Distribución Normal.

María Ortiz González.Virgen del Rocío, grupo A,

subgrupo 15.

Tarea Seminario 7.

Ejercicio: Escala de autoestima.

En el ejercicio en cuestión, tenemos una muestra de 500 mujeres que

reciben asistencia, y queremos saber cómo la pobreza afecta en su

autoestima. Para ello, se mide la autoestima con una escala de actitud de 20 puntos (variable continua). Suponemos que la

distribución sigue una curva normal, cuya media es de 8 y la desviación

típica de 2.

La pregunta que se nos plantea a partir de la información anterior es la siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que una destinataria de asistencia seleccionada al azar obtenga una puntuación de 10,5 o

menos en la escala de autoestima?

Para poder responder a dicha pregunta, y así calcular el área de la curva que

comprende a las puntuaciones iguales o menores que 10,5, es necesario comparar nuestra gráfica con una estándar, llamada

distribución normal tipificada, la cual tiene de media 0 y de desviación típica 1.

En esta curva tipificada, se le han calculado todos los valores de

probabilidad asociados a cualquier valor de la variable.

Para realizar dicha comparación, debemos tipificar la variable para ver el valor de Z (valor tipificado) que le corresponde a 10,5, usando la

siguiente fórmula:

De esta forma tipificamos 10,5: Z=(10,5-8)=1,25

Una vez que conocemos el valor tipificado nos vamos a las tabla anterior donde nos fijaremos en las filas para buscar el número entero y el primer

decimal del valor Z, y en las columnas para el segundo decimal.

Como podemos observar en la tabla, la probabilidad que nos sale es igual a 0,8944,

como 1,25 es 10,5 tipificado, podemos decir que: P(X

menor o igual a 10,25)=0,8944

Sabemos que el valor encontrado es menor o igual a Z ya que la leyenda superior de la

tabla nos indica que se nos dan las probabilidades desde el valor nuestro hacia

la izquierda, o lo que es lo mismo, desde menos infinito hasta el valor de Z que nos

ha salido. De esta forma, el área sombreada de la figura nos indica la probabilidad

obtenida (0,8944 sobre 1, la cual sería el área completa)

Además de la forma anteriormente vista, podemos resolver lo que se nos pregunta de la siguiente manera: Si no tenemos la tabla que previamente hemos usado, podemos ayudarnos de otras como esta:

Como podemos observar en la nueva tabla no se da la probabilidad desde menos infinito hasta un valor Z, sino que tenemos la probabilidad desde

la media (0) hasta el valor Z que estemos usando, en el caso de que miremos la columna B,

y en el caso de que miremos la C, será la probabilidad desde el valor Z hasta mas infinito. Sabiendo esto, podemos calcular la probabilidad

asociada al valor Z (1,25) de varias maneras.

1. Sabemos que la distribución normal es simétrica con respecto la media, por lo que la probabilidad desde menos infinito hasta la media es de 0,5, y dado que el área total de la curva es 1, el área

de la mitad de esta es 0,5.

Sin embargo, todavía falta una parte de la curva por averiguar, que abarca desde la media hasta Z. Para ello hacemos uso de la tabla que hemos mencionando antes y miramos la columna B de la misma:

A continuación sumamos:

 P(-∞≤Z≤0)= 0.5

P(0≤Z≤1.25)=0.3944

P(Z≤1.25)= P(-∞≤Z≤0)+ P(0≤Z≤1.25)=0,5+0,3944=0,8944

Ya que:

P(-∞≤Z≤0)= 0.5

P(0≤Z≤1.25)=0.3944

P(Z≤1.25)=0,894

La última manera de resolver lo que se nos pide es usando la columna C de la misma tabla que antes, en la que se nos da la probabilidad

desde más infinito hasta el valor de Z.

P(-∞≤Z≤+∞)=1

P(1.25≤Z≤+∞)=0.1056

P(Z≤1,25)=P(-∞≤Z≤+∞)-P(1.25≤Z≤+∞)=1-0,1056=0,8944.

P(-∞≤Z≤+∞)=1

P(1.25≤Z≤+∞)=0.1056

P(-∞≤Z≤+∞)=1

P(1.25≤Z≤+∞)=0.1056 P(Z≤1,25) =0,8944

Por último, no puede olvidarse de que hay que “destipificar”

la Z y convertirla en la X la cual tiene el valor de 10,5

A modo de conclusión podemos decir que la

probabilidad de que una destinataria de asistencia

seleccionada al azar obtenga una puntuación de 10,5 o

menos en la escala de autoestima es de 0,8944.