Математика – наука прикладна.

“Сила математики - в її практичному застосуванні” Ю.Омітропольський

Застосування інтеграла

“Людський розум може знайти в інтегральному численні невичерпне

поле для діяльності” О. Конт

Частина перша

Для чого застосовуємо інтеграл.

Математики об інтегралі Інтегральне числення і саме поняття інтеграла виникли з потреб

обчислення площ плоских фігур і об'ємів довільних тіл, бо у курсі геометрії розглядаються тільки способи обчислення площ фігур певного виду (многокутників, круга та його частин.

Задача: Обчислити площу фігури обмеженої лініями:

6421)( 2

1 xxxf 158)( 22 xxxf

)(433,133,5

)(33,1)158(

)(33,5)6421(

221

25

3

22

6

2

221

мSSS

мdxxxS

мdxxxS

Відповідь: 4

2м

2м

Обчислення об'ємів тіл Обчислення об'ємів тіл за

допомогою інтеграла розв'язуються аналогічно задач про площу криволінійної трапеції.

Об'єм тіла обертання:

dxxfVb

a

)(2

Задача. Обчисліть об'єм тіла, утвореного обертанням

навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями.

… Фізика і математика допомагали одна одній, і розвиток їх часто нероздільний. При цьому іноді фізика випереджала математику, іноді навпаки, в математиці створювалися цілі великі розділи “про запас”. Фізика користувалася ними в деяких випадках набагато пізніше після їх створення.

С.І. Вавилов

Інтеграл у фізиці.

Інтеграл у фізиці. При дослідженні процесів реального світу нас

часто цікавить не зміна якоїсь величини, а її значення.

Інтеграл у фізиці застосовується при розв'язуванні таких задач:

1) Обчислення шляху за відому законом зміни швидкості за умови що функція v=v(t) неперервна.

2) Обчислення роботи змінної сили 3) Обчислення маси неоднорідного стержня 4) Обчислення кількості електрики

Формули, формули, формули!

Величини Обчислення похідної Обчислення інтеграла

S – переміщеняv – швидкість

A – робота F – сила

m – маса - густина

q – електрозаряд I – сила стриму

)(1 tSv 1

2

)(t

t

dttvS

)(1 xAF 1

2

)(A

A

dxxFF

)(1 lm 1

2

)(l

l

dllm

)(1 tqI 1

2

)(t

t

dttIQ

Задача. Тіло рухається прямолінійно зі

швидкістю v(t)=5t-3. Обчисліть шлях, який прийшло тіло за інтервал часу від t1=0 i t2=3.

Розв'язання:v(t)=5t-3; t1=0; t2=3

3

0

30

2

)(5,139245)3

25()35( мttdttS

Відповідь: 13,5м

Задача. Знайти масу неоднорідного стержня

завдовжки 40см, якщо його лінійна густина змінюється за законом:

Розв’язання:)/(12)( 32 мкгtl

)(44,04,03

)4,0(2)3

2()12()(4,0

0

34,0

0

32

1

2

кгttdttdllml

l

Відповідь: 0,44кг

Інтеграл в економіці та техніці.

Інтегральне числення дає багатий математичний апарат для моделювання та дослідження економічних процесів

- обчислення витрати електроенергії споживачами за даний проміжок часу.

- розрахунок залежності вартості перевезення вантажу від пройденої відстані.

- обчислення величини споживчого надлишку за даним попитом.

- обчислення грошових збитків споживача.

Задача.

На нас чекає ЗНО

Що ми повинні знати?- Означення первісної функції, визначеного інтеграла, криволінійної трапеції;- Таблиця первісних елементарних функцій;- Правила знаходження первісних- Формула Ньютона – Лейбніца. Що ми повинні уміти?- Знаходити первісну з використанням таблиці первісних та правил

знаходження первісних;- Застосувати формулу Ньютона-Лейбніца до обчислення визначеного

інтеграла;- Обчислювати площу криволінійної трапеції за допомогою інтеграла;- Розв'язувати прикладні задачі, що зводяться до знаходження інтеграла.

Практична задача з матеріалів ЗНО

Відповідь: 4,5 2км

Висновки:

Поняття інтеграла наряду з похідною є одним із ключових понять

математичного аналізу. В шкільній програмі тема “Інтеграл і його

застосування” являється однією з важливих . Ця тема є необхідним інструментом дослідження багатьох життєвих проблем.

Знання цієї теми дозволяє розв'язувати різні виробничі задачі і задачі з практичним та професійним змістом

Із історії інтегрального числення

Частина друга

Ідеї інтегрального числення беруть свій початок у працях стародавніх

математиків. Про це свідчить “Метод вичеркування” Евдокса IVст. до н.е.

який пізніше використав Архімед у ІІІ ст. до н.е.

За цим методом для обчислення площі плоскої фігури навколо неї описується і в неї вписується ступінчаста фігура.

У XVIII ст. Йоганом Кеплером (1571-1630) було здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда.

Кеплер відкрив закони руху планет. Він обчислював площі фігур, об'єми тіл спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінчену кількість нескінчену малих частин.

Про великого Ньютона! Був цей світ глибокою тьмою оповитий.

Та буде світло! І ось з'явився Ньютон. А.Поуг.

Ісаак Ньютон (1643-1727) – створив диференціальне й інтегральне числення, на ґрунті ідей Кеплера і Кавальєрі.

До історії математики увійшов так званий принцип Кавальєрі (1598-1647), за допомогою якого обчислювали площі й об'єми.

Про Лейбніца. Незалежно від Ньютона

також створив диференціальне та інтегральне числення.

Лейбніц (1645р.) увів символ . Знак нагадує розтягнуту букву S ( з латинської перша буква слова summa “сума”.

Термін “інтеграл” походить від латинського слова integer – “цілий” і був запропонований у 1690р. Й.Бернуллі.

Методи інтегрального числення активно розвивались у наступному столітті П.Л.Чебишов, Л.Ейлером, який завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій та інтегрального числення, плідно працював український математик М.В.Остроградський (1801-1886).

Висновки:

Ньютон і Лейбніц, розв'язавши практичні задачі механіки і геометрії, дійшли до одного і того ж висновку,

показали що диференціальне і інтегральне числення це навколишня реальність,

перекладена на математичну мову.