データ解析のための  統計モデリング入門  11章後半    @yamakatu  2014/10/21  #みどりぼん  11th

ざっくり前半の話

•  場所差が独立に決まる（10章）のでなく、空間相関がある場合のGLMMを考える  

•  空間相関：「近くは似てて、遠くは似てない」とか（今回は一次元）  

•  場所差を表すパラメータrj  の階層事前分布（正規分布）のパラメータ平均μを、両隣のrj  の平均値とすることで、相互作用を表現  

•  このような自己回帰する事前分布をCARモデルと呼ぶ  •  今回はその中でも色々制約ついたintrinsic  gaussian  CARモデル  

•  そんな感じの階層ベイズモデルをつくってみたら上手くいった  

11.4  空間統計モデルが作り出す確率場 •  相互作用する確率変数で埋め尽くされた空間を確率場（random  field）と呼ぶ  

•  本章前半で利用したrjも確率場の一種  •  rj  の階層事前分布（正規分布）のパラメータ平均μjは  

 なので相互作用している  

•  rj  の階層事前分布は正規分布なので、確率場の中でもガウス確率場と呼ばれる

µ j =rj−1 + rj+12

•  11章前半で定義  •  ポアソン分布+対数リンク関数  •  λj  =  exp(β  +  rj)  •  rjの階層事前分布は正規分布で  

•  平均    

•  標準偏差    

•  パラメータはβとsの二つ  •  パラメータβを固定（β  =  2.27）してみる  •  ここでsを{0.0316,  0.224,  10.0}と変えてみる  

確率場{rj}に対するsの影響を見てみる

µ j =rj−1 + rj+12

s = snj

sが小さい程、rjは両隣と似ている値になる  

s  =  0.0316

s  =  0.224

s  =  10.0

sが大きい程、rjは両隣の値と関係ない値をとる

つまり

•  この確率場は少数の大域的パラメータ（今回はsのみ）にコントロールされていると言える。  

11.5  空間相関モデルと欠測のある観測データ •  空間相関を組み込んだ階層ベイズモデルの強み  •  パラメータの推定がより正確になる（前半の話）  •  欠測のあるデータに対してより良い予測が得られることがある（←イマココ）

欠測しちゃった

•  上：前半で利用した観測値  

•  下：上の観測値から意図的にいくつかを欠測させた（黒点が欠測値）  

vs.  欠測データ •  このような欠測があるデータに対する、あてはまりの良さを、  •  空間相関モデル  •  空間相関を無視した階層ベイズモデル  

•  で比較するお  

•  左：空間相関を考慮しているモデル（空間相関モデル）  •  右：空間相関を考慮していないモデル  

•  空間相関を考慮したモデルの方がより欠測データが正しく予測できている  •  予測区間の狭さ  •  局所密度のなめらかさ

結果

空間相関モデルの場合  

•  パラメータrjの階層事前分布（正規分布）で、隣同士のrjの値を利用している  

•  結果、欠測がない場合とかなり近い分布になった  •  左：欠測データなし（P.250  図11.4）  •  右：欠測データあり  

空間相関を考慮しないモデルの場合 •  （10章と同じく）パラメータrj  の階層事前分布（正規分布）は平均0、標準偏差sの正規分布  •  ➡手がかりがない  

•  その結果、  •  yiに合わせようとするので、局所密度はギザギザになる  •  予測区間の範囲が広くなってしまう

さーせん。この表現は  イマイチ良くわかんなかった

11.6  まとめ •  前半  •  空間構造のあるデータをモデル化する場合、空間相関を考慮する  

•  空間相関のある場所差を生成するには intrincsic  gaussian  CARモデルを使う  

•  後半  •  空間相関のある場所差は確率場を使って表現できる  •  空間相関を考慮した階層ベイズモデルは、観測データの欠測部分を予測するような用途にも使える。