Interference

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Εργαστηριακές

Ασκήσεις Οπτικής Συμβολή

Τσόρμπας Νικόλαος

2/12/2014

Σκοπός:

Ο σκοπός του πειράµατος είναι:

• Αφενός η κατανόηση του τρόπου λειτουργίας των πειραµατικών διατάξεων σχετικά µε το πώς υλοποιούν τις απαιτούµενες προϋποθέσεις, ώστε να εµφανίζεται το φαινόµενο της συµβολής

• Αφετέρου να µελετηθεί ποσοτικά το φαινόµενο και να προσδιορισθούν ορισµένα µεγέθη που εµπλέκονται στην διαδικασία του πειράµατος.

Θεωρία:

1. Εισαγωγή

Η έννοια της συµβολής είναι στενά συνδεδεµένη µε την έννοια της επαλληλίας, δηλαδή την ταυτόχρονη επίδραση δύο ή περισσότερων κυµάνσεων και παρατήρησης της συµπεριφοράς του συνολικού κύµατος. Το βασικό χαρακτηριστικό της συµβολής είναι ότι η κατανοµή έντασης του συνισταµένου κύµατος είναι διαφορετική του αθροίσµατος των εντάσεων των συνιστώντων κυµάτων. Τα συµβαλλόµενα κύµατα µπορούν να προέρχονται από ανεξάρτητες πηγές ή να προέρχονται από την ίδια πηγή και να ¨διαχωρίζονται¨ κατά την διάδοσή τους µε τεχνητό τρόπο.

Η συµβολή βασίζεται στην γραµµικότητα της κυµατικής εξίσωσης:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 21 1

2 22 2 21 2 1 2

2 22 22 2

2 2 2

, ,1, , , ,1

, ,1

x t x t

x t b x t x t b x tx t

x tx t x t

x t

ψ ψαψ ψ αψ ψυ

υψ ψυ

∂ ∂= ∂ + ∂ + ∂ ∂ ⇒ =

∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂

Όπου

( ) ( ),x t f x tψ υ= −

δηλαδή ότι, αν δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες κυµατοµορφές είναι λύσεις της κυµατικής εξίσωσης, τότε είναι λύση και κάθε γραµµικός συνδυασµός τους.

Αποτέλεσµα της συµβολής είναι ότι το προκύπτον πεδίο εµπεριέχει την επίδραση καθενός από τα συµβάλλοντα κύµατα. Το αποτέλεσµα της επαλληλίας εξαρτάται από τις ειδικές συνθήκες που λαµβάνει χώρα η επαλληλία. Πολύ σηµαντικός όµως είναι και ο ρόλος του ανιχνευτή καθώς πολλές φορές δεν συµπίπτει αυτό που παρατηρείται µε αυτό που πραγµατικά συµβαίνει.

Με βάση την αρχή της επαλληλίας το συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο στο σηµείο Ρ θα δίνεται από την έκφραση:

1 2E E E= +

Εικόνα 1 ∆ύο επίπεδα αρµονικά κύµατα που επικαλύπτονται σε ένα σηµείο του χώρου

Όπου οι επιµέρους εντάσεις του ηλεκτρικού πεδίου δίνονται από τις εκφράσεις:

( ) ( )

( ) ( )

1 01 1 1 1

2 02 2 2 2

, cos

, cos

E r t E k r t t

E r t E k r t t

ω ϕ

ω ϕ

= ⋅ − +

= ⋅ − +

Όπου

1 2

2k k

πλ

= = µέτρο διανύσµατος

και ( ) ( )1 2,t tϕ ϕ οι φάσεις των δεσµών κατά τη δηµιουργία τους. Οι αρχικές φάσεις

εξαρτώνται αυθαίρετα από τον χρόνο. Ο τρόπος µε τον οποίο µεταβάλλονται οι αρχικές φάσεις των δεσµών είναι χαρακτηριστικό των πηγών που παράγουν τις δέσµες και αποτελούν µέτρο του βαθµού συµφωνίας µιας δέσµης µε τον εαυτό της ή µε άλλες δέσµες.

Αποδεικνύεται ότι:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 201 02

01 02 1 2 1 2

1 21 2 1 2 1 2

cos2 2

2 cos

E EI E E k k r t t

I I I I I k k r t t

ευ ευ ευ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= + + ⋅ − ⋅ + −

= + + − ⋅ + −

(1)

Η παραπάνω εξίσωση ονοµάζεται εξίσωση συµβολής. ∆εδοµένου ότι το συνηµίτονο µεταβάλλεται µεταξύ του +1 και -1 προκύπτει ότι η συνολική ένταση κυµαίνεται µεταξύ του

max 1 2 1 22I I I I I= + +

και

min 1 2 1 22I I I I I= + −

2. Συνθήκες συµβολής

Η εξίσωση (1) είναι µια πολύ σηµαντική εξίσωση, επειδή ουσιαστικά µας δίνει πότε η συνισταµένη ένταση δεν ισούται µε το αριθµητικό άθροισµα των επιµέρους εντάσεων,

δηλαδή πότε εµφανίζονται φαινόµενα συµβολής. Για να συµβεί αυτό θα πρέπει να ισχύουν οι τρεις προϋποθέσεις.

i. Το 01 02 0E E⋅ ≠ , δηλαδή τα συµβάλλοντα κύµατα να µην είναι κάθετα πολωµένα ii. Ειδικά για τα φωτεινά κύµατα θα πρέπει να έχουν την ίδια ή σχεδόν την ίδια

συχνότητα για να παράγουν ¨σταθερή¨ εικόνα συµβολής

iii. Το ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2cos 0.k k r t tϕ ϕ − ⋅ + − ≠ Εδώ διακρίνουµε δύο περιπτώσεις:

a. Η διαφορά φάσης ( ) ( )1 2t tϕ ϕ− να είναι χρονικά σταθερή

b. ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2k k r t t mϕ ϕ π− ⋅ + − ≠

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι αν η διαφορά φάσης µεταβάλλεται τυχαία, τότε ότι και να

συµβαίνει µε τον όρο ( )1 2k k r− ⋅ η µέση τιµή του συνηµίτονου θα είναι µηδέν.

Επεκτείνοντας τα παραπάνω σε ένα κύµα που δεν είναι γραµµικά πολωµένο, µπορούµε να πούµε ότι αφού οποιοδήποτε κύµα µπορεί να αναλυθεί σε µία κάθετη και µία παράλληλη συνιστώσα ως προς το επίπεδο πόλωσης (αναφοράς), θα συµβάλλουν µόνο εκείνες οι

συνιστώσες που πληρούν τη συνθήκη 01 02 0E E⋅ ≠ (Νόµος Arago)

3. Χρονική συµφωνία

Αν η διαφορά φάση δεν είναι σταθερή µε το χρόνο και ο χρόνος παρατήρησης 2τ π ω>>τότε η συνολική ένταση δεν παρουσιάζει διαφοροποίηση αναφορικά µε το άθροισµα των επιµέρους εντάσεων των συµβαλλόντων φωτεινών κυµάτων δηλαδή δεν εµφανίζονται φαινόµενα συµβολής.

Αναφορικά µε το ρόλο της σταθερότητας της αρχικής διαφοράς φάσεων θα πρέπει να σηµειωθεί ότι αν υπήρχαν αρκούντως ταχείς ανιχνευτές, τότε θα ήµασταν σε θέση να παρατηρήσουµε τις ταχείες αυτές διακυµάνσεις.

Στο παρακάτω σχήµα παριστάνεται η δηµιουργία των φωτεινών κυµάτων, θεωρώντας ότι αυτά προέρχονται από µεταπτώσεις ηλεκτρονίων.

Εικόνα 2 Σχηµατική αναπαράσταση ενός κυµατοσυρµού απείρου µήκους και το αντίστοιχο φάσµα

συχνοτήτων για κυµατοσυρµούς που εκπέµπονται (α) µε την ίδια διαφορά φάσης και (β) µε τυχαία διαφορά

φάσης

Αν οι κυµατοσυρµοί εκπέµπονται µε σταθερή διαφορά φάσεως τότε έχουµε µια συχνότητα και µηδενικό φασµατικό εύρος. Ενώ αν εκπέµπονται µε τυχαία διαφορά φάσεως η προκύπτουσα δέσµη έχει πεπερασµένο εύρος.

Ο χρόνος που παραµένει χρονικά σταθερή η διαφορά φάσεως, ονοµάζεται χρόνος συµφωνίας

.cτ Ο χρόνος συµφωνίας είναι χαρακτηριστικό µέγεθος της πηγής και εξαρτάται από τον

τρόπο λειτουργίας της. Το βασικό χαρακτηριστικό που ελέγχεται από το χρόνο συµφωνίας είναι η µονοχρωµατικότητα της πηγής, δηλαδή αν η εκπεµπόµενη δέσµη περιέχει µόνο µια στενή ή ευρεία περιοχή µηκών κύµατος.

Με βάση την αρχή της απροσδιοριστίας ή την θεωρία Fourier, µεταξύ του φασµατικού εύρους και της χρονικής διάρκειας υφίσταται η σχέση:

1E t h h v t h v t∆ ⋅∆ = ⇒ ∆ ⋅∆ ≈ ⇒ ∆ ⋅∆ ≈

Και αντίστοιχα το µήκος που διανύει ο κυµατοσυρµός σε χρόνο ∆t θα ισούται µε:

2

t

cx c t

v

λλ

≡ ∆ = ∆ = =∆ ∆

� µήκος χρονικής συµφωνίας

Όσο µεγαλύτερο είναι το ∆λ τόσο µικρότερο είναι το µήκος συµφωνίας.

4. Χωρική συµφωνία

Η έννοια της χωρικής συµφωνίας προέρχεται από τη συνεισφορά της διαφοράς δρόµου που ακολουθούν οι διάφορες κυµάνσεις µέχρι το κοινό σηµείο συµβολής στη δηµιουργία της

συνολικής φάσης. Αυτό εκφράζεται από τον όρο ( )1 2 .k k r− ⋅ Ο όρος αυτός είναι γνωστός

και ως όρος φάσης λόγω διαφοράς οπτικού δρόµου n s∆ καθώς:

( ) � �( ) ( )1 2 1 2 0 1 20

2 n sk k r n k k k r n k s s

πλ∆

− ⋅ = − ⋅ = − =

∆ηλαδή κατά τη µελέτη της χωρικής συµφωνίας θεωρούµε ότι η διαφορά φάσης είναι χρονικά σταθερή.

Υπό αυτές τις προϋποθέσεις και µε τη βοήθεια της

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 201 02

01 02 1 2 1 2

1 21 2 1 2 1 2

cos2 2

2 cos

E EI E E k k r t t

I I I I I k k r t t

ευ ευ ευ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= + + ⋅ − ⋅ + −

= + + − ⋅ + −

Συνάγεται ότι υπάρχουν περιπτώσεις του χώρου όπου η συνολική ένταση παραµένει σταθερή και ότι η αριθµητική της τιµή εξαρτάται από την τιµή που παίρνει ο όρος:

( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 .k k r t tϕ ϕ σταθ− ⋅ + − =

Πειραµατική διαδικασία:

Πείραµα 1: Κάτοπτρο του Lloyd.

Στο παρακάτω σχήµα παριστάνεται η διάταξη του κατόπτρου Lloyd.

Εικόνα 3 Σχηµατική αναπαράσταση της διάταξης Lloyd

Για να παρατηρήσουµε τους κροσσούς συµβολής εκ µέρους των δύο πηγών S1 και S2 θα πρέπει η απόσταση των πηγών να είναι µικρή ή ισοδύναµα η γωνία πρόσπτωσης φ1 να είναι πολύ µικρή.

Η πειραµατική διάταξη απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα

Εικόνα 4 Συµβολοµετρική διάταξη κατόπτρου Lloyd

Αποτελείται από µια πηγή laser He – Na η οποία παράγει λεπτή παράλληλη δέσµη φωτός, ένα φίλτρο χώρου το οποίο είναι ουσιαστικά ένας σύνθετος φακός πολύ µικρής εστιακής απόστασης. Αυτό µετατρέπει την παράλληλη δέσµη σε αποκλίνουσα. Μετά το φίλτρο χώρου

και κοντά σε αυτό τοποθετείται το κάτοπτρο Lloyd το οποίο είναι µια επίπεδη µεταλλική κατοπτρική επιφάνεια που µπορεί να στραφεί περί οριζόντιο άξονα. Σε µεγάλη απόσταση στον απέναντι τοίχο βρίσκεται ένα λευκό πέτασµα, επάνω στο οποίο σχηµατίζονται οι κροσσοί συµβολής. Επίσης στη διάταξη περιλαµβάνεται και ο φακός, ο οποίος τοποθετείται µετά το κάτοπτρο Lloyd όταν χρειάζεται να προσδιορίσουµε την απόσταση d των δύο σύµφωνων πηγών.

Αρχικά αφαιρούµε από τη διάταξη τον φακό και ρυθµίζουµε το κάτοπτρο έτσι ώστε να παρατηρούµε στο πέτασµα ευθύγραµµους και ισαπέχοντες κροσσούς συµβολής. Με τη βοήθεια ενός χάρακα µετρούµε την απόσταση ανάµεσα σε 10 φωτεινούς κροσσούς και διαιρώντας προσδιορίζουµε τη µέση απόσταση ∆x ανάµεσα σε δυο διαδοχικούς φωτεινούς κροσσούς. Στη συνέχεια τοποθετούµε το φακό µεταξύ κατόπτρου και πετάσµατος και µετακινούµε το φακό µέχρι η εικόνα συµβολής επάνω στο πέτασµα να περισταλεί σε δύο φωτεινές κηλίδες. Οι κηλίδες αυτές είναι τα είδωλα των δύο σύµφωνων πηγών. Μετρούµε την απόσταση d’ ανάµεσα στα δύο αυτά είδωλα καθώς και την απόσταση s φακού – πετάσµατος.

Τα δεδοµένα εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 1 Πειραµατικά δεδοµένα για την διάταξη Lloyd

Αρ. Κροσσών (n) ∆x/10 (mm) d’ (mm) s’ (mm)

10 3.1 12 3444 10 2.5 15 3444 10 1.9 20 3444 10 1.5 24 3444 10 1.4 30 3444

Από τον τύπο 1 1 1

's s f+ = βρίσκουµε την απόσταση s φακού – σύµφωνων πηγών και στη

συνέχεια υπολογίζουµε την απόσταση d µεταξύ των δύο πηγών µέσω του τύπο: ' '

d s

d s= . Η

απόσταση σύµφωνων πηγών πετάσµατος είναι 'D s s= + . Τα δεδοµένα αυτά παρουσιάζονται συγκεντρωµένα στον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 2 Επεξεργασία των δεδοµένων

s d D 1/d

212,33 0,740 3656,33 1,352 212,33 0,925 3656,33 1,081 212,33 1,233 3656,33 0,811 212,33 1,480 3656,33 0,676 212,33 1,850 3656,33 0,541

Στη συνέχεια κάνοντας το διάγραµµα µεταβολής του ∆x συναρτήσει του 1/d και εφαρµόζοντας τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων βρίσκουµε την κλίση της ευθείας η οποία ισούται µε Λd. Γνωρίζοντας το D βρίσκουµε το µήκος κύµατος.

∆ιάγραµµα 1 ∆ιάγραµµα µεταβολής ∆x συναρτήσει του 1/d

Η κλίση της ευθείας είναι ίση µε 2.1876a = .

Άρα 2.1876 3656.33 598a D nmλ λ λ= ⇒ = ⋅ ⇒ =

Πείραµα 2: Συµβολόµετρο Michelson

Η πειραµατική διάταξη φαίνεται στο παρακάτω σχήµα:

Εικόνα 5 Πειραµατική διάταξη συµβολόµετρου Michelson µε φωτισµό από αποκλίνουσα δέσµη φωτός

Περιλαµβάνει µια πηγή laser και ένα συµβολόµετρο Michelson. Στην είσοδο του συµβολόµετρου υπάρχει ένας φακός ο οποίος µετατρέπει την παράλληλη δέσµη φωτός σε αποκλίνουσα.

Στο συµβολόµετρο διακρίνουµε τις πλάκες (∆) και (C), το σταθερό κάτοπτρο (Κ1) και το κινητό κάτοπτρο (Κ2) το οποίο µετακινείται στρέφοντας το τύµπανο (Τ). Η εικόνα συµβολής η οποία αποτελείται από οµόκεντρους κύκλους σχηµατίζεται στο πέτασµα που βρίσκεται στον απέναντι τοίχο.

• Στρέφοντας µε πολύ αργό ρυθµό το τύµπανο µετακινούµε το κάτοπτρο και παρατηρούµε ότι ο κεντρικός κροσσός γίνεται εναλλάξ φωτεινός – σκοτεινός.

• Σηµειώνουµε την αρχική ένδειξη του τυµπάνου όταν έχουµε στο κέντρο σκοτεινό κροσσό και µε αργό ρυθµό στρέφουµε το τύµπανο µετρώντας από 20 – 50 διαδοχικές εµφανίσεις σκοτεινού κροσσού, µε βήµα 5. Για λόγους ευκολίας ξεκινάµε µε αρχική ένδειξη το µηδέν

y = 2,1876x + 0,1284

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0,000 0,500 1,000 1,500

Δx

1/d

Έτσι έχουµε τα παρακάτω δεδοµένα:

Πίνακας 3 Μετρήσεις που έγιναν µε το συµβολόµετρο Michelson

∆Ν ∆d (µm)

20 6 25 8 30 11 35 12 40 13 45 17 50 19

Από την σχέση 2

d Nλ

∆ = ∆ µπορούµε να βάλουµε τα δεδοµένα σε µια ευθεία η κλίση της

οποίας θα ισούται µε λ/2. Το διάγραµµα αυτό είναι το παρακάτω:

∆ιάγραµµα 2 ∆ιάγραµµα µεταβολής του ∆Ν συναρτήσει του ∆d

Από τα παραπάνω το µήκος κύµατος υπολογίστηκε ίσο µε 800nm. Η τιµή αυτή απέχει αρκετά από την τιµή των 636nm κι αυτό οφείλεται σε σφάλµατα κατά την διάρκεια των µετρήσεών που πραγµατοποιήθηκαν κυρίως κατά την στρέψη του τυµπάνου.

Πείραµα 3: Μέτρηση του µήκους συµφωνίας του φωτός

Η διάταξη που χρησιµοποιήθηκε είναι αυτή της παρακάτω εικόνας:

Εικόνα 6 Συµβολόµετρο Michelson για τον προσδιορισµό του µήκους συµφωνίας

y = 0,0004x - 0,0025

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0 10 20 30 40 50 60

Δd

ΔΝ

Αρχικά στρέφουµε το τύµπανο κατά µια συγκεκριµένη φορά µέχρι να εξαφανιστούν οι κροσσοί και σηµειώνουµε την ένδειξη. Στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε το ίδιο ακριβώς αλλά κατά την αντίθετη φορά. Σηµειώνουµε κι αυτήν την ένδειξη. Η διαφορά των δύο ενδείξεων θα είναι το διπλάσιο του µήκους συµφωνίας. Οι µετρήσεις µας ήταν οι εξής:

Πίνακας 4 Οι µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν για την εύρεση του µήκους συµφωνίας

d1 (mm) d2 (mm) c� (µm)

39.5 43.5 8 40 42 4 40 43 6

O µέσος όρος των τιµών για το µήκος συµφωνίας είναι 6c

mµ=�

Πείραµα 4: ∆ιάταξη συµβολής Νεύτωνα

Η πειραµατική διάταξη αποτελείται από δυο φασµατικές λυχνίες, µία Na και µία Hg, µε τα τροφοδοτικά τους, από ένα φίλτρο συµβολής που επιτρέπει τη διέλευση µόνο της πράσινης γραµµής του Hg και έναν σκεδαστή. Πρακτικά ο σκεδαστής δηµιουργεί µια εκτεταµένη πηγή. Μια διαχωριστική πλάκα υπό γωνία 45ο εξασφαλίζει την κάθετη πρόσπτωση και το σύστηµα του φακού και της διηλεκτρικής πλάκας, εξοπλισµένου µε τρεις κοχλίες για την οριζοντιοποίηση του φακού και την επίτευξη επαφής µε την πλάκα.

Η καταγραφή των επιµέρους εικόνων συµβολής γίνεται µέσω µιας φωτογραφικής µηχανής CCD, εφοδιασµένης µε έναν φωτογραφικό φακό, ο οποίος διαθέτει δακτύλιο εστίασης, των κροσσών συµβολής (επίπεδο του αντικειµένου) και δακτύλιο που αυξοµειώνει το διάφραγµά του. Το τελευταίο καθορίζει τελικά το εισερχόµενο φως δηλαδή το επίπεδο φωτισµού του ειδώλου στο φωτοευαίσθητο στοιχείο της CCD – φωτογραφικής µηχανής. Οι εικόνες συµβολής απεικονίζονται σε οθόνη τηλεόρασης και η επεξεργασία τους γίνεται µέσω Η/Υ.

Η πειραµατική διάταξη είναι αυτή της παρακάτω φωτογραφίας:

Εικόνα 7 Πειραµατική συµβολοµετρική διάταξη δακτυλίων του Νεύτωνα

Αρχικά τοποθετήθηκε η λυχνία Na και στη συνέχεια η λυχνία Hg

Οι µετρήσεις που έγιναν για τις ακτίνες των κροσσών χρησιµοποιώντας την λυχνία Na είναι:

1ος κροσσός: 5.063mm






Με τα παραπάνω δεδοµένα συµπληρώθηκε ο παρακάτω πίνακας:

Πίνακας 5 Πειραµατικές µετρήσεις για την λυχνία Na

∆m ∆ιαφορά τάξης κροσσών ∆r2

1 2η – 1η 1179,032 2 3η – 1η 2904,08 3 4η – 1η 4943,895 4 5η – 1η 8206,785 5 6η – 1η 11470,2

Κάνοντας την γραφική παράσταση του ∆r2 συναρτήσει του ∆m βγαίνει µια ευθεία η κλίση της οποίας, αφού βρεθεί µε την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, θα ισούται µε λR. Αφού γνωρίζουµε το λ του Na το οποίο ισούται µε 5890Å µπορούµε να υπολογίσουµε το R, δηλαδή την ακτίνα του φακού.

Πράγµατι:

∆ιάγραµµα 3 ∆ιάγραµµα µεταβολής ∆m συναρτήσει του ∆r2 για λυχνία Na

y = 16,902x - 0,0125

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2 3 4 5 6

Δr2

Δm

Άρα 16.902 16.902 0.0029Na

a R Rλ= ⇒ = ⇒ =

Τοποθετώντας την λυχνία του Hg πραγµατοποιήθηκαν οι παρακάτω µετρήσεις:







Πίνακας 6 Πειραµατικές µετρήσεις για την λυχνία Hg

∆m ∆ιαφορά τάξης κροσσών ∆r2

1 2η – 1η 1179,032 2 3η – 1η 2904,08 3 4η – 1η 4943,895 4 5η – 1η 8206,785 5 6η – 1η 11470,2

∆ιάγραµµα 4 ∆ιάγραµµα µεταβολής ∆m συναρτήσει του ∆r2 για λυχνία Hg

15.744 15.744 5429Hg Hg

a Rλ λ= ⇒ = ⇒ = Å

y = 15,744x + 0,4841

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6

Δr2

Δm

Science

Interference