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Dissipative Particle Dynamics Simulation
棚橋耕太郎
京都大学大学院
2013/1
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Contents
1 Fokker-Planck方程式
2 DPDの基礎
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Fokker-Planck方程式
Fokker-Planck方程式の導出
ランジュバン方程式
.X= F (X (t)) + R (t)
から Fokker-Planck方程式を導出する．
Fokker-Planck方程式 a
∂P (X , t)
∂t=
{− ∂
∂xF (X ) +
∂2
∂X 2
D
2
}P (X , t) (1)
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Fokker-Planck方程式
Fokker-Planck方程式の導出 a (Cont’d)
ただし，
⟨R (t)⟩ = 0, ⟨R (t)R (t’)⟩ = Dδ (t − t’)
P (±∞) = 0
R(t)がガウス過程
と仮定する．
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Fokker-Planck方程式
Fokker-Planck方程式の導出 (Cont’d)
.X= F (X (t)) + R (t)
を t ∼ t +∆t で積分すると
∆X = F (X )∆t +∆W
が導かれる．ただし
∆W =
∫ t+∆t
tR (t) dt (2)
⟨∆W ⟩ = 0 (3)
⟨∆W 2⟩ = D∆t (4)
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Fokker-Planck方程式
Fokker-Planck方程式の導出 (Cont’d)
fがランジュバン方程式に従うと仮定して展開する
f (X (t +∆t)) = f (X (t)) +∂f
∂X∆X +
∂2f
∂X 2∆X 2
= f (X (t)) +∂f
∂X{F (X )∆t +∆w}
+∂2f
∂X 2{F (X )∆t +∆w}2 (5)
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Fokker-Planck方程式
Fokker-Planck方程式の導出 (Cont’d)
両辺の平均をとる
⟨f (X (t +∆t))⟩ = ⟨f (X (t))⟩+ ⟨ dfdX
(F (X )∆t +∆w)⟩
+ ⟨ d2f
dX 2(F (X )∆t +∆w)2⟩ (6)
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Fokker-Planck方程式
Fokker-Planck方程式の導出 (Cont’d)
この中で，∆W は f の微分をとっている時間 t よりも後なので，無相関であり，
⟨ d2f
dX 2∆W 2⟩ = ⟨ d
2f
dX 2⟩⟨∆W 2⟩ = ⟨ d
2f
dX 2⟩D∆t
のように分離できる．また∆W の一次の項は ⟨∆W ⟩ = 0より，0になる．
Dissipative Particle Dynamics Simulation
Fokker-Planck方程式
Fokker-Planck方程式の導出 (Cont’d)
すると式 (6)は以下のように変形できる．
⟨f (X (t +∆t))⟩ − ⟨f (X (t))⟩∆t
= ⟨ dfdX
F (X )⟩+ D
2⟨d
2f
dX⟩+∆t (. . . )
ここで，∆t → 0の極限をとると，
d
dt⟨f (X (t))⟩ = ⟨ df
dXF (X )⟩+ D
2⟨ df
2
dX 2⟩ (7)
のように微分の形に変形できる．
Dissipative Particle Dynamics Simulation
DPDの基礎
Background
Molecular DynamicsとMonte Calroが昔からよく使われおり，多くの改良がなされてきた．
粗視化の試み
水粒子の自由度は興味がないので削ろう → ランジュバン方程式に基づく Brownian Dynamics→局所的運動量が保存しないLattice Gasモデル，Lattice Boltzmannモデル→ガリレオ不変量を満たさない
Dissipative Particle Dynamics Simulation
DPDの基礎
DPDが優れている点
水粒子が Explicitに導入できる
良溶媒，貧溶媒，θ 溶媒のモデル化
疎水凝集のシミュレーション
Flory-Huggins挙動 (混合溶液)の研究に使える
マイクロ流路における壁との摩擦がよく定義できる
ポテンシャルが線形なので，dt を大きくとることができる
粒子が粗視化されているが，局所運動量は保存されているのでマクロには流体力学的挙動を示す
Dissipative Particle Dynamics Simulation
DPDの基礎
DPDの欠点
計算に時間がかかる (lattice Boltzmannモデルの 10倍)
水粒子が少ない時
多体問題というより二体問題になる (液体というより気体)
