池袋物理学勉強会(8)

高橋康 量子力学を学ぶための解析力学入門第4章 正準変換

@gm3d2Oct 29, 2014

池袋バイナリ勉強会会場

正準変換とは● Hamiltonの方程式（正準方程式）

● 新しい変数の組(Q、P)が同じ形の式を満たす

→(q, p)から(Q, P)の変換を正準変換という

正準変換の満たす条件● 演習問題 1.6の結果(別の導き方をするので覚

えなくていい）

● 新しい変数の組(Q、P)が同じ形の式を満たす

→(q, p)から(Q, P)の変換を正準変換という

Hamilton方程式を最小作用の原理から導く

● Actionは同じくLagrangianの時間積分● ただし独立変数をq、pで考え直す

　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4.2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4.3)　

(4.4)● これのもとでのActionの変化は？

作用の変化分を調べる

　　　　　　　　　　　　　　　　　

→表面項は境界条件(4.4)により消える

(ここではδqの条件だけあればよい)

注意: Lagrangianの不定性● Lagrangianには不定性があった

としても運動方程式に影響がないことは確認済

● Wを の関数とすると?

qの時間微分に対する境界条件● Actionに対する寄与

● 積分の中ではないのでドットを移動できない● 境界条件　　　　　　　　も要求しておく

新しい変数Q、Pで考える● q, pでHamilton方程式が成り立っている

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ● Q、Pについても同じ形の式を要請

K: 新しいHamiltonian● Kは元のHamiltonianと同じとは限らない● Lagrangianレベルでの時間微分の不定性

Lagrangianでの対応付け

(4.11)● q, p, Q, P のうち独立な変数は２つのみ● とりあえず q, Qを独立と考えてみる

正準変換の式

q, Q, の独立性から

● W(q, Q)を決めると具体的にp, Pが決まる● W: 正準変換の母関数(generator)● Wが陽に時間に依存するとKはHと異なる

具体例 1● W(q, Q) = - q . Q

● q, pについての式に直すと● (1.40)の特別な形 (β = -1)

具体例 2

● q, pについての式に直すと

…Poincareの変換（他にもPoincare変換と呼ばれるものがあるので注意）

具体例 2 (2)● 調和振動子(m = 1、ω = 1)に適用してみる

正準方程式は

● 正準変換により問題を自明化できる可能性● Qは循環座標 (q, pで見ると角度変数)