Paul van derder Werf

Leiden Observatory

Sayılar Ve MüzikSayılar Ve Müzik Dr. Vural Dr. Vural

YiğitYiğit

SassoneSassone

EVREN VE SAYILAREVREN VE SAYILAR Evrendeki «Güzel» olanın temelinde Evrendeki «Güzel» olanın temelinde

acaba matematiksel «Sayılar ve oranlar» acaba matematiksel «Sayılar ve oranlar» mı vardır?mı vardır?

Ünlü matematikçi Pisagor, (M. Ö. 570-Ünlü matematikçi Pisagor, (M. Ö. 570-490) Evrenin, armonik sayılarla 490) Evrenin, armonik sayılarla düzenlendiğini düşünmüştür.düzenlendiğini düşünmüştür.

«Musica Universalis-Kürelerin müziği», «Musica Universalis-Kürelerin müziği», Pisagor’un, Evrendeki uyumunu Pisagor’un, Evrendeki uyumunu açıklamak için kullandığı bir kavramdır. açıklamak için kullandığı bir kavramdır.

2

3

Sisam’lı PisagorSisam’lı Pisagor (569 – (569 – 475 BC)475 BC)

Pisagor’un, matemetik ve geometride pek çok buluşu vardır.

Frekanslar ve müzikal aralıklar arasındaki ilişkiyi deneylerle kanıtlamıştır.

Gezegenler arasındaki uzaklıklar, müzikteki seslere karşılık gelir demektedir.

Müzikteki Ses Müzikteki Ses AralıklarıAralıkları

Müzik kuramında aralık; Sesler Müzik kuramında aralık; Sesler arasındaki çeşitli sayısal oranlardır. arasındaki çeşitli sayısal oranlardır. Küçük üçlü, büyük altılı, sekizli vb. gibi.Küçük üçlü, büyük altılı, sekizli vb. gibi.

Eğer iki ses aynı anda duyuluyorsa Eğer iki ses aynı anda duyuluyorsa buna «Armonik aralıklar», peş peşe buna «Armonik aralıklar», peş peşe duyuluyorsa «Melodik aralıklar» deriz.duyuluyorsa «Melodik aralıklar» deriz.

Pisagor'un en büyük başarısı müziğin Pisagor'un en büyük başarısı müziğin temelde, sayılarının orantılı aralıklarına temelde, sayılarının orantılı aralıklarına dayandığını keşfetmesidir. dayandığını keşfetmesidir.

4

RAFAEL’İN ATİNA OKULU RAFAEL’İN ATİNA OKULU TOBLOSUTOBLOSU

1508-1511 tarihleri arasında Rafael tarafından yapılan 1508-1511 tarihleri arasında Rafael tarafından yapılan bu muhteşem freskte tüm zamanların ünlü düşünürleri bu muhteşem freskte tüm zamanların ünlü düşünürleri birarada görülmektedir. birarada görülmektedir. Sol alt köşede pisagor öğrencilerine müzik öğretiyor.Sol alt köşede pisagor öğrencilerine müzik öğretiyor.

MÜZİK DERSİMÜZİK DERSİ• Dikkatle Dikkatle

bakınca, Uzun bakınca, Uzun saçlı öğrencinin saçlı öğrencinin elindekielindeki

«Armonik «Armonik sakalayı» sakalayı» gösteren tableti gösteren tableti görüyoruz.görüyoruz.

MÜZİKTEKİ ORANLARMÜZİKTEKİ ORANLARArmonik skalaArmonik skala

Yunancada, müzikal oranlar; Yunancada, müzikal oranlar; Diatessaron, diapente, Diatessaron, diapente, diapason olarak ifade diapason olarak ifade ediliyordu.ediliyordu.

Romen rakamları ile; 6, 8, 9, Romen rakamları ile; 6, 8, 9, 12, müzikteki oranlarıdır.12, müzikteki oranlarıdır.

En üstte,Ton anlamındaki, En üstte,Ton anlamındaki, EPOGLOWN, kelimesi EPOGLOWN, kelimesi görünüyor. görünüyor.

Altta, üçgen şeklinde Romen Altta, üçgen şeklinde Romen rakamları ile 10, gizli üçgeni rakamları ile 10, gizli üçgeni gösteriyor.gösteriyor.

Notaların OranlarıNotaların Oranları Pisagor bir telin, uzyıp kısalmasıyla çıkan Pisagor bir telin, uzyıp kısalmasıyla çıkan

seslerin değiştiğini fark etmişti. Bu amaçla seslerin değiştiğini fark etmişti. Bu amaçla gitarın tek telli haline(Lir) benzeyen bir aleti gitarın tek telli haline(Lir) benzeyen bir aleti kullanmıştır. kullanmıştır.

Pisagor, bu alet yardımıyla (2:1), (3:2), (4:3), Pisagor, bu alet yardımıyla (2:1), (3:2), (4:3), (9:8) oranlarını müzikte temel aralık olarak (9:8) oranlarını müzikte temel aralık olarak kabul etmiştir.kabul etmiştir.

Buna göre; Do sesini veren bir telin, 15/16’ sı Buna göre; Do sesini veren bir telin, 15/16’ sı «si» sesini, 5/6’sı «la» sesini, 3/4'ü «sol» sesini, «si» sesini, 5/6’sı «la» sesini, 3/4'ü «sol» sesini, 2/3’ü «fa» sesini, 5/8 i «mi» sesini, 9/16 sı ise 2/3’ü «fa» sesini, 5/8 i «mi» sesini, 9/16 sı ise «re» sesini vermektedir. «re» sesini vermektedir.

8

Pisagor’a Göre Temel Pisagor’a Göre Temel AralıklarAralıklar

2:1→ oktav 2:1→ oktav (sekizli)(sekizli)

3:2→ Tam beşli3:2→ Tam beşli4:3→Tam 4:3→Tam

dörtlüdörtlü9:8→ Tam ses 9:8→ Tam ses

(büyük ikili)(büyük ikili)

9

10

PPisagor’un Akortlarıisagor’un AkortlarıNota Adı Nota Adı AralıkAralıkC C 1/11/1 BirinciBirinciD D 9/89/8 İkinciİkinci E E 81/6481/64 ÜçüncüÜçüncüF F 4/34/3 DördüncüDördüncü

NNotaAdıotaAdı Aralık AralıkG G 3/23/2 Beşinci BeşinciA A 27/1627/16 AltıncıAltıncıB B 243/128243/128 Yedinci YedinciC C 2/12/1 OOktavktav

Tam aralıklar 9/8 ‘e eşittirYarım aralıklar 256/243’e eşittir

Üçüncü aralık oldukça geniştir 81/64 5/4!

11

Bunları Klavyede Bunları Klavyede GörelimGörelim

C D E F G A B C

Geometrici ÖklidGeometrici Öklid Geometri derslerinden bildiğimiz Öklid Geometri derslerinden bildiğimiz Öklid

de müzikteki sayılarla uğraşmıştır.de müzikteki sayılarla uğraşmıştır. Öclid (M.Ö. 300)'in müzik çalışmaları Öclid (M.Ö. 300)'in müzik çalışmaları

temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak iki temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar;

Kurulan majör dizideki Majör 3 'lü ve Kurulan majör dizideki Majör 3 'lü ve Maj. 6'lı aralıklarda, Örneğin Do dizisinde Maj. 6'lı aralıklarda, Örneğin Do dizisinde Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken, Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken, Pisagor için bu oran 64/81=8/9 dur. Pisagor için bu oran 64/81=8/9 dur.

12

Çok SeslilikÇok Seslilik Antik devirde dört sesin bir arada Antik devirde dört sesin bir arada

duyulması prensibi «Tetrakord" olarak duyulması prensibi «Tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır.temel kuralı olarak sayılmaktadır.

Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 sayıları ile elde edilmiştir.sayıları ile elde edilmiştir.

İleride değineceğimiz gibi bu sayılar İleride değineceğimiz gibi bu sayılar bize "altın oran" konusunda da oldukça bize "altın oran" konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır. ilginç örtüşmeler sunmaktadır.

13

Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci (1175-1240) (1175-1240)

Müzik ve sayı ilişkisinde önemli yere sahip Müzik ve sayı ilişkisinde önemli yere sahip İtalyan matematikçidir. İtalyan matematikçidir.

Ünlü “tavşan çiftliği” problemine göre: Ünlü “tavşan çiftliği” problemine göre: çiftlikte bir çift tavşan vardır ve bir ay çiftlikte bir çift tavşan vardır ve bir ay geçtikten sonra bu çift bir tavşan doğurur. geçtikten sonra bu çift bir tavşan doğurur.

Bu deneyin sonunda şu seri bulunur: 1, 1, 2, Bu deneyin sonunda şu seri bulunur: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…610…

Biz bu seriyi «Fibonacci dizisi» olarak Biz bu seriyi «Fibonacci dizisi» olarak biliyoruz.biliyoruz.

14

Altın OranAltın Oran Dizideki; iki ardışık sayının toplamı, bize bir sonraki Dizideki; iki ardışık sayının toplamı, bize bir sonraki

sayıyı, (3+5=8)sayıyı, (3+5=8) İki ardışık sayının birbirine oranı, hep aynı sayıyı İki ardışık sayının birbirine oranı, hep aynı sayıyı

verir. (8/5=1.6)verir. (8/5=1.6) Buna «Altın Oran» DiyoruzBuna «Altın Oran» Diyoruz Altın Oran, Fi (Altın Oran, Fi (фф) ) irrasyonel bir sayıdır ve ondalık irrasyonel bir sayıdır ve ondalık

sistemde değeri; sistemde değeri; «1,61803» ve«1,61803» veyaya tersi olan tersi olan 1/1,61803 = «0, 61803398..» dır.1/1,61803 = «0, 61803398..» dır.

Mimaride ve müzikte çeşitli dönemlerde «en güzel Mimaride ve müzikte çeşitli dönemlerde «en güzel oran" olarak kullanılmıştır. oran" olarak kullanılmıştır.

15

Doğadaki Altın OranDoğadaki Altın Oran Gözümüzde canlanması açısından «A4» Gözümüzde canlanması açısından «A4»

kağıdının büyük kenarının, küçük kenarına kağıdının büyük kenarının, küçük kenarına oranı örnek olarak verilebilir. oranı örnek olarak verilebilir.

Doğada, biyolojik bir gerçek olarak var olan Doğada, biyolojik bir gerçek olarak var olan altın oran, özellikle sarmallarda kendini altın oran, özellikle sarmallarda kendini gösterir.gösterir.

Salyangoz ve deniz kabukları, kulak ve Salyangoz ve deniz kabukları, kulak ve kemik yapımız, papatya ve ayçiçeği gibi kemik yapımız, papatya ve ayçiçeği gibi çiçek tohumlarında görülen sarmal yapılar çiçek tohumlarında görülen sarmal yapılar buna örnektir.buna örnektir.

16

17

Pisagor Ve Altın Pisagor Ve Altın OranOran Altın oran, matematik ve sanatta, bir Altın oran, matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında, güzel olarak bütünün parçaları arasında, güzel olarak gözlemlenen, sayısal bir oran bağıntısıdır.gözlemlenen, sayısal bir oran bağıntısıdır.

İkiye bölünmüş bir doğru parçasında, İkiye bölünmüş bir doğru parçasında, «Bütünün büyük parçaya oranının, büyük «Bütünün büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği» parçanın küçük parçaya oranına eşitliği» altın orandır.altın orandır.

Pisagor’un tellerini hatırlayacak olursak, Pisagor’un tellerini hatırlayacak olursak, 12/9=8/6 eşitliği de bize altın oranı 12/9=8/6 eşitliği de bize altın oranı vermektedir. vermektedir.

18

Piyanoda Altın OranPiyanoda Altın Oran Piyano tuşları, Fibonacci Piyano tuşları, Fibonacci

sayıları ve müzik arasındaki sayıları ve müzik arasındaki bağlantının büyüleyici görsel bağlantının büyüleyici görsel açıklamasına olanak sağlar. açıklamasına olanak sağlar.

Klavyede bir oktav, 5 siyah Klavyede bir oktav, 5 siyah ve 8 beyaz tuş olacak şekilde ve 8 beyaz tuş olacak şekilde bölünür, toplamda 13 tuş bölünür, toplamda 13 tuş vardır. vardır.

Beş siyah tuş biri ikili, biri Beş siyah tuş biri ikili, biri üçlü olmak üzere iki gruba üçlü olmak üzere iki gruba ayrılır. 2, 3, 5, 8 ve 13 birer ayrılır. 2, 3, 5, 8 ve 13 birer Fibonacci Sayısıdır.Fibonacci Sayısıdır.

19

Kemandaki Altın Kemandaki Altın OranOran Antonio Stradivarius (1644-1737) Antonio Stradivarius (1644-1737)

en ünlü keman yapımcısıdır. en ünlü keman yapımcısıdır. Yaptığı kemanların ölçüleri, altın Yaptığı kemanların ölçüleri, altın

oranla uyumludur.oranla uyumludur. AB / BC ve AC / CD = AB / BC ve AC / CD = φϕφϕ* * AD / AC = AD / AC = φφ AC / AB =AC / AB =φφ CD / BC =CD / BC =φφ Günümüzde yapılan kemanlar Günümüzde yapılan kemanlar

hala bu oranlara sahiptir.hala bu oranlara sahiptir. **ффϕ ϕ Fi sayısı Fi sayısı

20

Müzikte Altın OranMüzikte Altın Oran Wolfgang Amadeus Mozart (1756-Wolfgang Amadeus Mozart (1756-

1791)’ın altın oranı bildiğine inanılır.1791)’ın altın oranı bildiğine inanılır. Mozart’ın «C Major Sonat No.1» adlı Mozart’ın «C Major Sonat No.1» adlı

eserindeki, 38/62=0,613 değerleri eserindeki, 38/62=0,613 değerleri yaklaşık olarak Altın Oranı vermektedir. yaklaşık olarak Altın Oranı vermektedir.

Beethoven’in «5 senfonisi» Beethoven’in «5 senfonisi» matematikteki altın oranla oluşturulmuş matematikteki altın oranla oluşturulmuş şaheserlerdir.şaheserlerdir.

21

22

Altın Oran pek çok Altın Oran pek çok müzik müzik kompozisyonda kompozisyonda bulunur, bulunur, çünkü zamanın çünkü zamanın bölünmesiyle ilgili bölünmesiyle ilgili bir “doğal” yoldur.bir “doğal” yoldur.

Müzikte Altın OranMüzikte Altın Oran Hendel’in(1685-1759) “Hallelujah”adlı Hendel’in(1685-1759) “Hallelujah”adlı

eserinde altın oran vardır. Solo eserinde altın oran vardır. Solo trompetlerin girişi "Kings of kings", trompetlerin girişi "Kings of kings",

57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır. 57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır. Claude Debussy (1862-1918) de Claude Debussy (1862-1918) de

yapıtlarında, altın oranı bilinçli olarak yapıtlarında, altın oranı bilinçli olarak uygulamıştı. uygulamıştı.

«La Mer-Deniz» adlı bestesi buna tam bir «La Mer-Deniz» adlı bestesi buna tam bir örnek oluşturur. örnek oluşturur.

23

Diğer BestecilerDiğer Besteciler Béla Bartók (1881-1945), Fibonnacci Béla Bartók (1881-1945), Fibonnacci

sayılarını kullanarak, besteleri için dizeler sayılarını kullanarak, besteleri için dizeler oluşturmuştur. oluşturmuştur.

Alman klasik müzik bestecisi Bach’ın (1685-Alman klasik müzik bestecisi Bach’ın (1685-1750) da eserlerinde altın oran kullanmıştır.1750) da eserlerinde altın oran kullanmıştır.

Fransız besteci ve piyanist Erik SatieFransız besteci ve piyanist Erik Satie (1866-1925) “Sonneries de la Rose Croix” da (1866-1925) “Sonneries de la Rose Croix” da

dahil olmak üzere parçalarının çoğunda dahil olmak üzere parçalarının çoğunda altın oran vardır.altın oran vardır.

24

Müziğin Müziğin MatematiğiMatematiği J. S. Sebastian Bach’ın J. S. Sebastian Bach’ın

eserlerindeki ölçü ve formlarındaki eserlerindeki ölçü ve formlarındaki orantılı yapıların uyumu dolayısıyla, orantılı yapıların uyumu dolayısıyla, bestecinin büyük olasılıkla Altın bestecinin büyük olasılıkla Altın Oranla tasarladığı anlaşılmıştır..Oranla tasarladığı anlaşılmıştır..

Kısacası;Kısacası;““Müzik, gizli bir aritmetik Müzik, gizli bir aritmetik

alıştırmasıdır. ” Leibnizalıştırmasıdır. ” Leibniz

25

Müzik Ve Pi Müzik Ve Pi SayısıSayısı Sayılar ve sayı dizilerinin matematiksel ilişkileri Sayılar ve sayı dizilerinin matematiksel ilişkileri gizemli melodilere dönüşebilir. Bunun bir gizemli melodilere dönüşebilir. Bunun bir örneği de «Pi» sayısıdır.örneği de «Pi» sayısıdır.

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin, çapına Pi sayısı, bir dairenin çevresinin, çapına

bölünmesiyle elde edilir ve bölünmesiyle elde edilir ve ((ππ)) simgesiyle simgesiyle gösterilir. gösterilir.

Yaklaşık değeri; 3,14159265358979….Yaklaşık değeri; 3,14159265358979…. İsveçli besteci Daniel Cummerow, «Pi» İsveçli besteci Daniel Cummerow, «Pi»

sayısından yola çıkarak, «Pi Melodisi» adlı bir sayısından yola çıkarak, «Pi Melodisi» adlı bir müzik oluşturmuştur. müzik oluşturmuştur.

26

ππ MelodisiMelodisi Cummerow notaları; 1 = do, 2 = re, 3 = mi, 4 Cummerow notaları; 1 = do, 2 = re, 3 = mi, 4

= fa, 5 = sol, 6 = la, 7 = si, 8 = do* la minör = fa, 5 = sol, 6 = la, 7 = si, 8 = do* la minör dizilişine göre yerleştirerek, bir melodiye dizilişine göre yerleştirerek, bir melodiye dönüştürmüştür.dönüştürmüştür.

Müzik, Pi sayısındaki notaların karşılığı Müzik, Pi sayısındaki notaların karşılığı olarak, 3,14159265358979…. Şeklinde devam olarak, 3,14159265358979…. Şeklinde devam eder.eder.

Herhangi bir müzik aletinde (Örn.Piyano) Herhangi bir müzik aletinde (Örn.Piyano) ππ serisindeki sayılarla çalındığında güzel bir serisindeki sayılarla çalındığında güzel bir

beste oluşur.beste oluşur.27

Dinlemek İçin Dinlemek İçin TıklayınTıklayın Pi melodisiPi melodisi https://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?

v=u1fcXROw8U0v=u1fcXROw8U0 Hallelujah-HendelHallelujah-Hendel https://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?

v=KnQGs24U1e8v=KnQGs24U1e8 LaMer-DebussyLaMer-Debussy https://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?

v=5XVHLO9k3HIv=5XVHLO9k3HI28

Doğadaki Pi SayısıDoğadaki Pi Sayısı Akarsular ovalarda kıvrıla kıvrıla akar. Akarsular ovalarda kıvrıla kıvrıla akar.

Bundan dolayı nehirlerin uzunlukları iki Bundan dolayı nehirlerin uzunlukları iki türlü ölçülür. türlü ölçülür.

Bunlardan biri kuş uçuşu uzaklık, diğeri ise Bunlardan biri kuş uçuşu uzaklık, diğeri ise suyun gerçekten aktığı eğri, mendreslerdir. suyun gerçekten aktığı eğri, mendreslerdir.

Alman Hans Henrick Stolum, bu eğriyi kuş Alman Hans Henrick Stolum, bu eğriyi kuş uçuşu uzaklığa oranlamıştır. uçuşu uzaklığa oranlamıştır.

Sonuçta, Amazon’dan Thames’e kadar pek Sonuçta, Amazon’dan Thames’e kadar pek çok akarsu için bulduğu sonuç; 3,14 çok akarsu için bulduğu sonuç; 3,14 olmuştur.olmuştur.

29

Bir gülün güzelliğindeki sır, onun Bir gülün güzelliğindeki sır, onun içinde sakladığı matematik sanatının içinde sakladığı matematik sanatının ta kendisidir.ta kendisidir.

FİBONACCİFİBONACCİ

SAYILAR, MÜZİĞİN DİLİDİR.SAYILAR, MÜZİĞİN DİLİDİR.NOTALAR İSE SİMGELERİNOTALAR İSE SİMGELERİ

30