200
@ ò î ö b— y / a @t ì z j Û a ë @k í Š ‡ n Ü Û @ï i ‹ È Û a @‡ è È ¾ a @

اساسيات الاحتمالات

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: اساسيات الاحتمالات

@ò î ö b — y ⁄ a @t ì z j Û a ë @k í Š ‡ n Ü Û @ï i ‹ È Û a @‡ è È ¾ a@

�������� ����

��������� ����� �� ���� ������ ������

� � ���� �� �� � � � �� � �� � �� � ��� � � ��� � � � � �� �� � � ��

Page 2: اساسيات الاحتمالات

1

��������������������

������ � �� ���� ��������� ��� ���� �� ������ ����� � � � � � � � �� ��� � �� � ��� � � �! ��� " ����# $ � �� � �% � & ���

��� �! ��� � � �� �� � ' � � �� ������ � � �( ��� ' �) � ' �( ���. � " �+ � , � - . � , � �/ �� � 0 �. � �� �1 � � 2 �� 3 � � �+ � ��(

4 ��� , � / 5 � � �� ���� ���� � ' 6 �7 �� " 1 �� � 8 �9 �� �1 � : �� 2 � �� �� ��� 5 , �) , � 6 ��� �� � � 7 ' , ���� ( � ; ��' 0 �. � �� � ' � + � ' � ��� �� < ( = � �� , � � ��� > 1 � � = �( �� , � � �� 7 �� � ( ? � -

�� � > � @ � � �� �� � 6 �� � �� & �� �� . ( 8 �9 �� �1 � � ��# � �1 � �� 8 � ���� < ���� �� ���� ��������� % ��5 ��� ��� A � ��� � �� � � ��# � ��� �����

�������� > 1 � 8 ���) � �A ���� , ������ - # ���� .( + �� 7 �� ��������� , + 6 + � ! < �D ' �. D � � ��� �� - ����� < ( �) � ��� - ( �� ���

�� ��( �� �� � �� , � � ���. �� ����� �� ��� � �� � �.

� � � �

.����� �� ���� �

Page 3: اساسيات الاحتمالات

2

� � � � � � � � � � � � �

Page 4: اساسيات الاحتمالات

3

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �

PROBABILITIES

� ��������� ��� ������ �� � � � ��� ������� ��� �� �� " � � � � � �

� � � � � � � � � � � �(E v e n t )� � � � . " � � � � �! �� ���� " ��# ! $ ���� �% ��� & ' �����% �� (�) !

(* ) � ���% '�! ���� �� ���� + ����� ��� �� ������� �� ��� �� �, �� & % �% � " �- �� & ' $ ����� . ��/ �� 0 1 % � $ ���2 � ���� �% � $ ����� $ ����� . ��/ ��

+ ����� " ��� �� ��' 3 � & ��� $ ���� . 4�� ������ �� ���% �� % � 5 �, ! $ - �"& ���� " �. � 4�# �� �� �� � ��� $ ��� � ��)52 (� �. $ - 4/1

�� $ ��� � �� � ��� $ - � �% ��� �� �, 9 �% % � �. $ ����� & ' : % �% �� �; ' & ' & ���� $ - � < # � �= �% �� > - ��% �% % ? ' " �� � � 4�# ��4/1 " ��

���� � �@ 5 �, � 4����"& ������ " �. $ ��� ��� & '13 . �. �������' �, 9 52/13 = 4/1.

2 � 0 ���� �% ��� �2 �� B �% �� �, �� (�� �� �����. � 2 � > ������ �� , 9 ��1 �� 5 # � & ' 5 �, � $ ���� ��/ �� " % �! 3 � 3 ������ " ��� �� �� �= - & ' �2 �% � " % �! % �� � & �� 4�# �� ��� ������� 4���� & ' $ �# ��� $ C �% �� ��' D , . " % �! � � ��% ' & ' $ = �E ����� & ' �' ����

�� � & ' $ = �E � ����� 0 �� < �9 ��� ��� �������� �2 - � � " �C ��� ���E �� �� 4�! �� & ' ��= ' 4��� < # � �. ���� $ �# � � + ��# � < �9 ��? # '

��! �� ��) �� " �C ���(PASCAL ) " ��' � (F E R M AT ) & ��% ��

Page 5: اساسيات الاحتمالات

4

(BE R N O U L L I ) $ �� " ��� �� & ' + ��� $ ��% " % �! �% . � �. �� ������� �# � & '.

� ���� � ���: � �� (��� �% �� # ������� �# � " �/ % � 0 �� F � �� �! ��% & !

�� ��� �, . & ' � E ��� & ��� ������ F ��: 1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :

�! / �* % � (* ) � % �� �. � & �! �� $ � � + � ; � ���% �% % � F �' � $ ���� : �@ � �� ��/ & . � $ % ! ���� H I ��% ��1 �� 2 �� 3 �� 4 �� 5

��6 J � J ' �- ��/ � ������ �% % � F �1 % � 1 �� 3 �� 5 �K� $ KK� ��� . < �KK�� �KK. � �� & KK� $ KK# �� �; KK' �, KK! . �� � � � �

(E x p e r i m e n t ) < �� �% ����. � ��� �. J ' �- ��/ � !� " � � � (E v e n t ) < �K�� ��/ �� $ % ! ���� " ����� > � $ ��� �� � � � � � � �

� � � � � � .(S a m p l e S p a c e ) / �* � & % ��� L �1 �� �� ) ! � �� $ ��� ��! - 3 ���� �� .

2� � � � � � � � # � � � � �(P o s s i b l e C a s e s ) + � M $ �% �/ � �� �! � & ��� $ 1 # �E ��� H I ��% �� �� " ����� & .

$ % �� $ � �� �� ��= ��� �% ��! � $ # �� $ ��- & � % � (* ) �' ��� �% ��! � % �. � & � % �� � $ ���!1 �� 2 �� 3 �� 4 �� 5

��6 $ % ! ���� " ����� � �� ���' 2 � $ # ���� $ ��- & � $ ��� & ' 6 % �� �. � & � $ ��� & '.

3� � � � � � � � � # � � � � �(F a v o r a b l e C a s e s )

Page 6: اساسيات الاحتمالات

5

�. J , �� 3 ���� ���� < �9 J N � & ��� " ����� �� H I ��% �� & . & ' J ' �- < # � ��= ��� �. 3 ���� ��! �, ; ' � �% ����. � > C ��

$ ��� & . 3 ���� �, . ���� & ��� " ����� �; ' % �� �. � & � < # � ��= ���1 �� 3 �� 5 � " ����� < ��� $ ) * ) �� " ����� D , .

$ ������. 4� � $ " � � � � � � # � � � � �(E q u a l l y L i k e l y C a s e s )

& ' $ �% � �� � ��� � �� �� $ ��% = � $ % �� " �! � � �% � ��! �, 9% �C � � ���� �� ��� 0 1 % ���� $ ' �) ! �� ��% � �! �% ���� 0 ! & ' �. �

�! � ��! J � $ # ) ���� " ��� ��! � " �! �� D , . �; ' (� ���# E ��4���� & ' 4= % �� 0 1 % ��% �.

5� � � % � � � � � � � � � � � �(M u t u a l l y E x c l u s i v e E v e n t s ) �) ���� �� ���A � B ��� ���) � � ������ �, 9 ��' �% �� ���% � .

! � � % �� � & � % � (* ) �' " - � & ' �� � < # � ��= ��� � ���.

6� � $ � � & � � � � � � � � �(I n d e p e n d e n t E v e n t s ) �) ���� ���A �� B � � �� ��. � �9 B �- � ��! �, 9 �# ���� �) ��

& ' ) N � : ��- � E O � B �- �. � ��� $ # �� $ ��- & � % � (* ) �'�@ � $ �% � ) ? �� � $ % �) �� $ ��� $ �% �; ' ������� ���< �.

7� � $ � � ' � � � � � � � �(E x h a u s t i v e E v e n t s ) 3 ����� < ���A � B � C ... ��! �, 9 �� $ � � & ' $ # ��2 3 ���

$ � ��� + � 9 % � �. � �9 3 � � �� ��.

Page 7: اساسيات الاحتمالات

6

��! �, 9 �� : ���� $ ' ��� $ ��� �� �� 4��� ��E � % � (* ) �'� �� : % @ $ # ��2 3 ��� " ����� D , . ���� �E � � �� �% E � 1 #

" �1 = �� D , . �� � ��� $ 1 = : � ��! �� . < # � ��= ��� �; ' 5 �, ! ���1 �� 2 �� 3 �� 4 �� 5 �� 6 ���� % �� � & � % �

�. � �9 3 � � �� �� : % @ $ # ��2 3 ���. � ���������� � ���� �

�������"� � � � � � � � � ( � � � � � ) � � ( � � � � � � & � � * � � � � + � � & � � "� 1 = $ ���� � � 3 � < # � ��� $ ����� 3 � ��� $ ������ $ ��� < #

B �- ��� ! @ � 3 ���� . ����� D �� �� : ���� �! �� : P J / % �� ������� . P & � ��� �������.

� � � � �� � ������� )T h e o r e t i c a l A p p r o a c h( $ ) �� 3 � �� J / % �� �������� � & ! �* ! �� �������� (�C � ��

�� � $ ��% �. �� F ' < # � 3 � ��� $ % ! ���� " ����� � < �9 $ ������ " ���3 � ��� & ' + & ' �! �� 4= % ��� " ����� �! ��.

, � " �1 : ������ � ��� �� ���8 � � �� � � � �� 3 �� � � �� � � ��

� � �� � � � �� � � �� � � � �� � �� � � � ! � �" # �� � � � � $ , � � �:

$ % ! ���� " ����� � =11 � $ ������ " ����� =3

Page 8: اساسيات الاحتمالات

7

∴ + �C � �! 4�� ������ =11/3 � $ ' �� �� �� �� $ ) �� 3 � � ������ 4��� � � �� �, 9

$ ������ " ����� �� 3 � ��� & ' + & ' �! �� 4= % ��� & ��� $ % ! ���� " �����. , � " �2 :

! �, 9K 5 �% . ��)4 (�9 �� 9 0 # � �� + �C ��K ! 2 �� QK �. " � )A � B � C � D (�E � ��2 � �� & ' $ ! 2 �� �) ��� ��% � �% ) � �

$ �� �� " ���N ���: � . �C ��� ��E � ������ �. ��A 4 . ��C ��� �� ��E � ������ �. ��A �� D R . ��C ��� ��E � ������ �. ��A �D . �C ��� ��E � � � ������ �. ��A

, � � � :�� L �1 �� & % �S J � $ % ! ���� " ����� $ ��� � �. S = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

� P �C ��� ��E � $ ������ " ����� �A �. 3 � � " ��� $ % ! ���� " �����6" ��� .

������� =

2163)A(P ==

4P 5 �% . 5 ��E � $ ���� " ��� A �� D 65 P(AUD) D)or A(P ==

$ ������ " ����� � $ % ! ���� " ����� �

Page 9: اساسيات الاحتمالات

8

RP ��E � $ ���� � ��� $ ��� 5 �% . D , A P (A , D) = P (A ∩ D) =

61

P 5 �% . 3 ��E � � �� $ ���� " ��� A 2

163)A( P ==∴

3 � )A( P ��E � � � ������ & . A

� �� �� � � ��� � �������� � � �����* � J / % �� ����� ���� & ' " ����= �� �� 4���� F �� 5 �% .

��% � : 1� � � � � � � � # � � � � � � � + � ( � � � � � (

������� �% � ��! �� (* ) �'SP �% �9 4# �� 0 $ ��% �� : # � " , E � ������� �� K 4 + � �� & ' 0 $ ��% �� B �- � ������ 4���.

4��% �� �% # � R 4 + � �� & ' 0 $ ��% �� B �- � ������ 4���� ��� $ ������ " ����� � �) �� & ��� & . � K 4 + � �� ���% B �� �

������� ���% B �� � 4��% � � $ % ! ���� " ����� � �) �� & ���� �� & ������� ���% �� D , . � 4��� (� 4�= �� �� : % � Q % �% % ! ��

4�= �������* � J / % �� ����� ���� .

" � * * * �

&

Page 10: اساسيات الاحتمالات

9

2� � � � � � � � # � � � � � , " � � � - � � � � . � + �, . �! �� $ % ! ���� " ����� �) ��� : ����� ��2 J / % �� �����' $ ���� �� : ���� $ ' ��� �� S E 2 ��E � % � (* ) �' ��I � ���� �

): ��� �� ( ����� �% % ! � * ' ��� �� �# �� �� R�� �� �� 4� �� & . �� J ��� T* ) � (* �� : % �! ������ �4/1 4��� �! � �� ��

�� U C ���� �� : % @ J / % �� ����� �� E ���� ������� �, . �� ��$ # ) ���� � $ % ! ���� " ����� D , ..

J ��� (�! , ������ ��! �� ������ �? � ����� > ���% � 5 �, !2/1 ��� $ ��� $ ������ " ����� �� ����� < # � " ������ (�! , : % �! & . � �

������ $ % ! ����)< ) % � �� ! , ( + ��% � > � & ' . �2 ��� �� : % @ 5 �, �3 �% M � < # � �! , �� ������ � � �� �. ������.

D , . �) � < # � 4# V � �����* � E W ��� < �9 $ ���� " ? 2 % �% . ��& � ��� ������� �. ����� �, . " ����= ��.

� � � � �� � �������� � )E m p i r i c a l A p p r o a c h( " * ���� J � ���� �! 2 < # � " �! $ �# � �% � �, 9N � ��! � ��

< # �� < �9 �! �� : ��� ��/ ��� �% & ��� " ����n1 & ��� " ���� �� ������� : ��� ��/ ��� �%n2 : ��� ��/ ��� �% & ��� " ���� ��

V = ��n3�; ' # � " ���� � $ ��% �! �� : � =

Nn1

Page 11: اساسيات الاحتمالات

10

������� : �# � " ���� � $ ��% =Nn2

V = �� : �# � " ���� � $ ��% =Nn3

K�� �� �# �E � 4�% �� D , .31 $ % ! ���� " ����� �) ��� � ��

" % �! ��# ! �N. " ��- � ��# ! ��! $ �- % � ������ �� 4�% �� D , (* ) � ��! � - � $ ���)70 % �20 % �10 %& ������ < # �.

�� ����� �! � 3 �� L i m 70.0

Nn1 =

N → ∞

: ��� < # � ��= ��� ������ �. � " �! �� $ �# � & � % � �! @ �

L i m 20.0Nn2 =

N → ∞

: ��� < # � ��= ��� ������ �. �" �! �� $ �# � & � % � ���@ �

L i m 10.0Nn3 =

N → ∞ : ��� < # � ��= ��� ������ �. �" �! �� $ �# � & � % � V = @ �

, ! $ # �� $ ��- �% � �, 9 5 �n : ��� ��/ " �� � ��! � �� �. ��=r �= �� � $ ��% �; ' �� =

n

r . �� �# �E � - $ ��% �� D , .2/1 " % �! �, 9n " �� ��# ! : % � " ��) �� �� �! �� �V = n $ ��% �� " ��- � ��# !

n

r ��2/1� �� % � : % � 3 �� ��!n �� (� $ �- $ ��% �� U �= � (� ��! 2/1

J � ��

L i m 2/1Nn1

= N → ∞

Page 12: اساسيات الاحتمالات

11

�% �� $ ��- & � % � ��= < # � ��= ��� ������ �. �.

� � ��������� � � ���� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3 ����� " % �! �, 9A3 , A 2 , A1 .... � � �� < % ��� $ ' �% �� 3 ��� �. K�� 3

J N K D , . 3 � � ������ �; ' & ������� Q E @ � 3 ����� �� J � 3 � � $ ������ < �9

�; ' (��� �� ��! (��� 3 ����� ��! �, ; 'B � A �! 2 �� & ' ��! �' �% �� �) �� )1(

�; '= P(A) + P(B)) B �� A (P � ���� �) ���� �� B �- � ������ (�C � � �

P (AU B) = P (A) + P (B)

s A B

��� ��� ����� ������ ���� ���� ��� ���� : �� � � � � ������ � � � �� � �� ��N � � � ����

�� ���� ! � �� �" # � �� �$ % & ��� ��� � �� r ' � ( ��) � ! � ��� �� * �+ � ����� ��$

Li

m r

� �$ �# ��� ! � ��� �� ! � �� ( � * �+ � ����� ! � ��� , �� * �+ � � ����� * ��� ( ��) �

�����)1(

������� ��

Page 13: اساسيات الاحتمالات

12

�� �� 3 : YJ ' � < # � ��= ��� ������ �. �� % �. � & � $ ��� & '

� � �� � : < # � ��= ��� D �% �� J ' � < # � ��= ���1 �� 3 �� 5 3 �� �; ' $ ' �% �� $ ) * ) �� 3 ����� D , . ��

P (1 �� 3 �� 5 ) = P (1 ) + P (3 ) + P (5 ) =

61

61

61 ++

= 21

�� �� 4: Y����2 �� �� � < # � ��= ��� ������ �. �� ��� % �. � & � % �

���� � : < # � ��= ��� D �% �� ����2 �� �� � < # � ��= ���)1 � 1(�� ) 2 � 2 ( ��)3 � 3 ... (�� )6 � 6 ( ��% � �! ������� $ ' �% �� 3 ��� & . �

361

)6 � 6 (P+ ... + )2 � 2 (P+ )1 � 1 (P ) = ����2 �� �� � ( P =

361...

361

361

+++

= 366

Page 14: اساسيات الاحتمالات

13

�� % ��� ����

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �) ���� & ' �% � ���2 � � � % �A � B 3 ����� �= ���� ��! )A

��B ( B �- �A- � �� �1 % � < # � � BB �) ���� B �- � �� �1 % � < # � A � B �! 2 �� �� U C � ��! ��� " - � & ' ���)2 (& �����

�O �P (A) + P (B) 3 ��# � $ ������ " ����� B �� � �) �� A (�' �C � � � ���9 " ����� B � 3 ��# � $ ������B �K� �K! �� $ K/ �* � 4K �! ��

3 ��# � $ ������ " �����A 3 ��# � $ ������ 5 # �� B $ K������ " ����� ��C �� B �- ��A � B > � $ ��� & ' : % ; ' �, ��� � (��� P (A) � (B) P > K� % �K% % ; '

s

A B

A and B

� � � � �B , A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P (A) + P(B) = 1

� � � � �B , A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P (A) = P (B) = 1/ 2

� � � ! � " � � � � � � � � # � � �A # � � � $ A � � � � � � � � � � A� A � � � � � � � % � & % � � � � � � � � �� ' � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� % �

���)2(

� � � � � � � � �� �

Page 15: اساسيات الاحتمالات

14

)B � A (P [ � �� �� �, �� � ��� )B � A (P �= �% � � ��� �� ������� < # � )B �� A (P�, . � �. : )B � A (P – P (A) + P (B) )= B �� A (P

�� P (AU B) = P (A) + P(B) – P (A∩ B)

�� �� 5:

������ �. �� � " �! 2 �� Q �9 �� 9 0 # � + �C �� ��) � < �9 B � ��� �C ��� ��E � �� ��A �C ��� �� D �� �� 4 Q �9 �� 9 0 # � �� + �C ��

" �! 2 ��) �.A � B � C � D (Y " ���N ��� �� & ' ��# ) ��� ���� � :

$ % ! ���� " ����� B �� � �. � & % ��� L �1 �� S =

{ }CD BD, BC, AD, AC, ,AB P ��E � $ ������ " ����� A & . (AB, AC, AD) P ��E � $ ������ " ����� D & . (AD, BD, CD) P ��E � $ ������ " ����� A � D & . (��� (AD)

(����� ��# � �% # = � & ��� $ �% �� < # � �= �% " ������� > � � ��- 4��. P (AU D) = P (A �� D) = P (A) + P (D) – P (A∩ D) =

61

63

63 −+

Page 16: اساسيات الاحتمالات

15

�� �� 6: �� ����� � ��� ��� ��� ����� �� ��� ���� ��

� � � ���� �� � �� � �� ����� ������� �� �� �� ����� �� � !" ��� ���

���� � : �� F 1 %A ��� � < # � ��= ��� �) � B < # � ��= ��� �) �

�! ��� $ % �� $ ��� � �� $ - �"J �% ��" P (A) =

5240

P (B) = 5213

P (A∩B) = 5210

" ������� > � ��% �- ��� P (AU B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

= 5210

5213

5240

−+

= 5243

� ��������� �����

�) ���� �% � ��! �, 9 �# ������ A � B �; ' P (A∩B) = P (A) P (B)

� � � � � �� � � � �( � � ) � � * � +� , � � � � � � � � � - * � � � � �+� . , $ � / . , $ $ � � � � � 0 � 1 � � � � �� � � � � �� � 2 � .

Page 17: اساسيات الاحتمالات

16

�� �� 7: : ��� < # � ��= ��� ������ �. ��)3 � 3 (Y % �� � �� �� R�� & � % �

� � ���: : ��� < # � ��= ��� ������ ��3 �. % �� �� ��@ � ��� & � Q �

61

�= �� ������ 5 �, ! � : ��� < # � �3 �. % �� �� & % �) �� ��� & � Q � 61

P (A ∩ B) = P (A) P (B) =

361

61

61 =×

� � �� � � ������� Conditional Probability

$ � M � " ����� �� ��� , �E �� �� " �! 2 �� + � � ��� � ��� ��3 � � ������ $ ' ��� $ 3 � ��� A E W (�) � ��! �, 9 B - 3 � & I �� �* �9 2 % � ��- , E � �� ��� �� (���# �� ��! �� (* ) �' �

�� (�= E 2 �� ������ �. �� $ ' ��� ����� ��! : % ; ' ��� 1 # ��� & ' �� $ �# �� $ �# ��� J �2 �) 3 ����A ( & ' �* �M � . �2 �� �= � - ��! �, 9 ��� 1 # ���

) 3 ����B.( 3 ���� B �- � ������ �; ' �, ! . �A 3 ���� B �- � �2 � B < �

��= < # � 4�! � & �2 �� ��������P (A/B) 3 ���� ������ ���� A �� 3 ���� B �- �B.

Page 18: اساسيات الاحتمالات

17

& ����� ��) ��� � ����� & �2 �� ������� ���1 � U C �% � : �� �� 8:

< # � J ��� 0 !3 � + � �� " �! 7! + �C � " � � ��9 �� �� D � < # � �! ��! : % � �% ��� �% % � F 1 % � . 4�� < �9 �% � � �, ; '

� ���� + �C � �!A � ���� + � �� �! 4�� < �9 � B $ �! ��� " ����� �; ' & # ��� �) ��� ��# � �= �% & ��� :

P ����C � ���! �� AA P + �C � $ % �) ��� + �C � < ��@ � AB P ��� + � �� < ��@ �+ �C � $ % �) BA P ���� �� ���! �� BB

4����� $ % �) �� �) < ��@ � �! �� 4��� H I ��% �� " ���������� ����C 9 �! � �& ����� :

3 � � 4 5 � �� �

� � � � � � 5 � �� �

A

B

A

A

B

B P(A) = 7/10

P(B) = 3/10

P(A/A) = 6/9

P(B/A) = 3/9

P(A/B) = 7/9

P(B/B) = 2/9

Page 19: اساسيات الاحتمالات

18

& # ��! : ���� �! � 4! ��� ������� �; ' �, ! . � : + �C � $ % �) ��� + �C � < ��@ � �! �� ��! � �� ������ =���� �� ��

��! � �� �2 � + �C � $ % �) �� ��! � �� ������ & ' ���C � + �C � < ��@ � ��! �+ �C � < ��@ �.

P (A∩A) = P (A , A) = P (A) P (A/ A) =

9042

96

107

) �����K� P (A∩B) = P (A) P (B/ A) =

9021

93 .

107 =

P (B∩A) = P (B) P (A/ B) = 9021

97 .

103 =

P (B∩B) = P (B) P (B/ B) = 906

92 .

103 =

& �2 �� �����* � & ����� ����� � �% � ��) ��� �, . ���% �O �� :

- �. / � ��� ��� ��0 � ��� �# �� � ��� ��B , A ���� P (B) �1 $ 2 3 � ( ��) � �

! � ���� �. / � ������ A ! � ��� * �+ � . / � B �. �� � ����� � �� ������ :

P (A/B) = P )B(P)BA( ∩

! � ���� �. / � ������ �� ( �A ! � ��� * �+ � . / � B ( ��) � � 4 ��� ������ � �) + �3 ��B , A ! � ��� ����� ��� B

Page 20: اساسيات الاحتمالات

19

� & �2 �� ������� ��4! ��� ������� H �% ��% �� �% % ! � D * � B) P(A P (A∩B) = P (A) P (B/ A)

= P (B) P (A/ B)

$ ��� & 1 ' �) �� �� ) ! @ $ V = �� D , . ���% �� �% % ! ��3 ��! � 3 ��� P (A∩B ∩ C) = P (A) P (B/ A) P (C/ AB)

�� �� 9:

< # � J ��� 0 !7� + �C � " �! 3 : % � " ��� + � �� " �! 3 Y+ �C � ��# ! ��! � �� ������ �. �� � ��9 �� � " �!

���� � : �! � A1 < ��@ � 4���� & ' + �C � �! < # � ��= ��� �.

A2 & % �) �� 4���� & ' + �C � �! < # � ��= ��� �. A3 �! < # � ��= ��� �.3 ��) �� 4���� & ' + �C �

��% ��# � 2 ����� �������� P (A1∩A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2 / A1) P (A3 / A1A2)

=

85

96

107

= 720210

Page 21: اساسيات الاحتمالات

20

�� �� 1 0 : ��� � �� ���- � " ��� �� ������ �. �� � ��9 �� � 4�# �� ���� $

Y��2 � ��! � ���� � :

�! � A ��� < # � ��= ��� �.10 < ��@ � $ - ��� & ' B ��� < # � ��= ��� �.10$ % �) �� $ - ��� & ' P (AB) = P (A) P(B/A)

= 513 .

524

� � � � �� �� � � � � � � � ��� � �� � � � � �� � � ��� � � �

J � " ������ 4����� " ��# ��� D , . �) � �= �� $ ���% ��� ���� ��� 3 � �& ����� ��) ��� & ' $ �C ���� $ % ���� � 2 @ � $ �� :

�� ��� 1 1: & # ��! R� � $ ) * ) �% � :

R ���I � 6 ��% � �� � ' $ �2 � 2 ���% � . R ���II � 8' $ �2 � ��% � �� � 3$ �% � . R ���III � 4 ��% � �� � ' $ �2 � 1& �% � .

� �" �# �� � �5 �/ �� � ������� � 3 & � : ! ��� � ������� 4 ��� # � �� 6 �# � � � � 6 �� ��� ����' �. �� � ������� 7 � �

Page 22: اساسيات الاحتمالات

21

$ I ��2 � $ ��� (��2 : % � 4��� $ I ��2 � $ ��� � �E �(�C � . ������� �. ��'(P)(��� �2 �� ��! �� .

���� � : ��� � �� $ ������ $ I ��2 ��� $ # ���� ��) ��� �, . & '

)i( ) �� �� � ��E % R� � $ ) *. )ii( (��% � ��! �� ����� ��2 ��E %(A) (��� �� (B).

��� �� B ' �! � ������� & ���� $ # ���� D , . $ ����� $ % ���� � 2 �� �) ��� 2 # �:

4C �= ��� (����� $ ���� " ������ �� ��� J � 3 � � ������ ��! B ' �! � " ������������ �, . & ' . R �� ��E � (* ) �'II (��2 ��E � �)

�. (��% �

83

31 .

B �� � ��! & �� �2 < �9 J N � $ ' �% �� " ���� $ ) * ) �� : % � 3 �� 4�# ���� ������� �. $ ) * ) �� " ������ D , . " ������) ��= ��� ������ J �

& �� �2 < # � :(

I II

III

A B A B A B

3/1

3/1

3/1

6/4 6/2

8/3

8/5 4/1

4/3

Page 23: اساسيات الاحتمالات

22

P = 43 .

31

85.

31

64 .

31

++

=

++43

85

64

31

= 7249

2449

31 =

� � ��� � � ����� �� � ) T h e ore m'Baye s( $ ���� $ �# � " � 1 � ��# E � � �- � % = �% � �� �% C �' � �� . D 1 �

�. �� ��% �� 4�% � � ��� �� �- � % = �� �� �� (�I ��2 � " ��� : �����������@ � �� % = �� �� " ��� - $ ����� � 1 ��� D , . ��! � �� .

& ���� � � $ / % �� � ��- � E ��% B �% �� �, . �� $ # I �� < # � $ �� ] �& �2 �� �����* � (����� �. ����� �! �.

< # � + �% � F �1 �� $ �= " ������ 4��� < �9 � � $ / % � ��$ � � �� $ % � � " ���# �� .� ��! 4��V �� & ' " ���# �� ����@ � � Q

$ % �� $ ���� �� ��� 3 �� �� $ ' �C 99 � �� �� $ = E 2 �� : ��E �* E �� ��$ �? ���� �� 3 ���� �, . & C �� �* E . ��E �� < # � ���� & ��� " �������

& # ���� �������� < � � $ � ��� H I ��% < # � ��= ��� ��- � $ = E 2 ��Prio r Pro b a b il it y�� " ������� (* ) �' < # � �� $ ������ " ������ " * � < # � � ����

& # ���� �����* � $ # ) �� ���� �# ��� � R��% M � $ �! � ������ �- �� . �� % � ��� J ���� �������� < �� $ ���! � $ % � � " ���# �� + �C < # � ������� 4��

Po s t e rio r Pro b a b il it y .

Page 24: اساسيات الاحتمالات

23

' ��! - > I �2 �� ��@ � � � $ �� % � (* ) �' � � �% % . , && . F �1 �� D , . � � ��� �, �� $ = �E F �' :

A1 > I �2 �� ��@ � � � ��! �� 1 A2 > I �2 �� ��@ � � � ��! �� 2 A3 > I �2 �� ��@ � � � ��! �� 3 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ $ ' �% ��� $ # ��2 $ ��� � �) �� " ����� D , . �.

$ % � � " �% �� " �� �, 9B 4��% �� �% ������ �. �/ �� D , . �� P(A4/B)�� < �� ������� �, . �; ' � . ���� E ��� �! � � � � ��- �� > �

�# ��2 �) �� �� ) ! @ ����� F ��% � ������ � � ��� �% % � �9 �' �% ��� ��' �' �% �� �# ��2 �) �� < # � $ / % ��.

A10 10

- 8 � � � �9 # ��� ��A � B �# ��� : 2 � �$ ���$ �# ��� �����/ ��0 � �� S

�D! ��� : 2 � ; 2 # �$ ! � �� ( � O ≠ P (D) ��$ P (A/ D) = D) B(P)D A(P

)D A(P+

P (B/ D) = D) B(P)D A(P)D B(P

+

S B A A

D

Page 25: اساسيات الاحتمالات

24

� � ��12: ��! �, 90 . 40 � ��� B �% ��# C 1 �� $ % � & ' �% E ��� �� A

B �% �� ��# C 1 ��% � �- �����B �# ) � + ��% �� �! �, 9 � 0. 30 �, �� �� �� ��# C 1 A � 0 . 40 ��# C 1 �, �� �� ��B . �� $ I ��2 � $ ��� �% �E � �, ; '

B �% �� ��# C 1 ��� ��! � �� ������ �. ��' ���� " % �! � �% E ���AY ���� � :

& . " ������� �� F 1 % � : (A) P B �% �� �C 1 �E ��� �� ������A P (B) B �% �� �C 1 �E ��� �� ������B

P (M/A) ��� ��! �� ������ B �% �� �� �2 � (* �E A �C 1 ��� �. P (M/B) B �% �� �� �2 � (* �E ��� ��! �� ������B�C 1 ��� �. P (F/A) D ��� �E ��� ��! �� ������ B �% �� �� �2 � A�C 1 ��� �. P (F/B) D ��� �E ��� ��! �� ������ B �% �� �� �2 � B�C 1 ��� �.

��C � $ % ! ���� " ����� " ������& ����� �! 2 �� � :

A

B

M P ( A M ) = P ( A ) P ( M / A ) = 104 .

107 =

10028

P(A) = 4/10

P(B ) = 6 /10

P(M /A) = 7 /10

P(F /A) = 3 /10

P(M /B ) = 6 /10

P(F /B ) = 4/10

F P ( A F ) = P ( A ) P ( F / A ) = 104 .

103 =

10012

M P ( B M ) = P ( B ) P ( M / B ) = 6 / 1 0 . 6 / 1 0 = 3 6 / 1 0 0

F P ( B F ) = P ( B ) P ( F / B ) = 106 .

104 =

10024

Page 26: اساسيات الاحتمالات

25

�� � ��- �� E����� P (A/F) = 24/100 12/100

12/100 (BF) P P(AF)(AF) P

+=

+

= 31

3612

=

) �% �� �% % ! ��& � ��� � � � � �� " � ���� � � D , . � ! � : ���6 ) � , $ �

���6 2 � � �

���6 � 7 � � �

�6 ��� � $ - �

� � �����

3612

3624

10012

10024

103

104

104

106

A B

1 . 0 10036 1 . 0 � ���8 �

� ��������� ������� Repeated Trials

H I��% � � < # � � �= � � � " � ���� � 4 ��� $1 ! ��� � � �, . & ' 0 % � " � �� � �� (�% � � (� � $% � � $� � � ! � < # � 4 � �� �� �! � & �� � $1 # �E�� �

$1 # �E� � � / " � � �� � � / � � 0 1 % " � �. +6�� :6 9 � � � - * � 5 � � � � 2 � �8 � 9 $ �� � ���

� % $� � - + �� � 9 % � (* ) �N �% % ? ' � �= : �� � �� / � �% � � �% ! � � � < # � � = � % � ' � � �= : �� � �� / " � � � � $1 # �E� H I��% 5 �% . �? � / � * %

)N$���! 1 = � � �= ( ��)1P N$���! � � �� � �� � �= ( �� )2PN$���! �� �� � �= ( �� ... ��) � � �= 1 =N���! $ ( 5 �% . �� J �

Page 27: اساسيات الاحتمالات

26

1+ N $% ! �� $� �� . " � �� � � �; ' " � � 0 �E � % � � $� � - �% � � � �� (* ) �'& . $% ! ��� �: 5 � �= � $���! 1 = 4 �= � � � �� $���! 3 �= � ������! 2 �= � 3 $���! 1� �= � 4 $���! � �= 1 = � 5 $���!

" � �� " � $% ! ��� � " � �� � � B �� � �� J � � � ���� � � " �, $# � ���� � � ! ��� � 4 � �� � & ' " � ���� � � D , . � ) � 4 ��� �

� � � � & I�% ) & � ���� � � ��% �� � � � E��% " ��) � �.

� � � � �� � � �� � � ����� � � � � �� �� L a wB i n o m i l P r o b a b i l i t

& �O � J % ��% �� � � �, . < � 9 � = ��� � $1 ! U C ��� � : � � �� $� � - < # � � �= � � �� / � ���� � =½

< # � � �= � � �� / � ���� �3 �. " � � 3* ) � � �� $� � - $� � �� (�� � > � - ½ . ½ . ½ = (½)3

�� / � ���� � ��! " � � 0 �E � � �� $� � - �� �� % > � - 0 �E �% � �, ; ' ��� � � � � < # � �. �� / � � : �1 % " -�� � & ' & % � �� % � > � - 3* ) < # � � �= � �

J � ��-��� � =(½)2 .���� � ��! 5 � , �� > � - 3* ) < # � � �= � � �� / � " -�� � 0 1 % & ' (�� � ��-��� � ��� � � � � < # � �. �� / � �� =

(½)3 (½)2

Page 28: اساسيات الاحتمالات

27

� �� < � �@ � " �� 3* ) � � & ' � �= � � �� / $ �% & . D , . �! � J � & ' � �= � � �� / � ���� � 4 ��� % �% % ! � � ��-��� � �� �� � & ' �. �� /

��� � - J � & ' �. �� / � �� > � - 3* ) ��� > � � � � 4 � � �� / % � � F V � �� / � ���� � �� J � � ���� � � ���� � � �� �! � 4 �# � �� � � ���� � � �� U C ��� � � � � > � - 3* ) < # � �. �� / � ���� � �� �! � > � - 3* ) J � < # � � �= � � .

" ���� �� � � 4 �� % � � ' ���� � � E��% 4 �# � �� � � ���� � � < # � � �= � # � �� - 0 �E �� �� % �! � �! � & �� � > � - 3* ) �� $��� � � ! ��! �� 3� � >

��! �� 3� � > � - 0 �E �� �� % �! � �! � & �� � � ' ���� � � 4 �� % J � � � � ' J � > � - 3* ) �� $� ' �� � !53⊂ (�� � = ��! D * �� D �% ��� J , � � � ���� � ��

! �� " ��) � ���� � � J � 3* ) � � � ' ���� � D , . �� $��� � �� : � ' �� � ! � & ' < # � � = � % ' 4 ��� �� � � ���� � � & ' � ' ���� � � 4 C % 5 � , � � $��� � � !

53⊂ (½)3 (½)2

= 1 0 (½)5 =

3210

�� 3 �� B �-� �� � �% $% � � $� � $� �� & ' : % � � �� % ' ��� % �� > � ��% �O ��B �-� � ���� � ��! � : ��-� � � �� 3 �� � � �, . (P) : ��-� � � � ���� �� (1-P)

$� �� � D , . �% ! �(n) & ' 3 �� � � �, . B �-� � ���� � �; ' � � (r ) 3� � � )0 > r> n ( ��! =

nr⊂ p r (1 -p )n-r

& ' � E�� �� ' �% ! , ��! � � � � � & I�% ) & � ���� � � ��% �� � � ���� � � �� �, . �# � ���� � " � �� � � �� ��-� � � �� � �= � � B �-� � ���� �' � " ��) � � � ���� � � " �, $

$� � ! & ' " ��)= 21

Page 29: اساسيات الاحتمالات

28

��� )13:( " � � 0 �E � % $� � - & � �. � � ���� � �% � �) � < � 9 � �� � �� �� / � $= �E� � " � ���� � � �; ' � � �� � � > � - 0 �E & � ��

��% �� � � �, . �� E���� �� ���� �! � : �� �& # ��! : � �= � � �� / � ���� �5 " � � =

( ) ( ) ( )321

21

21 2

1 5055

5 ==⊂

� �= � � �� / � ���� �4 " � � = ( ) ( ) ( )

325

21 5 2

1 21

51454 ==⊂

� �= � � �� / � ���� �3 " � � = ( ) ( ) ( )

3210

21 01 2

1 21

52353 ==⊂

�� � � �= � � �� / � ���� � = ( ) ( ) ( )

3210

21 01 2

1 21

53252 ==⊂

= � � �� / � ���� � � � �� � � � � = ( ) ( ) ( )

325

21 5 2

1 21

54151 ==⊂

� �= � � �� / � � � ���� � = ( ) ( ) ( )

321

21 1 2

1 21

55050 ==⊂

Page 30: اساسيات الاحتمالات

29

�� / � * %$� ����� � � � � � & . H I��% � � D , .� � � � & I�% ) � � �� � 5 �! 1 � & ' ( )5212

1 +

� 8 � �� � ! ��� � 4 � �� � & ' 3 �� � � B �-� " � � � ��! ��� �. � & ��n - �� 1 = �� � � , E? �1 �� 2 �� ... ��n �; ' $' �% ��� $# ��2 " � �� & . �

1)n(P...)2(P)1(P)O(P =++++

� � ��14 : $� �� � �� / � $% ! ��� � " � �� � � = � �3 & � % � �� �� ���� � 4 �� � �

% � � �3" � � . ����� : $% ! ��� � " � �� � �

P : �� � �� / � � 3����� P D �� / � � �� � � P �� � D �� / P " � � 3* ) D �� / P : �� � �� / � � � ���� � 3 (����� =

216125

65

61

3030 =

P � � �� � � D �� / � ���� � =

21675

3625

61 3

65

61

2131 =

=

Page 31: اساسيات الاحتمالات

3 0

P�� � D �� / � ���� � =

21615

65

61

1232 =

P " � � 3* ) D �� / � ���� � =

2161

65

61

0333 =

" � ���� � � B �� � �� / � * % = $' �% ��� $# ��2 " � �� � � D , . �@ 5 � , � � �� � � � � & I�% ) � � �� � 5 �! 1 � & ' $� ����� � � � � � & . H I��% � � D , . �� / � * % ��!

3

65

61

+

+�� � �� : � � - * � � � � 5 � � � � 2 � �8 � �� & ' " � ���� � � �% � � ���� � + � � � & ' " � � � ! ��� � 4 � �� � $�

+ � � � �, . & ' � " ��) � � � ���� � � " �, $# � ���� � " � �� � � & ' J � � � / � � 0 1 % B �-� � ���� � �� ' V � & �� �� � ! ��� � 4 � �� � $� �� & ' " � ���� � � 0 % � ��% �� � � � E��% " � �� � � D , . � ) � & ' � Q E� < � 9 $� � �� 3 �� � �

J ��� ��� � � .

� ������ � ��� �� � � � � � � � � Hypregeometric Low

& � ��� � � �) �� �� ��% �� � � �, . U C �% �� �% % ! � : � � ��15 :

: # E� � 0 ! �% , E� ��N & . ��# � � � � D � �� � > � �� $# ) ���� � ! :n1 � + �C � � ! n2 � + � �� � ! n3 �. � " � ! �% �� �� + � �� � ! R

Page 32: اساسيات الاحتمالات

3 1

��! �� � ���� � 4 ��� 4 �# � �� �� � ��9 �� � $��� ��� � " � ! � � �� ��r1 � + �C � � ! r2 � + � �� � ! r3+ � �� � ! .

����� : ��E� ��R �. � � � � 0 ! � � �� � ! ⊂

NR " � �� � � � �. �

4 � �� 3 �� � � �� � $% ! ��� �r1 K � � + �C �� � " � ! � � �� + �C � � ! n1 �, . � �. � � � � ��⊂ 1

1

nr

� 4 � �r2 K � � + � �� � � " � ! � � �� + � �� � ! n2 �. � � � � �� �, . �⊂ 2

2

nr

� 4 � �r3 + � ��� � " � ! � � �� + � �� � ! n3 �. � � � � �� �, . �⊂ 3

3

nr

�. � � � � �� 3 �� � � �� J � ( )( )( ) 3

3

2

2

1

1

nr

nr

nr ⊂⊂⊂

���� � " � �� � � � �. �, . � $� � ���� � � ��! & � ��� ��� =

⊂⊂⊂NR

nr

nr

nr

3

3

2

2

1

1

�K K3 R = r1 + r2 + r3

= n1 + n2 + n3 ����� ����� ��� �� ������:

: # E� � 0 ! �% � ��! �, 9N �� % � $# ) ���� � ! n1 � �@ � ��# � � �� � ! �n2 � & % �) � � ��# � � �� � ! ... �nz��# � � �� � ! Z � � ��9 �� �% �� �R

�������� ���� �

�� � ���� ���� �

Page 33: اساسيات الاحتمالات

3 2

$��� ��� � " � ! � � �� �� ��! �� � ���� � �; ' � !r1 ��# � � �� � ! � � �@ �r2 � & % �) � � ��# � � �� ... �rz ��# � � �� z �. :

⊂⊂⊂NR

nr

nr

nr

z

z

2

2

1

1...

J ��� ��� � � & � ���� � � ��% �� � �� < � � $V = � � D , . � � � ��16:

�� ' $��-10 � 4 * � 5� " , E� " ��� �� �� � � $I��2 � : % 20 %� ���� � �. ��' :

(i $�� �� � ��� �� �� ��! �� ��. (ii" ��� �� < # � J ��� � �� . ����� : (i $�� �� � ��� �� � ���� � ��! J ��� ��� � � ��% �� � � � �� �� =

455225

153

51

102

=

⊂⊂

(ii # � $�� �� < # � J ��� � �� & % � " ��� �� < # � J ��� � �� � ���� � < 4 * � � � �� (�� � ��% �! �� � ���� � S -�% � �� J ��� �, . � � -@ �

455335

1 153

50

103 =−=⊂

⊂⊂

" ��� �� 3* ) �� ���� �� �� $�� �� < # � J ��� � �� � ���� � �. �� 455335

153

100

53

101

52

102

51 =

++

⊂⊂⊂⊂⊂⊂

Page 34: اساسيات الاحتمالات

3 3

� ����� �� � � �� � � �� � � � �� �� � � � � �� Expectation

% � F V � � $# �� �. & C � � � > -��� � " � ���� � � $ / % � � ��� ��� �� �% C �' � �, ; ' � $� ��� � � I��P � ��V � & ' S E2 [ � % � ���� � < � 9 �� �

� ��X 4 C � = �� �; ' : � � % % � : # � � = � J , � � a # ��� � $�- < � 9 �� � P.X� ��V �� � D , . �� : # �� �� S E2 � � > -��� < �� .

∴ > -��� � =��. � � � � �× 4 �! � � � ���� � �� � �� > -��# � �� % �E

E = P.X a # ��� � ��! �, 9 � �, .χ � � > ' � � � � �� n " % �! � ���� � �� i & .

> -��# � $� �� � � $�� � � �; ' � I�1 � � � � �= n

n

)i1(X . P)i1( X.P

+=+ −

� � ��17: 4 �* � � U � ��. � � 4 �� � � �� $�� � & '5% �% $- � 4 � � �, 9

4 � # � � � � �� $��� � �� � � ��)52$- � ( B �% � � �� $��� ��� � $- �� � " % �! �"& ���� "Y 4 � � $# �� � ! + �� � : � ' 4 J , � � � �� � � ��) � � �. ��'

����� : U � � � � ���� � = $- � 4 � � � ���� �"& ���� = "4

1 � � � $�� � � ���� � � �, . �% � C �, ; ' �. � > -��� � $�- < # � � �= � � � �% % ! �� ��I

: �� � � ! � � �� � � ��) � � E = P.X. = 1.25 (5) 41 =

�% � � > � � �% J ��� : �� � � ! � � �� � � � �� � �� J �.

Page 35: اساسيات الاحتمالات

3 4

� � ��18 : & C � � � > -��� � a # � �!)��. � � � � � J � ( 4 �� : � ' �� / �% �� �

��. 4 �! & ' 4 � D - 100 4 �! � � � ���� � ��! �, 9 �% 0. 4 0Y ����� : & C � � � > -��� �==×== 40 100

10040 .X.PE

� � ��19:

� � > ' � � � � ��� � ���� � � �) �� � & ' �! , �� � ��. � � $�- �� F 1 ��5 � I�1 � � � � ��! � " ��% �3 . 5 %& C � � � > -��# � $� �� � � $�� � � �; '=

n)i1(X.P E

+=

5(1.035)40 =

1.1876862

40 =

= 3 3 .6 7 8 9 = 3 3 .7 < � 9 ��. � � $�- > ' � " � � � & �� � $� � � " ���� �, 9 : % � �, . < % � ��

��* � � �� $�% �� � " �! � �2 � � � = � �� ��I�1 � ��� ! -� �� % � 3 3 . 7 � �% " ��% � 0 �E � �� � " �! � �2 � � D , . $# � �; ' ) $�! � $�% � � I�' > -���

3 . 5 ( % & . � ��. � � $�- a # �� > ' � $' �! ��! �100 � � �I�' � ! � �% 5 " ��% �.

Page 36: اساسيات الاحتمالات

3 5

� �������� � �� ����� ������� ������ : � � ��V �� � �� J , � � a # ��� � & . & C � � � > -��� � + � 2 $�- " % �! ���

& ' a # �� 4 �! � $� ��� � � ! & C � � � > -��� � � ! ' �; ' ��. � � $�- �. > -��� $�- > ' � � � �� ��? �� � " �! 2 �� , 9 ��� � � < # � ��? �� � � ! ' 0 ��� ��� � D , .

��. � �): # � ��N �� � a # ��� � ( ���* �)�% �? �� � ( $�� � � > ' � ����� �, � ��� � ��? �� � F V � �� � & C � � � > -��# � $� �� � �.

� ���2 0: & . �� $�! �� � � I�1 � � 0 ��� < # � & C � � � > -��# � $� �� � � $�� � � � � ��3 . 5 % $! 2 � � 2 � � � �� & ' S E2 �. � & �� � (��% �

a # �� : � > ' � �? � " � � � ��? �2000Y �� � @ � �� a # � �, 9 �% ����� : �� �� ���� �� �. , E� �! � ��� � � - < # � + �� �� � � ���� � $�- ��

� � ��� � � � �� ���� � � � & �"��� # � $! �@ � � �E� � � �� " � �� & . �7 � 8 � 9 & ' " � �� & �� � $� ��� � � �� � � �� ��� �! ��186 7 & . � �O � < �� (� � �� � � �� � � � �� � �

�. � $ / % $� ' � $���� �100000S E2 . ��� � � - < # � + �� �� � � ���� � =

xnxl

lP +=

3� 1x �� � � % � ��� � � - < # � �-��� � � & .x 1x + n �� � � % � ��� � � - < # � �-��� � � & . x + n

�- & ! �@ � ��� � � � �� ��7 0.84314

9263778106

llP2040 ===

Page 37: اساسيات الاحتمالات

3 6

& . & C � � � > -��# � $� �� � � $�� � � n)i1(

X.P+

1.98978771686.28 )035.1(

2000 84314.020 =

×= = 8 4 7 .4 6 7

, . < % � �� < # � �% �N �� � �� � 2 � � � �� & ' S E2 � ! < # � �� � : ��- ��% � �� �-� �! � �2 � ��? �� � $! 2 < � 9 > ' �� �� ���84 7. 4 6 7 �%

a # �� : � > ' � �? � �. � � � � ��� �2000 �� � @ � �� a # � �, 9 �% . �@ 5 � , � � �� � ��-@ � �� " �! � �2 � � D , . �. ��) ���� $! 2 � �3 . 5 % � �� (��% �20

a # �� > ' � & 1 ! � ���� �� � ��! � : % ; ' $% �2000 (�� � / �� � ! � �% �� � @ � �� < �� �! �2 �� � ��.

� � �� � � �� � � � ���� �� ������ ���� � 4 ��� 0 ��� < # � ��� � " � ��) ��� � ��E� & ' > -��� � � ��- � �� � �

��� � [ � � ��� � 5 � , � � �) $� -���� � � �E # � $� �� � � �� � � �� � �) ���� � a � �H ��% # � > -��� � 4 ��� � $� -���� � � �E # � $� �� � � �� � � B �� �.

� � ��2 1 : a # �� ��) ��� & ' S E2 �1000 > �2 �� � � � & ' �% �� 3� ���% � D - (� ��) ��� (� �� �� � � & �� � $��% = � � & . ��% �� � �� � ! & ' � ��E� � �� U � � � " � ���� �

& # ��! : $% �� �< � �@ � 1P �. � � J � < # � � �= � � � � � � ���� � ½

2P D - � � < # � � �= � � � � ���� �)1050 ( �. �% ½ $% �) � � $% �� � 1P �. � � J � < # � � �= � � � � � � ���� �

52

Page 38: اساسيات الاحتمالات

3 7

2P D - � � < # � � �= � � � � ���� �)1102.5 ( �% �.

53

�� �% �# � �, ; ' �. $� ��� � � ���@ � & ' : � � ��� �� � � I�1 � � � � � 5 % � � ' S E2 � � �, . U = % ��Y � �� ��) ��� � + �

����� : � - , �E�� � 9 � � �� ��) ��� � + � 9 � ��I ��� % �� (� �� �% # � :& # ��! �% �� $# ! 2 �� � � ) ��� :

% 5 � , � ��� � � 4 ��� � ��� 4 �� � : # � � �= � � � > -���� � � E # � $� �� � � �

& # ��! 5 � , � �) ���� � a # ��� � $�- �� % � [ � % �) ��� " � ���� � � � # �E� : 1. 0 – 10 0 0 = - 10 0 0 2. 1000)05.1(

5.11022 − = 0

3 . 100005.1

1050− = 0

4 . 100005.11050

)05.1(5.11022 −+ = 10 0 0

10 0 0

0 0

1102. 5

1 05 0 0

1102. 5

2/1

2/1

5/2

5/3

5/2

5/3

Page 39: اساسيات الاحتمالات

3 8

�& # ��! 5 � , � " � ���� � � 4 ��� � ��� % 5 � , � � :

102

52 .

21 ==� �@ � � ���� � �

103

53 .

21 ==& % �) � � � ���� � �

102

52 .

21 ==3� �) � � � ���� � �

103

35 .

21 ==> �� � � � ���� � �

E � � � # �E�� $� �� � � �� � � 4 ��� � �% �- �� � ���� � � � " � ���� � �� $� -��' �� � $# ��� �� �& # ��! 5 � , � > -���� � � E � � J � > -��� � 4 ��� �% % ! � : %:

�� : # � � �= � � � > -���� � � E # � > -��� � $�- �� ���� � �� �� :100 $ � % � � � ��) ��� � + � ; � S E2 � � �, . U = % % �% % ? ' �, 9.

10 0 0

0 1102.5

1 050

0

1102.5

������ � � � � �� � �� � � � �� � � � �� � � 200� 10/2 1000�

0 10/3 0 0 10/2 0

300 10/3 1000

100

2/1

5/2

5/3

2/1

5/2

5/3

0

Page 40: اساسيات الاحتمالات

3 9

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

1. 4�#�� ���� $��� � �� ���-� "���)52$-� ( ��� 3 ��

$ %�) �� 4�� � �- < ��@ � $-��� .$ �O � "� ����� � 4��� : �. ��@ � ��#�� �� ���������� ���-��� ��! � ��

41

4. � �� � ! 2 �� ���������� ���-��� ��! � ��)J �% ( 161

R. � ! 2 �� 0 1 % �� ���������� ���-��� ��! � �� 41

2. � �� ���� S�E 2 @ � �� R��� � $) * ) �% � . (� ' R�� � ! �� �%�E �

� ����� �. ��' � �� �� � (� ���: �. ��� 0 % �� ����E ��� $) * ) �� �' @ � ��! ��

41

4 .� ���� � # ��%�! ��

83

3. � ����� 4���� � $%! ���� H I ��%�� = �� "�� 0 �E �� % $�� - " ��� %� � !.

4. �� > � - $) * ) � � ��� $ � & ' �= $) * ) �� / � ����� �. �� Y �� %��

81

Page 41: اساسيات الاحتمالات

40

5. � = � �, ; ' �� % $�� - & �� SE 2 ��� > C � � �= < #� $���! < #� � = � �, 9 ��� �� %= & ' + � �� "�! 3 * ) > C : %? '

+ �C � � ! � + � �� � �! . $ #���� D, . SE 2 �� ! �, ; 'n �) � � �� %= �� �� � ! 4�� . + �C � � ! �� D, . ��! � �� � ����� 4���'

61

6. : � � �@ � ��� !5"�! 3 * ) �� %� $#) ���� "�! ���! � + ��� : � & %�) ��� ����C �73 * ) �� %� "�! "�! "�! > ��� + ���

+ �C � . ��� %� � ��� ��! � �� � ����� �. ��' 0 ! � ! �� � ! "���Y + �C � � -@ � < #� )35/26(

7. < #� J ��� 0 !3 � + �C � "�! 6� + ��� "�! 3 + � �� "�! "��� ��� � � ��3 ��9 �� �� (� I ��2 � "�! � ����� �. ��' � �

Y ��� ��� �� ��! �� �� %� )10/1( 8. : � 0 !12 �� %� $#) ���� � ! 5� + �C � "�! 3 � + ��� "�! 4

"��� + � �� "�!3$ �O � "� ����� � 4��� 0 ! �� �� "�! : �. � ������ � + ��� "�! �� / )55/21( 4 .+ ��� � ��� � ! �� / � ����� )55/27( R. ��� -@ � < #� + ��� � ��� � ! ��! � �� � ��� )55/34( . ��� ��� �� �� #! "�! �� ��! � �� � ����� )44/3( D. ��� ��� �� ) ! � �� ���! 5 �%. 0 � : %� � ����� )11/3(

Page 42: اساسيات الاحتمالات

41

9. "* 1 ��� �� & ' > �10 0 $-�� �#� ��� �% ��� $-�� � �. - � � I � "= = E � � � �����50 $-�� �#� �% ��! � � ' � � I �1 ��

Y � �� � �� $-�� ��� ��

10. : � 0 !10 0 �� %� ��#�� � � $#) ���� � ! 45 � + �C � � ! 30 � ! � + ���25 0 ! �� < �9 " ��� �� %�� � �� � ! "��� + � �� � !

� ! "��� �) 0 ! �� < �9 " ��� �� %�� � �� $ %�) � ! "��� �)"�! �� ����� ��! � �� � ����� �. �� $) ��) < #� $������� 3 * ) ��

Y ���� � ��� � F �� 4 ���� )0 . 0 3375(

11. 4�#�� ���� $��� � �� $-� "��� )52$-� ( " �� �)$ %�) $-� "���� .$ ����� "� ����� � 4��� :

�. �� $-��� ��! � ��< ��@ � $-��� ��� 0 1 % �� $ %�) )2/1( 4. � $-��� 0 1 % & . $ %�) �� $-��� ��! � ��< ��@ )52/1( R. ��� 0 1 % � �-��� �� � ! � ��� �� )169/10( . � �= �� 0 1 % �� ��� 0 1 % � �-��� �� � ! � ��� �� )13/1( D .� �= �� 0 1 % � �-��� �� � ! � ��� �� )169/3(

12. �� % $�� - " � 3 $ ����� "��

�. � � ����� �. ���� & ' ��� ����� ����= 3 �� �+ �) * ) �� "� � )8/5( 4. � � ����� �. �� & ' ������! �� ��� ����� ����= 3 �� �

3 * ) �� "� ��� )4/1(

Page 43: اساسيات الاحتمالات

42

13. : #�� �� 0 � � E ? � �� � ����� ��! �, 9 32 � ���� < �9 4. , �, 9

� (� 2 ��4/1 � $#' ����� 4. , �, 9 6/1 : �� �� 4. , �, 9 . �. ��'E ? � �� � ����� : �# �� ��E � �, 9 �� @ � �� [ ��= & ' : #�� �� Y $ I ��2 � $� � � )36/13(

14. < #� J ��� � �@ � � -� %= �% � ��! �, 9 5 � $� �� � �%� 8 � �%�

< #� J ��� & %�) ��� $� #�6� $� �� � �%� 11$� #� . � ����� �. ��' (�� �� � -� %= �� �� �� (� I ��2 � 4������ � %��� ��! �� Y

)0 . 36878(

15. � �! �� �� � : #I �� � �E � & . $� �� 4�� �� # ��� � �1 � � $��� � � ��� � �#��� 0 % �� . 4��� �) $� ��� D, � � & % ��� L �1 �� 4�! �

$ ����� "� ����� � : �. � ��� "%� $#I ���� %� )4/1( 4. � �%� �� ) ! � $#I ���� %� )16/5( R . $#I ���� %�3� "�%� ) ! @ � < # )16/15(

16. � �= -�%� < �9 + �%��� "�! 2 Q �9 "� � � B , A �� � ����� ��! �, ; '

$= -�%��� < #� � = ��A �. 0 . 6 $= -�%��� < #� � = �� �� � ������ B �. 0 . 3 �. (��� � �= -�%��� < #� � = �� �� � ������ 0 . 1 �. ��'

� ����� : P $= -�%��� < #� $! 2 �� � = �� �� A $= -�%��� �� B )0 . 8(

Page 44: اساسيات الاحتمالات

43

17. B B , A & % ��� L �1 �� & ' � ) �� S 3 �

31 (A/B) P 2

1 (B/A) P 51 )AB( P ===

�� KK (A) P , (B) P 52 , 5

3

18. "�%! ���� "%�! �, 9 $ I ��� ! �� U ��= ��� > %�= � �� & ' M1 � M2 � M3 4 ���� < #� > %= � 0 . 30 � 0 . 30 � 0 . 40 R��%M � B �� � ��

��! �, 9 �1 � 3 � 2$I ���� 4 ���� < #� 3 * ) �� "�% ! ���� R��%9 �� 4 �� R��%9 �. . : %� � �� @ � �� R��%9 �� (� I ��2 � ����= � 4��

$% ! ���� > %= �� [ ��= ��� �, . ��! �� � ����� �. ��' 4 ��M1 Y > %= ��M2 > %= �� YM3 Y)20/3 � 20/9 � 20/8. (

19. �%��� �, 95 4�#�� ���� $��� � �� "�-� )52$-� ( � ��9 �� �

�� � � ��� $-� < #� $��E �� ���@ � D, . + ����� � ����� �. ��' � Y 4 �2 � �=)10 829/3243.(

20. $% ! ���� 1 H �%� 60 % $% ! ����� $' � �� "� �� ��� > %= � R��%9 ��2

& -���� H �%� .5 % $% ! ���� R��%9 ��1 ��% � 4 �� 2 % R��%9 �� $% ! ����24 �� .�� � ����� �. ��' & ' "�%= - $� �� $ �� � ��! � $% ! ����1 Y )38/30(

Page 45: اساسيات الاحتمالات

44

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

1. i)

41

5226 .

5226

=

ii) 161

5213 .

5213

=

ii) 41

5213 .

5213

5213 .

5213

5213 .

5213

5213 .

5213 =

+

+

+

2. �. $%! ���� "� ���� � =23���� & ' ��! & . � � i( � ��� 0 % �� $) * ) �� < #� � �= ��� � ����� J �3 � �

��3+ ��% . �K��� �K�

41 8

1 81

=+

��

41)2/1 . 2/1 . 2/1()2/1 . 2/1 . 2/1( =+

Page 46: اساسيات الاحتمالات

45

ii ( � ���� � # < #� � �= ��� � ����� ���� �� = =

83

�� =

83

8C32 =

� � � �

� � � �

� �

�������� ���� � � ���� ����

Page 47: اساسيات الاحتمالات

46

3. $%! ���� "� ���� 32 = 25

� �= �� "� ����� = $���! �� "� �����=

1/32 32

5/32 32

10/32 32

10/32 32

5/32 32

1/32 32

CCCCCC

50

51

52

53

54

55

4.

81 .

21 .

21 .

21 ==) S S S( p

5. $��#�� �� $ ��%�� "�! �� � =3nC : %@ >3 � ! > � "�! $ �

� �= < #� � �= ��� � ����� = $���! < #� � �= ��� � ����� =2/1 ∴C & ��� "���� � �� ' >3 + � �� "�! = "���� �

� ' > C & ��� J ��� � + �C � � ! � � �� �� � �! �2n

∴ + �C ��� "�! �� � = 2

n 1 2n

=× + � ���� "�! �� �= 2

5n 2 2n 3 2

n=×+×

Page 48: اساسيات الاحتمالات

47

+ �C � $������� � ! �� ��! � �� � ����� =

61

3n1

2n

3n 2n

=×=

÷=

6. & . � �= ��� $%! ���� "� ���� : + �C � + ��� + ��� + �C � + �C � + �C � + ��� + ���

! ��! � �� � ����� + �C � � -@ � < #� D = ���! �� ��! � �� � ����� S-�% ��� ������.

3526

359 -1

73 .

53 1 ==

�� � � � � � � �! � �� � ����� + �C � � -@ � < #� D! � = � �����+ ��� $ %�) ��� + �C � < ��@ �

�� + �C � $ %�) ��� + ��� < ��@ � �� + �C � $ %�) ��� + �C � < ��@ �

3526

74 .

52

74 .

53

73 .

52

=

+

+

=

�������� ���� � � � � � ���� ���� � � �

Page 49: اساسيات الاحتمالات

48

7. 4�#� ��� � ����� � = �� + �C � "�! 3 * ) �� ��! � �� � �����+ � �� 3 * ) �� �� + ��� 3 * ) ��

101

أو

101

101 .

112 .

123

104 .

115 .

126

101 .

112 .

123 P

CCCC

123

33

63

33 =++=

=

+

+

=

8. $%! ���� "� ����

220 C123 =

i) P )� � � � � � � � � � � � �( = CCC

123

30

93

= 5521 220

84=

ii) P )+ ��� � ��� � !( = CCC

123

92

31

= 5527

iii) P )+ ��� � -@ � < #� � ��� � !( =

=

5534

��

CCC

CCC

CCC

123

90

33

123

91

32

123

92

31 ++

Page 50: اساسيات الاحتمالات

49

= 1 -P )+ ��� � ! �� / � �( = 1 -

5521

= 5534

iv) P )����#�� 0 1 % �� �� #! "�! ( =

CCCC

123

33

43

53 ++

= 443

v) P )��#�� 0 1 % �� � �! � � � �( = 113

. .

CCCC

123

31

41

51 =

9. ���� = � ����� � × � � I � �� $� -

50 × 1001 =

21 =

∴ �% � = % ��! �� 4 � ���� ����. ∴� �� � $-�� ��� �� .

10. 4�#� ��� � ����� �

10030 .

10025 .

10045 P =

= 0. 0337 5

Page 51: اساسيات الاحتمالات

5 0

11. i ( < ��@ � $-��� & ' ��#�� < #� � �= ��� � ����� 0 1 %

=2/1 ���� ��� � � ' � %�� 5 �%. �@

ii( % < ��@ � $-��� � ����� 0 1 =521

4�#� ��� � ����� � = � �-��� ��! � �� � ����� 1 �� 2 �� ... ��10

16910

1310

524 .

524 10

. . . 524 .

524

524 .

524

3

=

=

=

+

+

=

iii ( 131

524 .

524 13 =

=

12. i . $%! ���� "� ���� �8

= S

$ ������ "� ���� �5 ∴ 4�#� ��� � ����� � =

85

ii. 82 P =

41 =

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 52: اساسيات الاحتمالات

5 1

13. $) * ) �� "�� �E � � �� � ! � ����� =)3/1( � �� E ? � � (� 2 �� 4�. , �� � ����� �. 4�#� ��� � ����� � $#' ����� 4�. , �

E ? � � : �� �� 4�. , �� �� E ? � � P ) E ? ���( =

61

31

41

31

32

31

+

+

=

3613

14. �� %= J � � �E � � ����� =2/1 4 ��� � �@ � �� %= �� �� 4�� - ��! �� � ����� =

135

21×

�� %= �� �� 4�� - ��! �� � ����� 4 ��� & %�) �� =176

21×

P )4 ��( =

+

176

21

135

21

= 0. 36 8 7 8

15. S = 24 = 1 6

i) P )� ��� "%�( = 16C41

ii) P )� �%� �� ) ! �( = 16 CC 4

443 +

iii) P )) ! @ � < #� "�%� 3 * )( = 16C 144

= 1615

� ��� & I �%) ��%�- � �� �� �� = 16

CCCC 43

42

41

40 +++

Page 53: اساسيات الاحتمالات

5 2

16. P (A �� B) = P(A) + P(B) - P(AB)

= 0. 6 + 0. 3 – 0. 1 = 0. 8

17. P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) ∴ P(A) = 5

22/15/1

)A/B(P)AB(P

==

P(B) = 53

3/15/1

)B/A(P)AB(P

==

18. �! ��

P(D) =�� �� [ ��= ��� ��! �� � ����� P(M1) = > %= �� [ ��= ��� ��! �� � �����M1 P(M2) = > %= �� [ ��= ��� ��! �� � �����M2

P(M3) = > %= �� [ ��= ��� ��! �� � �����M3 "� ����� � & � �� $�? ���� "�%� � $ �O �

P(M1) = 0. 3 P(D/M1) = 0. 01 P(M2) = 0. 3 P(D/M2) = 0. 03 P(M3) = 0. 4 P(D/M3) = 0. 02

Page 54: اساسيات الاحتمالات

5 3

$ ����� "� ����� � 4��% �O � �%� P(M1D) = P(M1) P(D/M1) = (0. 3) (0. 01 ) = 0. 003

P(M2D) = P(M2) P(D/M2) = (0. 3) (0. 03) = 0. 009 P(M3D) = P(M3) P(D/M3) = (0. 4) (0. 02) = 0. 008

���� � D, .� %� � �� # ) �� �! � (�� � "� �. �� E ���� � � $ / %

203

0.0080.0090.0030.003

)DM(P)DM(P)DM(P)DP(M )D/M(P

321

11

=++

=

++=

)DP(M )D(M P )D(M P

)D(N P )D/M(P321

22

++=

= 209 020.0

009.0=

208 0.020

0.008 )D/M(P 3 ==

Page 55: اساسيات الاحتمالات

5 4

� � � ��� $� ����� "� ����� � S E #� �! � �& ���� : ������ � � �� � � � �� � � � � � �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � �� �� � � � �� �

M1 0 . 3 0 0 . 0 1 0 . 0 0 3 3 / 2 0 M2 0 . 3 0 0 . 0 3 0 . 0 0 9 9 / 2 0 M3 0 . 4 0 0 . 0 2 0 . 0 0 8 8 / 2 0

������� 1.00 0.02 0 1.00

19. Q ��� � �� �� ��%�� �� �� E ����

c

cc525

44

41

48

) = ��� 4 �2 (P

108293243 =

��� �� & ' �� C �� �� � #�E � 3 ���� �, . B �-�� $ ' �%�� "� �� 0 �E 5 �%. �� ' � / & ��� < ��@ � $����� , E ? %� � 4 �2 �� $-� 4�� 4 ��

� ����� � ��! $����� D, . & ' 4�� � �� �� 4 �2 �� = 541454243

4845

4946

5047

5148

524

=××××

�' $#) ���� 0 �E �� "� ���� �� 3 �� �. 4�#� ��� � ����� � �

108293243

541453243 5

=

Page 56: اساسيات الاحتمالات

5 5

20.

5 0.789 3830 0.038

0.03 0.0080.03

0.03 )DM(P)DM(P

)DM(P)D/P(M221

11

=

==

+=

+=

M1

M2

D

N D

N

P( M) = 0 . 6

P( M2 ) = 0 . 4

P( D / M1) = 0 . 0 5

P( D / M2) = 0 . 0 2

0.03 0.05 0.60 )M/D(P )M(P)DM(P 111

=×=

=

0.008 0.02 0.40 )M/D(P )M(P)DM(P 222

=×=

=

Page 57: اساسيات الاحتمالات

5 6

��������� ��������

Page 58: اساسيات الاحتمالات

57

������� ����� � ��� � � � � � �� � � � ��� � � �� � � �� � �� � � � ��

RANDOM V ARI AB L E S AND P ROB AB I L I T Y DI S T RI B U T I ONS

& � � � % � � � . � � , � � ) � 4 � � � � � � �� � � � = 1 � � & ' �% � � �

4 � # � � � � � � � � $ - � 4 � � � � D ! 4 � � � � � % � � $ � � - ... H I �� % � � � � � c � � % � � $ � �� & ' �� ! " % �! $ � - � $ I � � 2 � 4 � � � �� # � � � = � � � � ! � & � � �

�� ! $ � � % � � " � V � � � �� < � � �. � � 4 � # � � � � � $ # � � � � $ � � - � " � ! � � & '$ I � � 2 � � �.

�� � � � � � � ! � � � ! � & I � � 2 � � � V � � � �DISCRETE (* = � � � � CO N TIN O U N S

� � � � � � � � � : $ � � = � � � � @ � � - � � $ � - , E ? J , � � & I � � 2 � � � V � � � � � .

� ) �1 � 2 � 3 � ... V � � � � < # � $ # ) � � > � � � � � � :

P � � D � � � : % � ! � $ I �= � 9 $ % � & ' � � @ � � ' � � P � �� � � Q � � � � * E & C � � 1 � $ # � � � � � � . @ � � P " � � � � � " �! 2 Q � M � 2 � � & ' : � �� � � � " � � � � � � ... c � �

�� � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 59: اساسيات الاحتمالات

58

� � � � � � � � � : � ) � � � � Q � � E � $ � - J � , E ? J , � � & I � � 2 � � � V � � � � � .

� � 0 �� �$ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. � = � � � � V � � � � < # � $ # ) � � :

P � �� � @ � " �� � N � Q � M 4 # � � � � � $ � 2 � � " �� � � � �. P $ � � � � � $ � # � � � � � � . P 0 � � � � Q � 9 & ' & I � � � � � � � @ � � = � � 4 * � � � � � �. P � E @ � $ % � � � � * E & � � ! � � � 1 % # � � � � � � � � � � � � �� ) � ...c � �.

� � � � � � �� ��� � � � ��� �� � � � � �� � �� ��� eD i s c r etP r o b a b i l i t y D i s t r i b u t i o n s

� ! " � �� � � � � $ % ! � � � � H I �� % � � � ) � % � � �% % ! � : % ; ' % D . � �% � � , 9& � �� � � � � � �� �� % � :

6 5 4 3 2 1 � � � �

1/ 6 6/1 6/1 6/1 6/1 6/1 � � � � �

' . � � � & � � B � � � � � � � � � �% ! � % & � . � �% � � , 9 ��! � : % �% %& � �� � � � � � �� �� % � � ! � �� � � � � $ % ! � � � � H I �� % � � � ) � % � � :

�������� �� ��� � � ��� � � � 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2

� � �� � �

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

Page 60: اساسيات الاحتمالات

59

" � �� � � � � � & I � � � 2 � � V � � � � � - � � C � J , � � � � � � � , . � > � � � � � � & I � � 2 � � � V � � # � & � �� � � � � > � � � � �� < � � �� � � / �% � � � � ; ' � , ! . � :

� � � � � � � � � � � � � .)F.D.P(Pr o b a b i l y De n s i t y Fu n c t i o n > � � � � V � � �% � � �! � , 9X $ 1 # � E � �� - , E ? xn ... x3 , x2 , x1 , � �� � � �� P (X=xi) 3 � i = 1, 2 ...n : � � � �� < � � � �� � � � � � , . � ; '

�� � � � � � �� � � � � $ ' �) ! � � $ � �� � � � �� � � �� f(xi).

> � � � � � � V � � # � � �� � � � � $ ' �) ! : � � , E ? � � X& � �� � � � ! 2 � � : x2 … … … … ..xn x1 X = x

f(x2) … … … ..f(xn) f(x1) f (x) = P (X= x)

� � � � � � ! � � � � � " # � � � � # � � � � � � � � � � � $ � % � & � � % ' � � � ( � ' ) � � � � � � # � � * � � + � � � � % " # � � � �� � �

�� , � � � - � . � � � � � � $ � % � � � � � �� , � � - � � � � � # .

� � �� � � � � � � � � � � � $ � � 0 � 1 - � �+ ( 2 0 �� - � �x � � � ! � ( ! � � � � � $ �x � * � � - � � � � � � � ( � � � � � � *

P(X=xi ) & � � � � , & � � � f(x) � � 3 # � � ( * � � � � � � :

1)x(f ii)

0 (x) f )i

in

1i=

∑=

Page 61: اساسيات الاحتمالات

6 0

� � � � � �1 : > � � � � � � & I � � 2 � � � V � � � � �% � � �! � , 9X � � = � � � " � � � � . �

� $ � % $ � � - & � % � $ � �� ! � � : � < # � � ; ' � � : & % � � � L � 1 � � � � $ % ! � � � � " � �� � � =}5 5 � K = 5 � 5 K = � K = K ={

� $ % ! � � � � � � � �X & . 0 � 1 � 2 � , �

1/4 2) X(P (2) f1/2 1) (X P (1) f1/4 0) (X P (0) f

x) (X P )x(f

===

===

===

==

� � � & � �� � � � � > � � � � � � � ! �X& # �� ! � . $ % ! � � � � : 2 1 0 X = x 4/1 2/1 4/1 f (x) = P (X= x)

& # �� ! � % � � � � � � � , . � � � ! � � :

1

4/3

2/1

4/1

0 X

1 2

�������� �� �� � �

�����

����

Page 62: اساسيات الاحتمالات

6 1

� �������� �� ��� ������ D i s t r i b u t i o nP r o b a b i l i t y � � � � $ � � � & I � � 2 � � � V � � � � , E � � �� � � �� � � ' � � � % � 4 � �V � � & ' �% % ! �

� $ % ! � � � � $ � - � �� V � � � � , E � � �� � � �� (�C � � � � % �� %X� � - � $ � � � � � � & � �� � � � � > � � � � � : � � � �. � � % $ � � � � D , . � $ % ! � � � � $ � - � � �� $ � - Q � �� �

V � � # �X.

� �� � ���� ��������� � �� �� ���C o n t i n u o u s P r o b a b i l i t y D i s t r i b u t i o n s

: % ? � � = � � & I � � 2 � V � � � & � �� � � � � > � � � � � � � % � � (�C � �% % ! � % � � � J , � � $ � I �� � � � � � � � � � �� � � � � � � = � � � � V � � � � � , � � $ 1 # � E � � � � � � � �� � � � D , . � � $ � - � ! � S �E � �.

� � � � �2 : % � �� 0 ! � ! : % � � � � � � � � � �� � ! � d � � $ ! % �! � $ � W �% � � � F 1 % � � � � � � # � E $ ! % �! � � � � � � � � � � � & ' � # E � � � � ! � � � � � � � � � � � � � �

�% . 0 ! � � � � � ' � E W < � 9 0 ! � � & � �� � � � � � � � � = � � & I � � 2 � V � � � � � & � � 100 $ � � � � D , � � D + � # � � 0 ! :

� � �� � � � � � � � � � � � $ � % � & � � � �+X ( ! � � � � � $ � � � X ( � � � *

� � � 5 � *x � * x) X(P ≤ & � � � � , & � � � F(x)( � - � �

)xi(f x) P(X (x) Fx xi

∑≤

=≤=

Page 63: اساسيات الاحتمالات

6 2

� � � � � f (x)

� � � � � � � �)� � � � � (

! " � # $ � � � � � � % � � & X

0 .0 1 1 0 .9 0 0 .0 7 7 0 .9 5 0 .25 25 0 .9 9 0 .32 32 1.0 0 0 .30 30 1.0 1 0 .0 5 5 1.0 5 1 . 0 0 1 0 0

� � � $ � - � � % � � �% � � # ' �� [ � � � � � � � � I � � 2 � 0 ! � � E � � �� � � % � � � � - J � � �0. 9 5 � 1. 05 & I � � 2 � � � V � � � � � , � � $ % ! � � � � � � � � � � �' � � � � � � � ! � . � = � � � � V � � � � $ � �� & ' $ # ! 2 � � � H � �� % � � �% % ! � � 5 � , � �

> � � � � � � V � � � � : � �� & ' � �� � � � . �� ! . $ � �� � � � � � � 1 � � �' � �� � ! < # �� E �$ # = � � � � $ I � � 2 � � � " � V � � � � : � �� & ' " � �� � � � � � � � � �% % ! � � �� = �. � ! �X Q � � � & ' > � (* = � � � V � � (a.b) J � b x a ≤≤ � ! 2 � � & ' �� ! & � �� � �

f ( x )

)dxc(p ≤≤ a c d b

x

Page 64: اساسيات الاحتمالات

6 3

� = � � � � & I � � 2 � � � V � � � � > � � � � �� � � � � �'x Q � � � & ' (a, d ) � � � � � �� : �d) X c(P ≤≤& # �� ! & � � � :

d) x c(P ≤≤ = $ � � � � � � � � = � � � � $ � �� � � �f(x) & � ' @ � � � � � � � K � � � � � � �x = d , x = c � ! 2 � � & ' $ # # / � � � $ � �� � � � J � .

� � ! �f(x) � = � � � � V � � # � � �� � � � � $ ' �) ! $ � � X � �! � , 9 : i) f(x) ≥ 0 : � � � f(x) ii) ∫

Rf (x) d x = 1 1 = < % � % � � � " � � $ � �� � � � � � �!

∫b

a f (x) d x = 1

(a b≤×≤ )

∫∞

∞−

f (x) d x = 1 ( ∞≤×≤∞− )

� ��������� ���� � ����� ���� � ���� � � �� � ��� � �� ��� � � ? � � �� � � � � & .X J � �� � � � � � - � a J � a) x(P ≤ �� � � � � � � � ��(x) F � , ! . �

dx (x) f a) x( P )x(Fa

-∫∞

=≤=

Page 65: اساسيات الاحتمالات

6 4

& � �� � � � ! 2 � � & ' �� ! & . � :

������3: > � � � � � �� � � �X Q � � � & ' )a, b (� �� J

dx)x(f b) x a(Pb

a∫=≤≤

=

= f (b) - f (a)

� K � � �� � :

f(x)

∞−f(x)

x= a

f(x)

X

x

F(a)

F(b )-F(a)

∞−f(x) ∞

f(x)

a b

dx )x(f dx)x(fa

-

b∫∫∞∞−

Page 66: اساسيات الاحتمالات

6 5

���������� ���� � � ����� � �

1P � �! � , 9c � " � �) x& . : � �� � � � : � � & I � � 2 � V � � f (x) = c ( )5x x = 0 , 1 , … , 5

" � �) � � $ � - K K � ? 'c 2P � �! � , 9X " % �! � �� $ % � & ' � � � 3 � � � � � ) � & I � � 2 � V � �

C � �� � � � � : � � � " � �) X $ � �� � � � � = � � < # � & . : X = x 0 1 2 3 4 5

f ( x) = P ( X=x) C 2C 3C 4C 1.5C 0 .5C

� : � � �� � � �� � � � C �� � �� :� � :

i) P ( x < 3 ) ii) P (0 < x ≤4 ) iii) P (0 < x < 2 )

�� �� : � � ��� � � � � � � � � � � � � � � �X

Page 67: اساسيات الاحتمالات

6 6

3P " % �! � $ � �� ! � � : � < # � � � = � � � � � < � � $ � % $ � � - " � � � � , 9X � � < � � � % � � $ � � - �� � " � � � & � � � " � � � � � � ) � & I � � 2 � V � �

$ � �� ! � � : � < # � � � = � � � . V � � � � � �� � � � : � � � �X. 4P � � � � � : � 2 � � � � � E � �)" � �! � � ( � � $ � � � � � �10

& I � � 2 � � � V � � � � � �! � , ; ' : � 2 �X � ? ' �� E � � � � 2 � � � - � ) � K � � �� � � � � : � � X .

5P � �! � , 9X : � �� � � � $ ' �) ! & I � � 2 � V � �

f(x) = 21

�2 x 0 ≤≤ K K � � :

i) P ( 0 .5 < x < 1.5 ) ii) P ( x > 0 .25 ) iii) P ( x < 0 .75) iv ) P ( x > 3 )

6P " % �! � , 9

2x2)x(f −

=

0 < x < 2

Page 68: اساسيات الاحتمالات

6 7

K K � � :

i) P ( 0 .5 < x < 1 ) ii) P ( x > 1.5 ) iii) P ( x < 0 .3) iv ) P ( 0 < x < 2)

7P � 1 2 � � " �% �� � � � � � � & ' � �� � � � � �! � , 9 � $ # I � � $ � � E � � � � ! � � � $

� . $ � � = : � � � � � N � J � < # � � % � � � � � � � � 4 � �0. 6 . : � � 2 ' � � � � � - $ � � = " �� � 9 �� # � 4 & � � � $ # I � @ � � � �% � � �

� � � �� $ � � M � & 'x. > � � � K K � �x & � �� � � � � .

8P & . � �- � $ ) * ) : # � 4 � � 2 � 3 � 4 � � , 9 � � � 4 � � � � �%

�% C ' � , 9 � $ ) * ) � � � �- @ � � � < # � � � � ! & ' 2 N � � � 2 N 3 � � � �x � � �% � � � � - � � B � � � � ) � � . H � % � � � � $ % ! � � � � H I �� % � � = � �

> � � �x& � �� � � � � . 9P � . + �= � M � � �� � � � & ' 4 � �� � � U % � � � �� � � � � �! � , 94

1 � � � � � �� � � * �4 * � $ ) * ) . � ? � �% C ' � , 9x � � �% � � � � ) � � . = � �

K � & � �� � � � � > � � � � � H � % � � � � $ % ! � � � � H I �� % � �x .

Page 69: اساسيات الاحتمالات

6 8

�� � � � � � ������ � �

1P

1/32 C 1 ) 15101051 ( C

1 )( C 1)( C

1)x(f

5x

5x

x11a

=

=+++++

=

=∴

=

∑∑∑

2P � : ∑ =

x11a1)x(f

∴ C + 2C + 3C + 4C + 1.5C + 0 .5C = 1 ∴ C = 1/ 12

��� � �� : i) P (x< 3) = P (x=0 ) + P (x =1) + P (x = 2)

= C + 2C + 3C = 6 C = 6 (1/ 12)

= 1/ 2

ii) P (0 < X ≤ 4) = P (X=1) + P (X=2) + P (X=3) + P (X = 4)

= 2C + 3C + 4C + 1.5C

Page 70: اساسيات الاحتمالات

6 9

= 10 .5. C = 10 .5 (1/ 12)

= 10 .5/ 12 � �

= 1 – [ (P (X=0 ) + P (X=5)] = 1 – (C + 0 .5 C) = 10 .5 C = 10 .5 12

iii) P (0 < X <2) = P (X =1) = 2 C = 2/ 12 = 1/ 6

��� �� : � � ��� � � � � � � � � � � �x

F(x) = P (X ≤ x) F(0 ) = P (X ≤ 0 ) = 1/ 12 F(1) = P (X ≤ 1) = 3/ 12 F(2) = P (X ≤ 2) = 6 / 12 F(3) = P (X ≤ 3) = 10 / 12 F(4) = P (X ≤ 4) = 23/ 24 F(5) = P (X ≤ 5) = 1

Page 71: اساسيات الاحتمالات

70

3P f(x) = (1/ 2)x x= 1, 2, …

4P X = x 1 2 3 … … … … .10

f ( x) = P ( X=x) 1/ 10 1/ 10 1/ 10 … … … .. 1/ 10 f(x) = 1/ 10 x = 1, 2, … , 10

5P i) P (0 .5 < x < 1.5) = ∫ .5.1

5.0dx 2/1

= 1.5

0.5

2x

= ½

ii) P (x > 0 .25) = ∫2

25.0dx 2/1

= 7/ 8

iii) P ( x < 0 .75) = ∫75.0

5.0dx 2/1

= 3/ 8

Page 72: اساسيات الاحتمالات

71

iv ) P (x > 3) = ∫∞

3dx 2/1

= 0 0 ≤ x ≤ 2 � �

6P i) P (0 5 < x < 1) dx

2x2

1

5.0∫ −

=

1

5.0

21

5.0

1

5.0

1

0.5.

0

1

5.0

4x - x

dx 2x -dx x

dx 2x - 1

=

=

=

∫ ∫

= 1/ 2 - 165

163

=

ii) P (x > 1.5) dx 2x2

2

5.1∫ −

=

= 161

iii) P (x < 0 .3) dx 2x2

3.0

0∫ −

=

= 0 .2775

Page 73: اساسيات الاحتمالات

72

iv ) P (0 < x <2) = dx 2x2

2

0∫ −

= 1

7P x 0 1 2 3 4 5

p(x) 0.4 ( 0.6 ) 1 ( 0.4)

( 0.6 ) 2 ( 0.4)

( 0.6 ) 3 ( 0.4)

( 0.6 ) 4 ( 0.4)

( 0.6 ) 5

8P x 4 5 6 7 8

p(x) 91

92

93

92

91

9P P (x) = n

xC p x q n-x

P (0 ) = 6427 , P (1) =

6427 , P (2) =

649

P (3) = 641

Page 74: اساسيات الاحتمالات

73

�������� ��������

Page 75: اساسيات الاحتمالات

74

������ ���� ���� ��� ������ �� ���� ���

���������� � ������ �� � ������� �� "��#���� F�� �� �� �!�)"�� ������ ( "�1 = � % ��

� . � ��� � F��� �� C �� : I �= � � � "���� ��� ��� % �� � &I �= � M � > �� ��� 0 �� � � . � ������� � > �� �#� > C � ��� � !� � � . � � ��� : "��#���� D , .

. �V � � �� ���� * � 0 �� � � . � � ��� ��� � �2 � % � � "��#���� D , . $ � � � � �% � % &# ��' � :

� ���� �� Expectation ��! �, 9x : ���� � � $ ' �) ! &I �� 2 � V � � f(x) � � ��� � �'

∫∞∞-

dx f(x) x > - � � ��� . (�� ��) �� !� � � ��� �, . �) � � � � ��!� : % � ( < #� �� � : % !�� "��� ) �� � ��� � � � $ ' �) ! $ �� �� % �C � � &� ��f(x)

V � ��� ��! �, 9 �x J � �� $ ��� �� D , . &' > - � � �� U �= ���� � � ∑ xall

P(x) x

3 �P(x) V � �#� $ ���� � � � $ �� �� x > - � � � � �% �x � ���� E(X) � � �� 3 � E $ C � $ #�� < �9 2 Q � $ % �� V � ��� < #� x �� % � �C �� :

Page 76: اساسيات الاحتمالات

75

E (x) ∫∞

µ==-

dx (x) f x

� � µ== ∑ xP(x)

xall

V � ��� �� ! 4 � �x(���� � � � � * = � � . > - � � �� < � ��!E(x) � � �� � E � � � &���� � � � > � � � #� &��� � �� �� � ���

&� � M �µ) � � ( �� ��� #� 4 ��V �� &' V � �#� $ �- � � ��� $ �� ��x. > - � � �� $ V = �� / � * �)(* ) � > �� � ��� V � ��� $ ��� &' ( : �2 � �� % �

(�% �� � �P(x) �1 % �� % � $ � #�� xi) 2 , 1 � 0 � =i ( 4 �� � � ��� > - � � ��� &. � ��� � @ � D , . � � ) � !���� � � � : �� %.

��! �, 9x &' $ �� J � ��' (�I �� 2 � (�V � � x) (* ) � � � % � (x) ϕ ( &.J � �� : �- � � � &I �� 2 � V � � Q E @ � :

E [ ϕ (x)] = P(x) (x) xall∑ ϕ

= ∫ϕ xRange

dx f(x) (x)

�� ! 4 � �x (* = � � � � (���� � � .

, K K E ? % � r x (x) =ϕ �� K K !

E (xr) = ∑ xall

r (x) P x

Page 77: اساسيات الاحتمالات

76

= dx (x) f xRx

r∫

� � % �� r = 1 �� K K !

E (X) = ∑ µ= xall

(x) P x

= µ=∫ dx (x) f xRx

: 1 � � � � � � � �� � . ��' $ ��� � � "�� 3 * ) $ % �� � % $ ��- "� �� &C ��� > - �

� � / "�� ��"� � ="Y

������ &��� �� � � �� &' � / �% ��� "� ��� � � �� &% ��� L �1 �� � ) �% �� �% % !�:

� � �� � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � S S S 3 8/1 5 S S 2 8/1 S 5 S 2 8/1 5 5 S 1 8/1 5 5 5 0 8/1 S 5 5 1 8/1 5 S 5 1 8/1 S S 5 2 8/1

Page 78: اساسيات الاحتمالات

77

B X "� �� �� % � D � = : � < #� � � = � �� "�� � � ) �� V � �#� � ��� � � � : �� "�� 3 * ) � % �� : ��- X &��� �� � � �� &' D ���� :

X = x 0 1 2 3 f ( x) = P ( X = x) 8

1 83

83

81

E(X) = ∑

=

3

0 i(xi) P Xi

= 0 (81 ) + 1 (

83 ) + 2(

83 ) + 3(

81 )

= 23

&% ���� � � ��� ���� �� � � �� &' $ % ���� $ ���� � � � $ �� �� � ) �% �� �% % !����� ��& :

f ( x ) = P ( X = x )

• •

8/3

8/2

0 1 2 3 X

Page 79: اساسيات الاحتمالات

78

� �������� �� P r o p e r t i e s o f E xp e c t e d V al u e

> - � � �� � � �� �% � E : % �� $ C � $ #�� < �9 2 � � �� � ��� S �� E ��� � � �� �, . � �� �� � � �� �, � � &��� �� &I �= � M � V � ��� < #� J �

$ ��� �� :

� � � � �a � � � � x � � � � � � � ! � � E (ax) = aE (X)

��K K K . ��� :

E (ax) = P(x) ax xall∑

= ∑ xall

P(x) Xa

= a E (X) � �

E (ax) = dx (x) xfa-

∫∞

= a dx (x) f -

∫∞∞

= a E (x)

������ ��� ������ � � ��! �, 9 a � "��) X �; ' &I �� 2 � V � � E (a) = a

Page 80: اساسيات الاحتمالات

79

��K K K . ��� :

E (a) = P(x)a xall∑

= ∑ (x) P a = a (1) = a

$ K K K � %:

E (ax+ b ) = a E (x) + b ��K K K . ��� :

E(ax+ b ) = E (ax) + E(b ) = a E (x) + b

� �� � ��2 : E(2x + 3) = 2 E(x) + 3

" � � # " � # " � � $ � % #

E [ E(x)] = E (x) ��K K K . ��� :

"��) �� J � �� "��) �� > - � � �� ���� �% !, ��! $ � ��) $ �- > - � � �� �� ���> - � � �� J � �� > - � � �� > - � � �, �.

> - � � < �9 �% � � � #' E(x) $ � ��) �� $ �� ��� z ��' E(z) = z �� % �� E[ E(x)] = E (x)

Page 81: اساسيات الاحتمالات

8 0

4& E [ ( X - E ( x) ] = 0 ��K K K . ��� :

E [ (x – E (x) = E (x) - E(E (x)] = E (x) - E (x) = 0

�������1 : � � �X � Y � ��� � � � � ���� � � : E ( X ± Y) = E ( x ) ± E ( Y)

� � � � � � � � � � � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � ���� � � � � ��K K . ��� :

E (X ±Y) = ∫ ∫∞

∞−

± xdyd f(x.y) y)(x

= ∫ ∫∫ ∫ ± dxdy y)(x, f y dxdy y) (x, f x = ∫ ∫∫ ∫ ± dx]dy y)(x, f[ y dx]y)dy f(x, [ x = ∫ ∫± dy f(y)y dx f(x) x

= E(X) ± E(y )

�������2: � � � Y , X � � � � ���� � � � �! " � � � ��� : E ( XY) = E ( X) E ( Y)

��K K K . ��� : E(X Y) = ∫ ∫ y d x d y) (x, f Y X

Page 82: اساسيات الاحتمالات

8 1

= ∫ ∫ y d x d f(y) (x) fxy … … . � * � � � �

= ∫ ∫ y d (y) fy x d (x) fx

= E (X) E (Y)

� � � � � �3 : ��! �, 9X&. : ���� � � � : � �� �I �� 2 � �V � � :

f(x) = 2x 0 ≤ X ≤ 1 �� �

�K � � K ! K K � ? ' E(x+ 1)2 E(x2) E (x)

� � � � � : E(x) = ∫1

0dx (x) f x

= ∫1

0dx (2x) x

= ∫10

2 dx x2

= 2 1

0

3

3x

= 2 0-31

= 32

Page 83: اساسيات الاحتمالات

8 2

E(x2) = ∫1

0

2 dx (x) f x

= ∫1

0

3 dx (2x) x

= ∫1

0

3 dx x2

= 2 1

0

4

4x

= 21

E (x + 1)2 = E [ x2 + 2 × + 1] = E(x2) + 2 E (x) + 1 = ½ + 2 (2/ 3) + 1 = ½ + 4 / 3 + 1 =

617

� �������� ���� �� ������� Variance & Standard Deviation

"� K 2 � #� 0 �K � � &K . J �K ���� � �K � % � �� ��K �� �� �� � �%(D is p e r s io n ) "� K 2 � #� 0 �� �! �O � ��� 2 - �% % � �% % !�� J �!� > � � � � � �

&I �� 2 � V � �� &���� � � � > � � � #�. : �- � � ��� $ �� �� ��) &��K � � �� �� � �� � � (� � � K V � �� &��K �� � � > K �

�K � $ �� "��� #�� �% ��� � &���� � � � > � � � �� � !� < #� �% � � �� &I �� 2 �

Page 84: اساسيات الاحتمالات

8 3

� �� % !�� � ) !� �� $ � � + � 9 &' �� � � �� �, 9 ���� Q ��� &' �� � �� : K � � �� &I �� 2 ��� V � ��� � - "� 2 � � � �2 � % � Q � �� "��� #�� J � �% ���

Q E � < �9 . ) !� < �9 �% . ��� % � � 0 �K � � �K � � ���� K � �� (��� 2 0 �� ��� J ����� � �� % � �� ���� �� &. � &I �� 2 ��� V � �#� &���� � � � > � � � �� "� 2 �.

$ K � � 0 1 % K � ����� 0 �� &I �� 2 � V � �� &���� � � � > � � � �� ���� �� > �� �� � � � % �O � �% % � � . � � �� �1 ��� J �!� �� > � � � �� $ ��� &' : � �-

"�' �� % � �K � "�' �� % � � > �� �� � � � � 9 �� � � $ �- � � ��� $ �� �� �� � � ��J �!� �� > � � � �� � � $ % �#� &��� � �� �� � ��.

- �� � ������ � � ��� � ��� ��� � ����� � � �� ���� �����X � ��� � � ��� �� � �� � � �����X ��! � " �� ����� " ��# �� �� ��� ��! � � ����� � � �� X ��$ �% & µ E ( x ) = ����� ' �� ��� �� �% ( �X � � σ2

x �) V a r ( x ) �� σ

2x = V a r ( x ) = (x) p )x(

xall

2∑ µ−

= ∫∞∞

µ−-

2 dx (x) f )x(

� �) ��� # �� ��� ���� ��$ * � � +, - �

= E [ ( x -u ) 2] = E [ x - E ( x ) ]2

Page 85: اساسيات الاحتمالات

8 4

�� �- � � �� � � �� "�' �� % � > �� > - � � �� � ��� � . ���� �� �� J �.

� - �� / � * % X K � $ ����� � � �� &. ���� �� 4 �� � &' $ #E � �� X �, !. � � ��' � - 0 1 % � "� 2 � �� 0 � � ���� � X < #� � = � % &!� $ ����� �� �� ��% 9 �

� - 0 1 % � "� 2 � #� 0 �� �X �� � . � ���� #� 4 � ��� &��� �� , �� % �% % ? ' J ����� � �� % � �� < � .

J �K ���� � �� % � �� ���� �� 4 �� � �� < �9 � � ���� 4 * ��� U = % %C ��� � �- J �!� �� > � � � #�+ � �� �, . &' �� - &.

������4 : ��)� <�9 � �����)1 ( B � " � K � 3 * ) � % : �� - + �� �9 �. � x & K .

� �= : ��� �� / " � � � & I � �2 ��� V � ��� . $ K �� & K � � & ��� �� �� �� V � �# � ���� � � � x � ��� �� � � �! 4 �� � $ 1 ! � 2

xσ J �K ���� � � � % � � � xσ .

- � � � � � � � � �

������ ������ �������� ���� � X ���� ���� �% . �� �� � ��� �� * . ����X � ����� / � � ���� xσ ���� �� :

xσ = 22x )-(x E µ=σ

Page 86: اساسيات الاحتمالات

85

X = x f ( x) = P ( X=x) Xf ( x) ( x-E ( x) ) 2 [ x-E ( x) ] 2 f ( x)

0 1/ 8 0 ( 0-3/ 2) 2 = 9 / 4 9 / 32 1 3/ 8 3/ 8 ( 1-3/ 2) 2 = 1/ 4 3/ 32 2 3/ 8 6 / 8 ( 2-3/ 2) 2 = 1/ 4 3/ 32 3 1/ 8 3/ 8 ( 3-3/ 2) 2 = 9 / 4 9 / 32 E ( x )

23

812

=

43

32242

x ==σ

� � ? ' � , ! .43 2x =σ� ��� ��

43

x =σJ � ���� � � � % � �

23 = ������� : � � �X � �� � � � �� � � �� � ����� � � µ = E (x) � ��� � � �

2Xσ = V a r (x) � �

2σ = E (x2) - [ E (x)] 2 = E (x2) - µ 2

� �K K K . ���: 2σ = E [(x - E (x)]2 = E [(x2 – 2xE(x) + { } ])x(E 2 = E (x2) – 2{ } { }22 )x(E)x(E +

= E (x2) - [ ]2)x(E

Page 87: اساسيات الاحتمالات

86

�������5 : � % : �� - & � �. � � ��� �� ��)��� <�9 � �����3 �� K �� � �K ' " � �

K � J � ���� � � � % � � � � ��� �� 4 �� � : � � & � � & ��� ��x $ / % �� � � E � � �� $ � ��� ��

[ 2σ = E (x2) - µ 2

X = x f(x) xf(x) x2f (x) 0 1/ 8 0 (0)2 = (1/ 8 ) = 0 1 3/ 8 3/ 8 (1)2 (3/ 8 ) = 3/ 8 2 3/ 8 6 / 8 (2)2 (3/ 8 ) = 12/ 8 3 1/ 8 1/ 8 (3)2 (1/ 8 )= 9 / 8 E(x)

23

= E(x2) = 824 = 3

J ��� � ��� �� � �' � , ! . �

2σ = E(x2) - [E (x)]2

= 3 - 2)23(

= 23

� ��� # � 4 ���� & � � � �� , �� J ��� J � ���� � � � % � � � =23

43==σ

Page 88: اساسيات الاحتمالات

87

� �������� ����� Properties of Variance

� � �% # � �� � � S � �E �� D , . � � ��� # � S � �E D � 5 �% . J @ � ��� �� 4 � & I � �2 ��� V � ��� & ' : �� X& . S � �E �� � . � � :

1( � � � a � � � �� X � � � � � � � � � � � � � V ar (ax) = a2 V ar (x)

� �K K K . ��� : V ar (ax) = E [ax – E (ax)]2 = E [ax – a E (x)]2

= a2E [x –E (x)]2 = a2 v ar (x)

������6 : � ��� � �! � , 9x J ��� 0 . 5$ ��� �� " � V � ��� � ��� �. ��' :

i( 2 X ii( 2

X

���� � � : i) V ar (2x) = 4 V ar (x)

= 4 (0. 5 ) = 2

Page 89: اساسيات الاحتمالات

88

ii) V ar )2

X( = 41 V ar (x)

= 41 (0. 5 )

= 0. 125

2 ( � � � � � � � � � ��� � � �� � � �! � , 9a � �' " ��)

V ar (a) = 0 � �K K K . ���:

V ar (a) = E [a –E (a)]2 = E (a – a)2 = E (02) = 0

$ K K K � % : V ar (x ± a) = V ar (x)

� �K K K . ��� : V ar (x ±a) = V ar (x) ± V ar (a) = V ar (x) ± 0 = V ar (x)

K V � ��� � � �� <�9 : � ��) $ � - J � [ � �� $ � - J � $ ' �C 9 � �' � , ! . � V � ��� � , � � � ��� �� <# � )N � � & I � �2 ���.

Page 90: اساسيات الاحتمالات

89

������7: V � ��� � ��� � �! � , 9 x J ��� 5 � � �! � ��� �. ��' :

i) x + 3 ii) x – 6

���� � � : i) V ar (x + 3) = V ar (x) = 5 ii) V ar (x – 6 ) = V ar (x) = 5

3 ( � � � X ! Y �� � " # � � � � � � � � � � � � � � � : V ar (x+Y) = V ar (X) + V ar (Y) V ar (x - y) = V ar (x) + V ar (y)

� J ��� ��� % � � 1 �� �� � # � � � � � I � �2 � � V � � B �� � � ��� � � J � B �� ��� % ���.

� �K K K . ��� : V ar (X ± Y) = E [(X ± Y) – E (X ± Y)]2

= E [{ } { } 2]E(y)- Y )x(EX ±−

= E [{ } { } { }{ })y(EY)x(EX2E(y)-Y )x(EX 22 −−±+− ]

= E { } { } { }{ }])y(EY)x(EX[ E2E(y) - YE )x(EX 22 −−±+−

= V ar { }{ }])Y(EY)x(EX[ E2(Y)Var )x( −−±+

Page 91: اساسيات الاحتمالات

9 0

� # � � � � � ) �� �� � � ��� 1 = J ��� E @ � � �� � ? � " �)% � � �% # �' � , ! . �

(� ��� � E �� � �� � �! = 2 [ E { } { }]E(y)-YE )x(Ex − = 2 [(0) (0)] = 0

∴ V ar (X± Y) = V ar (x) + V ar (Y)

J � : # � � � ��� " � V � ��� � � � � � � � J � <# � D � �� �� D , . � ��� � ! � � � � :

V ar (x1± x2 ± x3 ± … ± xn)=V ar (x1)+V ar (x2)+… + V ar (xn) � ����������� variance C o

� V � � � � � ��� * � 0 � � � �. � Y, X " % �! � , �' f(xy) ���� � � $ ' �)! : �� � V � ��� �V � � �' ��� � V � ��� � , . Y, X & # ��! (� C � � � :

Co v (X, Y) = ∫ ∫∞

∞−

[X –E (x)] [Y – E(y)] f (xy) d xd y

= E [{ }{ }E(y)-Y )x(EX − ]

Page 92: اساسيات الاحتمالات

9 1

� ���������� � ������ � 1� � � � � � X, X � � � � � X � Co v (x, x) = V ar (x)

� �K K K . ��� : > C ��X � � Y 4 �# � ��� <�9 �= % D * � � �V � �� : � ��� & '

2� � � � � � � b , a � � � � � � � � : Co v (ax, b y) = ab Co v (x, y)

� �K K K . ��� : Co v (ax, b y) = E { }{ }[ ])by(Eby)ax(Eax −− = ab E { }{ })y(EY )x(Ex −− = ab c o v (x, y)

3� � � � � � � a � � � � � � Co v (x, a) = 0

P ���������� ������ � � ������� �� �� � � �Y, X) � � ���� � � � � �� � � ���C

� �Co v ( ������ �� � � ��� � � � �� ! �� " # � � $ % ��� $ � � � � �& � � � �� ' �� � �� $:

Co v ( x , Y) = E [ ( x -µ x ) ( Y-µ y ) ]

Page 93: اساسيات الاحتمالات

9 2

� �K K K . ��� : Co v (x, a) = E { }{ }[ ])a(Ea )x(Ex −− = E { }{ }[ ]0 )x(Ex − = 0

4P Co v (x1 + x2 , y) = Co v (x1 , y) + Co v (x2 , y)

� �K K K . ��� : Co v (x1 + x2 , y) = E { }{ }[ ](y) E-Y )xx( E)xx( 2121 +−+ =E { }{ }[ ] { }{ }[ ])y(Ey )x(Ex E)y(Ey )x(Ex 2211 −−+−− = Co v (x1 , y) + Co v (x2 , y)

5� � � � � � � � � � � � � � � x2 , x1 � � � V ar (x1 + x2) = V ar (x1) + V ar (x2) + 2Co v (x1 , x2) V ar (x1 - x2) = V ar (x1) + V ar (x2) - 2Co v (x1 , x2)

� �K K K . ��� : V ar (x1 + x2) = E [ (x1 +x2)

- E (x1 +x2)]2 = E { } { }[ ]22211 )x(Ex )x(Ex −+− = E 2

222

11 )]x(Ex[E)]x(Ex[ −+− + 2 E { } { }[ ])x(Ex )x(Ex 2211 −−

= V ar (x1) + V ar (x2) + 2 Co v (x1 , x2)

�� & ' J � � V � � � � � 1 �� � ��� : ��� & ' �)�����: �

Page 94: اساسيات الاحتمالات

93

V ar (x1 – x2) 6� � � � � � x2 , x1� � � � � � � � � � � � � � � � �

Co v (x1 , x2) = 0 � �K K K . ��� :

Co v (x1 , x2) = E { } { }[ ])x(Ex )x(Ex 2211 −− = E[x1 x2 + E (x1) E(x2) – x1 E (x2) – x2 E(x1) = E(x1) E(x2)+E(x1) E(x2)–E(x1) E(x2)-E(x1) E(x2) = 0

� �! � # � � � � � V � ��� � � ���� E (x1 x2) = E (x1) E (x2)

� ����� � � � � �� � � � �

� � �V � �� � �! � , 9 � 1 = ������� � , . � �! �Y , X 1 = J ��� . Q ��� & ' > � � ��� � � ������

1 ≥ ρ ≥ - 1 � ; K ' � , K ! . �

ρ 2 ≤ 1

� � � � � � � � � � � � ρ= (y)Var (x)Var

Y) , (X Cov

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Y , X

Page 95: اساسيات الاحتمالات

94

� �� � � � � � �� � � � � � � � �

1 ( � �! � , 9µ E (x) = � � " �)? ' : i) E (x-µ ) = 0 ii) E (x-c )2 = E (x - µ )2 + (µ -c )2

3 � C " ��) J � .

2 ( �� � �K = E 2 �� � � � S E 2 � � � " � ��� � � " % �! � , 93 �� 4 �� 5 �� 6 4 � � �� <# � & . � I �� # � <��@ � $ �� & ' S �E 2 � :

0. 05 � 0. 43 � 0. 27 � 0. 12 � 0. 09 � 0. 04 I �� # � <��@ � : �� & ' � . � � > - �� ��� S �E 2 @ � � �. ��'Y �

3 ( � � ��� � � " �)�E (x-a)2 " ��)�� � �! �� % � Q V = �� : � �� % & ' � �! a J ��� E(x).

4 ( � # � � � ��� � V � ��� �% � � �! � , 9Y , X& . ��� ���� � � $ ' �)! : f (x) = 12 x 2 (1 – x) 0 ≤ X ≤ 1 f (y) = 2 Y 0 ≤ Y ≤ 1

� � ��� > - �� �� Yx

xY2 +

Page 96: اساسيات الاحتمالات

95

5 ( � �! � , 9X & ��� � �� : � � � & I � �2 � V � � 10 : % ��� � 6 $ � - �� E (x2 + 3 x)

6 ( � � ��- � � $ � ����� " � � � �� �� & ���� � � � > � �� �� & � � & ��� �� �� ���� & �I �� � 2 �* E " � � �:

� � � � � � � � � � � � � � � � ! ! " 0. 01 0 0. 05 10 0. 39 20 0. 45 30 0. 10 40 1.00 #������$���

KK �� : i( � 2 � � � * E : � � � � � � " � � � � � � � � �� �.

ii( � 2 � � � * E : � � � � � � " � � � � � � � � � �. 7P� & ' � � � : � � � � � � : % �# � � � " � % � � 1 # � � � � � � & � � � � � � � � � " * � � � � �

� � % � � ! � / � % � � � � � � � � � � � (� � �� � � : � � ���� � � � � % � & ' � � �� ! ! �"

0. 13 0 0.27 4 0. 39 6 0. 21 8 0. 07 40 1.00 #������$���

Page 97: اساسيات الاحتمالات

96

KK �� : i( $ � �� � @ � " � � � � � � � � �� �

ii( $ � �� � @ � " � � � � # � & � � � � � � � � �� � � � � �

8 ( � � > � � � � 4 = % � $ - � � � S E 2 J � 2 � & K. � < K� �@ � � � I � � � U �

4000 & K. � $ K % � ) � � � � I � � � �� � % 3000 � � K� � � � � � K% 0. 005 � 0. 008Y $ - � � � � � D , � � 4 � � % � � � � � � � �. � � ' 4 � � � � < # �

9 ( � � K� � � � � E K� � � K! � , � K' D � � + � 2 � S E 2 4 . ,A �� B �� C

� � � � � � �0. 4 � 0. 3 � 0. 3 � � K� � � � K� ) � � ! � 4 � � � � < # � A 2000 � � � � � � � % B 25 00 � � � � � � � % C 3000 a K# � � � � �. � � ' � %

Y S E 2 � � � , . : � ' � � > - �� � � �

10 ( & . $ # � � � � > � 2 � $ ) * ) & ' � � � � $ ! 2C , B, A : K� - �� � � � " � I � � � � � & K. $ ) * ) � � > � 2 � # �100. 000 � 5 0. 000 � 25 . 000 4 K � � � � < K# �

& . " � % � � � � � �10. 000 � 5 000 � 3.000�. � � ' 4 � � � � < # � � % : i( $ ) * ) � � > � 2 � � � � � $ � - �� � � � " � I � � � � & � � � �.

ii( � � � � � � & � � � �.

11 ( " % � ! � , 9X � �� $ � 1 = & ' $ � � � � � � + � � E @ � � & . f (0) = 0.9 f (1) = 0.05 f (2) = 0.03 f (3) = 0.02

Page 98: اساسيات الاحتمالات

97

& ' > - �� � � � + � � E @ � � �. � � '200Y $ � 1 = 12 ( � � ! � , 9C � " � � ) X : � � � � � � : � � & I � �2 � V � �

f (x) = c x x = 3, 4, 5, 6

KK �� : i( " � � ) � � $ � -C

ii( > - ��X iii( � � � �X

13 ( � � " � ) �

Co v (x, y) = E (x y) - µ x µ y

14 ( V � � # � $ ! � 2 � � � � � � � � � � $ ' � ) ! : � � � � " � # � � , 9 � y, x & .

f (x, y) = x + y 0 ≤ X ≤ 1 0 ≤ X ≤ 1 KK �� i ( � V �y, x J � Co v (x, y) ii( � � � � � � � � � � �y , x J � (x, y)

Page 99: اساسيات الاحتمالات

98

�� � � � � � � � ��� � � � ����� 1 (

i) E (x-µ ) = E[ (x-E (x)] = E (x) – E (x) = 0

ii) E(x-C)2 = E (x2-2c x + C2) P � @ � � � � �

= E (x2) – 2CE(x) + C2 = E (x2) – 2Cµ + C2

P� � � � � � @ � E (x-µ )2 + (µ -c )2 = E (x2 - 2µ x + µ 2) + µ 2- 2µC + C2 = E (x)2 – 2 µ 2 + µ 2 + µ 2 - 2µC + C2 = E (x2) – 2 µ c + C2

∴ 4 �# � � � � �. � � �� � � � � � ' � � � � �! 2 (

x f ( x ) f ( x ) X = x 0.05 0.05 1 0.86 0.43 2 0.81 0.27 3 0.48 0.12 4 0.45 0.09 5 0.25 0.04 6

E(X) = ∑allx

)x(XP

Page 100: اساسيات الاحتمالات

99

= 2.89 4 �# � � � � �. �

3( J �� � � : � < � �@ � : � � 2 � � � " % � ! � , 9 Q V = � � : � � � % & ' � � � � � � �!

1 = � � 444 3444 21

Z

222 a (x) E a 2)x(E)ax(E +−=−

� � � � � � , . � � 2 %) Z ( K� $ � � % � � � a

dadz = 0-2 E (x) + 2a

= 0 – 2 a + 2a = 0

3 �a = E (x) ∴ Q V = � � : � � � % & ' � � � � �

4 ( E

+

=

+

YXE

XY E

YX

XY

22

= E (Y) E

+

Y1 E)X(EX

12

� * � � � � � � � % @ D * � � : � � � � � � & ' H � � % � � F �� % � D � < # � > - �� � ! % � O �

Page 101: اساسيات الاحتمالات

10 0

E (Y) = ∫1

0Y f (Y) d y

= ∫1

0Y (2Y) d y

= 2 ∫1

0Y2 d Y

= 2 1

0

3

3Y

= 32

E

2X1 = ∫

1

0{ } X)-(1 X 12 X

1 22 d X

= ∫1

0{ } )X 12- X 12 X

1 322 d x

= 12 ∫1

0(1-X) d X

= 12 1

0

2

2X - X

= 12

21

= 6

Page 102: اساسيات الاحتمالات

10 1

E (X) = ∫1

0{ } X)-(1 X 12 X 2 d X

= 12 ∫1

0X3 – X4 d x

= 12 1

0

54

5X -

4X

= 12 53

2012

51 - 4

1 ==

E

Y1 = ∫

1

0 Y1 (2Y) d y

= ∫1

02 d y

= 2 E

+

YX

XY2 = E (Y) E

2X1 + E(X) E

Y1

=

32 (6) +

53 (2)

= 5.2

Page 103: اساسيات الاحتمالات

10 2

5 ( E (X2 + 3X) = E (X2) + 3 E (X) … … … 1 V ar (x) = E (X2) - { }2)X(E … … … 2 6 = E (X2) – (10)2 E(X2) = 106 … … … 3

� � � � � 3 � � 1 E (X2 + 3 X) = 106 + 3(10) = 106 + 30 = 136

6(

�������� X – x f ( x ) = P ( X= x ) X f ( x ) X2 f ( x )

0 0.01 0 0 10 0.05 0.50 5 20 0.039 7 .80 156 30 0.45 13.50 405 40 0.10 4.00 160

E(x) = ∑

allx)x(Xp E(x2) = ∑

allx

2 )x(Px

= 25.8 = 7 26

Page 104: اساسيات الاحتمالات

10 3

V (x) = E(x2) - { }2)x(E = 7 26 – 665.64 = 60.36

7(

X P ( X) XP ( X) X2 P ( x ) 2 0.13 0.26 0.52 4 0.27 1.08 4.32 6 0.32 1.9 2 11.52 8 0.21 1.68 13.44

10 0.07 0.7 0 7 .00

E(x) = ∑ )x(XP E(x2) = ∑ )x(px2

= 5.64 = 36.80

V (x) = E(x2) - { }2)x(E = 36.80 – 31.809 6 = 4.9 9 04 ≅ 5

Page 105: اساسيات الاحتمالات

10 4

8( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � E(x) = ∑

allx(X) P X

= 4000 (0.005) + 3000 (0.008) = 20 + 24 = 44

9 ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � �

E(x) = ∑allx

)x(XP

= 2000 (0.4) + 2500(0.3) + 3000(0.3) = 800 + 7 50 + 9 00 = 2450

10 ( � � � � � � � � � " � � # � � � � � � $ % � � & � � ' � � � � � � ( � � � � � � !

i) E ( X1 + X2 + X3) = E (X1) + E(X2) + (X3) = 100000 + 50000 + 25000 = 17 5000

ii) V (X1 + X2 + X3) = V (X1) + V (X2) + V (X3) = 10000 + 5000 + 3000

= 18000

Page 106: اساسيات الاحتمالات

10 5

11( ) � * � � � � * + , � � � � � � � � � - � . / � � � � 0 = E (x) = ∑

allx(X) P X

= 0 (0.9 ) + 1 (0.05)+2 (0.03) + 3 (0.02) = 0 + 0.05 + 0.06 + 0.06 = 0.17

� � � � � � � � - � . / � � � � 02 0 0 � � " � � � � � 1 � � $ � � � � * + , 2 0 0 � * + , � ' � � � 2 � � � * � 3 � �

= 200 (0.17 ) = 34

12 ( i) 1 (x) f

allx=∑

1 X C =∴∑

∑ = 1 X C C (3 + 4 + 5 + 6) = 1 ∴ C =

181

ii) E (x) = ∑

allxP(X) X

= ∑ CX X = ∑ 2xC =

181 ( 9 + 16 + 25 + 36)

Page 107: اساسيات الاحتمالات

10 6

= 943

iii) V (X) = E (X2) - { }2)x( E = E(X2) = ∑

allx

2 (X) P X

= C∑ 3X

= 181 (27 + 64 + 125 + 216)

= 9216

V ar (x) = 9216 -

2

943

= 8118491944 −

= 8195

13 ( � � � � � �

Co v (x, Y) = E (XY) - yx µµ � � � � � :

Co v (x, y) = E [ (x - xµ ) (y - yµ )] = E (xy - x yµ - xµ y + xµ yµ ) = E (xy) - xµ yµ - xµ yµ + xµ yµ = E (XY) - xµ yµ

� � � � � � � �

Page 108: اساسيات الاحتمالات

10 7

14 ( Co v (x, y) = E(xy) – E(x) E(y)

∴ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �X � � � � � Y � � � � � XY. � � ! " # � � � � �E (y) , E(x) � ! $ � � � E(x+y)

E (x + y) = ∫ ∫1

0(x+y) f (x, y) d x d y

= ∫ ∫1

0x f (x, y) d x d y + ∫ ∫

1

0x f (xy) d x d y

= 444 3444 21

)x(E

1

0

1

0dx dy] )xy(fx[∫ ∫ +

444 3444 21

)y(E

1

0

1

0dy dx] )xy(f [ y∫ ∫

= ∫ ∫ +1

0

1

0 dy] )yx(x[ d y + ∫ ∫ +

1

0

1

0 dx] )yx( [ y d y

= ∫ +1

0

1

0

2 2

y xy x d y + ∫ +1

0

1

0

2 yx2

x y d y

= dx21xx

)x(f

1

0 43421

+∫ + dy21yy)x(f

1

0 43421

+∫

= dy2yydx2

xx1

0

21

0

2 ∫∫

++

+

= 1

0

231

0

23

4y

3y

4x

3x

+++

= 127

127+

Page 109: اساسيات الاحتمالات

108

�� �� E (x) =

127

E (Y) = 127

f (x) = x + 21

f (y) = y + 21

� � � � � E(xy) E (xy) = ∫ ∫

1

0xy f (xy) d xd y

= ∫ ∫1

0xy (x+y) d xd y

= ∫ ∫1

0x2y + xy2 d xd y

= ∫ ∫∫ ∫ +1

0

1

0

21

0

1

0

2 dy dx] xy [ dy dx] yx [

= dy 3xy dy 3

yx 1

0

1

0

31

0

1

0

3 ∫∫ +

= xdx31 ydy 3

1 1

0

1

0∫∫ +

= 2X 3

1 2Y 3

1 xdx 31 ydy 3

1 1

0

21

0

21

0

1

0+=+ ∫∫

= 31

61

61

=+

Page 110: اساسيات الاحتمالات

109

� � � � � �� C o v (x, y) = E (xy) – E (x) E (y) =

127 .

127

31

+

= 14449 3

1−

= 1441

ii ( � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �V (y) , v (x)

V (x) = E (x2) - { }2)x(E

E (x2) = dx )x(fx21

0∫

= dx )21x( x2

1

0+∫

= 1

0

34

6X

4X +

= 125

V a r (x) = 14411

127 -

125 2

=

Page 111: اساسيات الاحتمالات

110

� � � � � � � ��� � � �� � V (y) = 144

11

111- 144/11

144/1

14411.144

11144/1

V(y) )x(Vy)(x, Cov )y,x( =−=−==ρ

Page 112: اساسيات الاحتمالات

111

������� ��� �� ���� ��

Page 113: اساسيات الاحتمالات

112

����������� ����� � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � ��

THE DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS

� ������������� ! � �" � � # $ � � ��� ! �" � � � % �� � � � � � � � � �� � � � � & � � �" � � ' � ( ) � � �*

�" � � # � � � � � � � �� � � $ + � �, ! �" � � # � � �� � � $ + � �, ! � � �" � � # � � � � � ��, ! �� �% � ��� � � �� �� ! � �" � � � � � � - � . * $ � � �� �� � �� � � # � � � � � ! �" � � � )

$ � � � � � & � � �� � � � � � �� �" � � � � �. % � � � � �/ � � � � � � ! �" � � � � �� � � $ + � �,� � - � 0 � � ' �� � � � .

� � � � � � � � � � � � � � @The Binomial Distribution@@

� - � 0 � & � � �� � � � � � ��, $ � � � � �� � � �� ��� � � � � � � ��, � ��� � � � � � �� � � 2 � � �� � � ' � � ( � � �( � � � � � � * � � � � � �� � � � � �� � �� � � % � � � � $ � � & �� � � 3 �

, & �� � � 3 � � � 4 �� � & �� � � 3 � 5 . * � , � # � 6 � � � � � �� � � 3 � , � # � �� � � � �+ � �� � � � � � �7 � � � ! �- � � % � � �� $ � � � �+ � � �% � 8 �� � - � � � � � � � . 9 � � . � � � � ��

� �� � � � �+ � �, & �� � � 3 ' � ( � � � � � � $ � � � � �� � 7 � � �� � � � �+ � �, � � �� � � � � � , � � : �100 � ; � � � �3 � � � �� . 9 � � � � � � . � � � �� � � � $ � < � � � � � � � � ��

� �� � � � � � � �= � � �6 � � �� � � � �+ � �, : 1. � �� � � � � � � � � � � �. 2. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � �.

Page 114: اساسيات الاحتمالات

113

3. � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � �� � � � � � � � � � � � # � � �.

4. $ % � � � & ' % � ( � � ) � � � � � � �. ! � � � � � � * � + �� � � , � � � � - ' �� � �) ! � � � � � " � � � � . � �

/ ) � � % � � �� � � � � � � � ( � 0 � " ( � � � ! � � � � � � � ! 0 � " ! 0 � �� � � 1 � � �� � � � � � ! 0 � " * � + �� � �.

� � ��� �1: � � � ��n ! 2 � � � � � � � � ( � 0 � " ( � � � � � ! � � � � � � � � � � ! �

� � � � ( � � � % � 3 � � ( % � 4 5 � � 6P 7 �8 3 � �� � 9 � � �8 � � � � � � � � ! � ) � � � � � ; � ( �(1-P) + � � � & � + � � � q 3 � �� � �& = / � � � � � � � ! �

7 �8)� � � � � ; � ( � � � � � ! � 3 � � � 3 � �� � �& = � � � � � ! � ; � : �� � �: � � � � � � 1 = n

� �� � ( � � � � � � � � � � � ( � �� � � � ? � )@ � A = (S

7 �8 3 � �� � 9 � 6 + � � A C � � 3 � � � 3 � �� � 9 � 6 + � � @

D �X7 �8 3 � �� � �& = � � � � � � ! 0 � �� % � � � 1 � � � � � " � � 2 � ( � � � � � � / � � � � � �� � � X ! � 0 E 1

P7 �8 � � �& = � � � � � ! � q= (I-P)� � � ! � ( � � � � � �& = � �

� 1 � � � ! � � � � � � * � + �� � � � �� � �x! � � � � � � � � � 9 � :

Page 115: اساسيات الاحتمالات

114

� � � � �1 � � � � � � � � � � � � � �

1 =n X = x f ( x ) = P ( X = x )

0 1

f (0) = P )�( = q f (1) = P )�( = P

� � � � � � q + P = 1

�� � � � �: � � � � � � 2 = n � �� � ( � � � � � � � � � � D �� � � � � )A A@ @ E A @ E @ A E = (S

C � � F �8 ( � � " � � � F �8 9 � �G � ! � % � A A

( � � � ( � � " � � � ( � � � 9 � �G � ! � % � @ @ ( � � � ( � � " � � � F �8 9 � �G � ! � % � @ A F �8 ( � � " � � � ( � � � 9 � �G � ! � % � A @

( � � � � � � � � � � � � � � � � ; �4 � � � ! � � � � � � 7 H � � � � � � � � �� � �

qq , qp, pq, pp ( � � ) � � � � � � � � � C � �

/ � 4 � �� � �x ! � ( � � � � � � 0 E 1 E 2

Page 116: اساسيات الاحتمالات

115

2 � ! � � � � � � * � + �� � � � �� � �x! � � � � � �� � � � ! � � � :

������)2( �� � � � � � � � � ��

n = 2 X = x f ( x ) = P ( X = x )

0

1

2

f ( 0) = P )� �( = P )�( P )�( = q q = q 2

f ( 1) = P )� �( + P )� �( = P )�( P )�( + P )�( P )�(

= P q + q P = 2q P f ( 2) = P )� �( + P )�( P )�( = P P = P 2

� � � � � � q2 + 2 qP + P 2 = ( q+ P ) 2 = 1

�� �� � � : � � � � � � n � � � � � 3 � �� � ( � � � � � � � � � � � ( � �� � � � ? �

}� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �{S =

( � � � � � � � � � � � D �� � � � � ; � =8 � � � ! � � � � � � 7 H & � F = � � � � � � � � � � � � �� � �

qqq, qqP, qPq, qPP, Pqq, PqP, PPq, PPP / � 4 � �� � �x ! � ( � � � � � � 0 E 1 E 2 E 3

2 � ! � � � � � � * � + �� � � � �� � �x�� � � � ! � � � ! � � � � � :

Page 117: اساسيات الاحتمالات

116

� � � � � �3

� � � � � � � � � � � � � n = 3

X = x f ( x ) = P ( X = x ) 0 1

2

3

f ( 0) = P )� � �( = P )�( P )�( P )�( = q 3

f ( 1) = P )� � �( + P )� � �( + P )� � �(

= q 2 p + q 2 p + q 2 p = 3 q 2 p f ( 2) = P )� � �( + P )� � �( + P )� � �(

= q p 2 + q p 2 + q p 2 = 3 q p 2

f ( 3 ) = P )� � �( = P )�( P )�( P )�( = p 3

� � � � � � q3 + 3 q2 p + 3 qp 2 + P 3 = ( q+ p ) 3 = 1

�� ( � � � � � � � � � � � � � � � � ( � � ) � � ( " . " � � � �� � � � � � � = � . � : � � � � H 6n ; � ) � 1 ( � � � � � � � � � � � � � =21 = 2 � � � � H 6n� ; � )2 ( � � � � � � � � � � � � � =22 = 4 � � � � H 6n ; � ) � 3 ( � � � � � � � � � � � � � =23 = 8

� � � 2 � � � ( 2 � 0 � " ( � � � � ( � � � � � � � � � � � � � � � �� � ( � � � � � � 7 H � / � � % � � � ; � ) �2n � � 3 � �� � ( � � � � � � � � � H 6n � � � . ! 2 � � � � � 2 ) � � � H 6

� � � � � � � � � F � � +n F �8 � � � � I 2 � � , 2 � � � � � * � � � 2 ) � ( � � � �� � 2 ) ( � � ) � � � � � � % � � � � � � ( � � ) � � ( " . " � � � �� � � � � ! � � � ( � � � � �

@ � H � � � & ) � ( � � ( � � � � � � � � � 3 � � � ( � ��.

Page 118: اساسيات الاحتمالات

117

F �8 3 � �� � 9 � � �8 � � � � � � � � � J � � �� � � * � � � ) � � # � �x F � � � � �� � � � � � � � � ( � 0 � " ( � � � ! � � � ' � �n � � � ) ( % � 4 5 � � � 3 2 � � (

D �2 4 � � 2 � � � � �� ( � � � � �� ( � � % � ( � � � � � � F �8 � � K � � � � �� � � � � � C � � � �) F �8 3 � �� � �& = (x ( � �4 � / � � � F � (n-x) ! � @ � H � F �

( � � � � � �. C � � � � D �4 � � � � � �)F �8 ( x �� F � Px C � � � � D �4 � / � � � � � � �n-x �� F � qn-x

� � �� � � � � � � � � K ' F � � 4 � � � C � � � � D �4 � � � � �x �� F � px qn-x

; � ) � �� � , � � � �� � � 3 � ) � � � � � � C � � � � D �4 �� ( � � � �� � � � � � � � � � � � , � � � ��x � � n ; �

! x)-(n !x!nn

x

nxC =

=

7 �8 3 � �� � 9 � � �8 � � � �� � K � � � � � � � � � � � � �� � � H � � �x F �

� � � � ' � �n 9 � 6 L � � ) � � � � : ( )nx px qn-x

� � � �� E L. 2 2 " �n ; � ) � 3 7 �8 3 � �� � �& = � � � � � � � �� � 0 E 1 E 2 E 3 ! � � �� � � 9 � ! � � � � :

(33) p3 , (23) p2 q , (13) pq2 , (03) q3 p3 , 3p2q , 3pq2 , q3 � �� � ! � & � � � 8 � ! � � � � � � � � � � I � � ! � �)3(

Page 119: اساسيات الاحتمالات

118

� � / � � � � � � = � . � � � �� � � � � � ( � � �

( )nx px qn-x x = 0, 1, … . . , n

� � � � � � � � � � �x � � � � � � � � � �� � � � � � (q+ p)n

� � � � � (q+ p)n = qn + ( )n1 pqn-1 + ( )n2 p2qn-2 + … + ( )nx pxqn-x + … + ( )n

1n− pn-1q + pn � � � � � � ! 0 � " * � + �� � � ! � � � � � � * � + �� � � � H � ( � � ) � � 5 � � � � � �

�� � � � � � � ! 0 � " * � + �� � � 8 � � � :

� � � � � � � � � � � � � � : � �� � � � � � ! � � " � # � �� � � �� � � � � � � � � � $x � % � � �

� & ' � � � � ( � " � ��) � � ��n * � � �� � � � �� � " � �+ � , � � - � + � � � � � � � % $ � � � � �#

f ( x) = ( )nx px qn-x . � :

i( x= 0, 1, …, n ii( p" � + � , � � 0 � & ' � � � � � � �� � � $ iii( q" � + � , � � 0 � & � ! 1 � � � �� � � $ iv( 1 = p + q

Page 120: اساسيات الاحتمالات

119

� � �� �2 :

! ) � � � � ! � � � � � � � � � K �)� � � � � � ( � � ! � * ' � � � ( � ) � � � � � � ) � G � ( 8 � � � � � � � � $ % � ( ) � � ( � M)� � ) � � � .( � � H 6 / % � �

� �10 % � � � � � � % � ( � M � � � � � � � �� � � � ) � � � � ) � � � � : i( ) � ; � 9 � ; �� � � � ii( � � ) � � / & � � � � " � iii( � � ) � � / & � � � � � " � � � " � � � �� �: D �x ( � 1 � � 7 H � ! � � � � �� �� � � � � ) � � � � � � � " � � 2 � ( � � � � � � / � � � � � �� � x ! � 0 E 1 E 2 E ... E20 D � p; � ) � � ) � � � � � � � �� � � � � � � � � q� ) � � � � � � � �� � � � � � � � � � ; � ) �

∴ p = 0. 10 q = 1-P = 0. 9 0 n = 20

i) p )� � � ! � " � # � # $( = f (0) f (x) = ( )nx px qn-x f (0) = ( )20

0 p0 q20 = (q)20 = (0. 9 0)20 = 0. 122

Page 121: اساسيات الاحتمالات

12 0

ii) P )� � � � � � � � ( = f (2) f (2) = ( )20

2 p2 q18 = 19 0 (0. 01)2 (0. 9 0)18 = 19 0 (0. 01) (0. 9 )18

= 0. 28 5

iii) P )� � � � � � � � � ( = p (x > 2) = 1- p (x ≤ 2)

= 1 - { }) 2(x p 1)(x p 0) (x p =+=+= = 1 - { }285.0.9)0( .1)0( 20 .9)0( 1920 ++ = 1 - { }.2850 .2700 0.122 ++ = 0. 323

� � � � � � � ! 0 � " * � + �� � � * 4 �� ( 2 � � ( % � 4 5 � � 6 ( � � � �� � , � ) � � � " � � � 9 � 6 F � �% � �n F 2 � � % � � �n ; � ) � 1 ! 0 � �� % � � � 1 � � � ! � � � � � � * � + �� � � � � x � � � �� �

� �� � � � ! � 9 � % � F �8 3 � �� � �& = � � �)1 (� * 2 � + �� � � � H & � * 4 �� � � � �� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 � ! 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 � K �2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) � �

)4 (! � � � � :

Page 122: اساسيات الاحتمالات

12 1

������)4( �� � � � � � � � � �� � � ��

n = 1 X f ( x ) x f ( x ) 0 1

q p

0 p

���������� ∑ ==µ1

0p)x(xf

� % � � �n ; � ) � 2 ! 0 � �� % � � � 1 � � � ! � � � � � � * � + �� � � � ? � x � � � �� � �� � � � ! � 9 � % � 7 �8 3 � �� � �& = � � � �)2 ( * 2 4 �� � � �) � 2 ) �� � ��

! � ) � � � ( � �� � ! � K �) � � * � + �� � � � H & �)5 (! � � � �:

� ���)5( � � �� � � � � � � � � �� � � ��

n = 2

X f ( x ) x f ( x ) 0 1 2

q2 2pq p2

0 2qp 2p2

���������� E ( x ) = 2 p ( q + p ) = 2 p

� % � � �n ; � ) � 3 ! 0 � �� % � � � 1 � � � ! � � � � � � * � + �� � � � ? � x �� � � � � �� 2 � � � ! 2 � 9 � % � F �8 3 � �� � �& = � � �)3 ( * 2 4 �� � � �) ��

! � ) � � � � ) �� � ( � �� � ! � � � 3 � ) � � � � � * � + �� � � � H & �)6 (! � � � � :

Page 123: اساسيات الاحتمالات

12 2

� ���)6( � � �� � � � � � � � � �� � � ��

n = 3

X f ( x ) X f ( x ) 0 1 2 3

q3 3p2q 3qp2

P3

0 3q2 p 6 q p2 3p3

���������� µ = E ( x ) = 3 p ( q 2 + 2 q p + p 2) = 3 p ( q + p )2 = 3 p

! � ) � � � � ) �� � � J � = � . � � � � � H � � �)* 4 �� � � �� ( � � � � � � ! 0 � " * � + �� � �� :

P � � � � H 6 n ; � ) � 1 2p � � � � H 6 n ; � ) � 2 3p� H 6 � � � n ; � ) � 3

0 � " * � + �� � � * 4 �� � J � � �� � � ( � � � � � � 7 H � / � % � � � � # � � � � � � � ! ; � ) � � � � � � �n p 2 � n� � � � � � � � .

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �p � � � � � � � � � � � � � � � q � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � " � � # � $ � � � � � %n � # � $ � � �np=µ

Page 124: اساسيات الاحتمالات

12 3

! � � � * 4 �� � � � � % � / � � � ) � L ' � � @ � H � � � � � � � � � � � � )x( E =µ = ∑

=

n

0x(x) f x

= ∑=

n

0x

x-nxnx q p )( x

= ∑=

n

0x

x-nx q p! x)-(n !x !n x

= ∑=

n

1x1)-(x - 1)-(nx q p ! 1)]-(x - 1)-[(n ! 1)-(x

!n

= ∑=

n

1x

1)-(x - 1)-(n1-x! 1)]-(x - 1)-[(n ! 1)-(x

q p ! 1)-(n np

= 1)-(x-1)-(nn

1x1-x1n

1-x q P )( np∑=

= np (q+ p)n-1 = np

� � & �3 : ( � � � � ( % � 4 � � � � � � H 6100 ( 2 % 4 �� � � � � � � � � � � � �� � � F �

O F �8 3 � �� � �& = � � & & � � �: D � x 3 2 � �� � �2 & = � � � � � � �� � ! 0 � �� % � � � 1 � � � � � " � �

� ? � � H � � � F �8x� � � ! 0 � " * � + �� & � 2 � � � � P =

21

n = 100

Page 125: اساسيات الاحتمالات

124

np = � � � � � � ! 0 � " * � + �� � � * 4 �� �

µ = E (x) = np = 100

21 = 5 0

K �2 � � � � �2 2 � � o � � � � � � � � � � � � � � � � � � # �

� " � 9 � 6 F � �% � �)1 ( � � � ( % � 4 5 � � 6 ( � � � �� �n� � F � / � � � ) � � � � � � � �� 4∑ µ=σ f(x) )-(x 22

x � 2 % � � � n / � 2 � � � H 2 J � 1 E2 E3 � � � � � � ! 0 � " * � + �� � � � � � � � ( � � ( 1 � 8 9 � 6 � 8 � � � * � � � ) �.

� % � �n ; � ) � 1 ! 0 � �2 � % � � � 1 � � � ! � � � � � � * � + �� � � � �� � x � �� � � � ! � 9 � % � F �8 3 � �� � �& = � � � � � � �� �)1 ( � H 2 � * 4 �� �

� * � + �� � � � �� � � � ! � K ) � �)4 ( �� �p � � � � 2 � * � + �� � � � H � � � � � � � � � �� � ! � � � 3 � ) �)7 (! � � � � :

������)7( �� � � � � � � � � �� � � � �

n = 1

X f ( x ) x - µ ( x -µ )2 f ( x ) 0 1

q p

0-p 1-p

q2 q (1-p)2 p

�������� 2

xσ = p2 q + q 2p = pq ( p+ q ) = pq

Page 126: اساسيات الاحتمالات

125

� % � � �n ; � ) � 2 ! 0 �� 2 � % � � � 1 � � � ! � � � � � � * � + � � � � � ? � x

� � � � ! � 9 � % � F � 8 3 � � � � � & = � � � � � � � � �)2( �H 2 � * 4 � � � � � * � + � � � �2p � � � � ! � K ) � � � )5 ( � � � � 2 � * � + � � � � �H � � � � � � � �

� � ! � � � 3 � � 6 � � 8 � � � � �)8 (! � � � � : ������)8(

�� � � � � � � � � �� � � � � n = 2

( x -u) 2 f ( x ) x – u

f ( x ) X

4 p2 q2 (1-2p)2 2pq 4 (1-p)2 p2

-2p 1-2p 2-2p

q2 2pq p2

0 1 2

2xσ = 4 2q2p + ( 1 -2 p) 2 2 pq + 4 ( 1 -p) 2 p2

= 4 2q2p + ( 1 -4 p+ 4 p2 ) 2 pq + 4 q 2 p2

= 8 2q2p + 2 pq - 8 p2 q + 8 p2 q

= 8 p2 q ( q -1 + p) + 2 p q = 8 p2 q ( 0 ) + 2 p q = 2 pq

(�&�����

Page 127: اساسيات الاحتمالات

126

� % � � �n ; � ) � 3 ! 0 �� 2 � % � � � 1 � � � ! � � � � � � * � + � � � � � � x

� � � � ! � 9 � % � F � 8 3 � � � � � & = � � � � � � � � �)3 ( �H 2 � * 2 4 � � � � � � � ! � K ) � � � * � + � � � �)6 ( � �3p � � ( � � ) � � ( � � � � � I � � � � � � � � �

; � ) � * � + � � � � �H � � � � � 9 � 6 � 8 �3pq � � � � n ; � ) � 3 ; � ) � � � � � � � ! 0 � " * � + � � � � � � � � � � � � �H � � � :

pq � � � � n ; � ) � 1 2pq � � � � n ; � ) � 2 3P q � � � � n ; � ) � 3

% � � � � � � � ; � 2 ) � � � � � � � ! 0 � " * � + � � � � � � � � � � � � � � � ( � � � � � � 7 H � /� �npq 2 � n � � �

! � � � � � � � � �� * 4 � � � � � � � �� 4 /�� � ) � ' � � @ � H 3 � � � � � � � � � =σ2

x E (x2) – [ E (x)] 2

E (x2) = ∑=

n

0x

2 (x) f x

= ∑=

n

0x

x-nxnx

2 q p )( x

�� � � � �� � � � � � �� �� � � � # � � � � �� �p � � � �� �� � � �� � � �� q � � � � � � �� � � �� � � ��

&� �� �� � ) � � � � �� �� � � � # � � " � � # � $ �n �� � # � $ �

Page 128: اساسيات الاحتمالات

127

= ∑=

n

0x

x-nx2

! x)-(n ! x q p !n x

� � � $ � � % � � � �x2 2 � x(x-1)+ x = xnx

n

0xqp ! x)-(n !x

!n x] 1)-[x(x −

=

∑ +

= q p ! x)-(n !x ! xn qp ! x)-(n !x

!n 1)- x(x xnxn

0x

xnxn

0x

=

∑∑ +

= ∑=

n

2x ! 2)]-(x-2)-[(n ! 2)-(x

! 2)-(n 1)-n(n px q ( n-2) -( x-2) + E (x)

= n (n-1) p2 ∑=

n

2x ! 2)]-(x-2)-[(n ! 2)-(x

! 2)-(n px-2 q ( n-2) -( x-2) + np

= n (n-1) p2 2n)pq( −+ + np = n2 p2 – np2 + np 2xσ = E (x2) – [ E (x)] 2

= n2 p2 – np2 + np – n2 p2 = np – np2 = np (1 – p) = npq

� � �H � � � = npq2σ ! 2 % � � � � � H 2 � � � ; � 2 ) � � � � 2 � � � ! 0 � " * � + � � � ; � % � � � � � � � � ��

� � � � � K � � � � � npq 2 =σ=σ

Page 129: اساسيات الاحتمالات

128

�����4 : � " � 9 � 6 F � � % � �3 � � � ( % � 4 5 � � 6 � � � 10 0 � � � � � � � � � � 7 �

O F � 8 3 � � � � � & = � � � � � % � ; � % � � � � � � � � �� ���� : D �x 3 � � � � � & = � � � � � � � � � ! 0 �� � % � � � 1 � � � � � " � �

� � �H � � � 7 � 8x 3 � � � � � � � � ! 0 � " * � + � � & � P = 2

1

q = 21

n = 100 � � � � � � = 2

xσ = npq

= 100

21

21 = 25

; � % � � � � � � � � � = 25 npq ==σ = 5

� � � ����� � � � � � � � � � * � + � � /� � ) � D � 2 4 � 2 & � � � � � � � � � ! � � � K � � � � ! � � � ) �

F � � � � ( � � � + 7 � � � � . � � � � � � � L � � � 8 �� � � / � � � � � * ' � � C � � � �) /� � � � � � ( � ) � � � � ( � � 4 � � � � " � ...P � � ( F � � 2 � � ( � � � � � � 7 � � � 9 � � �

+ � � � � � �) ( � ) � � � � � � � � � � � " � ( � � � 2 � � � ! 0 � " * � + � � /� � ) � � � � � E

Page 130: اساسيات الاحتمالات

129

� 4 � � � � � � � ( � % � � � � � � � � � � � ! � / � � � � � * ' � � C � � � � D � � � � � � .� � ) �� � * � + � � � � � � � � ( " � � � � � :

� ( � " � � � + � � 3 � � � � � � � � = � � � � 9 � 6 Q � � � ! � � � � 0 ) � � � : R � ( � � � � � D � � ) � ! � � ) � � C � �� � � � �. R ( � ) � � ! � ( � � � � � � 1 � ! � � � � � � � � � � � �. R � + � � � � � � ! � � � % � � � � � � � �/� � � � ! � ( � � �. R ( � � 4 � � � ! � ! ) � � � � � � � � � � � � ! � � � ( � � � & � � � � � � � � � � � �.

� ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :

R ( � ) � � � F � � � � S � 4 ( % � 4 ! � F � � � � � � � K � � % � � � � � R � 3 � � � � � & � @ ) ! � F � � � � � � � K � � % � � � � �� � � � � �

R T � 2 � 6 2 & � � � � ! 2 � � � ( � � 8 � � ! � ( � % � � � � � 5 � G � � � �� � � � � ) � �

/� 2 � � � � 2 � ( � � 4 H � * � � � � � 1 � � � � ! � � ) �� � � � � 1 � � � � � � �H � � � � � � 81 � � 2 � � ... ( 2 � � � � � � + 2 � � ! 2 � � � ( 8 � � ( � � � + F � � ! �

( � � � � � ( " . " � � � � � � � , � � � � � K � � � ( 8 � �: 1R � � ) � � � � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � (

+ � � � � � � � � � 8 � � � � � � � � �. 2R � � F � 1 8 ( � � � � � � � � + � � � � F � 8 4 F � � � . � � � � � � � � � �

+ � � � � �H � ( � � � � � � F � � � � 7 H � � � � * � K ) � � � + � � � �.

Page 131: اساسيات الاحتمالات

13 0

3R ( � � � � � � F � 8 4 ( � � � + F � � � . " � � � � � � � � � � � � � �� � � L�� � L� � 1 8 � � � � F � 1 8 + � � � � � �3 � � � 6 � � � � C.

Page 132: اساسيات الاحتمالات

13 1

* 2 � + � � � ! � � 2 � ! 0 �� � % � � � � ) �� � � 1 � � � ! � � � � � � * � + � � � ��! � � � � � � % � � � K ) � ! � % � � � � ) �� � :

�����5: ! " � � � � # � $ % � # & � ' � � � ( # � � � � � � ) � � � � � # � * � � (

� � � # � � � � � � � � � # � � � � + � � � , � % � � � � - # � � � � � � " � � . � � � � � � /� � / � � ' � � � " % � � � # � $ % � � � � 0 � � # � � � �.

� � � � � � � � � � � � �� � �X � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ! � " X

� �0 #1 #2 # ... � � ��� � % � � � � � � �&X � � � � � � ' ( ) � � � � � . � �� � � * �� ' + � � � :

f ( x ) = ! x e xλλ−

, � � x = 0 #1 #2 # ... e = . � �� / � � ��2. 7 18 28 λ = � 0 � � 1 � & 2 �3 � � � � ) ) ( + � � � + " � � � 4 � � �

� � � � � �5 � � ' � � � 0 ) ) � � � � � .

Page 133: اساسيات الاحتمالات

13 2

���� : D �x ! � � � � � � � � � � � � H � � � 0 � + � � � � � ! 0 �� � % � � � 1 � � � � � " � �

2 � � � � � � ( � � 4 � � � x ( � ) � � � ! � � ) �� � * � + � � λ ; � ) � 3 . /�� � 2 ) �� � ) �� � * � + � � ( 1 � 8 :

f (x) = ! x e xλλ−

p(x=4 ) = f (4 ) = ! 4)3( e 43−

= 24)81( 05.0

) C � �0 . 0 5 = (e-3 =

800135

= 16875.0

�����6: � � �� � � F � � � ( � � � + ( � � � ! � K � � % � � � � � � ) � � � � � �H 6

� � �20 ( � � � � � � � � � � � � � � * � � /� 4 3 × 10 /� 4 : i( K � � � 9 � ; � � � � �. i i( � 4 G � 9 � � � �� K � � 9 � ; � � � �.

Page 134: اساسيات الاحتمالات

13 3

���� : D �x ( � � � � � ! � K � � % � � � � � � " � � 3 × 10 2 � � � � � �x ! � 3 � � % � ! � � ) �� � * � + � �

1.5 2010 3 =×=λ

( � � � � � ! � K � � % � � � � � � ) � � � � � ; �3 × 10 � � 1. 5 � � ) �� � ( 1 � 8 , � � � � � � :

f (x) = ! x e xλλ−

i) P (x=0) = f (0) = ! 0(1.5) e 05.1−

= e-1. 5 =

0. 223 ii) p )� 4 G � 9 � � � �� K � �( = 1-p (x=0) =

1 - 0. 223 = 0. 7 7 7

� � � � � � � � � � � � �� � � � / � � � � � �H 6x� � ) �� � * � + � � & � ! � � � � � ! � � ) �� � � 1 � � � " � �

f (x) = ! x e xλλ−

x = 0, 1, 2, … λ > 0

! 0 �� � % � � � � ) �� � � 1 � � � � � � � * 4 � � � �x ; � * � + � � � � ( � % � ; � ) � ; � ) �λ� � ; � :

Page 135: اساسيات الاحتمالات

13 4

xµ = E (x) = λ 2

xσ = E (x2) – [ E (x)] 2 = λ � 2 2 � � � �:

E (x) = ∑∞

=0x(x) f x

= ∑∞ λ λ0

x-

! x e x

= ∑∞ λ

−λ

1

x-

! )1x( e

= ∑∞

λ−λλ

1

1-x-

! )1x( e

� � � � � � � �� � ' � � � � ! � � � % � � � � � � λe = 1 + !x ... ! 2 ! 1

x1

0x

2 λ=+λ+λ ∑=

∴ E (x) = λ=λ λλ e e -

E (x2) = )x(fx20x

∑∞

=

= ∑∞ λ λ0

x-2

! x e x

$ � � % � �X2 ( � � � � � X(X-1)+ XW � � �

Page 136: اساسيات الاحتمالات

135

= ∑∞ λ λ+0

x-

! x e x] 1)-(x[x

= ! x e x ! x

e 1)-(x[x x-

00

x- λ+λ λ∞∞ λ∑∑

= (x) E ! )2x( e x x-

2+

−λλ∞

= λ+−λλ ∑

∞λ− ! )2x(

e 2-x

2

2

= λ 2 e-λ eλ + λ = λ 2 + λ

v a r (x) = E (x2) – [ E (x) ] 2 = (λ 2 + λ ) - λ 2 = λ

Page 137: اساسيات الاحتمالات

136

������� � �� � ��� � � �

1 ( 3 �� � , � � � 820 & � � � 0 � & � L � � 8 � 5 � � � ) E ( � � � 4 - � � 8 �

� � � � � K ) � � F � � X � * � ( � 0 �� � � ( � � � � : i (� K � % � � � �� � � 8 � 9 � � � 8 � �)� � �( )64/27(

ii ( K � % � � 4 G � 9 � � � �� � � 8 � 9 � � � 8 � � �)� � �( )256/175( 2 ( � � � � � � � � � � � � � � � �H 610 K � � � � K � � � � � � � � � � � � � ( 0 ) �

� � ! 0 �� � � � �Z ) ; � 9 �0. 2( � � � � � � � � � � � � � � � � : i () ; � 9 � K � � � � K � � � � � � � � � � � �Z ) 0. 1074(

ii ( " � � � � � �Z ) 9 � K � � � � � )0. 8926( iii ( 9 � K � � � � �3 � � � ( 0 ) � ) 0. 2( 3 ( � � �H 60. 15 � � % � 3 � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � T � � 6 Q � � 6 � �

� � � E15 5 . � % � � � � � 9 � 6 �+ & � . ( 2 � � � + & � � � � � � � � �H ? � � � � � � � � � � ( � � ) �:

i (K � % � � � � + � � ; � 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � )0. 0873(

ii ( � � % � � 4 � � � �� � �� � � � � � � ) 0. 3185(

Page 138: اساسيات الاحتمالات

137

4 ( � � � � � � � � � � � �H 64 � � � � � � � k � & = � � � � � � � " � � 2 � ! � � � � � � * � + � � � � � � � � * � G � � � � � � 7 H � ! � ( � ) 3 � � � �k.

5 ( & � � � 7 ) �5 � �H ? � � � � � ; � 2 ) � �� 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

; � ) � � � � � � � � � � � � � � � �2/1 � � � � � � � � � E : i (I � � � � I � � � � � � � G � * � � � � � � � � � )16/1(

ii (F � � �� � � � � �� � �� �� � � � 4 G � 9 � F ) G � T � � � � � � � � )16/15( 6 ( ! 2 � % � ! 4 2 � � �� � � � � L�� � ! � % � & " " � � � � � H � � � ( � � �� �

� � + �H ? � E L ' � � �7 � � � � � K ) � J � ( � % � � 7 H � � � � � H � : i (5 � � � 7 � � ; � 9 � � 8 � � � � � )2187/128(

ii (5 � � � 7 � � �� 7 � � 9 � � 8 � � � � )2187/448( iii ( 5 ' � � 7 � � ; � 9 � � 8 � � � � � )2187/1( 7 ( � � � � � � � �� � �� � � � � ) � � � � � ! � � � �H 64 � �� � � � 1 � � � � � � �

( � 2 ) � �� 7 2 � � ( � � � � � ( � ) � � � � � � ( � � � � ! � ( � � � ( � � � � ! � � 2 � � � � 2 4 � � � @ � H ! � � � � ( � 0 �� � � / 4 � ( % ) � � �� 7 � � ( � � " � �

� � � � � : i (( � � 1 � � � M ( � � � � � � � � �� & � � * � � � � � )0. 075(

ii (� � 1 � � � � � �� � �� � � )0. 225( iii (� � " � � � � � � � " � � �( � � 1 � � ( � � � � � � � � �� & � � )0. 700(

Page 139: اساسيات الاحتمالات

138

8 ( 2 � & � � � � � � � K ) � 6 � � � I � � � � ( % � 4 � & � � � � 9 � � � � 8 �

� 8 � � � � � � % � � I � � 9 � L. 8 �. )256/63(

9 ( � � ( � � � � ! � ( ) 7 � K � . � � � � & � � � � � � � � � � �H 65/1 � � � �

9 � � � 8 � � � � � � � �4 � � � 4 G � 9 � � �� � � 253 � � . )0.766(

10 ( 3 � � � � �Z ) 9 � � �� � K � � � � � � � � � � ( � � � � � � � � � � � � � � � � ! �

� � ( � � � 83/1 � � � � 2 � I � 2 � � � �Z ) � � � � � � � � � � � � � � � � � ( � � � 8 ( � � 6 3 � � K � � � � �Z ))243/16.(

11 ( � � $ � � �0. 30 � � ( � 0 �� � � 3 � � � � � � � E � � � � � ( � � � � � � 6

� � � " � � � � � � � � � � � E A � � O � � � � � � 4 G � 9 � /& � � )0. 58(

12 ( ! 2 2 � � 2 2 � + � + � � � � � ! 2 � ( 2 2 � " � � ( 2 � � � 2 � � �H 60. 90 . 3 2 � � � � �10� D � 4 � � � � � � � � � E � � � � + � + � � �

)0. 6513(

13 ( � � % � � � /� 4 � � � �p , n 3 � ) � ; H � � � � � � � � ! 0 � " * � + � � � 9 3 � � � � � 5/18) 5/3 = p E 15 = n(

Page 140: اساسيات الاحتمالات

139

14 (� � � � � 3 � � ; H � � � � � � � � ! 0 � " * � + � � � � � � � � � * 4 � � � � �p = 0. 2 E

n = 35 (µ = 7 2σ = 5 . 6 )

15 ( � � � � Z � K � �232 3 � E ( � � 8 232 3 � + � � ! % � � � J � � ( � � 8 � � � � � � � K ) � � � 0 �� � � :

i (� � J � � � ' � � & � )e-1/2 = 0. 18 39( ii (� � J � � � � 4 � & � )2e-1 = 0. 7 35 6(

16 ( � � � * � 8 � ! � � � % � � C � �� � � � � � ) � � � � � �H 64 C � �� � � � � � � � � � � � & � :

i (� � % � & � ! � C � � ; � * � � � � � ) e-4 = 0. 018( ii (� � % � & � ! � " � G � 9 � C � �� � ( " . " * � � � � ) 0. 426(

17 (� � � � � �H 6 � � � � " � � � ( � � � � + � � � � � � ! � � � % � � � � � � � � � ) � � � � E � � ) �� � * � + � � * � � � � � % � � � � � � � � � � �H 6 � , 0 4 � I �

� � � � � :

Page 141: اساسيات الاحتمالات

14 0

i (, 0 4 � I � � . * � � � ; � � 8 � � � � ) e-2 = 0. 135( ii ( � � " � � � �4 � . �� 8 � � � % � � � 10, 0 4 � )0. 382(

18 (� � 9 � � � � � � � � � � � � � � . ( � � � � � � � � � * � � � � � � � ) � � � � � � � ) � � � 8 � ! � � � ( � � � & � � � � � � � � � � � � � � ) � � � � �H 6 � � � � � 4 �

O � � � � � 4 � � � ! � � � � � � � � � )0. 09(

19 ( T � � 6 & � � � � ! � � � ( � % � � � � � 5 � G � � � � � ) � � � � � �H 6 � � � � � � � ) � �4� � � � � � � � � E ( � � 8 � � ! � 5 � � :

i (� � � � 5 � � � � � � 3 � � 8 * � (e-4=0. 018 )

ii (� � � 8 � � � � � ( � � � ! � � 4 G � 9 � � � J � K � � � � � (0. 91)

20 ( � � � � � �� � � 7 � � � ( � � � + 3 � � � ! � K � � % � � � � � � ) � � � � � �H 6

3 � � � � � � � � � � � � � � ( % � � /�� 4 � F � �6 × 10/� 4 :R i (K � � � � � � � � � � � � � ) (e-6=0. 0025 )

ii (� � �� K � � � 4 G � 9 � & � � � � � ) (0. 997 5 )

21 ( ( � � � � � � ( � � G � ! � [ � � C � � � � � � ) � � � 3 � � � Q � � X * � 8 � ! � � � [ � � ) � � � � L � 0 �� � �200 ! � � � � � � � � � � � � K ) � � � �

3 � � � � � �500 � � . i ( " � G � 9 � � � � (0. 5 4 3)

ii ([ � � C . " � 4 G � 9 � (0. 4 5 7 )

Page 142: اساسيات الاحتمالات

14 1

(22C � � � � � % � � /� � � � K 8 � � � � , 0 4 3 � � 1 � ! � K � � � � � ! � � � ��2/2 � � % � � 3 � � 4 � � � � � � � � � � � � E 3 / ×7 /.

i (K � � % � � � � 3 � � )0. 00001( ii (� � �� K � � " � G � 9 � & � )0. 0001266(

Page 143: اساسيات الاحتمالات

14 2

������ ���� ��� � �� @

1( � 1 � � � � D �x( � � � ) � � � ( � � � � � - � � 8 � � � � � � 9 � � � � /� 4 � � � � �x ! � ( � � � � � � 0 E 1 E 2 E 3 E 4.

D �p H 0 � � � � � � � � 8 � K � ) � � � � � � " � � 41

205p ==

� 1 � � � �x F � � X � /� � K � ) � � � � @ � H � � � � � � � ! 0 � " � � � � � 9 � 6 � � � � � � 1 � � � � � � � � 8 � K � ) � � � � ��

; � ) � � � � "41

i( n = 4 x = 1

41p =

43q =

9 � � 8 � � � � � � � � ! 0 � " * � + � � � � ( 1 � 8 /�� � ) � � : P (x =1) = f (1) =

314

1 43

41

= 3

!!

!

43

41

3 14

= 4

6427

41

= 6427

Page 144: اساسيات الاحتمالات

14 3

ii ( P (x 1≥ ) = p (x =1) + p (x =2) + p (x = 3) + p (x = 4 ) = 1 – p (x =0) = 1 –

4

0

40

43

41

= 1 - 4

43

= 1 – 8 1/ 25 6 = 17 5 / 25 6

2( D �x( 0 ) G � � � � � " � � /� 4 � � � � � K � � � � & � � K � � � ! � � � x ! � ( � � � � � �10 E … E 1 E 0

�H 2 � � � n = 10

p = 0. 2

q = 0. 8 � � � � � � ! 0 � " * � + � � � � 3 1 � 8 /�� � ) � �

i) f (x) = ( )nx px qn-x p(x = 0) = f (0) = ( )10

0 (0. 2)0 (0. 8 )10 = (0. 8 )10 = 0. 107 4

Page 145: اساسيات الاحتمالات

14 4

ii) p(x ≥1) = f (1) + f(2) … + f(10) = 1 – f(0) = 1 – (0. 8 )10 = 0. 8 9 26

iii) p (x = 3) = f(3) = ( ) 73103 (0.8) (0.2)

= 120 (0. 008 ) (0. 8 )7 = 0. 2013 ≅ 0. 2

3( D �x� � F + & � G � � � � � " � � � � � % � 3 � � � � � � � 3 � � % � . / � 4 � � � � �x ! � ( � � � � � �15 E ... E2 E 1 E 0 0. 15 = p � � % � + & � � � � � � � � � � � � � � 0. 85 = q � � ) + & � � � � � � � � � � � � � �

15 = n

i) p (x = 0) = f(0) = ( )150 (0. 15 )0 (0. 8 5 )15

= (0. 8 5 )15 = 0. 08 7 3

ii) p ( x ≤ 1) = p (x = 0) + p (x =1) = f (0) + f(1)

Page 146: اساسيات الاحتمالات

145

= ( )150 (0. 15 )0 (0. 8 5 )15 + ( )15

1 (0. 15 )1 (0. 8 5 )14 = 0. 08 7 3 + 15 (0. 15 ) (0. 8 5 )14 = 0. 08 7 3 + 0. 2312 = 0. 318 5

4( / � � � � 2 � ( � � � � � �k ! � :

4 E 3 E 2 E 1 E 0 4 = n

61 = p 3 � ) 3 � � � � 9 � � � 8 � � � � � � � �

65= q

p (K = k) = f (k) = k4k4

K 65

61

� 1 � � � ! � � � � � � * � + � � � � ! � % � ! � � � � � � � � � � �K ����� ��� ���4� ��

K Pk Pk 0 (5 / 6)4 0. 48 23 1 4(1/ 6) (5 / 6)3 0. 38 5 8 2 6(1/ 6)2 (5 / 6)2 0. 115 7 3 4(1/ 6)3 (5 / 6) 0. 015 4 4 (1/ 6)4 0. 0008

Page 147: اساسيات الاحتمالات

146

5( D �x / � 4 � � � � � � � � G � � � � � � � � � G � � � � � " � � x ! � ( � � � � � �

5 E ... E1 E 0 5 = n 2

1 = p � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2

1 = q � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i)

� 4 G � 9 � 7 � � � � � � � � � � � � � � � � � 7 ) G � T � � � � � � � � � � � � � � � ; � E ( % � � � � 3 " . " � � � � � " � � � � � � & � � � � � � � � � � � � � � � �

& � � � � � � � �5 � � � � � � 5� � � . ; � ) � K � � � � � � � � � � � � � � � �

P = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )415

4235

3325

245

1 21 2

1 21 2

1 21 2

1 21 2

1 +++

= 1615

325

3210

3210

325

=+++

� � K � � � � � � � � � � � =1R) � � � � ( ) � � � � � � � � + ( ) � � � � � � � �

� � �( = 1 - [ ](0) P )5( P + = 1-

1615

321

321 =

+

ii) � � � � / & � � � � � � ; � ) � K � � � � � � � � � � � +� � � � �� � � / & �

Page 148: اساسيات الاحتمالات

147

P = P (0) + P (5 ) =

161

321

321

=+

6( D �x D + � � & � � � 8 � � ! � � � 5 � � � � � � � � � � � � � � � " � � 7 / � 4 � � � � � E � � H � x ! � ( � � � � � � 0 E 1 E 2 E ....7

D �p 5 � � � 7 � � 9 � � � 8 � � � � � � � � q5 � � � 7 � � 9 � � � 8 � � � / � � � � � � �

31 = p 32 = q

i) p (0) = f (0) = 707

0 32

31

= 0.05853 2187128

32 7

==

ii) p (1) = f (1) = 67

1 32

31

= 7 0.2048 2187448

32

31 6

==

iii) p (7 ) = f (7 ) = 077

7 32

31

= 0.0005 21871

31 7

==

7( D �x / � 4 � � � � � E 3 � � 1 � � � � � � � � & � � � � � � " � � x ! � ( � � � � � � 0 E 1 E 2 E ...9

Page 149: اساسيات الاحتمالات

148

9 = n 41 = p 43 = q

i ( � � � � � � � � � 3 � � 1 � � � M ( � � � � � � � � � � & � � * � � � � � � � � � �L� � 1 � � & � � � 8 � � � �

P (x = 0) = f (0) = 9

43

0

41 9

0

= 9

43

= 0. 07 5

ii (� � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � P (x = 1) = f (1) =

819

1 43

41

= 0. 225

iii (3 � � 1 � � " � � � � � � � " � � � � � � � � P (x ≥ 2) = p (x = 2) + p (x = 3) + … + p (x = 9 ) = 1- [ p (x =0) + p (x = 1)] = 1 – 0. 07 5 – 0. 225 = 0. 7

Page 150: اساسيات الاحتمالات

149

8( D �x � � � 7 � 8 � � 3 � � 9 � � � 8 � � � � � � � � � � " � � 3 � � 3 % � 4 5 � � �5 / � 4 � � � � � E � � � x ! � A � � � � ( � � � � � �

0، 1 E 2 ... 5 5 = n 21 = p = q

� � 9 � � . 8 � � � 8 9 � � & � � � � � 8 � � H 6 � 8 � � � � � � % � � I � �1 � � 2 � � 3 � � 4 � � 5 ; �

)5 � 5 ( � �)4 � 4 ( � �)3 � 3 ( � �)2 � 2 ( � �)1 � 1 ( � �)0 � 0( ; � ) � � � � � � 7 H � � � ( � � � � 9 � � � 8 � � � � � � � �

25

21 5

x

" � �L.

(0 , 0) = P(0) p(0)

= ( ) ( )

5050

50

21

21

21

21 5

0

= ( ) 2550 2

1

∴ � � � 8 � � � � � � % � � I � � 9 � . 8 � � � � � � � � � P = ( ) ( ) ( ) ( )

+

+

+

25

53

252

2551

25

21

21 5

21

21 5

0

Page 151: اساسيات الاحتمالات

150

+ ( ) ( )

21

21 5

4

2555

25

+

=

+

+

+

+

+

101010101010 21

2125

21 100

21100

2125

21

= 102252 =

1024252 =

25663

9( D �x � � 3 � � � � � � � � � � � G � � � � � " � � 25 / � 4 � � � � � E 3 � � x ! � ( � � � � � �0 E 1 E ...25

25 = n E 51 = p E

54 = q

9 � � � � � � ( % � � 9 � � � 8 � � � � � � � � � � � � � � � � 4 G � � � � " � � � � � � � � � ( % � � 9 � � � 8 � � �

P = (x = 4) + p (x = 5 ) + … + p (x = 25 ) = 1 – [ p (x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2) + p (x =3)]

= 1 - ( ) ( ) ( )( )

+

+

+

223253

232252

24251

25250

54

51

54

51

54

51

54

51

= 1- (0. 0037 7 7 7 + 0. 0236110 + 0. 07 08 336 + 0. 135 7 644) = 0. 7 66

10( � � 3 � � K � � � � Z ) � � � � � I � � � � � Z ) � � � � � � � � � 2 � �

9 2 � � G � ( % � G � ( 0 ) G � 9 � K � � � � � � � � � � � ( � � � 8 ( � � 6

Page 152: اساسيات الاحتمالات

151

( � � � 8 ( � � 6 I � � � � � Z ) � � 9 � K � � � ( 0 � � � � ? �; � ) � �:

p = ( ) ( )

0111

4040 3

2 31

32

31

= 24316

316

31

32

5

4==

� �

P = 24316

31

32

32

32

32 =××××

11( D � x / � 4 � � � � � � � � � � � � � � � � " � � x! � ( � � � � � � :0 E 1 E

...6 � 2 � � � � � 2 � � � � � � � � � K � � � � � � � � � � � � � � � =p = 0. 30

� 2 � � � � � � � � � � � � � � � M K � � � � � � � � � � � � � � � =q = 0. 70

n = 6 � 2 � � � � � � � � � � � � 4 G � 9 � ( � � % � � � � � � � " � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � �2 � � 3 � � 4 � � 5 � � 6 � � P (x ≥ 2) = 1- p (x < 2) = 1 – [ p (x = 0) + p(x = 1)]

� H 2 � � �

Page 153: اساسيات الاحتمالات

152

P = 1- [ ( ) ( ) 5161

6060 (0.7) (0.3) (0.7) (0.3) + ]

= 1 – ( 0 . 1 1 7 6 4 9 + 0 . 3 0 2 5 2 6 ) = 0 . 5 7 9 8 2 5

12( � 2 � � � H 6 � � � * 2 � � 9 2 � � 2 2 � � � � 2 � + � + � � � � � � � � 2 4 G � D �x / � 4 � � � � � 3 � � � � � � � � � + � + � � � � � � � � � 1 � � � � � " � �

x ! � ( � � � � � � )10 E ... E2 E 1 E 0(

� � � � � � � � � � = � D � 4 � � � � � � =p = 0. 1 � � � � � � � � � � = � D � 4 � / � � � � � � � =q = 0. 9

n = 10 � D � 4 � � � � � � =� � � D � 4 � / � � � � � � � A 4 � � � = � � � �

� � % � & � � � � � � � � � � � � A 4 � P = 1 – ( )10

0 ( 0 . 1 )0 ( 0 . 9 )10 = 1 – ( 0 . 9 )10 = 0 . 6 5 1 3

13( ; � ) � � � � � � � ! 0 � " * � + � � � * 4 � � � � � � ! � ) � � � � ) � � � np ) � � � � � � � ! 0 � " * � + � � � � � � � � � � ; �npq

n p = 9 … … … … … … … . ( 1 ) n p q =

518 … … … … … … ( 2 )

� � � � � �)1 ( �)2 (

Page 154: اساسيات الاحتمالات

153

9 q = 518

q = 52

4518

=

p = 1 - 53

52 =

( � � 4 $ � � % � �P ! � )1( n = 9 ÷ 15

345

53

==

14( 35 = n 0. 2 = p 0. 8 = q * 4 � � � � =np � � � � � � =npq

µ = np ∴ µ = 35 (0. 2) = 7

2σ = npq 2σ = 7 (0. 8 ) = 5 . 6

15 ( D �x 2 � � � � � � E F � � � � � � ( � � 8 � � ! � 5 � G � � � � � " � � x * � + � �

( � � 8 � � ! � � � � � J � � ) � � � � � � ) � � � 1

232232 ==λ

Page 155: اساسيات الاحتمالات

154

i( f ( x) =

!x e xλλ−

p ( x = 2 ) = f ( 2 ) = !2(1) e 21−

= e-1 / 2 = 0 . 1 8 3 9 C 2 � �

e-1 = 0 . 3 6 8 ii( P ( x < 2 ) = ∑

=

−1

0x

x1

!x(1) e

= e-1 ( 1 + 111 )

= 2 e-1 = 0 . 7 3 6

16 ( D �x � � ) � � � * � + � � & � � � � � � � � % � � � & � � � ! � C � � � � � � � � � � " � � 3 � � % � ; H � � =4

i( f ( 0 ) = !

04

0)4( e−

= e-4 = 0 . 0 1 8

ii( P (x ≤3) = ∑ λλ

!

x-

x)( e

Page 156: اساسيات الاحتمالات

155

= p (x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2) + p (x = 3) f(0) = e -4 = 0. 018

f(1) = !

4

14 e− = 0. 07 2

f(2) = !2(4) e 24−

= 0. 144

f(3) = !3(4) e 34−

= 0. 19 2

f ( x ≤ 3) = 0. 426

17 ( D �x � � % � � � � � � � � ! � � � 1 � � � � ! � ( � � 4 � � � ! � � � % � � � � � � � � � ) � � � =

52 =λ

� � � ! � � � % � � � � � � � � � )5 , 0 4 � =2 ! � � � % � � � � � � � � � ) � � �10 , 0 4 � =4 ∴ 2 = λ, 0 4 � I � ! � 4 = λ, 0 4 � � � ! �

i) P (x = 0) = f(0) = !02 e 02−

= e -2 = 0. 135

ii) λ = 4 P (x > 4) = 1-P (x ≤4)

Page 157: اساسيات الاحتمالات

156

P (x ≤ 4) = ∑=

λ λ4

0x

x-

x! e

= P (x = 0) + P(x =1) + P(x =2) + P (x =3) + P(x =4) f(0) = e -4 = 0. 018 f(1) = e -4 (4) = 0. 07 2

f(2) = !2(4) e 24−

= 8 e -4 = 0. 144

f(3) = e -4

664 = 0. 19 2

f(4) = 664

!4(4) e 44

=

e -4 = 0. 19 2

0. 618 ∴ P (x > 4) = 1 – P ( x ≤ 4 ) = 1 – 0. 618 = 0. 38 2

18 ( D � x � � � � � 4 � � . � 8 � ! � � � ( � � � & � � � � � � � � � � � � � 1 � � � � � " � � 3 � % � � � � ) � � � * � + � � & � � � � � �2 = λ

P ( x = 4 ) = f (4) = 42 e 42−

= 32 e -2

= 3)135.0(2

=3

270

= 0. 09 0

Page 158: اساسيات الاحتمالات

157

19 ( D �x � � � � � ( � � 8 � � ! � ( � � � � � � 5 � G � � � � � 1 � � � � � " � � 2 �x 3 � % � � � � ) � � � * � + � � 4 =λ

i) P (x = 0) = f (0) = !02 e 42−

= e -4 = 0. 018

ii) P(x ≥ 2) = 1 – P (x < 2)

= 1 – [ P (X = 0) + (P(X =1)] = 1 – (0. 018 + 4 e -4) = 1 – (0. 018 + 0. 07 2) = 0. 9 1

20 ( D �x 3 � � � � � ! � K � � % � � � � � � " � � 6 × 10/ � 4 2 � � � � �x * � + � � 3 � � % � ; H � � � � ) � � �λ== 10

(10) (6) 6

x! e xλλ− f(x) =

i) P (x = 0) = f(0) = e -6 = 0. 0025

Page 159: اساسيات الاحتمالات

158

ii) P (x ≥ 1) = 1- P (x < 1) = 1-P (x = 0)

= 1 – f (0) = 1 - 0. 0025 = 0. 9 9 7 5

21( D � x � " � � 2 � � ! � [ � � � � � � �500 � � ∴ λ==

200500 5.2

!x e )x(f

x- λ=λ

i) P ( x ≤ 2 ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) f ( 0 ) = e -2 . 5 f ( 1 ) = e -2 . 5

f ( 2 ) = 2.5-25.2e 3.126 2

(2.5) e=

P ( x ≤ 2 ) = 6 . 6 2 5 e -2 . 5 = ( 6 . 6 2 5 ) ( 0 . 0 8 2 ) = 0 . 5 4 3

ii) P ( x ≥ 3) = 1 – P ( x < 3) = 1 - { }f(2) f(1) )0(f ++

= 1 – 0 . 5 4 3 = 0 . 4 5 7

Page 160: اساسيات الاحتمالات

159

22 ( D �x ( � � 4 � � ! � K� � % � � � � � � " � � 3 × 7 /

λ==λ=λ

221 11.5 x!

e )x(fx-

i) P ( x = 0 ) = f ( 0 ) = e -1 1 . 5 = 0 . 0 0 0 0 1

ii) P ( x ≤ 1 ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) f ( 1 ) = e -1 1 . 5 1 1 . 5

f ( 0 ) + f ( 1 ) = 1 2 . 5 e -1 1 . 5 = 0 . 0 0 0 1 2 6 6

Page 161: اساسيات الاحتمالات

16 0

������ ����

Page 162: اساسيات الاحتمالات

16 1

������� ���� � � � � �� � � � � � ��

The Normal Distribution

2 � " � �� ( 2 � � � � � � � � % � + � � � � / � � � � ! % � � � � � * � + � � � � � � % � � � 2 � � � � � ! 2 � 7 � � 8 � � * ' � � � � � � 3 � � � � E , . � � � 9 � � � % � ) �

� � � � 4 � E 5 8 � � � � � % � + � � � � � � � � " � � � � � 3 � ) � ,"( � % � � � � � " H 2 J � 3 � � � � � � � � � % � + � � � � / = % � � ? � @ � H � E 3 � � � � 4 . � �) � � � � � � % � + � � �

� + � � � � ( � � � � � � � � 5 � � � % � + � � �) / � 2 � � � � 3 � � � � � � � / � � � � � � � , � � � �7 � � � � � � ( � 2 � 2 � " � ! 2 � * � + � � � � � H � / � � ) � � E 3 � � � � 4 . � � H J �

� � K � � � � � � � � � ! � 3 % ) � � � � � � � ) � 3 � � 7 � � � � � � � � � � � ( � � � 8 � � M � 3 � � % � � � � % � + � � � F � � � � � � � � % � � � $ � � � �.

� � � � ; � / � % � � * � + � � � � � H � � � � � � � � � � � � � �D e M o i v er / �1733 I � M / � % � � 7 � % � � � � G au s s / � ! � 1809 � H 2 � � % � �

I � 2 M * 2 � + � � ; � 3 � ) � L ' � � * � + � � � �G au s s D i s t r i bu t i o n � H 2 & � � ( 2 8 ( 2 � � � � 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � ( � ' � � � 3 8 � � * � + � � � �

� � � � � � ! 0 � " * � + � � � 2 " � T � � % � + � � �. � 2 � / � � � � � � � � E ! % � � � � � 9 � � � � � � 9 � � � * � + � � � � � H � 9 � � � �

2 � 1 � � � � � 2 � � � � ( 2 � " � ( 2 � � � 9 � � � � � 8 � � � � J � ; = � * � + � � 9 � � � � 3 2 � ; H � � ! 0 � � � % � � � � � � " � � � ! % � � � � � * � + � � � � 9 � � � � � E * � + � � � � � H �

� 2 � . 2 � � 2 " � � � � K� ) � ; � ) � ; H � � ! � ) � � � � ) � � � � � ! ) � � � � � � � � � � � ) � � � . � � 9 � 6 7 � � � � � � � 7 � � � � 3 � 4 3 � � � � � � ! ) � 4 � � � �

Page 163: اساسيات الاحتمالات

16 2

� ) � � � � � � ( � & �) � 2 � & � � � � ! 2 � � G � � � � � � � � 7 � � K � � � � 3 % � � � � � � ( @ � H * � � - � � 8 � � � � � � � � ; � ) � 9 � � � � � � � � � ( � ) � � � � �

2 � 1 � � ; � � 2 � � � � ( 2 � " � 3 � � � 9 � � � � � � � ( � ) � � � ! � � � � � � � � � � � 8 � � ! 0 � � � �.

� � � � � �1 9 � � � � � � � " � � :

� � �1 � � � � � � � � � �

� 2 � � 2 � � & � � � � ( � % � � � � � � � � � � � � � � � ! 0 & � � � � � @ � � � 2 � ( � � 4 K) � $ % � � � & ' % � ! � 2 ) � � � � 2 ) � � � � 2 �) * 2 4 � � � � (µ

; � % � � � � � � � � � �σ � � 2 � � � � ! 2 � ( 2 � % � � � � � � � � � , � � � � 4 � E � � � � � ! � � � � � ! � ) � � � � ) � � � ! � � � � & � � � � ; � % � � �2 � 4 � � E

� � � ! � � � � � ; � % � � � � � � � � � � � � � ! � ) � � � � ) � � � , � � � � �3

Page 164: اساسيات الاحتمالات

16 3

µ = 2 µ = 4 µ = 6 ���2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

5.0=σ 1=σ

2=σ µ = 3

� � �3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � 1( ! � ) � � � � ) � � � � � � � " � � � ! % � � � � � 9 � � � � � �µ 9 � � � � � � � � ; �

3 � � � � 9 � 9 � � � � � � � " � � ! � ) � � � � ) � � � ) � 9 �. 2( 9 � 6 9 � � � � � � � � � 3 � ) � � � / ) � � � � 8 � � � � � ! � ! � ) � � � � ) � � �

� � � � ) � � � � � ) 4. 3( � � � � ; � ) � 9 � � � � � � � � � 3 � ) � � � D � � � �. 4( ( � � 4 � � � � & �µ � σ� 9 � � � � � � ? � ( � � � � � A � � � � ! % � � � � :

� R ! � � � �68. 26 % � � � � � � � � � � � * � � 3 � ) � � � � �σ R µ � σ+ µ

x

x

f(x)

Page 165: اساسيات الاحتمالات

16 4

68.26

K R ! � � � � 95. 46 % � � � � � � � � � � � * � � 3 � ) � � � � �σ2Rµ � σ2+ µ

Q R ! � � � � 99. 74 % � � � � � � � � � � � * � � ( � ) � � � � �σ3 Rµ � σ3 +µ

� R ! � � � � 95 % � � � � � � � � � � � * � � ( � ) � � � � �σ1. 96Rµ � σ1. 96 +µ

2 �R ! � � � � 99 % � � � � � � � � � � � * � � ( � ) � � � � �σ2. 58Rµ � σ2. 58 +µ

� - ' � � � � � � � � � � � !4! � � � � :

� 8 � � � � ! 0 � � � % � � � 1 � � � � � �x 3 � � � � � � � H 6 � % � � � D + � � 3 � � ( � � � � � ( 1 � 8 � � 7 � % � 3 � � � � � � � ( � " � :

x

%13.6

68.26%

%34.13

%34.13

%13.6

2.14% %2.1 4

9 9 .7 4%

95.46%

6 8 .26

Page 166: اساسيات الاحتمالات

16 5

f (x) =

2 -x 21

e 21

σµ−

σ π

C � � ∞ < x > ∞− µ ! % � � � � � � 1 � � � ! � ) � � � � ) � � � ! � e 3 � � � 4 � � " 2. 71828 π ; � ) � � ( � � � � � � � ( � ) � � � ! � 3. 14159 ! � 2 ) � � � 3 � ) � ; H � � ! % � � � � � * � + � � � � K� � � �µ 3 2 � � � � � 2σ

) � 3 � � � � � � � � � � ; � ) � ; � % � �σ ( + � � � K� � �)2σ , µ(N . " 2 � � )2 0,4 (N ! � ) � � ) � 3 � � % � � � � � 1 � � ! � % � )* 4 � � ( ; � ) �20 � � � � �

; � ) �4) ; � ) � � % � � � � � � ; �2.( � � � �f (x) 2 ) � � � D � 2 � � � � � � � � � � � � ( � " � 3 � � � � 2 � � ( �

. 8 � � � 0 � � � � L� � 1 � � � � � � � � � � - � � 8 � � � � � � � ) � 3 � � � � � 7 H � 9 � � � � 3 � ) �µ3 � � � � � 2σ � " � � � � � � � � � � � � � 4 � � � * � � b , a � � )b < x <

a (p 3 � � � � � 9 � � � � � � � 7 � 8 � � � � ( � ) � � � ; � ) � � f (x) � � � � � � � � � x = b , x = a

µ a b

f(x)

Page 167: اساسيات الاحتمالات

16 6

� � � �5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � The Standard Normal

D i s tri b u ti on � 1 � � � � 9 � ! ) � � � � � � ; � % � � � ! % � � � � � � 1 � � � � / ) � , � � � 1 � � � � 9 � ; � � � � � 3 � � � � � � 8 ! � ) � � � 3 � ) � ; H � � ! % � � � � �

N(0.1) + � � � 3 � + � � � z! � 3 � � � � � ( � " � 3 � � � � � � � � f (x) = 2/2z-e

21π

∞− < z < ∞

� � � � �f (z) 9 � � � � � � � ( � ) � � � D � � � � � � � � � � � ( � " � 3 � � � f (z) ; � ) �1

2/z-

-

2e

21 ∫

∞π

d z = 1

� � � � � � � � � � � ; � % � � � ! % � � � � � ! 0 � � � % � � � 1 � � � � D � 4z � � � � � � � � � � � z = a Ez = b � 2 � � � � � ( � " � 3 � � � 9 � � � � � � � 7 � 8 � � � � ( � ) � � � � � f (z) � � � � � � � � � � � � � � � � � � z = a E z = b; � ) � ; �

P (a < z < b ) = ∫b

a

π21 2/z2e− d z

( � ) � � � � � ) � � � �)� � � � � � � � � ( ! � � ; � % � � � ! % � � � � � 9 � � � � � � � � � � � � � � � ! � 7 � % �2, � � � � .

� � � � � � � � � � � � � � � 4 � � � � 8 � � � � ! % � � � � � � 1 � � � � D � 4 � � � � � � K ) � � � 2 � � � � � ( 2 � " � 3 � � � 9 � � � � � � � 7 � 8 � � � � ( � ) � � � K) � � � �f (x)

2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �X � � � � � �f(x) � ) � � � � � � � � � % � � � ' � �

Page 168: اساسيات الاحتمالات

167

! � ) � � �µ � � � � � � � 2σ 7 � � � � � � M � � 4 � H J � � � � & � � � � � � � � � � 4 L ' � � � � H J � � � 3 � � � � ! � � � � � � 8 � � � 1 � � ! 0 � � � % � � � 1 � � � � � 6�

) � � � � � � � � M � � 3 � ? � T � � ; � � � � 7 � � � � � � M 3 % 4 � � � � � � ) � � � K � � � � � 3 � � � / � � � ! % � � � � � 9 � � � � � � � � �µ ,2σ , x * � � � 2 ) � � � � � �

! 2 % � � � � � � 1 � � � � � � � � � � ( � � % 8 � � 7 H � 9 � K 1 � � �)2σ, µ (N 9 2 � 6 ; � % � � 1 � �N(0.1) � � � � ! � � 7 � � � � � � � 3 � ) � � � K ) � � � � �

� � � � � � ! � � � ) � � � 7 � % �2, � � � � .

������� ����� ����) 2σ, µ (N �� � �� �� ������� ����� � �� ). 10(N

! 0 � � � % � � � 1 � � � � � � � H 6x ! % � � � � � * � + � � � � 3 � )2σ, µ (N � ? � ! 0 � � � % � � � 1 � � � �

σµ−= xz ; 2 � % � � � ! 2 % � � � � � * 2 � + � � � � 3 2 � � � � �

N(0.1) 3 � � � � � � 8 ! � ) � � � 3 � ) � � � % � � % � � � L % � + � � 3 � � � � � ; � 1 ! � ) � � � 3 � ) � ! % � � � � 1 � � ; � � � � µ 3 � � � � � 2σ 9 � 6 3 � � � � � � � �

3 � � � � ; � % � ! % � � � � 1 � �σµ−= xz ! 2 % � � � � � * � + � � � � � � � � � � H & � �

7 � � � � � � � 7 � 8 � � � � ( � ) � � � K ) � � � � � ; � % � ! % � � � * � + � � 9 � 6 � � � � � ! � � �6.

� � � � H 6b / � 4 � � ( � � % � ( � � 4 x � � P (x ≤ b) = P (x - µ ≤ b - µ )

Page 169: اساسيات الاحتمالات

168

= P

σµ−≤σ

µ− bx

= P

σµ−≤ bz

µ b

f(x)

x

Page 170: اساسيات الاحتمالات

169

Q z = σµ− b

�����6 � � � �� �� � )2σ, µ (N � �� z

! � 9 � � � � � � � � � 3 = � � � � M ( � ) � � � P (X ≤ b) = P (Z ≤

σµ - b )

' � � � � � � � P (X > b) = 1 – P (X ≤ b)

= 1 – P (Z ≤ σµ - b )

� � � � H 6�b< a) � � � ! � � �7 ( � � P (a ≤ X ≤ b) = P (Z ≤

σµ - b ) - P ( Z ≤

σµ - a )

) � 9 � 6 ( � ) � � � ; � ) � ; �b ) � 9 � 6 ( � ) � � � A 4 � a

f(z)

z

Page 171: اساسيات الاحتمالات

170

µ a b �� ��7

� � � � � � 8 � � � � � � � � � � � ( � " � 3 � � � 9 � � � � � � " � � � � ( � 8 � � � i ) ∫

∞−

xf(z)d z = ∫

∞−

0f(z) d z + ∫

x

o

f(z) d z

= 21 + ∫x

o

f(z) d z

i i ) ∫−

∞−

xf(z) d z = ∫

x

f(z) d z

= 21 - ∫x

o

f(z) d z

� 2 � � � � � � � � � � � � � ) � � � / � � � ( � � ) � � � � � � � � � � � ! � ! � � � � @ � H � � / � � � ( � � � � � � � � � � � � K ) � � ; � % � � � ! % � � � � � 9 � � � � � �x 3 2 � � � � � �

/ � � � � � � � � � � Q � � � ) � � � � � & � � �x( � � ) � � .

x

Page 172: اساسيات الاحتمالات

171

������� : � � � � �1 :

� � � � H 6X * � + � � � � 3 � ! % � � � ! 0 � � � � � 1 � � )4 E 3 (N 2 � � * � � � � � � � � � � �X � � � � � � � � � � � 3 E 5O

� � ���: ; � % � * � + � � 9 � 6 * � + � � � � � � � �

z = σµ−x

z1 = 0233=

z2 = 1235=

− p (3 < x < 5) = p (0 < z < 1)

� � � 3 � ) � � � ; � ) � �z = 0 � z = 1� ! � � � ! � � ! � � � � � � � �

0 1 � � � � � � � � ! � �2 ; � ) � , � � � � 0. 3413

Page 173: اساسيات الاحتمالات

172

� � � �2: ! 0 � � � % � � � 1 � � � � � � H 6X ! % � � � � � * � + � � � � 3 � )2,σµ (N

� � � �:

i) P ( )x σ+µ<<σ−µ ii) P ( )2x2 σ+µ<<σ−µ iii) P ( )3x3 σ+µ<<σ−µ

� � ��� : i) z1 = 1)( −=

σµ−σ−µ

z2 = 1)( =σ

µ−σ+µ

∴ P ( )1z1(P)x <<−=σ+µ<<σ−µ � � � ( � ) � � � � � F � � � � �z = -1 � z = 1

= � � � ( � ) � � �z = 1 � z = 0 + ( � ) � � � � � �z = 0 � z = 1

-1 0 1 ! � ) � � � � ) � � � ) � � � � � � 9 � 9 � � � � � � � " � � � ( � � � � �0=µ � �

� � � ( � ) � � � z = -1 �z = 0 � � � ( � ) � � � ; � ) � z = 0 � z = 1 � � � � � � � � � � ; � ) � � 7 . � � � � � � � ! �0. 3413

Z

Page 174: اساسيات الاحتمالات

173

∴ P ( σ+µ<<σ−µ x ) = 0. 34 13 + 0. 34 13 = 0. 6 8 26 = 6 8 . 26 %

� � ! � % � � H � �68. 26 % � � ' * � � 9 � � � � � � � � � ( � ) � � � D � � � � � �! � ) � � � � ) � � � � � � � � � ; � % � � � � � �.

ii) P ( )2 x 2 σ+µ<<σ−µ z1 = 2 )2 ( −=

σµ−σ−µ

z2 = 2)2( =σ

µ−σ+µ

∴ P ( )2z2(P)2x2 <<−=σ+µ<<σ−µ � � � 7 � 8 � � � � ( � ) � � � ; � ) � �z = -2 � z = 0 + F � 8 � � � � ( � ) � � �

� � �z =0 � z =2 � � � � � � � � � = 0. 4 7 7 3 + 0. 4 7 7 3 = 0. 9 5 4 6 = 9 5 . 4 6 %

� � ; �95. 46 % � D � � � � � � � � � � � � � � � ' * � � 9 � � � � � � � � � ( � ) � � � 8 ! � ) � � � � ) � � � � � � � � � % �.

Z

Page 175: اساسيات الاحتمالات

174

-2 2 iii) z1 = 3)3( −=

σµ−σ−µ

z1 = 3)3( =σ

µ−σ−µ

∴ P ( )3z3(P)3x3 <<−=σ+µ<<σ−µ

� � � 7 � 8 � � � � ( � ) � � � ; � ) � �z = -3 � z = 0 + F � 8 � � � � ( � ) � � � � � �z =0 � z = 3� � � � � � � � � :

= 0. 4 9 8 7 + 0. 4 9 8 7 = 0. 9 9 7 4 = 9 9 . 7 4 %

� � ; �99. 74 % � � 2 ' * 2 � � 9 2 � � � � � � � 2 � � ( � ) � � � D � � � � � �3

! � ) � � � � ) � � � � � 3 � � % � � � � � � �.

-3 3

%99.74

Page 176: اساسيات الاحتمالات

175

� �� � �� � � �� � �� �� ������� � �� ����

1. � � �( � � � � � � � � � � � � � � � � ; � % � � � ! % � � � � � * � + � � �:

i) (0. 7 < z< 0 (P )0. 2580( ii) (1. 2 < z< 0 (P )0. 3849( iii) (0 < z< 1R (P

)0. 3413( iv) (0. 96 < z< 0. 82R (P

)0. 6254( v) (R0. 6 < z (P )0. 2742( vi) (1. 1R > z ( P )0. 8643(

2. � � � ( � ) � � � � � � �0. 5R = z

3. ! 0 � � � % � � � 1 � � � � � � � H 6x ! % � � � � � * � + � � � � 3 � N (2, 1) � � � � :

i ) (4 > x (P )0. 0227( ii ) (2 < x < 0 (P )0. 4773(

4. 2 & � � 2 � % � � � 3 2 � + � � � % � � � � T � � � K. � � � � � � � � � � H 6

! � ) � � � 3 � ) � ; H � � ! % � � � � � * � + � � � �68. 50 3 2 � � � � � � 3 8 � � ; � % � � �2. 33 8 � � :

Page 177: اساسيات الاحتمالات

176

i( � � + � ( % � � � � � � K� � ; � � � � � � � � � � � � � � � �6 / � � 4 � )723 8 � � ) (0. 0643.(

ii( � � � / & � � � � � � � � � � � � H � � ( % � � � � ! � 3 � � � � ( � ) � ! � �70 � 72 3 8 � � )0. 1935(

5. � � � � � � � � � H 63000 � 2 � � ! % � � � � � * � + � � � � � � � H � � K� �

! � ) � � � � ) � � � ; � 2 ) � � � � 2 � G � 7 H & � 170 � � 2 � � � � � / 2 ) ; � ) � & � ; � % � � �5 / ) :

i( � � " � � / & � � � � � � � H � � ( � � � � ( � ) � � � � �185/ ). ii( � � / & � � � � � � � + � � � H � � ( � � � � � � � � � � �185/ ). iii( � 2 ) � � � � � , � 2 � / & � � � � � � � H � � ( � � � � ( � ) � � � � � H 6

� � � � � � � % � � � � � � � 4 ��x � � 0. 2881 � 2 � � � O� � � � � � H �.

6. 6 ! 0 � � � % � � � 1 � � � � � � � Hx 3 � 2 ) � ; H 2 � � ! 2 % � � � � � * � + � � � � 3 �

! � ) � � �80 ; � % � � � 3 � � � � � � 0. 30� � � J � : i( )80. 36 ≤ X (P ii( � � % � �C � � � H 6 0. 95) = C ≤ X ( P

7. & � � � � � 4 � � � � � � $ � � � � G � � � � � � W � � � * � 8 �4

1 * � + � � & � * � 8 � � � � H � Q � � � � � � G � � 4 � � � � � � 7 � � � � / )

! � ) � � � 3 � ) � ! % � � �2. 5 ; � % � � � 3 � � � � � � / �0. 0025 E / 2 �

Page 178: اساسيات الاحتمالات

177

� � 2 � 2 � � 4 � � � 2 � � ! 2 � � � � a � ( � � 0 � � � ( � ) � � � ! � � �2. 4951 � 2. 5049O/ �

8. � � % � � � � � ) � � � � � � H 64 ; � % � � � � � � ( � ) � � ! � � � � �

0. 50 ( � 2 ) � ! � � � � % � � � % � + � � * � � � � � G � � � � � H 6� � � � � � � � � � � � � ' � � � � � H � � � � % � �2. 5 � 3O( � ) � � ! � � � � �

9. ! 0 � & � � � � � 8 � � � � � � ) � � � � � � H 61500 � � � � 2 � ( � )

; � % �50 � � � � � � � � � � % � � � % � + � � * � � � � ( � ) : i( � � 4 , � � � ) � � 8 � � �1400( � ) . ii( � � 6 � � " � � S � % � ) � � 81550( � ) . iii( � � � � S � % � ) � � 8 � � 61450 � 1550( � ) .

10. ; � ) � 3 � � 3 � � � � � � + � � � � � � � � , � � � 8 10 I 2 � � �

(O U NCE S ) ; � % � � � � � � 1. 5 3 � + � � � � � � � � � + � �� I � � � � � 2 � & � + � * � � ! � � � � � � � � � ( � ) � ! � � � � % � � �7. 9 � 12. 4

OI � � �

11. 6 � � � � � � � � H 6 * 2 � + � � � � 2 & � ( � ) � � ! � � � � � � T � � 3 � ) � ; H � � ! % � � � � �100 ; 2 � % � � � 3 2 � � � � � � � � � � � � � 5

� � � � � � . � : i( � � � � + � ) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � 100 � � � � � � � . ii( � � � � � ) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � 100 � � � � � � � .

Page 179: اساسيات الاحتمالات

178

iii( � � 2 � � � � � ) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � 100 � 110 � � � � � � �.

Page 180: اساسيات الاحتمالات

179

� �� � �� � � �� � �� �� � )������� � �� ����(

1 . � � � � � � � � ( � � � � � � � � � � � � � � � �27 � � � , � � � � . 2 . ! 2 2 � ( 2 2 � � � � � � ( � 2 2 ) � � �

� � 2 � � � ! 2 � ( 2 = � � � ( � ) � � � � � 2 � F � 8 � � � � �∞R � 0. 5R

� 2 � ( � 2 ) � � � � " � � ! � �0.5 9 � �∞ � 2 � ( � 2 ) � � � A 4 �

9 � � � 80. 5 � � � � � � � � � = 0. 3085 = 0. 1915 – 0. 5

3 .; � % � * � + � � 9 � 6 ! % � � � � � * � + � � � � � � � � i(

σµ= -z

z 2

12-4 z ==

∴ P (X > 4 ) = P (z > 2) = 0. 5 – 0. 4 7 7 3 = 0. 0227

ii ( 2- 12 - 0 Z1 ==

-0 . 5 Z 0 2

Page 181: اساسيات الاحتمالات

18 0

0 12 - 2 Z2 ==

∴ P (0 < X < 2) = P (z > 2) = P (-2 < z < 0) = P (0 < z <2)

= 0. 4 7 7 3

4 . i.

Z = σµ - x

= 2.53.5

2.368.5 - 72

=

= 1. 5 2 ∴ p (x > 7 2) = p (z > 1. 5 2) = 0. 5 -0. 4 35 7 = 06 4 3

ii. z1 = 2.3

68.5 - 70 = 0. 6 5

z2 = 2.368.5 - 72 = 1. 5 2

∴ P (7 0 < x < 7 2) = P (0. 6 5 < z < 1. 5 2)

0

Page 182: اساسيات الاحتمالات

18 1

= 0. 4 35 7 – 0. 24 22 = 0. 19 35

5 . . i z = 3

5170185

=−

∴ P (x > 18 5 ) = P ( z > 3 ) = 0. 5 – 0. 4 9 8 7 = 0. 0013

ii. 3000 = % 100 x = % 0. 13 x = 100.0

(3000) )0013.0(

= 3. 9 ≅ 4

iii. z =

5170 - x

( � � 4 � � � � � � � � � � � z 7 = � � � � ( � ) � �0. 2881 ! � 0.8

∴ 0. 8 = 5170 - χ

x = 174

0 3

x 0

0 . 28 8 1

Page 183: اساسيات الاحتمالات

182

6. i.

Z = 1.2 3.0

80 - 36 - 80=

)2.1 z ( p ) 80.36 x ( p ≤=≤∴ = 0. 5 + 0. 38 49 = 0. 8 8 49

ii. z =

3.080 c −

( 2 � � 4 � � � 2 � � � � � � � � � �z ( � 2 2 ) � � ( 2 2 � � � � �)0. 50 –

0. 95 ( ( � ) � � ; �0. 45 ! � 1. 64

∴ 64.13.080 c

=−

∴ c = 8 0. 49 2

444 3444 21

������� � ��� =0.95 � �� �� ������ �� � �0.4 5 � �� � � � �� �� � � �� � �

� � � � � �� � �∞ � � ! " �� ∞− � � � ∞ 7.

z1 = 96.10025.0

5.24951.2=

z2 = 96.10025.0

5.25049.2=

∴ P (2. 49 51 < x < 2. 5049 ) = P (-1. 9 6 < z < 1. 9 6 ) = 2 (0. 4750)

1 .2

0 0

0 . 4 5

-1. 9 6 1. 9 6

Page 184: اساسيات الاحتمالات

183

= 0. 9 5

8. z1 = 3-

5.045.2=

z2 = 2- 5.043=

∴ p (2. 5 < x <3) = p (-3 < z <-2) = p (2 < z < 3) = 0. 49 8 7 – 0. 4773 = 0. 0214

9. i. z =

501500 - 1400 = -2

∴ p (x < 1400) = p (z < -2 ) = 0. 5 – 0. 4773

= 0. 0227 ii .

z = 501500 -1550 = 1

∴ p ( x > 1550) = p (z > 1 ) = 0. 5 – 0. 3413

-3 -2

-2 0

0 1

Page 185: اساسيات الاحتمالات

184

= 0. 158 7

iii. 1z =

501500 - 1450 = -1

2z = 1 50

1500 - 1550=

∴ p (1450 < x < 1550) = p (-1 < z 1< ) = 2 (0. 3413) = 0. 6 8 26

10 .

1.4 1.5

10 - 7.9 z1 ==

1.6 1.5

10 - 12.4 z2 ==

∴ p (7. 9 < x < 12. 4 ) = p (-1. 4 < z < 1. 6 ) = 0. 419 2 + 0. 4452 = 0. 8 6 44

11. i.

-1 0 1

-1. 4 0 1. 6

Page 186: اساسيات الاحتمالات

185

z = 0

5100 - 100

=

p ( x > 100 ) = p (z > 0 ) = 0. 5

ii. z = 0

5100 - 100

=

p ( x < 100 ) = p (z > 0 ) = 0. 5 iii.

0 5100 - 100 z1 ==

2 5100 - 100 z2 ==

∴ p (100< x < 110) = p (0 < z < 2) = 0. 4773

Page 187: اساسيات الاحتمالات

186

��� ���� ���� � �� ��� �

1R & � ( 0 � � � � ! � ( � 0 � � � % � � ( � � � � � � � � �3 � � � 2 ) � � � 2 � � � � � � G � 5 � Z � F � � � � � � ) ) � � I � � � � K ) � . � � � 2 � � � � K ) � �

� � � � � ( 0 % � � � � � . )8/3(

2R � � � H 6A1 E A2 ! 2 � � % � � c � � � � ! � � � " � � S � 2 � � 0. 5 = P(A1) � 0. 7 = P(A2)

�0. 3 = P(A1 A2):

i ( � �A1 � A2 � � � � � � " � � ) � � � � ; � ) � � � & � � � � � � D � � � � � � �(

ii (� � � �)A2 � � A1 ( P )0. 9( iii ( � � � �)A1 R A2 ( P )0. 2( iv ( � � � �)A2 R A1 ( P

)� � � � ) �( 3R � � � H 6A � B ! 2 � � % � � c � � � � ! � � � " � � S � 2 � � 0. 4 =

P(A) � 0. 7 = P(B) �0. 3 = P(AB) � � � � � K ) � � :

i ( � � " � � � � � � � D � 4 �A � � B )0. 8(

Page 188: اساسيات الاحتمالات

187

ii ( D � 4 �A� � B � & � � I � � � )0. 5(

iii ( D � 4 � / � �A )0. 6( iv ( D � 4 �A D � 4 � / � � � B )0. 1(

4R ( � � � � � C � � � � � � � � � � � � � � � � 7 � � � � 7 � � � � � � ! � � � :

i (A1 � � � = � � � � � 4 � � D � � � � 7 )36/6( ii (A2 � � " � � � � � = � � � � � 4 � � D � � � � 10

)36/3( iii (A3 � 4 � � D � � � � ; � 2 ) � � � � 2 � � 2 4 � � � � 2 = � � � �5

)36/10( iv (A4 � � % � � 2� 4 G � 9 � 7 � � � � 7 � & =

)36/11(

5R ( � � � � � � � � � � � K ) � � , � ) � � � � � � � � I � � ! � :

i ( � � G � � � � � � � $ � 9 � ! � � + D � � � � � �6 ) 6/3( ii ( ! � " � � � � � �6! � � + D � � � � � � $ � 9 � )18/3( iii (� + D � � � � � � � � � 4 � D � � � � � � � � � � � � H 6 ! �5 ) 6/4( iv ( ! � " � � � � � �6 � � G � � � $ � 9 � 4 ) 6/1(

v ( ; � � � � G � � � � � � � � � � � H 6 ; � � D � � � � � � ) 18/9(

Page 189: اساسيات الاحتمالات

188

6R � � ( 8 � � � � � H � � � + M 9 � 6 % � � & � � � 4 � � � � � � � 8 3 � � � ! � � � + 1 � � ( � 8 6 ! � � & � �

31 � K ) � J � � � + 2 1 � � ( � 8 6 � � � � .

)9/5( 7R � � � � H 6A P ) � � 20 % � � � � � & % � � � � � � � �50 % � 2 �

P ) � � � � � � 5 � � � � � � & � � � B � 2 � � � ! 4 � � � 90 % � 2 � 5 � � � � � � & � � � . � 2 & % � � � � 2 � � � � K � K � ) � H ? �

5 � � � � � � K � � � � � � � � � � � � � � K ) � � . )0. 82( 8R � H 6 , � ) � � � � Z ) � � ! � 5 2 � � 3 � � � � K � � ) � � � K � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �A O 3 � � � � ! � � � ! � )0. 5555=18/10(

9R 5 8 � � � F � � ! � K � � � � � � � � � � � � � � � H 6 =0. 40 � � � � / � � � � � � :

i ( � � � � � � � � � K � � - � � � � �5K . � ) 0. 2592( ii (� 4 G � 9 � � � � � K � � - � � � � � ) 0. 92224( iii ( - � � � � �4 " � G � 9 � K . � ) 0. 98976( iv (� � � - � � � � � � ) 0. 07776(

10R D � � � � 9 � � 8 � � � � � � � � � � � �5 ! � � � � � � C . " � � ! � � +6 O � � �

)0. 17342(

Page 190: اساسيات الاحتمالات

189

11R � � & � [ � 8 � � ( � 8 6 � � � � � � � � H 60. 3 � � 2 � � � � 6 � � � � � � � � � ! � & 4 . � 6 / + . � � P � � � 8 � � 9 � � � & � � ( � 8

� 4 G �80.%

� � � � � � : J � � � � � � � � =0. 7 d � � P � � � 8 � � � � � � � =n)0. 7( � � K � � � � �0. 8> 1-(0. 7)n

0. 2R > (0. 7)n 0. 2 < (0. 7)n

(0. 7)1 = 0. 7 , (0. 7)2 = 0. 49

(0. 7)3 = 0. 743 , (0. 7)4 = 0. 2401 (0. 7)5 = 0. 16 8 07

� � � P � � � 8 � � 5 = n ∴

Page 191: اساسيات الاحتمالات

19 0

������������

Page 192: اساسيات الاحتمالات

19 1

� � � � � � )1( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � e-x

e-x x e-x x e-x x e-x x e-x x

0.00034 8 .0 0.002 5 6.0 0.01 8 4.0 0.1 35 2 .0 1 .000 0.0

0.00030 8 .1 0.002 2 6.1 0.01 7 4.1 0.1 2 2 2 .1 0.9 05 0.1

0.0002 8 8 .2 0.002 0 6.2 0.01 5 4.2 0.1 1 1 2 .2 0.8 1 9 0.2

0.0002 5 8 .3 0.001 8 6.3 0.01 4 4.3 0.1 00 2 .3 0.7 41 0.3

0.0002 3 8 .4 0.001 7 6.4 0.01 2 4.4 0.09 1 2 .4 0.67 0 0.4

0.0002 0 8 .5 0.001 5 6.5 0.01 1 4.5 0.08 2 2 .5 0.607 0.5

0.0001 8 8 .6 0.001 4 6.6 0.01 0 4.6 0.07 4 2 .6 0.549 0.6

0.0001 7 8 .7 0.001 2 6.7 0.009 4.7 0.067 2 .7 0.49 7 0.7

0.0001 5 8 .8 0.001 1 6.8 0.008 4.8 0.061 2 .8 0.449 0.8

0.0001 4 8 .9 0.001 0 6.9 0.007 4.9 0.055 2 .9 0.407 0.9

0.0001 2 9 .0 0.0009 7 .0 0.0067 5.0 0.050 3.0 0.368 1 .0

0.0001 1 9 .1 0.0008 7 .1 0.0061 5.1 0.045 3.1 0.333 1 .1

0.0001 0 9 .2 0.0007 7 .2 0.0055 5.2 0.041 3.2 0.301 1 .2

0.00009 9 .3 0.0007 7 .3 0.0050 5.3 0.037 3.3 0.2 7 3 1 .3

0.00008 9 .4 0.0006 7 .4 0.0045 5.4 0.033 3.4 0.2 47 1 .4

0.00008 9 .5 0.00055 7 .5 0.0041 5.5 0.030 3.5 0.2 2 3 1 .5

0.00007 9 .6 0.00050 7 .6 0.0037 5.6 0.02 7 3.6 0.2 02 1 .6

0.00006 9 .7 0.00045 7 .7 0.0033 5.7 0.02 5 3.7 0.1 8 3 1 .7

0.00006 9 .8 0.00041 7 .8 0.0030 5.8 0.02 2 3.8 0.1 65 1 .8

0.00005 9 .9 0.00037 7 .9 0.002 7 5.9 0.02 0 3.9 0.1 50 1 .9

Page 193: اساسيات الاحتمالات

19 2

/ 2 4 , 2 � �)2 / (! % � � � � � 9 � � � � � � � � � � � ) � � � )A � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 , 2(

A Z A Z A Z A Z

0.4 207 1 .4 1 0.326 4 0.9 4 0.1 8 08 0.4 7 0.0000 0.00 .4 222 1 .4 2 .328 9 .9 5 .1 8 4 4 .4 8 .004 0 .01 .4 236 1 .4 3 .331 5 .9 6 .1 8 7 9 .4 9 .008 0 .02 .4 25 1 1 .4 4 .334 0 .9 7 .1 9 1 5 .5 0 .01 20 .03 .4 26 5 1 .4 5 .336 5 .9 8 .1 9 5 0 .5 1 .01 6 0 .04

.4 27 9 1 .4 6 .338 9 .9 9 .1 9 8 5 .5 2 .01 9 9 .05 .4 29 2 1 .4 7 .34 1 3 1 .00 .201 9 .5 3 .0239 .06 .4 306 1 .4 8 .34 38 1 .01 .205 4 .5 4 .027 9 .07 .4 31 9 1 .4 9 .34 6 1 1 .02 .208 8 .5 5 .031 9 .08 .4 332 1 .5 0 .34 8 5 1 .03 .21 23 .5 6 .035 9 .09

.4 34 5 1 .5 1 .35 08 1 .04 .21 5 7 .5 7 .039 8 .1 0 .4 35 7 1 .5 2 .35 31 1 .05 .21 9 0 .5 8 .04 38 .1 1 .4 37 0 1 .5 3 .35 5 4 1 .06 .2224 .5 9 .04 7 8 .1 2 .4 38 2 1 .5 6 .35 7 7 1 .07 .225 8 .6 0 .05 1 7 .1 3 .4 39 4 1 .5 5 .35 9 9 1 .08 .229 1 .6 1 .05 5 7 .1 4

.4 4 06 1 .5 6 .36 21 1 .09 .2324 .6 2 .05 9 6 .1 5 .4 4 1 8 1 .5 7 .36 4 3 1 .1 0 .235 7 .6 3 .06 36 .1 6 .4 4 30 1 .5 8 .36 6 5 1 .1 1 .238 9 .6 4 .06 7 5 .1 7 .4 4 4 1 1 .5 9 .36 8 6 1 .1 2 .24 22 .6 5 .07 1 4 .1 8 .4 4 5 2 1 .6 0 .37 08 1 .1 3 .24 5 4 .6 6 .07 5 4 .1 9

.4 4 6 3 1 .6 1 .37 29 1 .1 4 .24 8 6 .6 7 .07 9 3 .20 .4 4 7 4 1 .6 2 .37 4 9 1 .1 5 .25 1 8 .6 8 .08 32 .21 .4 4 8 5 1 .6 3 .37 7 0 1 .1 6 .25 4 9 .6 9 .08 7 1 .22 .4 4 9 5 1 .6 4 .37 9 0 1 .1 7 .25 8 0 .7 0 .09 1 0 .23 .4 5 05 1 .6 5 .38 1 0 1 .1 8 .26 1 2 .7 1 .09 4 8 .24

.4 5 1 5 1 .6 6 .38 30 1 .1 9 .26 4 2 .7 2 .09 8 7 .25 .4 5 25 1 .6 7 .38 4 9 1 .20 .26 7 3 .7 3 .1 026 .26 .4 5 35 1 .6 8 .38 6 9 1 .21 .27 04 .7 4 .1 06 4 .27 .4 5 4 5 1 .6 9 .38 8 8 1 .22 .27 34 .7 5 .1 1 03 .28 .4 5 5 4 1 .7 0 .39 07 1 .23 .27 6 4 .7 6 .1 1 4 1 .29

.4 5 6 4 1 .7 1 .39 25 1 .24 .27 9 4 .7 7 .1 1 7 9 30 .4 5 7 3 1 .7 2 .39 4 4 1 .25 28 23 .7 8 .1 21 7 .31 .4 8 2 1 .7 3 .39 6 2 1 .26 .28 5 2 .7 9 .1 25 5 .32 .4 5 9 1 1 .7 4 .39 8 0 1 .27 .28 8 1 .8 0 .1 29 3 .33

0 z

Page 194: اساسيات الاحتمالات

19 3

.4 5 9 9 1 .7 5 .39 9 7 1 .28 .29 1 0 .8 1 .1 331 .34

4 6 08 1 .7 6 .4 01 5 1 .29 .29 39 .8 2 .1 36 8 .35 .4 6 1 6 1 .7 7 .4 032 1 .30 .29 6 7 .8 3 .1 4 06 .36 .4 6 25 1 .7 8 .4 04 9 1 .31 .29 9 6 .8 4 .1 4 4 3 .37 .4 6 33 1 .7 9 .4 06 6 1 .32 .3023 .8 5 .1 4 8 0 .38 .4 6 4 1 1 .8 0 .4 08 2 1 .1 33 .305 1 .8 6 .1 5 1 7 .39

.4 6 4 9 1 .8 1 .4 09 9 1 .34 .307 9 .8 7 .1 5 5 4 .4 0 .4 6 5 6 1 .8 2 .4 1 1 5 1 .35 .31 06 .8 8 .1 5 9 1 .4 1 .4 6 6 4 1 .8 3 .4 1 31 1 .36 .31 33 .8 9 .1 6 28 .4 2 .4 6 7 1 1 .8 4 .4 1 4 7 1 .37 .31 5 9 .9 0 .1 6 6 4 .4 3 .4 6 7 8 1 .8 5 .4 1 6 2 1 .38 .31 8 6 .9 1 .1 7 00 .4 4 .4 6 8 6 1 .8 6 .4 1 7 7 1 .39 .321 2 .9 2 .1 7 36 .4 5 .4 6 9 3 1 .8 7 .4 1 9 2 1 .4 0 .3238 .9 3 .1 7 7 2 .4 6

. . .� � � � � � � � A Z A Z A Z A Z

0.4 9 9 7 3.4 7 0.4 9 8 4 2.9 4 0.4 9 20 2.4 1 0.4 7 00 1 .8 8 .4 9 9 8 3.4 8 .4 9 8 4 2.9 5 .4 9 22 2.4 2 .4 7 06 1 .8 9 .4 9 9 8 .4 9 .4 9 8 5 2.9 6 .4 9 25 2.4 3 .4 7 1 3 1 .9 0

.4 9 9 8 3.5 0 .4 9 8 5 2.9 7 .4 9 27 2.4 4 .4 7 1 9 1 .9 1 .4 9 9 8 3.5 1 .4 9 8 6 2.9 8 .4 9 29 2.4 5 .4 7 26 1 .9 2 .4 9 9 8 3.5 2 .4 9 8 6 2.9 9 .4 9 31 2.4 6 .4 7 32 1 .9 3 .4 9 9 8 3.5 3 .4 9 8 7 3.00 .4 9 32 2.4 7 .4 7 38 1 .9 4 .4 9 9 8 3.5 4 .4 9 8 7 3.1 .4 9 34 2.4 8 .4 7 4 4 1 .9 5

.4 9 9 8 3.5 5 .4 9 8 7 3.2 .4 9 36 2.4 9 .4 7 5 0 1 .9 6 .4 9 9 8 3.5 6 .4 9 8 8 3.3 .4 9 38 2.5 0 .4 7 5 6 1 .9 7 .4 9 9 8 3.5 7 .4 9 8 8 3.4 .4 9 4 0 2.5 1 .4 7 6 2 1 .9 8 .4 9 9 8 3.5 8 .4 9 8 9 3.5 .4 9 4 1 2.5 2 .4 7 6 7 1 .9 9 .4 9 9 8 3.5 9 .4 9 8 9 3.6 .4 9 4 3 2.5 3 .4 7 7 3 2.00

.4 9 9 9 3.6 0 .4 9 8 9 3.7 .4 9 4 5 2.5 4 .4 7 7 8 2.01 .4 9 9 9 3.6 1 .4 9 9 0 3.8 .4 9 4 6 2.5 5 .4 7 8 3 2.02 .4 9 9 9 3.6 2 .4 9 9 0 3.9 .4 9 4 8 2.5 6 .4 7 8 8 2.03 .4 9 9 9 3.6 3 .4 9 9 0 3.1 0 .4 9 4 9 2.5 7 .4 7 9 3 2.04 .4 9 9 9 3.6 4 .4 9 9 1 3.1 1 .4 9 5 1 2.5 8 .4 7 9 8 2.05

.4 9 9 9 3.6 5 .4 9 9 1 3.1 2 .4 9 5 2 2.5 9 .4 8 03 2.06 .4 9 9 9 3.6 6 .4 9 9 1 3.1 3 .4 9 5 3 2.6 0 .4 8 08 2.07 .4 9 9 9 3.6 7 .4 9 9 2 3.1 4 .4 9 5 5 2.6 1 .4 8 1 2 2.08 .4 9 9 9 3.6 8 .4 9 9 2 3.1 5 .4 9 5 6 2.6 2 .4 8 1 7 2.09 .4 9 9 9 3.6 9 .4 9 9 2 3.1 6 .4 9 5 7 2.6 3 .4 8 21 2.1 0

.4 9 9 9 3.7 0 .4 9 9 2 3.1 7 .4 9 5 9 2.6 4 .4 8 26 2.1 1 .4 9 9 9 3.7 1 .4 9 9 3 3.1 8 .4 9 6 0 2.6 5 .4 8 30 2.1 2 .4 9 9 9 3.7 2 .4 9 9 3 3.1 9 .4 9 6 1 2.6 6 .4 8 34 2.1 3 .4 9 9 9 3.7 3 .4 9 9 3 3.20 .4 9 6 2 2.6 7 .4 8 38 2.1 4

Page 195: اساسيات الاحتمالات

19 4

.4 9 9 9 3.7 4 .4 9 9 3 3.21 .4 9 6 3 2.6 8 .4 8 4 2 2.1 5

.4 9 9 9 3.7 5 .4 9 9 4 3.22 .4 9 6 4 2.6 9 .4 8 4 6 2.1 6 .4 9 9 9 3.7 6 .4 9 9 4 3.23 .4 9 6 5 2.7 0 .4 8 5 0 2.1 7 .4 9 9 9 3.7 7 .4 9 9 4 3.24 .4 9 6 6 2.7 1 .4 8 5 4 2.1 8 .4 9 9 9 3.7 8 .4 9 9 4 3.25 .4 9 6 7 2.7 2 .4 8 5 7 2.1 9 .4 9 9 9 3.7 9 .4 9 9 4 3.26 .4 9 6 8 2.7 3 .4 8 6 1 2.20

.4 9 9 9 3.8 0 .4 9 9 5 2.27 .4 9 6 9 2.7 4 .4 8 6 5 2.21 .4 9 9 9 3.8 1 .4 9 9 5 3.28 .4 9 7 0 2.7 5 .4 8 6 8 2.22 .4 9 9 9 3.8 2 .4 9 9 5 3.29 .4 9 7 1 2.7 6 .4 8 7 1 2.23 .4 9 9 9 3.8 3 .4 9 9 5 3.30 .4 9 7 2 2.7 7 .4 8 7 5 2.24 .4 9 9 9 3.8 4 .4 9 9 5 3.31 .4 9 7 3 2.7 8 .4 8 7 8 2.25

.4 9 9 9 3.8 5 .4 9 9 6 3.32 .4 9 7 4 2.7 9 .4 8 8 1 2.26 .4 9 9 9 3.8 6 .4 9 9 6 3.33 .4 9 7 4 2.8 0 .4 8 8 4 2.27 .5 000 3.8 7 .4 9 9 6 3.34 .4 9 7 5 2.8 1 .4 8 8 7 2.28 .5 000 3.8 8 .4 9 9 6 3.35 .4 9 7 6 2.8 2 .4 8 9 0 2.29 .5 000 3.8 9 .4 9 9 6 3.36 .4 9 7 7 2.8 3 .4 8 9 3 2.30

.4 9 9 6 3.37 .4 9 7 7 2.8 4 .4 8 9 6 2.31 .4 9 9 6 3.38 .4 9 7 8 2.8 5 .4 8 9 8 2.32 .4 9 9 7 3.39 .4 9 7 9 2.8 6 .4 9 01 2.33 .4 9 9 7 3.4 0 .4 9 8 0 2.8 7 .4 9 04 2.34 .4 9 9 7 3.4 1 .4 8 0 2.8 8 .4 9 06 2.35 .4 9 9 7 3.4 2 .4 9 8 1 2.8 9 .4 9 09 2.36 .4 9 9 7 3.4 3 .4 9 8 1 2.9 0 .4 9 1 1 2.37 .4 9 9 7 3.4 4 .4 9 8 2 2.9 1 .4 9 1 3 2.38 .4 9 9 7 3.4 5 .4 9 8 3 2.9 2 .4 9 1 6 2.39 .4 9 9 7 3.4 6 .4 9 8 3 2.9 3 .4 9 1 8 2.4 0

Page 196: اساسيات الاحتمالات

19 5

��� ���� ����� �� ��� �

Page 197: اساسيات الاحتمالات

19 6

��� ���� ���� � �� ��� �

1R & � ( 0 � � � � ! � ( � 0 � � � % � � ( � � � � � � � � �3 � � � 2 ) � � � 2 � � � F � � � � � � ) ) � � I � � � � K ) � � � � G � 5 � Z � . � � � 2 � � � � K ) � �

� � � � � ( 0 % � � � � � . )8/3(

2R � � � H 6A1 E A2 ! 2 � � % � � c � � � � ! � � � " � � S 2 � � � 0. 5 = P(A1) � 0. 7 = P(A2)

�0. 3 = P(A1 A2):

i ( � �A1 � A2 � � � � � � " � � ) � � � � ; � ) � � � & � � � � � � D � � � � � � �(

ii ( � � � �)A2 � � A1 ( P )0. 9( iii ( � � � �)A1 R A2 ( P )0. 2( iv ( � � � �)A2 R A1 ( P

)� � � � ) �( 3R � � � H 6A � B � � � " � � ! 2 � � % � � c � � � � !S � 2 � � 0. 4 =

P(A) � 0. 7 = P(B) �0. 3 = P(AB) � � � � � K ) � � :

i ( � � " � � � � � � � D � 4 �A � � B )0. 8(

Page 198: اساسيات الاحتمالات

19 7

ii ( D � 4 �A � � B � & � � I � � � )0. 5(

iii ( D � 4 � / � �A )0. 6( iv ( D � 4 �A D � 4 � / � � � B )0. 1(

4R � � � � � � � � � 7 � � � � 7 � � � � � � ! � � � ( � � � � � C � � � � � � � :

i (A1 � � � = � � � � � 4 � � D � � � � 7 )36/6( ii (A2 � � " � � � � � = � � � � � 4 � � D � � � � 10

)36/3( iii (A3 ; � 2 ) � � � � 2 � � 2 4 � � � � 2 = � � � � � 4 � � D � � � � 5

)36/10( iv (A4 � � % � � 2� 4 G � 9 � 7 � � � � 7 � & =

)36/11(

5R � � � K ) � � , � ) � � � � � � � � I � � ! �( � � � � � � � � :

i ( � � G � � � � � � � $ � 9 � ! � � + D � � � � � �6 ) 6/3( ii ( ! � " � � � � � �6! � � + D � � � � � � $ � 9 � )18/3( iii ( � � � 4 � D � � � � � � � � � � � � H 6 ! � � + D � � � � � �5 ) 6/4( iv ( ! � " � � � � � �6 � � G � � � $ � 9 � 4 ) 6/1(

v ( � � � � � � H 6 ; � � D � � � � � � ; � � � � G � � � � � ) 18/9(

Page 199: اساسيات الاحتمالات

19 8

6R � � ( 8 � � � � � H � � � + M 9 � 6 % � � & � � � 4 � � � � � � � 8 3 � � � ! � � � + 1 � � ( � 8 6 ! � � & � �

31 � � + 2 1 � � ( � 8 6 � � � � � K ) � J � .

)9/5( 7R � � � � H 6A P ) � � 20 % � � � � � & % � � � � � � � �50 % � 2 �

P ) � � � � � � 5 � � � � � � & � � � B ! 4 � � � � 2 � � �90 % � 2 � 5 � � � � � � & � � � . � 2 & % � � � � 2 � � � � K � K � ) � H ? �

5 � � � � � � K � � � � � � � � � � � � � � K ) � � . )0. 82(

8R 5 2 � � 3 � � � � K � � ) � � � K � � � � � � H 6 , � ) � � � � Z ) � � ! � � � � � � � � � � � � � � � �A O 3 � � � � ! � � � ! �

)0. 5555=18/10( 9R � � � � � � � � � � � � H 6 5 8 � � � F � � ! � K � � � =0. 40 � � � � / �

� � � � � :

i ( � � � � � � � � � K � � - � � � � �5K . � ) 0. 2592( ii (� 4 G � 9 � � � � � K � � - � � � � � ) 0. 92224( iii ( - � � � � �4 " � G � 9 � K . � ) 0. 98976( iv (� � � - � � � � � � ) 0. 07776(

10R D � � � � 9 � � 8 � � � � � � � � � � � �5 . " ! � � � � � � C � � ! � � +6 O � � � )0. 17342(

Page 200: اساسيات الاحتمالات

19 9

11R � � & � [ � 8 � � ( � 8 6 � � � � � � � � H 60. 3 � � 2 � � � � 9 2 � � � & � � ( � 8 6 � � � � � � � � � ! � & 4 . � 6 / + . � � P � � � 8 � �

� 4 G �80.%

� � � � � � : J � � � � � � � � =0. 7 d � � P � � � 8 � � � � � � � =n)0. 7( � � K � � � � �0. 8> 1-(0. 7)n

0. 2R > (0. 7)n 0. 2 < (0. 7)n

(0. 7)1 = 0. 7 , (0. 7)2 = 0. 49

(0. 7)3 = 0. 743 , (0. 7)4 = 0. 2401 (0. 7)5 = 0. 16 8 07

P � � � 8 � � � � �5 = n ∴