Embed Size (px)
Citation preview
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ та індивідуальні завдання до теми
«Невизначений інтеграл» з дисципліни «Вища математика» для студентів I – ІI курсів
усіх спеціальностей
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні Вченої ради академії
Протокол № 1 від 01.02.08
Дніпропетровськ НМетАУ 2008
УДК 517.2 Методичні вказівки та індивідуальні завдання до теми “Невизначений інтеграл” з дисципліни “Вища математика” для студентів I – ІI курсів усіх спеціальностей / Укл.: В.С. Коноваленков, Т.М. Заборова. – Дніпропетровськ: НМетАУ, 2008. – 44 с.
Наведені основні поняття, властивості та
методи знаходження невизначеного інтеграла. Велика кількість прикладів дозволяє добре зро-зуміти теоретичні розділи. Також методичні вказівки містять 30 різних варіантів індивідуа-льних завдань, у кожному з яких є по 28 прик-ладів, які охоплюють усі розділи програми.
Призначені для студентів усіх спеціально-стей.
Укладачі: В.С. Коноваленков, канд. техн. наук, доц. Т.М. Заборова, ст. викладач Відповідальний за випуск Г.Г. Швачич, канд. техн. наук, проф. Рецензент Л.М. Савчук, канд. екон. наук, проф. (НМетАУ)
ЗМІСТ
1. Поняття невизначеного інтеграла та його властивості…………………….4
1.1. Первісна функція………………………………………………………4
1.2. Невизначений інтеграл………………………………………………..4
1.3. Основні властивості невизначеного інтеграла………………………4
1.4. Таблиця інтегралів……………………………………………………..5
1.5. Теорема про інваріантність формул інтегрування………………….5
1.6. Найпростіші прийоми інтегрування………………………………...6
1.7. Прийоми інтегрування деяких дробів……………………………… .8
1.8. Виділення цілої частини………………………………………………9
1.9. Використання тригонометричних формул…………………………..9
2. Інтегрування дрібно-раціональних функцій……………………………….10
2.1. Інтегрування найпростіших дробів…………………………...……..11
3. Інтегрування частинами……………………………………………...……..13
4. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій…………...…….15
5. Інтегрування деяких ірраціональних виразів……………………...………17
6. Варіанти індивідуальних завдань……………………………..……………20
Література………………………………………………..…………………..44
3
1. ПОНЯТТЯ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
1.1. Первісна функція
Нехай функція ( )xf є похідною функції ( )xF , тобто ),()( xfxF =′ тоді ( )dxxf є диференціалом функції ( )xF : ( ) ( ) ( )dxxfdxxFxdF =′= .
Функція ( )xF називається первісною для функції ( )xf .
1.2. Невизначений інтеграл
Визначення: Невизначеним інтегралом від даної функції ( )xf (або від даного диференціального виразу ( )dxxf ) називається сукупність усіх її первіс-них:
∫ += ,)()( CxFdxxf де С - довільна стала. При цьому ( )dxxf називається підінтегральним ви-
разом, ( )xf - підінтегральною функцією, x - змінною інтегрування. Будь-яка неперервна функція ( )xf має безліч первісних. Основна задача інтегрального числення полягає у тому, щоб знайти фун-
кцію по даному виразу її диференціала. Підкреслимо роль співвідношення ∫ += CxFxdF )()( . Інакше кажучи, інтег-
рування слід трактувати як операцію обертання по відношенню до операції зна-ходження диференціалу. Дійсно, використовуючи таблицю диференціалів, а та-кож визначення, які наведені вище, легко одержати таблицю невизначених ін-тегралів.
Розглянемо приклади: ∫ ∫ ∫ +−=−=−= Cxxdxdxdx cos)(cos)cos(sin ,
∫∫ +== .)(cos2 Ctgxtgxd
xdx
Зауважимо, що існують невизначені інтеграли, які не можна знайти у елементарних функціях. Але ці випадки розглядаються тільки при поглиблено-му вивченні математики.
1.3. Основні властивості невизначеного інтеграла:
1. [ ] ;)()()()( ∫∫∫ ϕ±=⋅± dxxdxxfdxxgxf
2. ;)()( ∫∫ =⋅ dxxfAdxxfA
4
3. ∫∫ +=⇒+=′ ;)())(()()( CxfxfdCxfdxxf
4. ( ) .)()(),()( dxxfdxxfdxfdxxf =⇒=′
∫∫
1.4. Таблиця інтегралів
1. ;1,1
1
−≠++
=∫+
αα
αα Cxdxx
2. ∫ += ,ln Cxx
dx
3. ∫ += ,ln
Ca
adxax
x
4. ∫ += ,Cedxe xx
5. ∫ +−= ,cossin Cxxdx
6. ∫ +−= ,sincos Cxxdx
7. ∫ += ,cos2 Ctgx
xdx
8. ,sin2∫ +−= Cctgx
xdx
9. ∫ +=−
,arcsin1 2
Cxx
dx
10. ∫ +=−
,arcsin22
Cax
xadx
11. ∫ +=+
,1 2 Carctgx
xdx
12. ,122∫ +=
+C
axarctg
axadx
13. ,ln 22
22Caxx
axdx
+±+=±
∫
14. .ln21
22 Caxax
aaxdx
++−
=−∫
1.5. Теорема про інваріантність формул інтегрування
Предмет теореми про інваріантність (незмінність) формул інтегрування легко зрозуміти із очевидних міркувань.
Якщо має місце формула ,)()(∫ += CxFdxxf то вона справедлива у 5
випадку, якщо замість x вона містить будь-яку функцію (від якої можна взя-ти диференціал), тобто [ ] ( ) [ ]∫ +ϕ=ϕϕ CxFxdxf )()( . Таким чином, у ролі змінної ін-тегрування може бути будь-яка функція.
Розглянемо приклад: Очевидно, що ,4
43∫ += Cxdxx тому
∫ += Cxxdx4
sinsinsin4
3 .
Корисними при розв’язуванні конкретних прикладів є формули , які ви-пливають з теореми про інваріантність формул інтегрування і які доповнюють основну таблицю інтегралів:
15. ;)(ln)()( Cxfdx
xfxf
+=′
∫
16. ;)(2)()( Cxfdx
xfxf
+=′
∫
17. ∫ += ,)(1)( CaxFa
dxaxf
18. ∫ ++=+ ,)()( CbxFdxbxf
19. ∫ ++=+ .)(1)( CbaxFa
dxbaxf
1.6. Найпростіші прийоми інтегрування
Інтегрування у простіших випадках спирається на використання таблиці інтегралів (1-19), властивостей невизначених інтегралів і тотожні перетворення або тільки підінтегральної функції, або диференціала змінної інтегрування, або усього підінтегрального виразу. Як у даному розділі, так і в інших, викорис-товуючи різні методи, будемо приводити дані інтеграли до одного чи декі-лькох табличних.
Розглянемо приклади. Приклад 1. ( )∫
− dxxxx 21 .
Якщо піднести до квадрата чисельник підінтегральної функції, а потім результат почленно поділити на знаменник, одержимо три інтеграли, кожний з яких є табличним:
.3242
324222121
3
23
21
21
21
21
23
23
2
23
23
23
2
Cxxx
Cxxxdxxdxxdxxdxx
x
x
x
xdx
x
xx
++−−=
=++−−=+−=
+−=
+− −−−
∫ ∫ ∫ ∫∫
Вище використані відомі властивості: інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів, сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
6
Приклад 2: dxx 999)1( +∫ . Використання бінома Ньютона для розкладання підінтегральної функції недоцільно. Використовуючи формулу 18 та формулу 1
таблиці інтегралів, одержимо: .1000
)1()1(1000
999 Cxdxx ++
=+∫
До того ж результату можна прийти, вводячи заміну: ,1+= xz dxdz = . Отже, маємо:
.1000
)1(1000
)1(10001000
999999 CxCzdzzdxx ++
=+==+ ∫∫
Розглянемо очевидне співвідношення: ( )axddx += , де a — стала.
Звідси ∫ ∫ ++
=++=+ .1000
)1()1()1()1(1000
999999 Cxxdxdxx
Під знак диференціала можна вводити сталий множник, змінну інтегру-вання у будь-якому ступеню, а також різноманітні функції. При цьому формули таблиці інтегралів узагальнюються за рахунок того, що інтегрування відбува-ється не по x, а по допоміжній змінній інтегрування ( )xz ϕ= (теорема про інва-ріантність (незмінність) формул інтегрування). Наприклад, перша формула таб-лиці інтегралів набуває вигляду:
( ) ( ) .1
))((1
))(()()()(11
Cnx
nzdzzxdxdxxx
nnnnn
++
ϕ=
+==ϕϕ=ϕ′ϕ
++
∫∫∫
Аналогічно можна записати усі формули таблиці інтегралів. Радимо зро-бити цю корисну роботу самостійно.
Що до конкретного значення ( )xϕ , то воно може бути будь-яким. Приклад 3:
∫ − dxx53 .
З формул 1 і 19 випливає: .)53(152
121
)53(51)53( 3
121
21
Cxxdxx +−−=+
−−=−
+
∫
Покажемо, як можна звести даний інтеграл до табличного. Розглянемо очевидні перетворення:
)53(51)5(
51
55 xdxddxdx −−=−−=
−−
= .
Звідси CxCzdzzxdxdxx +−−=+−=−=−−−=−∫ ∫ ∫ 2/32/3
)53(152
2/351
51)53(53
5153
5x)-3 (z = . Аналогічний результат одержимо, якщо скористаємося підстановкою
.5
,5,53 dzdxdzdxzx −==−=−
Приклад 4: .sincoscossin dx
xxxx
∫ −+
7
Має місце рівність: ,cossin)sin(cos xxxx −−=′− тобто у чисельнику підінтеграль-ної функції з точністю до множника (-1) маємо похідну знаменника. Таким чи-ном, dx
xxxxdx
xxxx
∫∫ −−−
−=−+
sincoscossin
sincoscossin ( ) .sincosln
sincossincos Cxx
xxxxd
+−−=−−
−= ∫
Приклад 5: .83 2
dxx
x∫
−
Оскільки ,16)83( 2 xx −=′− у чисельнику підінтегральної функції із точністю до множника (-16) маємо похідну підкореневого виразу знаменника. З формули 16 випливає:
( ) .8381832
161)83(83
161
8316
161
832222
12
22CxCxxdx
xdxxdx
xx
+−−=+−⋅−=−−−=−
−−=
− ∫∫∫−
Приклад 6: .2∫ xdxtg
Використаємо тригонометрію: x
xtg 22
cos11 =+ , звідки .1
cos1
22 −=
xxtg
У відповідності із властивостями невизначеного інтеграла одержуємо суму двох табличних інтегралів:
.cos
1cos
122
2 Cxtgxdxx
dxdxx
xdxtg +−=−=
−= ∫∫ ∫∫
1.7. Прийоми інтегрування деяких дробів
Існують стандартні прийоми інтегрування, про які доцільно знати. Декі-лька з них розглянемо на конкретних прикладах.
Приклад 1: ∫ +− 1072 xxdx .
У знаменнику підінтегральної функції маємо квадратний тричлен із додат-ним дискримінантом. Відомо, що у цьому випадку тричлен має два дійсних рі-зних кореня. Можна розв’язати задачу двома методами: або розкласти підінте-гральну функцію у суму простіших дробів або виділити у її знаменнику повний
квадрат, приводячи даний інтеграл до табличного: Caxax
aaxdx
++−
=−∫ ln
21
22 .
Розглянемо обидва шляхи. Корені квадратного тричлена дорівнюють 5 і 2. Представимо підінтегральну функцію у вигляді:
.52)5)(2(1
1071
2 −+
−=
−−=
+− xB
xA
xxxx
Числа А і В – це, так звані, невизначені коефіцієнти. Для їх знаходження буде складена система лінійних рівнянь (1). Для одержання цієї системи прирі-внюємо коефіцієнти при подібних членах у чисельниках першої й останньої дробів, що записані нижче:
.107
25)()5()2(
)2()5(52107
122 +−
−−+=
−⋅−−+−
=−
+−
=+− xx
BABAxxx
xBxAx
Bx
Axx
8
Отже, маємо: .125,0 =−−=+ BABA ( 1 )
Звідси .31,
31
=−= BA
Шуканий інтеграл дорівнює сумі двох інтегралів:
∫ ∫ +−−
=−+−−=−
+−
− .25ln
315ln
312ln
31
531
231 C
xxxx
xdx
xdx
Нехай тепер дискримінант квадратного тричлена менший нуля. У цьому випадку інтеграл приводиться до вигляду: ∫ =
+ axarctg
aaxdx 1
22 + С.
Звернемося до конкретного приклада. Приклад 2:
∫ ∫ ∫ ++
=+++
=++
=++
.21
21
)2()1()1(
2)1(32 2222 Cxarctgx
xdx
dxxx
dx
Нарешті, якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, то інтеграл приводиться до вигляду .1
2 Cxx
dx+−=∫
Як бачимо, спосіб виділення повного квадрата є достатньо ефективним, тому що швидко приводить до результату. Якщо квадратний тричлен у зна-меннику до того ж знаходиться під знаком квадратного кореня, то повний ква-драт виділяється під знаком кореня, після чого застосовуються формули 9, 13 або 14 таблиці інтегралів.
1.8. Виділення цілої частини
Приклад: .4
dxx
x⋅
+∫
Скористаємося тотожним перетворенням: додамо і віднімемо у чисель-нику те саме число, відповідним чином згрупуємо і почленно поділимо на знаменник. Далі використовуємо властивості інтегралів і формулу 15 з таблиці:
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ++−=++
−=+
−=
+−=
+−+
=+
.4ln44
)4(44
44
414
4)4(4
Cxxxxdx
xdxdxdx
xdx
xxdx
xx
У цьому випадку виділення цілої частини здійснено додаванням й відні-
манням у чисельнику 4, з подальшим діленням отриманого виразу на знамен-ник. Загальний випадок виділення цілої частини буде розглянуто у розділі, при-свяченому дрібно-раціональним функціям.
1.9. Використання тригонометричних формул
Приклад 1:
.3
sinsinsin)(sin)(sin)sin1()(coscoscos3
2223 Cxxxdxxdxdxxdxxxdx +−=−=−== ∫ ∫∫ ∫∫
9
Від xcos у непарного степеня відокремлюється xcos і вводиться під знак диференціала, парний (у даному прикладі - другий) степінь cosx перетво-рюється за допомогою основної тригонометричної тотожності (або, що те ж са-ме - «тригонометричної одиниці»), що має вигляд: .1cossin 22 =+ xx
Покажемо, як можна інтегрувати степені tgx і ctgx. Приклад 2:
∫∫ ∫ =
−=⋅= xdxtg
xxdxtgxtgxdxtg 2
2224 1
cos1
∫∫ ∫∫∫ ++−==
−−−= .
31
cos1)(
cos
3
222
2
2
Cxtgxxtgdxx
tgxxdtgdxxtgx
xdxtg
Відділяємо tg2x і представляємо його у вигляді: .1cos
1cossin
22
22 −==
xxxxtg Ін-
ші степені тангенса залишаємо незмінними. Після перетворень інтеграл розпа-дається на декілька інтегралів, які або табличні, або легко зводяться до таблич-них. Степені ctgx інтегруються аналогічно.
Розглянемо ще один прийом, для випадку коли у знаменнику підінтегра-льного дробу, знаходиться парний ступінь sinx або cosx, більший другого.
Приклад 3:
.3
)(coscoscos
)cos(sincos1
cos
32
22
2
4
22
44 Ctgxxtgtgxtgxxdtgx
dxdxx
xtgx
dxxxx
dxx
dx++=+=+=
+=
⋅= ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Замінивши звичайну одиницю в чисельнику тригонометричною і поділивши почленно на знаменник, одержуємо два табличних інтеграли.
2. ІНТЕГРУВАННЯ ДРІБНО-РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
Дрібно-раціональна функція — це відношення двох багаточленів: ,
)()(
xQxP
n
m де ....)(;...)( 110
110 n
nnnm
mmm bxbxbxQaxaxaxP +++=+++= −−
Розглянемо загальну схему інтегрування цих функцій:
1. Якщо )()(
xQxP
n
m — дріб неправильна, тобто m ≥ n, необхідно виділити її цілу
частину. Найпростіше для цього поділити чисельник на знаменник. Ділення робимо, поки у остатку не одержується багаточлен, ступінь якого по меншій мірі на одиницю нижчий ніж старший ступінь n багаточлена ).(xQn При цьому виділяється ціла частина, яка легко інтегрується, оскільки являє собою або багаточлен, або сталу (якщо m = n) і, крім того, одержуємо дробо-ву частину у вигляді правильного дробу. Прийом інтегрування правильного дробу полягає у його розкладанні на суму простіших дробів.
2. Знаменник правильного дробу розкладається на прості множники, що мають
вигляд ,...)(,...,)( 2 µα ++− qpxxax ( де 04
2
<=− Dqp ), шляхом розв’язання рівнян-
ня .0)( =xQn 10
3. Правильний дріб розкладається на найпростіші дроби які мають вигляд:
µµµ
αα
+++
+++
−−− )(...,,;
)(....,,
)(, 22
112
21
qpxxCxB
qpxxCxB
axA
axA
axA із невідомими коефіцієн-
тами, методи знаходження яких будуть викладені нижче. Після цього знахо-димо суму невизначених інтегралів від цілої частини і найпростіших дробів.
2.1. Інтегрування найпростіших дробів
1. .ln CaxAax
dxAdxax
A+−⋅=
−=
− ∫∫ Тут використані властивості невизначе-
ного інтеграла і таблиця.
2. .1,))(1(1
)()()( 1
1
≠α+−α−
==++α−
−⋅=−=
− −α
+α−α−
α ∫∫ Cax
ACaxAdxaxAax
A
3. ,2 dxcbxax
BAx∫ ++
+ причому дискримінант .042 <−= acbD
Перетворимо чисельник таким чином, щоб він набув вигляду суми двох членів, один з яких - похідна від знаменника з деяким коефіцієнтом, а другій – стале число. Для цього знайдемо похідну від знаменника
),2)(( 2 baxcbxax +=′++ та використаємо простіші еквівалентні перетворення: множення і ділення на одне й теж число, додавання та віднімання деякого чис-ла, як зроблено нижче:
=++
⋅−+
+++
=++
⋅−++
=++
+∫∫∫∫ cbxax
dxabABdx
cbxaxbax
aAdx
cbxaxabABbax
aA
dxcbxax
BAx2222 )
2(2
22
)2(2
= {у чисельнику першого з останніх інтегралів – похідна від знаменника }=
∫ ++⋅
−+++⋅= .)2
(ln2 2
2
cbxaxdx
abABcbxax
aA
Розглянемо окремо ∫ ++ cbxaxdx
2 :
∫ ++ cbxaxdx
2 ∫∫ ++=
===
++=
qpxxdx
aq
acp
ab
acx
abx
dxa 2
2
1,1
(
.211
)2
(
14
,04
,0
4)
2
1
4422
1
22
222
22
222
C
pxarctg
apx
dxa
pqтомуpqтоDоскільки
pqpx
dxapqppxx
dxaквадрат
повнийвиділяемознаменникув
+β
+⋅
β⋅=
β++=
β+=−>−<=
=−++
=−++⋅+
=
=
∫
∫∫
11
Таким чином, остаточно маємо:
.
4
2
4
12
ln2 22
22 C
pq
pxarctg
pqaabABcbxax
aAdx
cbxaxBAx
+
−
+⋅
−⋅
⋅
⋅
−+++=++
+∫
Розглянемо окремі випадки: 1. Знаменник дробу розкладається на лінійні множники, які не повто-
рюються. .4
822953
23
dxxx
xxx∫ −
−−+
Підінтегральна дріб — неправильна. Чисельник ділимо на знаменник (ви-діляючи цілу частину).
829
5205
482295
2
3
323
−−
−
−−−+
xx
xx
xxxxx
Отже:
{ .4
82954
822953
2
3
23
4434421дрібправильний
частинацілаxx
xxxx
xxx−
−−+=
−−−+
Знаменник правильного дробу розкладаємо на множники ).2()2()4(4 23 +⋅−⋅=−⋅=− xxxxxxx Правильний дріб подаємо у вигляді суми
найпростіших дробів із невизначеними коефіцієнтами
=−
−−xx
xx4
8293
2
.22)2()2(
829 2
++
−+=
+⋅−⋅−−
xC
xB
xA
xxxxx Невизначені коефіцієнти А, В, С
знаходимо за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину приводимо до загального знаменника і прирівнюємо чисельники
).2()2()2()2(829 2 −⋅⋅++⋅⋅++⋅−⋅=−− xxCxxBxxAxx Використовуючи засіб окремих рішень (замість x в обидві частини останньої рівності підставляємо значення коренів знаменника), отримаємо:
.4832,3824,248
220
=⇒==⇒==⇒−=−
−===
CCBB
AA
xxx
Остаточно маємо:
.2ln42ln3ln232
42
3254
822953
23
Cxxxxdxxxx
dxxx
xxx++⋅+−⋅+⋅+=
++
−++=
−−−+
∫∫
2. Знаменник дробу розкладається на множники першого степе-ня, серед яких є кратні: .
5)3(
23∫ ++
xxdxx
Підінтегральна функція — правильний дріб. Знаменник цього дробу роз-кладається на множники: ).5(5 223 +=+ xxxx Підінтегральна функція розклада-
ється на найпростіші дроби: .5)5(
353
2223 +++=
++
=++
xC
xB
xA
xxx
xxx А, В, С знаходимо
12
за допомогою методу невизначених коефіцієнтів .)5()5(3 2xCxBxxAx ⋅++⋅++⋅⋅=+ Далі використовуємо метод окремих значень у
комбінації із методом порівняння коефіцієнтів (прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях x зліва і справа).
.
2520
252252
5353
5
0
2=−=⇒+=
−=⇒=−
=⇒=
−=
=
CACA
CC
BB
xx
x
Звідси:
.5ln252
53ln
252
525/25/325/2
5)3(
223 Cxx
xdxxxxxx
dxx++−−=
+−+=
++
∫∫
3. Знаменник дробу розкладається на множники першого і другого ступеня (із від’ємним дискримінантом).
Звернемося до приклада: .13 dx
xx
∫ − Знаменник правильного дробу розкла-
даємо на множники, а підінтегральну функцію подаємо у вигляді суми простих дробів );1()1(1 23 ++⋅−=− xxxx
.11)1()1(1 223 +++
+−
=++⋅−
=− xx
CBxx
Axxx
xx
x ( У чисе-
льнику найпростішого дробу повинен бути багаточлен, степінь якого на одини-цю нижчий, ніж у знаменнику). Далі знаходимо невизначені коефіцієнти і інте-груємо:
.3/13/13/11113/10
3/1311);1()()1(
1
2
2
=−−=−+=⇒−+=−=⇒+=
=⇒==
−⋅++++⋅=
ABCBCABBAAA
xx
xxCBxxxAx
=−++
+++−=++
+++⋅−+
+=++
+−+=
+++⋅−
+=−
∫∫
∫∫∫
4/11)2/1(211ln
61ln
31
12/11)12()2/1(
31
ln31
11
31ln
31
13/1)3/1(3/1
1
22
2
223
xdxxxxdx
xxx
xdxxx
xxdxxxx
xdx
xx
.3
123
11ln61ln
31
2/32/1
311ln
61ln
31 22 CxarctgxxxCxarctgxxx +
++++−=+
++++−=
3. ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ
Будь-який підінтегральний вираз можна записати у вигляді u dv (u і v -функції змінної інтегрування).
Інтегруванням частинами називається зведення даного інтеграла ∫udv до інтеграла ∫ vdu за допомогою формули
.∫∫ −= vduuvudv (1)
Причому ∫ vdu знаходиться легше, ніж ∫udv . 13
Варто пам'ятати, що за u приймається функція, яка спрощується при диференціюванні, а за dv - вираз, невизначений інтеграл від якого можна знайти.
Розглянемо випадки для конкретних типів підінтегральних функцій.
1. ( ) ( )( ) dx
baxbax
xPn∫
++
cossin . або ( )∫ + dxaxP mkx
n — тобто під знаком інтеграла
багаточлен степені x (або додатна ціла ступінь x ) помножений або на три-гонометричну, або на показову функцію.
У цьому випадку в якості u вибирається багаточлен (або ступінь x ). Застосування формули (1)дозволить знизити ступінь x на одиницю. Якщо ступінь x вищий, ніж перший, формулу (1) використовують стільки разів, яким є ступінь x (або багаточлена). Приклад 1:
.sincoscoscos)(cossin ∫ ∫∫ ++−=+−=−= Cxxxxdxxxxxdxdxx Прокоментуємо рішення. Складемо такий ланцюжок рівностей
∫ ∫ −====⇒== .cossin,sin, xxdxdvvdxduxdxdvxu Диференціал u знаходимо, диференціюючи x,
v знаходимо, інтегруючи dv. Приклад 2: ∫ .2 dxx x Згідно із рекомендаціями, у цьому випадку за u вибираємо x. Тоді:
2 x dx dv= , du dx v dv dxxx
= = = =∫ ∫,ln
.22
2 Підставляємо одержане у формулу (2)
( )x dxx
dxx
Cxx
xx x
222
12
222
22 2= − = − +∫∫ ln ln ln ln
.
2. Розглянемо інтеграли вигляду: ( )∫ ++ dxcbxa nkx cos або ( )∫ ++ dxcbxa nkx sin - під знаком інтеграла добу-
ток показової функції на тригонометричну. У даному випадку за u можна брати будь-яку з цих функцій. Інтеграл при цьому береться частинами двічі і після цього в правій
частині утворюється такий же інтеграл, як даний, але з іншим коефіцієнтом. На закінчення залишається привести подібні (це члени, що містять шуканий інтеграл) і поділити на коефіцієнт при інтегралі обидві частини рівності.
Підкреслимо, що в якості u обидва рази варто брати тільки показни-кову (або тільки тригонометричну) функцію. Приклад 3:
,cos31sin
331cos
3
31,
,cos,sinsin
31cos
33
,
,sin,coscos
333
333
33
33
−⋅+=
=
==
===+=
==
−===
∫
∫∫
xdxexexe
evdxedv
xdxduxuxdxexe
evdxedv
xdxduxudxxe
xxx
xxx
xx
xx
тобто одержуємо: 14
.10
)sincos3(cos
,9
)sincos3(cos9
10
,9
)sincos3(cos91cos
33
33
333
Cxxexdxe
xxexdxe
xxexdxexdxe
xx
xx
xxx
++
=
+=
+=+
∫
∫
∫ ∫
Розглянемо ще один приклад, при розв’язанні якого після дворазового застосування формули інтегрування частинами, одержуємо в правій частині да-ний інтеграл, але з іншим коефіцієнтом.
Приклад 4:
.2lncoslnsinlncos
,lncos,,lnsin
lnsinlncos,lnsin,,lncos
lncos
Cdxxxxxx
xvdxx
xdu
dxdvxudxxxxxvdx
xxdu
dxdvxudxx
+⋅−⋅+⋅=
=
==
===⋅+⋅=
=⋅−=
===⋅
∫
∫∫
.2lncoslnsinlncos
,lncos,,lnsin
lnsinlncos,lnsin,,lncos
lncos
Cdxxxxxx
xvdxx
xdu
dxdvxudxxxxxvdx
xxdu
dxdvxudxx
+⋅−⋅+⋅=
=
==
===⋅+⋅=
=⋅−=
===⋅
∫
∫∫
Переносимо інтеграл із правої частини в ліву і приводимо подібні: .2lnsinlncoslncos2 Cxxxxdxx +⋅+⋅=⋅∫
Таким чином, ∫ ++⋅⋅=⋅ .)lnsinln(cos21lncos Cxxxdxx
3. Під знаком інтеграла маємо обернену тригонометричну функцію або логарифмічну функцію. Тут у якості u вибираємо одну з цих функцій. Приклад 5: Розглянемо інтеграл:
.1ln1
11
1,1
,1
,
1
22
2
2
22
2
2
Cxxarctgxx
xdxarctgxx
xvx
dxdu
dvx
xdxarctgxudx
xarctgxx
+++−⋅+=
=+
−⋅+=
+=+
=
=+
==
+
⋅∫∫
4. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
Розглянемо невизначені інтеграли вигляду ∫ ,)cos,(sin dxxxR де
)cos,(sin xxR — раціональна функція від xsin і xcos .
Можливі такі випадки: 15
.coscoscossinsinsin
)cos,(sin)1
β⋅αβ⋅αβ⋅α
=xxxxxx
xxR
Використаємо наступні формули: [ ];)cos()cos(21sinsin xxxx βαβαβα +−−=⋅ :
[ ];)sin()sin(21cossin xxxx βαβαβα ++−=⋅
[ ].)cos()cos(21coscos xxxx β+α+β−α=β⋅α
Приклад 1:
.127cos
76
12cos6
12/7)12/7cos(
21
12/1)12/cos(
21
]127sin
12[sin
21]
43sin
43[sin
21
4cos
3sin
CxxCx
dxxxdxxxxxdxxx
+
⋅−
=+−=
=
⋅+
−=
++
−=⋅ ∫∫∫
,...1,0,,cossin)cos,(sin)2 22 =⋅= mnxxxxR mn (добуток парних додатних сте-пенів синуса та косинуса).
У даному випадку використовуються формули: .
22cos1cos,
22cos1sin 22 xxxx +
=−
=
Приклад 2:
.20
5cos4
cos63cos5sin
21sin
21
21
53cos
2cos3sin213sin
21
22cos13sinsin3sin 2
Cxxxdxxxx
dxxxdxxdxxxdxxx
+++−=
+−−=
=⋅−=−
⋅=⋅
∫
∫∫∫ ∫
3) −−=− )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR підінтегральна функція непарна віднос-но синуса. У цьому випадку застосовується підстановка .cos tx =
Перед тим як виконати заміну змінної необхідно виконати наступне: від непарного ступеня xsin треба відділити у якості співмножника
xsin в першому ступені; парний ступінь xsin , який залишився , виразити через xcos , вико-
ристовуючи основну тригонометричну тотожність 1cossin 22 =+ xx ; виконати заміну .cos tx =
Приклад 3:
.cos53
cos33
53
1341
32
11sincos
sincoscos1sin
cossin
cossin
3 53
31
351
34
132
34
32
5 4
2
5 4
2
5 4
2
5 4
2
5 4
3
Cxx
CttCttdttt
dtt
tdttt
dtdxxtx
dxxxxdxx
xxdx
xx
++=+⋅+=++−
−+
=
−=
=−
=−
−==−
==⋅
−=⋅=
−+−+
−∫
∫∫∫ ∫∫
−−=− )cos,(sin)cos,(sin)4 xxRxxR підінтегральна функція непарна
16
відносно .cos x Використовується заміна перемінних .sin tx = При цьому з непарним ступенем xcos здійснюються перетворення, аналогічні тим, що бу-ли зроблені з xsin у попередньому випадку.
−=−− )cos,(sin)cos,sin()5 xxRxxR підінтегральна функція парна відносно xsin і xcos .
Здійснюємо заміну ;ttgx = тоді .1
;1
1cos;1
sin 222 tdtdx
tx
ttx
+=
+=
+=
Приклад 4:
( ).ln
21ln
211
111
1sincos 223
2
32
3
2
2
3 Ctgxxtg
Ctt
dtt
t
t
tt
tdt
xxdx
++−=++−=+
=
+⋅
+
+=⋅ ∫∫∫
Якщо підінтегральна функція не відповідає жодному з випадків 1) - 5), є раціональна від xsin та xcos , які до того ж мають перший ступінь, викорис-товуємо універсальну тригонометричну підстановку:
.12;2;
11cos;
12sin;
2 22
2
2 tdtdxarctgtx
ttx
ttxtxtg
+==
+−
=+
==
Приклад 5: =
+−=
+−
++
−⋅+===
+− ∫∫∫ 1582
1)1(7
188)1(
22cos7sin48 2
2
2
22 tt
dt
tt
ttt
dttxtgxx
dx
.3
2
52ln
35ln
1414ln
212
1)4(2 2 Cxtg
xtgC
ttC
tt
tdt
+−
−=+
−−
=++−−−
⋅=−−
= ∫
5. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ
( )∫ ,,...,,.1 dxxxxR r sn m де ( ),...,, r sn m xxxR - раціональна функція. У дано-му випадку здійснюється заміна x = tk , де k- найменше спільне кратне показни-ків коренів: k = НСК{n, r, …}...
Приклад 1:
.2
24ln222
144ln2
44
422
4144
)4(1
4)4(
1
42
2223
323
4
4 3
4
CxarctgxCtarctgt
tdtdt
ttdt
ttdtt
ttt
dttdxtx
dxxx
x
+++=+⋅++=
=+
++
=++
=⋅⋅+
+=
==
=⋅+
+∫∫∫∫∫
dxdcxbax
dcxbaxxR r
s
n
m
∫
++
++ ...,,,.2
Виконуємо заміну: ,ktdcxbax
=++ де k- найменше спільне кратне показників
коренів: k = НСК{n, r, …}... 17
Приклад 2:
.11
)1(1
2 dxxx
x +−
−∫ Виконаємо заміну: .)1(
4;11;
11
222
22 dt
ttdx
ttxt
xx
+−
=+−
==+−
Тоді маємо:
dxxx
x +−
−∫ 11
)1(1
2 =
+−
⋅⋅
+
= ∫ dtttt
tt
222
2
2 )1(4
12
1 .11
1111
2 CxxC
xx
Ctt
dt+
−+
=+
+−
=+=− ∫
.,,,
.322
22
22
dxaxxaxxxax
R∫
+−−
У даному випадку використовуються такі тригонометричні підстановки, які дозволяють позбутися ірраціональності у підінтегральній функції:
=
=
=
)(
)cos
(sin
)cos(sin
ctgtatgtaxt
at
ax
tatax
Приклад 3:
∫−
.22 axx
dx Введемо заміну: .sincos;
sin 2 dtttadx
tax −==
.arcsin111coscos1
sinsin
sincos
22
2
2
22C
xa
aCt
adt
adt
tt
adt
at
at
atta
axxdx
+−=+−=−=−=
−
−=−
∫ ∫ ∫ ∫
,),(.4 2 dxcbxaxxR∫ ++ де ),( 2 cbxaxxR ++ - раціональна функція від за-значених змінних.
Розглянемо окремі випадки: 4.1. .2 dxcbxax∫ ++ У даному випадку необхідно:
— винести коефіцієнт а при х2 за знак радикала, — під радикалом виділити повний квадрат.
У результаті приходимо до одного з інтегралів .,,,
22
22
22
dxaxxaxxxax
R∫
+−−
Зауваження. Слід зазначити, що для знаходження інтегралів, які мають вигляд
dxaxdxaxdxxa ∫∫ ∫ +−− 222222 ,, більш ефективним є метод інтегру-вання частинами.
18
Приклад 4:
;121
213
41
31
213
313133
2222 dxxdxxdxxxdxxx ∫∫∫∫ +
−=−+
−=+−=+−
Введемо заміну і використаємо формулу інтегрування частинами:
.121ln
121
121
121
121121
121
121
12112
1
121
21
121
21
222
2
2
22
2
22
++⋅++−+⋅=+
−+−
−+⋅=
==
+=+=
=+==
=−=+
−
∫∫
∫∫
ttdttttdtt
t
tt
tvdtdv
dtt
tdutudtt
dtdx
txdxx
Звідси, якщо перенести шуканий інтеграл у ліву частину рівності, одержимо:
.121ln
121
121
1212 222 ++⋅++⋅=+∫ ttttdtt
Остаточно .121ln
241
2121
121 2
2
2 Ctttt
dtt +++++⋅
=+∫
Відповідь:
.121
21
21ln
243
121
21
21
23133
222 Cxxxxdxxx ++
−+−++
−
−⋅=+−∫
4.2. .2∫
++ cbxaxdx
У даному випадку необхідно виконати такі дії: - винести коефіцієнт а при х2 за знак радикала, - виділити під радикалом повний квадрат.
У результаті приходимо до одного з інтегралів: ;.0,arcsin
22<+=
−∫ аякщоC
Ax
xAdx
0,ln 22
22>+±+=
±∫ aякщоCAxx
Axdx .
4.3. .2
dxcbxax
BAx∫
++
+
Тут необхідно: - знайти похідну від підкореневого виразу знаменника; - перетворити чисельник, як було зроблено на стор. 11; - перейти до суми двох інтегралів (один - табличний: ;)(2
)()( Cxfdx
xfxf
+=′
∫
другий - інтеграл типу 4.2.).
19
Приклад 5:
{ }
=++
⋅+++⋅=++
+++
+=
=++
−++=+=′++=
++
+
∫∫∫
∫∫
92
323
13
13269291
269313
264618
91
269325)618(
182
618)269(269
52
2
2
22
2
2
2
xx
dxxxxx
dxdxxx
x
dxxx
xxxxdx
xxx
.91
31
31ln
139269
92
91
32
319
1326992 2
2
2
2 Cxxxx
x
dxxx ++
+++⋅+++=
−+
+
+++= ∫
4.4. ( )
.2∫
++α− cbxaxxdx У цьому випадку підстановка типу
tx 1
=α−
приводить до інтеграла типу 4.3.
6. ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ
Варіант 1
1. dxx
xx3x3
6 54
∫−− 15. ∫ +− 1x5x4
dx24
2. ∫− 3x7
dx2
16. ∫ −+− dx
x2x3x8x2
2
35
3. ( )( )∫ +
+ dx4xx
3x2
2
17. ( )∫ − 22 1xxdx
4. ( )∫
−+− dx
2x
5e3 5
x5 18. ∫ dx8xcos 4
5. ∫ +− dx
xcosxsinxcosxsin 19. ∫ ⋅ dxx2cos
2xsin
6. ∫ ++
2xdx2xtg 20. ∫ xcos
dxxsin3
5
7. ( )∫ − dxee3cos xx 21. ∫ − xcos3xsindx
8. ∫ ⋅+− dxx32 24x3 22. ∫ + xsin4dx
2
9. ∫ −+ dx
9xx3x
6
52
23. ∫ dxxtg 5
10. ∫−+
− dxxx25
11x82
24. ∫ xsinxcosdx
42
20
11. ∫ xdx2arcsin 25. ∫−
++ dxx1x
x1x22
2
12. ∫ − dxex x32 26. ∫− 1xx
dx22
13. ( )∫ + dx4xlnx 2 27. ∫ − dxx1x 22
14. ∫ dxxcose x2 28. ( )∫
+32x4
dx
Варіант 2
1. dxx
x5x9x7
23
33∫ −+ 15. dx
3xx3x1x2
23∫ +−−+
2. ∫ − 9x4dx2 16. ∫ − 23 x5x
dx2
3. ∫ dxe3 xx 17. ∫ −dx
1xx4
4
4. ( ) ( )∫
−−+ dxxsinx 3123 2 18. ∫ xdx5sinx9sin
5. ∫ −++ dxxx
x116
32 19. ∫ ⋅ dxxcosxsin 42
6. ∫ ++ dx
xxacrtgx
2412 20. ∫ dx
xsinxcos
3
3
7. ( )∫ − dxx
xlnsin 15 21. ∫ − xcosxdx
53
8. ∫ xsinxdx
2 22. ∫ +− xsinxcosdx
22 43
9. ∫ 2
4
xdxe x 23. ( )∫ + dxxtg 321
10. ∫−+
+ dxxx
x223
2 24. ∫ xcosdx
6
11. ∫ xdx3arctg 25. ∫ +− dx
1x1x
3
12. ∫ −⋅ dx4x x2 26. ∫ − dxx4 2
13. ( )∫ + dx2xlnx 2 27. ( )∫
+32x1
dx
14. ∫ dxx3sine x 28. ∫− 4xx
dx2
21
Варіант 3
1. ( ) dxxbxa
3
2
∫+ 15. ∫ − 8x
dx3
2. ∫ −dx
9x352 16. ∫ −++
−++ dx6xx4x19x3x2x
23
25
3. ∫ ++ dx
xsin21x2cos4 2
17. ∫ − 23 xx4dx
4. ( )∫
−
++ dxx5
71x5sin3
18. ∫ ⋅ dx2xcos
2x5sin
5. ∫ ++ dx
xsin2xxcosx
2 19. ∫ dx2x3sin 4
6. ∫ −
−
+dx
e9e
x2
x
20. ∫ xdxsinxcos 53
7. ( )∫ xdx2sinxsincos 2 21. ∫ +− xcos3xsin45dx
8. ∫ − dx3x5x 4 43 22. ∫ + xcos3dx
2
9. ∫ −+ dxx9
xx4
3
23. ∫ dxxctg 3
10. ∫+−
− dx25x8x
2x2
24. ∫ dxxsinxcos
4
5
11. ∫ xdxlnx3 25. ( )∫+
24 x1x
dx
12. ∫ − dxex2x5 26. ∫
−+dx
x42x
2
3
13. ∫ dxxxtg 2 27. ∫+
dxx25
x2
2
14. ∫ dxxcosx2 28. dx1x 2∫ − Варіант 4
1. dxx
1xx1
4 33 2∫
+− 15. dx
x2x2x4x4x2x
234
25
∫ +++++
2. ∫− 2x169dx 16. ∫ −+−
− dx4x8x5x
1x223
2
3. ∫ dxxsinxcos
x2cos22 17. ∫ +−
+ dxx9x6x
5x23
2
4. ( ) ( )∫
−
−− dxxsin
x1512 2
3 18. ( )∫ −⋅ dxxcosxcos3
5. ∫ +dx
e4e
x3
x3
19. ∫ ⋅ dxx2cosx2sin 22
22
6. ∫ +dx
x2cos23x2sin
3 20. ∫ ⋅ dxxcosxsin 33
7. ( ) ( )∫ −−− dxxxx 621234 32 21. ∫ + xcos3dx
8. ∫−
− dxxln4
3xln2
22. ∫ +− xcos2xsin55dx
22
9. ∫−
+ dxx1
5xarcsin2
23. ∫ dxxctg 3
10. ∫++
+ dx1x6x3
5x2
24. ∫ dxxcosxsin
8
2
11. ∫ dxxarctg2 25. ( )∫+ 3 2xxxdx
12. ∫ −⋅ dxex x32 26. ( )∫
−dx
x2
x32
2
13. ∫ +− dx
x1x1lnx 27. ∫
− 9xxdx
22
14. ∫ dxx23sine x 28. ∫
+ 2x1xdx
Варіант 5
1. dxxxx
x∫
+−
3 5
33
3
4 15. ∫ +−−++ dx
12x4x3x40x13x
23
4
2. ∫+ 2x94dx 16. ∫ −
+ dx27x3x
3
3. ∫
− dxexsin x3
22 2 17. ∫ + xx
dx3
4. ( )∫
++
+dxxcos
x12
321 18. ∫ dx
2xsin 5
5. ∫ −dx
xsin34x2sin
2 19. ∫ ⋅ dxx25cosx
23sin
6. dxx
xcos∫ 20. ∫ dxx3cos 4
7. ( )∫ +⋅ dx1x3ctgx 2 21. ∫ + xcosxsin2dx
8. ( )∫ dxtgxxcosln 22. ∫ + xcos31dx
2
9. ∫−
+ dxx41
xx2arcsin2
2
23. ∫ dxxctg7
10. ∫−+
+ dxx4x415
3x22
24. ∫ dxxcosxsin
6
2
23
11. ∫ − dxex x2 25. ( )∫⋅−
+ dxxxx
x14 343
3
12. ∫ 22
xdxxln 26. ∫
−dx
xx
2
2
3
13. ∫ dxxxctg 2 27. ∫− 5xx
dx2
14. ∫ + dx9x 2 28. dxx
x14
2
∫+
Варіант 6
1. ( ) dx2x33∫ − 15. dx
x9x6x4x23∫ +−
−
2. ∫ − 4x9dx2 16. ∫ −− 2x3x
dxx3
2
3. ∫
− dxxcos
33 2 17. ∫ −
−+ dx1x
2x2x4
4
4. ( )∫
−−+
−dx
xx 2342
745 18. ∫ xdx3cosx2sin
5. ∫ +− dx
xcosx2xsin2 19. ∫ dxx2sin 4
6. ∫ −dx
eex
x
22 20. ∫ dx
xcosxsin3
7. ∫ +52 x2ctg1x2sindx 21. ∫
+2xsin5
dx
8. ( )∫ ⋅+x
dxxln1 5 22. ∫ + xcos4dx
2
9. ( )∫ +
− dxx1
arctgxx2
4
23. ∫ dxxtg 6
10. ∫−
− dxx5x13
3x52
24. ∫ ⋅ xcosxsindx
3
11. ∫ dx2xarctg 25. ∫ −−− 4 x21x21
dx
12. ( ) ( )∫ ++ dxxlnx 33 2 26. ∫ − dxx9x 22
13. ( )∫ dxxsinx 23 27. ∫− 25xx
dx22
14. ∫ − dx2xsine x2 28.
( )∫+
32 9x
dx
24
Варіант 7
1. dxxx
xxa∫
+−
+
33
3
31
31 94 15. ∫ −−+
− dxxxxxx
441723
24
2. ∫ + 2916 xdx 16. ∫ ++ xxx
dx106 23
3. ( )∫ −+ dxx xxx 4432 2 17. ∫ −+ dx
xxx
24 423
4. ( ) ( )∫
−−+
−dx
xxcos 2214
212
1 18. ∫ xdxcosxcos 7
5. ∫ −dx
5x3sin3x3cos 19. ∫ ⋅ dxx3cosx3sin 22
6. ∫+
dxxcos1
x2sin3 2
20. dx2xcos
2xsin 35 4 ⋅∫
7. ∫
+ 2x
dx5x4sin 21. ∫ − xcos32
dx
8. ∫ ⋅ dxxsecxtg 23 22. ∫ ++ xcosxcosxsin21dx
2
9. ∫ −− dx
xxx6
25
94 23. ∫ dxxctg 5
10. ∫ −−
+ dxxx
x243
1 24. ∫ xcosdx
4
11. ∫ xdxsinx 3 25. ∫ ⋅− dx
xxx
4
33
6
12. ∫ − dxex x2 26. ( )∫
+322 x
xdx
13. ∫ dxxarcsin 27. ∫− 1xx
dx2
14. ∫−
dxxsine 2x
28. dxx1x 23∫ −
Варіант 8
1. dxx
xxx∫
−+ 2
43 25 15. ∫ +− xxx
dx23 2
2. ∫ + 94 2xdx 16. ∫ +++ 485 23
2
xxxdxx
3. ∫− dx
xcosxctg
2223
2
2
17. ∫ +− dx
xx
11
4
4
25
4. ( )∫
++
−dxxsin
x25
342 18. ∫ ⋅ xdxsinxsin 47
5. ∫ −dx
xx
4
3
45 19. ∫ ⋅ dxxcosxsin 22 3
6. ∫ −⋅−
11
xdxe x 20. ∫ ⋅ dxxcosxsin 72
7. ∫−
dxxsin
xcos22
21. ∫ +dx
xcosxsin 4321
8. ( )∫ +x
dxxlnsin 5 22. ∫ +− xsinxcosdx
22 431
9. ∫ −− dxxxx4
3
164 23. ∫ dxxtg 4
10. ∫+−
dxxx
x269 2
24. ∫ ⋅ xsinxcosdx
3
11. ∫ dxxcosxsinx
3 25. ∫ +++ dxx
xx4
3
11
12. ∫ ⋅ dxxlnx 2 26. ( )∫
−dx
x
x32
2
8
13. ( )∫ dxxxarctg 2 27. ∫−124 xx
dx
14. ∫ + dxx 29 28. ( )∫
+321 x
dx
Варіант 9
1. ( ) dxx
x21x33
32
∫−+ 15. ∫ +− 1x5x4
dx24
2. ∫ + 9x3dx2 16. ∫ −
+− dxx2x
3x8x22
35
3. ( )( )∫ +
+ dx4xx
x22
2
17. ( )∫ − 22 1xxdx
4. ( )∫
−−
+dx1x7tg5
32x
18. ∫ dx8xcos 4
5. ∫ −+ dx
xcos3xsin2xcos2xsin3 19. ∫ ⋅ dxx2cos
2xsin
6. ∫ +dx
493x
x
20. ∫ xcosdxxsin
3
5
7. ∫+ xlnxdx
251 21. ∫ − xcos3xsin
dx
26
8. ∫ ⋅+− dxx32 24x3 22. ∫ + xsin4dx
2
9. ∫ −+ dx
9xx3x
6
52
23. ∫ dxxtg 5
10. ∫−+
− dxxx25
11x82
24. ∫ xsinxcosdx
42
11. ∫ xdx2arcsin 25. ∫−
++ dxx1x
x1x22
2
12. ∫ − dxex x32 26. ∫− 1xx
dx22
13. ( )∫ + dx4xlnx 2 27. ∫ − dxx1x 22
14. ∫ dxxcose x2 28. ( )∫
+32x4
dx
Варіант 10
1. dxx
x5x4x
3 42
4∫
−− 15. dx
6x5x1x3
24
5
∫ +++
2. ∫−
dx9x4
32
16. ∫ +− x3x4xdx
23
3. ∫
− dx
2xcos
2xsin
2
17. ∫ +−+ dx
4x3x1x2
23
4. ( )∫
−
+−
dx1x3cos
12x
423
18. ∫ xdxcosx5cos
5. ∫ −dx
x3cos4x3sin
19. ∫ ⋅ dxxcosxsin 62
6. ∫+ dxx
xln43
20. ∫ dxx2sinx2cos 25
7. ( )∫ +⋅ dxecose xx 322 21. ∫ +− xcos3xsin45dx
8. ( )∫− x3arcsinx91
dx2
22. ∫ +dx
xsin11
2
9. ( )∫ +
+ dxx2sin4
x2cos5x2sin2 23. ∫ +
dxtgx1
tgx
10. ∫−−
− dxxx23
x342
24. ∫ xsindx
4
11. ∫ dxxe x3 25. ∫ + 3 xxdx
27
12. ( ) ( )∫ ++ dx1xln1x 2 26. ∫− dxx
x22
2
13. ∫ dxxxarctg 2 27. ∫− 2xx
dx24
14. ∫ − dxx2sine x3 28. ( )∫
−32x4
dx
Варіант 11
1. ( )( )dxx
xx∫
−+3 2
2 41 15. ∫ +++ dx
xxxx
651
23
2. ∫ − 221 xdx
16. ∫ +−+− dx
xxxxx
12456
3
234
3. ∫ −
−−+ dxx
xx4
22
111 17. ( )( ) dx
xxxxx
∫ −+−+−
216146 23
4. ( )∫
−
++− dxxcos
e x
157
253 18. ∫ xdxsinxsin3
5. ∫ +++ dxxx
x13
13
2
19. ∫ dxxcos 34
6. ( )∫ + xlncosxdx
412 20. ∫ xdxsinxcos 58
7. ( )∫ +x
dxxlnsin 5 21. ∫ − xsindx54
8. ∫ +xcos
dxtgx5
51 23 22. ∫ + xcos
dx231
9. ( )∫ −
− dxxxarccos
2
3
11 23. ∫ dxxtg 5
10. ∫++
+ dxxx616
3x2
24. ∫ dxxcosxsin
4
2
11. ∫ dx2x x 25. ( )∫+ 3 2xxxdx
12. ∫ dx2xsinx 22 26. ∫
− 2
2
x4dxx
13. ( )∫ dxxarcsin 2 27. ∫− dx
x4x
3
2
14. ∫ dxxsine x2 28. ∫+ dx
x9x
2
2
28
Варіант 12
1. ( )( )dxx
xx∫
−+3 2
22 21 15. dxxxx
x∫ ++
+352
523
2. ∫ −169 2xdx 16. ∫ +++ 2223 xxx
dx
3. ( )∫ + dxxtg 21 2 17. ∫ −+ dxxx
x23
3 13
4. ( )∫
−+++− dx
xx
223
1412 18. ∫ ⋅ xdxcosxcos 7
5. ( ) ( )∫ ++ 22 xlnxdx
19. ∫ ⋅ dxxcosxsin22
24
6. ∫ dxxsin
xcos5 2 2
2 20. ∫ ⋅ dxxcosxsin 5
7. ( )∫
+ dxxcos
xtg5
512
2
21. ∫ + xcosdx35
8. ( )∫ +−x
x
edxesin 13 22. ∫ −
dxxcosbxsina 2222
1
9. ∫−
+ dxxxx
4
3
16 23. ∫ dxxtg 32
10. ∫+−
+ dxxx
x844
12
24. ∫ xsinxcosdx
3
11. ∫ xdxarccos 2 25. ∫ +3 baxxdx
12. ∫ − dxex x22 26. ( )∫
−32
2
3 x
dxx
13. ( )∫ ++ dxxxln 21 27. ∫− 42xx
dx
14. ∫ + dxx24 28. ∫+ 27 xx
dx
Варіант 13
1. dxx
xx∫
+−3
3 2 432 15. ∫ −+++ dx
xxxxx34
35 1
2. ∫ − 49 2xdx
16. ∫ −+− 14218 23 xxxdx
3. ∫
− dxxsin
43 2 17. ∫ +++
dxxxx 22
123
29
4. ( )( )∫
+++ dx
xxsin
35
412 18. ∫ xdxcosxsin 42
5. ∫ −− dx
xxxx23
2
483 19. ∫ dx
3xcos 6
6. ( ) dxx
xarcsin∫
−
+2
2
4132 20. ∫ dxxcosxsin 7
7. ∫ + 299 xdxearctgx 21. ∫ − xcosxsin
xdxsin3
8. ( )∫ −−+
xdxxsin5
54 22. ∫ +− xsinxcosdx
22 534
9. ∫ ++ dx
xxx
1694
4
3
23. ∫ dxxctg 6
10. ∫ +−
+ dxxx
x344
32
24. ∫ dxxsinxcos
55
4
2
11. ∫ xsinxdx
2 25. ( )∫
+−+ 1x21x2
dx3 2
12. ∫ xdx5lnx 2 26. ∫ − dxx3 2
13. ∫ dxx2xarctg 27. ∫− 9xx
dx22
14. ∫ − dxxcose x3 28. ∫+ 2x1x
dx
Варіант 14
1. dxxx
xx∫
++
4 535
54 15. dx8x6x
6x24
3
∫ ++−
2. ∫+ 5x3
dx2
16. ∫ −−+ dxx4x
8xx3
45
3. ∫ + xsinxcosdx
24 2 17. ∫ −− dx
xx1x
23
4. ( )∫
−+
−dxx34cos
x745 18. ∫ dx
2x3sin
2xsin
5. ( )∫
−+ 2x41x2arcsin4dx 19. ∫ dxx5cos 4
6. ∫
+− dx
2112
3xx 20. ∫ dxxcosxsin 45
7. ( )∫ + 9xln4xdx2 21. ∫ +− 1xcosxsin
dx
30
8. ( )∫ +xcos
dxtgx4sin 2 22. ∫ + xsin4xcos3dx
22
9. ∫+
+dx
92xsin4
42xsin
2 23. ( )∫ + dxxctg61 4
10. ∫++
+ dx2x6x9
5x22
24. ∫ dxxcos
xsin6
2
11. ∫ dx2xcosx 25.
( )∫ +−+++ dx
1x1x21x
2
12. ∫ xdxlnx 22 26. ∫− 16xx
dx22
13. ∫ −dx
x1xarcsin 27. ∫ − dxx4x 22
14. ∫ + dxx4 2 28. ∫+ 2x10x
dx
Варіант 15
1. ( ) dxx
x41x 52
∫−− 15. ∫ −+−
+−+ dx5x5xx
5x7x5x23
234
2. ∫− 4x9
dx2
16. ∫ ++ dx
xx4x
23
3. ∫ dx4xcos 2 17. ∫ + 27x
dx3
4. ( )∫
−−+− dx
1x92e 2
x34 18. ∫ xdx4cosx2sin
5. ∫ ⋅−
2xsin
dx
2xctg7
72
19. ∫ dx2x3cos 4
6. dxx91
2x3arctg42
3
∫ +− 20. ∫ dxx2cosx2sin 32
7. ( )∫ +x
dxxln54sin 21. ∫ − 1xcos4dx
8. ∫+
dx4e
ex2
x
22. ∫ −+ xsinxcosxsin45dx
2
9. ∫ −+ dx
xcos45xcos
2 23. ∫ dxxctg 6
31
10. ∫−−
+ dxx4x43
3x2
24. ∫ dxxcosxsin
6
4
11. ∫ xdx2cosx 25. ( )∫ +
+ dxx1x
1x4 3
4
12. ∫ dx2x x2 26. ∫−
dxx2
x2
2
13. ∫−
dxx1
xarcsinx2
27. ∫− 4xx
dx22
14. ∫ dxxlncos 28. ∫+ dx
x3x
2
2
Варіант 16
1. dxx
x3xx3
343 4
∫−− 15. ∫ +− 234 x6x5x
dx
2. ∫+ 7x5
dx2
16. ∫ +−−+−− dx
12x4x3x8x3x3x
23
23
3. ∫− dx
x5sinx5ctg2
2
2
17. ∫ −+−+ dx
2x2xx1x
23
4. ( )∫
−
− dxxsinx 2
734
52 18. ∫ xdxcosx
27sin
5. ∫ − 5x4dxx
3
2
19. ∫ dxxcosxsin 24
6. ( )∫ − dxx43sinx 2 20. ∫ dxxcosxsin 55
7. xdx6cosx6sin3∫ 21. ∫ ++ xcos3xsin53dx
8. ∫ + 2x2arctg
x41dxe 22. ∫ + xsin35
dx2
9. ∫−
+dx
x42xarccosx
2 23. ∫ dxxtg 7
10. ∫−
dxx9x6
x2
24. ∫⋅ xsin
2xsin
dx
11. ∫ dxex x33 25. ∫ +dx
x1x3
3
12. ∫ xxdx7arctg 26. ∫− 3x
dxx2
2
32
13. ∫ dxe x 27. ( )
∫+ 2
32x16
dx
14. ∫ − dxx9 2 28. ∫−+ 2
3
x93dxx
Варіант 17
1. ( ) dxax
axx5xa 22
∫−+ 15. ∫ ++
− dxxx4x4
1x223
2. ∫ − 2x916dx 16. ∫ +++
− dx4x4xx
73x23
3. ∫− dx
x3sinx3tg24
2
2
17. ∫ −+ dx
1x7x
4
4
4. ( )∫
−++− dx
2x41e 2
1x3 18. ∫ xdx3sinx4sin
5. ( )( )∫ ++dx
x911x3arctg5
2 19. ∫ ⋅ dxx2cosx2sin 24
6. ∫− dx
x21x3ln3 20. ∫ dx
2xsin7
7. ( )∫ − xln4cosxdx
2 21. ∫ − xsin2dx
8. ∫ xdx2cosx2sin4 3 22. ∫ −+ xsin5xcos34dx
22
9. ∫+
− dxx5x4x
6
25
23. ∫ −+ dx
2xx1x
10. ∫−+
dxx4x48
x2
24. ∫ xcosdx
6
11. ∫ xcosxdx
2 25. ( )∫ − dxxtg1 3
12. ∫ xdxcosx 2 26. ∫− 222 axx
dx
13. ∫ dxx4xarctg 27. ∫− dxx
x92
2
14. ∫ − dxx2cose x 28. ∫+ 2x25x
dx
Варіант 18
1. dxx
4x5xx 32
∫+−+ 15. dx
x2x2x1xxx
23
25
∫ +++−−
33
2. ∫− 2x91dx 16. ∫ +−−
+ dx4x4xx
2x23
3. ∫− dx
x3cosx3ctg32
2
2
17. ∫ +−dx
xx6x9dx
23
4. ( )( )∫
+−+− dx
1xa
1x3222
5 18. ∫ ⋅ xdx7sinx5cos
5. ∫ −dx
x47x
4
3
19. ∫ ⋅ dxx2cosx2sin 35
6. ∫ −dx
xcos32xsin
2 20. ∫ dxx3sin 4
7. ( )∫ + dxxcos52 xsin 21. ∫ − xsin4dx
8. ( ) dxx45x 5 32∫ − 22. ∫ −+ xcosxcosxsinxsindx
22
9. ( )∫ +
− dxx41
x2arctgx82
5
23. ∫ dxx3cosx3sin
4
2
10. ∫−− 2x2x38
xdx 24. ∫ + xsin1dx
2
11. ∫ 3xdxxln 25. ∫ 3 xx
dx
12. ∫ ⋅ dx2xcosx 22 26. ∫
− 1xxdx
22
13. ( )∫ dxxlncos 27. ( )∫
+322 x1x
dx
14. ∫ + dxx47 2 28. dxx5x 2∫ −
Варіант 19
1. dxx
4xa3
32
32
∫
+
− 15. ∫ ++
dx4x5x
x24
4
2. ∫− 8x
dx2
16. ∫ +−− dx
x4x4x1x5
23
3. ( )∫ + dxx3ctg1 2 17. ∫ −+
1x1x2
3
4. ( ) ( )∫
−++
−dx
3x24
5x5sin
122 18. ∫ dx
4xsin
7xsin
5. ∫ +− dxx5
xx28
73
19. ∫ dxxcos6
34
6. ( )∫ + x4tg1x4cosdx
4 20. ∫ xdx9cosx9sin 37
7. ( )∫ + dxx5cos1x5sin 7 21. ∫ −− 2xcosxsin2dx
8. ( )∫ dxxsinlnctgx 22. ∫ −− xsinxcos4xsin34dx
2
9. ∫ +⋅
−
+
22 x4
dx
2xarctg164
2xarctg4
23. ∫ dxxctg 4
10. ∫−+
+ dxxx616
3x2
24. ∫ dxxsinxcos
6
4
11. ∫ dxxsinxcosx
3 25. ∫ +dx
x1x3
12. ∫−
dxex 2x
2 26. ∫− dx
x1x36
2
2
13. ∫ dxxarctg 27. ∫− dx
xx25
2
2
14. ( )∫ dxxlnsin 28. ∫+ dxx
x14
2
Варіант 20
1. ( ) dxx
x7x123
∫+− 15. ∫ +− 2x3x
dx3
2. ∫ − 2x425dx 16. ∫ +−−
+ dx2xx2x
3x223
3. ∫ xdx3tg 2 17. ∫ +− dx
xx4x
3
3
4. ( )∫
++
−dx
1x16
7x35
12
18. ∫ dx3xcos
2xcos
5. ( )∫ + 2x41x2arctgdx 19. ∫ ⋅ dx
2xsinx2cos 22
6. ∫ − xdx2cos1x2sin3 20. ∫ dxxsin7
7. ∫−
dxe4
ex4
x2
21. ∫ + xcos54dx
8. ( )∫ +−+
2xdx12x4sin 22. ∫ +− xsin3xcosxsin41
dx2
9. ∫ −+ dx
xln169xln342 23. ( )∫ − dxxtg3 5
35
10. ∫−− 2x4x1225
dx 24. ∫ dxxcosxsin
4
2
11. ∫ dx2xsinx 25. ∫
+ dxx
x1
12. ( )∫ −⋅+ dxe1x x32 26. ∫−
dx2x
x2
2
13. ∫−
dxx41
x2arcsinx2
27. dxx9x 22∫ −
14. ∫ + dxx4 2 28. ∫+ dxx
x14
2
Варіант 21
1. dxx
x4ч2
x
23
3 4
43∫
+− 15. ( )∫
+dx
1xx
22
2
2. ∫+ 8x
dx2
16. ∫ +−+ dx
xx4x41x23
3
3. ∫ +dx
xcos5x2sin2 17. ∫ −+−
+ dx6xx6x
1x23
2
4. ( )∫ −+− dxex2 x435 3 18. ∫ xdx7cosx2
5sin
5. ∫ −−dx
eee
xx
x2
19. ∫ dxx2sin4
6. ∫ dxx2cos
x2sin3 2
20. ∫ xdx3cos 3
7. ( )∫ + dxx2cos
14x2tg 27 21. ∫ − 4xcos3
dx2
8. ( )∫ +x
dxxln51 3 22. ∫ +− 5xcosxsin2dx
9. ( )∫ ⋅
−+
xdx
xln4xln29
2 23. ∫ dxxctg 3
10. ∫ ++− dx
6x4x35x2
2 24. ∫ xsin
dx4
11. ∫ dx2xarcsin 25. ∫ −+
++ dx11x11x
12. ( )∫ ⋅+ dxe1x9 x32 26. ( )∫
+322 x4x
dx
13. ( )∫ dx
xxlnln 27. ∫ − dx4x 2
36
14. ∫ dx2xsinx 2 28. ∫
−dx
x9x
2
2
Варіант 22
1. ( )dxxxx2 3
∫+ 15. ( )
∫ ++− dx
16x4x4x7x3
23
2. ∫− 4x9
dx2
16. ∫ +−+ dx
x4x4x2x
23
3
3. ∫ − x6cosx3cosdx
2 17. ∫ ++ x5x4xdx
23
4. ( ) ( )∫
−−−
−dx
3x4
53x2
123 18. ∫ ⋅ dxx
25sinx
23sin
5. ( )∫ + x3cosx3tg1dx
2 19. ∫ ⋅ dx2xsinx2cos 2
6. ∫ −+ dx
x3644x3arccos
2 20. ∫ ⋅ dxxsinxcos 33 2
7. ∫+
dx5e
et2
t
21. ∫ − xsin3xcos4dx
8. ( )∫ +x
dx4xlnctg 22. ∫ −+ xcosxcosxsin2xsindx
22
9. ∫ ⋅−
+ dxxsinxcos4
3xcos2
23. ∫ dxx5ctg 4
10. ∫−−
− dxxx23
3x2
24. ∫ ⋅ xcosxsindx
53
11. ∫ dxxxln
3 2 25. ∫ ++
dx1x2
x3
12. ( )∫ + dxx2sin1x6 2 26. ∫− dx
x4x
3
2
13. ∫ dxx1arcsinx 27.
( )dx
x3
x32
2
∫−
14. ∫ − dxax 22 28. ( )∫
+32x9
dx
Варіант 23
1. dxx7x
3x2 3 54∫
+−
+ 15. ∫ +−
+ dxx6x5x
1x23
3
37
2. ∫− 2x94dx 16. ∫ +++
+ dx1xxx
4x323
2
3. ∫ dx3xsin 2 17.
( )( )∫ +−+++ dx
2x2x6x13x6x
3
23
4. ( )( )∫
−+−+ dx
2x94x7 2
4 3 18. ∫ ⋅ dxx7cosx5sin
5. ∫ +−− dx
7x4x32x3
2 19. ∫ ⋅ dxxcosxsin 42
6. ∫ ⋅ dxx2sine xsin2 20. ∫ ⋅ dxx2cosx2sin 33
7. ∫−
dxx2sin3
3x2ctg82
3
21. dxxctg 5∫
8. ∫ + xln4xdx
22. ∫ +⋅− 1xsinxcos4xcosdx
2
9. ( )∫ −+ dx
xln1xxln4
2 23. ∫ −+ 2xcosxsin2dx
10. ∫+− 9x10x25
dx2
24. ( )∫ − dxxsec1 4
11. ∫ dxxlnx 2 25. ∫ −+ dx
x2x2
12. ∫ xdx3cosx 2 26. ∫− 222 axx
dx
13. ∫ dx3x x 27. ( )∫
+322 x9x
dx
14. ( )∫ dxxlnsin 28. ( )∫
−32x5
dx
Варіант 24
1. ( ) dxx
x41x22
22
∫−+ 15. dx
1xx
3∫ −
2. ∫ − 2x94dx 16. ∫ −−
−− dxx6xx
1xx223
2
3. ( )∫ −+ dx3xe3 x3xx 17. ∫ −− dx
xx41x
23
3
4. ( )
( )∫
−+
+−dxx32sin
3x4
12
18. ∫ xdx5cosx7cos
5. ( )∫ + 3x2tg2x2cosdx
2 19. ∫ dxx11cos 4
38
6. ∫ xlnxdx
2 20. ∫ ⋅ dxxsinxcos 3 23
7. ( )∫ +
+ dxx1
1arctgx2
5
21. ∫ − xcosxsindx
8. ( ) dxx4x1x 5 43∫ +⋅+ 22. ∫ dxx3cosx3sin12
2
4
9. ∫+
+ dxx9xx
4
3
23. ( )∫ + dxx2tg1 3
10. ∫ −+− dx
2x2x1x3
2 24. ∫ + xsin4
dx2
11. ∫ − dxex2x3 25. ∫
+
+ dxxx
1x6 56 7
6
12. ∫ xdx5arctg 26. ( )∫
+32x25
dx
13. ( )∫ + dxe31lne xx 27. ∫ − dxx4x 23
14. ∫ − dxx9 2 28. ∫− dx
x2x
3
2
Варіант 25
1. dxx
xx5x 33 2
∫−− 15. ( )∫ +− 9x6xx
dx2
2. ∫+ 2x94dx 16. ∫ −
+− dxx9x
5xx23
34
3. ∫ −+ dx
x4cos1x2sin31 2
17. ∫ ++ 4x5xdx
4
4. ( )( )∫
−−++ dx
3x4
16x7sin2
18. ∫ ⋅ xdx5cosx3sin
5. ( )∫
−+dx
x41x2arccos33
2 19. ∫ ⋅ dxx2sinx2cos 43
6. ( )∫ −− dxx45e 3xx5 4 20. ∫ dx3xsin 4
7. ( )∫ + 5x3cosxdx
22 21. ∫ +− xcosxsin2dx2
8. ( )∫ +3 2
43
xdxx1 22. ∫ dx
xcosxsin
6
4
9. ∫ +− dx
x5x4x6
25
23. ∫ dxx3tg 5
39
10. ∫++
+ dxxx43
1x2
24. ∫ ⋅ xsinxcosdx
44
11. ∫ x2cosxdx
2 25. ∫ ++ dx
1x21x
3
12. ( ) ( )∫ −− dx2xln2x 2 26. ∫− 16xx
dx22
13. ( )∫ + dxxarcsin2 27. ( )∫
+32x7
dx
14. dx16x 2∫ − 28. ( )∫
−32
2
x3
dxx
Варіант 26
1. dxx
xxx∫
−+3
2 4 15. ∫ +++ dx
xxxx
341
23
3
2. ∫+ 254
52xdx 16.
( )( )∫ ++ 221 xxdx
3. ∫− dx
xxln3 17. ( )( )∫ ++ 11 2xx
xdx
4. ∫
+
−+ dx
xx 132
523 18. ∫ dxxsin
43
5. ∫ dxxsinxcos
33
3 19. ∫ dxxcosxsin
4
3
6. ∫ +++ dx
xxx
7421
2 20. ∫ xdxtg 24
7. ( )∫ +16
32
2
xsindxx 21. ∫ − xcosxsin
dx2
8. ∫ +− dx
xxx9
48
73
22. ∫ + xsindx
23
9. ∫−⋅ 2412 xxarccos
dx 23. ∫ xcosdx
4
10. ∫ ++− dxxx
x54
132
24. ∫ ⋅ dxxcosxsin 53
11. ( )∫ + dxxln 12 25. ∫ ++ 11 xdx
12. ( )∫ + xdxcosx 512 26. ∫+ dx
xx
2
2 4
13. ∫ dxxarctg3 27. ∫−12xx
dx
40
14. dxxx
∫ ⋅ 22 28. dxx∫ − 216
Варіант 27
1. dxx
xx x
∫−− 82 3
15. ∫ +− dx
xx
142
3
2. ∫− 241 xdx 16. ( )∫
−
−+ dxx
xx22
3
112
3. ∫ dxxsinxcos
24
2 17. ∫ ++− dx
xxxx23 2
21
4. ∫ +dx
xxarctg
2
3
412
18. ∫ dxxsin5
3
5. ( )∫
++−+ dx
xe x
314
245 19. ∫ ⋅ dxxcosxcos
452
6. ∫ +1xlnxdx 20. ∫ dxxcos 24
7. ∫−
dxxcos
xsin216
22
21. ∫ − xcosxsindx
8. ( )∫ −− ⋅ dxesine xx 22. ∫ +⋅+ 122 xcosxsinxsindx
9. ∫ dxxtg2
3 23. ∫ dxxctg4
3
10. ∫ ++− dxxx
x56
142
24. ∫ dxxcosxsin
2
4
11. ( )∫ + dxxsinx2
2 25. ∫ −−− 4 11 xxdx
12. ∫ − dxex x2 26. dxxx∫ − 22 25
13. ∫ dxxlog 32 27. ( )∫
+32 1x
dx
14. ∫ dxxarccos 2 28. ∫− 422 xx
dx
Варіант 28
1. ( ) dxx
xxx∫
−+2
321 15. ( )( )dxxx
x∫ ++ 121
41
2. ∫ + 83 2xdx 16. ( )∫ ++
+− dxxxx
xx12
232
2
3. ∫⋅ dx
xxlnsinxlncos 17. ( )∫ +12xx
dx
4. ∫
+
+− dxe
xx4
165 18. ∫ dx
xcosxsin
33
4
2
5. ∫ dxxcos
xtg2
22
3
19. ∫ ⋅ dxxsinxsin 52
6. ∫ −++ dx
xxx
12313
2 20. ∫ +− dx
xcosxcos
11
7. ∫ +dx
xx
168
3
21. ∫ + xcosxsindx
8. ∫ +−
44
4
3
xcosxcosxcos 22. ∫ +− xsinxcos
dx22 534
9. dxx
xarcsin∫
+ 2
3
913 23. ∫ ++ 3 11 x
dx
10. ∫++
− dxxx
x22
12
24. ∫ + xcosdx
1
11. ( )∫ + dxxcosx3
53 25. ∫ ⋅+dx
xcosxsinxcos
12
12. ∫ ⋅ dxx x22 26. ∫+ dxx
x4
21
13. ∫ dxxarcsin 4 27. ∫− dxx
x2
21
14. ∫ dxxlog 25 28. ∫−1622 xx
dx
Варіант 29
1. dxx
xx
∫⋅−⋅
23223 15. ( )( )∫ ++
− dxxx
x21
13
2. ( ) dxx∫ −3 238 16. ( ) ( )∫ −⋅+ 33 2 xx
dx
3. ( )∫
−
−+ dxx
xx32
2
1
1 17. ( )( )∫ +− 22 2xxdx
4. ∫−
− dxxcos
2
42 π 18. ∫ ⋅ 22 ϕϕ cossin
dx
5. ∫ ⋅− dxxe x 23 19. ∫ dxxcos 34 42
6. dxae
ex
x
∫ + 23
3
20. ∫ ⋅ dxxcosxsin 35
7. ∫−
dxx
x6
2
1 21. ∫ + xsin
dx45
8. ∫ dxx
e x
22. ∫ + xsindx
23
9. ∫−
− dxx
xsinsrcx21
2 23. ( )∫ + dxxsin 232
10. ∫−−
− dxxx
x223
3 24. ∫ − dxxcosxcos 3
11. ∫ dxarctgx 25. ∫ −dx
xx
1
12. ∫ ⋅ dxex x22 26. ∫− dx
xx 12
13. ∫ ⋅ dxxcosx 4 27. ∫+ dxx
x2
21
14. ∫ dxxsine x2 28. ∫− dxx
x6
21
Варіант 30
1. dxx
xxexx x
∫−+−
2
2 13 15. ∫ −− dx
xxx
2
2
41
2. ∫−169 2x
dx 16. ∫ − 24 xxdx
3. ∫ ⋅ dxxsinxcos 2 17. ∫ −dx
xx
13
4. ∫
++
+ dxx
x 133
212
3 18. ∫ dxxctg 5
5. ( )∫ +
dxx
xarcctg2
3
412 19. ∫ dxxsin 33
6. ∫+ dx
xxln 52 20. ∫ ⋅ dxxsinxsin
55
7. ( )∫ +⋅ dxxsinx 132 21. ∫ − xcosdx35
8. ∫− 425 xdxx 22. ∫ ⋅++ xcosxsinxsin
dx62 2
9. ∫ −− dx
xxx9
324
3
23. ∫ xsindx
4
43
10. ∫−+
+ dxxx
x12
102
24. ∫ dxxtg 22
11. ∫ dxxsin
x2 25. ∫ +
dxx
x1
12. ( )∫ + dxxlog 12 26. ( )∫
− dxx
x4
3225
13. ∫ dxxarcsin4
27. ( )
∫+ 2
52 3x
dx
14. ∫ ⋅ dxxcose x 5 28. ∫− 92xx
dx
ЛІТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1 и 2. – М.: Наука, 1975.
2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х час-тях. – М.: Высшая школа, 1986.
3. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. Підписано до друку 20.08.08. Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский. Облік.-вид. арк. 2,58. Умов. друк. арк. 2,56. Тираж 100 пр. Замовлення №
Національна металургійна академія України 49600, м. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4
_______________________________ Редакційно-видавничий відділ НМетАУ
44
