Page 1 of 14

مقدمة. جمموعات: 3االحصاء عبارة عن

Collection Presentation Analysis

Stat 500 AS507

حمتوايت ادلقرر: (.Probability Theoryنظرية االحتماالت ) .1

(.Probability Distributionدالة التوزيع االحتمايل ) .2

(.Sampling Distributionتوزيع العينة ) .3

اختبارات الفروض. .4Chapter 1: Probability

هناك نوعني من التجارب: (2)التجربة العمدية )ال هتمنا( (1)(.Random Experiment) التجربة العشوائية

ولكن ال ميكن ان نعرف اي ،مقدما هانعرفتقدان ايل جمموعة من النتائج، ىذه النتائج ىي جتربة التجربة العشوائية )احلدث الفعلي يتم حتديده بعد اجراء ال بعد اجراء التجربةإمن ىذه النتائج رمصل عليها وال ترتيب النواتج

التجربة فعلياً(، ومن مث ميكن جتميع تلك النواتج يف جمموعة أمسها فراغ العينة.

عشوائيةالتجربة لل املمكنةنواتج الحتتوي علي مجيع اليت أو اجملموعة الفئة ىو (:Sample space) فراغ العينة(Domain ،) وتكتب هبذه الصيغة:(ملك، كتابة) املعدنية عملة( وال6 ،5 ،4، 3، 2، 1)مثال زىرة نرد ،

S = {H, T} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = {D, N} D = Defective

ع فراغ العينة:ا نو أ (Discreteمتقطع ) (Continuousمستمر أو متصل )

( uncountableوىو املدى املتصل، غري قابل للعد )بل يشكل فًتة )الطول أو الوزن( حتتوى عدد ال هنائي

([ ] من القيم )

وىو نقط حمددة قابلة للعد )عدد األفراد أو السيارات(

(Infiniteغري حمدود ) (Finiteحمدود )

، وأوراق اللعب الكوتشينة(coinرمي عملة )، (dieزىرة النرد ) ل العينة العشوائية: ئ( أشهر وسا1) النتائج وبدقة، حىت قبل إجراء التجربة فعاًل، مثل القرص على زىرة النرد ومعرفة الرقم الناتج مسبقاً.( ىنا يتم حتديد 2)

Page 2 of 14

التايل:ويتم كتابة فراغ العينة املتصل ابلشكل S = {x : 0 ≤ x ≤ 100, x R}

" وىو ميثل عدد العناصر داخل فراغ العينة.Orderمالحظة: فراغ العينة لو ما يسمى "

ىي جمموعة من الفئات اليت حيتويها فراغ العينة، وميكن معرفة عدد الفئات اجلزئية (:Sub Setالفئة اجلزئية ) احملتملة من القانون التايل:

=2Order

, Order = يف السحب مع االرجاع عدد عناصر فراغ العينة or {} ,{H, T} ,{T} ,{H}مثال: اجملموعات اجلزئية من رمي عملة معدنية، عدد أربع جمموعات ىي:

ولو ثالث أنواع من حيث وقوعو: (3)،ي فئة جزئية من فراغ العينةىو أ (:The Event) احلدث

(Sureحدث مؤكد ) (Probableاحتمايل )حدث (Impossibleحدث مستحيل )

P=0 0 < P < 1 P=1

أما عند التحدث عن العالقة بني األحداث فنجد: (The Independent Eventsاحلدث ادلستقل ) (Mutually Exclusive Eventاحلدث مانع )

وقوع حدث مينع وقوع اآلخر: ملك وكتابة، ورقم فردي وزوجي يف النرد

احدمها ال يؤثر على احتمال وقوع اآلخر، حدثني وقوع (4)غري مًتابطني.

.(Compliment Event) احلدث ادلكملAويرمز لو ابلرمز )

c( أو )A’ ويعترب احلدث املكمل حداًث مانعًا ألن وقوع احلدث يتناىف مع املكمل، كما أن ،) (5).احلدث ومكملو ميثالن فراغ العينة

P (A) + P (A’) = 1

تعترب حدث، حىت اجملموعة الفارغة )فاي( ىي أيضاً حدث.( كل فئة جزئية يتم استخراج من فراغ العينة 3)فإن احلدثني غري يف جتربة رمي العملة املعدنية ذمد أن ظهور الصورة ينفي ظهور الكتابة وابلتايل نالحظ أن ظهور الكتابة متعلق بعدم ظهور الصورة، لذا ( 4)

نافيان مها حداثن غري مستقلني، احلداثن املستقالن مها حداثن غري متنافية، االحداث غري املتنافية مستقلني على الرغم من كوهنما متنافيني، النتيجة: احلداثن املت قد تكون مستقلة أو غري مستقلة، وكذلك األحداث غري املستقلة فقد تكون متنافية أو غري متنافية.

،P=3/36أو أقل، 3، وللسهولة ميكن حساب القيم اليت = 3اكرب من رمييت النردأوجد احتمال ان يكون جمموع مثال:( 5) p(A)=1-p(Ac) = 1- (3/36) = 33/36

Page 3 of 14

الفرق بني احلدثني ادلانع وادلكمل:

احلدث ادلكمل احلدث مانعA B = A B = , A B = S

من اجلدول نالحظ أن احلدثني املتممني مها حدثني متنافيني وليس العكس.

:حساب االحتمال (.Empirical prob) االحتمال التجرييب (.Mathematical prob) او النظري االحتمال الرايضي

االصلية لبياانتليعتمد على التكرار النسيب حيسب بطريقة تعتمد على فراغ العينة واحلدثقد يصعب يف احلياة العملية إجراء التجربة مرات كثرية وابلتايل نعتمد على االحتمال الرايضي، ومع تكرار العينة

وما يهمنا ىنا ىو "االحتمال الرايضي" املعتمد على فراغ العينة (6)نصل ابالحتمال التجرييب لالحتمال الرايضي. واحلدث.

الرايضي: خطوات حساب االحتمال (.nعناصره )حتديد عناصر الفراغ وعدد ، مث فراغ العينة وصف .1

(.mمن فراغ العينة، وعدد عناصره = ) فئة جزئية( وىو Aث )رمدد احلد .2 ابلقانون: (A) حساب احتمال احلدث .3

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} القيت زىرة نرد مثال: ½ = E1 = {2, 4, 6}, P1 = 3/6 عدد زوجياحتمال احلصول علي .1 E2 = {5, 6}, P2 = 2/6 = 1/3 4رقم أكرب من احتمال احلصول .2 E3 = {}, P3 = 0/6 = 0 1احلصول على رقم أقل من احتمال .3 من املسلمات أن قيمة االحتمال تقع بني الصفر والواحد، وال توجد قيم سالبة، وميكن كتابتها: وطبعاً

0 ≤ P (E) ≤ 1

% عكس االحتمال الرايضي 33% و66رميات سيكون االحتمال 3%، وبعد 51%، رغم ان احتماهلا 111( فمع رمي عملة مرة واحدة تكون النتيجة 6)

تجرييب مع احلسايب.، ومع التجربة لعدد كبري يتالقي االحتمال ال51%

Page 4 of 14

القيت زىرة نرد مرتني مثال: E1 ={11, 22, 33, 44, 55, 66}, P1 = 6/36 احتمال احلصول علي وجهني متشاهبني .1 E2 ={46, 55, 64}, P2 = 3/36 11احتمال احلصول على وجهني جمموعهم .2 E3 ={11}, P3 = 1/36 3احتمال لن يكون جمموع الوجعني اقل من .3 E4 ={11, 12, 13, 14, 15, 16}, P4 = 6/36 من الزىرة األويل 1احتمال احلصول علي رقم .4

ودمكن أن نرسم شكل االرقام مع القاء زىر النرد مرتني للتسهيل.

66 65 64 63 62 61 6 56 55 54 53 52 51 5 46 45 44 43 42 41 4 36 35 34 33 32 31 3 26 25 24 23 22 21 2 16 15 14 13 12 11 1 6 5 4 3 2 1 -

نظرية مجع االحتماالت: P (A B) = P (A) + P (B) لو احلدثني مانعني

P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) لو ىناك تقاطع بني االحداث )غري مانعة(

.4مثال: القيت زىرة نرد ما ىو احتمال احلصول علي رقم فردي او اكرب من A = {1, 3, 5}, P (A) = 3/6

B = {5, 6}, P (B) = 2/6

AB = {5}, P (A B) = 1/6

P (A B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 مثال:

Male (M) Female

Smoking (S) 4 1 5

Not smoking 3 2 5

7 3 10

ما احتمال احلصول على ذكر مدخن:P (M S) = P (M) + P (S) - P (M S) = 7/10 + 5/10 - 4/10 = 8/10

Page 5 of 14

(.Conditional probabilityاالحتمال الشرطي ) (7)(.Bبشرط ) (Aعالقة بني حدثني، أحدمها مشروط وقوعو بوقوع الشرط الثاين، ويعين )

= P (A / B) (B( بشرط )Aاحتمال احلدث )

= P (B / A) (A( بشرط )Bاحتمال احلدث )

التقاطع احتمالاالحتمال املشروط = الشرط احتمال

(8)بشرط. حداثن مستقلني A, Bيقال احلدثني : استقالل األحداث

P (A / B) =

P (B / A) =

(؟ ال، لكن قد حيدث صدفة.A / B( = )B / Aىل شرط أن يكون: )

:اوجد احتمال ان يكون )أو زهرة نرد مرتني( القيت زهرتني ترد: مثال

(.B) 4او جمموعهم (A) الوجهان متشاهبان .1

P (A) = 6/36, P (B) = 3/36, P (A B) = 1/36

P (A or B) = P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 6/36 + 3/36 – 1/36 = 8/36

(.B) 4وجمموعهم (A) الوجهان متشاهبان .2

P (A) = 6/36, P (B) = 3/36, P (A B) = 8/36

P (A and B) = P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 6/36 + 3/36 - 8/36 = 1/36

(.B) 4 بشرط ان يكون جمموعهم (A) الوجهان متشاهبان .3P (A) = 6/36, P (B) = 3/36, P (A B) = 1/36

P (A/B) =

=

= 1/3

( ىو احتمال التقاطع بينهماA and B( احتمال )7) ، لو كان احلدث غري مؤثر على االخر يكون مستقلني( كيف ميكن أن رمكم على احلدث ىل ىو مستقل أم ال، من خالل حساب احلدث الشرطي 8)

Page 6 of 14

(.A(، بشرط الوجهني متشاهبني )B) 4جمموعهم .4

P (B / A) =

=

= 1/6

ىل احلدثني مستقلني؟ .5

P (B / A) ≠ P (B) ىناك تقاطع وابلتايل مها حدثني غري مستقلني

(:Multiplicationقانون ضرب االحتماالت )

االحداث غري املستقلة االحداث املستقلةP (A B) = P (A) × P (B) P (A B) = P (B) × P (A / B)

P (A / B) =

= P (A) P (A / B) =

مثال:

طالب طالبة علمي 2 4 6 أديب 2 4 612 8 4

املطلوب: (.B( علماً أبنو علمي )Aاحتمال طالب ) .1

P (A) = 4/12 = 1/3, P (B) = 6/12 = ½ , P (A/ B) = 1/3 × ½ = 1/6 (9)

P (A / B) = P (A B) / P (B) =

= 1/3 = P (A) احلداثن مستقالن

أي أنيت ابحتمال ، االستقالل أييت من )االحتمال الشرطي( وليس من )ضرب االحتماالت(مهم: احلكم على احلدث واحلدث الشرطي ونقارهنما، وليس من تقاطع احلدثني، والقيمة من اجلدول ونقارهنما

2/12( من اجلدول = 9)

Page 7 of 14

اذا احتماالتكرات بيضاء اوجد سحبت كرتني علي التوايل اوجد 7كرات محراء و 3صندوق حيتوي علي : مثال (11).وبدون ارجاع إبرجاعكان السحب

الكرتني هلم نفس اللون .1 الكرتني خمتلفتني اللون .2

الكرة الثانية بيضاء .3

احلل:

الكورة األوىل

الكرة الثانية

S االحتمال مع عدم االرجاع االحتمال مع االرجاع

1st 2

nd P1 * P2 1

st 2

nd

R R RR 3/10 3/10 9/100 3/10 2/9 P(R) * P(R/R)

W RW 3/10 7/10 21/100 3/10 7/9 P(R) * P(W/R)

W R WR 7/10 3/10 21/100 7/10 3/9 P(W) * P(R/W)

W WW 7/10 7/10 49/100 7/10 6/9 P(W) * P(W/W)

غري مستقلة مستقلة

، بدون ارجاع: اسحب األوىل، مث الثانية بدون ارجاع الكرة األوىل، ارجاعها وسحب الثانية بعد االرجاعويعين سحب اول كرة وتسجيل اللون مث االرجاع: ( 11)

وابلتايل اإلرجاع ال يؤثر، وعدم االرجاع يؤثر.

Page 8 of 14

متارين الباب األول .3 أو 2القيت زهرة نرد أوجد احتمال احلصول غلى رقم يقبل القسمة على .1

A ={2, 4, 6} P (A) = 3/6

B = {3, 6} P (B) = 2/6

P (A or B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6

القيت زهرتني نرد متوازيتان، أوجد االحتماالت اآلتية: .2

a. .احتمال أن يكون جمموع الوجهني فردى

P (A) = 18 / 36

b. اح( تمال أن يكون الوجهني متشاهبنيA )6و جمموعهم أ (B).

A = {11, 22, 33, 44, 55, 66} P (A) = 6/36

B = {15, 24, 33, 42, 51}

P (A or B) = 6/36 + 5/36 – 1/36 = 10/36

c. 6اذا كان جمموع الوجهني (A )ما احتمال أن يكون متشاهبني (B).

P (B / A) = 1/36 ÷ 5/36 = 1/5

أوجد: بدون ارجاعاتن ر كرات سوداء، سحبت ك 7كرات محراء، 3كيس به .3

a. احتمال أن تكون احدامها سوداء (A) واألخرى محراء (B).

P (A and B) = 7/10 * 3/9 = 21/90

b. .احتمال ان تكوان من نفس اللون

P (AA or BB) = 7/10 * 6/9 + 3/10 * 2/9 = 48/90

c. أوجد االحتماالت السابقة. إبرجاعاذا كان السحب

P (AB) = 7/10 * 3/10 = 21/100

P (AA or BB) = 7/10 * 6/10 + 3/10 * 2/10 = 48/100

القيت عملتان متوازيتان، ما هو احتمال ان حنصل على: .4

S = {HH, HT, TH, TT}

a. .صورة من العملة االوىل

P (A) = 2/4 = ½

Page 9 of 14

b. .صورة واحدة على االقل

P (B) = 3/4

c. .صورة واحدة

P (C) = 2/4

d. .وجهان متشاهبان

P (D) = 2/4 من جمموعة أوراق اللعب سحبنا ورقتني بدون إرجاع أوجد: .5

a. احتمال أن تكون أحدامها محراء (A) واألخرى صورة (B).

P (A B) = 26/52 * 12/51 = 0.12

b. 4اذا كانت الورقة املسحوبة أقل من (A)أوجد احتمال أن تكون محراء ، (B).

P (A) = 12/52, P(B) = 26/52

P (B / A) = 6/52 ÷12/52 = ½

.11أو 7أن يكون جمموع الوجهني عند رمي زهرتني متوازنتني ما هو احتمال .6

A={16, 25, 34, 43, 52, 61} P (A) = 6/36

B = {46, 55, 64} P (B) = 3/36

P (A or B) = 6/36 + 3/36 = 9/36

يف عينة مكونة من عشرة أشخاص وجد اآليت: .7

اجملموع (Fطالبة ) (Mطالب ) 2 3 5 (Aعلمي ) 1 4 5 (Bأديب )

11 7 3 اجملموعاختيار شخص عشوائي ما ىو احتمال أن يكون طالب أو من الشعبة العلمية. اذا كان الشخص املسحوب من

الشعبة االدبية أوجد احتمال أن تكون طالبة.P (M) = 3/10 P (A) = 5/10 P(A and M) = 2/10

P (M or A) = 3/10 + 5/10 - 2/10 = 6/10

P (F /B) = 4/10 ÷ 5/10 = 4/5

Page 10 of 14

أو صورة من العملة (A) من الزهر 3القيت زهرة وعملة أوجد احتمال احلصول على رقم أقل من .8(B) 5، اذا كان ما يظهر من الزهرة رقم أكرب أو يساوي (C ).أوجد احتمال احلصول على صورة

P (A) = 2/6

P (B) =1/2

P (C) = 2/6

Sheet (1)

.التاليةاكد على مدى صحة او خطأ العبارات :السؤال األول التجربو العشوائيو ىى جتربو مؤكده اذا تكررت حتت نفس الظروف فمن املؤكد مالحظو نفس النتيجو. .1

ان نستطيع ال ولكن نتائجها جبميع مسبقا علمون ،موكده وليست احتمالية جتربة ىي ابهنا العشوائية التجربة نعرف ، خطأ تظهر او ستتحقق النواتج ىذه من أي نتأكد

p(A)=0.5 متثل ظهور ثالث صور عند القاء قطعو نقود مره واحده فإن ( A) إذا كان .2

، ىذا حدث مستحيل ألنو ال ميكن حدوثو، واحلدث خارج فراغ العينةP(A)=0خطأ،

3. التساوي، ولو ىناك تقاطع يتحقق شرط أن االحتاد أقل من جمموع االحتمالني صحيح، ألن لو التقاطع = صفر يتحقق

.1.25رسوبو احتمالفإن 1.65إذا كان احتمال ذماح امحد ىف ماده معينو = .4

1.35، والصح أن احتمال رسوبو = 1 ≠جمموع االحتمالني نخطأ، لأل

بينما .5

، بينما النصف اآلخر صح خطأ،

: A,Bالسؤال الثاىن :مىت يتحقق كال من الشروط التاليه للحدثني 1. P(A B) = P(A) + P(B)

حدثني متنافيني Bو Aيتحقق عنما يكون احلدث

Page 11 of 14

2. P(A|B) = P(A)

مستقلنيحدثني Bو Aيتحقق عنما يكون احلدث

Page 12 of 14

: السؤال الثالث

A={2,4,6 }, B={1,3,5} حجر النرد مرة واحدة فإن:إلقاء يف جتربة

احداث شاملو ومتنافيو ؟A,B ىل يعد

P (A) + P (B) = Sنعم احداث شاملة ألن:

واحداث متنافية ألن التقاطع = صفر

السؤال الرابع :، أوجد احتمال 1.1ذماح أمحد ودمحم معاً يساوي ، واحتمال1.6إذا كان احتمال ذماح دمحم يف أحد االختبارات يساوي

ذماح دمحم ورسوب أمحد.

، وابلتايل تكون املعطيات:(B(، وأن ذماح أمحد ميثل )Aنفًتض أن ذماح دمحم ميثل )

P (A) = 0.6, P (A B) = 0.1, P (A B’) = ?

P (A B’) = P (A) - P (A B) = 0.6 - 0.1 = 0.5

السؤال اخلامس:واحتمال أن ىذا املتربع مصاب بضغط 1.35ىو (Aإذا كان احتمال أن تكون فصيلة دم أحد املتربعني من النوع )

1.4( ىو Aواحتمال أن ىذا املتربع مصاب بضغط الدم أو فصيلة دمو من النوع ) 1.15الدم ىو

( A( احتمال فصيلة دمة )3( وغري مصاب بضغط الدم، )A( عينة دمة )2، )غري مصاب بضغط الدم( 1املطلوب: ) ( ىل مها مستقلني؟4بشرط مصاب بضغط الدم، )

( تعين اإلصابة مبرض ضغط الدمB، )A( أن تكون فصيلة الدم Aرمدد االحداث أواًل، )

P (A) = 0.35, P (B) = 0.15, P (A B) = 0.4

1. P (B’) = 0.85 2. P (A B’) = P (A) - P (A B) التقاطع أوالً للتطبيق جيب احلصول على

P (A B) = P(A) + P(B) - P (A B) 0.4 = 0.35 + 0.15 - P (A B), P (A B) = 0.1 P (A B’) = 0.35 - 0.1 = 0.25

3. |

= 0.1/0.15 = 0.66

Page 13 of 14

)غري مستقالن( ملعرفة ىل مها مستقالن ىناك طريقتني: .4

P (A B) = P (A) × P (B) | 0.1 ≠ 0.65 × 0.15 = 0.0975 0.66 ≠ 0.65

:السؤال السادس اجلدول التايل يصنف أربعمائة شخصاً حسب عادة التدخني ومستوى ضغط الدم على التوايل:

عادة التدخني (D) يدخن ال يدخن اجملموع

لدمط ا

ضغوى

متس

(A) مرتفع 41 11 51 متوسط 71 131 211 منخفض 55 95 151 اجملموع 165 235 411

( حادث اختيار شخص ضغط Aولتكن التجربة ىي اختيار أحد ىؤالء االفراد بشكل عشوائي، ولنعرف األحداث ) الشخص املختار: ( حادث اختيار شخص مدخن، املطلوب ىو اجياد احتمال أن Dدمو مرتفع، )

P (A) = 50/400 ضغط دمو مرتفع. .1

P (D) = 165/400 مدخن. .2

P (A D) = 40/400 ضغط دمو مرتفع ويدخن. .3

| ضغط دمو مرتفع علما ابنو مدخن . .4

= 40/165

No, | P (A) ؟ ملاذا؟ مستقلني A, Dىل احلادثني .5

السؤال السابع:

عند القاء قطعو نقود ثالث مرات احسب احتمال ظهور صورتني ىف النتيجة. .1

( ميثل ظهور الصورةT)احلدث

S = {TTT, TTH, THT. THH, HTT, HTH, HHT, HHH}

P (2T) = 3/8

Page 14 of 14

ابملبارة بيساوى ضعف إحتمال فوز Aوكان إحتمال فوز اللعب A , Bمباره معينو اذا كان ىناك العبني يف .2 يفوز مرة على االقل عند إقامة املبارة مرتني. A.إحسب إحتمال ان اللعب (B) اللعب

2X( = B، يكون احتمال فوز الالعب الثاين )X( = Aلو فرضنا أن احتمال فوز الالعب األول )

P (A) = 1/3, P (B) = 2/3

S ={AA, AB, BA, BB}

P (W1) = 3/4