Graph spectra and complex network

宇都宮健太

13年6月8日土曜日

introduction

複雑ネットワークとは様々な実ネットワークにおける構造にみられ、様々な特徴が存在する。

13年6月8日土曜日

introduction

グラフはN個のNode(Vertex)とL本のLink(Edge)

で構成される　→G(N,L)と表記する

13年6月8日土曜日

グラフの行列表現

グラフは行列としても表現できる→隣接行列

この本においてはグラフは無向グラフであることを前提としているため、隣接行列必ず対称行列である。

13年6月8日土曜日

任意の対称行列は以下のように表現できる。

A:隣接行列X:Aの固有ベクトルを行にもつ直交行列!:Aの固有値を対角成分にもつ対角行列

13年6月8日土曜日

量子力学におけるシュレディンガー方程式

(有名な固有値問題)

グラフの隣接行列の固有値・固有ベクトルが何を意味するのかはわからない。

13年6月8日土曜日

式1.3

固有ベクトルの各要素と辺との関係を表す

グラフの固有ベクトルがグラフのプロパティを表現している事がわかる。

13年6月8日土曜日

二乗の場合

13年6月8日土曜日

一般の場合

13年6月8日土曜日

式8.31

グラフは固有値で階層構造をなしている。

隣接行列の最大固有値がグラフの構造に大きく影響している

13年6月8日土曜日

隣接行列の別の表現

",#の値を変化させると、固有値・固有ベクトルの値も異なる。

13年6月8日土曜日

スペクトルだけでグラフが連結であるかどうかわかる？

最大・最小固有値の物理的な意味は？

グラフに辺を追加した時に固有値はどのように変わる？

!だけが与えられた状態で元のグラフの特徴がわかる？

連続する固有値の違いとグラフの密度はどんな関係？

ノード数とリンク数が与えられた時に ラプラシアンの二番目に小さい固有値が最大となるようなグラフのクラスは？

13年6月8日土曜日

1.2:outline of the book,PartⅠ

2章:グラフ代数論の定義と概念

3章:隣接行列の固有値について

4章:ラプラシアンのスペクトルについて

5章:隣接行列やラプラシアンのスペクトルの計算

6章:巨大なグラフの場合について

7章:複雑ネットワークにおけるスペクトルの知識の応用

13年6月8日土曜日

1.3:classes of graphs

Erdos Reny random graph(Fig 1.1)

Watts Strogatz small world graph(Fig 1.3)

Barabasi Albert power low graph(Fig 1.2)

13年6月8日土曜日

rabdom graph

random graph は構造が単純なため、理論的に洗練されている。

random graph のモデルで解けない問題だと他のクラスのグラフでもほとんど解けない

次数分布が二項分布であり、複雑ネットワークの性質とマッチしない。

13年6月8日土曜日

watts Steogatz small world model

比較的高いクラスタ性とグラフの直径が小さいという性質がある

13年6月8日土曜日

Barabasi Albert power law graphs

次数分布がべき乗則に従う。(指数部は約3)

実世界の複雑ネットワークにおける特徴が見られる。

13年6月8日土曜日

Scale free graph

スケールフリーグラフ:

次数分布の標準偏差が平均次数よりも大きい

次数を定数倍してもその部分の近傍の振る舞いは同じように　”見える”

13年6月8日土曜日

Other class of Graph

Ramanujan Graph

Kautz graph

13年6月8日土曜日

1.4 outlook

大規模なネットワークを理解することは非常に難しい

Graph Spectramから大きなネットワークの特徴を推測することは可能

13年6月8日土曜日