MAXIMOS Y MINIMOS:

Dada una caja de base cuadrada con determinado volumen hallar la que requiera

menos material.

Hagamos un diagrama del problema

2

1 base x

x

3 h

4

SIN TAPA

El volumen de la caja es base por altura, esto es V=x.x.h

El área de los materiales es la suma del área de la base más las cuatro áreas de

los costados.

A= x.x + 4x.h

El problema radica en encontrar el área mínima.

Podemos despejar h en la ecuación de volumen con lo cual h=V/(x.x)

Reemplazo h en la ecuación de área, quedando A= x.x + 4x.V/(x.x). Simplificando

A= x.x + 4V/x.

Debo derivar e igualar a cero para obtener los puntos críticos.

dA= 2x + 4V ln(x), igualo a cero, 0 = 2x + 4V.ln(x) muy difícil de resolver.

Por eso aplicaré una pequeña picardía: A=(x.x.x + 4V)/x. Ahora si derivo

aplicando la regla de derivación de la división. D g(x)/f(x)=[ d(gx).f(x)-

g(x).df(x)]/(f(x).f(x)).

Con lo cual g(x)= x.x.x +4V y dg(x)= 3x.x; f(x)=x y df(x)=1.

Entonces dA(x)= [3.x.x.x – [ (x.x.x ) +4V]]/(x.x).

Igualo a cero

0 = 3xxx-x.x.x-4V (x.x pasan al otro la multiplicando y queda cero).

Resuelvo x.x.x=2V, con lo cual x es la raíz cúbica de 2V.

Una vez obtenido x reemplazo en la ecuación de volumen y obtengo h.

Ejemplo:

Supongamos un volumen de 500 cm cúbicos.

X va a ser igual a la raíz cubica de 1000, o sea 10.

Aplico el primero y da que la altura h es 500/100 o sea 5cm.

El área de material a utilizar es 100 + 200, o sea 300 centimetros cuadrados.

Veamos si es correcto. Probemos x= 10,1cm con lo cual h=4,9015cm. Entonces

el área es 300,0298 cm cúbicos. Mayor.

Probemos x=9.9cm con lo cual h=5,1015cm y el área es 300,0302 cm cúbicos.

Mayor.

Como paso de mayor a mayor, en x=10 tengo un minimo. También puedo acudir

a la derivada segunda pero en este caso lo hago más engorroso.

¿SI TUVIERA TAPA?

El volumen es el mismo.

El área cambia. Como la tapa tiene la misma base que el área, la ecuación

quedaría:

A(x)= 2.xx + 4.xh

Con lo cual A(x)=(2.xxx+ 4.V)/x.

Derivando queda dA(x)=(4.xxx – 4V)/xx

Igualando a 0 y resolviendo xxx=V, con lo cual x es igual a la raíz cúbica de V

En nuestro ejemplo x=7,937cm; h=7,937cm.

Area=377,975 centímetros cuadrados.

Probemos con 7cm, h=10,204cm, A=398,732 centímetros cuadrados.

Probemos con 7,5cm, h=8,889cm, A=379,17 centímetros cuadrados.

O sea con tapa formamos un cubo para que el material sea mínimo.

MAXIMOS Y MINIMOS

RESOLUCION DE PROBLEMAS DE VOLUMENES Y

AREAS (I)

Tenemos un corte cuadrado de cartulina y queremos armar una caja de volumen

máximo. ¿De qué tamaño deben cortarse los cuadrados de las esquinas para

obtener un volumen máximo con el material disponible?

Hagamos un gráfico de lo que planeamos hacer:

Tenemos un cuadrado de perímetro 4l

Tenemos 4 lados, y necesitamos recortar cuatro cuadrados de x cm por lado.

Por lo cual la base va a medir cada lado l-2x (en cm por supuesto). Como el

volumen es base por altura, tendremos

x l-2x x

x

V=(l-2x)².x, desarrollando: ( l²-4xl+4x² ).x = xl²-4x²l+4x³. Ahora podemos derivar

para buscar el máximo:

dV(x)= 12x²-8xl+l². Igualo a cero y aplico la resolvente, con lo cual

x=[8l (+/-) [64l²-48l²]^(½)]/24, una solución es( 8l + 4l)/24, con lo cual x=l/6.

Tenemos un mínimo porque la base queda 0.0. [l-2l/2]

La otra solución es (8l-4l)/24, con lo cual x=l/6. La base entonces tiene un lado

de (2/3)l, un área de (4/9)l² y un volumen de (2/27)l³.

Supongamos l=12cm, x=2cm, la base de la caja es 8cm, el área es 64cm² y el

volumen 128cm³.

Hagamos x=2,2cm, la base de la caja es 7,6cm, el área es 57,76cm² y el

volumen es 127,072cm³. Es menor.

Probemos con 2=1,8cm, la base de la caja es 8,4cm, el área es 70,56cm² y el

volumen es 127,008cm³. Es menor.

Por lo tanto tenemos máximo en x=2cm. Como la función V(x) crece entre 0 y

l/6, para luego decrecer entre l/6 y l/2, tenemos un máximo absoluto.

RESOLUCION MAXIMOS Y MINIMOS (II)

Rectángulo inscripto en círculo.

Problema: hallar el rectángulo de mayor área inscripto de un círculo

predeterminado.

Grafiquemos:

S=r, con lo cual siguiendo a Pitágoras (aunque después de todo parece que no

descubrió esta relación) s²=p²+q². Como los lados del cuadrado son w= 2p y h=2q

la suma de los cuadrados de los lados es w² + h² = 4r², de lo cual podemos

deducir que h = (4r²-w²)^(½). La función área es

A(x)= h.w = w(4r²-w²)^(½). Derivando con mucha paciencia

dA(x)=(4r²-w²) +[ (½)w(-2w)]/[4r²-w²]. La simplificación se la dejamos como

ejercicio al lector.

dA(x)=4r²-2w². Igualando a cero y despejando w= (2^(½)) . r. Con lo cual h=w,

formandose un cuadrado de area 2r².

Otra forma de hacerlo, especialmente si se quiere quedar bien con el profesor es

por medio de hallar el área usando el ángulo.

Llamemos y al ángulo y formemos el área:

A(y)=4 r².(½) sin(2y)

dA(y)=2 r².cos(2y).

Se hace 0 cuando y es un Angulo de 45 grados o lo que es lo mismo pi/4.

Con lo cual queda cos(45 + 45) = 1, el área es 2r², igual que antes.

Formamos un cuadrado. Este sistema es más fácil y mas ágil.

Nota como llegamos a esa área. Es trigonometria pura

El area es w.h/2= r cos(y). r sen(y).

La multiplicacion se rompe cos(y).sin(z)= (½) sin (y + z) + (½) sin (y - z)

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas por si las quieren

todas.

¿Ahora bien que pasa si inscripto un poliedro rectangular de 6 caras en una

esfera?

Si quieren saber la respuesta envien un mail a

guillermoeduardodurigon@gmail.com

y con gusto, por amor a las Matemáticas contestaré.

Los espero.

RESOLUCION MAXIMOS Y MINIMOS (III)

DADA UNA SUMA HALLAR PRODUCTO MAXIMO Y VISCEVERSA

Sea a + b = c; siendo a y b variables y c una constante arbitraria.

Halla a.b = d de tal manera que d sea máximo.

Se deduce inmediatamente que a = c – b, con lo cual

f(a)= a.(c-a); con lo cual f(a) = a.c – a²; df(a)= c – 2a. Igualando a 0 y resolviendo

nos da un punto crítico a = c/2.

Se deduce fácilmente que el máximo es d = c²/4.

Ahora hagamos a la inversa:

Sea a.b = d: siendo a y b variables y d una constante arbitraria.

Hallar a + b = c de tal manera que c sea máximo.

Se deduce trivialmente b = d/a, con lo cual

f(a) = a + (d/a); implica que df(a) = 1 + ln(a).d; Igualando a 0 y despejando

a = e^(-1/d) y b = d/[e^(-1/d)]

a + b = [d + a²]/a, valor máximo.

Pero si hacemos los cálculos veremos que no es cierto. ¿Qué ha pasado?

En la ecuación a.b=d, hacer b=d/a es un error ( a pesar de que es cierto ). ¿Qué

se nos pasó por alto? Veamos.

Puedo hacer a tan grande como quiera y b tan pequeño como quiera de tal

manera que a.b=d, siendo de una constante arbitraria. Si a es tan grande como

quiera, en realidad no hay máximos en la suma, ya que a + b tenderá a infinito.

(Tendría que ser más riguroso y hablar de valores absolutos, pero me iría por las

ramas).

¿Cuál fue el objetivo de estas vueltas? Hacer notar que cada problema, por más

sencillo que parezca merece ser bien analizado y luego verificar con datos si la

respuesta es correcta.

También se podría recurrir a la trigonometría.

ricos(x) + rsin(x) = r, se reduce a cos(x) + cos(x) = 1 [rcos(x)=a, rsin(x)=b]

Debo hallar cos(x).sin(x)=f(x), implica f(x)=(1/2)sin(2x), con lo cual derivando e

igualando a cero

cos(2x)=o, implica x = 45° ó pi/4.

cos(45°)=sin(45°)= ½. Multiplicamos por r, r lo hacemos igual a c y llegamos al

mismo resultado que con el otro sistema.

Estamos ahora en condiciones de resolver problemas como estos:

¿De todos los rectángulos de igual perímetro cuál es el de área máxima?

El perímetro es 2a + 2b, el área es a.b. Ya sale solo.

Tengo una longitud l de alambre y deseo alambrar un rectángulo al lado de un río

con un cauce casi recto.

L=2a + b, el área a.b. Sigue saliendo solo.