Решение одной занимательной задачи.

Тема: Нахождение различных способов и алгоритмов решения

олимпиадной задачи и самостоятельное составление

аналогичных задач.

Ф. И. О. автора – Миков Виталий

ГБОУ СОШ № 223 – 5а класс

Руководитель работы – учитель математики ГБОУ СОШ № 223 – Платова Н. Ю.

• Цель и задачи: рассмотреть на примере одной логической задачи разнообразие способов ее решения и разработка новых задач. В своей работе я хотел рассмотреть различные способы решения логической задачи, предлагаемой на одном из туров олимпиад для учащихся 6-7 классов.

• Я рассмотрел решение этой задачи перебором и нашел вспомогательный алгоритм для определения окончательного ответа в задаче.

• В результате исследования я обнаружил множество способов решения этой задачи и сделал вывод, на основании которого можно составить неограниченное число аналогичных задач, пользуясь теми условиями и ограничениями, которые я разработал.

• Исследуя просторы интернета, я нашел там только 1 способ решения задачи, других способов решения я не обнаружил.

• Практическая значимость результата моей работы состоит в том, что на её основании можно составить огромное количество занимательных олимпиадных задач, усложнив задания ( например, нахождения самого короткого или перерасчета количества решений).

Три ежика делили три кусочка сыра массами 6, 9, 12 грамм. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 грамму сыра. Сможет ли лиса оставить ежикам, равные кусочки сыра?

1) 2)

Решение задачи способом перебора:

6 9 12

5 9 11

4 9 10

3 9 9

3 8 8

3 7 7

3 6 6

3 5 5

3 4 4

3 3 3

6 9 12

6 8 11

6 7 10

6 6 9

6 5 8

6 4 7

6 3 6

5 3 5

4 3 4

3 3 3

Перебрав несколько решений, мне самому захотелось побыть автором таких задач. И я стал пробовать их составлять. Сначала я составил одну такую задачу, потом еще. Но это были только задачи, составленные подгоном, «наугад». Но потом я начал «нащупывать» какое-то общее правило, стал появляться алгоритм. Я понял, что для того чтобы составлять такие задачи, можно разработать определенные программы. И таких задач можно составить огромное количество.

В своей работе я хочу предложить лишь несколько вариантов из них. Минимальная разница между числами должна быть единица. Потому что, если взять в условии пару равных чисел, то задача становится практически очевидной.

Первый вариант задачи:

5 6 84 6 73 6 63 5 53 4 43 3 3

Эта задача имеет решение, если разность между первым и вторым числом равна 1, а вторым и третьим равна 2.

4 5 7

3 5 62 5 52 4 42 3 32 2 2

Второй вариант задачи :

7 8 116 8 105 8 94 8 84 7 74 6 64 5 5

4 4 4

Эта задача имеет решение, если разность между первым и вторым числом равна 1, а вторым и третьим равна 3.

5 6 94 6 83 6 72 6 62 5 52 4 42 3 32 2 2

Третий вариант задачи :Эта задача имеет решение, если разность между соседними числами одинаковая.

50 60 70

49 60 69

48 60 68

47 60 67

46 60 66

45 60 65

44 60 64

43 60 63

42 60 62

41 60 61

40 60 60

и т.д.

8 10 12

7 10 11

6 10 10

И т.д.

7 10 13

6 10 12

5 10 11

4 10 10

И т.д.

Четвертый вариант задачи :

5 7 10

5 6 9

5 5 8

5 4 7

5 3 65 2 54 2 43 2 32 2 2

Эта задача имеет решение, если разность между первым и вторым числом равна 2, а между вторым и третьим равна 3.

6 8 11

6 7 10

6 6 9

6 5 8

6 4 7

6 3 6

5 3 5

4 3 4

3 3 3

Пятый вариант задачи :

5 8 12

5 7 11

5 6 10

5 5 9

5 4 8

5 3 7

5 2 6

5 1 54 1 43 1 32 1 21 1 1

Эта задача имеет решение, если разность между первым и вторым числом равна 3, а между вторым и третьим равна 4.

10 13 17

10 12 16

10 11 15

10 10 14

10 9 13

10 8 12

10 7 11

10 6 10

9 6 9

8 6 8

7 6 7

6 6 6

Шестой вариант задачи :Эта задача имеет решение, если разность между первым и вторым равна 2, а вторым и третьим 4.

6 8 12

5 8 11

5 7 10

4 7 9

4 6 8

3 6 7

3 5 6

2 5 5

2 4 4

2 3 3

6 8 12

5 7 11

5 6 10

5 5 9

5 4 8

4 4 7

3 4 6

3 3 5

2 3 4

2 2 3

1 2 2

Седьмой вариант задачи :Эта задача имеет решение, если разность между первым и вторым 1, а вторым и третьим 5.

9 10 15

8 10 14

7 10 13

6 10 12

5 10 11

4 10 10

  И т.д.  

9 10 15

9 9 14

9 8 13

9 7 12

9 6 11

9 5 10

9 4 9

  И т.д.  

Восьмой вариант задачи :Эта задача имеет решение, если разница между первым и вторым равна 8, а вторым и третьим равна 3.

5 13 16

5 12 15

5 11 14

5 10 13

5 9 12

5 8 11

5 7 10

5 6 9

5 5 8

5 4 7

5 3 6

5 2 5

5 13 16

4 13 15

3 13 14

2 13 13

  И т.д.  

Девятый вариант задачи:Эта задача имеет решение, если разница между первым и вторым 5,

а вторым и третьим 6.

7 12 18

7 11 17

7 10 16

7 9 15

7 8 14

7 7 13

7 6 12

7 5 11

7 4 10

7 3 9

7 2 8

7 1 7

7 12 18

6 12 17

5 12 16

4 12 15

3 12 14

2 12 13

1 12 12

  И т.д.  

Задача не имеет решения:

1)

Так как не остаётся равных кусочков.

2)

1 2 3

1 1 2

1 0 1

0 0 0

так как не выполняется необходимое условие:

(c-a)+(c-b) равно или меньше с.

a b c

1 2 4

1 1 3

1 0 2

0 0 1

Заключение

Мне очень хотелось доказать, что математика не сухой и бездушный предмет. Что за любой, самой на первый взгляд невзрачной и простой задачкой стоит масса интересного. Надо только захотеть, и тогда наша жизнь станет ярче. А наш ум всегда будет в интересной работе, искать новые задачи и их решать.

Список литературы:1) Э.Н.Балаеш "1001 олимпиадная и Занимательная задача" г. Ростов-на-Дону, "Феникс,2008г. 2) А.В.Шевкин "Текстовые задачи по математике"г. Москва,"Илекса", 2011г3) В.А.Гольдич, С.Е.Злотин «3000 задач по алгебре» Москва, Eksmo Education Эксмо 2009г4) Севрюков, П. Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по математике / П. Ф. Севрюков. — Изд. 2-е. — М. : Илекса ; Народное образование ; Ставрополь : Сервисшкола, 2009.5) 700 лучших олимпиадных и занимательных задач по математике.  Автор:  Э.Н. Балаян, Феникс,2015