa, G'nin X üzerindekiharakete serbest (yada yar-regüler) denir.
(e) G'nin X üzerindeki haraketi hem transitii hemde serbest ise buharakete regülerdir denir
Örnek 7.2.1.
(a) Z× R→ R (n, x) 7→ n+ x
O(x) = n+ x : n ∈ Z = R/Z ≈ S1 ⇒ O(x) = S1
(b) Z2 × S1 → S1 (−1, x) 7→ −x (1, x) 7→ x
O(x) = −x, x = Sn/Z2 ≈ Rpn ⇒ O(x) = Rpn
(c)α : R× R −→ R (x, y) 7→ (x+ 1, y)
β : R× R −→ R (x, y) 7→ (1− x, y + 1)
olmak üzere α ve β dönü³üm³eri tatafndan üretilen grup G olsun.G, R2 üzerinde hareket etmektedir. Yani
G× R2 −→ R2
(α, z) 7→ α(z)
(β, z) 7→ β(z).
Dolasyla orbit uzay O(x) = R2/G ≈ Kb
(d) Z× Z grubu, R× R üzerinde hareket eder.
Z2 × R2 −→ R2
(m, z) 7→ m+ z.
Dolasyla orbit uzay O(x) = R2/Z2 ≈ S1 × S1 ≈ T
85
(e) (x − 3)2 + z2 = 1 çemberinin z-ekseni etrafnda dönmesiyle eldeedilen yüzey T torudur.α1 : R3 −→ R3 (x, y, z) 7→ (x,−y,−z) olmak üzere G1 grubu α1
tarafndan üretilen bir grup olsun.α2 : R3 −→ R3 (x, y, z) 7→ (−x,−y, z) olmak üzere G2 grubu α2
tarafndan üretilen bir grup olsun.α3 : R3 −→ R3 (x, y, z) 7→ (−x,−y,−z) olmak üzere G3 grubuα3 tarafndan üretilen bir grup olsun.Her i = 1, 2, 3 için Gi gruplarnn R3 üzerinde hareketleri vardr.Orbit uzaylar R3/G1 ≈ S2, R3/G2 ≈ T R3/G1 ≈ Kb
Teorem 7.2.1. Kompakt topolojik grup G, Housdor topoljik uzay Xüzerinde hareket etsin. Gx, x elemanndaki stablizer grubunu göstermeküzere
φ : G/Gx −→ O(x) gGx 7→ gx
³eklinde tanmlanan dönü³üm bir homeomorzmadr.
spat. Dönü³ümün sadece bijektif oldu§unu göstermemiz yeterlidir.
φ(g1Gx) = φ(g2G)
olsun. Bu durumda g1x = g2x ve böylece g−11 g2 ∈ Gx dir. Dolasyla
g1Gx = g2G
yani φ injektiftir. sürjektiik kolayca gösterilece§inden ödevdir.
7.3 Lie Gruplar
Tanm 7.3.1. M Hausdor topolojik uzayna ait her noktann kom³u-lu§u Rn ye homeomorf ise M ye n-topolojik manifold denir.
Tanm 7.3.2. M Hausdor ve 2. saylabilir topolojik uzay olsun. A³a§-daki özellikelliklere sahip dönü³ümler koleksiyonu ile birlikteM uzaynasmooth n-manifold (diferansiyellenebilir n-manifold) denir.
(a) U ⊂ M , V ⊂ Rn açk kümeler olmak üzere φ : U → V dönü³ümühomeomorzmdir. (Bu dönü³ümlere harita denir.
(b) x ∈M , φ nin tanim kümesinde olmaldr.
86
(c) φ : U → U ′ ve ψ : V → V ′ haritalar için φ ∩ ψ−1 : ψ(U ∩ V ) →φ(U ∩ V ), C∞ snfndadr. (Bu dönü³üm her mertebeden sürekliksmi türevlere sahiptir.
(d) Harita koleksiyonu maksimal olacaktr.
Tanm 7.3.3. M ve N iki smooth n-manifold olsun. M üzerindekiharita ϕ ve N üzerindeki harita ψ için ψofoφ−1 smooth ise f : M → Ndönü³ümüne smooth dönü³üm denir.
Tanm 7.3.4. G diferensiyellenebilir manifold ve G bir grup olsun.E§er
αG : G×G −→ G (g, h) 7→ αG(g, h) = g.h−1
dönü³ümü diferensiyellenebilir ise G ye lie grup denir.
Not 7.3.1. Baz kitaplarda bu tanim ³u ³ekilde verilir; G diferensiyel-lenebilir manifold ve G bir grup olsun.
(a) G×G −→ G (g, h) 7→ g.h diferensiyellenebilir ve
(b) G −→ G g 7→ g−1 diferensiyellenebilir ise G ye lie grup denir.
Örnek 7.3.1.
(a) Rn bir lie gruptur. Çünkü Rn bir diferensiyellenebilir manifold vedönü³ümü
αRn : Rn × Rn −→ Rn (x, y) 7→ αRn(x, y) = x− y
diferensiyellenebilirdir.
(b) GL(n,R), SL(n,R), SO(n,R), O(n,R) birer lie gruptur.
(c) nxn tipindeki üst üçgen matrislerin kümesi bir lie gruptur.
(d) Exceptional lie gruplar: G2, F4, E6, E7, E8 dir.
(e) S0, S1, S3 bunun üzerine bölüm yaps olu³turuyoruz. öyle kimutlak de§eri 1 olan reel saylar, kompleks saylar, quaternion ...S0 = RN, S1 = R2N, S3 = R4N sadece bunlar lie gruplardr.
(f) Heisenberg gruplar lie gruptur.
(g) Lorentz gruplar lie gruptur.
(h) U(1)xSU(2)xSU(3) lie gruptur.
(i) Metaplectic grup bir lie gruptur.
Lemma 7.3.1.
87
(a) ki lie grubunun çarpm da lie gruptur.
(b) Lie grubunun kapal alt grubu lie gruptur.
(c) Lie grubunun kapal normal alt grubu ile olu³turulan bölüm grububir lie gruptur.
(d) Ba§lantl lie grubunun evrensel örtüsü lie gruptur.
Lie Gruplarnn Snandrlmas:
(a) Cebirsel özellik (Basit, Yar basit, Çözülür, Nilpotent, Abel)
(b) Ba§lantllk
(c) Kompaktlk
7.4 Lie Cebirleri
Tanm 7.4.1. k karakteristi§i sfr olan bir cisim olmak üzere A bucisim üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özellikleri sa§layani³lem
[, ] : A× A −→ A (x, y) 7→ [x, y]
ile birlikte A vektör uzayna Lie Cebiri denir;
(a) ∀x ∈ A için, [x, x] = 0.
(b) ∀x, y, z ∈ A için, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
Örnek 7.4.1. (a) [A,B] = 0 olmak üzere bu i³lem ile birlikte Rn birLie cebiridir.
(b) [A,B] = AB−BA olmak üzere bu i³lem ile birlikte GL(n,R) birLie cebiridir.
(c) X, M üzereinde tanml diferansiyellenebilir fonksiyonlarn kümesiolsun. [X, Y ] = XY −Y X i³lemine göre bu küme bir Lie cebiridir.
Tanm 7.4.2. A ve B Lie cebirleri olamk üzere ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)]özelli§ini sa§layan ϕ : A −→ B morzmine Lie cebir morzmi denir
7.5 Al³trmalar
(a) G indiskret topoloji ile donatlm³ bir grup ise gösteriniz ki G birtopolojik gruptur.
88
(b) Bir G topolojik grubunun alt uzay topolojisi ile donatlm³ tümaltgruplar da topolojik grup olur mu? Açklaynz.
(c) G = (Z2,+) toplamsal grubunun üzerinde τG = ∅, 0, G topolo-jisi tanmlanm³ olsun. G bir topolojik grup olur mu? Açklaynz.
(d) G topolojik grup ve g ∈ G olsun. Rg : G −→ G ve ∀h ∈ G içinRg(h) = hg ³eklinde tanml Rg dönü³ümünün bir homeomorzmoldu§unu gösteriniz.
(e) G bir topolojik grup ve g ∈ G olsun. f : G −→ G ve ∀h ∈ Giçin f(h) = ghg−1 bir topolojik izomorzmdir. Gösteriniz. (yolgösterme : f nin bir grup homomorzmas ve homeomorzm oldu§unugörünüz.)
(f) G = (R, τdisk,+) ve K = (R, τs,+) olsun. G ve K nn birer topolo-jik grup oldu§unu gösterin. Bu iki uzay topolojik olarak izomorkolur mu? Açklaynz.
(g) "·" kompleks saylarda çarpma i³lemini göstersin. (S1, τS1 , ·) ninbir topolojik grup oldu§unu gösterin. f : (R, τS,+) −→ (S1, τS1 , ·)dönü³ümü ∀t ∈ R için f(t) = e2πit ³eklinde tanml³ansn. (R,+)
Z∼=
S1, · topolojik izomorzm oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : Kerf= Z oldu§unu görünüz ve birinci izomorzma teoremini gerçek-leyiniz.)
89
Bölüm 8
SMPLEKSLER
8.1 Ane Uzaylar
Tanm 8.1.1. A bir küme olsun. ∀x, y ∈ A, t ∈ [0, 1] için (1−t)x+ty ∈A oluyorsa A'ya konveks küme denir.
Tanm 8.1.2. A, Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun. ∀ farkl x, y ∈ Aiçin x ve y tarafndan olu³turulan do§ru A'da bulunuyorsa A' ya anealt küme denir.
Not 8.1.1. (a) Ane alt kümeler konvekstir.
(b) Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir.
Teorem 8.1.1. Xjj∈J , Rn e ait konveks (ane) alt kümeler ailesiolsun. O zaman
⋂j∈J Xj konveks alt uzaydr.
spat:x, y ∈
⋂j∈J
Xj (x 6= y)
olsun. ∀j ∈ J için x, y ∈ Xj'dir. ∀j ∈ J için Xj ler konveks alt kümeoldu§undan; ∀j ∈ J için (1− t)x+ ty ∈ Xj'dir. O halde (1− t)x+ ty ∈⋂j∈J Xj'dir.
Tanm 8.1.3. X,Rn'in bir alt kümesi olsun. X'i içeren Rn'e ait tümkonveks kümelerin arakesitine X'in konveks hull'u denir.
Tanm 8.1.4. • p0, p1, . . . , pm, Rn'de noktalar olsun. p0, . . . , pm nok-
talarnn ane kombinasyonu
x = t0p0 + t1p1 + · · ·+ tmpm;m∑i=1
ti = 1
90
³eklinde tanmlanr.
• p0, p1, . . . , pm noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasy-onudur öyleki ti ≥ 0, i = 0, . . .m'dir. Yani
t0p0 + t1p1 + · · ·+ tmpm;m∑i=1
ti = 1 ve ti ≥ 0, i = 0, . . . ,m.
Örnek 8.1.1. x, y noktalarnn konveks kombinasyonu
(1− t)x+ ty, t ∈ [0, 1]
formundadr.
Teorem 8.1.2. p0, p1, . . . , pm, Rn'de noktalar olsun. p0, . . . , pm nok-
talar tarafndan gerilen [p0, . . . , pm] konveks küme, p0, . . . , pm nokta-larnn konveks kombinasyonlarn kümesidir.
spat: S, tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin.
S = [p0, p1, . . . , pm] e³itli§ini göstermemiz gerekir. lk önce [p0, p1, . . . , pm] ⊂S oldu§unu gösterelim. Bunun için S'nin p0, . . . , pm noktalarn içerenkonveks küme oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
• tj = 1 ve di§eleri için tj = 0 olsun. Bu durumda;
t0p0 + · · ·+ tjpj + · · ·+ tmpm;m∑i=0
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, ...,m
ve dolasyla ⇒ ∀j için pj ∈ S.•
α =m∑i=0
aipi, β =m∑i=0
bipi ∈ S (ai, bi ≥ 0;∑
ai = 1;∑
bi = 1) olsun.
(1− t)α + tβ ∈ S oldu§unu iddia ediyoruz.
(1−t)α+tβ = (1−t)m∑i=0
aipi+tm∑i=0
bipi =m∑i=0
((1−t)ai+tbi)pi ∈ S
91
çünkü
m∑i=0
(1− t)ai + tbi = (1− t)m∑i=1
bi = 1, (1− t)ai + tbi ≥ 0.
Bunun sonucunda [p0, p1, . . . , pm] ⊂ S.
S ⊂ [p0, p1, . . . , pm] ba§ntsn gösterelim.
X, p0, . . . , pm noktalarn içeren bir konveks küme ise m ≥ 0üzerinde tümevarm ile S ⊂ X oldu§unu gösterelim.
• m = 0 için S = p0'dr.
• m > 0 olsun. ti ≥ 0 ve∑m
i=0 ti = 1 ise p =∑m
i=0 tipi X eait olup olmad§n görelim. t0 6= 1 oldu§unu varsayabiliriz. Aksihalde p = p0 olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarmhipotezinden
q =t1
1− t0p1 +
t21− t0
p2 + · · ·+ tm1− t0
pm ∈ X
ve böylece p = t0p0 + (1− t0)q ∈ X çünkü X konvekstir. DolasylaS ⊂ X'dir.
Sonuç olarak S = [p0, . . . , pm] e³itli§ini elde ederiz.
Sonuç 8.1.1. p0, p1, . . . , pm, Rn'de noktalar olsun. p0, ..., pmnoktalarnn gerdi§i an küme bu noktalarn an kombinasyonunuiçerir.
Tanm 8.1.5. Rn'de p0, . . . , pm noktalarnn sral kümesini elealalm.p1 − p0, p2 − p0, . . . , pm − p0 kümesi Rn vektör uzaynn lineerba§msz alt uzay ise p0, p1, . . . , pm sral kümesine an ba§m-szdr denir.
Not 8.1.2. (a) Rn'nin lineer ba§msz alt kümesi an ba§mszkümedir. Tersi do§ru de§ildir çünkü orijin ile birlikte lineerba§msz küme ane ba§mszdr.
(b) Tek noktal küme p0 an ba§mszdr çünkü i 6= 0 olmaküzere pi − p0 formunda noktalar yok ve φ bo³ kümesi lineerba§mszdr.
92
(c) p1−p0 6= 0 olmas durumunda p0, p1 kümesi an ba§mszdr.
(d) p0, p1, p2, noktalar ayn do§ru üzerinde de§ilse p0, p1, p2an ba§mszdr.
(e) p0, p1, p2, p3 noktalar ayn düzlem üzerinde de§ilse p0, p1, p2, p3an ba§mszdr.
Teorem 8.1.3. p0, . . . , pm, Rn'de sral küme olsun. A³a§dak-iler denktir:
(a) p0, . . . , pm an ba§mszdr.(b) s0, . . . , sm ⊂ R kümesi
m∑i=0
sipi = 0 vem∑i=0
si = 0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise s1 = s2 = · · · = sm = 0 dr.(c) A, p0, . . . , pm tarafndan gerilen an küme olmak üzere ∀x ∈
A eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x =m∑i=0
tipi vem∑i=0
ti = 1.
Teorem 8.1.4. p0, . . . , pm, Rn'de sral küme olsun. A³a§dakilerdenktir:
(a) p0, . . . , pm an ba§mszdr.
(b) s0, . . . , sm ⊂ R kümesi
m∑i=0
sipi = 0 vem∑i=0
si = 0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise s1 = s2 = · · · = sm = 0 dr.
(c) A, p0, . . . , pm tarafndan gerilen an küme olmak üzere ∀x ∈ Aeleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x =m∑i=0
tipi vem∑i=0
ti = 1.
spat 8.1.1. 1)⇒ 2) : p0, p1, ..., pm an ba§msz olsun. s0, ..., sm ⊂R kümesi
m∑i=0
sipi = 0 vem∑i=0
si = 0
93
e³itsizliklerini sa§lasn.
m∑i=0
sipi =m∑i=0
sipi − (m∑i=0
si)p0 =m∑i=0
si(pi − p0) = 0
i = 1, . . . ,m için pi−p0 lineer ba§msz çünkü p0, . . . , pm an ba§m-sz. O halde; s1 = s2 = · · · = sm = 0'dr.
m∑i=0
si = 0
oldu§undan s0 = 0'dr.2)⇒ 3) : x ∈ A alalm. Sonuç 5.1.1 den dolay x ∈ A eleman anekombinasyon olarak ifade edilir. Böylece x ∈ A elemann tek türlüifade edildi§ni gösterelim.
x =m∑i=0
tipi,m∑i=0
ti = 1
ve
x =m∑i=0
t′ipi,m∑i=0
t′i = 1
oldu§unu varsayalm.
m∑i=0
tipi =m∑i=0
t′ipi ⇒m∑i=0
(ti− t′i)pi = 0 ⇒ ∀i, ti− t′i = 0 ⇒ ∀i, ti = t′i.
3) ⇒ 1) : ∀x ∈ A eleman p0, p1, ..., pm noktalarnn an kombi-nasyonu olarak tek türlü ifade edildi§ini varsayalm. Yani po, . . . , pmkümesinin an ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Yani; p1 − p0, p2 −p0, . . . , pm − p0 lineer ba§msz oldu§unu göstermeliyiz.Varsayalm ki p1 − p0, . . . , pm − p0 lineer ba§ml olsun. O halde;
m∑i=0
ri(pi − p0) = 0
iken ri (hepsi sfr de§il) vardr. rj 6= 0 olsun. rj = 1 alalm.
pj ∈ A isepj = 1.pj
94
pj = −∑i 6=j
ripi + (∑i 6=j
ri + 1)p0
pj iki türlü ifade edilemeyece§inden çeli³ki.O halde p1 − p0, . . . , pm − p0 lineer ba§mszdr.
Sonuç 8.1.2. p0, . . . , pm sral küme olsun. An ba§mszlk bu kü-menin bir özellikelli§idir.
Tanm 8.1.6. a1, . . . , ak, Rn'de bir küme olsun. Bu kümenin (n+1)eleman an ba§msz küme olu³turuyorsa, a1, . . . , ak kümesi genelpozisyondadr denir.
Not 8.1.3. Genel pozisyonda olma özellikelli§i n saysna ba§ldr.a1, a2, . . . , ak, Rn'de genel pozisyon olsun.
• n = 1 için ai, aj an ba§msz olmaldr. Yani tüm noktalarfarkl olmal.
• n = 2 için üç nokta kolineer olmamaldr.
• n = 3 için dört nokta kodüzlem olmamaldr.
Teorem 8.1.5. ∀k ≥ 0 için Rn Euclid uzay genel pozisyonda k tanenoktas vardr.
Tanm 8.1.7. p0, p1, . . . , pm, Rn'de an ba§msz alt küme olsun.A'da bu alt küme tarafndan gerilen bir an küme olsun. x ∈ A ise teo5.1.3'den
x =m∑i=0
tipi,m∑i=0
ti = 1.
(t0, t1, . . . , tm), (m+1)-bile³enine x elemannn bary-centric koordinatdenir.
p0 p1 t0 = t1 = 12
JJJJJJJ
"""""""
bb
bb
bbb
p0 p1
p2
t0 = t1 = t2 = 13, x = 1
3(p0 + p1 + p2)
95
""""""""
p0 p1
p3
p2
x = 14(p0 + p1 + p2 + pj)
Genel hali: 1m+1
(p0 + · · ·+ pm) = x
Tanm 8.1.8. p0, p1, . . . , pm, Rn'de an ba§msz alt küme olsun. Bualt küme tarafndan gerilen konveks kümeyem-simpleks denir. [p0, p1, . . . , pm]ile gösterilir (pi'ler kö³eler olarak adlandrlr).
Teorem 8.1.6. p0, p1, . . . , pm an ba§msz olsun. Bu durumda [p0, . . . , pm]m-simpleksinin her x eleman;
x =m∑i=0
tipi,m∑i=0
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, . . . ,m
formunda tek türlü yazlr.
Tanm 8.1.9. p0, p1, . . . , pm an ba§msz olsun. [p0, . . . , pm] m-simpleksinin baricentrik koordinat;
1
m+ 1(p0 + p1 + · · ·+ pm).
(t0 = t1 = · · · = tm = 1m+1
)
Not 8.1.4. Barisentrik sözcü§ü a§rlk anlamanda barys yunanca ke-limesinde gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a§rlk merkezi anlamn-dadr
Örnek 8.1.2. • [p0] barisentrik'i kendisidir.
• [p0, p1] 1-simpleksinin barisentrik'i 12(p0 + p1)'dir.
• [p0, p1, p2] 2-simpleksinin barisentrik'i 13(p0 + p1 + p2)'dir.
• ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1 olmak üzere e0, e1, . . . , enan ba§mszdr. [e0, e1, . . . , en],
x =n∑i=0
tiei
96
formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir. [e0, e1, . . . , en]'inbarisentrik koordinat (t0, t1, . . . , tn)'dir.p0 = (0, 0, 0, 0 . . . ) = e0,p1 = (1, 0, 0, 0 . . . ) = e1,p2 = (0, 1, 0, 0 . . . ) = e2,p3 = (0, 0, 1, 0, . . . ) = e3,. . . . . .
-
6
aaaaa vvvTanm 8.1.10. [p0, p1, . . . , pm] bir m-simpleks olsun. Tüm barisentrik
koordinatlar pozitif olan m-simplekse ait noktalrn kümesine açk k-simpleks denir.
Örnek 8.1.3. • Rn e ait p0, p1 noktalarn olu³turdu§u açk aralkbir açk 1-simplekstir.
• Rn e ait p0, p1, p1 noktalarn olu³turdu§u üçgenin içi açk 2-simplekstir.
Tanm 8.1.11. [p0, p1, . . . , pm] bir m-simpleks olsun. pi noktasnn tersyüzü
[p0, p1, . . . , pi, . . . , pm] = m∑j=0
tjpj |m∑j=0
tj = 1, tj ≥ 0.
[p0, p1, . . . , pm] m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklindetanmlanr.
sp0
0-simplekste p0'in tersyüzü kendisi
p0 p1
1-simplekste p1'in tersyüzü p0'dr.
97
@@@
@@
p1p0
p2
2-simplekste p2'nin ters yüzü p0p1 do§ru parças
@@@
@@
HHHHH
p0 p2
p1
p3
3-simplekste p0'nin ters yüzü [p1, p2, p3] 2-simplekstir
Not 8.1.5. (a) Bir m-simpleksin, m+ 1 tane yüzü vardr.
(b) [p0, p1, . . . , pm] simpleksinin k-yüzü, k + 1 kö³e tarafndan gerilenbir k-simplekstir.
Teorem 8.1.7. S n-simpleksi, [p0, p1, . . . , pn] ile gösterilsin.
i. u, v ∈ S ise ‖u− v‖ ≤ Sup ‖u− pi‖.ii. diam S = Sup ‖pi − pj‖.iii. b, S'nin barisentrik'i ise ‖b− pi‖ ≤ n
n+1diam S.
spat:
i. v =n∑i=0
tipi,
n∑i=0
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, . . . , n olsun.
‖u− v‖ = ‖u−n∑i=0
tipi‖ = ‖(n∑i=0
ti)u−n∑i=0
tipi‖
= ‖n∑i=0
ti(u− pi)‖ ≤n∑i=0
‖ti(u− pi)‖ =n∑i=0
ti‖u− pi‖
≤ (n∑i=0
ti)Sup ‖u− pi‖ = Sup ‖u− pi‖
ii. Teoremin i ksmndan ve çap tanmndan,
‖u− pi‖ ≤ Sup ‖pj − pi‖′dir.
98
iii. b = 1n+1
∑nj=0 pj oldu§undan
‖b− pi‖ = ‖ 1
n+ 1
n∑j=0
pj − pi‖
= ‖ 1
n+ 1
n∑j=0
pj −1
n+ 1
n∑j=0
pi‖
= ‖ 1
n+ 1
n∑j=0
(pj − pi)‖
≤ 1
n+ 1
n∑j=0
Sup ‖pj − pi‖ (i = j iken, ‖pj − pi‖)
≤ n
n+ 1Sup ‖pj − pi‖ =
n
n+ 1diam S
Tanm 8.1.12. p0, . . . , pm kümesi an ba§msz ve A, bu noktalarngerdi§i an küme olsun. An dönü³üm
T : A −→ Rk
m∑i=0
tipi 7−→ T (m∑i=0
tipi) =m∑i=0
tiT (pi).
özelli§ini sa§layan bir fonksiyondur. T 'nin S = [p0, . . . , pm]'ye kst-lan³ yine bir an dönü³ümdür.
Not 8.1.6. (a) An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombi-nasyonu korur.
(b) An dönü³üm, an ba§msz küme üzerinde ald§ de§erle belir-lenebilir.
(c) p0, . . . , pm noktalarnn bary centric koordinatn tekli§i bu tür Tdönü³ümlerin varl§n gösterir.
Teorem 8.1.8. [p0, . . . , pm] m-simpleks, [q0, . . . , qn] n simpleks vef : p0, . . . , pm −→ [q0, . . . , qn] bir fonksiyon olsun. T (pi) = f(pi) ola-cak ³ekilde bir tek T : [p0, . . . , pm] −→ [q0, . . . , qn] dönü³ümü mevcuttur.
Y.G: T (∑m
i=0 tipi) =∑m
i=0 tf(pi)
8.2 Simpleksler Kompleksi
S = [v0, v1, . . . , vq] q-simpleks olsun. Bu simplekslerin kö³elerininkümesi V er(S) = v0, . . . , vq ile gösterilsin.
99
Tanm 8.2.1. S bir simpleks olsun. E§er V er(S ′) ⊂ V er(S) ise S ′
ne S simpleksinin yüzü denir. E§er V er(S ′) ( V er(S) ise S ′ ne Ssimpleksinin has yüzü denir.
Tanm 8.2.2. Sonlu simpleksler kompleksi K a³a§daki özellikelliklerisa§layan sonlu simpleksler kolleksiyonudur.
i. s ∈ K ise s nin yüzü de K ya aittir.
ii. s, t ∈ K ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu ikisimpleksin ortak yüzüdür.
Tanm 8.2.3. Bir simpleksler kompleksi K bo³ k§me ise K nn boyutu−1 dir. Bir simpleksler kompleksi K da m-simpleks var olacak ³ekildem en büyük tam say ise K nn boyutu m dir.
Örnek 8.2.1. p0 = (0, 0, 0), p1 = (1, 0, 0), p2 = (1, 2, 0), p3 =(2, 3, 4)
-
6
@@@
@@R
-
p0
p1 p2
p3
Bu üçgen prizmann snrlar bir simpleksler kompleksi olu³turur.
~ 0-simpleksler:σ0
1 = p0, σ02 = p1, σ0
3 = p2, σ04 = p3
~ 1-simpleksler:σ1
1 =< p0, p1 >, σ12 =< p0, p2 >, σ1
3 =< p0, p3 >, σ14 =<
p1, p2 >,σ1
5 =< p1, p3 >, σ16 =< p2, p3 >
~ 2-simpleksler:σ2
1 =< p0, p1, p2 >, σ22 =< P1, P2, P3 >, σ2
3 =< p0, p2, p3 >,σ2
4 =< p0, p1, p3 >
~ 3-simpleksler:σ3
1 =< p0, p1, p2, p3 >
100
Örnek 8.2.2.
JJJJJ
HHHHH
v0 v1
v2
v3
v4
v5
[v1, v2] ∩ [v3, v5] = [v3]→ v3 ortak yüz de§ildir.
→ simpleksler kompleksi de§il.
JJJJJ
JJJJJ
v0 v1
v2
v3
v4
v5
→ simpleksler kompleksi de§il. v1, v3 ortak yüz de§il.
Tanm 8.2.4. (a) K bir simpleksler kompleksi olsun. K'nn geometrikreallizasyonu(underlying uzay)
| K |=⋃s∈K
s
³eklinde tanimlanr. (K,Rn'in alt uzay)
(b) X topolojik uzay verilsin. h :| K |→ X homeomorzma olacak³ekilde simpleksler kompleksi K varsa X'e polihedron(polyhedron)denir. (K,h) ikilisine X'in üçgenle³tirilmesi(triangulation) denir.
Not 8.2.1. • (K), Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr.
• s,K'da bir simpleks ise | s |= s'dir.
• Simpleksler kompleksi K simplekslerden olu³an sonlu küme iken Knn geometrik realizasyonu |K| Euclid uzaynn bir alt uzaydr.
• geometrik realizasyonu |K|, noktalar do§ru parçalar, üçgen dü-zlemler, üçgen prizma(teterahedron) içerir.
Örnek 8.2.3. X = (cos θ, sin θ) ∈ R2 | 0 ≤ θ ≤ π/2 ³eklinde ver-ilsin. X polihedrondur.
Herhangi bir 1-sim§leks [p0, p1] olsun. Simpleksler kompleksi
K = [p0], [p1], [p0, p1],
X'in üçgenle³tirilmi³idir çünkü |K| −→ X bir homemorzmadr. Sim-pleksler kompleksi L = [p0], [p1], [p2][p0, p1], [p1, p2], X'in bir ba³kaüçgenle³tirilmi³idir çünkü |L| −→ X bir homemorzmadr.
101
Örnek 8.2.4.
42 = 2∑i=0
tivi |2∑i=0
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, 1, 2
standart 2-simpleks (42 ⊂ Rn) K = 42 standart 2-simpleksindeki tüm0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun.
@@@
@@
v1v0
v2
2− simpleks
K = [v0], [v1], [v2], [v0, v1], [v0, v2], [v1, v2]
K simpleksler kompleksin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa§lar.K nn geometrik realizasyonu üçgen olacaktr.
@@
v1v0
v2
L : |K| = −→ X = S1
homeorzmas var.O halde çember polihedrondur.
Tanm 8.2.5. n-Boyutlu simpleksler kompleksi K olsun. Her bir r (0 ≤r ≤ n) için, Kr, simpleksler kompleksi K'ya ait boyutu r den küçükveya e³it olan tüm simplekslerin kümesini göstersin. Simpleksler kom-pleksi Kr ye K nn iskeleti(skeleton) denir. Böylece |Kr|, |K| nn alt-polihedrondur.
Örnek 8.2.5. 3-Simpleks [p0, p1, p2, p3] in tüm yüzeylerini içereni Kile gösterelim. K ′, K nn 2-boyutlu iskeleti olarak alalm. Böylece K ′,[p0, p1, p2, p3] in has yüzeylerini içerir. Dolasyla |K ′|, S2 ye homeo-morftur. Bu da bize S2 nin bir polihedron oldu§unu gösterir.
Tanm 8.2.6. K ve L iki simpleksler kompleksi olsun.p0, p1, . . . , pqnoktalar, K'da bir simpleksi gererken ϕ(p0), ϕ(p1), . . . , ϕ(pq) nokta-lar L'de bir simpleksi gerecek ³ekilde tanimlanan ϕ : K → L fonksiy-ona simpleksler dönü³üm denir.
Tanm 8.2.7. K ve L iki simpleksler kompleksi olmak üzere ϕ : K −→L, K daki kö³eler ile L deki kö³eler arasnda bijektif ise ϕ' ye K
102
ve L arasbda bir izmorzm denir. K ve L ye de izmork simplekslerkompleksi denir.
Önerme 8.2.1. Simpleksler dönü³ümün birle³imide simpleksler dönü³ümüdür.
spat: spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr
Tanm 8.2.8. ∀i için ti > 0 olacak ³ekilde∑m
i=1 tipi noktalrna ait Psimpleksin alt kümesine P 'nin içi denir. P ile gösterilir.
Örnegin, bir 0-simpleksin içi kendisidir. Ayrca bir dijital m-simpleksaçk simplekslerin ayrk birle³imi oldu§u gözlenmelidir.
Tanm 8.2.9. K bir m-simpleksler kompleksi ve p ∈ V er(K) olsun. Ozaman p nin yldz
st(p) = ∪S
³eklinde tanmlanr. Burada S ∈ K ve p ∈ V er(K).
Tanm 8.2.10. K bir simpleksler kompleksi olsun.
dimK = sups∈Kdim(s).
Teorem 8.2.1. K ve L iki simpleksler kompleksi olsun. E§er f : |K| →|L| homeomorzm ise dimK = dimL'dir.
Tanm 8.2.11. Bir simpleksler kompleksi K olsun. Kö³eler çifti x, y ∈K için, x = p0, y = pm olacak ³ekilde K da [pi, pi+1] 1-simplekslerdizisi var ise K ya ba§lantldr denir.
Not 8.2.2. • Simpleksler kompleksiK nn r-boyutlu iskeletsiKr (r ≥1) ba§lantl iken K0 ba§lantl de§ildir.
• Küre, Möbius ³eridi, Projektif düzlem, ve Tor gibi yüzeylerin üç-genle³tirilmesi ba§lantldr.
Tanm 8.2.12. K ve L iki simpleksler kompleksi olmak üzere ϕ :K −→ L simpleksler dönü³ümü ve f : |K| −→ |L| sürekli dönü³ümolsun. K nn her kö³esi p için
f(st(p)) ⊂ st(ϕ(p))
ise f ye ϕ dönü³ümünün simpleksler yakla³m denir.
Önerme 8.2.2. ϕ simpleksler dönü³ümünün yakla³m f olsun.
103
• f süreklidir.
• f homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art ϕ izomorzmdir.
• f1 : |K| −→ |L| fonksiyonu ϕ1 : K −→ L dönü³ümünün yak-la³m ve f2 : |L| −→ |M | fonksiyonu ϕ2 : L −→ M simplekslerdönü³ümün yakla³m ise f2 f1 : |K| −→ |M |, ϕ2 ϕ1'in sim-pleksler yakla³m fonksiyonudur.
spat 8.2.1. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
Önerme 8.2.3. Simpleksler kompleksi K ya ait kö³eler kümesi p0, p1, . . . , pm,K da bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art ∩mi=0st(pi) 6= 0olmasdr.
spat 8.2.2. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
Tanm 8.2.13. Bir simpleksler kompleksi K nn ³ebekesi veya a§(mesh),
mesh(K) = maxdiam(S) | S, K ′da bir simpleks
³eklinde tanmlanr ve mesh(K) ile gösterilir.
Not 8.2.3. Bir 0-boyutlu simpleksler kompleksi K nn ³ebeksi,
0 = mesh(K) = mesh(K0) = mesh(K1) = · · ·
Lemma 8.2.1. Bir pozitif boyutlu simpleks S nin kö³eleri v, w olmaküzere
diam(S) = ‖v − w‖ dir.
spat 8.2.3. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
Teorem 8.2.2. Pozitif boyutlu simpleksler komplesi K olmak üzere
limr→∞
mesh(Kr) = 0 dir.
spat 8.2.4. Simpleksler komplesi K nn boyutu n olsun. lk önce K ′
ile K nn ³ebekelrini kar³la³tralm:Simpleksler komplesi K iki simples σ ve τ alalm ve σ, τ nun bir hasyüzü olsun. τ nun barisentri§i
τ =1
m+ 1
m∑i=0
pi olsun.
104
‖τ − σ‖ ≤ ‖τ − p‖ (p, τ ′ nun bir kö³esi)
= ‖ 1
m+ 1
m∑i=0
pi − p‖ ≤1
m+ 1
m∑i=0
‖pi − p‖
≤ 1
m+ 1m · mesh(K) =
m
m+ 1mesh(K).
Böylece mesh(K1) ≤ mm+1
mesh(K). Bu i³lelemleri tekrarlayarak yap-t§mzda
mesh(Kr) ≤ (m
m+ 1)rmesh(K) olur.
Dolasyla limr→∞( mm+1
)r = 0. Buda istedi§imiz sonuca götürür.
Teorem 8.2.3. Simpleksler Kompleks K ve L olmak üzere ϕ : K −→ Lsimpleksler dönü³ümü ve f : ‖K‖ −→ ‖L‖ sürekli dönü³üm olsun.Sürekli dönü³üm f ye homotop olacak ³ekilde φ : Kr −→ L simplekslerdönü³ümü vardr.
spat 8.2.5. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
ALITIRMALAR
1. f : |K| −→ X sürekli olmas için gerek ve yeter ³art ∀σ ∈ K içinf |σ sürekli olmasdr. Gösteriniz.2. L, K'nn bir alt kompleksi olsun. L'nin polytopu |L|, |K| nnkapal alt uzaydr. E§er σ ∈ K ise, |K| nn bir kapal altuzaydr.Gösteriniz.3. |K| polihedronu, Hausdor uzay mdr ? Kompakt uzay mdr ?Açklaynz.4. Simpleksler kolleksiyonu K nn simpleksler kompleksi olmas içingerek ve yeter ³art hem K'ya ait bir simpleksin her yüzünün K daolmas hem de K'ya ait farkl simpleksler çiftinin ayrk içlere sahipolmasdr. Gösteriniz.5. ki simpleksler dönü³ümün bile³kesi simpleksler dönü³üm olur mu ?Açklaynz.6. f : K(0) −→ L(0) bijektif dönü³üm ve K'nn kö³eleri v0, ..., vn ninK'ya ait bir simpleksi germesi için gerek ve yeter ³art f(v0), ..., f(vn)nin L'ye ait bir simpleksi germesidir. f 'nin indirgedi§i dönü³üm g :|K| −→ |L| bir homeomorzmdir. Gösteriniz.7. Simpleksler kompleksi olmayan kompleks örne§i veriniz.8. B2 bir konveks küme midir ? Açklaynz.9. ∆n, n-simpleksi ve simpleksin yüzlerini içeren simpleksler kompleksi
105
olmak üzere K, sonlu simpleks ise K, ∆n simpleksler kompleksininbir alt kompleksine izomorftur. Gösteriniz.10. S n-simpleksi, [p0, p1, . . . , pn] ile gösterilsin. u, v ∈ S ise ‖u−v‖ ≤Sup ‖u− pi‖ oldu§unu gösteriniz.11. S n-simpleksi, [p0, p1, . . . , pn] ile gösterilsin. b, S'nin barisen-trik'i ise ‖b− pi‖ ≤ n
n+1diam S oldu§unu gösteriniz.
12. Rn nin her A an alt kümesi, bir sonlu küme tarafndan gerilir.Gösteriniz.13. Her an dönü³üm süreklidir. Gösteriniz.14. T : Rn −→ Rk bir an dönü³üm olsun. λ : Rn −→ Rk bir lineerdönü³üm ve y0 ∈ Rk sabit olmak üzere T (x) = λ(x) + y0 dr. Gös-teriniz.15. Herhangi iki m-simpleksin homeomork oldu§unu gösteriniz.16. p0, ..., pm an ba§msz ve b, barisentrik olsun. ∀i için b, p0, ..., pi, ..., pmkümesi an ba§msz olur mu ? Açklaynz.17. st(v) yol ba§lantl olur mu ? Açklaynz.18. Bir p ∈ Rm noktasnn, ∆(a0, a1, ..., an) simpleksinin kö³esiolmas için gerek ve yeter ³art ∆(a0, a1, ..., an)\p nin konveks ol-masdr. Gösteriniz.19. K1 ve K2, K'nn simpleksler altkompleksleri ise K1 ∪ K2 veK1 ∩K2 de K nn simpleksler altkompleksleri olur mu ? Gösteriniz.20. |K| polihedronunun ba§lantl olmas için gerek ve yeter ³art Knn ba§lantl olmasdr. Gösteriniz.21. Simpleksler kompleksi K ya ait kö³eler kümesi p0, p1, . . . , pm, Kda bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art ∩mi=0st(pi) 6= 0olmasdr.
106
Bölüm 9
SMPLEKSKER HOMOLOJGRUPLARI
Tanm 9.0.14. K oriented simpleksler kompleksi olsun.
•
Zq(K) = Ker∂q (9.1)
= < p0, p1, . . . , pq >∈ Cq(K) | ∂q(< p0, . . . , pq >) = 0(9.2)
grubuna q-devir grubu denir.
•
Bq(K) = Im∂q+1 (9.3)
= < p0, p1, . . . , pq >∈ Cq(K) | ∂q+1(< p0, . . . , pq+1 >) =< p0, p1, . . . , pq >(9.4)
grubuna q-snr grubu denir.
Teorem 6.2.2 den a³a§daki sonuçu söyleyebiriz.
Lemma 9.0.2. Bq(K) ⊂ Zq(K) ⊂ Cq(K)'dr.
Tanm 9.0.15. K, m boyutlu bir simpleksler kompleksi olsun. Hq(K) =Zq(K)
Bq(K)bölüm grubuna q. boyutta simpleksler homoloji grubu denir.
Teorem 9.0.4.
(a) K = ∅ ise H0(K) = 0'dir.
107
(b) K = x0 bir 0-simpleks ise Hq(K) = 0, q ≥ 1
spat:
(a) K = ∅ olsun.
C0(K) = 0, C1(K) = 0, C2(K) = 0; Ci(K) = 0 i ≥ 3
0∂4→ C3(K)
∂3→ C2(K)∂2→ C1(K)
∂1→ C0(K)→ 0
Z0(K) = Ker ∂0 = 0 B0(K) = Im ∂1 = 0.
Dolasyla H0(K) = Z0(K)B0(K)
∼= 0.
(b) K = x0 olsun.
C0(K) =< x0 >∼= Z, ve Ci(K) = 0 i ≥ 1.
Buradan a³a§daki ksa diziyi elde ederiz;
0∂1→ C0(K)
∂0→ 0.
Bu diziden hemen a³a§dakini elde edeiz;
Z0(K) = Ker ∂0 = C0(K) ' Z, B0(K) = Im ∂1 = 0.
Sonuç olarak H0(K) ∼= Z.
Teorem 9.0.5. f : X −→ Y homeomorf ise f∗ : Hq(X) → Hq(Y )izomorftur.
spat: Okuyucuya braklm³tr.
Örnek 9.0.6. Klein i³esiKlein ³i³esinde, 1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks ( [a], [b], [c]),ve 2 tane 2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Böylece
C0(Kb) ∼= Z, C1(Kb) ∼= Z⊕ Z⊕ Z, C2(Kb) ∼= Z⊕ Z.
Di§er taraftan q ≥ 3 için Cq(Kb) ∼= 0 dir. A³a§daki ksa diziyielde edriz;
0∂3−→ C2(Kb)
∂2−→ C1(Kb)∂1−→ C0(Kb)
∂0−→ 0
108
Bu ksa diziden hemen Ker ∂0 = C0(Kb) ∼= Z ve Im ∂3 = 0 e³itlik-lerini elde ederiz.
∀ p U + q L ∈ C2(Kb) için
∂2(pU + qL) = p ∂2(U) + q ∂2(L) (9.5)
= p (−a− b+ c) + q (−c− a+ b) (9.6)
= −(p+ q) a+ (q − p) (b− c) (9.7)
O halde 2a ve b−a− c elemanlar Im ∂2 yi üretir. Buradan; Im ∂2∼=
2Z⊕ Z dir. imdi ∂2 nin çekirde§ini tespit edelim.
∂2(pU + qL) = 0 olsun. O zaman
−(p+ q) a+ (q − p) (b− c) = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
Böylece Ker ∂2∼= 0 dir.
∀r1a+ r2b+ r3c ∈ C1(Kb) için
∂1(r1a+ r2b+ r3c) = r1 ∂1(a) + r2 ∂1(b) + r3 ∂1(c) (9.8)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v) (9.9)
= 0 (9.10)
elde edilir. Bu durumda Ker ∂1∼= Z⊕Z⊕Z ve Im ∂1
∼= 0 dir.
Sonuç olarak Klein i³esinin simpleksler homoloji grubu;
Hq(KB) =
Z, q = 0,
Z2 ⊕ Z, q = 1
0, q 6= 0, 1.
109
Örnek 9.0.7. Tor
Torda, 1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c]), ve 2tane 2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Dlasyla
C0(T ) ∼= Z, C1(T ) ∼= Z⊕ Z⊕ Z, C2(T ) ∼= Z⊕ Z
Di§er taraftan q ≥ 3 için Cq(T ) ∼= 0 dir.
0∂3−→ C2(T )
∂2−→ C1(T )∂1−→ C0(T )
∂0−→ 0
Bu ksa diziden hemen Ker ∂0 = C0(T ) ∼= Z ve Im ∂3∼= 0 olduk-
larnz görürüz.∀pU + qL ∈ C2(T ) için
∂2(pU + qL) = p ∂2(U) + q ∂2(L) (9.11)
= p (−a− b+ c) + q (a+ b− c) (9.12)
= p (−a− b+ c) + q (a+ b− c) (9.13)
= (p− q) (c− a− b) (9.14)
O halde Im ∂2∼= Z olur. imdi ∂2 nin çekirde§ini hesaplayalm.
∂2(pU + qL) = 0 olsun. O zaman
(p− q) (c− a− b) = 0 =⇒ p = q.
Böylece Ker ∂2∼= Z dir.
∀r1a+ r2b+ r3c ∈ C1(T ) için
∂1(r1a+ r2b+ r3c) = r1 ∂1(a) + r2 ∂1(b) + r3 ∂1(c) (9.15)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v) (9.16)
= 0 (9.17)
110
elde edilir.O zaman Ker ∂1 = C1(T ) ∼= Z ⊕ Z ⊕ Z ve Im ∂1
∼= 0 oldu§unugörürüz. Sonuç olarak Tor'un simpleksler homoloji grubu;
Hq(T ) =
Z, q = 0,
Z⊕ Z, q = 1
Z, q = 2
0, q 6= 0, 1, 2.
111
Örnek 9.0.8. Reel Projektif Düzlem
Reel Projektif Düzleminde, 2 tane 0-simpleks ([v], [w]), 3 tane 1-simpleks ([a], [b], [c]), ve 2 tane 2-simpleks ([U ], [L]) vardr.Dolasyla
C0(RP 2) ∼= Z⊕ Z, C1(RP 2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z, C2(RP 2) ∼= Z⊕ Z
Di§er taraftan q ≥ 3 için Cq(RP 2) ∼= 0 dir.
0∂3−→ C2(T )
∂2−→ C1(T )∂1−→ C0(T )
∂0−→ 0
Bu ksa diziden hemen Ker ∂0 = C0(RP 2) ∼= Z⊕ Z ve Im ∂3∼= 0
olduklarnz görürüz.∀pU + qL ∈ C2(RP 2) için,
∂2(pU + qL) = p ∂2(U) + q ∂2(L) (9.18)
= p (−a+ b+ c) + q (−a+ b− c) (9.19)
= −a (p+ q) + b (p+ q) + c (p− q) (9.20)
= (p+ q) (b− a) + (p− q) c (9.21)
O halde Im ∂2 in üreteçleri, 2(b − a) ve −a − c + b dir. BuradanIm∂2
∼= 2Z⊕Z oldu§unu rahatlkla söyleyebiliriz. imdi ∂2 nin çekird-e§ini hesaplayalm.
∂2(pU + qL) = 0 (9.22)
(p+ q) (b− a) + (p− q) c = 0 (9.23)
(p+ q) (b− a) + (p− q) c = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
112
O halde Ker ∂2 = 0 dir. ∀r1a+ r2b+ r3c ∈ C1(T ) için,
∂1(r1a+ r2b+ r3c) = r1 ∂1(a) + r2 ∂1(b) + r3 ∂1(c) (9.24)
= r1 (w − v) + r2 (w − v) + r3 (v − v) (9.25)
= (w − v) (r1 + r2). (9.26)
O zaman Im ∂1'in üreteçi bir tanedir. Yani Im ∂1∼= Z dir. Im ∂1'in
çekirde§ini tespit edelim. ∂1(r1a+ r2b+ r3c) = 0 olsun. O zaman
(w − v) (r1 − r2) = 0 =⇒ r1 = −r2.
Böylece Ker ∂1∼= Z ⊕ Z olur. Sonuç olarak Reel Projektif Düzlemin
simpleksler homoloji grubu;
Hq(RP2) =
Z, q = 0,
Z2, q = 1
0, q 6= 0, 1.
Örnek 9.0.9. Möbiüs eridi
2 tane 0-simpleks [x], [y] var. Bunlar baz kabul eden serbest abelgrubu C0(Mb) ile gösterelim. Biz baz 2 tane olan serbest abel grubunZ⊕Z oldu§unu biliyoruz ve bu serbest abel grupta çal³mak bizim içindaha al³agelmi³ oldu§undan C0(Mb) ' Z ⊕ Z alyoruz. Bu mantklan tane k-simpleksi baz kabul eden serbest abel grubunu Ck(Mb) ilegösterece§iz ve ona izomorf olan n tane Z nin direkt toplamn olanserbest abel grubunda çal³aca§z.4 tane 1-simpleks [α], [β], [δ], [γ] var. O halde C1(Mb) ' Z⊕Z⊕Z⊕Z2 tane 2-simpleks [U ], [L] var. O halde C2(Mb) ' Z⊕ ZVe q ≥ 3 için Cq(Mb) ' 0 dir.
... −→ 0 −→ C2(Mb) −→ C1(Mb) −→ C0(Mb) −→ 0
113
Burada; Ker∂0 = C0(Mb) ' Z⊕ Z ve Im∂3 = 0 oldu§u açktr.
∂2 : C2(Mb) −→ C1(Mb)
homomorzmasn ele alalm. p, q ∈ Z ve ∀ p[U ] + q[L] ∈ C2(Kb) için
∂2(p[U ] + q[L]) = p ∂2[U ] + q ∂2[L] = p (−α− β + γ) + q (−α− γ + δ)= −(p+ q) α− p β + qδ + (p− q)γ
O zaman önce Im∂2 yi hesaplayalm. −(p+q) = ω1, −p = ω2, q = ω3,p−q = ω4 diyelim ω4 = −ω2−ω3 ve ω1 = ω2−ω3 ³eklinde yazlabiliyor.Im∂2 = ω1α+ω2β+ω2δ+ω4γ= (ω2−ω3)α+ω2β+ω3δ+(−ω2−ω3)γ= ω2(−α + β − γ) + ω3(−α + δ − γ) ' Z⊕ Z( Bu durumda C1(Mb) de geriye sadece 2 baz kalr. Baz iki olan veçal³labilecek en kolay serbest grup Z⊕ Z oldu§undan Im∂2 ' Z⊕ Zdir.)imdi Ker∂2 yi hesaplayalm:
∂2(pU+qL) = 0 olsun. Bu durumda = −(p+q) α−p β+qδ+(p−q)γ = 0dr. Ker∂2 ≤ C2(Mb) serbest altgrubu oldu§undan lineer ba§mszdr.O halde −p− q = 0 −p = 0 q = 0 p− q = 0 olur. Buradan p = q = 0dr. Ker∂2 = 0 dr.
∂1 : C1(Mb) −→ C0(Mb)
homomorzmasn ele alalm. ∀r1, r2, r3r4 ∈ Z ve ∀r1[α]+r2[β]+r3[δ]+r4[γ] ∈ C1(Mb) için
∂1(r1[α] + r2[β] + r3[δ] + r4[γ]) = r1 ∂1([α]) + r2 ∂1([β]) + r3 ∂1([δ]) +r4 ∂1([γ]) = r1 (y − x) + r2 (x − y) + r3 (y − x) + r4 (x − x) =(r1 − r2 + r3)(y − x) + r4(x− x) elde edilir.Ker∂2 yi hesaplayalm. ∂1(r1[α] + r2[β] + r3[δ] + r4[γ]) = 0 olsun. Ozaman (r1−r2+r3)(y−x)+r4(x−x) = 0 dr. Yine lineer ba§mszlktanr1 − r2 + r3 = 0 ve r4 ∈ Z dir. r2 = r1 + r3 ³eklinde yazlabildi§indenr1, r3, r4 katsaylar kalr. O zaman Ker∂2 ' Z⊕ Z⊕ Z dir.
Im∂1 yi hesaplayalm. ∂1(r1[α]+r2[β]+r3[δ]+r4[γ]) = (r1−r2 +r3)(y−x) + r4(x−x) = r(y−x) olur. Yani Im∂1 = r(y−x) r ∈ Z ' Z dir.
114
Artk Möbiüs eridinin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz.
H0(Mb) = Ker∂0Im∂1
' Z
H1(Mb) = Ker∂1Im∂2
' Z⊕ Z
H2(Mb) = Ker∂2Im∂3
= 0
Hq(Mb) = 0 q ≥ 3 dir.
Örnek 9.0.10. p0 = (0, 0, 0), p1 = (1, 0, 0), p2 = (1, 2, 0), p3 =(2, 3, 4)
-
6
@@@
@@R
-
P0
P1 P2
P3
σ01 =< p0 >, σ0
2 =< p1 >, σ03 =< p2 >, σ0
4 =< p3 >
σ11 =< p0, p1 >, σ1
2 =< p0, p2 >, σ13 =< p0, p3 >, σ1
4 =< p1, p2 >σ1
5 =< p1, p3 >, σ16 =< p2, p3 >
σ21 =< p0, p1, p2 >, σ
22 =< p1, p2, p3 >, σ
23 =< p0, p2, p3 >, σ
24 =<
p0, p1, p3 >
C0(K) =< σ01 > ⊕ < σ0
2 > ⊕ < σ03 > ⊕ < σ0
4 >' Z⊕Z⊕Z⊕Z ∼= Z4
C1(K) =< σ11 > ⊕ < σ1
2 > ⊕ < σ13 > ⊕ < σ1
4 > ⊕ < σ15 > ⊕ <
σ16 >∼= Z6
115
C2(K) =< σ21 > ⊕ < σ2
2 > ⊕ < σ23 > ⊕ < σ2
4 >∼= Z4
C3(K) =< σ31 >∼= Z
Ci(K) = 0 i ≥ 4
0∂3−→ C2(K)
∂2−→ C1(K)∂1−→ C0(K)
∂0−→ 0
0∂3−→ Z4 ∂2−→ Z6 ∂1−→ Z4 ∂0−→ 0
Z0(K) = Ker ∂0 = C0(K) ∼= Z4
B0(K) = Im ∂1 (9.27)
= a1 < σ01 > +a2 < σ0
2 > +a3 < σ03 > +a4 < σ0
4 >| a1 + a2 + a3 + a4 = 0(9.28)
∼= Z3 (Üreteç says 3) (9.29)
Dolasyla sfrnc boyutta homoloji grubu;
H0(K) =Z0(K)
B0(K)∼=
Z4
Z3∼= Z
Hatrlatma:
∂i(< p0, p1, . . . , pm >) =m∑i=0
(−1)i < p0, p1, . . . , pi, . . . , pm >
∂1(σ11) = p1 − p0 (9.30)
∂1(σ12) = p2 − p0 (9.31)
∂1(σ13) = p3 − p0 (9.32)
∂1(σ14) = p2 − p1 (9.33)
∂1(σ15) = p3 − p1 (9.34)
∂1(σ16) = p3 − p2 (9.35)
116
∂1 snr homomorzmasnn matrisi;−1 −1 −1 0 0 01 0 0 −1 −1 00 1 0 1 0 −10 0 1 0 1 1
∂2(σ21) =< p1, p2 > − < p0, p2 > + < p0, p1 > (9.36)
∂2(σ22) =< p2, p3 > − < p1, p3 > + < p1, p2 > (9.37)
∂2(σ23) =< p2, p3 > − < p0, p3 > + < p0, p2 > (9.38)
∂2(σ24) =< p1, p3 > − < p0, p3 > + < p0, p1 > (9.39)
(9.40)
∂2 snr homomorzmasnn matrisi;
⇒
1 0 0 1−1 0 1 00 0 −1 −11 1 0 00 −1 0 10 1 1 0
Verilen piramidin homoloji grubu;
Hq(K) =
Z, q = 0, 2
0, q 6= 0, 2.
9.1 Simpleksler Kompleksin Euler Karak-teristi§i
(K, f), S2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V , kö³eler(0-simpleksler)saysn, E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler)saysn gösterüzere Euler formulü nün
V − E + F = 2
oldu§unu biliyoruz. imdi bunu genelle³tirelim;
117
Tanm 9.1.1. K, m-boyutlu simpleksler kompleksi olsun. q ≥ 0 içinαq, K'daki q-simpleksler kompleksinin says olsun. K simpleksler kom-pleksinin Euler karakteristi§i:
χ(K) =m∑q=0
(−1)qαq
³eklinde tanmlanr.
Teorem 9.1.1. K, m-boyutlu oriyantal simpleksler kompleksi olsun.
χ(K) =m∑q=0
(−1)qrank(Hq(K)).
spat:A³a§daki zincir kompleksini ele alalm;
0∂m+1−→ Cm(K)
∂m−→ Cm−1(K)∂m−1−→ · · · ∂1−→ C0(K)
∂0−→ 0.
Her q için Cq(K) rank αq olan serbest abel grupttur. Hq(K) = Zq(K)
Bq(K)
oldu§undan
rankHq(K) = rankZq(K)− rankBq(K)
Im∂m+1 = 0 oldu§undan Bm(K) = 0 dir. Her q ≥ 0 için
0 −→ Zq(K) −→ Cq(K)∂q−→ Bq−1(K) −→ 0
tam dizisi vardr.
αq = rank Cq(K) = rank Zq(K) + rank Bq−1(K)
χ(K) =m∑q=0
(−1)qαq(K) =m∑q=0
(−1)q(rank Zq(K) + rank Bq−1(K))
(9.41)
=m∑q=0
(−1)qrank Zq(K) +m∑q=0
(−1)qrank Bq−1(K)) (9.42)
118
B−1(K) = 0 = Bm(K) oldu§undan
χ(K) =m∑q=0
(−1)qrank Zq(K) +m∑q=0
(−1)q+1rank Bq(K) (9.43)
=m∑q=0
(−1)q(rank Zq(K)− rank Bq(K)) (9.44)
=m∑q=0
(−1)qrank Hq(K). (9.45)
Örnek 9.1.1.
Hi(S2) =
Z, i = 0, 20, i 6= 0, 2
Hi(D2) =
Z, i = 00, i 6= 0
Hi(T ) =
Z, i = 0, 2Z⊕
Z, i = 10, i 6= 0, 1, 2
Hi(S1) =
Z, i = 0, 10, i 6= 0, 1
Hi(Kb) =
Z, i = 0Z⊕
Z2, i = 10, i 6= 0, 1
Hi(S1× I) =
Z, i = 0, 10, i 6= 0, 1
Hi(Mb) =
Z, i = 0, 10, i 6= 0, 1
Hi(RP2) =
Z, i = 0Z2, i = 10, i 6= 0, 1
Yukardaki Homoloji gruplarn kullanarak Euler karakteristi§ini hesaplaya-biliriz;
χ(S2) =∞∑q=0
(−1)irank Hq(S2) (9.46)
= (−1)0rank S2(T ) + (−1)1rank H1(S2) + (−1)2rank H2(S2) + . . .(9.47)
= 1− 0 + 1 + 0 + 0 + . . . = 2 (9.48)
119
χ(T ) =∞∑q=0
(−1)qrank Hq(T ) (9.49)
= (−1)0rank H0(T ) + (−1)1rank H1(T ) + (−1)2rank H2(T ) + . . .(9.50)
= 1 + (−1).2 + 1 = 0 (9.51)
χ(RP 2) =∞∑q=0
(−1)qrank Hq(RP2) (9.52)
= (−1)0rank H0(RP 2) + (−1)1rank H1(RP 2) + (−1)2rank H2(RP 2) + . . .(9.53)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0 (9.54)
χ(Kb) =∞∑q=0
(−1)qrank Hq(Kb) (9.55)
= (−1)0rank H0(Kb) + (−1)1rank H1(Kb) + (−1)2rank H2(Kb) + . . .(9.56)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0 (9.57)
9.2 Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü
ϕ : K −→ L simpleksler dönü³üm olsun. ϕ, ∂ ϕ∗ = ϕ∗ ∂ e³itli§inido§rulayan ϕ : Cq(K) −→ Cq(L) lineer dönü³ümü üretti§ini biliyoruz.[c] = c + Bq(K), Hq(K) bir eleman göstersin. Dolasyla c ∈ Zq(K)dir yani ∂(c) = 0 ve böylece ∂ ϕ∗(c) = ϕ∗ ∂(c) = 0 oldu§undanϕ∗(c) ∈ Zq(L) dir.
c − c′ ∈ Bq(K) ise bir u ∈ Cq+1(K) için ϕ∗(c − c′) = ϕ∗(∂(u)) =∂(ϕ∗(u)) dir. Yani ϕ∗(c) +Bq(L) = ϕ∗(c
′) +Bq(L). Dolasyla
H(ϕ) : Hq(K) −→ Hq(L) c+Bq(K) 7−→ H(ϕ)(c+Bq(K)) = ϕ∗(c)+Bq(L).
Tanm 9.2.1. ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler dönü³üm olsun. Her qiçin
∂q+1 h+ h ∂q = ϕ∗ − ψ∗e³itli§ini do§rulayan h : Cq(K) −→ Cq+1(L) lineer dön³ümü varsa ϕve ψ dönü³ümleri zincir homotoptur denir.
120
Teorem 9.2.1. ϕ ve ψ arasnda bir zincir homotopi varsa
H(ϕ) = H(ψ).
spat:[c] = c+Bq(K) ∈ Hq(K) olsun.
∂q+1 h(c) + h ∂q(c) = ϕ∗(c)− ψ∗(c).
∂q(c) = 0 oldu§undan ϕ∗(c) − ψ∗(c) = ∂ h(c) ∈ Bq(L). Yani ϕ∗(c) +Bq(L) = ψ∗(c) +Bq(L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]).
Tanm 9.2.2. ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler dönü³üm olsun. Her-hangi bir σ ∈ K simpleksi için, ϕ(σ)∪ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsaϕ, ψ dönü³ümleri kontgious dur denir
Sonuç 9.2.1. ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler dönü³üm ve ϕ, ψ yekontgious ise tüm q için Hq(ϕ) = Hq(ψ) dir.
spat:Okuyucuya braklm³tr.
9.3 Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
Cebirsel Topolojide en önemli sabit nokta teoremi, 1884-1972 yllararasnda ya³am³ Solomon Lefschetz tarafndan bulunan Lefschetz sabitnokta teoremidir.
Tanm 9.3.1. X kompakt polihedron olmak üzere f : X −→ X süreklidönü³üm olsun. Ayrca h : |K| −→ X, X in üçgenle³tirilmi³ dönü³ümüolsun.
λ(f) =n∑q=0
(−1)qtr(h−1 f h)∗
³eklinde tanmlanan sayya Lefschetz says denir. (Burada (h−1 f h)∗ homomorzmas h−1 f h : |K| −→ |K| dön³ümü tarafndanindirgenmi³ homomorzmadr.)
Teorem 9.3.1. Lefschetz Sabit Nokta Teoremi X kompakt poli-hedron olsun. λ(f) 6= 0 olacak ³ekilde f : X −→ X bir sürekli dönü³ümise f nin sabit noktas vardr.
121
spat:Okuyucuya braklm³tr.
Sonuç 9.3.1. X büzülebilir kompakt polihedron olsun. O zaman f :X −→ X nin bir sabit noktas vardr.
spat:X büzülebilir olmas durumunda
Hq(X) =
Z, q = 0
0, q 6= 0.
ndirgenmi³ homomorzm f∗ : H0(X) −→ H0(X) birim homomorz-masdr. Dolasyla λ(f) = 1 6= 0. Lefschetz Sabit Nokta Teoreminden fnin bir sabit noktas vardr.
Sonuç 9.3.2. f : Sn −→ Sn bir sürekl dönü³üm ise λ(f) = 1 +(−1)n deg (f). E§er deg (f) 6= ±1 ise f nin sabit noktas vardr.
spat:
Hq(Sn) =
Z, q = 0, n
0, q 6= 0, n.
oldu§unu biliyoruz. f∗ : H0(Sn) −→ H0(Sn) dönü³ümü birim dönü³ümdür.Ayrca f∗ : Hn(Sn) −→ Hn(Sn) dön³ümünün trace(izi), f nin derece-sine e³ittir. Böylece
λ(f) = 1 + (−1)n deg (f).
kinci ksmda hemen birinci ksmdan elde edilir.
9.4 Borsuk-Ulam Teoremi
Borsuk-Ulam Teoreminin bir sonucu olarak a³a§daki teoremi verbiliriz:
Teorem 9.4.1. Sn üzerindeki antipodal noktalarn, f : Sn −→ Rn
sürekli dönü³ümü altnda görüntüleri ayndr.
Sonuç 9.4.1. n ≥ 1 için Sn, Rn nin içine gömülemez.
122
Sonuç 9.4.2. m 6= n ise Rm, Rn ne homemorf olamaz.
spat:m > n olsun. f : Rm −→ Rn nin homemorzma oldu§unu varsayalm.Sn ⊂ Rm dir ve f : Sn −→ Rn sürekli ve injektir, yani f gömmedönü³ümüdür. Buda bir önceki sonuç ile çeli³ir.
Teorem 9.4.2. f : Sn −→ Sn antipodal noktalar koruyan bir süreklidönü³üm olsun. f nin Lefschetz says λ(f) bir çift saydr.
spat:Okuyucuya braklm³tr.
Teorem 9.4.3. n ≥ 1 için f : Sn −→ Sn antipodal noktalar koruyanbir sürekli dönü³üm olsun. O zaman deg f tek tamsydr.
spat:Sonuç 6.6.2 den λ(f) = 1 + (−1)ndegf . Teorem 6.7.2 den λ(f) bir çiftsaydr. Böylece degf tek tamsaydr.
Teorem 9.4.4. Borsuk-Ulam Teoremi m > n olsun. O zaman an-tipodal noktalar koruyan f : Sm −→ Sn sürekli dönü³ümü yoktur.
spat:Antipodal noktalar koruyan f : Sm −→ Sn sürekli dönü³ümünün varoldu§unu varsayalm. i : Sn −→ Sm kapsama dönü³ümü olmak üzere
i f : Sm −→ Sm
bile³keside antipodal noktalar korur. Teorem 6.7.3 den deg i f tektamsaysdr. Di§er taraftan (if)∗ sfr dönü³üm oldu§undan deg ifsfrdr. Bu bir çeli³kidir.
Sonuç 9.4.3. f : Sn −→ Rn antipodal nokatalar koruyan bir süreklüdönü³üm olsun. f(x) = 0 olacak ³ekilde bir nokta x ∈ Sn vardr.
spat:∀x ∈ Sn için f 6= 0 oldu§unu varsayalm.
g :Sn −→ Sn−1 (9.58)
x 7−→ g(x) =f()x
||f(x)||(9.59)
g dönü³ümü sürekli ve antipodal noktalar koruyan dönü³ümdür. Bu daBorsuk-Ulam Teoremi'ne göre çeli³ir.
123
Bölüm 10
DÜÜM TEORS
Elimize küp ³eklinde bir kutu alalm ve kutunun etrafna be³ metreuzunlu§unda bir ipi hediye paketlermi³iz gibi ba§layp uclarini yapi³ti-ralim. Daha sonra bu ipi yava³ça kutunun etrafndan çkaralm. Eldeetti§imiz ³ekil bir trefoil (yonca yapra§) olacaktr. Ayn i³lemi be³ me-tre de§ilde yirmi metre uzunlu§unda ve daha kaln bir iple yapsaydkyine bir trefoil elde etmi³ olacaktk.
Yani dü§üm teorisinin topolojinn bir alt dal olarak incelenmesinin se-bebi de budur.Dü§üm teorisinin tarihinin ba³langc tam olarak bilinmesede ilk olarakGauss'un ilgilendigi dü³ünülmektedir ancak bu konuyla ciddi manadailk olarak ilgilenen Amerikali ünlü matematikci Alexandar olmustur.Alexander dü§üm teorisinin 3-boyutlu topolojide ne kadar önemli oldu§unugöstermi³tir.Daha sonra Alman matematikçi Seifert 1920 de çal³t§ bu
124
konunun önemini pekçok ki³inin anlamasn sa§lam³tr. Ayrca cebirselgeometri ile dü§üm teorisinin ili³kisi bu dönemde Almanya'da yaplançal³malarda ortaya konulmu³tur.Asl büyük ilerlemeler ikinci dünya sava³ srasnda Amerika'da yaplanara³trmalarla sa§lanm³tr. Amerika'daki bu geli³melerin etkisi zamanlaJaponya'ya da sçram³ ve burada da dü§üm teorisi ile ilgili büyükatlmlar gerçekle³tirilmi³tir. 1970 de ise periyodik dönü³ümlerle alakalSmith tahmininin çözümünden dolay dü§üm teorisinin cebirsel sayteorisi ile ba§lantsnn olabilece§i farkedildi.1980 lere gelindi§inde ise Jones'un epochal dü§ümlerini ke³ ile dü§ümteorisi topoloji ba³l§ altndan çkp matematiksel zi§e ta³nm³tr.dü§üm teorisi devaml olarak geli³ti§i içinde pekçok bilimdal ile olanili³kisi zamanla ortaya çkacaktr. Matematiksel biyoloji, mekanik vekimyann da pekçok alanndaki i³levselli§i zamanla ortaya konulmu³-tur.Günümüzde ise dü§üm graf dü§üm teorisinin uygulamalarnda oldukçaönemli bir yer tutar. Özellikle dü§üm teorisinin kimyaya uygulamalarndadü§üm graar önemli bir araçtr. Spatial (uzaysal)graar olarak ad-landrlan ve düzlemsel graardan biraz farkl olan bu graf kavrambu alanda önemli bir araçtr. Bu yüzyln ba³ndan beri ise bu alandaçal³an baz kimyaclar dü§üm veya halkalar içeren yap formülü ilesuni molekül sentezlemeye ilgi göstermi³lerdir. Frisch ve Wassermann(1961) bir halkay (Hopf Halkas) ihtiva eden yap formülü ile bir molekülüsentezlemeyi ba³ardlar (Murasugi 1996). Bir dü§ümün yapsal formülüile bir molekülü sentezleme i³lemi baz kimyaclar tarafndan sürdürülmü³türve moleküller bu ilginç yap formülü ile sentezlenmi³tir. Walba (1985)molekülün yapsal formülünü elde etmek için kullanlan i³lemde, yapsalformül olarak bir dü§ümün yapsn kullanr, Mobiüs merdivenli (M3-graf) bir molekül sentezlemeyi ba³arr (Murasugi 1996). Bu olay molekültopolojisinin do§masna yol açm³tr.Bir molekülün yapsal formülü,moleküldeki atomlara kar³lk gelen vekenarlar,kö³eler, kovalent ba§lar yardmyla atomlar arasndaki verikombinasyonunu ifade eden bir graf olarak tanmlanabilir.
10.1 Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar
Dü§ümü formel olarak tanmlarken smooth(düzgün) dü§üm ve poligo-nal dü§üm olarak ikiye ayrabiliriz.
Tanm 10.1.1. (Dü§üm ve Zincir)
125
(a) Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn alt kümesinedü§üm denir.
(b) Birçok ayrk (kesi³meyen) dü§ümlerin birle³imine zincir denir.
(c) ki zincir 3 boyutlu uzayda izotopik ise bu iki zincir denktir denir.
ekil 10.1: trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü
Tanm 10.1.2. (a) Birim çembere denk olan dü§üme dü§ümsüz denir.
(b) Bir zincir (x, y, i)|x2 +y2 = 1i = 1, 2, ..., n kümesine denk ise buzincire n-bile³enli zincir olmayan denir.
126
ekil 10.2: hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri
Not 10.1.1. ki dü§üm ya da iki zincir düzlemde ayn diyagrama sahipiseler bunlar denktir.
ekil 10.3: uygun çaprazlama-kötü çaprazlama
Tanm 10.1.3. R3 de kendini kesmeyen poligonal do§rulara poligonaldü§üm denir.
Tanm 10.1.4. Diferansiyeli sfra e³it olmayan sonsuz bir diferansiyel-lenebilir gömülmealtnda, R3 deki çemberin görüntüsü olarak tanmlanan dü§ümlere ise
127
smooth dü§üm denir.Biz genel olarak dü§ümün smooth tanmn kullanaca§z.
ekil 10.4: 41 ve 31
Tanm 10.1.5. Ki ler dü§üm ve i 6= j için Ki
⋂Kj = ∅ iken L =
K1
⋃K2
⋃. . .⋃Kn ⊂ R3 olacak ³ekildeki L alt uzayna zincir denir.
Tanm 10.1.6. n bile³enli bir L zincirinin bile³en saysn comp(L)=nile gösterilir.comp(L)=1 olan bir zincir ise bir dü§üme kar³lk gelir.
Tanm 10.1.7. Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir. R3 dekizincirlerin regüler diyagramn elde etmek içinR2=(x1, x2, 0) ∈ R3 | xi ∈ R deki görüntü resmi alnr. i³te bu diya-gramlarn ³u ³ekilde ifade edilir.R2 deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gös-terilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di§er iki yay a³a§-dan geçer.
Bir diyagramda a³a§daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izinverilmez.
Tanm 10.1.8. Yönlü bir zincir herbir bile³en boyunca bir yön seçerekzincire kar³lk gelen diyagramda oklarla göstererek elde edilir. Böyle-likle iki çe³it çaprazlama elde etmi³ oluruz:
128
Tanm 10.1.9. Yönlü bir diyagramn kvrm ³u ³ekilde bulunur:ω(D)=
∑caprazlamalar çaprazlama i³aretleri
Örnek 10.1.1.
Not 10.1.2. Tüm yönleri de§i³tirmek kvrm de§i³tirmez yani yönlüolmayan bir dü§üm diyagramnn kvrm iyi tanmldr.
Tanm 10.1.10. Yönlü bir D diyagramnn bile³enlerinin C1, C2, . . . , Cnoldu§unu varsayalm.i 6= j olmak ko³ulu ile Ci ile Cj nin zincirlenme says a³a§daki ³ekildetanmlanr:
129
lk(Ci, Cj) = 12
∑CiileCjnincaprazlamalari
çaprazlama i³aretleriD nin zincirlenme says ise:lk(D) =
∑0≤i≤j≤n lk(Ci, Cj)
Örnek 10.1.2.
130
10.2 Ambient zotopik
Tanm 10.2.1. A ve B ; bir X topolojik uzaynn iki alt kümesiolsun. E§er a³a§daki üç ko³ulu sa§layan bir h : X × [0, 1] −→ Xsürekli dönü³ümü mevcut ise "A ve B ambient izotopiktir" denir:
(a) ∀t ∈ [0, 1] için ht : X −→ X homeomorzmadr.
(b) h0 X üzerinde birim dönü³ümdür.
(c) h1(A) = B
Tanm 10.2.2. Bir topolojik K dü§ümünün denk 3 tanmn verelim.
(a) Dü§üm R3 de sonlu sayda kenarl kapal poligonal e§ridir.
(b) Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn altkümesine "dü§üm"denir.
(c) f : S1 −→ R3 injektif smooth dönü³üm öyleki dfdθ6= 0 olsun. O
zaman Imf = K ⊂ R3 altuzayna "dü§üm" denir.
Uyar 10.2.1. Dü§ümler R3 de bir boyutlu objelerdir. Bu yüzdenkalnlklar yoktur.
ekil 10.5: Dü§ümsüz - Sol Trefoil - Sa§ Trefoil
ekil 10.6: ekil-8 dü§ümü
Tanm 10.2.3. (a) Kini=1 lerR3 de dü§ümlerin sonlu saydaki kolek-
siyonu ve L = K1 ∪ ... ∪Kn olsun. E§er i 6= j için Ki ∩Kj = ∅oluyorsa L ye zincir denir. Buradaki n tamsaysna L zincirininbile³eni denir ve compL = n ile gösterilir. comp(L) = 1 olan birzincir ise bir dü§üme kar³lk gelir.
131
(b) ki zincir birbirine ambient izotopik ise bu iki zincir denktir denir.
Tanm 10.2.4. Dü§ümün düzleme izdü³ümüne "diyagram" denir. Yay-lardan ve çaprazlamalardan olu³ur. Diyagramlar dü§üm ve zincirlerinözellikleri üzerinde çal³mamz sa§lar.
Uyar 10.2.2. E§er düzlemde bir dü§ümü kesmeden deforme ede-bilirsek dü§üm de§i³mez.
Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir. R3 deki zincirlerin regülerdiyagramn elde etmek için,R2=(x1, x2, 0) ∈ R3 | xi ∈ R deki görüntü resmi alnr.
R2 deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndangösterilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di§er iki yaya³a§dan geçer.
Bir diyagramda a³a§daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izinverilmez.
Orientasyon; bir zincirin (veya dü§ümün) her bile³eni üzerinde yönüntayin edilmesidir. Verilen bu yöne ba§l olarak zincirin çaprazlamalarna
132
+1 ve -1 olmak üzere iki farkl i³aret atanr. E§er bir çaprazlamadaalttan geçen yayn yönü sa§dan sola do§ru ise buna "sa§ el kuralnasahiptir" denir ve o çaprazlamann i³areti ε = +1 olarak kabul edilir.E§er bir çaprazlamada alttan geçen yayn yönü soldan sa§a do§ru isebuna "sol el kuralna sahiptir" denir ve o çaprazlamann i³areti ε = −1olarak kabul edilir.
ekil 10.7: ε = +1 ε = −1
Tanm 10.2.5. Reidemeister hareketi bir dü§üm diyagram üzerindeherhangi bir de§i³ikli§e sebep olmadan yaplan hareketlerdir.R0: Diyagramn homotopisi yay ve çaprazlamalarn in³asn de§i³tiriryani örne§in yaylar büzer ya da açar fakat yönünü de§i³tirmez:Diyagramn etkilenen ksmlar yalnzca a³a§daki hareketlerle meydanagelir.
R1:
R2:
R3:
133
Teorem 10.2.1. (Reidemeister Teoremi)Uzayda iki dü§üm ambient izotopi ile birbirine deforme edilebilir ⇐⇒bu iki dü§ümün diyagramlar Reidemeister ile birbirine dönü³türülebilir.
Uyar 10.2.3. Reidemeister Teoremi, iki dü§ümün ayn olup olmad§nbelirlerken bize kaç defa Reidemeister hareketi yapmamz gerekti§inibelirtmez. Reidemeister hareketi iki dü§ümün ayn olup olmad§n be-lirlemek için yeterli de§ildir.Bir dü§ümün diyagramndan ba§msz olarak sa§lad§ özelliklere ihtiy-acmz var. Dü§ümün diyagram temsilinden ba§msz olana bu özellik-lere "dü§üm invaryant" denir. Dü§üm invaryant Reidemeister hareketialtnda de§i³mez.
Tanm 10.2.6. ki bile³ene sahip yönlü bir zincirin her iki bile³enin-ince olu³an çaprazlamalarnn i³aretlerinin toplam o zincirin "zincir-leme saysn" verir. ki bile³enli bir zincirin zincirleme says Reide-meister hareketleri altnda korunur. Yani invaryanttr.
Renklendirme
Tanm 10.2.7. Bir dü§ümün her yay a³a§daki iki ³art sa§layanüç renkten birine e³leme yaplyorsa bu dü§üme "renklendirilebilirdir"denir :
(a) En az iki renk kullanlacak
(b) Herhangi bir çaprazlama iki renkten olu³urken diyagramn tümüüç renkten olu³acak.
134
ekil 10.8: zincirleme says +2
imdi a³a§daki dü§ümlerin renklendirilebilir olup olmadklarn in-celeyelim;
135
Dü§ümsüz, renklendirme ko³ullarndan ilkini sa§lamad§ndan renklendirilebilirde§ildir.Sol trefoil renklendirmenin 2 ko³ulunu da sa§lad§ndan renklendirilebilirdir.ekil-8 dü§ümü, renklendirme ko³ullarndan ikincisini sa§lamad§ndanrenklendirilebilir de§ildir.
Bir dü§üm diyagramnn renklendirilebilirli§i dü§üm tipinin de§i³mez(invaryant) özelli§idir.
10.3 Alexander Polinomu
Bir dü§üm diyagramn ele alalm. Çaprazlamalar x1, ..., xn ve yaylarda a1, ...an ile gösterelim. Ayrca bu dü§üme bir yönlendirme (orien-tasyon) belirleyelim. Bu dü§üm boyunca hareket etti§imizde üç türlügeçi³ olacaktr;
(a) Çaprazlamadaki üst geçiti 1− t ile;
(b) Sol tarafndaki alt geçit yayn t ile;
(c) Sa§ tarafndaki alt geçit yayn −1 ile gösterelim.
Örne§in bir orientasyona sahip sa§ trefoil dü§ümünü ele alalm;
Bu diyagramn çaprazlamalar ve yaylarnn matrisini olu³turalm; Bu-radaki matrisin herhangi bir satr veya sütun toplam 0 olmaldr.
imdi bu matrisin herhangi bir satr veya sütunu silinerek determinantalnr.
Elde edilen bu polinom trefoilin Alexander polinomudur. Burada dikkatedilecek husus polinomda sabit terim bulunmal ve ba³katsay pozitiftutulmaldr. E§er hesaplanan polinomda sabit terim yoksa bu polinomt−n gibi bir ifade ile çarplarak sabit terim elde edilir. E§er ba³katsay
136
137
negatif ise polinom eksi parantezine alnmaldr.
imdi a³a§daki yönlendirilmi³ dü§ümün Alexander polinomunu hesaplay-alm;
Bu dü§ümün çaprazlama-yay matrisini olu³turalm.
Herhangi bir satr veya sütunun 0 oldu§unu gözlemleyelim ve iste-di§imiz key bir satur veya sütununu silip determinantn hesaplayalm;
Elde etti§imiz polinomumuzun sabit terimi yok ve ba³katsays negatiftir.O zaman polinomu −t−1 ile çarparsak; −t−1(−2t3 + 3t2 − 2t) = 2t2 −
138
3t+ 2 polinomu bü dü§ümün Alexander polinomudur.
Teorem 10.3.1. Alexander Polinomu, dü§üm diyagramndaki yayveya çaprazlama indeksine ba§l de§ildir.
spat 10.3.1. Çaprazlama indeksleri arasndaki de§i³im satrlar etk-iler. Ayn durum yay indeksleri arasndaki arasndaki de§i³im sütunlaretkileyecektir. Dolaysyla bu matrisin determinant ±1 kadar de§i³e-cektir. Alexander polinomunun sabit terimi olmas için de ±tk katsaysile çarplacaktr. Bu durumda her iki matrisin de Alexander polinomuayndr.
Teorem 10.3.2. (a) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisin-den çkartlm³ sütundan ba§msz;
(b) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisinden çkartlm³ satr-dan ba§mszdr.
Teorem 10.3.3. Orientasyona sahip bir dü§ümün Alexander polinomuReidemeister hareketleri altnda de§i³mezdir.
10.4 Skein Ba§nts
Önceki bölümde Alexander polinomunu ±tp ile çarparak polinomunpozitif sabit terime sahi olmasn sa§lam³tk. imdi ise bir ant
n + ...+a1t + a0 an, a0 6= 0 Alexander polinomunu ±tn/2 ile çarpaca§z.Ve bu elde etti§imiz yeni polinomu 4 ile gösterece§iz. Burada
139
140
(a) Pozitif dereceli terimin katsays ile negatif dereceli terimin kat-saysçak³yorsa 4(t−1) = 4(t) dir.
(b) Birden fazla bile³eni olna zincir için 4(1) = 0 alaca§z.
Örne§in sol el çaprazlamal Hopf zincirinin 4 polinomunu hesaplay-alm. Önce Alexander polinomunu hesaplamamz gerekiyor:
Buradan Hopf zincirinin Alexander polinomu t1 − 1 dir. 4 polino-munu elde etmemiz için Alexander polinomunu ±t−n/2 ile çarpmamzgerekiyordu. O zaman biz de t1− 1 polinomunu ±t−1/2 ile çarparsak4 = t1/2 − t−1/2 polinomunu elde etmi³ oluruz.
Tanm 10.4.1. imdi Skein ba§ntsn verelim. Bir orientasyona sahipzincirin önceden sabitlenen bir çaprazlamas için L+ sa§ el çaprazla-may; L− sol el çaprazlamay; L0 da o çaprazlamay ihmal etti§imizigöstersin.Alexander polinomlar için Skein ba§nts a³a§daki gibidir:
Örne§in bir önceki Hopf zincirinin Skein ba§ntsn hesaplayalm. Bu-rada L− sol el çaprazlamasn x1 çaprazlamas olarak alalm. x1 dekiçaprazlamay sa§ el çaprazlamas L+ yaparsak içiçe geçmi³ iki dü§üm-süz elde etmi³ oluruz. O zaman x1 deki sa§ el çaprazlamasnn 4
141
polinomu 4(L+) = 0 dr. x1 deki çaprazlamay L0 elemine edersekdü§ümsüz elde ederiz ve 4(L0) = 1 olur. Böylece Skein ba§ntsnyazarsak;
4(L−) = 4(L+) + (t1/2 − t−1/2)4 (L0)= 0 + (t1/2 − t−1/2)1= (t1/2 − t−1/2)
Örnek 10.4.1. A³a§daki polinomu Skein ba§nts yardmyla hesaplaynz.Dü§ümsüzün 4 polinomunun 0 oldu§unu biliyoruz. Hopf zincirinin
Skein ba§ntsndan da yararlanarak;
142
Örnek 10.4.2. A³a§daki polinomu Skein ba§nts yardmyla hesaplaynz.
10.5 Jones Polinomu
Bir zincirin diyagramnn Kauman bracket polinomu; tamsay kuvvetliA de§i³keni ile a³a§daki üç kuralla hesaplanr:
Birinci kural a³ikar zincirin(dü§ümsüz) polinomunu verir. kinci kurala³ikar zincir ile bir zincirin ayrk birle³iminin polinomunu verir.Üçüncükural ise çaprazlamay ortadan kaldran ba§nty verir.
143
Örnek 10.5.1. A³a§daki dü§ümün bracket polinomunu hesaplaynz.
Öncelikle 3üncü kural sonra da 1inci ve 2inci kural uygulayalm:
Teorem 10.5.1. Bracket polinomu Reidemeister hareketleri altndade§i³mezdir.(invaryanttr)
144
R3 ün korundu§unu görelim. 3üncü kural uygulayalm:
R1 in korundu§unu görelim. Yine 3 üncü kural uygulayalm:
145
R2 nin korundu§unu görelim:
Tanm 10.5.1. Bir L zincirinin regüler projeksiyonunun kvranmasays (writhe); o zincirdeki sa§ el çaprazlamalarndan sol el çaprazla-malarn çkartarak elde edilir ve bu say ω(L) notasyonu ile gösterilir.
Örne§in a³a§daki zincirin kvranma saysn hesaplayalm;
146
Burada sa§ el çaprazlamalarnn says 2; sol el çaprazlamalarnn saysise 4 oldu§undan ω(L) = 2− 4 = −2 dir.
Bracket polinomunun Reidemeiater hareketleri ile korundu§unun is-pat ederken gördük ki sa§ ve sol el çaprazlamay ortadan kaldran R1hareketi Bracket polinomundaki −A−3 çarpann ortaya çkarmaktadr.Böylece Bracket polinomunu (−A)−3ω(L) ile çarparsak R1 hareketininetkisini ortadan kaldrr. Ancak kvranma kavram R2 ve R3 nin bracketpolinomundaki etkisini ortadan kaldramaz. Bunun analizi ö§renciyeal³trma olarak braklm³tr.BöyleceX(L) = (−A)−3ω(L)〈L〉 polinomu zincir tipinin invaryant (de§i³mezi)dr. Bir dü§üm için orientasyonun yönü seçimden ba§msz olmasnara§men birden fazla bile³ene sahip bir zincirin kvranma says bile³en-lerin yönlerinin seçimine ba§l olacaktr.
Tanm 10.5.2. L zincirinin V (L) Jones polinomu, X(L) polinomundaA = t−1/4 almakla elde edilir.
Örne§in önceki al³trmamzda sol trefoilin Bracket polinomunu hesaplam³tkve bu polinomun A7 − A3 − A−5 oldu§unu görmü³tük. Burada tümçaprazlamalarn sol el çaprazlamas oldu§undan ω(K) = −3 tür.
X(K) = (−A)−3ω(L)〈K〉 = (−A)−9(A7−A3−A−5) = −A16+A12+A4
elde edilir. A = t−1/4 alnrsa V (K) = −t−4 + t−3 + t−1 Jones polinomuhesaplam³ olur.
Bracket polinomunda Skein ba§ntsn kullanarak da Jones polinomunuhesaplayabiliriz.
Teorem 10.5.2. L+, L− ve L0 yönlü bir zincirin 3 diyagram olsunöyleki zincirin sabit bir çaprazlamasnda L+ sa§ el çaprazlamasnn, L−sol el çaprazlamasnn ve L0 da o çaprazlamann yok edilmi³ halinindiyagram olsun. O zaman bu yönlü zincirin Jones polinomu Skeinba§ntsn sa§lar;
t−1V (L+)− tV (L−) + (t−1/2 − t1/2)V (L0) = 0
147
spat:
Örnek 10.5.2.
Önceki teoremi de kullanarak sol trefoil dü§ümünün Jones polinomunuhesaplayalm: Öncelikle dü§ümsüzün (trivial dü§ümün) Jones polino-munun 1 oldu§unu gözlemleyelim;
148
imdi de iki bile³enli trivial zincirin Jones polinomunu hesaplayalm;
Bu nedenle;
elde edilir. Böylece;
Jones polinomu için verdi§imiz Skein ba§ntsnda V (L−) yi çekersek;sol trefoil dü§ümünün Jones polinomu böylelikle hesaplanm³ olur.
149
10.6 Aynalar VE Dü§üm Kodlamas
L bir zincir ve M ⊂ R3 bir an düzlemi olsun. L nin ayna görüntüsü,m(L), M deki yansmasndan elde edilir.
Önerme 10.6.1. Ayna i³lemi izotopi snar üzerinde etkilidir ve ay-nann seçimine ba§l de§ildir.
Önerme 10.6.2. mL nin diyagram L nin diyagramndaki tüm çapra-zlamalar de§i³tirilerek bulunur.
Tanm 10.6.1. E§er bir zincir aynadaki yansmasna denk ise achiraldir denir. Aksi halde ise chiral olarak adlandrlr.Dü§üm tablosundaki achiraller 41, 63, 83, 89, 812, 817, 818 dir. 31 ise chi-raldir.
Tanm 10.6.2. K yönlü bir dü§üm olsun ve r(K) daK nn belirlenmi³yönünü göstersin. E§er K ve r(K) izotopik ise K tersinirdir.Tabloda tersinir olmayan tek dü§üm 817 dir.
10.6.1 Dü§üm Kodlamas
Bir gölgenin bir zincire ait çaprazlama bilgileri ele alnmadan çizilendiyagram oldu§unu hatrlyoruz
Önerme 10.6.3. Tek bile³enli bir gölge, yönsüz de§i³en(alternating)bir tek dü§üm belirtir.
ispat
Gölge etrafnda çaprazlama bilgilerine uyarak a³a§, yukar, a³a§, . . . ³eklindeyürüyelim. Bunu i³e yarad§n görebilmek içinbir satranç tahtas seçe-lim ve yürümeye ba³larken siyah ksmn solumuza alalm siyah-beyaz³eklinde yürümeye devam ettikçe yukar, a³a§ yürüdü§ümüzü göre-ce§iz.
150
Not 10.6.1. Tablonun sadece son üç eleman de§i³meyendir (not al-rternating). Bunlar; 819, 820, 821 dir. Bir gölge verilsin ve bunun etrafndaard³k olarak çaprazlama numaralarn yürüyelim. imdi ³öyle bir fonksiyonelde ederiz;f de§i³meli ise; f : teksayilar → ciftsayilarburada tek saylar alt kesi³imlere, çift saylar ise üst kesi³imlere kar³lkgelir.f(1), f(2), f(3), . . . dizisi bize gölgeyi verir.Örne§in; 31 dü§ümü 4, 6, 2 dizisi tarafndan belirlenir.Ayn dizinin farkl gölgeleri farkl diziler verir.
10.7 Dü§üm Toplamlar
K1 ve K2 gibi iki dü§ümün ba§lantl toplam her iki dü§ümden birerküçük daire dilimi çkarlup meydana gelen dört bitim noktas birbirinikesmeyen iki yeni e§ri parças ile birle³tirilerek elde edilir, sonuç olarakK = K1]K2 ³eklinde bir çift dü§ümdür.
Tanm 10.7.1. E§er a³ikar olmayan L ve M dü§ümleri için K , L]Mizomorf de§il ise K ya asal dü§üm denir. Dü§üm tablosu yalnzca asaldü§ümleri gösterir.
Tanm 10.7.2. Bir D dü§ümünün diyagramnda üst geçi³lere köprübunlarn saysnada köprü saysn verir.
Tanm 10.7.3. Bir K dü§ümünün köprü says b(K) Kya ait diya-gramlarda elde edilen köprü saylarnn minimumuna e³ittir.E§er K bir unknot ise b(K) = 1 olur.
Not 10.7.1. 85, 810, 815 hariç olmak üzere dü§üm tablosundaki tümdü§ümler 2-köprülü dü§ümlerdir. Bu hariç olan dü§ümler 3-köprülüdü§ümlerdir. Ancak 3-köprülü dü§ümler tam olarak snandrlamam³tr.
151
10.8 DNA'ya Ksa Bak³
Son yllarda moleküler biyolojide pekçok geli³meler meydana gelmi³tir.Bu geli³melerin bir ksmda matemati§in moleküler biyolojiye uygulan-mas ile gerçekle³mi³tir. Özellikle dü§üm teorisi DNA rekombinasyonuiçin oldukça güzel bir yol verir. DNA ile matemati§n ili³kisi 1950 lerdedublex DNA nn sarmal Crick-Watson yapsn ke³ ile ba³lam³tr. Birmatematik modeli olan Özel-Bölgeli Rekombinasyon Tangel Modeli ilkolarak De Witt Sumners tarafndan tantlm³tr.
Bu ksmda ise asl amacmz dü§üm teorisinin DNA rekombinasyonunauygulanmasnn detaylarn vermek olacaktr. DNA nn hücre çekird-e§i içerisinde bulunan çok uzun ve ince moleküller oldu§unu biliyoruz.Bu moleküller canlnn hayati özelliklerini ta³yan ve biyolojik bilgininnesilden nesile aktarlmasn sa§layan DNA molekülü bulunur. nsanDNA s 3.2 milyar yap ta³ndan olu³an bir bilgi hazinesi, bir kitaptr.Bu kitaptaki hareri yan yana dizecek olursak, biner sayfalk 10.000kitaptaki bilgiye denk gelir.
Bir insann trilyonlara yakn hücrelerinin hepsinin çekirdi§inde bulu-nan DNA çok sk bir ³ekilde kendi etrafnda dolanm³tr ve bu ³ekliylebir yuma§ andrr . DNA molekülü yumak halinden çkarlp bir ipli§edönü³türüldü§ünde, bu DNA nn uzunlu§u binbe³yüz cm ye yakndr.Bu 1.5 metrelik ³erit 10−6 metre çekirdek içinde bulunur. Bu da DNAnn neden çekirdek içinde karma³k ve dü§ümlenmi³ bir ³ekilde bu-
152
lunu§unu bize açklamaktadr.
DNA'y gözümüzde canlandrrsak çok uzun iki ³eridin milyonlarca kezbirbirine geçmi³, dü§ümlenmi³ ve ardarda pekçok kez sarmalanm³ birhalde oldu§unu dü³ünebiliriz. Ancak replikasyon ve translasyon i³lem-lerinin uygulanmas e§er DNA dü§ümlenmi³ ve karma³k olmasndansa,düzenli bir ³ekilde sralanm³ ise daha kolaydr. Enzimler ise dü§üm-leri ince ³eritler ³eklinde böler ve bunlar daha düzgün bir hale gelecek³ekilde ³eritleri tekrar ba§lar.
Topolojik ilkeleri kullanarak DNA nn dü§üm çözme i³lemini dahaiyi anlayabiliriz. Çünkü DNA replikasyon ve translasyon i³lemlerinigerçekle³tirebilmek için hzlca kendi dü§ümlü yapsn çözmelidir. Vebu aslnda topolojik bir problemdir. Dü§üm teorisi ara³trmaclara DNApaketlemesi ile ilgili olarak nitel bir tahminden çok nicel bir de§erverir ve dü§üm teorisi sayesinde bilimadamlar DNA nn bu dü§ümçözülme i³lemleri srasnda hangi enzimlerin kullanld§n anlamasnsa§lar. ³te bu noktada DNA nn ifadesinde oldukça önemli olan tanglekavram devreye girecektir.
10.9 Tangle
B bir 3 küre, t ise B içine gömülmü³ yönsüz yay çifti olsun. Bu yay çift-lerinin dört bitim noktas ise kürenin ekvator noktalarndadr (KB, KD,GB, GD).Bir tangle, (B, t) çiftidir. Bir tangle diyagram ise tangle n ek-vator düzlemine yanstlmas ile elde edilir. Diyagram üzerindeki bitimnoktalarn KB, KD, GB, GD olarak i³aretleyece§iz. Rasyonel tangleise bitim noktalarnn kaydrlmas ile a³ikar tangle a dönü³türülebilen
153
tangle lardr. Rasyonel tangle lar DNA larn yaps ile benzerlik gös-terir ve bu sebeple bizim asl odak noktamz olacaktr. VE bu yolladönü³türülemeyen tangle lar da vardr bunlarda asal tangle ve yereldü§ümlenmi³ tangle yaplardr.
ekil 10.9: Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§ümlenmi³
Her rasyonel tangle (a1, a2, . . . , an), ai ∈ Z, ∀i vektörü tarafndan olu³-turulur. Ve biz bu vektör yardmyla tangle diyagramn çizebiliriz: lkolarak KB, KD, GB, GD noktalar i³aretlenmi³ bir çember ile ba³lay-alm ve yaylar ³ekilde görüldü§ü gibi çizelim. E§er n çift ise alt ksm-dan ba³larz(GB ve GD) ve a1 says kadar yarm kaydrma yaparz(e§er a1 pozitif ise sa§-el kaydrmas, a1 negatif ise sol-el kaydrmasyaparz.).Daha sonra diyagramn KB-KD ksmnda a − 2 kadar yarmkaydrma yaparz. Daha sonra tekrar alt ksma dönüp ayn i³lemleriyapmaya devam ederiz. E§er n tek say ise sa§ taraftan ba³lar ve i³lemidaha önceki gibi uygulamaya devam ederiz. Örne§in (2, 1, 2) rasyoneltangle diyagramn a³a§daki gibi çizeriz.
Her tamsayl vektör βαrasyonel saysna e³it olan sürekli bir kesir ³ek-
linde ifade edilebilir. E§er T tangle (a1, a2, . . . , an) vektörleri tarafn-dan ifade ediliyorsa sürekli kesir
an +1
an−1 + 1an−2+...+ 1
a1
=β
α
³eklinde bulunur. βαrasyonel says T tangle nn kesri olarak adlandrlr.
154
Teorem 10.9.1. ki tangle izotopiktir ancak ve ancak ayn kesirleresahiplerse.
E§er iki tangledan biri e§er bitim noktalar hareket edilmeksizin her-hangi bir ³erit koparlmadan ya da bir ³erit di§erinin üzerinden geçme-den di§erine dönü³türülebiliyorsa bunlar denk olur. Ve bu teorem sayesindeaslnda tangle kesrinin tanglen özelliklerini belirlemede ne kadar önemlioldu§unu anlayabiliyoruz.
Yukarda bir vektörden tangle kesrinin nasl elde edildi§ini görmü³tükbenzer ³ekilde tangle kesri sayesinde vektörü de elde edebiliriz:
β
α= an +
1
an−1 + 1an−2+...+ 1
a1
Tabiki bu yolla farkl vektörlerde elde edebiliriz. Örne§in; (3,−2, 2)ve (2, 2, 1) vektörlerinin her ikisi de 7
5kesrini verir. Fakat burada iki
vekörde ayn tangle' belirtir. Ayrca tüm rasyonel tangle Conway sem-bolü olarak adlandrlan bir tek kanonik vektör tarafndan ifade edilebilir.Bir (a1, a2, . . . , an) vektörü kanonik formda ise her 1 ≤ i ≤ n − 1 için|a1| > 1, ai 6= 0 ve tüm sfrdan farkl ifadeler ayn i³arete sahiptir.Yukardaki örne§imizin Conway sembolü (2, 2, 1) dir.
Teorem 10.9.2. βα∈ Q∪ 1
0=∞ (α ∈ N ∪ 0, β ∈ Z ve obeb(α, β) = 1)
kesri ile rasyonel tangle'lar kümesi arasnda 1− 1 e³leme vardr.Tanglekesirleri ve vektör notasyonlarna ek olarak tangle'lar matris olarak daifade edilebilirler. Bu tangle'lar 2×2lik matrisler cinsinden ifade edilir,³öyleki: [
u v′
v u′
]=
[1 a2k
0 1
] [1 0
a2k−1 1
]. . .
[1 0a1 1
]Örnek 10.9.1. β
α= 23
17= 1 + 1
2+ 1
1+15
= (5, 1, 2, 1) nin matris olarak
ifadesi a³a§daki ³ekildedir[u v′
v u′
]=
[1 10 1
] [1 02 1
] [1 10 1
] [1 05 1
]=
[23 417 3
]
10.10 Tangle ³lemleri
Tanm 10.10.1. A ve B tangle'lar verilsin bu iki tangle'n toplamA + B bir tangle'n KD ve GD bitim noktalarnn di§er tangle'n KBve GB bitim noktalarna srasyla eklenmesi ile elde edilir.
155
Tanm 10.10.2. Bir T tangle'nn pay kapanmas olarak bilinen,N(T ),i³lemi KB ve KD bitim noktalarnn birle³tirilmesi ve GB ve GD bitimnoktalarnn birle³tirilmesi ile elde edilir.
Tanm 10.10.3. Bir T tangle'nn payda kapanmas olarak bilinen,D(T ), i³lemi KB ve GB bitim noktalar birle³tirilmesi ve KD ve GDbitim noktalarnn birle³tirilmesi sonucu elde edilir.
Örnek 10.10.1. Tangle i³lemleri birlikte de kullanlabilir. N((2, 0) +(1)) = 〈3〉 i³lemi sonucu elde edilen dü§üm trefoil yani 31 dir. Buradaki(2, 0) ise Hopf zinciridir.
156
Yani bu N(A+B) = K i³lemi sonucunda elde edilen K bir dü§ümdür.Ayrca iki rasyonel tangle'n toplam her zaman bir rasyonel tangle ver-
meyebilir. ³te tam bu noktada i³lemi nasl yürüyece§ini dü³ünebiliriz;fakat iki rasyonel tangle'n toplamnn pay kapanmas 4-plat isimli birdü§üm verir ve bu DNA modellemesinde oldukça önemli bir konudur.
10.11 4-Plat
Bir 4-plat dört ³eridin örülmesi ve bitim noktalarnn a³a§daki ³ek-ilde gösterildi§i gibi ba§lanmas ile elde edilen dü§ümdür. 4-plat lergenelde 2-köprülü yasa rasyonel dü§ümler olarak bilinir. Sekizden dahaaz çaprazlamas olan tüm asal dü§ümler ve yediden daha az çaprazla-mal iki bile³enli asal zincirler 4-plattir. 4-plat dü§ümler tpk rasyoneltangle'lar gibi tamsayl vektörlerce ifade edilebilir. 4-plat vektörü teksayda bile³eni olan vektörlerdir ³öyle ki; 〈c1, . . . , c2k+1〉 her i için ci ≥ 1dir ve ve buradaki her tamsay bile³eni ³eritler bir yarm kaydrmaytemsil eder. Yani rasyonel tangle'lara oldu§u gibi vektörler 4-plat diya-gram çizmek için de kullanlabilir. Bunu yaparken ³u yolu izleriz: dört³eritle ba³larz ardndan ortadaki lifde c1 kadar yarm kaydrma yaparzardndan en üstteki iki lifde c2 kadar yarm kaydrma yaparz daha sonrada yine ortadaki iki ³erite ayn i³lemi uygularz ve bu i³leme vektördekitüm tamsayl bile³enleri bitirinceye kadar devam ederiz. Son olarakbitim noktalarn ³ekilde gösterildi§i gibi birle³tirelim.4-plat'in bu ³eklinde ifade edilmesine Conway sembolü denir ve 4-plat'in minimal diyagramna denk gelir.
Teorem 10.11.1. ki 4-plat e³ittir ancak ve ancak ayn conway sem-bollerine sahiplerdir ya da e§er biri di§erinin tam olarak tersi olan birConway sembolüne sahipse yani birinin Conway sembolü 〈c1, . . . , c2k+1〉iken di§erinin Conway sembolü 〈c2k+1, . . . , c1〉 ³eklinde olur.
157
ekil 10.10: 4-plat çizimi
Not 10.11.1. Conway sembolü 0 < β < α olmak üzere βαrasyonel
saysnn hesaplanmasnda kullanlr.
β
α=
1
c1 + 1c2+...
³eklinde hesaplanr.4-plat βαsays b(α, β) olarak gösterilir.
Teorem 10.11.2. ki 4-plat b(α, β) ve b(α, β) denktir ancak ve ancakα = α ve β±1 ≡ β(modα)Örne§in; b(17, 5),b(17, 7) 4-plat'leri incelersek b(17, 5) (3, 2, 2)e, b(17, 7)de (2, 23)e kar³lk gelir. Sonuç olarak bu iki 4-plat'in denk olduklargörülür. Zaten 17 = 17 ve 5−1 ≡ 7(mod17) olmasndan da denk olduk-lar kolayca görülebilir.
Rasyonel saylarn kullanm bakmndan rasyonel tangle ve 4-plat leroldukça benzerdir. E§er verilen β
αrasyonel says 0 < β
α< 1 aral§nda
ise βαrasyonel tangel'nn payda kapan³ b(α, β) 4-plat'ini verir ve
e§er verilen βαsays β
α≥ 1 aral§nda ise β
αrasyonel tangle'nn pay
kapan³ ise b(β,−α) 4-plat'ini verir. Herhangi bir x tamsays içinD((d1, . . . , d2k+1, x)) = 〈d1, . . . , d2k+1〉 veN((d1, . . . , d2k+1, x, 0)) = 〈−d1, . . . ,−d2k+1〉olur. Daha öncede bahsetti§miz gibi iki rasyonel tangle'n toplamnnpay kapan³ bir 4-plat idi. Bir sonraki teoremimiz ise rasyonel tan-gle'larn pay kapan³ ile elde edilen rasyonel dü§ümlerin denkli§i ileilgili bilgi verecek.
Teorem 10.11.3. pqvep
′
q′indirgenmi³ kesirleri ile verilen iki rasyonel
tangle alalm. E§er N(pq) ve N(p
′
q′) tangle'larn pay kapanmas sonucu
elde edilen rasyonel dü§ümler olmak üzere bu dü§ümler birbirlerinekar³lk geliyorsaN(p
q) veN(p
′
q′) topolojik olarak denktir ancak ve ancak
p = p′ ve q±1 ≡ q′(modp) oluyorsa.
158
10.12 Tangle Denklemlerinin Çözümü
Daha önceki bölümlerde de gördü§ümüz gibi tangle denklemleri Kdü§üm ya da zincir, A ve B tangle olmak üzere N(A + B) = K³eklindeki denklemlerdi. ³te bu demklemlerin çözümü enzim mekaniz-malarn daha iyi anlamamz için yardmc olacaktr.
Lemma 10.12.1. ki rasyonel tangle A1 = β1α1
ve A2 = β2α2
verilsin.N(A1 + A2) i³lemi b(α, β) ³eklinde bir 4-plat tanmlar ve α = |α1β2 +α2β1| olur ve β a³a§daki gibi tanmlanr:
(a) α = 0 ise β = 1;
(b) α = 1 ise β = 1;
(c) α > 1 ise β ³u ³ekilde elde edilir: 0 < β < α ve σ = sign(α1β2 +α2β1) ve α′2 ve β
′2 nin
β2α2
tangle'nn 2. sütunun bile³enleri oldu§uyerde β ≡ σ(α1α
′2 + β1β
′2)(modα) ³eklinde bulunur.
Örnek 10.12.1. A1 = 2 ve A2 = 2317olarak alalm. α = |1×23+17×2| =
57 olur. Örnek8.1 de βα
= 2317
tangle'nn matrisini bulmu³tuk ve a³a§-daki gibiydi:[
u v′
v u′
]=
[1 10 1
] [1 02 1
] [1 10 1
] [1 05 1
]=
[23 417 3
]buradan α′2 ve β
′2 de§erlerini bulabiliriz. β = (1×4+2×3)(mod57) = 10
olarak hesaplanr. Sonuç olarak i³lemin sonucu N(A1 +A2) = b(57, 10)bulunur.
Teorem 10.12.1. A = βα
= (a1, . . . , a2n) bir rasyonel tangle ve K =〈c1, c2, . . . , c2k+1〉 bir 4-plat olsun. N(X + A) = K 6= 〈0〉 denklemi-nin rasyonel tangle çözümü: r herhangi bir tamsay olmak üzere X =(c1, . . . , c2k+1, r,−a1, . . . ,−a2n) ya daX = (c2k+1, . . . , c1, r,−a1, . . . ,−a2n)olur.E§er K = 〈0〉 ise X = (−a1,−a2, . . . ,−a2n) tek çözümdür.
Teorem 10.12.2. A1 ve A2 iki farkl rasyonel tangle ve K1 ve K2 de4-plat olsun. N(X + A1) = K1 ve N(X + A2) = K2 denklemlerinin enfazla iki farkl rasyonel tangle çözümü vardr.
spat
159
X = uv, A1 = β1
α1, A2 = β2
α2, K1 = b(α, β) ve K2 = b(α′, β′) olsun.
Lemma11.1 den α = |vβ1 + α1u| ve α′ = |vβ2 + α2u| olarak bu-lunur. (u, v)-düzleminde bu denklemler iki paralel çifti belirtir. u
v= −u−v
oldu§undan bu dört nokta bu denklem sistemi için en fazla iki farklrasyonel tangle belirtir.
Örnek 10.12.2. A1 = 13, A2 = 5
17,K1 = b(5, 3) ve K2 = b(29, 17) olsun.
|v + 3u| = 5|5v + 17u| = 29
Bu denklem sisteminin çözümü:
v + 3u = 55v + 17u = −29
buradan X = −2786
çözümünü elde ederiz. Bir di§er çözüm de:
v + 3u = 55v + 17u = −29
buradan da X = −2786
bulunur.
10.13 Özel Bölgeli Rekombimasyon
Deoksiribonükleik asit(DNA) hücre çekirde§i içinde skca paketlenmi³uzun ve ince moleküllerdir. Dubleks DNA iki ³eritten meydan gelir.Ve bu ikili ³erit iki ³eker fosfat zinciri molekülün d³ ksmn olu³tu-rurken, hidrojen ba§l yass baz çiftleribunlar ba§lar. DNA yapsndakidört baz A-adenin, G-guanin, C-sitozin ve T-timin dir. Ve bunlar bir-birine hidrojen ba§larla ba§lanr. A yalnzca T ile, C ise yalnzca G ileba§lanr. ³te bu yapya DNA'nn ikili sarmal yaps denir. Bir satr-daki hareri okuyarak di§er satra gelecek olan hareri tahmin ede-biliriz. ³te okunan bu tek ³eride DNA'nn genetik dizisi denir. DNAsarmal ³ekilde sa§-el kuralna göre yarm kvrlma yapar. Bu her yarmkvrlmaya supercoil denir. Daha öncede bahsetti§miz gibi DNA bir-takm hayati enzim aksiyonlar sayesinde topolojik olarak i³letilir. Buenzimatik aksiyonlardan biriside Spesik-Bölgeli Rekombinasyondur.
160
Spesik-Bölgeli Rekombinasyon bir DNA blo§unun molekül üzerindebir pozisyondan di§erine ta³nmasdr. Rekombinasyon ise yeniden düzen-leme, gen regülasyonu, kontrol numarasnn kopyalanmas ve genin te-davisi için kullanlr. Bu uygulama recombinase asl enzim tarafndanyaplr. DNA'nn genetik dizisinin küçük bir parças recombinase tarafn-dan etkilenmi³ olursa bu parçaya rekombinasyon bölgesi denir. Aynmoplekül ya da farkl molekül üzerindeki bölge çifti bir enzim tarafn-dan ba§lanr. Bu reaksiyon a³amasna sinapsis denir. DNA molekül-leri ve enzim ise sinaptik komplekstir. Rekombinasyondan önceki DNAmolekülüne substrat ve rekombinasyondan sonra ise product denir. En-zim DNA'ya ba§land§nda DNA'nn iki tarafn da krar ve son ksm-larn farkl ³ekilde birbiriyle rekombine eder. Rekombinasyon bölgeleriDNA ³eridindeki bazlara göre yön alrlar.Enzim DNA'ya ba§lanrken rekombinasyon olay birden fazla kez gerçek-le³ebilir.
10.14 Tangle Modeli
1980 de DeWitt Sumners tarafndan tantlan tangle modelin amacrekombinasyon srasnda olan olaylarn matematiksel olarak ifade edilme-sidir. Bu sayede, DNA ürün ve substratnn topolojik ve geometrikolarak enzimin neler yapt§n ifade edebiliriz. Elektron mikrograarndaDNA lierinin birbiri etrafnda doland§ görülebilir. 4-plat ve rasyoneltangle'lar kvrlan ³eritlerden meydana geldi§inden bunlar DNA mod-ellemesi için oldukça uygun adaylardr. Tangle'n tanmn hatrlarsakt'nin yönsüz yay çifti ve B nin 3-küre oldu§u yerde B içine gömülmü³(B, t) çifti idi. Bir tangle enzim-DNA kompleksinin modellemesindekullanlabilir ³öyle ki; enzim 3-küre ve iki rekombinasyon bölgesi deiki ³erit olacak ³ekilde. Rekombinasyon olaynn en çok gözlenen ürünüise 4-plattir, bu oldukça akla yatkndr çünkü 4-plat ile enzim-DNAkompleksini modelleyebilir ve de§i³iklikleri tangle denklemleri ile ifadeedebiliriz. Ancak enzim mekanizmasn tangle model ile ifade etmedenönce bir kaç varsaym yapmalyz. lk varsaymmz enzim-DNA kom-pleksini tangle'larn toplam olarak ifade edece§iz. E enzim, Ob DNAnn enzime ba§lanan ksm ve P de reaksiyon srasnda de§i³en ksmolsun. O nedenle enzim-DNA kompleksini E = Ob + P ³eklinde ifadeedebiliriz. Tabii ki ayn zamanda enzime ba§l olmayan bir DNA'ya daihtiyacmz olacak. ³te DNA'nn bu ³eklinin de tangle ile ifadesi de Of
olacak. imdi ise N(Of +Ob +P ) = K0 tangle denklemini l-elde ederiz
161
ve bu bize substrat molekülünü verir. kinci varsaymmz ise rekombi-nasyon P bölge tangle'nn rekombinasyon tarafndan döndürüldüktensonra ki halini ise R recombinant tangle' ile ifade edelim. Bu varsaymile bir rekombinasyon ile P bölge tangle' R recombinant tangle'nadönü³ür. A³a§da ise rekombinasyon dönü³ünden sonraki modeli ifadeedelim:
N(Of +Ob + P ) = K0 (substrat)N(Of +Ob +R) = K1 (product)
Ayrca ³unu da unutmamalyz ki; rekombinasyon mekanizmas sabit-tir, substrat geometrisi ve topolojisinden ba§mszdr. Bu demektir ki;e§re tüm substrat molekülleri ayn dü§üm tipinde ise Of , Ob, P veR tangle'lar bir olaydan di§erine de§i³mez. E§er substrat moleküllerifarkl tipte dü§ümler ise yalnzca Of tangle' de§i³ir. Yalnz bu durumdagöz önünde bulundurmamz gereken tek istisna bölge yönlendirmesidir.Son varsaymmz tangle denklem sistemini tarafndan verilen proces-sive rekombinasyon modeli: O = Of +Ob ve O,P ve R bilinmiyorsa
N(O + P ) = K0 (substrat)N(O +R) = K1 (birinci dönü³ sonucu ortaya çkan ürün)......N(O + nR) = Kn (n. dönü³ sonucu ortaya çkan ürün)ortaya çkar.
10.15 Örnek
2002 ylnda Mariel Vazquez ve De Witt Sumners Gin spesik-bölgelirekombiinasyonu analiz edebilmek için tangle modeli kullandlar. Buböl§mde onlarn bulu³larndan bahsedece§iz. Bu tangle modelin spesik-bölgeli rekombinasyon için kullanld§ yalnzca bir örnektir. Gin,Muadl bir bakteriyofaj tarafndan kodlanan bir spesik-bölgeli rekom-binasyon i³lemidir. Bakteriyofaj, bakterileri etkileyen virüslerdir. Fajgenomu gix L ve gix R olarak adlandrlan iki rekombinasyon bölgesinesahiptir. Biri DNA'ya ba§lanr ve Gin her iki taraf da krar, bitim nok-talarn yönlendirir ve bunlar birle³tirir. Gin, çift ba§lanma srasndabirden daha fazla rekombinasyon meydana getiren processive rekom-binassyon ile etki gerçekle³tirir. Gin rekombinasyonun dü§ümsüz sub-strat molekülü üzerindeki tangle analizinin sonuçlar ters olarak gixbölgelerinde a³a§daki gibi tekrar edilir:
162
K0 = 〈1〉 (dü§ümsüz)K1 = 〈1〉 (dü§ümsüz)
K2 = 〈3〉 = 31 (trefoil dü§ümü)K3 = 〈2, 1, 1〉 = 41 (8-gür dü§ümü)K4 = 〈2, 2, 1〉 (5-twist dü§ümü)
2004 ylnda De Witt Sumners ve Mariel Vazquez yukardaki dört den-klemin çözümünü veren bir sonuç ke³fetti ve tam olarak be³inci den-klemi tahmin ettiler.
Teorem 10.15.1. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar içinçözümü olan (O,R)
(a) N(O + P ) = 〈1〉 =dü§ümsüz
(b) N(O +R) = 〈1〉 = dü§ümsüz
(c) N(O +R +R) = 〈3〉 =trefoil dü§ümüya ((−2, 0), 1) ya da ((4,1),(-1))dir. Ayrca e§er
(d) N(O +R +R +R) = 〈2, 1, 1〉 =8-gür dü§ümü
ise (O,R) = ((−2, 0), (1)) ³eklinde bir tek çözüm vardr.Biz burada O ve R nin rasyonelli§ini kontrol etmedik bunun yerinetangle denkleminin nasl çözüldü§ünü inceledik.Daha önce verilen birlemmada A1 = β1
α1ve A2 = β2
α2gibi iki rasyonel tangle verildi§inde
α = |α1β2 + α2β1| alnd§nda N(A1 +A2) ³eklinde ve b(α, β) 4-plat'ine³it oldu§unu bulmu³tuk. Yukarda verilen (2) ve (3) denklemlerindena³a§daki sistemi elde edebiliriz:
|u+ rv| = 1|yu+ 2rv| = 3
u,r,v bilinmeyen de§erlerdir. (uv, r) sral ikilisi için on farkl çözüm elde
edebiliriz. Böylece (O,R) tangle çifti için on farkl çözüm elde ederiz. Buçözümler ((−2, 0), (1), ((1), (−2)), ((5), (−4)), ((−2,−2), (2)), ((4, 1), (−1))ve bunlarn ayna yansmalardr. Bir sonraki teorem yardmyla busonuçlarn bir ksmn eleyebiliriz.
Teorem 10.15.2. Bir sonraki teoremde verilen (1), (2), (3) denklem-lerinde verilen tangle'lar ters olarak tekrar edilen bölgeli Gin rekombi-nasyonundan gelirler. Ve bunlar a³a§da verdi§imiz özellikleri sa§lar:
O ≈ (0, 0), R ≈ (1), P ≈ (0).
163
O ≈ (0, 0) oldu§undan ve integral tangle (0),(1) ile e³li§i oldu§undanO integral tangle' için elde edilen sonuçlar yok sayabiliriz. Ek olarak,e§er R ≈ (1) ise integral tangle'lar (0) e³li§ine sahip olmasndan dolayR = (2) çözümünden de kurtulabiliriz. Ayn zamanda (3) denkleminindü§üm ürünü chiral oldu§undan ayna yansmalarn da yok sayabiliriz.Böylece yalnzca iki çözümümüz kalr ve bunlardan da yalnz birisi (4)denklemini sa§lar.Bu tangle analizinin ³§nda Sumners ve Vazquez Gin gix bölgeleriile bir substrata etki etti§inde herbir rekombinasyona kar³lk gelendönü³te enzim mekanizmas substrata bir pozitif çaprazlama ekler.
Teorem 10.15.3. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar içinçözümü olan (O,R)
(a) N(O + P ) = 〈1〉 =dü§ümsüz
(b) N(O +R) = 〈3〉 =trefoil dü§ümü
(c) N(O +R +R) = 〈1, 2, 2〈=(-5)twist dü§ümüya ((−2, 0), (2)) yada ((2, 1, 1, 2), (−2)) olur Bunna ek olarak e§er
(d) N(O +R +R +R) = 〈1, 4, 2〉 =(-7)twist dü§ümüise (O,R) = ((−2, 0), (2)) olur ve
(e) her n ≥ 4 içi N(O + nR) =-(2n+1)twist dü§ümü olur.
Bu örnekte tangle model Gin mekanizmasnn yapsnn matematikselolarak gösterimi için kullanld. Ve sonuç olarak bu bize gösterir ki; tersolarak tekrarlanan rekombinasyon bölgeleri tangle'a (1) ekler ba³ka birdeyi³le R = (+1) olur. Direk olarak tekrarlanan bölgelerde ise R =(+2) olur.
164
ALITIRMALAR
(a) A³a§daki zincirlerin zincirleme saylarn belirleyiniz. Bu zincir-lerden hangileri a³ikar olmayan zincirlerdir? Açklaynz.
(b) Hopf, Borromean ve Whitehead zincirlerine bir yön tayin ediniz vezincirleme saylarn hesaplaynz. Bu zincirlerden hangileri a³ikarolmayan zincirlerdir? Açklaynz.
(c) a) ekilde verilen Möbiüs ³eridinin snr e§risi ile merkez do§rusu-nun zincirleme saysn hesaplaynz. b) Gösteriniz ki R3 de sol-el
Möbiüs ³eridini sa§-el Möbiüs ³eridine deforme edebilecek bir am-bient isotopy yoktur.c) Gösteriniz ki üç yar-burulmal Möbiüs ³eridinin tek yar-burulmalMöbiüs ³eridine deforme edilemez.
165
(d) 5 çaprazlamaya sahip 2 dü§üm tipi bulunmaktadr ve a³a§da gös-terilmi³tir. Bu iki dü§ümün de üç renklendirilebilir olmad§n gös-teriniz.
(e) 6 çaprazlamaya sahip 3 temel dü§üm tipi bulunmaktadr ve a³a§dagösterilmi³tir. Bu dü§ümlerin hangilerinin üç renklendirilebilir oldu§unubelirleyiniz.
(f) a) Trefoil dü§ümünün diyagramnn 6 farkl yolla üç renklendirilebile-ce§ini gösteriniz.
b) Yukardaki "granny" dü§ümü iki trefoil dü§ümünün birbirineba§lanmas ile edilir. Bu dü§ümün diyagramnn 24 farkl yolla üçrenklendirilebilece§ini gösteriniz.
(g) ekil-sekiz dü§ümünün Alexander polinomunu hesaplaynz.
166
(h) Derste Alexander polinomunu hesaplad§mz a³a§daki dü§ümünçaprazlama-yay matrisinde farkl bir satr ve sütunu sildi§imizdeAlexander polinomunun de§i³meyece§ini gerçekleyiniz.
(i) A³a§daki yönlendirilmi³ dü§üm diyagramnn çaprazlamalarnnve bölgelerinin indislerini belirleyiniz.
(j) a) A³a§daki dü§ümün Alexander polinomunun −2t+2 oldu§unugörünüz. b) Bu dü§ümün e§rilerinden birinin yönünü de§i³tiriniz.Gösteriniz ki 4 tane sol el çaprazlamaya sahip bu zincirin Alexan-der polinomu −t3 + t2 − t+ 1 dir.
167
(k) Hopf zincirinin 4 polinomunu hesaplam³tk. Yine ayn ³ekilde x2
çaprazlamasna sol el çaprazlamas uygulanrsa Skein ba§ntsn-dan 4 = t1/2 − t−1/2 elde edilece§ini gösteriniz.
(l) Yine ayn Hopf zincirinin 4 polinomunu hesaplamadaki ³ekli elealalm. Hopf zincirinin e§rilerinden birinin yönünü de§i³tirelimböylece iki çaprazlama da sa§ el çaprazlamas olsun. O zamanSkein ba§ntsndan 4 = −t1/2 + t−1/2 elde edilir. Gösteriniz.
(m) a) ekil-8 dü§ümünün bir sa§ el çaprazlamasna Skein ba§ntsuygulayarak 4 polinomunu hesaplaynz. b) ekil-8 dü§ümününbir sol el çaprazlamasna Skein ba§nts uygulayarak 4 polino-munu hesaplaynz. c) Bu iki sonucun bu dü§ümün−2t+2 Alexan-der polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(n) a) 10 uncu sorudaki zincirin Skein ba§ntsndan yararlanarak 4polinomunu hesaplaynz. Elde etti§iniz sonucun bu zincirin −t3 +t2− t+ 1 Alexander polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.b) Yine ayn ³ekli ele alalm. Bu sefer a³a§ya bakan okun yönünüyukarya do§ru çevirerek 4 polinomunu hesaplayalm. Elde et-ti§iniz sonucun bu yönlendirimi³ dü§ümün −t3 +t2−t+1 Alexan-der polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(o) A³a§daki zincirin sol el çaprazlamasna sahip en üst çaprazla-masna Skein ba§ntsn uygulayarak 4 polinomunu hesaplaynz.Bu sonucun 2t− 3 + 2t−1 ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(p) Üç tane sa§-el çaprazlamasna sahip K Trefoil dü§ümünün Jonespolinomunun t + t3 − t−4 oldu§unu gösteriniz.Buradan hareketletrefoil dü§ümünün aynadaki görüntüsüne denk olamayaca§ sonu-cuna varnz.
(q) a) Zincirleme says +1 olan bir Hopf zincirinin Jones polino-
168
munu hesaplaynz. b) Zincirleme says −1 olan bir Hopf zin-cirinin Jones polinomunu hesaplaynz.
(r) 4 üncü sorudaki 5 çaprazlamal iki dü§ümün Jones polinomlarnhesaplaynz.
169
Kaynakça
[1] Colin C. Adams, The Knot Book: An Elemantery In-roduction to Mathematical Theory of Knots, AmericanMathematical Society, 2004.
[2] Colin Adams and Robert Franzosa, Introduction to Topol-ogy, Pearson Prentice Hall Inc., 2008.
[3] Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993.
[4] Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, andManifolds, John Wiley & Sons, Inc, 2001
[5] Fred H. Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology,Springer-Verlag, New York, 1978.
[6] Sue E. Goodman, Beginning Topology, American Mathe-matical Society, 2009.
[7] William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topol-ogy, Springer-Verlag, New York, 1991.
[8] John McCleary A First Course in Topology, AmericanMathematical Society, 2006.
[9] Robert Messer and Philip Stran, Topology Now!, TheMathematical Association of America, 2006.
[10] James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology,Springer-Verlag, New York, 1984.
[11] Joseph J. Rotman An Introduction to Algebraic Topology,Springer-Verlag, New York, 1998.
[12] Brian Sanderson, Lecture Notes (Knot Theory MA3F2),2006.
[13] Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Springer-Verlag, New York 2008.
170
